ЗБИРКА ЗАДАТАКА ЗА ПРИПРМУ ЗА ПРВИ КОНТРОЛНИ ЗАДАТАК

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ЗА ПРИПРМУ ЗА ПРВИ КОНТРОЛНИ ЗАДАТАК СКАЛАРНЕ И ВЕКТОРСКЕ ВЕЛИЧИНЕ Величибе које су одређене само својом бројном вредношћу и одговарајућом јединицом су скаларне величине или кратко, скалари. Скаларне величине су на пример: дужине, површина, запремина, температура, маса, време, рад, енергија итд. Величине које су одређене својом бројном вредношћу (интезитетом), правцем и смером зову се векторске величине или кратко вектори. Векторске величине су: сила, брзина, убрзање. Импулс, угаона брзина итд. Векторске величине графички представљамо орјентисаним одсечком праве чија дужина одговара интезитету вектора, правац тог одсечка одређује правац вектора а стрелица-његов смер. Два вектора су једнака уколико имају исте интезитете, паралелне правце и исти смер. Уколико два вектора имају исте интезитете, паралелне правце и супротне смерове, онда их називамо супротним векторима. Сабирање вектора: ОПЕРАЦИЈЕ СА ВЕКТОРИМА Збир два вектора, A+ B, можемо добити уколико почетак вектора B паралелним померањем доведемо до краја вектора A. Њихов збир је вектор чији је почетак у почетку вектора A, а завршава се на крају вектора B. Код одређивања збира три вектора, A, B и C, почетак вектора B паралелним померањем доведемо до краја вектора A, затим почетак вектора C паралелним померањем доводимо до краја вектора B. Њихов збир је вектор чији је почетак у почетку вектора A, а завршава се на крају вектора C. Ukoliko nacrtamo paralelogram čije u tranice vektori A i B, videćemo da je vektor A+ B dijagonala tog paralelograma. Zato e abiranje vektora na opiani način naziva zakon paralelograma.. Oct. 011 1

Примери сабирања вектора: ГИМНАЗИЈА 9. МАЈ, НИШ Углови који су обележени на сликама означавају угао који вектор заклапа са позитивним делом x-осе. Одузимање вектора: Разлика два вектора, A B јесте вектор који почиње на крају вектора B а завршава се на крају вектора A. Разлику вектора A B можемо представити као збир вектора A+( B). Са слике се види да је A= B+[ A+( B)] Множењем вектора скаларом: Производ вектора A и скалара m јесте вектор који има исти правац и смер као и вектор A, а интезитет му је m пута већи од интензитета вектора A. Пројекција вектора: Вектор је пројекција вектора на вектор. (садржај преузет са сајта http://tela.pmf.ni.ac.r/people/neiclj/tudenti/diplomki%0radovi/biljana%0rajkovic/prezentacija) КИНЕМАТИКА (Потребно је савладати основне појмове кинематичког кретања пре него што приступите изради задатака. Овде су изнете само основе кинематике брзина и убрзање, док је на ученицима остало да погледају: релативност кретања, референтни систем, путања, пут, вектор положаја, померај. Обавезно прочитати класичан закон слагања (сабирања) брзина). Oct. 011

