1. Σφαίρα βάρους w=150 Ν και ακτίνας βρίσκεται σε λείο οριζόντιο δάπεδο, όπως στο σχήμα. Ποιά οριζόντια δύναμη F πρέπει να ασκήσουμε στο σημείο Λ της σφαίρας, για να υπερπηδήσει εμπόδιο ύψους h=/4; Λύση: Οι δυνάμεις που ασκούνται στη σφαίρα είναι: το βάρος της w, η αντίδραση Ν από το οριζόντιο δάπεδο, η δύναμη F 1 που της ασκείται από το Α. Στην οριακή περίπτωση που η σφαίρα ισορροπεί και πάει να υπερπηδήσει το εμπόδιο, χάνει την επαφή της με το οριζόντιο δάπεδο και γίνεται Ν=0. Στ (Α) = 0 ή wx-fy=0 (1) 5 Όμως είναι: y = -h= - = () 4 4 Από Πυθαγόρειο θεώρημα παίρνουμε: ( ) ( ) 7 x= - -h = - /4 = 4 () Η σχέση (1) λόγω των () και () γράφεται: 150 Ν 7 4 Επομένως θα πρέπει να είναι: - F 5 4 F> 0 7 N / Ë K / =0 ή F=0 7 N / Ë / K w N x F F A F1 A h y h +
. Συμπαγής ομογενής τροχός μάζας m= kg και ακτίνας = 10 10 cm, α- φήνεται από ύψος h= m να κυλήσει πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=0 ο. Ο κύλινδρος δεν ολισθαίνει. α. να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που δέχεται ο τροχός και να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του, β. να υπολογίσετε την στατική τριβή του κυλίνδρου και τις τιμές του συντελεστή τριβής για να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. γ. η ταχύτητα του cm και το μέτρο της στροφορμής του κυλίνδρου, όταν φτάνει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s και η ροπή αδράνειας Λύση: 1 του κυλίνδρου Icm = m. α. Ôó Ï ö N õcm w x ácm h wy w ö Στο σώμα ασκούνται οι δυνάμεις: το βάρος του w, που αναλύεται σε συνιστώσες: w x =w ημφ και w y =w συνφ η κάθετη δύναμη Ν από το κεκλιμένο επίπεδο, η στατική τριβή Τ σ. Για τη μεταφορική κίνηση: F =m α wημφ -T = mα 10-T = α (1) Για τη στροφική κίνηση: x cm σ cm σ cm 1 1 () (K) τ = Ιαγων Τ. σ =I. α γων Τ σ = mα γων Τ σ = α γων Στην κύλιση ισχύει: α cm = α. γων ()
Λύνουμε τις σχέσεις (1) Τ σ και αντικαθιστούμε στην (), οπότε παίρνουμε: 10 10-α cm =αcm α cm = m/s 10 β. Η σχέση (1) δίνει: T σ = Ν Η συνθήκη για να έχομε κύλιση χωρίς ολίσθηση είναι το μέτρο της στατικής τριβής να μη ξεπεράσει το μέτρο της τριβής ολίσθησης. Δηλαδή: Τ σ <μν Αντικαθιστώντας στην τελευταία την τιμή της Τ σ που βρίκαμε και Ν=wσυνφ, 10 παίρνουμε: < μ 10 < μ 9 γ. Από την ΑΔΜΕ και θεωρώντας ως επίπεδο U=0, αυτό που διέρχεται από το κέντρο μάζας του κυλίνδρου, όταν αυτό έχει κατέλθει κατά h, θα έχουμε: 1 1 1 1 1 mgh = Iω + mυ mgh = m ω + m ω 4gh = ω υ cm =ω cm ( ) 4gh gh 10 rad rad ω= = = ω= 0 0,1 10 s s m m Η ταχύτητα του cm είναι: υ cm =ω = 0 0,1 10 υ cm = 10 s s Το μέτρο της στροφορμής είναι: 1 1 ω= = L=I.ω= ( ) m 0,1 10 0 kg.m / s kg.m / s. Συμπαγής κύλινδρος μάζας M = Kg είναι δεμένος στην άκρη ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς K = 00 N m, έτσι ώστε να μπορεί να κινείται οριζόντια χωρίς να ολισθαίνει. Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα του γύρω από τον οποίο περιστρέφεται δίνεται από τη σχέση 1 I= M. Επιμηκύνουμε το ελατήριο κατά x= 0,m και το αφήνουμε ελεύθερο. Ζητούνται: α. Να σχεδιαστούν οι δυνάμεις που δέχεται ο κύλινδρος σε μια τυχαία θέση της κίνησής του καθώς επιταχύνεται. β. Να υπολογιστεί ο λόγος της κινητικής ενέργειας λόγω μεταφορικής προς την κινητική ενέργεια λόγω περιστροφικής κίνησης τη στιγμή που το ελατήριο διέρχεται από τη θέση φυσικού του μήκους.
