מעגל- הנדסת המישור קובץ תרגילים עם מעגל לתלמידי 4 ו- 5 יח"ל עפ"י הנחיות הפיקוח על המתמטיקה צריך ללמד בכיתה י' על דמיון משולשים ובכיתה י"א צריך ללמד על המעגל. בהתאם להנחיות אלה נכתב הספר מתמטיקה (4 ו- 5 יחידות לימוד) חלק א' שאלונים 035804 ו- 035806 (כתום אדום). בספרי ההמשך של ספר זה יופיע המעגל בצורה מפורטת. בתי ספר שרוצים בכל זאת ללמד על המעגל לפני דמיון משולשים יכולים להיעזר בקובץ תרגילים זה. התרגילים הם מתוך הספר מתמטיקה (4 ו- 5 יחידות לימוד) חלק ה' שאלון 035005 (כחול ירוק)..0,19,18,7,30,11-6 פירוט התרגילים: 14-148 כל התרגילים הם עם מעגל. בע"מ 149-153 התרגילים שכוללים מעגל הם התרגילים הבאים: בע"מ בע"מ 154-160 התרגילים שכוללים מעגל הם התרגילים הבאים:.33,3 בע"מ 161-163 כל התרגילים הם עם מעגל. הערה: כל התרגילים שמופיעים בקובץ זה יופיעו בספרי ההמשך לשאלונים 804 ו- 806. התרגילים מופיעים בהמשך לעמוד זה.
פר רביעי הנדסת המישור מעגל הגדרת המעגל, מיתרי ו שתות Ï ÚÓ ÌÚ ÌÈÏÈ ÏÏÂÎ Ô ÛÈÚÒ ÆÏ ÚÓ ÏÚ ÌÈÏÈ ÏÏÂÎ Ê Ù Â Ó Â ÌÈ Ò ÆÏ ÚÓ ÊÎ ÓÓ ÌÈ ÈÓ Ï ÌÈ Á Ó Â Â ÌÈ ÈÓ ÏÚ ÌÈÏÈ ÔΠƱπ ßÓÚ ß ÏÁ Ò apple ÙÒ ÌÈÚÈÙÂÓ ÌÈÙÒÂapple ÌÈÏÈ Â Â Â ÌÈ ÈÓ Ï ÚÓ ÌÈÈ ÈÚ ÌÈ ÂÓ ÌÂÎÈÒ Æ Ú  appleó Ú Á Ó Â ˆÓapple   apple ÏÎ Ï È ËÓÂ È ÌÂ Ó Ï ÚÓ ÏÎ Ì apple ÍΠÒÂÈ apple Ú Á Ó ÆÏ ÚÓ ÊÎ Ó apple Ú  apple Ï ÚÓ ÏÚ Â Â apple È ÁÓ ÚË ÆÏ ÚÓ ÏÚ Â apple ÌÚ ÊÎ Ó ÁÓ ÚË Â Â apple È ÔÈ Ï ÚÓ Ó ÏÁ Æ Ë apple ÊÎ Ó Í ÂÚ ÈÓ Æ ÈÓ apple Æ apple ÆÏ ÚÓ ÊÎ Ó Ï Â Â ÈÂÊ ÈÊÎ Ó ÈÂÊ ÆÍÙÈ Ï Â ÂÈÊÎ Ó ÂÈÂÊ ÂappleÚ apple ÌÈ ÌÈ ÈÓ ÏÚ ËÙ Ó ÆÍÙÈ Ï Â  ÏÚ ÂappleÚ apple  ÂÈÊÎ Ó ÂÈÂÊ ËÙ Ó ÆÍÙÈ Ï Â  ÂÓÈ Ó ÌÈ ÌÈ ÈÓÏ ËÙ Ó Ï ÈÓ ÌÈ Ó Ï ÓÈ Ó Ï ÈÊÎ Ó ÈÂÊÏ ËÙ Ó ÆÍÙÈ Ï ÈÓ ÌÚ Ï ÚÓ ÊÎ Ó ÁÓ ÚË Ï ÂÎ Â ÊÎ Ó Ó ÈÓ Á Ó ÆÂÏ Íapple Ó ÈÂÊ ˆÂÁ ÈÓ ˆÂÁ Ï ÚÓ ÈÓÏ Ï ÚÓ ÊÎ ÓÓ Íapple ËÙ Ó ÆÍÙÈ Ï ÈÓÏ ÓÈ Ó ˆÂÁ ÈÓ ÏÚ appleú apple ÈÊÎ Ó 14 כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו
ÆÍÙÈ ÏÂ ÊÎ Ó Ó ÌÈÂÂ ÌÈ Á Ó ÌÈ ˆÓapple Ï ÚÓ ÌÈÂÂ ÌÈ ÈÓ ËÙ Ó Ï ÊÎ Ó Ó Â Á Ó Ê Èapple ÈÓÓ ÏÂ ÂÈ Á ÈÓ Ï ÚÓ Ì ËÙ Ó ÆÍÙÈ ÏÂ ÔË ÈÓ Ï ÊÎ Ó Ó Â Á ÓÓ ÔË ÂÈ ÏÂ ÈÓ תרגילי (הגדרת המעגל, מיתרי ו שתות) הגדרת המעגל, מיתרי ו שתות במעגל שמרכזו הוא וטר ו הוא מיתר שהמשכיה נחתכי בנ ודה. נתו שה טע שווה לרדיוס המעגל. א. נתו : (>. = 18º חשב את זוית. ב. (ללא שר לנתו של סעי אʼ ). הוכח:.<) = 3<) (1 ו ה שני מיתרי במעגל שמרכזו. הנ ודות ו נמ אות בהתאמה על המיתרי ו כ שה טע עובר דר המרכז ומת יי :. =, = הוכח:. = ( הוא וטר במעגל שמרכזו. המיתר המיתר המש. לרדיוס מ ביל נפגש ע המש המיתר בנ ודה. א. הוכח:. = (רמז: טע אמ עי ). ב. הוכח:. = (הדרכה: היעזר בחישוב זויות). (3 הוא וטר ו הוא מיתר הוא אנ. במעגל שמרכזו והוא חות את למיתר. בנ ודה הוא שווה שו יי. המשולש הוכח: (4 כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו 15
במעגל שמרכזו נתו : הוא מיתר שהמשכיה הוא ו וטר נחתכי בנ ודה. א. הוכח:. < (הדרכה: את ע והתבונ במשולש ב. הוכח:. < חבר.( (5 מיתרי ומרח יה מהמרכז N שמרכזו במעגל מיתרי ה ו N. המאונכי זה לזה שנחתכי בנ ודה ו ה בהתאמה אמ עי הנ ודות ו. המיתרי N הוא מלב. הסבר מדוע המרובע א. וN. חשב את 5 ס"מ =. ס"מ =,N נתו : ב. וN. חשב את 5.5 ס"מ =. 3 ס"מ =,N נתו : ג. מהמרכז? מהמרכז ומהו מרח המיתר מהו מרח המיתר ד. (אי ור לב ע חישובי נוספי ). (6 מיתרי שני ה ו במעגל השווי זה לזה שהמשכיה נפגשי בנ ודה. (7 הוכח:. = 1 מיתרי שני ה ו הנחתכי במעגל שמרכזו. בנ ודה.<) 1 = <) נתו :. = הוכח: (8 M N ו ה מיתרי במעגל M היא אמ ע. הנ ודה שמרכזו M חות. המש ה טע המיתר N. בנ ודה את המיתר.M = N נתו :. > הוכח: (9 16 כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו
1 K מיתרי שני ה ו הנחתכי במעגל שמרכזו K. בנ ודה.<) K 1 < <) K, נתו :. < הוכח: (10 בעיות שונות הגדרת המעגל, מיתרי ו שתות הוא וטר במעגל שמרכזו והוא חו ה את המיתר בנ ודה. נתו :. = א. הוכח: המשולש הוא שווה לעות. ב. הוכח: המרובע ש וד ודיו ה,, ו הוא מעוי. ג. חשב את זויותיו של המעוי. (11 G הוא וטר במעגל. G הוא טרפז ישר זוית שבו ˇˇ G ו 90º.<) = (הנ ודות וG נמ אות על ה וטר והנ ודות ו נמ אות על המעגל). א. הוכח:. = G (הדרכה: העבר אנ מאמ ע.( ב. הוכח:. + G < (1 K M L. שמרכזו במעגל מיתרי ה ו מהמרכז הורידו אנכי L וK למיתרי. 1 א. הוכח:.KL =,KL ˇˇ (רמז: טע אמ עי ). ב. נתו :.ML ˇˇ הוכח:.M (13 הוכחת משפטי הגדרת המעגל, מיתרי ו שתות (14 הוכח את המשפט: על מיתרי שווי נשענות זויות מרכזיות שוות ולהיפ. (ראה בספר הנדסה חל בʼ בעמʼ 01). הוכח את המשפט: אנ ממרכז המעגל למיתר במעגל חו ה את המיתר, חו ה את הזוית המרכזית הנשענת על המיתר וחו ה את ה שת המתאימה למיתר. (ראה בספר הנדסה חל בʼ בעמʼ 07). (15 כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו 17