БРЗИНА Брзина је векторска величина која је одређена својим правцем, смером и интезитетом. Код равномерног праволинијског кретања ( v=cont ) брзина заузима правац путање, а смер је смер кретања аутомобила. Ако је реч о криволинијском кретању, правац вектора брзине заузима правац тангенте у посматраној тачки кретања. Интезитет брзине код равномерног кретања: v= Δ Δ t = 1. На овај начин је могуће t t 1 израчунати само интезитет вектора брзине, док се правац и смер одређују векторском методом (помоћу помераја v= Δ r, где је r вектор положаја, а Δ r је вектор помераја). Δt Средња вредност брзине v r = Δ Δt = 1. Средња вредност брзине се дефинише као количник t t 1 пређеног пута и временског интервала за који је тај пут пређен. Ако желите да израчунате средњу вредност брзине на целом путу, без обзира како се тело кретало (праволинијски, криволинијски, равномерно или променљиво), потребно је да укупан пређени пут поделите са временом за које је тај пут пређен. Средња вредност брзине је скаларна величина. НАПОМЕНА: Често се грешком поустовећује средња брзина са средњом вредношћу (интезитетом) брзине. Питати на предавањима да се објасни разлика! Тренутна брзина: v tr = Δ Δt,Δt 0. Тренутна брзина карактерише кретање у једном (датом) тренутку, у једној тачки путање. Тренутна брзина се наизглед одређује на исти начин као и брзина код равномерног праволинијског кретања, међутим разлика је у томе што је временсти интервал скраћен на минималну вредност. Тренутна брзина нам помаже за одређивање положаја тела у току кретања, средња вредност брзине не може нам користити за ту намену јер се код променљивог кретања вредност брзине мења током кретања. Свако криволинијско кретање је променљиво кретање и тиме је и тренутна брзина различита у сваком тренутку времена (не треба мешати са равномерним кружним кретањем. При таквом кретању, правац и смер брзине се мењају у сваком тренутку времена, док је само интезитет непромењен). Пређени пут код равномерно праволинијског кретања =v t и једнак је површини коју графикон брзине заклапа са позитивним делом x-осе (графика зависности брзине од времена). Такођи и код променљивог кретања, површина коју заклапа график брзине са позитивним делом x-осе једнак је пређеном путу. УБРЗАЊЕ Кретање тела чија се брзина мења у току времена назива се променљиво кретање. Општи облик променљивог кретања је неравномерно, али ми радимо само равномерно a=cont (значи да се брзина равномерно мења са временом). Постоје равномерно убрзано и равномерно успорено. Средње убрзање (равномерно убрзање/успорење) a r = Δ v Δt = v v 1. Убрзање одређује промену t t 1 брзине кретања. То је векторска величина која је одређена правцем, смером и интезитетом. Времена t 1 и t су времена која одговарају брзинама v 1 и v респективно. Величина Δ v је вектор промене брзине. Очигледно је да је правац вектора убрзања једнак правцу вектора промене брзине. Тренутно убрзање a tr = Δ v Δ t,t 0. Тренутно убрзање је граничан случај средњег убрзања, када се временски интервал може свести на тренутак. Често се каже само убрзање. Уколико се тело креће праволинијски, правац вектора убрзања се поклапа са правцем путање, ако је смер убрзања исти као. Oct. 011 3

и смер вектора промене брзине, онда тело повећава интезитет своје брзине (убрзава), уколико је смер вектора убрзања супротан од смера вектора промене брзине, онда тело смањује интезитет брзине (тело успорава). Убрзање се састоји из две компоненте: тангенцијало и радијално (нормално) убрзање. a= a n + a t Нормално убрзање одређује промену правца брзине, а тангенцијално убрзање промену интезитета брзине. Код праволинијског кретања нормално убрзање једнако је нули, код равномерно кружног кретања тангенцијално убрзање једнако је нули. Интезитет убрзања (преко тангенцијалног и нормалног убрзања) једнак је a= a n +a t Брзина код равномерно променљивог кретања: v=v 0 ±a t Пређени пут при равномерно променљивом кретању: =v 0 t± 1 a t Зависност брзине од пута: v= v 0 ± a КРЕТАЊЕ ПО КРУЖНОЈ ПУТАЊИ (Потребно је прочитати теорију, нарочито обратити пажњу на основне величине оваквог кретања, као што су: угаони померај, описани угао,...) Равномерно кружно кретање је кретање тела по кружници брзином сталног интезитета. Овде треба обратити пажњу на чињеницу да је кружно кретање такво да се брзина (мисли се на вектор брзине) мења у сваком тренутку времена, јер вектор брзине заузима правац тангенте, међутим интезитет вектора брзине се не мења! Угаони померај: θ= r = r π = π где су: - дужина кружног лука а r- полупречник кружнице. r Средња вредност угаоне брзине: ω = θ где је θ укупан угао (описани угао). t t 0 Тренутна вредност брзине: ω= Δθ Δt,Δ t 0 јединица је Веза између брзине и угаоне брзине: ω= v r Средње угаоно убрзање: α = ω ω 1 t t 1 Тренутно угаоно убрзање: α= Δω,Δt 0 Δt Период: T = ω π = такође важи ω= π. Период је време за које се изврши један обртај или T тело обиђе цео круг. Јединица мере је секунд []. Веза између линијске брзине и периоде: v= π r T Фреквенција: ν= 1 такође важи ω= π ν. Фреквенција је величина која показује колико пута T тело обиђе кружницу у једној секунди. Јединица је Херц [Hz]. Веза између линијске брзине и фреквенције: v=π r ν rad. Oct. 011 4

