1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ (η τεχνική τυ αρκεί να απδείξυµε ότι... ) Παναγιώτης Λ. Θεδωρόπυλς Σχλικός Σύµβυλς κλάδυ ΠΕ03 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν µε σκπό να βηθήσυν τυς µαθητές της Α' Λυκείυ στην πρώτη τυς συστηµατική επαφή µε τις ασκήσεις απόδειξης στη Γεωµετρία και περιέχυν: 1. Γενικές δηγίες αντιµετώπισης µιας άσκησης απόδειξης στη Γεωµετρία όπυ δίνεται έµφαση στην τεχνική τυ αρκεί να απδείξυµε ότι.... 2. Ειδικές περιπτώσεις συµπερασµάτων πυ αναφέρνται στην ύλη της Γεωµετρίας της Α' Λυκείυ και 3. Ασκήσεις λυµένες υπδειγµατικά. Οι ασκήσεις της Γεωµετρίας στην πλεινότητά τυς είναι ασκήσεις απόδειξης. Συναντάµε όµως και πρβλήµατα κατασκευής ενός σχήµατς, πρβλήµατα υπλγισµύ ενός µεγέθυς, πρβλήµατα εύρεσης ενός γεωµετρικύ τόπυ κλπ. Στις ασκήσεις απόδειξης ζητείται συνήθως να απδειχθεί ότι αν ισχύει µία πρόταση P (Υπόθεση), τότε θα ισχύει µία άλλη πρόταση Q (Συµπέρασµα). Αξίζει να αναφερθεί ότι η Γεωµετρία (θεωρία και ασκήσεις) συµβάλλει σηµαντικά στην ανάπτυξη της αναλυτικής, διαισθητικής και κριτικής σκέψης. Χαρακτηριστικά είναι τα δύ ιστρικά στιχεία πυ ακλυθύν στα πία φαίνεται η µεγάλη αξία της Ευκλείδειας Γεωµετρίας. Α. Ο Πλάτων, πίς αντιµετώπιζε τα Μαθηµατικά καθαρά ως αντικείµεν στχασµύ, θεωρύσε τη Γεωµετρία ως πρπαιδευτικό µάθηµα για τη Φιλσφία και γι' αυτό στην είσδ της Ακαδηµίας είχε τπθετήσει µία επιγραφή µε τη φράση: «Μηδείς αγεωµέτρητς εισίτω». Β. Όταν βασιλιάς της Αιγύπτυ Πτλεµαίς Α, γητευµένς από τα Στιχεία τυ Ευκλείδη, ζήτησε από τν Ευκλείδη να τυ υπδείξει έναν πι εύκλ τρόπ για να µάθει Γεωµετρία, τότε τελευταίς τυ απάντησε µε την ιστρική φράση: «εν υπάρχει βασιλική δός για την Γεωµετρία». Μπρεί λιπόν τα µνπάτια της Γεωµετρίας να είναι δύσβατα, αξίζει όµως τν κόπ να τα διαβεί κανείς, γιατί κρύβυν αρκετή γητεία και επιφυλάσσυν πλλές εκπλήξεις!
2 ΓΕΝΙΚΕΣ Ο ΗΓΙΕΣ Πρέπει να γνωρίζυµε ότι στη Γεωµετρία κάθε άσκηση απτελεί σχεδόν ιδιαίτερη περίπτωση και επµένως δεν είναι εύκλ να δώσυµε ειδική µεθδλγία για τη λύση όλων των ασκήσεων. Ωστόσ, µπρύµε να δώσυµε κάπιες γενικές δηγίες. Έτσι λιπόν, για να λύσυµε µία άσκηση απόδειξης στη Γεωµετρία συνήθως ακλυθύµε τα παρακάτω βήµατα. 1. ιαβάζυµε πρσεκτικά την άσκηση και απµνώνυµε τα βασικά της µέρη, δηλαδή ξεχωρίζυµε την Υπόθεση και τ Συµπέρασµα. Αυτό θα µας βηθήσει και να κατανήσυµε καλύτερα την άσκηση, αλλά και αν έχυµε καταγράψει τα στιχεία της σε πίνακα, να έχυµε καλύτερη πρόσβαση σ' αυτά, ώστε να µην τα ξεχνάµε. 