הוכח את המשפט: מיתרי שווי במעגל נמ אי במרח י שווי ממרכז המעגל ולהיפ. (ראה בספר הנדסה חל בʼ בעמʼ 11 ו 1 ). הוכח את המשפט: א במעגל מיתר אחד יותר גדול ממיתר שני אז מרח ו מהמרכז של המיתר הגדול יותר ט ממרח ו מהמרכז של המיתר ה ט. (ראה בספר הנדסה חל בʼ בעמʼ 13). (16 (17 תשובות (הגדרת המעגל, מיתרי ו שתות): 1) א. 6) 54º. ב. 14 ס"מ, 1 ס"מ. ג..5 ס"מ, 8 ס"מ. ד. 5 ס"מ,.5 ס"מ. (11 ג..10º,60º,10º,60º זויות במעגל Â Ó Â ÌÈ Ò ÆÏ ÚÓ ÂÈÊÎ Ó ÂÈÙ È ÂÈÂÊ ÏÚ ÌÈÏÈ ÏÏÂÎ Ê ÛÈÚÒ Æ µ ßÓÚ ß ÏÁ Ò apple ÙÒ ÌÈÚÈÙÂÓ ÌÈÙÒÂapple ÌÈÏÈ Â Ï ÚÓ ÂÈÂÊ ÌÈÈ ÈÚ ÌÈ ÂÓ ÌÂÎÈÒ ÆÏ ÚÓ ÂÎ ÂÁ È Â Â Ï ÚÓ ÏÚ Ï Â Â ÈÂÊ ÈÙ È ÈÂÊ ÏÚ appleú apple ÈÙ È ÈÂÊ ÏÎÓ ÈÙ ÏÂ Ï ÚÓ ÈÊÎ Ó ÈÂÊ È ÈÚ ËÙ Ó Æ Â ÆÂÊÏ ÂÊ Â  ÏÚ ÂappleÚ apple Ï ÚÓ ÂÈÙ È ÂÈÂÊ ÏÎ ËÙ Ó ÆÍÙÈ ÏÂ È ÈÂÊ È Ë ÏÚ appleú apple Ï ÚÓ ÈÙ È ÈÂÊ ËÙ Ó ÔÓÂÎÒ Â Â ÂÈÙ È ÂÈÂÊ ÂappleÚ apple Ï ÚÓ ÌÈ ÌÈ ÈÓ ÏÚ ËÙ Ó ÆÍÙÈ Ï ± º ÆÍÙÈ Ï Â ÂÈÙ È ÂÈÂÊ ÂappleÚ apple Ï ÚÓ Â  ÏÚ ËÙ Ó ÆÏ ÚÓ Í ÌÈÎ Áapple ÌÈ ÈÓ Èapple ÔÈ ˆÂapple ÈÂÊ ÈÓÈappleÙ ÈÂÊ ÏÚ ÂappleÚ apple ÂÈÙ È ÂÈÂÊ È ÌÂÎÒÏ ÂÂ Ï ÚÓ ÈÓÈappleÙ ÈÂÊ ËÙ Ó ÆÔ ÈÎ Ó Â ÈÂÊ È Â ÔÈ Â ÂÏÎ Â ÆÏ ÚÓÏ ıâáó ÌÈ Ùapple ÌÈ ÈÓ Èapple ÈÎ Ó ÔÈ ˆÂapple ÈÂÊ ÈappleˆÈÁ ÈÂÊ ÂappleÚ apple ÂÈÙ È ÂÈÂÊ È ÔÈ Ù Ï ÂÂ Ï ÚÓÏ ÈappleˆÈÁ ÈÂÊ ËÙ Ó Æ ÈÂÊ È Â ÔÈ Â ÂÏÎ Â ÏÚ כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו 18
תרגילי (זויות במעגל) זוית הי פית וזוית מרכזית הנשענות על אותה שת 7º ו ה מיתרי במעגל שמרכזו. הרדיוס חות את המיתר בנ ודה. נתו :. ˇˇ,<) = 7º (1 חשב את הזויות ו. הוא מיתר במעגל השווה באורכו לרדיוס המעגל. ( R מ א את גודלה של זוית הי פית חדה הנשענת על המיתר ( (>).. הוא מיתר במעגל שמרכזו (3 זוית היא זוית הי פית כלשהי הנשענת על ה שת. הנ ודה היא אמ ע. הוכח:.<) = <) זויות הי פיות הנשענות על אותה שת הנ ודה במעגל. והוא חסו = שבו הוא משולש שווה שו יי נמ את על המש הבסיס מה ד של כ ש. = חות את המעגל בנ ודה. (4. הוכח: חו ה את זוית המשולש הוא שווה שו יי ).( = המיתר חו ה את (5 זוית וחות את המיתר בנ ודה. נתו :. ˇˇ. א. ב. חשב את זויות המשולש הוכח:. = כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו 19
זוית הי פית הנשענת על וטר הנ ודה.. ˇˇ הוא וטר במעגל שמרכזו נמ את על המיתר. נתו : הוכח: א.. הוכח: ב.. = 1 הוכח: ג.. = (6 מחו נמ את במעגל. הנ ודה הוא וטר למעגל כ שמת יי. = ה טע חות את המעגל בנ ודה. הוכח: א.. = הוכח: ב. המיתר חו ה את זוית. (7 α β הוא משולש החסו במעגל. הוא הגובה ל לע ו הוא וטר. הוכח:.α = β (8 זויות הי פיות הנשענות על שתות שוות המרובע (9 ).(ˇˇ במעגל הוא טרפז החסו הוכח: הטרפז הוא שווה שו יי. ו עובר מעגל.,, דר הנ ודות ה טע. על המיתר נ ודה. בנ ודה חות את המיתר. =, = נתו :. = הוכח: א.. ˇˇ נתו : ב. הוא וטר במעגל. הוכח: (10 ו נמ אות על,,, הנ ודות ו נחתכי המעגל. המיתרי. =, = נתו :. בנ ודה. א. הוכח:. = ב. הוכח: (11 130 כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו
הוא וטר במעגל. ו,, ה מיתרי במעגל. נתו :. = ( ( הוכח:. (1 בעיות שונות זויות במעגל (13 ו המשולשי חסומי במעגל.., נתו :. = הוכח: מיתרי ה ו במעגל המאונכי זה לזה. הנ ודות ו ה בהתאמה אמ עי המיתרי. (14 הוכח: ה טע שווה לרדיוס המעגל. 1 החסו הוא גובה במשולש הוא וטר. המש במעגל.. חות את המעגל בנ ודה. ˇˇ א. הוכח:.<) 1 = <) ב. הוכח: היעזר בתרגיל 9 שבעמʼ ה וד ). ב. (הדרכה: הוכח: (15 10º. במעגל שמרכזו הוא וטר ו ה מיתרי שהזוית ה הה ביניה היא 10º. הוכח: המשולש הוא שווה לעות. (הדרכה: התבונ במשולש ). (16 G הנחתכי במעגל מיתרי ה ו ע"י המיתר בנ ודות וG. נתו : הנ ודה היא אמ ע ה שת והנ ודה היא אמ ע ה שת. הוכח: המשולש G הוא שווה שו יי. (17 כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו 131
שמרכזו במעגל מיתרי שני ה ו היא אמ ע הנ ודה הני בי זה לזה.. המיתר.<) = <) הוכח: א.. = הוכח:.<) = <) נתו : ב. חשב את זויות (>. = (>1.6 נתו : ג. <) = x.( סמ (הדרכה:. המשולש (18 H G המשולש חסו במעגל. ו ה גבהי במשולש שנחתכי בנ ודה H. המשכי הגבהי חותכי את המעגל בנ ודות וG. א. הוכח:.H =,H = G ב. שרטט ב יור את ה טע H והמש אותו מה ד של H עד שיחתו את המעגל בנ ודה שתסומ בI. הוכח:. = I (19 הוכחת משפטי זויות במעגל (0 הוכח את המשפט: זוית מרכזית במעגל גדולה פי מכל זוית הי פית הנשענת על אותה שת. (ראה בספר הנדסה חל בʼ בעמʼ 5). הוכח את המשפט: זוית הי פית במעגל הנשענת על וטר היא זוית ישרה. (1 הוכח את המשפט: על מיתרי שווי במעגל נשענות זויות הי פיות שוות או שסכומ ולהיפ. 180º (.65º,65º,50º (18.7º,7º א. 36º, ג. תשובות (זויות במעגל): (5.30º (.48º,4º (1 משי למעגל ÌÈÙÒÂapple ÌÈÏÈ Â Â Ó Â ÌÈ Ò ÆÏ ÚÓÏ È Ó ÏÚ ÌÈÏÈ ÏÏÂÎ Ê ÛÈÚÒ Æ µ ßÓÚ ß ÏÁ Ò apple ÙÒ ÌÈÚÈÙÂÓ כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו 13
Ï ÚÓÏ È Ó ÌÈÈ ÈÚ ÌÈ ÂÓ ÌÂÎÈÒ ÆÏ ÚÓ ÌÚ Ù Â Ó ÈÁÈ Á  apple ÂÏ È È Ï ÚÓÏ È Ó ÆÚ Ó Â apple   apple apple Ù Â Ó Â apple ÆÍÙÈ Ï  ˆ ÒÂÈ Ï ÍappleÂ Ó Ï ÚÓÏ È Ó ËÙ Ó Æ ÊÏ Ê ÌÈ  apple Â Ó ÌÈ ˆÂÈ Ï ÚÓÏ ÌÈ È Ó Èapple ËÙ Ó ÌÈ È Ó Èapple ÌÈ ˆÂÈ appleóó  apple ÌÚ Ï ÚÓ ÊÎ Ó ÁÓ ÚË ËÙ Ó Â Â apple ÁÓ ÈÓÏ ÍappleÂ Ó ÌÈ È Ó ÔÈ ÈÂÊ ˆÂÁ Ï ÚÓÏ Æ ÓÈ Ó ˆÂÁ   ˆÂÁ ÈÂÊÏ Â  apple ÌÈ Ùapple Ï ÚÓ ÈÓÏ È Ó ÔÈ ÈÂÊ ËÙ Ó Æ Èapple Â ÈˆÓ ÈÓ ÏÚ appleú apple ÈÙ È תרגילי (משי למעגל) הזוית בי משי לרדיוס משי. במעגל שמרכזו הוא וטר. ני ב להמש ה טע. למעגל בנ ודה.<) = <) הוכח: א. ו חופפי? הא המשולשי ב. נמ. (1. בנ ודה שמרכזו למעגל משי ה טע חות את המעגל בנ ודה.. למשי הוא אנ הוכח: המיתר חו ה את זוית. (הדרכה: העבר את הרדיוס ). (.(<) = 90º) בנ ודה הוא טרפז ישר זוית המרובע נוגעת במעגל שמרכזו השו היא וטר במעגל. והשו. = הוכח: א.. + = הוכח: ב. (3 כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו 133
