תורת התורים מהו תור? שרת ב תור לקוחות שרת א שרת א תור לקוחות שרת ב שרת א דוגמא במחסן יש אפסנאים שמנפקים כלים לטכנאי אחזקת מטוסים, מצד אחד קיים לחץ של מנהלי העבודה להגדיל את מספר האפסנאיםבכדי להקטין זמני המתנה לניפוק ומצד שני ההנהלה רוצה לקצץ בעלויות אפסנאים. בנוסף נתון: זמן בין מופעי למופע טכנאי למחסן הוא 50 שניות. זמן שירות ממוצע הוא 60 שניות לטכנאי.השירות כמובן ניתן על ידי המחסנאים <, כלומר יש מינימום שני אפסנאים. נמדד ש: W 'זמן המתנה ממוצע בשניות אפסנאים 33.8 4.7 3 0.8 4 כמו כן עלות שעת אפסנאי היא $3 דולר לשעה ועלות שעת טכנאי היא $7 דולר לשעה. יום עבודה הוא בן 7.5 שעות. האם כדאי להעלות את כמות האפסנאים המנפקים ציוד? אם כן מה יהיה מספר האפסנאים החדש? פתרון מספר הטכנאים שעוברים במחסן לקבל שירות הוא 540: 7.5 hour/day *60 miute/hour *60 ec/miute /50 ec/app 540 הגדלת מספר האפסנאים מ- ל- 3 :.5$ 3*7.5.5$ זמן ההמתנה החדש של הטכנאים יהיה 4.7 כנתון בטבלה אם כן החיסכון בשניות יהיה 9. שניות לטכנאי: 33.8ec-4.7ec9. כמות הזמן הכוללת שתיחסך מהטכנאים בשל קיצור זמן ההמתנה כתוצאה מהוספת האפסנאי: 9. ec *540 app/day /60 miute *60 ec 4.4 hour אם כן יחסכו 4.4 שעות המתנה מכלל הטכנאים ובכסף: 4.4*730.8$ כלומר חיסכון של $8.3 ולכן המעבר מ - אפסנאים ל- 3 אפסנאים כדאי. מ- 3 ל- 4 אפסנאים לא כדאי לעבור ניתן לבדוק בבית.
סימונים כלליים סימון L W פירוש תוחלת מופע הלקוחות במערכת לקוחות ליח' זמן תוחלת שירות הלקוחות לשרת לקוחות ליח' זמן מספר השרתים תוחלת נצילות המערכת: % הזמן בו השרתים עסוקים תוחלת מספר הלקוחות במערכת במצב יציב תוחלת זמן שהיה ללקוח במערכת במצב יציב תוחלת מספר הלקוחות בתור. תוחלת זמן המתנה של לקוח בתור. ההסתברות ל- לקוחות במערכת במצב יציב מספר מקסימלי של לקוחות במערכת עם אילוצי קיבולת Lq Wq P
M/M/ תור בודד עם מופע לקוחות פואסוני, זמן שירות אקספוננציאלי ושרת אחד. 3
הסתברות ל- 0 לקוחות במערכת: P 0 - הסתברות ל- לקוחות במערכת: 4
P * P0 ההסתברות שזמן השהיה גדול מ- t : PW>t e t- - ההסתברות שזמן ההמתנה גדול מ- t : PWq >t e -t - שאלות ב- M/M/. לקוחות מגיעים לכספומט באופן אקראי בקצב של 6 לקוחות בשעה ניתן להניח התפלגות פואסון. זמן השירות ללקוח בכספומט מתפלג אקספוננציאלית עם תוחלת 4 דקות. הלקוחות עומדים בתור לפי סדר הגעתם. א. מהי תוחלת מספר הלקוחות במערכת? ב. מהי תוחלת זמן השהיה של לקוח במערכת? ג. מהי ההסתברות שזמן ההמתנה בתור גדול מ- 0 דקות?. למחסן באים טכנאים עם רשימות רכיבים וממתינים לקבלת ציוד, קצב המופע הוא הוא פואסוני עם 6 אנשים לשעה, מחסנאי אחד עובד ומסוגל לטפל בכל טכנאי בזמן ממוצע של 8 דקות, עלות שעת מחסנאי היא $5 ועלות שעת טכנאי היא $60. א. מהי פרפורציית הזמן שבה המחסנאי לא מועסק? ב. כמה זמן בממוצע ממתין טכנאי בתור? ג. מהי תוחלת משך השירות? ד. מהו זמן השהיה הממוצע של טכנאי במחסן? ה. מהו מספר הטכנאים הממוצע בתור? ו. מהו מספר הטכנאים הממוצע במחסן? ז. תן ביטוי לתוחלת עלות הפעילות במחסן במשך שעה אחת? ח. מה ההיסתברות שטכנאי יגיע למחסן ויקבל