2. Στη συνέχεια, κάνυµε ένα καλό σχήµα τ πί θα πρέπει να ανταπκρίνεται στα δεδµένα της άσκησης. Ίσως χρειασθεί να χαράξυµε και κάπια ή κάπιες βηθητικές γραµµές (ευθείες ή κύκλυς). Αυτό εξαρτάται φυσικά από την άσκηση (υπόθεση, συµπέρασµα, θεωρία κλπ.). Μία καλή συνήθεια εδώ είναι να σηµειώνυµε πάνω στ σχήµα στα ίσα στιχεία τ ίδι σύµβλ καθώς και τη σχέση διαφόρων µεγεθών, είτε αυτά δίννται εξ αρχής είτε πρκύπτυν κατά την πρεία της λύσης της άσκησης. Αυτό, και θα µας υπενθυµίζει τα στιχεία της άσκησης, όταν σκεπτόµαστε για να την λύσυµε, αλλά και γενικότερα µπρεί να µας βηθήσει να συλλάβυµε και κάπια ιδέα για τη λύση. 3. Σε πλλές ασκήσεις απόδειξης µια τακτική πυ συνήθως ακλυθύµε είναι η τεχνική τυ «αρκεί να απδείξυµε ότι...», δηλ. αν θέλυµε να απδείξυµε την αλήθεια ενός Συµπεράσµατς Σ, τότε παρατηρύµε λαµβάνντας υπόψη τα στιχεία της άσκησης, τί πρέπει να ισχύει (Σ π ) για να εξαχθεί τ συ- µπέρασµα Σ. Στη συνέχεια πρσπαθύµε να απδείξυµε τ συµπέρασµα Σ π. Σχηµατικά η διαδικασία αυτή µπρεί να απδθεί ως εξής: 4. Κατόπιν συνδέυµε την υπόθεση µε την αντίστιχη θεωρία (ρισµύς, θεωρήµατα κλπ.), ώστε να εξάγυµε τα κατάλληλα ενδιάµεσα συµπεράσµατα ή απτελέσµατα, τα πία θα χρησιµπιήσυµε στη συνέχεια. Στ βήµα αυτό πρέπει να αναρωτιόµαστε πώς µπρύµε να χρησιµπιήσυµε κάθε στιχεί της υπόθεσης, ώστε να δηγηθύµε στ συµπέρασµα. Εννείται βέβαια ότι πρέπει να γνωρίζυµε πλύ καλά την αντίστιχη θεωρία. Η διαδικασία αυτή είναι πλύ σηµαντική, διότι σκιαγραφεί την πρεία της απόδειξης.
3 Η παραπάνω τεχνική θα κατανηθεί καλύτερα µε τη βήθεια τυ επόµενυ παραδείγµατς. Παράδειγµα: Να απδειχθεί ότι τ συµµετρικό τυ ρθόκεντρυ ενός τριγώνυ ΑΒΓ ως πρς κάθε πλευρά τυ είναι σηµεί τυ περιγεγραµµένυ τυ κύκλυ. ( είτε τ παρακάτω σχήµα για ξυγώνι τρίγων). Υπόδειξη (Αρκεί να απδειχθεί για τη µία πλευρά, έστω την ΒΓ. Για τα άλλες δύ η απόδειξη είναι ίδια). 1 ς τρόπς (Άµεσα. εν έχυµε φέρει τν περιγεγραµµέν κύκλ): Έστω Η' τ συµµετρικό τυ Η ως πρς τη ΒΓ. Θέλυµε να απδείξυµε ότι τ Η' είναι σηµεί τυ περιγεγραµµένυ κύκλυ τυ τριγώνυ ΑΒΓ. Για να απδειχθεί αυτό, αρκεί να απδείξυµε ότι τ τετράπλευρ ΑΒΗ'Γ είναι εγγράψιµ. 2 ς τρόπς (Έµµεσα. Έχυµε φέρει τν περιγεγραµµέν κύκλ): Πρεκτείνυµε τ ύψς Α τυ τριγώνυ ΑΒΓ µέχρι να τµήσει τν περιγεγραµµέν τυ κύκλ. Έστω Η' τ σηµεί τµής. Για να εξαχθεί τ συµπέρασµα, αρκεί να απδείξυµε ότι τ Η' είναι τ συµµετρικό τυ Η ως πρς τη ΒΓ και για να απδειχθεί αυτό, αρκεί να απδείξυµε ότι τ τρίγων ΒΗΗ' είναι ισσκελές µε βάση την ΗΗ. Ανάλγα εργαζόµαστε και αν τ τρίγων είναι ρθγώνι ή αµβλυγώνι.
