ΕΑΠ - ΦΥΕ 34. Ακαδηµαϊκό Έτος η Εργασία (Προθεσµία: 25/11/2003) Ασκήσεις

ΕΑΠ - ΦΥΕ 34. Ακαδηµαϊκό Έτος 003-004 1 η Εργασία (Προεσµία: 5/11/003) Ασκήσεις Σηµείωση: Οι πέντε πρώτες ασκήσεις καώς και οι δύο πρώτες ερωτήσεις απαιτούν γνώσεις µόνο από τα 3 πρώτα κεφάλαια. Οι πόλοιπες ασκήσεις και ερωτήσεις απαιτούν γνώση και 4 ο κεφαλαίο το βιβλίο της Σχετικότητας 1. Α) Οι σντεταγµένες δύο γεγονότων στο σύστηµα αναφοράς Σ είναι οι εξής: Γεγονός 1: t 1 = x 0 /c, x 1 = x 0, y 1 = 0, z 1 = 0. Γεγονός : t = x 0 /c, x = x 0, y = 0, z = 0. είξτε ότι πάρχει σύστηµα αναφοράς Σ, στο οποίο τα δύο ατά γεγονότα σµβαίνον τατόχρονα. Ποια είναι η ταχύτητά το ως προς το Σ και ποιά η κοινή χρονική στιγµή t ; Β) ύο τρένα Σ, Σ', κινούµενα αντίετα µε σχετική ταχύτητα 1000 m/s σναντώνται στο (x,t)=(x',t')=(0,0). Εκεί είναι οι έσεις των οδηγών Ο, Ο. Εάν έχον ένα (1) επιβάτη ανά µέτρο (m) και, µετά από χρόνο t = 1.5 s, o 1000ος επιβάτης το Σ ανάψει τσιγάρο, ποιός επιβάτης το Σ' α τον δει µπροστά το, και µετά από πόσο χρόνο t' ; Αν το άναβε µετά από t=1 s;. Ένας αστροναύτης παίρνει µαζί το από τη Γη καλλιέργεια Ν ο βακτηριδίων, πο διπλασιάζονται κάε Τ ο = 0 min. Ταξιδεύει µε ταχύτητα = 0.8 c και επιστρέφει µετά από 10 ώρες Γης. Αν Ν ο =, πόσα βακτηρίδια έχον αναπτχεί στο διαστηµόπλοιο, και πόσα, αντίστοιχα, α είχαν αναπτχεί στη Γη, αν η καλλιέργεια είχε παραµείνει στη Γη; 3. Αν ένας σφαιρικός γαλαξίας έχει διάµετρο 10 5 έτη φωτός ως προς ένα ακίνητο παρατηρητή στο κέντρο το Κ, α) τί διαστάσεις α το απέδιδε αστροναύτης κινούµενος µε ταχύτητα = 0.999999 c ως προς το Κ κατά µήκος µιας διαµέτρο το και σε πόσον ίδιο-χρόνο α διάνε µια διάµετρό το; β) Ως προς το Κ, πόσος χρόνος χρειάζεται για να διανεί ο γαλαξίας από ατόν τον αστροναύτη; Πόσα µέτρα ένα φωτεινό σήµα α προηγείται το αστροναύτη ως προς το Κ στο τέλος το ταξιδιού το, αν το σήµα εκπεµπόταν τη στιγµή πο ο αστροναύτης περνούσε από το Κ µε την παραπάνω ταχύτητα; Πόσα µέτρα ως προς το διαστηµόπλοιο; (Αγνοήστε τχόν κινήσεις το γαλαξία). 