γ. Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής και η κινητική ενέργεια λόγω μεταφοράς του κυλίνδρου τη στιγμή που το ελατήριο διέρχεται από τη θέση φυσικού του μήκους. δ. Να αποδείξετε ότι το σύστημα εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε την περίοδό του. Λύση: α. β. K K μετ. περ. 1/Μυ Μ ω Kμετ. = = = 1/Ιω M K ω περ. γ. K + K = E K + K = 1/Κ x μετ. περ. oλ μετ. περ. (1) μετ. περ. περ. περ. K + K = 9 K + K = 9 K = 9J και K = J, K = 6J περ. περ μετ. δ. Στην Θ.Ι. (1): ΣF = 0 Στην Τ.Θ.Τ. ():ΣF = Τ F ελ () Αλλά: Fελ. Τ= Μ αcm T= Fελ Μ αcm () Επίσης: 1 Στ = Ι αγων Τ = Μ αγων 1 αcm T Τ= Μ α cm = (4) m T Οπότε από τις σχέσεις (), (4) T= Fελ Μ Fελ = T (5) Μ Τελικά από τις σχέσεις (), (5) Fελ ΣF = T Fελ ΣF = Fελ ΣF = / F ΣF = / Κx ελ
Άρα το σύστημα εκτελεί α.α.τ. Η περίοδος ταλάντωσης είναι: Κ D = Μ Μ Τ= π = π T= 0,πs K / K 4. Μία λεπτή ράβδος μήκους = m και μάζας m=1 kg, z / / συγκρατείται σε οριζόντια A cm B θέση, όπως φαίνεται στο z O σχήμα. Η ράβδος έχει τη w δυνατότητα να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα (Ο), που είναι κάθετος στη ράβδο και απέχει από το ένα άκρο της απόσταση /. Αφήνουμε τη ράβδο ελεύθερη να περιστραφεί. Nα βρείτε: α. τη ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το (Ο), β. τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου όταν έχει στραφεί κατά 0, καθώς επίσης και τη γραμμική ταχύτητα του άκρου Β, γ. τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου όταν βρίσκεται σε κατακόρυφη θέση, τη στροφορμή της και το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής της εκείνη τη στιγμή; Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που περνά από το κέντρο μάζας της I 1 m 1 cm =. Λύση: α. Η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής της, βρίσκεται με το θεώρημα Steiner: I = Icm + m 6 1 1 m m 1 6 1 I = m = 1kg.m 9 Ι= + A / z O / B 0 z h cm /6 w β. Όταν η ράβδος σχηματίζει γωνία 0 ο με την οριζόντια διεύθυνση, το cm της έχει
κατέβει κατακόρυφα κατά: ο 1 h = ηµ 0 = m 6 4 Θεωρώντας ως επίπεδο U=0 αυτό που διέρχεται από το cm της ράβδου, όταν αυτή σχηματίζει γωνία 0 ο με την οριζόντια διεύθυνση, και εφαρμόζοντας ΑΔΜΕ, έχουμε: U αρχ =Κ τελ ή 1 1 1 g mg = Iω mg = m ω1 ω 1 = 1 1 9 g 10 rad rad ω= 1 ω= 1 ω= 1 5 s s Η γραμμική ταχύτητα του άκρου Β της ράβδου θα είναι:. m m υ=ω = 5 υ= 5 s s γ. Όταν η ράβδος βρεθεί σε κατακόρυφη θέση, το κέντρο μάζας της έχει κατέβει κατά 0,5m 6 =. Επομένως, από την ΑΔΜΕ και θεωρώντας επίπεδο U=0 αυτό που διέρχεται από το κέντρο μάζας A της ράβδου, έχουμε: U αρχ =Κ τελ 1 mg = Iω 6 1 1 mg = m ω 6 9 g ω = η ω = ω g 10 rad = = s rad 10 s A / / O B cm w /6 B Η στροφορμή της ράβδου έχει τιμή: L=I.