4 ΕΙ ΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΩΝ Ενδεικτικά αναφέρυµε µερικές περιπτώσεις συµπερασµάτων Σ (πυ θέλυµε να απδείξυµε) µε αντίστιχα συµπεράσµατα Σ π (τα πία αρκεί να απδείξυµε). Η επιλγή τυ Σ π κάθε φρά εξαρτάται από τα στιχεία της άσκησης. Βέβαια τ θέµα παραµένει ανικτό γιατί δεν εξαντλύνται εύκλα όλες ι περιπτώσεις. I Ίσα ευθύγραµµα τµήµατα Για να απδείξυµε ότι δύ ευθύγραµµα τµήµατα είναι ίσα, αρκεί να απδείξυµε ότι είναι αντίστιχες πλευρές δύ ίσων τριγώνων (θα απδείξυµε φυσικά ότι τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα) ή ότι είναι αθρίσµατα ή διαφρές ίσων τµηµάτων ή ότι είναι ι ίσες πλευρές ενός ισσκελύς τριγώνυ ή πλευρές ισόπλευρυ τριγώνυ ή ότι τ καθένα είναι ίσ µε κάπι τρίτ ευθύγραµµ τµήµα ή ότι είναι απέναντι πλευρές παραλληλγράµµυ ή ότι είναι διαγώνιες ρθγωνίυ ή ισσκελύς τραπεζίυ ή ότι είναι χρδές ίσων τόξων ή ότι είναι τα εφαπτόµενα τµήµατα πυ φέρνυµε πρς ένα κύκλ από ένα σηµεί ε- κτός αυτύ ή ότι είναι ακτίνες τυ ίδιυ κύκλυ ή ότι είναι χρδές ενός κύκλυ ή δύ ίσων κύκλων και έχυν ίσα απστήµατα ή ότι ρίζνται πάνω σε µια ευθεία πυ τέµνεται από παράλληλες ευθείες, ι πίες ρίζυν ίσα τµήµατα σε µια άλλη ευθεία πυ τις τέµνει ή ότι II Ίσες γωνίες Για να απδείξυµε ότι δύ γωνίες είναι ίσες, αρκεί να απδείξυµε ότι είναι αντίστιχες γωνίες δύ ίσων τριγώνων ή ότι η καθεµία είναι ίση µε κάπια τρίτη γωνία ή ότι είναι ίσες µία πρς µία µε δύ άλλες γωνίες πυ είναι ίσες µεταξύ τυς ή ότι είναι κατακρυφήν ή ότι είναι αθρίσµατα ή διαφρές ίσων γωνιών ή ότι
5 είναι παραπληρώµατα ή συµπληρώµατα της ίδιας γωνίας ή ίσων γωνιών ή ότι είναι ι πρσκείµενες γωνίες στη βάση ενός ισσκελύς τριγώνυ ή ενός ισσκελύς τραπεζίυ ή ότι είναι επίκεντρες ή εγγεγραµµένες στν ίδι κύκλ ή σε ίσυς κύκλυς και βαίνυν σε ίσα τόξα ή ότι είναι εντός εναλλάξ ή εντός εκτός και επί τα αυτά µέρη δύ παραλλήλων ευθειών πυ τέµννται από µία τρίτη ευθεία ή ότι είναι απέναντι γωνίες ενός παραλληλγράµµυ ή ότι η µία γωνία, έστω φ, σχηµατίζεται από µία χρδή ενός κύκλυ και την εφαπτµένη τυ στ ένα άκρ της χρδής αυτής και η άλλη είναι εγγεγραµµένη στν κύκλ αυτό και βαίνει στ τόξ της χρδής πυ περιέχεται στην φ ή ότι ι κρυφές τυς είναι διαδχικές κρυφές εγγράψιµυ τετραπλεύρυ και ι πλευρές τυς διέρχνται από τα άκρα της απέναντι πλευράς ή ότι έχυν τις πλευρές τυς παράλληλες ή κάθετες µία πρς µία και είναι και ι δύ ξείες ή και ι δύ αµβλείες ή ότι... ΙΙΙ ύ ευθύγραµµα τµήµατα έχυν κινό µέσ (Ανάλγα εργαζόµαστε και για να απδείξυµε ότι δύ γωνίες έχυν κινή διχτόµ ή δύ τόξα κινό µέσ). Για να απδείξυµε ότι δύ ευθύγραµµα τµήµατα έχυν κινό µέσ, αρκεί να απδείξυµε ότι τ µέσ τυ ενός είναι και µέσ τυ άλλυ ή ότι τ ένα βρίσκεται στ εσωτερικό τυ άλλυ και τα τµήµατα πυ περιέχνται ανάµεσά τυς είναι ίσα (τα τµήµατα έχυν τν ίδι φρέα) ή ότι (µόν για ευθύγραµµα τµήµατα) είναι διαγώνιες παραλληλγράµµυ ή ότι... ΙV ύ ευθείες ταυτίζνται Για να απδείξυµε ότι δύ ευθείες ταυτίζνται, αρκεί να απδείξυµε ότι είναι παράλληλες µεταξύ τυς και διέρχνται από τ ίδι σηµεί ή ότι είναι παράλληλες στην ίδια ευθεία και διέρχνται από τ ίδι σηµεί ή ότι