שני משי י למעגל 4 7 המשולש הוא שווה שו יי ) לעות.( = המשולש משי ות למעגל בנ ודות, ו. נתו : 7 ס"מ =, 4 ס"מ =. א. חשב את הי המשולש. ב. הוכח שהנ ודה היא אמ ע. (4 המרובע הוא מ בילית ש לעותיה, ו משי ות למעגל בנ ודות, ו. נתו : 5 ס"מ =, 19 ס"מ =. חשב את ה לע. (הדרכה: סמ.( = x (5 ל. מאונ במעגל. הוא וטר כ שה טע נמ את על הנ ודה ו,. הנ ודות משי למעגל בנ ודה נמ אות על ישר אחד.. היא אמ ע ה טע הנ ודה הוכח: ). העבר את ה טע (הדרכה: (6 הוא וטר במעגל שמרכזו משי י ו,. ו, למעגל בנ ודות בהתאמה. (7 הוכח:.<) = 90º זוית בי משי למיתר מהנ ודה יו א משי למעגל בנ ודה. = נתו :. וחות א. הוכח: המשולש הוא שווה שו יי. ב. נתו :.<) = α הבע בעזרת α את זוית. (8 כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו 134
m הוא משולש החסו במעגל. הישר m משי למעגל בנ ודה. א. נתו :. = הוכח: הבסיס מ ביל לישר m. ב. הוכח את הטענה ההפוכה לזו שבסעי אʼ. (9 L K הוא משולש החסו במעגל.. בנ ודה למעגל משי KL. = נתו :.K חו ה את הזוית הוכח: א..<) = α נסמ : ב. K וL. הבע באמ עות α את הזויות (10 m m וn ה שני ישרי המ בילי זה לזה שמשי י למעגל. (11 n הוכח: המיתר המחבר את נ ודות ההש ה הוא וטר. (הדרכה: בחר נ ודה על המעגל וחבר אותה ע כל אחת מנ ודות ההש ה). G ו ה טרי במעגל המאונכי זה לזה. משי למעגל בנ ודה. הנ ודה נמ את על המש. G. בנ ודה את חות (1 הוכח:.G = ו נוגעי במעגל בנ ודות ו. הנ ודה נמ את על ה שת הגדולה והנ ודה נמ את על המש. הוכח:.<) = <) (13 כ שהרדיוס היא נ ודה על ה שת ה טנה. הוא מיתר במעגל שמרכזו של מה ד המש את חות בנ ודה למעגל המשי. למיתר מאונ. בנ ודה. חו ה את זוית המיתר הוכח: (14 כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו 135
בעיות שונות משי למעגל המשולש חסו במעגל כ שה לע היא וטר. משי למעגל בנ ודה. הנ ודה נמ את על המש. נתו :. =, = (15. הוכח:, ˇˇ = שבו הוא משולש שווה שו יי והוא חסו במעגל. דר עובר משי למעגל. שמת יי כ של מה ד על המשי היא נ ודה. בנ ודה נחתכי ו ה טעי. = (16. = הוכח:, = מנ ודה יו אי משי למעגל בנ ודה וחות. הנ ודה נמ את על כ ש חו ה את זוית. הוכח:. = (17 ו משי י למעגל שמרכזו בנ ודות ו. הוא וטר. (18 הוכח:. ˇˇ המאונכי שמרכזו במעגל מיתרי ה ו זה לזה. הנ ודה נמ את על המש. הנ ודה ש נתו. ע המש של היא החיתו משי למעגל בנ ודה. (19.( הוכח:.<) = <) (רמז: המש את K L ה לע של משולש שווה שו יי ( = ) עוברת דר מרכז המעגל. ה לע משי ה למעגל בנ ודה K וה לע משי ה למעגל בנ ודה L. א. נתו שהנ ודה K היא אמ ע ה לע. חשב את זויות המשולש. (רמז: התבונ במשולש ). ב. נתו :.L = n,l = m הבע באמ עות m וn את הי המשולש. (0 כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו 136
הוא וטר במעגל שמרכזו. שלוש מ לעות המרובע משי ות למעגל בנ ודות, ו. G הנ ודה G היא על ה לע וה טע G חות את המעגל בנ ודה. נתו :.G ˇˇ א. הוכח שהמרובע הוא טרפז ושה טע G הוא טע האמ עי. ב. נתו : 1 ס"מ = G והי הטרפז הוא 34 ס"מ. חשב את רדיוס המעגל. (רמז: שני משי י למעגל היו אי מאותה נ ודה שווי זה לזה). (1 משי י ו במעגל. הוא וטר ו ו. המשכי למעגל בנ ודות. נפגשי בנ ודה (.<) = <) הוכח: העבר את ה טע (הדרכה: ). שווה לזוית שזוית והוכח תחילה נוגע במעגל שמרכזו בנ ודה. ה טע הנ ודה. המעגל בנ ודה את חות נמ את על המש כ שמת יי :. = הוכח:.<) = 45º (הדרכה: המש את מה ד של עד שיחתו את המעגל. סמ את נ ודת החיתו ב והיעזר במשולש ). (3 הוכחת משפטי משי למעגל (4 הוכח את המשפט: א. שני משי י למעגל היו אי מאותה נ ודה שווי זה לזה. ב. ה טע המחבר את מרכז המעגל ע הנ ודה שממנה יו אי שני המשי י חו ה את הזוית שבי המשי י. הוכח את המשפט: הזוית בי משי למיתר הנפגשי בנ ודת ההש ה שווה לזוית ההי פית הנשענת על המיתר (מ ידו השני). (ראה בספר הנדסה חל בʼ בעמʼ 70). (5 α.90º+,180º α (10 (משי למעגל): תשובות (8 ב..180º 1.5α (5 1 ס"מ. (4 א. 30 ס"מ. (1 ב. לא. (1 ב. 5 ס"מ. (0 א..7º,7º,36º ב..5m+n ב. כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו 137
שני מעגלי ÌÈÙÒÂapple ÌÈÏÈ Â Â Ó Â ÌÈ Ò ÆÌÈÏ ÚÓ Èapple ÏÚ ÌÈÏÈ ÏÏÂÎ Ê ÛÈÚÒ Æ ± ßÓÚ ß ÏÁ Ò apple ÙÒ ÌÈÚÈÙÂÓ ÌÈÏ ÚÓ Èapple ÌÈÈ ÈÚ ÌÈ ÂÓ ÌÂÎÈÒ Æ ÂÙ Â Ó Â Â apple È Ì Ï È ÌÈÏ ÚÓ ÌÈÎ ÂÁ ÌÈÏ ÚÓ Æ Ù Â Ó Â apple Û Ì Ï ÔÈ ÌÈÏ ÚÓ ÌÈ Ê ÌÈÏ ÚÓ ÆÈapple Í ˆÓapple Á ÌÈ Ê ÌÈÏ ÚÓ ÌÈÈÓÈappleÙ ÌÈÏ ÚÓ ÆÛ Â Ó ÊÎ Ó Ì Ï È ÌÈÏ ÚÓ ÌÈÈÊÎ Ó ÌÈÏ ÚÓ ÆÈapple Ï ıâáó ˆÓapple Á ÌÈ Ê ÌÈÏ ÚÓ ÌÈÈappleˆÈÁ ÌÈÏ ÚÓ Æ Ù Â Ó Á  apple Ì Ï È ÌÈÏ ÚÓ ÌÈ È Ó ÌÈÏ ÚÓ ÆÈapple Í ˆÓapple Á ÌÈ È Ó ÌÈÏ ÚÓ ÌÈappleÙ Ó ÌÈ È Ó ÌÈÏ ÚÓ ÆÈapple Ï ıâáó ˆÓapple Á ÌÈ È Ó ÌÈÏ ÚÓ ıâá Ó ÌÈ È Ó ÌÈÏ ÚÓ ÆÌÈÏ ÚÓ ÈÊÎ Ó ÁÓ ÚË ÌÈÊÎ Ó ÚË ÈÓ ˆÂÁ ÂÎ Ó Â ÌÈÎ Áapple ÌÈÏ ÚÓ Èapple Ï ÌÈÊÎ Ó ÚË ËÙ Ó ÆÂÏ Íapple ÓÂ Û Â Ó ÌÈÊÎ Ó ÚË ÏÚ ˆÓapple ÌÈ È Ó ÌÈÏ ÚÓ Èapple Ï Â apple ËÙ Ó ÆÌÈappleÙ Ó ÌÈ È Ó ÌÈÏ ÚÓ Ì ÂÎ Ó ÏÚ Â ıâá Ó ÌÈ È Ó ÌÈÏ ÚÓ Ì תרגילי (שני מעגלי ) מעגלי חותכי ומעגלי זרי M K L N נתוני שני מעגלי בעלי מרכז משות. ו ה מיתרי במעגל הגדול וה חותכי את המעגל ה ט בהתאמה בנ ודות M,L,K וN. נתו :. = (1 הוכח:.KL = MN 138 כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו
M N הנ ודה היא אחת מנ ודות החיתו של שני מעגלי שמרכזיה M וN. הנ ודה נמ את על המעגל הגדול והנ ודה נמ את על המעגל ה ט כ שה טע עובר דר. נתו :.MN ˇˇ 1 הוכח:.MN = ( M שני המעגלי שב יור נחתכי בנ ודות ו. הנ ודה M היא מרכז המעגל הגדול והיא נמ את על המעגל ה ט. ה טע הוא וטר במעגל ה ט. הנ ודה נמ את על המעגל הגדול. א. חשב את זוית. ב. נתו ש שווה לרדיוס המעגל הגדול. מ א את שתי הזויות האחרות של המשולש. (3 = שבו הוא משולש שווה שו יי והוא חסו במעגל ה ט. הנ ודה היא מרכז המעגל הגדול. הוא מיתר במעגל הגדול והוא חות את המעגל ה ט בנ ודה. 1 הוכח: א..<) = <) ב.. = (4 שני המעגלי שב יור ה בעלי מרכז משות. ו ה מיתרי במעגל הגדול המשי י למעגל ה ט. הוכח:. = (5 שני מעגלי נחתכי בנ ודות ו. המשי י למעגל הימני בנ ודות ו חותכי את המעגל השמאלי ג בנ ודות ו. הוכח:. ˇˇ (6 הוא ו. שני מעגלי נחתכי בנ ודות למעגל מיתר במעגל הימני והוא משי בנ ודה עובר ישר החות את השמאלי. דר הנ ודה ו. המעגלי בנ ודות. ˇˇ הוכח: היעזר במשפט על הזוית בי משי למיתר). (הדרכה: (7 כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו 139
מעגלי משי י על כל אחד מהרדיוסי ו של רבע עיגול בנו ח אי מעגלי הנפגשי בנ ודה. (8 הוכח: הנ ודות, נמ אות על ישר אחד. ו M. שני המעגלי שב יור משי י מבפני בנ ודה M הוא M היא מרכז המעגל הגדול. הנ ודה שבמעגל הגדול וטר במעגל ה ט. המיתר. חות את המעגל ה ט בנ ודה.M א. הוכח:. = ב. הוכח: (9 שני המעגלי משי י מבפני בנ ודה. ו ה מיתרי במעגל הגדול וה חותכי את המעגל ה ט בנ ודות ו בהתאמה. (10 הוכח:.ˇˇ (הדרכה: המשי המשות דר הנ ודה העבר את.( K K. שני מעגלי נוגעי זה בזה מבחו בנ ודה K הוא מיתר במעגל הגדול וK הוא מיתר K ו נמ אות, במעגל ה ט כ שהנ ודות על ישר אחד. והמשי המשי למעגל הגדול בנ ודה הוכח: מ בילי זה לזה. למעגל ה ט בנ ודה (11 K N שני מעגלי שמרכזיה M וN ו שחותכי את המעגל משי י מבחו בנ ודה K. דר M בנ ודות ו ואת המעגל עוברי שני ישרי בנ ודות ו. (1 הוכח:. ˇˇ M שני מעגלי משי י מבפני בנ ודה. הוא וטר במעגל הגדול שמרכזו M M. הוא וטר במעגל ה ט. המיתר חות את המעגל ה ט בנ ודה. 1 הוכח:.M =,M ˇˇ (רמז: טע אמ עי ). (13 כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו 140
שני מעגלי משי י מבחו בנ ודה. הוא משי משות למעגלי בנ ודות ו בהתאמה. המשי המשות למעגלי בנ ודה חות את. בנ ודה הוכח: א.. = ב..<) = 90º (14 בעיות שונות שני מעגלי M N שני מעגלי שמרכזיה M וN משי י מבחו. ו ה נ ודות על המעגלי כ שה טע עובר דר נ ודת המגע. (15 הוכח:.M ˇˇ N שני מעגלי נחתכי בנ ודות ו. משי משות נוגע במעגל אחד בנ ודה ובמעגל השני בנ ודה. הוכח:.<) + <) = 180º (16 M. שני מעגלי נחתכי בנ ודות ו. המעגל ה ט עובר דר הנ ודה M שהיא מרכז המעגל הגדול. המש M חות את המעגל הגדול בנ ודה. חות את המעגל ה ט בנ ודה א. הוכח: הוא וטר במעגל ה ט. (הדרכה: הוכח: <) = 90º.( ב. הוכח:. = ג. סמ בN את מרכז המעגל ה ט. הוכח:.MN ˇˇ (17 M N שני מעגלי שמרכזיה M וN נחתכי בנ ודות M. על המעגל שמרכזו נמ את N הנ ודה ו. המשי בנ ודה למעגל שמרכזו M חות את המעגל שמרכזו N ג בנ ודה. הוכח:. = (הדרכה: חבר את אמ עי המיתרי ו ע המרכז N והוכח שהמיתרי נמ אי במרח י שווי מהמרכז). (18 הוכחת משפטי שני מעגלי (19 הוכח את המשפט: את המיתר המשות המשכו, חו ה או נחתכי, שני מעגלי של המרכזי טע ומאונ לו. כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו 141
תשובות (שני מעגלי ): (3 א..45º ב..105º,30º מעגל חוס וחסו ÌÈÚÏÂˆÓ Â ÌÈÚ Â Ó ÏÂ Ó ÌÂÒÁ ÌÒÂÁ Ï ÚÓ ÏÚ ÌÈÏÈ ÏÏÂÎ Ê ÛÈÚÒ ßÓÚ ß ÏÁ Ò apple ÙÒ ÌÈÚÈÙÂÓ ÌÈÙÒÂapple ÌÈÏÈ Â Â Ó Â ÌÈ Ò ÆÌÈÏÏÎÂ Ó Æ ÌÂÒÁ ÌÒÂÁ Ï ÚÓ ÌÈÈ ÈÚ ÌÈ ÂÓ ÌÂÎÈÒ Æ ÏÂ Ó Ï ÂÈ Â Â ÂÏ Í ÂÚ Ï ÚÓ ÏÂ Ó ÌÒÂÁ Ï ÚÓ ÂÚÏˆÏ ÌÈÈÚˆÓ ÌÈÎapple ÙÓ Â ÏÂ Ó ÌÒÂÁ Ï ÚÓ ÊÎ Ó ËÙ Ó Æ ÏÂ Ó ÆÂÏ Â È Ó ÏÂ Ó ÂÚψ ÂÏ Ï ÚÓ ÏÂ Ó ÌÂÒÁ Ï ÚÓ Æ ÏÂ Ó Ï ÂÈÂÊ ÈˆÂÁ ÙÓ Â ÏÂ Ó ÌÂÒÁ Ï ÚÓ ÊÎ Ó ËÙ Ó ÆÏ ÚÓ ÏÚ ÂÈ Â Â Ú ÏÎ Ú Â Ó Ï ÚÓ ÌÂÒÁ Ú Â Ó Æ± º  ÂÈ apple ÂÈÂÊ È ÏÎ ÌÂÎÒ Ï ÚÓ ÌÂÒÁ Ú Â Ó ÏÎ ËÙ Ó Ô Èapple Ê ± º ÔÓÂÎÒ ÂÈ apple ÂÈÂÊ Ï Á ÂÊ È Ú Â Ó Ì ÍÂÙ ËÙ Ó ÆÏ ÚÓ Â Â ÌÂÒÁÏ ÆÏ ÚÓÏ Â È Ó ÂÈ ÂÚψ ÏÎ Ú Â Ó Ï ÚÓ ÌÒÂÁ Ú Â Ó ÂÊ ÌÂÎÒÏ Â ÂÈ apple ÂÚψ Ï Á ÂÊ ÌÂÎÒ Ï ÚÓ ÌÒÂÁ Ú Â Ó ËÙ Ó ÆÈapple ÌÂÎÒÏ Â ÂÈ apple ÂÚψ Ï Á ÂÊ ÌÂÎÒ ÂÓ Ú Â Ó Ì ÍÂÙ ËÙ Ó ÆÚ Â Ó Ï ÚÓ ÌÂÒÁÏ Ù Ê Èapple ÂÊ ÆÏ ÚÓ ÌÂÒÁÏ Ù ÏÏÎÂ Ó ÚÏÂˆÓ ÏÎ ËÙ Ó ÆÏ ÚÓ ÌÂÒÁÏ Ù ÏÏÎÂ Ó ÚÏÂˆÓ ÏÎ ËÙ Ó 14 כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו
תרגילי (מעגל חוס וחסו ) מעגל חוס משולש G ו ה מעויני. (הנ ודה המרובעי ו. היא החיתו של ). הנ ודה נמ את על היא מרכז המעגל החוס את הנ ודה הוכח: א.. המשולש היא מרכז המעגל מ א את המשולש שהנ ודה ב. החוס אותו.? G הסבר. היכ נמ א מרכז המעגל החוס את המשולש ג. (1 45º.<) = γ,<) = β γ.90º חסו במעגל. מחו למשולש העלו המשולש אנכי אמ עיי ל לעות המשולש שחותכי את ו., המעגל בנ ודות.<) = 70º,<) = 50º נתו : א.. חשב את זויות המשולש המש את האנכי האמ עיי לתו (הדרכה:, ה נפגשי במרכז המעגל). המשולש (>, = α נסמ : (ללא שר לנתוני של סעי אʼ ). ב.,90º α ה : הוכח שזויות המשולש β,90º ( מעגל חסו במשולש (3 בתו משולש חסו מעגל שמרכזו. נ ודת ההש ה של ה לע היא. המש חות את ה לע בנ ודה. א. נתו :.<) = 100º,<) = 30º חשב את זוית. ב. (ללא שר לנתו של סעי אʼ ). נסמ :.(β > γ).<) = γ,<) = β הוכח:.<) = β γ ו בנ ודות שמרכזו למעגל משי י ו. נחתכי בנ ודה והמש בהתאמה. המש.<) = 45º כ שמת יי נמ את על הנ ודה היא מרכז המעגל החסו הנ ודה הוכח: א.. במשולש. חו ה את הזוית הוכח: ב. (4 כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו 143
הנ ודות, ו נמ אות על מעגל שמרכזו. הנ ודה נמ את על המש. חות את המעגל בנ ודה. נתו :. = א. הוכח:. = ב. הוכח: הנ ודה היא מרכז המעגל החסו במשולש. ( ( (5 התכונה של מרובע החסו במעגל 6) המרובע חסו במעגל. הנ ודה נמ את על המש. נתו : א. הוכח:.<) = <) ב. נתו :.<) = 85º,<) = 110º חשב את זוית.. ˇˇ ו. שני מעגלי נחתכי בנ ודות ו נמ אות על המעגל הגדול הנ ודות ו נמ אות על המעגל ה ט והנ ודות עובר דר הנ ודה כ שה טע. עובר דר הנ ודה וה טע. ˇˇ הוכח: (7 ו. שני מעגלי נחתכי בנ ודות ו נמ אות על המעגל הגדול הנ ודות נמ את על המעגל ה ט כ והנ ודה וה טע עובר דר שה טע. עובר דר המשי למעגל ה ט בנ ודה הוכח:. מ ביל למיתר (8 35º,, הנ ודות והמש המש והמש המש,<) = 35º נתו : ו נמ אות על המעגל.. בנ ודה נפגשי. בנ ודה נפגשי.<) = 45º (9 45º.( <) = <) = <) חשב את זוית. (הדרכה: שי לב שמת יי כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו 144
התכונה שא מרובע מ יי אז נית לחסו אותו במעגל G המרובע הוא ריבוע. הנ ודות ו נמ אות בהתאמה על ה לעות נחתכי ו ה טעי ו. בנ ודה.G נתו :. = א. הוכח: המרובע G הוא בר חסימה. ב. מ א ב יור שתי נ ודות שה ות וטר של המעגל החוס (נמ ). (10 המשולש חסו במעגל שמרכזו. הנ ודה היא אמ ע. המש חות את בנ ודה. (11 הוכח: את המרובע לחסו במעגל. אפשר כ חסו במעגל שמרכזו המשולש. נוגע במעגל בנ ודה ש הוא וטר.. הנ ודה נמ את על המש הנ ודה. ועל המש נמ את על אפשר לחסו את המרובע הוכח: א. במעגל..<) = <) הוכח:. ˇˇ נתו : ב. (1 K L M ), ˇˇ הוא טרפז ישר זוית המרובע K וL חו י בהתאמה את.(<) = 90º M. ו וה נחתכי בנ ודה הזויות אפשר לחסו במעגל את הוכח: א..KML המרובע K. L ע M ואת ע חבר את ב..<) KL = <) ML הוכח: (13 משי ה למעגל הוא מרובע שבו ה לע היא מיתר במעגל וה לע, ה לע בנ ודה. ˇˇ נתו :. חותכת את המעגל בנ ודה אפשר לחסו את המרובע הוכח: א. במעגל..<) = <) הוכח: ב. (14 כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו 145
התכונה של מרובע החוס מעגל חוס מעגל..<) +<) = 180º 15) המרובע שמרכזו הוכח: 16) הוכח: א בטרפז שווה שו יי אפשר לחסו מעגל אז טע האמ עי שווה לשו. התכונה שא מרובע מ יי אז נית לחסו בתוכו מעגל N M ארבעה מעגלי שמרכזיה L, K, M וN משי י כמתואר ב יור. (17 K L הוכח: במרובע KLMN לחסו מעגל. אפשר אמ עי הוא טע במשולש. נתו :. + = 3 הוכח: במרובע אפשר לחסו מעגל. (18 מ ולע חסו במעגל ומ ולע חוס מעגל M K N הוא מחומש משוכלל החוס מעגל שמרכזו M. וN ה שתיי מנ ודות ההש ה. האלכסו חות את ה טע MN בנ ודה K. א. הוכח שמרובע MK הוא מ בילית. ב. נתו שהי המחומש הוא P. הבע באמ עות P את הי המ בילית. (19 P K N M L הוא משושה שווה לעות החסו במעגל..KLMNP חל מאלכסוניו יו רי משושה הוא הסבר מדוע המשושה א. משושה משוכלל. KLMNP אפשר את המשושה הוכח: ב. לחסו במעגל ואפשר לחסו בתוכו מעגל. הוכח שהמשושה הוא משוכלל). (הדרכה: (0 146 כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו
בעיות שונות מעגל חוס וחסו המשולש הוא שווה שו יי ו, הנ ודות.( = ) נמ אות על לעות המשולש. נתו :.<) = <) (1 הוכח: המרובע אפשר לחסו במעגל את. המשולש חסו במעגל. דר הנ ודה עובר משי למעגל. ה טע מ ביל למשי. הוכח: את המרובע אפשר לחסו במעגל. ( α. חסו במשולש מעגל שמרכזו ו עובר מעגל, דר הנ ודות. בנ ודה שחות את ה לע.<) = α נסמ : α.<) = 90º + א. הוכח:. = ב. הוכח: (3 היא נ ודה על במשולש כ שמת יי ו היא נ ודה על.<) = <) נתו :. =. חו ה את זוית הוכח: הוא הוכח שהמרובע (הדרכה: בר חסימה). (4. בתו משולש חסו מעגל ט שמרכזו על מעגל גדול שחוס נמ א המרכז. את המשולש. א. נתו : (>. = 65º חשב את זוית. (הדרכה: מ א תחילה את זוית ). ב. (ללא שר לנתו של סעי אʼ ). נסמ (>. = α הבע באמ עות α את זוית (5 כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו 147