Веза тангенцијалног и угаонаог убрзања: а t =r α Центрипетално убрзање: a c = v r =r ω. Центрипетално убрзање је исто што и нормално или радијално убрзање. Такође важи a c = 4 π T r, односно a c=4 π ν r, за пун угао ω= π T. 1. Ако је ABCD паралелограм, показати да је BD = AD AB и AC=DC CB. ЗАДАЦИ Са слике се види да је AD= AB+ BD, одатле се лако добија BD = AD AB Са слике се види да важи једнакост: AC+ CB= AB, такође је лако уочити да је DC= AB одакле следи да је AC= DC CB. A D B C. У равни четвороугла ABCD одредити тачку M, тако да је MA+ MB+ MC+ MD=0 3. Вектори А и B имају исте интезитете а заклапају угао α=60 0. Одредити разлику ових двају вектора. Разлика вектора А и B је вектор C= A B, чији је интезитет једнак интезитетима вектора А и B. Вектор C лежи на трећој страници једнакостраничног троугла (пошто је угао између две једнаке странице 60 0, то је једнакостранични троугао) чије су преостале две странице вектори А и B а усмерен је од краја вектора B према крају вектора А. 4. Авион лети у смеру север-југ брзином v 1 =100m/. Одједном у смеру запад-исток почне да дува ветар брзином од v =50m/. Колика је тада стварна брзина авиона у односу на површину земље? Овај задатак је рађен у школи на часу. 5. Претоставимо да лађом треба да пређемо реку у правцу истока. Река тече брзином од 6km/h у правцу југа. У стајаћој води лађа може развити брзину од 10km/h. Наћи брзину лађе v у односу на реку. Битно је приметити да је брзина чамца која је дата у задатку заправо резултанта вектора брзине чамца у односу на реку и вектора брзине реке. Из Питагорине теореме лако долазимо до интезитета брзине чамца у односу на реку: V čamca =V čamca u odnou na reku +V reke V čamca uodnou na reku = V čamca V reke =8 m. Oct. 011 5

6. Два чамца, на површини језера крену из истог места сталним брзинама v = 60 km h у правцима који међусобно заклапају угао од 90 0. a. Колика је релатива брзина кретања чамаца? b. Колико је њихово међусобно растојање након 30min? Резултате представити и векторски. v1 = 80 km h и а) Интезитет релативне брзине јесте хипотенуза троугла кога чине вектори брзине ова два чамца: v 1 = v 1 +v = km km 6400 +3600 h h = km 10000 h =100 km h б) Након 30 минута (0,5 h) они ће бити на растојању: S=v 1 t=100 km h 0,5h=50km 7. Брзина чамца у односу на воду је 5m/ а брзина речног тока је 3m/. Колика је брзина чамца у односу на обалу ако се он креће: a) низводно b) узводно c) нормално на обале 8. Између две тачке које се налазе на истој страни обале на међусобној удаљености од 140km, усмерен је чамац који иде низ реку и прелази то растојање за 5h, а када се креће уз реку прелази то исто растојање за 1h. Одредити брзину протицање реке и брзину чамца у односу на реку. Замислимокоорединатни систем такав да му је x-оса у правцу кретања реке. Означимо брзину реке са u, а брзину чамца са v, тако да имамо (према класичном закону сабирања брзина): v 1 =v+u где је v 1 - брзина чамца у замишњеном координатном систему када се креће низ реку. Ако се чамац креће уз реку; v = v+u где је v - брзина чамца у замишљеном координатном систему када се креће уз реку. Даље, из задатка знамо: 140 km v 1 = = 1,4 105 m 5h 1,8 10 4 =7,78 m 140 km, такође: v = 1h = 1,4 105 m 4,3, 10 4 =3,4 m Из прве две једначине (када из прве израцимо v=v 1 u и заменимо у другу једначину) добијамо: Брзина чамца се добија: u= v v 7,78 m 1 3,4 m = =,7 m =8,17 km h v=v 1 u=7,78 m,7 m =5,51 m =19,84 km h. Oct. 011 6