6 είναι κάθετες στην ίδια ευθεία και διέρχνται από τ ίδι σηµεί ή ότι αν τέµνυν στ ίδι σηµεί, έστω Α, µία τρίτη ευθεία (ε) και αν Β και Γ είναι σηµεία των δύ ευθειών πυ βρίσκνται πρς τ ίδι µέρς της (ε) και σηµεί της (ε) και ισχύει ΒΑ =ΓΑ ˆ ˆ ή ότι V Τρία σηµεία συνευθειακά Για να απδείξυµε ότι τρία σηµεία, έστω Α, Β, Γ (Β τ µεσαί), είναι συνευθειακά, αρκεί να απδείξυµε ότι ΑΒ ˆ Γ = 180 ή ότι δύ ευθείες πυ ρίζνται από αυτά π.χ. ι ΑΒ και ΑΓ ταυτίζνται π.χ. είναι κάθετες ή παράλληλες στην ίδια ευθεία ή ότι τ ευθύγραµµ τµήµα ΑΓ είναι ίσ µε τ άθρισµα των δύ άλλων ευθυγράµµων τµηµάτων ΑΒ και ΒΓ, δηλ. ΑΓ = ΑΒ + ΒΓ ή ότι τ µήκς τυ ευθυγράµµυ τµήµατς ΑΓ είναι ίσ µε τ άθρισµα των µηκών των δύ άλλων ευθυγράµµων τµηµάτων ΑΒ και ΒΓ, δηλ. (ΑΓ) = (ΑΒ) + (ΒΓ) ή ότι η ευθεία πυ ρίζεται από τα δύ σηµεία διέρχεται και από τ τρίτ σηµεί (π.χ. η ευθεία ΑΒ διέρχεται από τ σηµεί Γ) ή ότι VI Ορθγώνι τρίγων Για να απδείξυµε ότι ένα τρίγων είναι ρθγώνι, αρκεί να απδείξυµε ότι µία γωνία τυ είναι ρθή ή ότι δύ γωνίες τυ είναι συµπληρωµατικές ή ότι η διάµεσς πυ φέρνυµε από µία κρυφή τυ είναι ίση µε τ µισό της αντίστιχης πλευράς ή ότι είναι ίσ µε ένα άλλ τρίγων πυ ξέρυµε ότι είναι ρθγώνι ή ότι
7 VΙI Ευθείες κάθετες Για να απδείξυµε ότι δύ ευθείες είναι κάθετες, αρκεί να απδείξυµε ότι σχηµατίζεται ρθγώνι τρίγων µε κρυφή της ρθής γωνίας τ σηµεί τ- µής τυς. (Φυσικά πρέπει να απδείξυµε ότι τ τρίγων αυτό είναι ρθγώνι) ή ότι σχηµατίζυν γωνία 90 ή ότι ηµιευθείες τυς µε αρχή τ κινό τυς σηµεί είναι διχτόµι δύ εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών ή ότι η µία είναι η µεσκάθετς ενός ευθυγράµµυ τµήµατς τυ πίυ φρέας είναι η άλλη ή ότι στη µία ευθεία ανήκει η διχτόµς ή η διάµεσς πυ ξεκινά από την κρυφή ενός ισσκελύς τριγώνυ και στην άλλη ευθεία ανήκει η βάση τυ τριγώνυ αυτύ ή ότι ένα τµήµα της µιας ευθείας είναι πλευρά ενός τριγώνυ και η άλλη ευθεία διέρχεται από την απέναντι κρυφή τυ τριγώνυ αυτύ και από τ ρθόκεντρό τυ ή ότι είναι παράλληλες µία πρς µία µε δύ άλλες ευθείες, πυ γνωρίζυµε ότι είναι κάθετες µεταξύ τυς ή ότι η µία ευθεία είναι παράλληλη σε µια τρίτη ευθεία, πυ γνωρίζυµε ότι είναι κάθετη στην άλλη ή ότι τµήµατά τυς είναι διαγώνιες ρόµβυ ή ότι η µία είναι εφαπτµένη ενός κύκλυ και η άλλη διέρχεται από τ σηµεί επαφής και τ κέντρ τυ κύκλυ ή ότι... VIII Μεσκάθετς ευθυγράµµυ τµήµατς Για να απδείξυµε ότι µία ευθεία είναι µεσκάθετς ενός ευθυγράµµυ τµήµατς, αρκεί να απδείξυµε ότι