המרובע הוא טרפז ).(ˇˇ הנ ודה נמ את על ה טע שהוא טע האמ עי בטרפז. נתו :. =, = א. הוכח: אפשר לחסו מעגל בטרפז. (רמז: טע האמ עי בטרפז שווה למח ית סכו הבסיסי ). ב. הוכח: הנ ודה היא מרכז המעגל החסו בטרפז. (הדרכה: היא מפגש חו י הזויות של הטרפז). הוכח שהנ ודה (6.<) = γ,<) = β α+β. המשולש חסו במעגל. הנ ודה היא מרכז המעגל החסו במשולש. המשכי ה טעי המעגל החוס את חותכי ו, בנ ודות, ו. א. נתו :.<) = 70º,<) = 50º חשב את זויות המשולש. (הדרכה: שי לב שהמיתרי, ו חו י את זויות המשולש ). ב. (ללא שר לנתוני של סעי אʼ ). נסמ : (>, = α α+γ β+γ הוכח שזויות המשולש ה :,, (7.180º הוכחת משפטי מעגל חוס וחסו 8) הוכח את המשפט: בכל מרובע החסו במעגל סכו כל שתי זויות נגדיות הוא (ראה בספר הנדסה חל בʼ בעמʼ 311). הוכח את המשפט: במרובע חוס מעגל סכו זוג אחד של לעות נגדיות שווה לסכו הזוג השני. (ראה בספר הנדסה חל בʼ בעמʼ 30). (9.50º (6 א. 35º. ב. (9.5º.60º,55º (7 א.,65º (3.60º,55º ב..180º α תשובות (מעגל חוס וחסו ): (1 ב.. ג. באמ ע. ( א.,65º 3 (5. 5 א..50º (10 ב.., (19 ב. P כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו 148
פר חמישי הנדסת המישור שטחי ומשפט פיתגורס שטחי של מרובעי ומשולש ÌÈÏÈ ÏÏÂÎ Ô ÛÈÚÒ ÆÒ Â ÈÙ ËÙ Ó ÌÈÁË ÌÚ ÌÈÏÈ ÏÏÂÎ Ê Ù Ò apple ÙÒ ÌÈÚÈÙÂÓ ÌÈÙÒÂapple ÌÈÏÈ Â Â Ó Â ÌÈ Ò Æ Ï Ó ÌÈÚ Â Ó ÈÁË ÌÚ Æ ßÓÚ ß ÏÁ Ï Ó ÌÈÚ Â Ó Ï ÌÈÁË ÌÈÈ ÈÚ ÌÈ ÂÓ ÌÂÎÈÒ S Ω a S Ω a b S Ω a h a Æ ÓˆÚ Úψ ÏÙÎÓÏ Â ÚÂ È ÁË Æ ÂÎÂÓÒ ÂÚψ È ÏÙÎÓÏ ÂÂ Ô ÏÓ ÁË Æ Ï Â Úψ ÏÙÎÓÏ Â ÈÏÈ Ó ÁË S S S Ω Ω Ω a h a (a+b) h k 1 k Æ Ï Â Úψ ÏÙÎÓ ÈˆÁÓÏ Â ÏÂ Ó ÁË Æ Â ÌÈÒÈÒ ÌÂÎÒ ÏÙÎÓ ÈˆÁÓÏ Â ÊÙ Ë ÁË ÈˆÁÓÏ Â ÌÈÎappleÂ Ó ÂÈappleÂÒÎÏ Ú Â Ó ÁË ÆÌÈappleÂÒÎÏ ÏÙÎÓ S Ω k 1 k  S Ω a h  Úψ ÏÙÎÓÏ Â ÔÈÂÚÓ ÁË ÆÌÈappleÂÒÎÏ ÏÙÎÓ ÈˆÁÓÏ Â כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו 149
תרגילי (שטחי של מרובעי ומשולש) שטחי של ריבוע, מלב, מ בילית, מעוי ומשולש K L המרובע הוא מ בילית. K וL ה נ ודות כלשה הנמ אות בהתאמה על ה לעות ו. (1.S L הוכח: = S K א. ב. הוכח: התיכו ל לע במשולש מחל את המשולש לשני משולשי שווי שטח. (הדרכה: נתו :. =.( S = S "ל: נסח והוכח את הטענה ההפוכה לזו שבסעי אʼ. ( הוכח: 3) האלכסוני במ בילית מחל י אותה לארבעה משולשי שווי שטח. הוא טרפז שהבסיסי המרובע ו. אלכסוני הטרפז שלו ה. נחתכי בנ ודה.S = S א. הוכח:.S = S ב. הוכח: (4 G הוא מלב. המרובע וG ה בהתאמה הנ ודות ו. אמ עי ה טעי. + G = G א. הוכח:.S = S ב. הוכח: (5 K כלשהי על האלכסו היא נ ודה K במ בילית. הוכח: שטח המשולש K שווה לשטח המשולש K ושטח המשולש K שווה לשטח המשולש.K (הדרכה: הורד גבהי מ ו לאלכסו ). (6 כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו 150
c r a b הוכח: שטח משולש שווה למכפלת מח ית הי המשולש ברדיוס המעגל החסו במשולש. חל את a+b+c,s = (הדרכה: "ל: r המשולש לשלושה משולשי, ו ). (7 במשולש שווה שו יי הנ ודה היא אמ ע הבסיס. הנ ודה נמ את על השו והנ ודה נמ את על המש השו מה ד של כ שמת יי. = (8.S הוכח: = S G המרובעי וG ה ריבועי. הוכח: המשולשי G ו ה שווי שטח. (9 במשולש העבירו את שלושת התיכוני. (10 הוכח: ששת המשולשי הפנימיי שהת בלו ה שווי שטח. H המרובע וGH הוא מעוי והמרובעי ה מלבני. (11 G הוכח: המלבני ה שווי שטח. (הדרכה: חשב את שטח המעוי בשתי דרכי ). שטח טרפז 6. בטרפז האמ עי הוא טע מחל את ה טע האלכסו ס"מ ו 6 ס"מ. לשני טעי : הוא 18 סמ"ר. שטח הטרפז. חשב את שטח הטרפז (1 כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו 151
הוא גובה בטרפז שווה שו יי, = 8 ס"מ נתו :. 10 ס"מ =. (13 חשב את שטח הטרפז.. בטרפז האמ עי הוא טע הנ ודה נמ את על. הוכח: 1 א..S + S = S ב..S + S = S + S (14 G ו הוא טרפז. הנ ודות. G נ ודה על ה אמ עי הבסיסי..S = S א. הוכח:.S G = S G ב. הוכח: היעזר בחיסור שטחי ). (הדרכה: (15 בעיות שונות שטחי של מרובעי ומשולש R P K S T הנ ודה K היא נ ודה כלשהי על האלכסו במ בילית. המרובעי SKR וKTP ה מ ביליות..S SKR הוכח: = S KTP (16 הוא מרובע כלשהו. הנ ודה כ ה לע על המש נמ את שה טע מ ביל לאלכסו. (17 הוכח: שטח המרובע שווה לשטח המשולש. הוא טרפז שווה שו יי החוס מעגל שמרכזו.(ˇˇ ) 1 א. הוכח:.S = S 4 ב. נסמ את הבסיסי בa וb ואת רדיוס a+b המעגל בr. הוכח:. = r (18 15 כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו
K M KM הוא. הוא וטר במעגל שמרכזו. מיתר המאונ ל שחות אותו בנ ודה.S K = S M הוכח: א. 40 סמ"ר = K,S 0 ס"מ =, נתו : ב. KM ו. חשב את 16 סמ"ר = M.S (19 K L בנ ודות ו משי י למעגל שמרכזו על נמ את K הנ ודה בהתאמה. ו L ומאונ ל. כ שKL משי למעגל בנ ודה.S = S L הוכח: א. 35 סמ"ר =.S 14 ס"מ =, נתו : ב..KL חשב את שטח המשולש (0 כאורכ האריכו את לעותיו של משולש, =, = ). ו יבלו משולש.( = (1.S = 7S הוכח: ו, העבר את ה טעי (הדרכה: ). והתבונ בשבעת המשולשי שבתו המשולש הוכחת משפטי שטחי של מרובעי ומשולש ( הוכח את המשפט: שטח מ בילית שווה למכפלת לע בגובה שלה. (ראה בספר הנדסה חל בʼ בעמʼ 34). הוכח את המשפט: שטח משולש שווה למח ית מכפלת לע בגובה שלה. (ראה בספר הנדסה חל בʼ בעמʼ 346). הוכח את המשפט: שטח טרפז שווה למח ית מכפלת סכו הבסיסי בגובה הטרפז. (ראה בספר הנדסה חל בʼ בעמʼ 355). (3 (4 (שטחי של מרובעי ומשולש): תשובות ב. טע במשולש המחבר וד וד ע ה לע שמולו ומחל את המשולש לשני משולשי ) 19) ב. 16 ס"מ, 16 ס"מ. 13) 80 סמ"ר. 1) 48 סמ"ר. שווי שטח הוא התיכו ל לע. 0) ב..5 סמ"ר. כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו 153