4. Μια ράβδος µήκος ηρεµίας L 0 κινείται µε ταχύτητα µέτρο v κατά µήκος το άξονα Οx το σστήµατος Σ, σχηµατίζοντας γωνία µε ατόν. Στο σύστηµα αναφοράς Σ, στο οποίο η ράβδος ηρεµεί, σχηµατίζει γωνία 0 µε τον άξονα x. είξτε ότι το µήκος της ράβδο όπως µετριέται από ένα ακίνητο παρατηρητή στο Σ είναι L = L0 1 cos 0. είξτε ότι για τον c ακίνητο παρατηρητή στο Σ, η ράβδος σστέλλεται και ότι 0 (η ράβδος φαίνεται περιστρεµµένη). Υπόδειξη Θεωρήστε ότι το κάτω σηµείο της ράβδο σµπίπτει µε τη αρχή το τονούµενο σστήµατος σντεταγµένων και πολογίστε την γωνία (ή την εφαπτοµένη της γωνίας) στο ακίνητο σύστηµα αναφοράς. 5. Ένα τρένο κινείται ως προς τη Γη µε ταχύτητα 1Γ. Ένας επιβάτης, πο κινείται ως προς το τρένο µε ταχύτητα 1, εκτοξεύει αβαρές βέλος οριζοντίως µε ταχύτητα 3 ως προς το τόξο το (ως προς τον εατό το). Το βέλος βρίσκει στόχο στη Γη µε ταχύτητα 3Γ ως προς τη Γη. Α) Πόση είναι η ταχύτητα 3Γ ; Εφαρµογή: 1Γ = 600 km/8h, 1 = 100 m/10s, 3 =300 km/h, όλες οι ταχύτητες είναι οµόρροπες. Β) Πόση α ήταν η 3Γ αν το «βέλος» ήταν φωτόνιο, δηλ. αν 3 = c; 6. Θεωρήστε ότι σ έναν εύγραµµο οριζόντιο αγωγό πολύ µεγάλο µήκος σε ένα σύστηµα Σ, το ηλεκτρικό ρεύµα οφείλεται στην κίνηση µιας γραµµικής διάταξης ελεύερων ετικών φορτίων e πο ισαπέχον και κινούνται προς τα δεξιά µε µέτρο ταχύτητας v και ελεύερων αρνητικών φορτίων e πο ισαπέχον και κινούνται προς τα αριστερά µε αντίετη ταχύτητα v. Ο αριµός των ετικών ή αρνητικών φορτίων ανά µονάδα µήκος είναι ίδιος. α) είξτε ότι, ως προς το Σ, το ρεύµα Ι δίνεται από τη σχέση Ι = e γ / l 0, όπο l 0 είναι η απόσταση ηρεµίας µεταξύ διαδοχικών ετικών φορτίων ή µεταξύ διαδοχικών αρνητικών φορτίων. β) Βρείτε το ρεύµα Ι, ως προς τη Γή, όπο τα ετικά φορτία είναι ακίνητα, και δείξτε ότι ατό το ρεύµα είναι Ι = γι, δηλαδή µεγαλύτερο από το ρεύµα πο µετρείται στο σύστηµα Σ. 7. Ένα φωτόνιο ακτίνων Χ σχνότητας ν εισέρχεται από τα αριστερά στο σχήµα κατά µήκος το άξονα των x και προσπίπτει σε ένα ακίνητο y ελεύερο ηλεκτρόνιο, πο βρίσκεται στην αρχή των αξόνων, οπότε το µεταβιβάζει µέρος της ενέργειας και της ορµής το. Το φωτόνιο σκεδάζεται κατά µια γωνία, ενώ το ηλεκτρόνιο αποκτά κινητική ενέργεια Κ και ορµή p. Το διάνσµα p σχηµατίζει γωνία φ µε τον άξονα των x. Το σκεδαζόµενο φωτόνιο, λόγω της κινητικής ενέργειας πο µεταβίβασε στο ηλεκτρόνιο χάνει µέρος της ενέργειάς το και έτσι η νέα το ενέργεια hν (όπο h η σταερά το Planck) είναι µικρότερη από την αρχική. Χρησιµοποιώντας τις αρχές διατήρησης της ενέργειας και της ορµής κατά µήκος των hv hv φ e x