8 διέρχεται από τ µέσ τυ ευθυγράµµυ τµήµατς και είναι κάθετη σ αυτό ή ότι διέρχεται από τ µέσ τυ ευθυγράµµυ τµήµατς και ένα σηµεί της ισαπέχει από τα άκρα τυ ή ότι δύ σηµεία της ισαπέχυν από τα άκρα τυ ευθυγράµµυ τµήµατς ή ότι... IΧ Τρεις ευθείες διέρχνται από τ ίδι σηµεί (συντρέχυν) Για να απδείξυµε ότι τρεις ευθείες διέρχνται από τ ίδι σηµεί, αρκεί να απδείξυµε ότι τµήµατά τυς είναι δευτερεύντα στιχεία ενός τριγώνυ, δηλ. διχτόµι, ύψη ή διάµεσι ή ότι είναι µεσκάθετες των πλευρών ενός τριγώνυ ή ότι ι δύ ευθείες τέµννται σε ένα σηµεί και από αυτό τ σηµεί διέρχεται και η τρίτη ευθεία ή ότι δύ από τις ευθείες τέµννται σε ένα σηµεί, έστω Α και άλλες δύ (µία ευθεία θα είναι και στα δύ ζεύγη) τέµννται σε ένα σηµεί, έστω Β και τα δύ σηµεία Α και Β ταυτίζνται ή ότι ι δύ ευθείες τέµννται σε ένα σηµεί και η ευθεία πυ ρίζεται από τ σηµεί τµής τυς και από ένα σηµεί της τρίτης ευθείας είναι η τρίτη ευθεία ή ότι... X Μέσ ευθυγράµµυ τµήµατς Για να απδείξυµε ότι ένα σηµεί (έστω Μ) ενός ευθυγράµµυ τµήµατς (έστω ΑΒ) είναι µέσ τυ ευθυγράµµυ τµήµατς αρκεί να απδείξυµε ότι ΜΑ = ΜΒ (δείτε απόδειξη ισότητας ευθυγράµµων τµηµάτων) ή ότι τ ευθύγραµµ τµήµα ΑΒ είναι διαγώνις παραλληλγράµµυ και τ σηµεί Μ είναι τ σηµεί τµής των διαγωνίων τυ ή ότι τ τµήµα ΑΒ είναι πλευρά τριγώνυ και τ σηµεί Μ είναι τ σηµεί πυ τέµνει την πλευρά ΑΒ η διάµεσς από την απέναντι κρυφή (δηλ. η ευθεία πυ άγεται από την απέναντι κρυφή και διέρχεται από τ βαρύκεντρ τυ τριγώνυ) ή ότι
9 τ τµήµα ΑΒ είναι πλευρά τριγώνυ και τ σηµεί Μ είναι τ σηµεί τµής της ΑΒ µε την παράλληλη πυ άγεται από τ µέσ µιας άλλης πλευράς πρς την τρίτη πλευρά τυ τριγώνυ ή ότι XI Παράλληλες ευθείες Για να απδείξυµε ότι δύ ευθείες είναι παράλληλες µεταξύ τυς αρκεί να απδείξυµε ότι τµήµατά τυς είναι απέναντι πλευρές παραλληλγράµµυ ή ότι είναι κάθετες στην ίδια ευθεία σε διαφρετικά σηµεία ή ότι τέµννται από µία τρίτη ευθεία και δύ εντός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες ή δύ εντός εκτός και επί τα αυτά µέρη γωνίες είναι ίσες ή δύ εντός και επί τα αυτά µέρη γωνίες είναι παραπληρωµατικές ή ότι καθεµία είναι παράλληλη πρς µία τρίτη ευθεία ή ότι τέµνυν δύ άλλες τεµνόµενες; ευθείες και ρίζυν πάνω σ' αυτές ανάλγα τµήµατα ή ότι η µία ευθεία διέρχεται από τα µέσα των πλευρών ενός τριγώνυ και η άλλη είναι φρέας της τρίτης πλευράς τυ τριγώνυ αυτύ ή ότι η µία ευθεία διέρχεται από τα µέσα των µη παραλλήλων πλευρών ενός τραπεζίυ και η άλλη είναι φρέας µιας βάσης τυ τραπεζίυ αυτύ ή ότι ΧΙI Εφαπτµένη κύκλυ Για να απδείξυµε ότι µία ευθεία εφάπτεται σε ένα κύκλ, αρκεί να απδείξυ- µε ότι είναι κάθετη σε µία ακτίνα τυ κύκλυ στ άκρ της ακτίνας πυ είναι σηµεί τυ κύκλυ ή ότι τέµνει τν κύκλ σε ένα σηµεί, έστω Μ, και η γωνία ω πυ σχηµατίζει µε µία χρδή τυ κύκλυ της πίας ένα άκρ είναι τ Μ είναι ίση µε κάθε εγγεγραµµένη γωνία πυ βαίνει στ τόξ της χρδής πυ περιέχεται στην ω ή ότι τ κάθετ τµήµα πυ φέρνυµε από τ κέντρ τυ κύκλυ πρς την ευθεία είναι ίσ µε την ακτίνα τυ κύκλυ ή ότι...
