Κινηµατική
ΦΥΣ 111 - Διαλ.04 2 Σύνοψη εννοιών Κινηµατική: Περιγραφή της κίνησης ενός σώµατος Θέση και µετατόπιση Ταχύτητα Μέση Στιγµιαία Επιτάχυνση Μέση Στιγµιαία
Κίνηση - Τροχιές ΦΥΣ 111 - Διαλ.04 3! Πετάξετε ένα αντικείµενο στον αέρα και µετρήστε την θέση του σε πολλές διαδοχικές χρονικές στιγµές Θέλουµε ένα ρολόι για µέτρηση χρόνου και µια µονάδα µήκους για µέτρηση του x Σύστηµα συντεταγµένων άξονας x (χρόνος) - άξονας y (θέση) y 4 y 3 2 Γράφημα θέσης-χρόνου y µετατόπιση Αρχικός χρόνος: t i Τελικός χρόνος: t f Αρχική θέση: y i Τελική θέση: y f y 1 Το γράφηµα δίνει τη θέση συναρτήσει του χρόνου Μετατόπιση = αλλαγή στη θέση του σώµατος (0,0) t 1 t 2 t 3 t 4 t Ανεξάρτητη της διαδροµής Δy = y f y i Διαφορετική από το διάστηµα, d, που κάλυψε το σώµα
Μέση ταχύτητα ΦΥΣ 111 - Διαλ.04 4 x f H κλίση του διανύσματος ΑΒ δίνει τη μέση ταχύτητα v = Δ x Μέση ταχύτητα πηγαίνοντας από το t f "t i : Δt [ L] Μονάδες μέτρησης [ T ] = m / s Β x B # διανυσµατικό µέγεθος # Σε αντίθεση µε < v > = διαδροµη Δt που είναι βαθµωτό C Δx C x i Α D O A D t i Δt = t f t i t f H τροχιά πρέπει να ναι συνεχής, ομαλή και μονότιμη H μετατόπιση και η μέση ταχύτητα μπορεί να είναι θετικές ή αρνητικές Θετική τιµή συνεπάγεται ότι το σώµα κινείται στη θετική διεύθυνση του x
Μετατόπιση και Μέση ταχύτητα ΦΥΣ 111 - Διαλ.04 5 Ένας κοµήτης πλησιάζει τον ήλιο. Τη στιγµή t 1, βρίσκεται στη θέση x 1 =3.0x10 12 m ενώ ένα χρόνο µετά βρίσκεται στη θέση x 2 = 2.1x10 12 m. Να βρεθεί η µετατόπιση και η µέση διανυσµατική ταχύτητα του κοµήτη. Η µετατόπιση του κοµήτη είναι: Δx = x 2 x 1 = 2.1 10 12 3.0 10 12 = 0.9 10 12 m Η µέση διανυσµατική ταχύτητα του κοµήτη είναι:! υ = Δ! x ( Δt = x 2 x 1 ) ˆx ( 9.0 10 11 m) ˆx = 3.16 10 7 sec 3.16 10 7 sec = 2.85 104 m / s = 28.5km / s 1 έτος = 365 ηµέρες, 1 ηµέρα = 24 ώρες, 1 ώρα = 60 λεπτά, 1 λεπτό = 60 sec, Δ x! = ( Δx) ˆx = ( x 2 x 1 ) ˆx ( ) ˆx 1 έτος = 365 x 24 x 60 x 60 = 3.16 x 10 7 sec # Τόσο η µετατόπιση όσο και η µέση διανυσµατική ταχύτητα του κοµήτη είναι αρνητικές µια και ο κοµήτης κινείται προς µικρότερες τιµές του x
Μετατόπιση και Μέση ταχύτητα ΦΥΣ 111 - Διαλ.04 6 Στο αγώνισµα των 100m, καλύπτετε την απόσταση των 50m µε µέση διανυσµατική ταχύτητα 10m/s και τα επόµενα 50m µε µέση διανυσµατική ταχύτητα 8m/s. Ποια η µέση διανυσµατική ταχύτητά σας στο αγώνισµα αυτό; Η ολική µετατόπιση είναι: Δ x! = x 2 ˆx x 1 ˆx = ( 100m) ˆx Χρειάζεται να βρούµε τον ολικό χρόνο κίνησης t ολ : είναι ο χρόνος Δt 1 για τα πρώτα 50m και ο Δt 2 για τα τελευταία 50m: Δt ολ = Δt 1 + Δt 2 Για να βρούµε τον χρόνο Δt 1 και Δt 2 χρησιµοποιούµε τον ορισµό της µέσης διανυσµατικής ταχύτητας:! υ = Δ! x Δx Δt = Δt υ Αντικαθιστώντας την ταχύτητα για τα πρώτα 50m και αυτή για τα τελευταία 50m έχουµε: Δt 1 = Δx 1 = 50m υ 1 10m / s Δt 1 = 5sec και αντίστοιχα: Δt 2 = Δx 2 = 50m υ 2 8m / s = 6.25sec O ολικός χρόνος κίνησης είναι: Δt ολ = 5 + 6.25 = 11.25sec H µέση διανυσµατική ταχύτητα για το αγώνισµα αυτό ήταν:! υ = Δ! x Δt = 100 ˆx 11.25! υ = ( 8.89m / sec) ˆx