משפט פיתגורס Â Ó Â ÌÈ Ò ÆÒ Â ÈÙ ËÙ Ó ÊÚÈ Ï ÍÈ ˆ Ì ÌÈÏÈ ÏÏÂÎ Ê ÛÈÚÒ Æ π ± ßÓÚ Â ßÓÚ ß ÏÁ Ò apple ÙÒ ÌÈÚÈÙÂÓ ÌÈÙÒÂapple ÌÈÏÈ Â a b Ω c Ò Â ÈÙ ËÙ Ó ÌÈÈ ÈÚ ÌÈ ÂÓ ÌÂÎÈÒ ÌÈÚÂ È ÈÁË ÌÂÎÒ ÈÂÊ È ÏÂ Ó ÏÎ Ò Â ÈÙ ËÙ Ó Æ È ÏÚ ÈÂapple ÚÂ È ÁË Ï Â ÌÈ ˆÈapple ÏÚ ÌÈÈÂapple ÌÈÈÂapple ÌÈÚÂ È ÈÁË ÌÂÎÒ ÏÂ Ó Ì Ò Â ÈÙ ËÙ ÓÏ ÍÂÙ ËÙ Ó Â ÏÂ Ó Ê È ÈÏ Úψ ÏÚ ÈÂapple ÚÂ È ÁË Ï Â ÂÚψ È ÏÚ Æ ÈÂÊ È k Ω a  ÔÂÒÎÏ Í Â a ÂÚψ ÚÂ È h Ω 3 a   a ÂÚψ ÂÚψ  ÏÂ Ó S Ω 4 3 a  ÁË Â משפט פיתגורס במשולשי תרגילי (משפט פיתגורס) 1) מ א בתרגילי הבאי את ה טע המסומ בx : 30 5 x 7 א. ב. 6 9 15 x 15 x 0 ג. ד. 5 x 11 כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו 154
7 המשולש הוא שווה שו יי הוא הגובה לשו.( = ) לשני טעי : אותה והוא מחל 7 ס"מ =, ס"מ =. חשב את הבסיס של המשולש. (. במשולש הוא הגובה ל לע נתו : 10 ס"מ =, 17 ס"מ =, 1 ס"מ =. א. חשב את הגובה. (הדרכה: סמ, = x הבע את באמ עות x והיעזר במשפט פיתגורס למשולשי ו ). ב. חשב את שטח המשולש. (3 במשולש שווה שו יי הגובה לבסיס הוא 1 ס"מ והי המשולש הוא 48 ס"מ. מ א את: א. לעות המשולש. ב. שטח המשולש. ג. הגובה לשו. (4 משפט פיתגורס במרובעי במלב האלכסוני נחתכי בנ ודה.. שמת יי כ על היא נ ודה נתו : 18 ס"מ =, 15 ס"מ =, 11.5 ס"מ =. (5 חשב את ה טע. שטח של מעוי הוא 96 סמ"ר ואחד מאלכסוניו הוא 1 ס"מ. חשב את האלכסו השני. א. חשב את לע המעוי. ב. חשב את גובה המעוי. ג. (6 הוא שווה שו יי הטרפז. חו ה את זוית האלכסו 33 ס"מ =. 15 ס"מ =, נתו : חשב את הי הטרפז. א. חשב את שטח הטרפז. ב.. חשב את האלכסו ג..(ˇˇ ) (7 כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו 155
K האלכסוני במ בילית נחתכי בנ ודה. מהנ ודה הורידו אנ K ל לע. נתו : 15 ס"מ =,K 10 ס"מ =,K 13 ס"מ =. חשב את שטח המ בילית. (8 ריבוע בתו היא נ ודה הנמ את במרח י שווי מה לע ו. ומה וד ודי.( = = ) (9.a הבע את באמ עות לע הריבוע האלכסו הגדול במעוי הוא 0 ס"מ וגובה המעוי הוא 1 ס"מ. א. חשב את לע המעוי. (הדרכה: שרטט את הגובה מחו למעוי ). ב. חשב את האלכסו השני. (10 משפט פיתגורס במעגל מיתרי וזויות 4 x. הוא מיתר במעגל שמרכזו הרדיוס מאונ למיתר וחות אותו בנ ודה. נתו : 16 ס"מ =, 4 ס"מ =. חשב את רדיוס המעגל המסומ בx. (11 המשולש חסו במעגל שרדיוסו 5 ס"מ כ שה לע היא וטר. הוא הגובה ל לע. נתו : 6 ס"מ =. א. חשב את שטח המשולש. ב. חשב את הגובה. (1 החסו הוא טרפז (שווה שו יי ) במעגל שרדיוסו 13 ס"מ כ שהבסיסי נמ אי ב דדי שוני של מרכז המעגל. נתו : 10 ס"מ =, 4 ס"מ =. א. חשב את: (1) גובה הטרפז. () שטח הטרפז. ב. ענה על סעי אʼ כאשר הבסיסי נמ אי מאותו ד של מרכז המעגל. (13 156 כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו
6 הוא מלב ש וד ודיו ו נמ אי על המעגל ו וד ודיו ו נמ אי על מיתר. (ראה יור). מרח המיתר ממרכז המעגל הוא 6 ס"מ. רדיוס המעגל הוא 9 ס"מ ואור הוא 40 ס"מ. (14 חשב את שטח המלב. א. הוא מלב החסו במעגל. היא נ ודה כלשהי על המעגל. הוכח:. + = + ב. הוכח: סכו ריבועי המרח י של וד ודי מלב החסו במעגל מנ ודה על המעגל שווה לפעמיי ה וטר בריבוע. (15 h חסו במעגל ( = ) משולש שווה שו יי הגובה לבסיס הוא.h.(<) < 90º) R שרדיוסו. R וh את לעות המשולש הבע באמ עות א. ). ע חבר את המרכז (הדרכה: ו 8 ס"מ = h. 6.5 ס"מ = R מ א את ה לעות א ב. (16 ( = ) משולש שווה שו יי 40 ס"מ =, נתו : חסו במעגל. 48 ס"מ =. (17 חשב את רדיוס המעגל החוס את המשולש. (הדרכה: העבר וטר דר ). משפט פיתגורס במעגל משי. בנ ודה שמרכזו למעגל משי ה טע חות את המעגל בנ ודה. נתו : 1 ס"מ =, 8 ס"מ =. (18 חשב את רדיוס המעגל. נמ את על וטר הוא מלב. ה לע. משי ה למעגל בנ ודה של המעגל וה לע 1 ס"מ =. 18 ס"מ =, נתו : חשב את רדיוס המעגל. א. ע מרכז המעגל. חשב את אור ה טע המחבר את ב. (19 כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו 157
8 6 בתו משולש ישר זוית שהני בי שלו ה 6 ס"מ ו 8 ס"מ חסו מעגל. מ א את רדיוס המעגל החסו. (רמז: שני משי י היו אי מנ ודה שמחו למעגל שווי זה לזה). (0 בתו משולש שווה שו יי שבו = חסו מעגל. ו ה שתיי מנ ודות ההש ה. נסמ :. = h, = a הבע באמ עות a וh את: א. רדיוס המעגל החסו. (הדרכה: סמ ב את מרכז המעגל, חבר את ע והתבונ במשולש ). ב. בסיס המשולש. (1 a טרפז שווה שו יי שבסיסיו a מעגל שרדיוסו R. חוס וb ( b.ab = 4R הוכח: הורד גבהי מ ות הבסיס ה ט ). (הדרכה: ו הנ ודות a. הוא ריבוע ש לעו ה בהתאמה המרכזי של רבעי מעגל שהרדיוס שלה הוא a. המעגל שב יור משי לשני רבעי המעגל ול לע של הריבוע. (3 a הבע באמ עות a את רדיוס המעגל. ב ( = ) שהוא שווה שו יי בתו משולש היא אחת כמתואר ב יור. חסו ח י מעגל שמרכזו חות את שת ח י המעגל מנ ודות ההש ה. ה טע 16 ס"מ =. 8 ס"מ =, נתו :. בנ ודה חשב את רדיוס ח י המעגל. א. מ א את לעות המשולש.. (4 a b הוא טרפז ישר זוית שהשו ה רה שלו משי ה למעגל והשו הארוכה שלו היא וטר במעגל. נסמ :.(b > a), = b, = a א. הבע באמ עות a וb את הי הטרפז. (הדרכה: הבע תחילה באמ עות a וb את רדיוס המעגל). ב. הבע באמ עות a וb את שטח הטרפז. (5 כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו 158