αξόνων x και y, βρείτε την γωνία φ και την κινητική ενέργεια το ηλεκτρονίο. Υποδ. Μπορείτε να πολλαπλασιάσετε την τατότητα γ γ /c = 1 επί m c 4. 8. Αντιπρωτόνιο p - µάζας ηρεµίας Μ 0 = 938 ΜeV/c διεισδύει σε κοµµάτι ύλης, επιβραδύνεται και, όταν ηρεµήσει, αλληλεπιδρά µε παρερισκόµενο πρωτόνιο p + πο ηρεµεί (ίσης µάζας ηρεµίας Μ 0 ). Με την αλληλεπίδραση τα δύο ηρεµούντα σωµάτια εξαϋλώνονται, και παράγονται δύο οδέτερα πιόνια π 0 µάζας ηρεµίας m 0 = 135 MeV/c το καένα. Να βρεεί το µέτρο της ορµής καενός πιονίο σε MeV/c και η ταχύτητά το σε ποσοστό το c. Ερωτήσεις 1. Ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς Σ' (O,t',x',y',z'), κινείται µε ταχύτητα V=Vi, V>0, ως προς άλλο, Σ (O,t,x,y,z). Τη στιγµή t = t' = 0, οι αρχές Ο, Ο' τατίζονται. Ύστερα, για t >0, t' >0 και για τχόν σηµείο Μ' της εείας Ο x', πο αντιστοιχεί στο σηµειο Μ το Οx, (π.χ. τη έση µιας µύγας) µε σντεταγµένες x' και x, αντίστοιχα, α έχοµε: Ως προς Σ: ΟΜ = ΟΟ' + Ο'Μ. Ως προς Σ': Ο'Μ' = ΟΜ' - ΟΟ'. Α) Εξηγήστε γιατί Ως προς Σ: ΟΜ ΟΟ' + Ο'Μ'. Ως προς Σ': Ο'Μ' ΟΜ - ΟΟ'; Β) Εαν ΑΒ (Σ) σηµαίνει «το µήκος ΑΒ ως προς το Σ, δηλαδή στο σγχρονισµό το Σ», (π.χ. το µήκος µιας ράβδο στο Σ, όταν τα άκρα της είναι τα Α και Β και προσδιορίζονται την ίδια χρονική στιγµή) εξηγήστε γιατί ΟΟ' (Σ) = V t, ενώ OO' (Σ') = V' t' = -V t', O'M (Σ) = (1-V /c ) 1/ O'M' (Σ') και OM' (Σ') = (1-V /c ) 1/ OM (Σ). Υπάρχει παράδοξο στον εξής σλλογισµό; «Ένα διαµπερές δωµάτιο και ένα δόρ έχον µήκη ηρεµίας L o = 4 m και l o = 5 m, αντίστοιχα. Το δόρ κινείται µε σχετικιστική ταχύτητα ούτως ώστε το µήκος το ως προς το δωµάτιο να γίνεται l() = l o /γ = 4 m. Ως προς τον σγχρονισµό της Γής, το κινούµενο δόρ χωράει ολόκληρο µέσα στο δωµάτιο. Ως προς τον σγχρονισµό το δόρατος το (κινούµενο) δωµάτιο έχει µήκος µικρότερο από 4 m και άρα οδέποτε µπορεί να περιέχει ολόκληρο το δόρ.» (Υπόδειξη: Θεωρήστε ότι οι πόρτες ήσαν κλειστές και καεµία ανοίγει την κατάλληλη στιγµή για να