9. Посматрач који у тренутку поласка воза стоји испред првог вагона, приметио је да је први вагон прошао за 3. Колико времена ће се поред њега кретати н-ти (десети) вагон? Кретање воза је равномерно убрзано. Све би било лако и једноставно да се воз кретао равномерно не мењајући брзину. Тада би време за које прође неки вагон поред посматрача било једнако за све вагоне. Међутим, воз се креће равномерно убрзано што значи да ће за сваки следећи вагон време проласка бити краће. Када први вагон дужине l прође поред посматрача можемо рећи да је воз прешао пут l који можемо израчунати: l= 1 a t 1 На исти начин, када два вагона прођу поред посматрача, пређени пут рачунамо: Уопштени израз за n вагона: l= 1 a t n l= 1 a t n Ако поделимо путеве који су прешли n вагона и један вагон добићемо колико је вагона прошло за време t n. t n t 1 =n односно межо добити време за које поред посматрача прође n вагона. t n =t 1 n На сличан начин израчунамо за које време ће проћи (n-1) вагона: t n 1 =t 1 n 1 на крају добијамо да n-ти (у нашем случају десети) вагон прође поред посматрача за време: Δ t n =t n t n 1 =t 10 t 9 =3 10 3 10 1=3[3,16 3]=0,48 10. Три минута након поласка са станице воз је постигао брзину 56,km/h. Израчунај његово средње убрзање у km/h и у m/. 11. У тренутку када се одвојио од Земље авион је имао брзину 55km/h. Пре тога се убрзавао на бетонској писти преваливши 850m. Колико се дуго авион кретао по земљи пре полетања и које убрзање је достигао приликом полетања? Претпоставимо да је кретање авиона равномерно убрзано. v=55 km h =70,8 m t=?, a=? =850 m v =v 0 +a, kako je v 0 =0 v =a a= v m) =(70,8 850 m =,95 m Време за које је убрзавао наћи ћемо преко пређеног пута за то време:. Oct. 011 7

= 1 a t = t= 850 m a,95 m =4 значи: t=4 1. Колико је убрзање тела које се креће равномерно убрзано, а за време осме и девете секунде заједно превали пут од 40m? Oвај задатак је рађен у школи на часу. 13. Аутомобил за време кочења вози равномерно успорено и притом му се брзина умањује за m/. Десет секунди након почетка кочења ауто се зауставио. Колику је брзину имао ауто у часу кад је почео кочити? Колики је пут превалио за време кочења? 14. Папирна трака креће се у хоризонталној равни сталном брзином од 90cm/. На њу падају истовремено две чађаве кугле које се налазе на истој вертикали 0m, односно 30m изнад траке. Одредити удаљеност места где кугле падају на траку. 15. Воз се креће равномерно убрзано са убрзањем а=10km/h. Нацртај графикон преваљеног пута у зависности од времена за три сата. 16. Из задатог графикона брзине кретања неког тела, нацртај графикон убрзања. Из задатаог графикона одредити пут које је тело прешло за прва 3 сата и за првих 5 сати. 17. Дизалица се у прве две секунде подиже равномерно убрзано и постигне брзину m/ којом наставља кретање наредних 4. Последње две секунде дизалица се подиже равномерно успроено са убрзањем које је имала у прве две секунде, али супротног предзнака. Нацртај графикон брзине кретања дизалице, рачунски и графички нађи висину до које се дизалица подигла. 18. Аутомобил А започео је вожњу из мировања. У истом га тренутку претиче ауто Б који вози сталном врзином. На следећој слици приказан је графикон њихових брзина. Одгвори помоћу графикона на ова питања: а) Када ће оба аутомобила имати једнаке брзине? б) Колико ће у том тренутку ауто Б бити испред аута А в) Када ће ауто А достићи ауто Б и колико је то место далеко од почетка кретања аутомобила А? г) Колика је њихова међусобна удаљеност након минута вожње? а) У тачки у којој се графици секу, аутомобили имају исте брзине у истом временском тренутку. Значи у 30-ој секунди. б) Потребно је да израчунамо пређене путеве за време t=30 и одузмемо их: најпре усагласимо јединице: v B =30 km h =8,3 m v A =60 km h =16,6 m. Oct. 011 8