10 ΧΙΙI Ισσκελές τρίγων Για να απδείξυµε ότι ένα τρίγων είναι ισσκελές, αρκεί να απδείξυµε ότι δύ πλευρές τυ είναι ίσες ή ότι δύ γωνίες τυ είναι ίσες ή ότι ένα ύψς τυ είναι και διχτόµς ή διάµεσς ή ότι µία διχτόµς τυ είναι και ύψς ή διάµεσς ή ότι µία διάµεσς τυ είναι και ύψς ή διχτόµς ή ότι... ΧΙV ιχτόµς γωνίας Για να απδείξυµε ότι µία ηµιευθεία είναι διχτόµς µιας γωνίας, αρκεί να απδείξυµε ότι η ηµιευθεία αυτή σχηµατίζει ίσες γωνίες µε τις πλευρές της γωνίας ή ότι ένα σηµεί της ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας ή ότι η γωνία είναι γωνία ενός τριγώνυ και η ηµιευθεία έχει ως αρχή την αντίστιχη κρυφή τυ τριγώνυ αυτύ και διέρχεται από τ έγκεντρό τυ ή ότι η γωνία είναι η γωνία των ίσων πλευρών ισσκελύς τριγώνυ και η ηµιευθεία έχει αρχή την κρυφή τυ τριγώνυ αυτύ και είναι κάθετη στη βάση ή διέρχεται από τ µέσ της βάσης ή ότι ΧV Παραλληλόγραµµ ρθγώνι ρόµβς - τετράγων Για να απδείξυµε ότι ένα τετράπλευρ είναι παραλληλόγραµµ, ρθγώνι, ρόµβς ή τετράγων µπρύµε να χρησιµπιήσυµε ένα από τα αντίστιχα κριτήρια πυ αναφέρνται στ σχλικό βιβλί.
11 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Ως εφαρµγή των παραπάνω ας δύµε τρεις ασκήσεις λυµένες υπδειγµατικά. Στην παρυσίαση της λύσης (τετράδι, διαγώνισµα) θα γράφυµε πωσδήπτε τη διαδικασία της απόδειξης και ό,τι άλλ κρίνεται απαραίτητ. 1 παράδειγµα: ίνεται γωνία xo ˆ y και η διχτόµς της Οδ. Από σηµεί Α της Οy φέρνυµε παράλληλη πρς την Οδ πυ τέµνει την πρέκταση της Οx στ Β. Να απδείξετε ότι ΟΑ = ΟΒ. Λύση Τα βασικά µέρη της άσκησης Υπόθεση Συµπέρασµα Οδ διχτόµς της xo ˆ y, Α τυχαί σηµεί της Οy και ΑΒ Οδ (Β σηµεί της πρέκτασης της Οx πρς τ Ο). ΟΑ = ΟΒ. Κατασκευή τυ σχήµατς «Αρκεί να απδείξυµε ότι...» Ζητείται να απδείξυµε ότι ΟΑ = ΟΒ (Συµπέρασµα). Για να απδειχθεί αυτό, αρκεί να απδείξυµε ότι τ τρίγων ΟΑΒ είναι ισσκελές και για να απδειχθεί αυτό, αρκεί να απδείξυµε ότι Â ˆ 1 = Β1. (Λόγω των παραλλήλων ευθειών και της διχτόµυ είναι ευκλότερ να βρύµε σχέσεις µεταξύ γωνιών).