ω = 10 kg.m / s Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου είναι: L =τ ολ = 0 t
5. Ο ομογενής κύλινδρος του σχήματος Ã έχει ακτίνα =1m, μάζα m=kg και βρίσκεται συνέχεια σε επαφή με τη ράβδο ΑΓ και το οριζόντιο επίπεδο, που σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία φ. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του κυλίνδρου και του Ï ù0 επιπέδου καθώς και με τη ράβδο είναι μ=0,5 και η αρχική του γωνιακή A mg ö ταχύτητα είναι ω 0 =100 rad/s, να υπολογίσετε: α. Τα μέτρα των τριβών που δέχεται ο τροχός και τη γωνιακή επιβράδυνσή του. β. Μετά από πόσο χρόνο θα σταματήσει να περιστρέφεται ο κύλινδρος αφού έρθει σε επαφή με τα δύο επίπεδα. γ. Το πλήθος των περιστροφών του κυλίνδρου από τη στιγμή που αφήνεται μέχρι να σταματήσει. δ. Τα έργα των τριβών. Δίνονται συνφ=0,8, ημφ=0,6, για τον κύλινδρο Ι cm = 1 m, g =10m/s και δεν κάνει μεταφορική κίνηση. Λύση: α. Οι δυνάμεις που ασκούνται στο κύλινδρο είναι: το βάρος του w οι τριβές T,T 1 και οι κάθετες δυνάμεις N1, N από το επίπεδο και τη ράβδο α- ντίστοιχα. A ö y T,y N,y T1 N T T,x N,x Ï w N1 Ã x ù0 Ο κύλινδρος δεν εκτελεί μεταφορική κίνηση άρα: ΣF x = 0 (1) ΣF y = 0 () Αναλύουμε τις δυνάμεις N,T σε συνιστώσες. Ν χ =Ν.ημφ () και Ν y =N.συνφ (4) Τ y =T.ημφ (5) και Τ χ =Τ.συνφ (6) Από τις σχέσεις (1) και () με την βοήθεια (), (4), (5) και (6) έχουμε ότι:
Τ χ + Ν χ - Τ 1 =0 Τ.συνφ + Ν.ημφ -Τ 1 =0 Τ y +Ν 1 -w - Ν y =0 Τ.ημφ +Ν 1 - mg - N.συνφ = 0 Από τον νόμο της τριβής (Τ=μ.Ν) παίρνουμε: μ Ν συνφ + Ν ημφ μ Ν 1 =0 και μ Ν ημφ +Ν 1 mg N συνφ = 0 N(μ.συνφ + ημφ) Ν 1 = μ μ.ν ημφ - mg - N συνφ + (7) και N(μ.συνφ + ημφ) μ = 0 μ Ν ημφ - m g μ - Ν μ συνφ+ν ( μ συνφ + ημφ)=0 m.g.μ Ν (μ συνφ+ημφ μ συνφ+μ ημφ) = mgμ Ν = (μ +1)ημφ 40 Με αντικατάσταση παίρνουμε: N = N m.g.μ (μ.συνφ + ημφ) Από τις (7),(6) παίρνουμε: Ν 1 = (μ +1)ημφ μ m.g.(μσυνφ + ημφ) Ν 1 = (μ +1)ημφ Με αντικατάσταση παίρνουμε: Ν 1 = 80 N Οπότε οι τριβές που ασκούνται στον κύλινδρο από τις επιφάνειες θα είναι: Τ 1 =μ Ν 1 Τ 1 = 40 N και Τ =μ Ν Τ = 0 N Από το θεμελιώδη νόμο της στροφικής και λαμβάνοντας υπόψιν ότι οι μόνες δυνάμεις που προκαλούν ροπή είναι οι τριβές, επειδή στις άλλες έχουμε ότι οι φορείς τους διέρχονται από τον άξονα περιστροφής, θα ισχύει: Στ=Ι.α γων Τ 1. + T. = m α γων Τ 1 + T = m α γων 40 N + 0 N =1kgm. α γων α γων = 0rad/s