περάσει το δόρ, και µόλις εκτελέσει τον προορισµό της, ξανακλείνει. Θεωρήστε την χρονική αλληλοχία όλων ατών των γεγονότων στα δύο σστήµατα αναφοράς) 3. Ως γνωστόν, παράλληλα ρεύµατα έλκονται. ηλαδή ηλεκτρόνιο κινούµενο µε ταχύτητα v παράλλήλα προς τα κινούµενα ηλεκτρόνια ενός ρεµατοφόρο σύρµατος, έλκεται προς το σύρµα µε δύναµη F = qv x B λόγω το µαγνητικού πεδίο Β πο αναπτύσσεται γύρω από το σύρµα. Όµως, στο δικό το σύστηµα αναφοράς (ως προς τον εατό το) έχει ταχύτητα v = 0. Άρα δεν επηρεάζεται από κανένα µαγνητικό πεδίο. Τότε τίεται το ερώτηµα πώς έλκεται;. Η εωρία Σχετικότητας ερµηνεύει ατή την έλξη µε την σστολή το µήκος. Για την ερµηνεία ατή απαντήστε περιγραφικά, χωρίς πολογισµούς στην εξής άσκηση. Έστω σύρµα σταερής πκνότητας αποτελούµενο από άτοµα πο σνεισφέρον ένα (1) ελεύερο ηλεκτρόνιο (αγωγιµότητας). Όταν το σύρµα διαρρέεται από ρεύµα, τα ηλεκτρόνια κινούνται µε µέση ταχύτητα v d. Ένα άλλο ηλεκτρόνιο, απ έξω, έστω ότι την στιγµή της παρατηρήσεως κινείται παράλλήλα προς το σύρµα µε την ίδια ταχύτητα v = v d. Α) Πώς το ελεύερο ηλεκτρόνιο, εωρώντας τον εατό το ακίνητο, α βλέπει τα ηλεκτρόνια το σύρµατος και πώς α βλέπει να κινούνται τα ετικά ιόντα; Β) Αν σε ένα µήκος x, απέναντί το, το εξωτερικό ηλεκτρόνιο βλέπει να πάρχον Ν ηλεκτρόνια στο σύρµα, σε πόσο µήκος α βλέπει να πάρχον Ν ετικά ιόντα; Γ) Στο ίδιο µήκος x α βλέπει να πάρχον περισσότερα ετικά ιόντα από ηλεκτρόνια ή λιγότερα; ) Βάσει των ανωτέρω εξηγήστε γιατί το (ακίνητο ως προς τον εατό το) ηλεκτρόνιο φίσταται ολική ελκτική δύναµη µε φορά προς το σύρµα. Ε) Πώς ερµηνεύεται ατή η ελκτική δύναµη από το αδρανειακό σύστηµα το εργαστηρίο (όπο τα ετικά ιόντα είναι ακίνητα και τα ηλεκτρόνια κινούνται); 4. Ως αποτέλεσµα των µετασχηµατισµών 5.11-5.13 το ηλεκτρικού και µαγνητικού πεδίο, είναι εύκολο να επαληεεί µε απλή αντικατάσταση, ότι οι ποσότητες Ε. Β και Ε c Β είναι αναλλοίωτες κατά Lorentz. Χρησιµοποιώντας την πληροφορία ατή, απαντήστε στην εξής ερώτηση: (Απαιτούνται γενικές σκέψεις περί αναλλοιώτο και όχι ειδικές γνώσεις το 5 ο κεφαλαίο). Έστω ότι σε ένα σύστηµα αναφοράς Σ ένας ακίνητος παρατηρητής βλέπει µόνο ηλεκτρικό πεδίο Ε (π.χ. γύρω από ένα ακίνητο φορτίο q), δηλαδή Β = 0. Υπάρχει κινούµενο σύστηµα αναφοράς Σ στο οποίο ένας (ακίνητος ως προς ατό) παρατηρητής α έβλεπε µόνο µαγνητικό πεδίο Β (δηλαδή Ε = 0); (Κάε άσκηση αντιστοιχεί σε µια βαµολογική µονάδα, ενώ κάε ερώτηση σε µισή)