שירות מיד? ט. מהיפרפורציית הזמן שבה יש טכנאים בתור או יותר? י. מה צריך להיות קצב המופע למחסן כך שטכנאי ייאלץ להמתין כשעה בתור? יא. אם מעונינים שרק ב 5% מהמקרים ימתין טכנאי יותר מחצי שעה במחסן מה צריך להיות קצב השירות? M/G/ תור בודד עם מופע לקוחות פואסוני וקצב שירות המתפלג בהתפלגות כלשהי ושרת אחד. אין הגבלה על אורך התור. VG - שונות. EG - תוחלת. תוחלת מספר האנשים בתור : V G Lq * E G P 0 - שיעור ניצולת המערכת ההסתברות ל- 0 צרכנים במערכת 5
W תוחלת זמן ההמתנה בתור WqLq/ תוחלת מספר האנשים במערכת: LLq תוחלת זמן השהייה במערכת V G E G E G שאלה ב M/G/ מעל הנהר בארץ חלם בנו גשר המיועד להולכי רגל בלבד, בו זמנית מותר רק לבן אדם אחד להימצא על הגשר, הולכי רגל המבקשים לעבור מצפון לדרום ומדרום לצפון מגיעים בזרמים פואסוניים בלתי תלויים בעלי עוצמות : orthouth ma/hour outhorth 3 ma/hour זמני המעבר הם משתנים בלתי תלויים המפולגים בהתפלגות אחידה [5,5]U התור הינו תור משותף ל- הקבוצות התושבים והמשטר הוא.FIFO מצא את אורך התור הממוצע משתי צידי הגשר יחד א. מצא את זמן השהייה הממוצע במערכתתור פלוס מעבר על הגשר. ב. מצא את זמן השהייה הממוצע עבור כל קבוצת תושבים, צפונית ודרומית בנפרד. ג. ביום בהיר אחד קרס הגשר, כמה אנשים בממוצע מצאו עצמם במים? ד. M/M/S תור בודד עם מופע לקוחות פואסוני וקצב שירות אקספוננציאלי ומספר שרתים. קצב השירות * > הסתברות ל צרכנים במערכת: * 0<< P! S!* S * P 0 * P 0 > 0<< /* נצילות המערכת תוחלת מספר האנשים בתור 6
ו"סשת-רוצייה לוהינ לגרתמ ןועמש ןב ידוד 7 0! * P Lq רותב הנתמהה ןמז תלחות Lq Wq תכרעמב תוחוקל 0-ל תורבתסהה 0 0 *!! P M/M// םוטק יפוס רות,- תרש,ילאיצננופסקא תוריש,תינוסאופ העגה.תכרעמב לבגומ םישנא רפסמ,דיחי תכרעמב םישנא -ל תורבתסהה * P לבגומ תומוקמ רפסמ שיש ןוויכמ סנכנ עיגמש ימ לכ אל יכ בל םישל-ליעי תוחוקל תעגה בצק Lq L eff רותב עצוממ הנתמה ןמז W q L q / eff תכרעמב םישנאה רפסמ תלחות LL q eff / וא : L תכרעמב הייהשה ןמז תלחות
W L Wq P M/M/ω הגעה פואסונית, שירות אקספוננציאלי, שירות עצמיכמו בופה ללא תור או חוף ים. תוחלת מספר האנשים בתור LqWq0 תוחלת זמן השהייה במערכת W/0 תוחלת מספר האנשים במערכת L / ההסתברות ל- אנשים במערכת e * P! 8
כללי - התפלגות פואסונית ומעריכית. התפלגות פואסונית התפלגות בדידה התפלגות פואסונית חשובה מאוד לענייננו כי היא מתארת הרבה תהליכים אקראיים בצורה טובה ומבחינה מתמטית היא פשוטה למדי. לכן יש לה תפקיד חשוב בסימולציה. α x e α p x, x 0,... x! 0, otherwie E X V X α. התפלגות מעריכית התפלגות רציפה התפלגות מעריכית קובעת את ההסתברות שמשך הזמן בין שני מופעים של תהליך מסוים יהיה קטן מערך מסוים. e t, t 0 f x 0, otherwie E X, V X 3. הקשר בין התפלגות מעריכית להתפלגות פואסונית כאשר המופע פואסוני הזמן בין המופעים הוא מעריכי בנוסף: התפלגות מעריכית היא חסרת זיכרון המשמעות היא כזו: אם אורך החיים של נורה מתפלג מעריכית וידוע שהמנורה כבר חיה X והשאלה מה הסיכוי שתחיה עוד Y התשובה אינה תלויה ב X. כמובן שאין תהליך אמיתי שמתפלג כך 9