Μετατόπιση και Μέση ταχύτητα ΦΥΣ 111 - Διαλ.04 7 Δυο τρένα που βρίσκονται σε απόσταση 75km κινούνται σε αντίθετη κατεύθυνση µε µέση ταχύτητα 15km/h. Ένα πουλί πετά µε µέση ταχύτητα 20km/h µεταξύ των 2 τρένων από το ένα στο άλλο και µετά επιστρέφει και πάλι προς το άλλο τρένο. Ποια η απόσταση που θα έχει διανύσει το πουλί όταν τα 2 τρένα συναντηθούν; Σύµφωνα µε την σχέση που δίνει τη µέση ταχύτητα: υ = Δs Δt Δs = υδt = ( 20km / h)δt O συνολικός χρόνος που πετά το πουλί είναι ο χρόνος που χρειάζεται µέχρι να συναντηθούν τα 2 τρένα. Τα 2 τρένα κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις µε ταχύτητα 15km/h και εποµένως η απόστασή τους ελαττώνεται µε ρυθµό 30 km ανά ώρα. # Tα τρένα θα καλύψουν την αρχική τους απόσταση σε χρόνο: Δt = 75km 30km / h = 2.5h Σε αυτό το χρoνικό διάστηµα το πουλί θα έχει καλύψει απόσταση: Δs = ( 20km / h)2.5h = 50km
Στιγµιαία ταχύτητα Ορίζεται ως Δx v = lim Δt 0 Δt = d x dt ΦΥΣ 111 - Διαλ.04 8 Διαφορικός λογισμός v είναι η κλίση της εφαπτομένης τoυ γραφήματος θέση-χρόνος στα διάφορα σημεία. x B C Στο Α dx dt > 0! v A > 0 A Στο B dx dt = 0! v B =! 0 t Στο C dx dt < 0! v B < 0 # Η στιγμιαία ταχύτητα έχει ίδιο πρόσημο με το πρόσημο της Δx
Στιγµιαία ταχύτητα Η θέση ενός σώµατος συναρτήσει του χρόνου δίνεται από το διπλανό γράφηµα. (α) Ποια η στιγµιαία ταχύτητα του σώµατος τη στιγµή t = 2sec. (β) Πότε αποκτά την µέγιστη ταχύτητα; (γ) Πότε η ταχύτητά του είναι 0; x 2 x 1 ΦΥΣ 111 - Διαλ.04 9 Σχηµατίζουµε την εφαπτοµένη του γραφήµατος θέσης - χρόνου για την χρονική στιγµή t = 2sec. Υπολογίζουµε την κλίση της ευθείας αυτής θεωρώντας 2 χρονικές στιγµές και βρίσκοντας τις αντίστοιχες τιµές του x που βρίσκονται πάνω στην εφαπτοµένη Έστω t 1 =2sec και t 2 =5sec. H θέσεις που αντιστοιχούν είναι x 1 =4m και x 2 =8.5m Η κλίση της ευθείας της εφαπτοµένης ισούται µε την στιγµιαία ταχύτητα οπότε: υ( t = 2) = tanϕ = Δx Δt = ( 8.5 4)m = 1.5m / sec ( 5 2)sec Από το γράφηµα παρατηρούµε ότι: # η µέγιστη κλίση (εποµένως και στιγµιαία ταχύτητα) εµφανίζεται για t=4sec # η κλίση (εποµένως και στιγµιαία ταχύτητα) είναι 0 για t = 0 και t = 6sec