Λύσεις των ασκήσεων 1Α) Εργάζοµαι µε τ=ct και β=/c. Έστω οτι η ταχύτητα το Σ είναι, γ=γ() τ 1 '=γ(τ 1 -βx 1 ) = τ '=γ(τ -βx ) ==> β=(τ 1 -τ )/(x 1 -x ), οπότε τ 1 '= τ '=γ(τ 1 -βx 1 ) =(τ x 1 -τ 1 x ) /(x 1 -x ). Εφαρµογή για τ 1 = x 0, x 1 =x 0, τ = x 0 /, x =x 0, δίνει τ 1 '= τ '= 1.5 x 0 µε β=-0.5 (ήτοι = -0.5c, t = B) =10 3 m/s, c=3 10 8 m/s, β=/c= 3.33 10-6, γ=(1-β ) -1/ = 1.0000000000055 ==> γ=1 /c = β/c = 1.11e-14 s/m Κατά σύµβασιν τα τονούµενα σστήµατα κινούνται προς τα δεξιά: {x = γ(x-t), t = γ(t-βx/c)} ==> {x = (x-10 3 t), t = (t-1.11e- 14 x)} στο σύστηµα S.I. Αν x=1000m, t=1.5s ==> x = 1000(1-1.5) ==> x =-500 (o 500 ος επιβάτης πίσω από τον Ο ), t = t(1-10 -11 ) = 1.5 * 0.99999999999 s = 1.499999999985 s ==> t =1.5 s. Αν x=1000m, t=1.0s ==> x = 1000(1-1.0) ==> x =0 (ο οδηγός Ο ), t =t(1-10 -11 ) ==> t = 1.0 s Η είναι πολύ µικρή για να φανούν σχετικιστικά φαινόµενα. 3 x 0 /c). ) Ο ιδιόχρονος το αστροναύτη είναι τ = t/γ όπo t = 10 h, ο αντίστοιχος χρόνος της Γής. 1/γ =1- /c = 1-64/100 = 36/100 => 1/γ = 0.6 τ = 0.6 * 10 h = 6 h = 6 * 60 min = 6 * 60 * T o / 0 = 18 T o. Μετά απο 1 T o, Ν 1 = Ν ο Μετά απο T o, Ν = Ν 1 = Ν ο Μετά απο 3 T o, Ν 3 = Ν = 3 Ν ο. ηλαδή Ν(t) = Ν ο (t/t o ) Αρα για Ν ο = βακτηρίδια, µετά απο τ = 6h = 18 T o, N( τ) = 18 Ν ο = 19 = 5488 βακτηρίδια (500.000 βακτηρίδια) και µετά απο t = 10h = 30 T o, N( t) = 30 Ν ο = 31 =.147.483.647 βακτηρίδια = 4.096 N( τ). Αν 500.000 βακτηρίδια χωρούν σε ένα δοκιµαστικό σωλήνα, τότε στη Γή α γέµιζαν 4000 δοκιµαστικούς σωλήνες. 3) Α) L = L0 1 β = 10 5. 1.414.10-3 = 141.4 έτη φωτός. Τότε t = L / = 141.4 έτη. Β) t = L/ = 10 5 έτη. Γ) Στο τέλος το χρόνο t (ως προς το Κ) και το χρόνο t (ως προς το Κ ) το φώς α προηγείται αντίστοιχα κατά απόσταση χ = ct t = (1 β ) ct = 0.1 έτος φωτός (ως προς το Κ), και χ = ct = 141.4 έτη φωτός (ως προς το Κ ). 