S B =v B t=8,3 m 30 =50 m S A = 1 m a t a= Δ v 8,3 Δ t = 30 =0,8 m => S A = 1 0,8 m =0,14 m (30) 900 =16m S B S A =50 m 16 m=14 m в) може да се уради на два начина 1. Графички метод побршине које графикони заклапају са позитивним делом x- осе су једнаки. Значи површина за ауто А је троугао са страницама 60 и 60, за ауто B је правоугаоник са страницама 60 и 30.. Аналитички метод рачунски: S A =S B => S A = 1 a t 1 ; S B =v B t => a t =v B t одавде добијао време за које ће аутомобили прећи исте путеве: t= v B a = 8,3 m 0,8 m =60, заменимо ово време у једну од једначине за пређене путеве (за било који ауто јер прелазе исти пут) S B =v B t=8,3 m 60 =500m НАПОМЕНА: Користећи аналитички метод, можете добити резултате који се незнатно разликују од ових. Разлог томе лежи у заокруживању бројева. Али напомиње, резултати могу само мало да одступају! г) Рачунамо пређене путеве за оба аутомобила за минута вожње и на крају их одузмемо јер се тражи међусобна удањеност. Овде треба водити рачуна ко аутомобила А. Он првих 60 секунди вози убрзано а онда наредних 60 секунди вози равномерно: t = 30 => S B =8,3 m 10 =996 m 1000 m S A = 1 0,8 m 3600 +16,6 m 60 =500 m+1000m=1500 m S A S B =500 m 19. Возач ауто који вози брзином 60km/h, почиње кочити равномерно успоравајући вожњу и зауставља се за 6 секунди. Други возач, који вози брзином 40km/h, слабије натиска кочницу и зауставља се за 10 секунди. а) Прикажи графички у истом координатном систему везу између брзине и времена за оба аута. б) Одредити помоћу графикона које ће ауто прећи већи пут за време успоравања. в) Додај графикону правац који показује како други аутомобил успорава вожњу равномерим убрзањем као и први. Колико ће дуго трајати то успоравање? 0. Воз вози 30 минута брзином 60km/h, након тога 15 минута брзином 40km/h, па 45 минута 80km/h и 30 минута 0km/h. Колика је средња брзина у прва два временска размака, а колика за сва четири? 1. У таблици наведени су подаци за тренутну брзину у интервалима од једног сата. Прикажи графички брзину у зависности од времена и одговори помоћу графикона на ова питања: а) Колико брзо вози ауто у 3,5h а колико у 5,h?. Oct. 011 9

б) Колики је пут превалио између 3h и 5h? в) Колико је било убрзање у првом сату а колико у трећем?. Колико окрета у секунди изврши челични точак локомотиве пречника 1,5m при брзини 7km/h? 3. Минутна казаљка на неком сату 3 пута је дужа од секундне. Колики је однос између брзина њихових врхова? 4. Бацач окреће кладиво на ужету дугачком m. Колико је центрипетално убрзање кладива ако се бацач окрене једанпут у /3? 5. Изрази: а) 30 обртаја у радијанима, б) 84π радијана у обртаје, в) 50 обртаја/ у rad/, г) 100 об/ у rad/, д) rad/ у 0 / (степени у секунди). 6. Куглица која виси на ужету дужине 50cm описала је лук од 0cm. Нађи припадајући угао α изражен у радијанима и степенима. r=50 cm=0,5 m l=r α α= l r = 0,m 0,5m =0,4[rad ], у степенима l=0 cm=0, m α=? α= 0,4 1800 π =,91 0 7. Точак бицикла има полупречник 36cm. Којом се брзином креће бициклиста ако точак направи 10 обртаја у минути? 8. Точак замајац равномерно повећава брзину обртања, па након 10 секунди има 70 обртаја у минути. Израчунај угаоно убрзање и линеарно (периферијално) убрзање тачке која је 1 метар удањена од центра замајца. 9. Око непомичне котуре полупречника 0cm намотано је уже на које виси тег. Тег најпре мирује, а онда почиње падати са убрзањем од cm/ при чему се уже одмотава. Нађи угаону брзину котурова у часу кад је тег прешао пут од 100cm. r=0 cm=0,m ;a= cm =0,0 m ; =100cm=1m ω=? ω= v ; собзиром да се тег креће убрзано на доле, из пређеног пута r израчунаћемо време помоћу кога ћемо израчунати линијску брзину: = 1 a t => t= a = m 0,0 m =10 => v=a t=0,0 m 10 =0, m ω= v 0, m r = [rad ] =1 0,m. Oct. 011 10

30. Точак се врти сталним убрзањем од 8rad/. Колико обртаја учини у 5 секунди? 31. Точак замајац окреће се брзином 98об/min. Два минута пошто је искључен уређај који га је покретао, точак се зауставио. Израчунај којим се угаоним убрзањем заустављао точак и колико је окрета учинио за време заустављања. Претпоставимо да је заустављање било равномерно успорено. ν=98 obr min = 98 60 obrt =1,63 Hz t= min=10 α=?, n=? ω=π ν=π 1,63 Hz=10,6 [rad ] [rad ] α= ω t =10,6 [rad] =0,085 10. Oct. 011 11