Εύρεση της ταχύτητας σε ένα x-t γράφηµα # Μεταξύ των σημείων Α και Β x < 0 αλλά αυξάνει # H κλίση αυξάνει συνεχώς και άρα το σώμα κινείται με αυξάνουσα ταχύτητα προς θετικά x # Στο Β η κλίση και επομένως η ταχύτητα έχουν τις μέγιστες τιμές # Μεταξύ Β και C η κλίση καi ταχύτητα ελαττώνονται αλλά εξακολουθεί να κινείται στην +x διεύθυνση # Στο σημείο C η κλίση και ταχύτητα είναι 0 # Από το σημείο C μέχρι το Ε, x>0 αλλά ελαττώνεται και επομένως η κλίση και ταχύτητα είναι αρνητικές ΦΥΣ 111 - Διαλ.04 10 # Στο σημείο Ε, η κλίση και ταχύτητα $0 καθώς το x$0
Μέση επιτάχυνση ΦΥΣ 111 - Διαλ.04 11 x x 0 Σταθερή κλίση φ Δt Δx t V x =σταθ. v x = tanφ = Δx Δt = x x 0 v x = x x 0 t t 0 t x = x 0 +v x t! Στην πραγματικότητα x(t) μπορεί να μην είναι γραμμική: x(t)=f(t) = at 2 +bt+c Tότε v x δεν είναι σταθερή αλλά εξαρτάται από το χρόνο t # Πόσο γρήγορα όμως μεταβάλλεται η ταχύτητα με το χρόνο? Η μέση τιμή της μεταβολής από t i "t f a = Δ v(t) Δt = v(t + Δt) v(t) (t + Δt) t H κλίση είναι η μέση επιτάχυνση = v(t + Δt) v(t) Δt Η μέση επιτάχυνση είναι διάνυσμα v v(t i ) t f = t i + Δt Δv v(t f ) Δt t i t f t
x Στιγµιαία επιτάχυνση Όταν Δt$0 A v < 0 B v = 0 a t ( ) = lim Δt 0 C v > 0 α x > 0 v t + Δt ( ) v ( t) Δt = d v( t) dt x ΦΥΣ 111 - Διαλ.04 12 με μονάδες: [ L] T v = 0 α x < 0 B v > 0 C v < 0 A [ ] 2 = m / s2 t Από το Α στο Β το σώµα κινείται προς x. Το µέτρο της ταχύτητας ελαττώνεται αλλά Δ v! > 0 και η! επιτάχυνση είναι θετική. Εποµένως v και a! έχουν αντίθετη κατεύθυνση Από το Β στο C το σώµα κινείται προς +x. Το µέτρο της ταχύτητας αυξάνει και Δ v! > 0 Η επιτάχυνση είναι θετική όπως και η ταχύτητα, δηλαδή έχουν ίδια κατεύθυνση. t Από το Α στο Β το σώµα κινείται προς +x. Το µέτρο της ταχύτητας ελαττώνεται και Δ!!! v < 0 και άρα Εποµένως v και! a < 0 a έχουν αντίθετη κατεύθυνση. Από το Β στο C το σώµα κινείται προς -x. Το µέτρο της ταχύτητας αυξάνει! και Δ v!! < 0 και άρα Άρα v και a! a < 0 έχουν ίδια κατεύθυνση
Εύρεση της επιτάχυνσης σε ένα v - t γράφηµα # Από το Α στο Β, v < 0 αλλά αυξάνει (αλγεβρικά) ωστόσο το μέτρο της ελαττώνεται), η κλίση άρα και επιτάχυνση είναι θετικές # Το σωματίδιο φρενάρει μέχρι το Β όπου v = 0 (σταματά στιγμιαία) αλλά εξακολουθεί να δέχεται επιτάχυνση αφού η κλίση είναι μη μηδενική ΦΥΣ 111 - Διαλ.04 13 # Από το Β στο C, v > 0 και αυξάνει, η κλίση και επιτάχυνση είναι θετικές αλλά ελαττώνεται # Στο C, v = max αλλά η επιτάχυνση είναι 0 # Από το C στο D, v > 0, τo μέτρο της μειώνεται και η επιτάχυνση είναι αρνητική. To σώμα επιταχύνεται προς τα αρνητικά x # Στο D, v = 0 και σταματά αλλά εξακολουθεί να δέχεται αρνητική επιτάχυνση # Από το D στο Ε, v < 0 και το μέτρο της αυξάνει. Η επιτάχυνση είναι αρνητική. Το σώμα επιταχύνει
Quiz ΦΥΣ 111 - Διαλ.04 14 # Γράψτε σε μια σελίδα το όνομά σας και τον αριθμό ταυτότητάς σας Έτοιµοι