4) L y =L y L L = L o ο L x L x A Τρόπος: Η προβολή της ράβδο στον άξονα x σστέλλεται, στον άξονα y όχι. L x = L x /γ, L y =L y, tan ο =L y /L x, tan=l y /L x = L y /(L x /γ) = γ tan ο > tan ο (φαίνεται εστραµµένη πιο όρια). L = L x + L y = L x /γ + L y = L (cos ο / γ + sin ο ) = L (cos ο (1- /c ) + sin ο ) ==> L=L o (1- /c cos ο ) 1/. B Τρόπος (µε κατεείαν πολογισµό το σγχρονισµού) Έστω ότι στο κινούµενο σύστηµα Σ για t 1 =0, το κάτω άκρον είναι στο x 1 =0, y 1 =0, και σγχρόνως για t =0 το άνω άκρον είναι στο x = L x, y = L y. Από τος µετασχηµατισµούς Lorentz, εκείνη τη στιγµή, (δηλ. t 1 = t =0 ) στο Σ το κάτω άκρον δείχνει t 1 =0 x 1 =0, y 1 =0, και το άνω άκρον δείχνει t = γ(t x /c ) = γ(0 L x /c ) = γ L x /c >0, x = γ(x t ) = γ(l x +0) = γl x, και y =y = L y. Αλλά, στο σγχρονισµό το Σ, µας ενδιαφέρει πού ήταν το άνω άκρον την στιγµή t 1 =0 (ή πού α έχει πάει το κάτω άκρον την στιγµή t = γ L x /c ) : Ήταν (t t 1 ) πιο πίσω, (ή το κάτω άκρον α έχει προχωρήσει κατά (t t 1 ) = t. Αρα το «σύγχρονο» µήκος L x = x - t = γl x γ L x /c = L x γ (1- /c ) => L x =L x /γ, L y =L y, κλπ όπως στον Α τρόπο.

31 1 Γ 5) 3Γ = = 1 31 1Γ 3 1 1Γ 1 3 1 3 1 1 + 1Γ 1 3 1 3 1 1Γ 3 1 1Γ = 1 3 1 31 Γ 1 1Γ 1Γ =600km/8h = 75km/h, 1 =10m/s = 10 10-3 km/(1/3.600)h = 36 km/h, 3 = 300 km/h. Αρα 3Γ = 411 km/h. Aν όµως ο επιβάτης δεν έριχνε βέλος, αλλά µια δέσµη LASER, 3 =c, τότε στον τύπο το 3Γ αφού το c βγεί κοινός παράγων, o αριµητής µε τον παρονοµαστή απαλείφονται, και 3Γ =c. Επίσης και αν 3 =c, 1 =c, πάλι 3Γ =c. 6) Α) Ως προς Σ: (Ο σµβολισµός f[] ποδηλώνει «f σνάρτηση το». Επίσης, χρησιµοποιούµε για απλούστεση της γραφής, c = 1, δηλαδή αντί για /c γράφοµε απλώς ) (+) = (-) = - l (+) [] = l (-) [-] = l o (1- ) 1/ = l o / γ. ι (+) = dq (+) /dt = dq (+) /dx dx/dt = +e / l (+) [] = e γ/ l o ι (-) = dq (-) /dt = dq (-) /dx dx/dt = -e / l (-) [] (-) = e γ/ l o Ι= ι (+) + ι (-) = e γ/ l o Β) Ως προς Σ (τη Γή): ' (+) = 0 l' (+) = l o ' (-) = -/(1+ ) (επαλληλία της ταχύτητας το Σ ως προς Γη και το ως προς Σ) l' (-) = l o / γ[' (-) ] = l o (1- ' (-) ) 1/. Αλλά 1- ' (-) = 1-4 /(1+ ) = (1- ) /(1+ ) Οπότε l' (-) = l o (1- )/(1+ ) Αρα Ι = ι (-) = dq (-) /dt = dq (-) /dx dx /dt = -e / l (-) [ ] (- ) = = e /[ l o (1- )/(1+ )] [/(1+ )] = e γ / l o ==> Ι = Ι γ. 7) Έστω p µ 1, p µ, p µ e, αντιστοίχως, τα τετρανύσµατα των ορµών το εισερχοµένο φωτονίο, το εξερχοµένο φωτονίο και το εξερχοµένο ηλεκτρονίο, στο αδρανειακό σύστηµα το (ακινήτο) ηλεκτρονίο µε p µ ο. Έστω (χ,ψ) το επίπεδο πο ορίζον τα διανύσµατα των τριών ορµών p 1, p, p e. Στο σύστηµα µoνάδων h = c = 1, αν η ταχύτητα το εξερχοµένο ηλεκτρονίο, οπότε γ γ = 1 (ΒΣ), έχοµε: Όλες οι z-σνιστώσες = 0. Επίσης: p τ 1 = Ε 1 = hν 1 = hc/λ 1 = 1/λ 1, p τ e = m = γm o, και p τ ο = m o p χ 1 = Ε 1 /c = Ε 1 = 1/λ 1, p χ = Ε cos = ( 1/λ )cos, p χ e = m χ = m o γ cosφ, και p x ο = 0 p ψ 1 =0, p ψ = Ε sin, p ψ e = m ψ = m o γ sinφ, και p ψ ο = 0 Αν ε = Ε / m o, Ε 1 + m o = Ε + m o γ ==> γ = ε 1 ε + 1 p µ 1 + p µ ο = p µ + p µ e ==> Ε 1 + 0 = Ε cos + m o γ cosφ ==> γ cosφ = ε 1 ε cos 0 + 0 = Ε sin + m o γ sinφ ==> γ sinφ = ε sin Τετραγωνίζω και αντικαιστώ στη ΒΣ, απαλείφονται τα ε 1 + ε + 1, διαιρώ δια και έχω: ε 1 ε = (1 cos) ε 1 ε ==> ε = 1 (1 cos + 1/ ε1) cotφ = (1+ε 1 )tan(/), και Κ/ m 0 = (γ-1) = ε 1 + 1/( ε (1 cos ))) 1 ( 1 8) p µ 1 + p µ = p µ 3 + p µ 4 ιατήρηση της ορµής: 0 + 0 = p 3 p 4 3 = 4 γ 3 = γ 4 = γ. ιατήρηση της ενέργειας: M 0 + M 0 = γm 0 + γm 0 (αν εωρήσοµε τον x αξονα κατά την διεύνση της κινήσεως.) Αρα γ = M 0 /m 0 = 135/938 = 6.948 ==> = c ( γ 1) γ = 0.9896 c. Είναι: c p 3 = E 3 (m 0 c ) ==> p 3 = m 0 c (γ 1 ) = ( Μ 0 m 0 )c ==> p 3 = 938 135 MeV/c = 98.3MeV/c.

Απαντήσεις στις ερωτήσεις 1) Α) Ο Μ είναι η απόσταση της µύγας από το Ο στο σγχρονισµό το Σ, ενώ το Ο Μ µετράται στο σγχρονισµό το Σ και οι δύο σγχρονισµοί δεν σµπίπτον. Οµοίως το ΟΜ (Σ) στο σγχρονισµό το Σ δεν σµπίπτει µε το ΟΜ (Σ ) στο σγχρονισµό το Σ. Β) Το Ο ως προς το Σ κινείται µε ταχύτητα, άρα ΟΟ (Σ) = t. Το Ο ως προς το Σ κινείται µε ταχύτητα =, άρα ΟΟ (Σ ) = t. Κάε µήκος ηρεµίας, µετρούµενο από κινούµενο αδρανειακό σύστηµα αναφοράς, βρίσκεται, στο σγχρονισµό ατού το σστήµατος, οτι είναι µικρότερο L=L 0 (1-v /c ) 1/. ) εν πάρχει παράδοξο διότι η αλληλοχία των γεγονότων γίνεται σε διαφορετικούς χρόνος στα δύο αδρανειακά σστήµατα αναφοράς. Στα παρακάτω χρησιµοποιούνται το χ αντί το x για