12 Σύνδεση των δεδµένων µε τη θεωρία Η Οδ είναι διχτόµς της γωνίας xo ˆ y. Αυτό σηµαίνει ότι χωρίζει τη γωνία σε δύ ίσες γωνίες. (Στ σχήµα στις ίσες γωνίες έχυµε σηµειώσει τ γράµµα ω). ΑΒ Οδ. Παρατηρύµε ότι ι ευθείες αυτές τέµννται από τις Οy και Οx, πότε θα ισχύυν όλα τα συµπεράσµατα τυ θεωρήµατς των παραλλήλων ευθειών (εντός εναλλάξ γωνίες ίσες κλπ....). Aπόδειξη Έχυµε: Â 1 = ΑΟˆ δ (1), ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΒ και Οδ µε τέµνυσα την Οy. Β ˆ 1 = xôδ (2), ως εντός εκτός και επί τα αυτά µέρη των παραλλήλων ΑΒ και Οδ µε τέµνυσα τη Βx. Α Οˆ δ= xôδ (3), επειδή η Οδ είναι διχτόµς της xo ˆ y. Από τις σχέσεις (1), (2) και (3) πρκύπτει ότι Â ˆ 1 = Β1. Άρα τ τρίγων ΟΑΒ είναι ισσκελές και επµένως ΟΑ = ΟΒ. 2 παράδειγµα: Έστω τρίγων ΑΒΓ µε ΒΓ = 2ΑΒ και Βˆ = 2Γˆ. Να απδείξετε ότι Α ˆ = 90. Λύση Τα βασικά µέρη της άσκησης Υπόθεση ΑΒΓ τρίγων µε ΒΓ = 2ΑΒ και Βˆ = 2Γˆ Συµπέρασµα Α ˆ = 90 Κατασκευή τυ σχήµατς Η άσκηση αυτή είναι λίγ διαφρετική από την πρηγύµενη, γιατί χρειάζεται να χαράξυµε και κάπιες γραµµές (βηθητικές). Σ' αυτό µας κατευθύνει η υ- πόθεση. Τη σχέση των γωνιών Β και Γ µπρύµε να την εκφράσυµε στ σχήµα φέρνντας τη διχτόµ της γωνίας Β και θέτντας στις ίσες γωνίες τ γράµµα ω. Επίσης, τη σχέση των πλευρών ΒΓ και ΑΒ µπρύµε να την εκφράσυµε σηµειώνντας τ µέσ Μ της ΒΓ και θέτντας στα ίσα τµήµατα τ ίδι σύµβλ (δύ µικρές γραµµές). Τέλς, παρατηρύµε ότι σχηµατίζεται ένα ισσκελές τρίγων, τ ΒΓ, πότε φέρνυµε και τη διάµεσό τυ Μ, (η
13 διάµεσς ενός ισσκελύς τριγώνυ πυ άγεται από την κρυφή είναι γενικά µία καλή βηθητική γραµµή). Έτσι έχυµε τ παρακάτω σχήµα: «Αρκεί να απδείξυµε ότι...» Ζητείται να απδείξυµε ότι Αˆ = 90 (Συµπέρασµα). Μια πρώτη σκέψη θα ήταν να απ δείξυµε ότι Α ΒΓ+ΑΓΒ ˆ ˆ = 90. Αυτό όµως δε µπρεί να απδειχθεί µε τα στιχεία της υπόθεσης ανεξάρτητα από την γωνία Α. Παρατηρύµε όµως ότι αν Αˆ = 90, τότε τα τρίγωνα ΑΒ και Μ Β είναι ίσα. Αρκεί λιπόν να απδείξυµε ότι τα τρίγωνα ΑΒ και Μ ΒΜ είναι ίσα. Σύνδεση των δεδµένων µε τη θεωρία Με τη βήθεια της διχτόµυ Β της γωνίας Β πυ φέραµε ως βηθητική, ρίζεται τ ισσκελές τρίγων ΒΓ, αφύ έχει δύ γωνίες ίσες. Η διάµεσς Μ τυ ισσκελύς τριγώνυ ΒΓ, πυ φέραµε από την κρυφή, είναι και ύψς και διχτόµς. Απόδειξη Συγκρίνυµε τα τρίγωνα ΑΒ και Μ Β. Τα τρίγωνα αυτά έχυν: 1. ΑΒ = ΜΒ, αφύ ΒΓ = 2ΑΒ και τ Μ είναι µέσ της ΒΓ. 2. Β = Β (κινή) και ˆ 3. ˆ ˆ Β ΒΑ= ΒΜ = ( Β διχτόµς). 2 Από τις παραπάνω ισότητες πρκύπτει ότι τα τρίγωνα ΑΒ και Μ Β είναι ίσα (κριτήρι ΠΓΠ), πότε ˆ ˆ Β Α = ΜΒ. Αλλά ΜΒ= ˆ 90, γιατί η διάµεσς Μ τυ ισσκε λύς τριγώνυ ΒΓ είναι και ύψς. Άρα Α ˆ = 90.