β. Η γωνιακή επιβράδυνση είναι α= 0rad/s, οπότε η εξίσωση της γωνιακής ταχύτητας θα είναι: ω=ω 0 -α γων t 0=100-0. t t=5s γ. Η εξίσωση της γωνιακής θέσης θα είναι: θ=ω 0 t- 1 α. t θ=50 rad Άρα το πλήθος των περιστρόφων είναι: Ν= θ = 15 π π δ. W 1 =T 40 1 θ= N. 1m. 4 50 rad= 10 J W =T θ= 0 N 5 1m 50 rad= 10 J 6. Η ομογενής ράβδος μήκους l= m και μάζας M = 4kg, 4 του σχήματος, μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από οριζόντιο άξονα που είναι κάθετος στο ράβδο και διέρχεται από το ένα άκρο της. Στο άλλο άκρο της ράβδου είναι προσκολλημένη σημειακή μάζα m= kg η οποία κινείται μαζί με τη ράβδο. Αρχικά η ράβδος βρίσκεται στη θέση (1) και αφήνεται ελεύθερη να κινηθεί. Α. Να υπολογιστούν: i. Η ροπή αδράνειας του συστήματος και η γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος ράβδου - μάζας όταν αυτό είναι οριζόντιο. ii. Η μέγιστη τιμή του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του συστήματος ράβδου - μάζας. Β. Όταν η ράβδος φτάσει στην κάτω κατακόρυφη θέση της, η μάζα m αποκολλάται από τη ράβδο και κινούμενη οριζόντια, συγκρούεται πλαστικά με σώμα ίσης μάζας που βρίσκεται δεμένο στην ελεύθερη άκρη οριζόντιου ελατηρίου και που έχει το άλλο άκρο του στερεωμένο. Το ελατήριο έχει σταθερά K = 100N / m και βρίσκεται στο φυσικό του μήκος. i. Να βρείτε την ταχύτητα του σφαιριδίου στην κατώτερη θέση. ii. Το πλάτος της ταλάντωσης που θα εκτελέσει το συσσωμάτωμα. iii. Μετά από πόσο χρόνο μετά την κρούση το ελατήριο θα ξαναβρεθεί στη θέση φυσικού του μήκους. Δίνεται Ι cm =Μl /1 Λύση: Α.i. Ροπή αδράνειας συστήματος:
U=0 1 l 15 συστ = ραβδ + m = l + + l συστ = I I I M M m l kg m 1 8 l Mg + mgl 0 τ= I συστ αγων αγων = αγων = α= 16rad/s I 15 συστ 8 ii. Είναι: dl dl = Στ = Στ dt dt max max. Επομένως είναι όταν η ράβδος είναι οριζόντια (θέση ),γιατί τότε η ροπή είναι μέγιστη. dl dt max