τη σντεταγµένη έσης και το τ = ct. Επίσης το, αντί το β = /c. Ως προς τη Γή (Σ) το δόρ ΑΒ (Σ) = 4m και τό δωµάτιο Γ (Σ) = 4m. Ως προς το δόρ (Σ ) το δόρ ΑΒ (Σ ) = 5m = γ (4m) ==> γ = 5/4 - ==> = 3/5 (και Γ (Σ ) = (4m).4/5 = 16/5 m = 3. m) A B Γ Αρα χ = (5χ 3τ)/4, τ = (5τ 3χ)/4 (ML) και χ = (5χ + 3 τ )/4, τ = (5τ + 3χ )/4. Καώς πλησιάζον (κατά µήκος το άξονα χ) έχοµε τα εξής σµβάντα: α) Το Β τατίζεται µε το Γ (πο σµβολίζω µε Β Γ για το Σ, και Β Γ για το Σ ) β) Β ή Β, γ) Α Γ ή Α Γ, δ) Α ή Α Εστω Γ η αρχή των αξόνων το Σ (χ Γ := 0), και Β το Σ (χ Β := 0) και έστω οτι το πείραµα (η χρονοµέτρηση) αρχίζει οταν το Β τατίζεται µε το Γ (τ Β Γ = 0) και (τ Β Γ = 0) Τότε ως προς Σ έχω: α) Β Γ : {χ Β Γ = 0, τ Β Γ = 0} β) Β : {χ Β = 4, τ Β = Γ / = 4/(3/5) = 0/3 = 6.66} γ) Α Γ : {χ Α Γ = 0, τ Α Γ = ΑΒ/ = 4/(3/5) = 0/3 = 6.66} δηλαδή τατόχρονα µε το Β δ) Α : {χ Α = 4, τ Α Γ = Α / = 8/(3/5) = 40/3 = 13.3}. [ ηλαδή όταν τ=0 ανοίγει η πύλη Γ, όταν τ=6.66 ανοίγει η και σγχρόνως κλείνει η Γ, και όταν τ=13.3 κλείνει η.] Οπότε, από (ML), ως προς Σ έχω: α) Β Γ : {χ Β Γ = 0, τ Β Γ = 0) β) Β : {χ Β = (5 (4) 3 (0/3))/4 = 0, τ Β = (5 (0/3) 3 (4))/4 = 16/3 = 5.33} γ) Α Γ : {χ Α Γ = (5 (0) 3 (0/3))/4 = -5, τ Α Γ = (5 (0/3) 3 (0))/4 = 5/3 = 8.33} δ) Α : {χ Α = (5 (4) 3 (40/3))/4 = -5, τ Α = (5 (40/3) 3 (4))/4 = 41/3 = 13.66} [ ηλαδή όταν τ =0 ανοίγει η πύλη Γ, όταν τ =5.33 ανοίγει η ενώ η Γ είναι ανοικτή, όταν τ =8.33 κλείνει η Γ, και όταν τ =13.66 κλείνει η.] Αξίζει να σχεδιάσει κανείς τα σµβάντα σε ένα χωροχρονικό διάγραµµα (τ,χ), (τ,χ ). 3) Α) Θα βλέπει τα ηλεκτρόνια ακίνητα µπροστά το, ενώ τα πρωτόνια να κινούνται µε αντίετη ταχύτητα. Β) Τα Ν (αντιέτως κινούµενα) ετικά ιόντα α καταλαµβάνον µήκος µικρότερο: x ' = x 1 β. Γ) Άρα στο ίδιo µήκος x α βλέπει Ν ηλεκτρόνια και περισσότερα Ν (> Ν) ετικά ιόντα. ) Θα φίσταται την άπωση των Ν ηλεκτρονίων και την (µεγαλύτερη) έλξη των Ν ετικών ιόντων. ηλαδή η σνισταµένη α είναι έλξη. Ε) Ως προς το εργαστήριο, το ηλεκτρόνιο, κινούµενο µέσα στο µαγνητικό πεδίο πο πάρχει γύρω από το σύρµα, φίσταται έλξη προς το σύρµα κατά Lorentz: F=eΒ. 4) Επειδή Ε c Β = Ε c Β, α έπρεπε 0 c Β = Ε 0, όπερ αδύνατον.