3 παράδειγµα: ίνεται ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ ( Αˆ = 90 ) και η διάµεσός τυ ΑΜ. Αν ένα εσωτερικό σηµεί τυ ΒΜ και Ε, Ζ ι πρβλές τυ στις ΑΒ και ΑΓ αντίστιχα, να απδείξετε ότι: Η διάµεσς ΑΜ, τ τµήµα Ζ και η παράλληλη από τ Β πρς την ΕΖ συντρέχυν. 14 Λύση Τα βασικά µέρη της άσκησης Υπόθεση Συµπέρασµα Στ τρίγων ΑΒΓ είναι Αˆ = 90, ΑΜ διάµεσς, εσωτερικό σηµεί τυ ΒΜ, Ε ΑΒκαι Ζ ΑΓ. Οι ευθείες ΑΜ, Ζ και η παράλ/λη από τ Β πρς την ΕΖ συντρέχυν. Κατασκευή τυ σχήµατς «Αρκεί να απδείξυµε ότι...» Ζητείται να απδείξυµε ότι τα τµήµατα ΑΜ, Ζ και η παράλληλη από τ Β πρς την ΕΖ συντρέχυν (Συµπέρασµα). Καταρχάς είναι πρφανές ότι τα τµήµατα ΑΜ και Ζ τέµννται σε ένα εσωτερικό σηµεί τυ τριγώνυ, έστω Ρ (γιατί;). Αρκεί να απδείξυµε λιπόν ότι από τ Ρ διέρχεται και η τρίτη ευθεία ή ισδύναµα ότι η ΒΡ είναι παράλληλη στην ΕΖ. Πρς τύτ, αρκεί να απδείξυµε ότι τ τετράπλευρ ΕΒΡΖ είναι παραλληλόγραµµ, αφύ ΖΡ ΕΒ. Για να απδείξυµε όµως ότι τ τετράπλευρ ΕΒΡΖ είναι παραλληλόγραµµ
15 αρκεί να απδείξυµε ότι ΖΡ = ΕΒ. Παρατηρύµε δε πως τα τµήµατα ΖΡ και ΕΒ είναι πλευρές των τριγώνων ΑΖΡ και ΕΒ αντίστιχα, τα πία υπψιαζόµαστε ότι είναι ίσα. Αρκεί λιπόν να απδείξυµε ότι τα τρίγωνα ΑΖΡ και ΕΒ είναι ίσα. Σύνδεση των δεδµένων µε τη θεωρία Τ τρίγων ΑΒΓ είναι ρθγώνι µε Αˆ = 90, πότε Βˆ +Γ= ˆ 90. Η ΑΜ είναι διάµεσς τυ τριγώνυ αυτύ πυ αντιστιχεί στην υπτείνυσα ΒΓ. Αυτό ση- ΒΓ µαίνει ότι ΑΜ= και ότι τα τρίγωνα ΜΑΓ και ΜΑΒ είναι ισσκελή, πότε 2 ισχύυν σ' αυτά όλες ι ιδιότητες των ισσκελών τριγώνων. Τα τµήµατα Ε και Ζ είναι κάθετα στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστιχα, πότε τ τετράπλευρ ΑΕ Ζ είναι ρθγώνι και επµένως ισχύυν σ' αυτό όλες ι ιδιότητες των ρθγωνίων. Απόδειξη Συγκρίνυµε τα ρθγώνια τρίγωνα ΖΑΡ και Ε Β. Αυτά έχυν: 1. ΑΖ = Ε, ως απέναντι πλευρές τυ ρθγωνίυ ΑΖ Ε και 2. Α ˆ ˆ 1 = 1, διότι Α ˆ = Γˆ, αφύ τ τρίγων ΜΑΓ είναι ισσκελές και ˆ = Γ ˆ 1 1 ως συµπληρωµατικές της γωνίας Β τυ τριγώνυ ΑΒΓ. Από τις παραπάνω ισότητες πρκύπτει ότι τα ρθγώνια τρίγωνα ΖΑΡ και Ε Β είναι ίσα, πότε ΖΡ = ΕΒ. Επειδή τα τµήµατα αυτά είναι και παράλληλα, αφύ τ ΑΖ Ε είναι ρθγώνι, έπεται ότι τ τετράπλευρ ΕΒΡΖ είναι παραλληλόγραµµ και επµένως ισχύει ΒΡ ΕΖ. Συνεπώς η παράλληλη από τ Β πρς την ΕΖ διέρχεται από τ Ρ, αφύ από τ σηµεί Β µόν µία παράλληλη µπρύµε να φέρυµε πρς την ΕΖ. Άρα η διάµεσς ΑΜ τυ ρθγωνίυ τριγώνυ ΑΒΓ, τ τµήµα Ζ και η παράλληλη από τ Β πρς την ΕΖ συντρέχυν.