בתו ח י מעגל שרדיוסו R, מרכזו ו וטרו חסומי שני ח אי מעגל שרדיוסיה שווי ומרכזיה ה 1 ו. שני ח אי המעגל נוגעי בח י המעגל הגדול בנ ודות ו ונוגעי זה בזה בנ ודה. מעגל שלישי שמרכזו 3 נוגע בשני ח אי המעגלי ה טני ונוגע בח י המעגל הגדול בנ ודה. 3 א. הוכח: ה טע העובר דר 3 מאונ ל וטר. ב. הבע באמ עות R את רדיוס המעגל שמרכזו. 3 1 (הדרכה: היעזר במשולש.( 1 3 (6 בעיות שונות משפט פיתגורס התיכוני ה ו, במשולש. נתו :, = ס"מ 1, 9 ס"מ =. (7. חשב את ה לע ואת התיכו נחתכי שאלכסוניו הוא מלב בנ ודה. נתו :,, ס"מ =, 15 ס"מ =. חשב את שטח המלב. (הדרכה: מ א תחילה את ה טע.( (8 הוא הגובה לשו במשולש שווה שו יי שבו. = (הגובה עובר בתו המשולש). נתו :. = הוכח:. = 7 (הדרכה: הבע את בשתי דרכי ). (9 x בתו ריבוע חסו רבע מעגל שבתוכו חסו מעגל כמתואר ב יור. הוכח שה טע המסומ בx שווה לרדיוס המעגל. (הדרכה: סמ את רדיוס המעגל בr והראה שr ). x = (30 במשולש ישר זוית הני בי ה a וb והגובה ליתר הוא h.. 1 הוכח: a + 1 b = 1 h (הדרכה: חשב את שטח המשולש בשתי דרכי ). (31 כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו 159
הוא ה וטר של ח י מעגל שרדיוסו R. הנ ודות שרדיוסיה מרכזי שני מעגלי בהתאמה ה ו ה R. (בשרטוט מ ויירי ר חל י משני המעגלי ). (3 הבע באמ עות R את רדיוס המעגל החסו בי ח י המעגל ושני המעגלי הנ"ל. (הדרכה: היעזר במשולש ש וד ודיו ה, מרכז המעגל ואמ ע ה טע ). הוא ריבוע ש לעו a. הנ ודות ו ה בהתאמה המרכזי של שני רבעי מעגל שהרדיוס שלה הוא a. המרובע GH הוא ריבוע. (ראה יור). (33 H G הבע באמ עות a את לע הריבוע.GH (הדרכה: היעזר במשולש ). G המשפט ההפו למשפט פיתגורס 34) במ בילית שתי לעות סמוכות ה 5 ס"מ ו 1 ס"מ. אחד מהאלכסוני הוא 13 ס"מ. הוכח שהמ בילית היא מלב. אלכסוניה של מ בילית ה 16 ס"מ ו 30 ס"מ ואחת מה לעות היא 17 ס"מ. הוכח שהמ בילית היא מעוי. (35. במשולש הוא הגובה ל לע נתו : 1.5 ס"מ =, 8 ס"מ =, 6 ס"מ =. (36 הוכח שהמשולש הוא ישר זוית. הוכחת משפטי משפט פיתגורס (37 הוכח את משפט פיתגורס: בכל משולש ישר זוית סכו שטחי הריבועי הבנויי על הני בי שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר. (ראה בספר הנדסה חל בʼ בעמʼ 368 וכ תרגיל 7 בעמʼ 399).. a a הוכח: בריבוע ש לעו אור האלכסו הוא (38. 4 3 a a 3 הוכח: במשולש שווה לעות ש לעו a הגובה הוא והשטח הוא (39 160 כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו
(משפט פיתגורס): תשובות (3 א. 8 ס"מ. ב. 84 סמ"ר. ( 6 ס"מ. ד..1 ג..10 ב..11 א..5 (1 5) 5.5 ס"מ. 4) א. 15 ס"מ, 15 ס"מ, 18 ס"מ. ב. 108 סמ"ר. ג. 14.4 ס"מ. 7) א. 78 ס"מ. ב. 88 סמ"ר. 6) א. 16 ס"מ. ב. 10 ס"מ. ג. 9.6 ס"מ. 11) 10 ס"מ. 10) א. 1.5 ס"מ. ב. 15 ס"מ. 5. 8 a (9 (8 300 סמ"ר. ג. 6.83 ס"מ. ב. (1) 7 ס"מ. א. (1) 17 ס"מ. () 89 סמ"ר. (13 (1 א. 4 סמ"ר. ב. 4.8 ס"מ.. = hr h, = = hr א. (16 (14 600 סמ"ר. () 119 סמ"ר. (0 ס"מ. (19 א. 13 ס"מ. ב. 17.69 ס"מ. (18 5 ס"מ. (17 5 ס"מ.. +(a+b) ab (5 א. (4 א. 1 ס"מ. 3. a (3 h a h a. ב.. 8 a h א. 1) R R. 4. (7 10 ס"מ, 15 ס"מ. (8 61.97 סמ"ר. (3 3 (6 ב.. (a+b) ab ב. 3. 5 a (33 הי המעגל ושטחו ÌÈÙÒÂapple ÌÈÏÈ Â Â Ó Â ÌÈ Ò ÆÂÁË Â Ï ÚÓ Û È ÏÚ ÌÈÏÈ ÏÏÂÎ Ê ÛÈÚÒ Æ ± ßÓÚ ß ÏÁ Ò apple ÙÒ ÌÈÚÈÙÂÓ ÂÁË Â Ï ÚÓ Û È ÌÈÈ ÈÚ ÌÈ ÂÓ ÌÂÎÈÒ P = π R Â R ÂÒÂÈ Ï ÚÓ Ï P Û È K = πr α 180 α ÈÊÎ Ó ÈÂÊÏ ÓÈ Ó Ï K Í Â Â R ÂÒÂÈ Ï ÚÓ S = π R Â R ÂÒÂÈ Ï ÚÓ Ï S ÁË G = πr α 360 α ÈÊÎ Ó ÈÂÊÏ ÓÈ Ó Ê Ï G ÁË Â R ÂÒÂÈ Ï ÚÓ S = π R π r ÌÈÏ ÚÓ Èapple ÔÈ Ï ÂÓ Ú Ë Ï S ÁË Â (r < R) R Â r Ì Ì Ï ÌÈÒÂÈ כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו 161
תרגילי (הי המעגל ושטחו) π. 4 (a b ) ab בתו מעגל חסו מלב ששתי לעות סמוכות שלו ה a וb. הוכח: סכו שטחי ארבעת המ טעי שבי המעגל למלב הוא: (1 במשולש ישר זוית נתו : חסו רבע מעגל. 8 ס"מ =. 10 ס"מ =, מ א את רדיוס רבע המעגל. א. חשב את השטח המ וו ו. ב. ( 10º שני המעגלי שב יור ה בעלי מרכז משות. רדיוס המעגל החי וני גדול פי מרדיוס המעגל הפנימי שהוא.R נתו :.<) = 10º א. הבע באמ עות R את ההי של ה ורה המ וו וות. ב. הוכח: שטח ה ורה המ וו וות שווה לשטח המעגל הפנימי. (3 על לעותיו של משולש ישר זוית בנו ח אי מעגלי כמתואר ב יור. (4 הוכח: השטח המ וו ו שווה לשטח המשולש. (הדרכה: היעזר במשפט פיתגורס). ב יור נתוני ריבוע, מעגל החוס את הריבוע ומעגל החסו בריבוע. א. חשב את היחס בי שטח המעגל החוס לשטח המעגל החסו. ב. הוכח: שטח הטבעת שבי שני המעגלי שווה לשטח המעגל הפנימי. (5 ב יור נתוני משולש שווה לעות, מעגל החוס את המשולש ומעגל החסו במשולש. (6 חשב את היחס בי שטח המעגל החוס לשטח המעגל החסו. כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו 16
R 60º R R חסו מעגל בתו גזרה שהיא חל ממעגל שרדיוסו הנוגע ברדיוסי וב שת הגזרה. הזוית המרכזית של הגזרה היא 60º. R את רדיוס המעגל החסו בגזרה. הבע באמ עות א. R את ההי (כולל הפנימי) והשטח הבע באמ עות ב. של ה ורה המ וו וות. (7 שטח טבעת הוא 84π סמ"ר. היחס בי סכו הרדיוסי של המעגלי היו רי את הטבעת. 7 לבי הפרש הרדיוסי הוא 3 מ א את רדיוסי שני המעגלי שיו רי את הטבעת. (8 תשובות (הי המעגל ושטחו):.4 : 1 (6 (5 א.. : 1 א. 4.8 ס"מ. ב. א. 4 5.76π סמ"ר. (3 א..R+πR 10 ס"מ, 4 ס"מ. (8. 18 π R,R+πR R. ב. 3 ( (7 כל הזכויות שמורות בני גור (מתמטי ה 4 ו 5 יח"ל חל הʼ ) ה ילו מספר זה הוא עבירה על החו 163