dl 1 m = τεξ = Mg + mgl = 0kg dt s max Β. i. ΑΔΜΕ από τη θέση 1 στη θέση (U=0 στη θέση): l 1 1 Mg + mgl = Iσυστω + Μg ω = 8 rad / s Ταχύτητα της μάζας m τη στιγμή που αποκολλάται από τη ράβδο: υ = ω l υ = 6m/s ii. Α.Δ.Ο. κατά την πλαστική κρούση: mυ= m υκ υκ = m/s Όλη η κινητική ενέργεια του συσσωματώματος μετατρέπεται σε δυναμική ε- νέργεια ταλάντωσης: 1 1 m υκ = ΚΑ Α= 0,6m iii. O χρόνος που ζητείται είναι: T 1 Κ t = = π t = 5πsec m 7. Στο σχήμα, η ομογενής σφαίρα ακτίνας r και μάζας m, αφήνεται στο ση- (A) μείο Α του κεκλιμένου επιπέδου. Εάν το κεκλιμένο επίπεδο και η κυκλική στεφάνη ακτίνας =,5 m είναι λεία, h K να υπολογίσετε: α. Το ελάχιστο ύψος h του κέντρου της σφαίρας από το έδαφος από το οποίο πρέπει να αφήσουμε την σφαίρα ώστε να κάνει ασφαλή ανακύκλωση. β. Στην περίπτωση που στο κεκλιμένο επίπεδο και στην κυκλική στεφάνη αναπτύσσονται δυνάμεις τριβής. Θα καταφέρει η σφαίρα να κάνει μία πλήρη ανακύκλωση αν την αφήσουμε από το ύψος που υπολογίσαμε στο παραπάνω ερώτημα; Και αν όχι, μέχρι ποιο ύψος h θα καταφέρει να φτάσει; γ. Να υπολογίσετε το νέο ύψος Η από το οποίο πρέπει να αφήσουμε την σφαίρα ώστε να κάνει μία πλήρη ανακύκλωση. Δίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας Icm = mr, g=10m/s και ότι 5 r<<
Λύση: (A) N õ (Ã) N w h w K U=0 α. Το κέντρο μάζας της σφαίρας εκτελεί στο εσωτερικό της στεφάνης κυκλική κίνηση ακτίνας -r =,5m. Όταν η σφαίρα βρίσκεται στην υψηλότερη θέση της κυκλικής στεφάνης, ασκούνται σ αυτήν: το βάρος της w και η κάθετη αντίδραση Ν από το εσωτερικό της στεφάνης. mυ Ισχύει ότι: N+w= Στην οριακή περίπτωση η σφαίρα να εκτελέσει μία πλήρη ανακύκλωση είναι mυ Ν=0, οπότε: w= υ=5m/s Εφαρμόζουμε την AΔME για τη σφαίρα, στις θέσεις (Α) και (Γ) (δεν υπάρχουν τριβές) και παίρνουμε: U (A) =U (Γ) +Κ μεταφ(γ) mgh=mg+ 1 mυ h=6,5m β. Εάν στο κύλινδρο παρουσιάζονται τριβές και τον αφήνουμε από το ύψος που υπολογίσαμε (h=6,5m), εφαρμόζοντας την ΑΔΜΕ, (η στατική τριβή δεν έχει έργο, θεωρούμε ότι ο κύλινδρος ολισθαίνει), έχουμε: U (A) =U (Γ) +Κ στροφ(γ) + Κ μεταφ(γ) mgh=mg+ 1 I cm ω + Aντικαθιστώντας όπου ω= υ cm gh=g+ 7 10 /r, καταλήγουμε στην: υcm υcm 4,m/s 1 mυcm
Παρατηρούμε ότι είναι μικρότερη από την ελάχιστη ικανή ταχύτητα (υ=5m/s) για να εκτελέσει η σφαίρα ασφαλή ανακύκλωση όταν βρίσκεται στη θέση Γ. (A) (Ã) õ1 (Â) h K wy ö w wx d h U=0 Άρα δεν πρόκειται να εκτελέσει πλήρη ανακύκλωση. Για να υπολογίσουμε το ύψος στο οποίο θα φτάσει τελικά η σφαίρα, εφαρμόζουμε πάλι ΑΔΜΕ από Α-Β. U (A) =U (Β) +Κ στροφ(β) + Κ μεταφ(β) mgh=mgh + 1 I 1 cm ω + mυ1 Στη θέση Β (τελική θέση της σφαίρας), η κάθετη αντίδραση από την κυκλική mυ στεφάνη γίνεται Ν=0. Τότε ισχύει: w y = 1 mgημφ= mυ 1 υ =gημφ 1 Επίσης η σφαίρα απέχει από το έδαφος απόσταση h =+d, όπου d=ημφ 1 Άρα παίρνουμε: mgh=mg(+ημφ)+ mr 1 ω + mυ1 5 Αντικαθιστώντας ωr= υ 1 και h=6,5m, έχουμε: ημφ=0,86 Συνεπώς βρίσκουμε: h =,5+0,88,5 h = 4,7m γ. Για να υπολογίσουμε από ποιο ύψος Η πρέπει να αφήσουμε το σώμα, ώστε να εκτελέσει ασφαλή πλήρη ανακύκλωση, θα εφαρμόσουμε ΑΔΜΕ για την νέα αρχική θέση της σφαίρας μέχρι τη θέση Γ της κυκλικής στεφάνης U (Aρχ) =U (Γ) +Κ στροφ(γ) + Κ μεταφ(γ) mgη=mg+ 1 I cm ω + 1 1 mυ gh=g+ r 1 ω + υ 5 Από την τελευταία με αντικατάσταση παίρνουμε: Η=6,75m.
8. Σε μια μπάλα του μπιλιάρδου με κατάλληλο χτύπημα τη χρονική στιγμή t=0 προσδίδουμε γωνιακή ταχύτητα ω ο και γραμμική ταχύτητα υ o σύμφωνα με το παρακάτω σχήμα. α. i. Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που εξασκούνται στη μπάλα και να εξηγήσετε σε ποια σημεία πρέπει να γίνει το χτύπημα για να έχουμε την κίνηση του σχήματος. ii. Να περιγράψετε το είδος κίνησης της μπάλας μέχρι να αρχίσει να κυλά. β. i. Να γίνουν ποιοτικά οι γραφικές παραστάσεις της ταχύτητας του κέντρου μάζας της και της γωνιακής ταχύτητας σε συνάρτηση του χρόνου. (υ cm =f(t)) και ω=f(t)). ii. Να βρεθεί η χρονική στιγμή που αρχίζει η μπάλα να κυλά και ο αριθμός των στροφών που πραγματοποιεί μέχρι τότε αν γνωρίζω ότι τελικά η μπάλα κυλά προς τα δεξιά. Οι ποσότητες ω 0, υ 0, Μ, μ, g και I cm θεωρούνται γνωστές. Λύση: α. Η μπάλα αποκτά ταχύτητα υ 0 λόγω της δύναμης F, οπότε η φορά της F πρέπει να είναι προς τα δεξιά. Η μπάλα αποκτά επίσης και γωνιακή ταχύτητα ω 0. Άρα η δύναμη F θα πρέπει να ασκηθεί κάτω από το κέντρο της για να έχουμε την κατάλληλη γωνιακή επιτάχυνση ώστε να w μπορεί να αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα ω 0. Το σημείο Α έχει ταχύτητα με φορά προς τα δεξιά, που δίδεται από τη σχέση υ A =ω+υ o και τείνει να ολισθήσει. Επομένως στη μπάλα ασκείται τριβή ολίσθησης προς τα αριστερά. Η τριβή ολίσθησης παίζει δύο ρόλους: Επιβραδύνει το κέντρο μάζας της μπάλας, άρα μειώνεται η ταχύτητα του κέντρου μάζας. Λόγω της ροπής της επιβραδύνει τη στροφική κίνηση της μπάλας, άρα μειώνεται η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής. Ο τροχός θα στρέφεται και θα ολισθαίνει μέχρι τη στιγμή που θα αρχίσει να κυλά. Εκείνη τη στιγμή θα παύσει η εφαρμογή της τριβής ολίσθησης και στη μπάλα δε θα ασκείται καμία δύναμη, οπότε οι ταχύτητες υ cm και ω 1 παραμένουν σταθερές. F Tïë A Í ù 0 õ0
β. i. Έχουμε δύο περιπτώσεις ανάλογα με τι τιμές των ω ο και υ o. Μπορεί να μηδενιστεί πρώτα η ταχύτητα του κέντρου μάζας, οπότε η τριβή ολίσθησης θα αρχίσει να επιταχύνει τη μπάλα προς τα πίσω και η κύλιση θα γίνεται προς τα αριστερά (ανάποδα φάλτσα). Οι γραφικές παραστάσεις γίνονται: õcm ù õ0 ù0 ù1 0 t1 t t 0 t t õ1 Τη χρονική στιγμή t έχουμε υ =0 και αρχίζει η κίνηση προς τα αριστερά, ενώ 1 cm τη χρονική στιγμή t αρχίζει η μπάλα να κυλά (υ 1 =ω 1 ). ii. Μπορεί να μηδενιστεί πρώτα η γωνιακή ταχύτητα, οπότε η ροπή της τριβής ολίσθησης αρχίζει να στρέφει τη μπάλα ανάποδα και η κύλιση γίνεται προς τα δεξιά. Οι γραφικές παραστάσεις γίνονται: õcm õ0 ù ù0 õ1 0 t t 0 t1 t t ù1 Τη χρονική στιγμή t 1 αρχίζει η μπάλα να στρέφεται ανάποδα και τη χρονική στιγμή t αρχίζει κυλά (u 1 =ω 1 ). Β.. acm õ0 Tïë A
Λόγω της μεταφορικής κίνησης: T ολ = Μαcm μμg = Mαcm α cm = μg (1) Για τη ταχύτητα του κέντρου μάζας έχουμε: υ cm = υo -αcmt () Λόγω της στροφικής κίνησης: μμg () Στ=Ιcmαγ Τολ=Ιcmαγ μμg=ιcmαγ α γ = Ι cm Για τη γωνιακή ταχύτητα έχουμε: ω=ωo -αγt (4) Για να αρχίζει να κυλά πρέπει υ A =0. Άρα έχουμε με τη βοήθεια των σχέσεων (1), (), () και (4), έχουμε: ω-υ ο cm ο γ o cm ω = υ (ω - α t ) = (υ - α t ) t = μμg -μg o Προσοχή! Όσο στρέφεται το σώμα και ολισθαίνει: Ι cm υcm ω και αcm αγ O αριθμός των στροφών υπολογίζεται από τη γωνία θ που διαγράφει η μπάλα 1 μέχρι να αρχίσει να κυλά. Έχουμε ότι: θ=ωοt- αγt όπου η α γ δίδεται από τη σχέση (). θ Τελικά ο αριθμός των στροφών είναι: N= π 9. Ο τροχός του σχήματος έχει μάζα M=4kg και ακτίνα =0cm. Tη χρονική στιγμή t=0 αρχίζει να ασκείται σταθερού μέτρου δύναμη F=0Ν, οπότε ο τροχός αρχίζει να περιστρέφεται γύρω από τον άξονα z z που περνά από το cm του. M α. Να υπολογίσετε: i. τη γωνιακή επιτάχυνση του τροχού, ii. τη στροφορμή του τροχού και την ισχύ της δύναμης που τον στρέφει, τη χρονική στιγμή 5s, z z F
iii. το έργο της ροπής της δύναμης μετά από χρόνο 5s. β. Τη χρονική στιγμή t=5s παύει να ενεργεί η δύναμη. Ένα κομμάτι λάσπης μάζας 0,5kg, αφήνεται να πέσει κατακόρυφα και κολλά πάνω στον τροχό σε απόσταση / από τον άξονα περιστροφής του τροχού. Να υ- πολογίσετε: i. τη γωνιακή ταχύτητα του τροχού αμέσως μετά την προσκόλληση της λάσπης σ αυτόν και την κινητική ενέργεια του τροχού τη χρονική στιγμή 7s. ii. πόσo έργο απαιτείται για να σταματήσει το σύστημα; Δίνεται: η ροπή αδράνειας τροχού ως προς άξονα που περνά από το κέντρο M μάζας του Icm =. Θεωρήστε αμελητέες τις τριβές. Λύση: α.i. Η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι: ( ) M 40, Icm = = kg m Icm = 8 10 kg m Από το θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης θα υπολογίσουμε τη γωνιακή επιτάχυνση του τροχού. F. 4 Έχουμε: Στ=Ιcmαγων α γων = = rad / s α 50rad / s γων = Ι 810 cm ii. Η κίνηση του τροχού είναι κυκλική ομαλά επιταχυνόμενη.επομένως τη χρονική στιγμή 5s η γωνιακή του ταχύτητα είναι: ω 1 =α γωνt1 = 50 5rad / s ω 1 = 50rad / s Άρα, η στροφορμή του δίσκου, την ίδια χρονική στιγμή, και ο ρυθμός παραγωγής του έργου (ισχύς της δύναμης) θα είναι: L = I ω = 8 10 50kg m / s L = 0kg m / s cm 1 και η ζητούμενη ισχύς: P =τ ω 1 = 4 50J / s P1 = 1000J / s iii. Από το ΘΜΚΕ για τη στροφική κίνηση θα υπολογίσουμε το ζητούμενο έργο: K W τελ Κ= αρχ 1 1 Κ 1 = W W = Ιcmω1 W = 8 10 50 J W = 500J Β.i. Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της στροφορμής για το σύστημα (δεν υ- πάρχει εξωτερική ροπή από τη χρονική στιγμή 5s και μετά):
L L1 = L L1 = I ω ω = I 1 Μετά την προσκόλληση της λάσπης στον τροχό,η ροπή αδράνειας του συστήματος γίνεται: z I = Icm + m I 810 0,50,1 ( ) kg m I = 8,5 10 kg m = + Άρα: 0 z ω = rad / s = 5rad / s 8,5 10 Από τη χρονική στιγμή 5s και μετά την προσκόλληση της λάσπης στον τροχό, αφού θεωρούμε ότι δεν υπάρχουν τριβές, η γωνιακή ταχύτητα του τροχού θα είναι σταθερή και ίση με ω. Επομένως, τη χρονική στιγμή 7s η κινητική ενέργεια του τροχού λόγω περιστροφής θα είναι: 1 1 K = Iω = 8,5 10 5 J K = 47 J ii. Το ζητούμενο έργο θα υπολογιστεί με Θ.Μ.Κ.Ε Κ τελ -Κ αρχ =W 0-47 J=W W=-47 J M / m
1. Η δοκός του σχήματος είναι ομογενής βάρους w 1 =00Ν και μήκους l=1m. Το σχοινί είναι οριζόντιο και αβαρές. Η σφαίρα έχει ακτίνα =0,m και βάρος w =40Ν. Aν δεν υπάρχουν τριβές και το σύστημα ισορροπεί. Να υπολογίσετε: α. Την τάση του νήματος, β. Τη δύναμη από την άρθρωση. γ. Πόσο πρέπει να είναι το μέγιστο βάρος της σφαίρας, για να μη σπάσει το νήμα που έχει όριο θραύσης 10Ν; Á Ã 60 o O
. Ο τροχός του σχήματος ακτίνας 0,5 m περιστρέφεται γύρω από ένα σταθερό οριζόντιο άξονα χωρίς τριβή. Η ροπή αδράνειας του ως προς τον F άξονα αυτόν είναι Kgm. Μια σταθερού μέτρου δύναμη F=0Ν ασκείται στο άκρο του νήματος, που είναι τυλιγμένο γύρω από την περίμετρο του τροχού, έτσι ώστε αυτός να επιταχύνεται. Αν ο τροχός αρχίζει να περιστρέφεται τη στιγμή t = 0, να βρείτε: α. την γωνιακή επιτάχυνση και την γωνιακή ταχύτητα του τροχού τη στιγμή t = 4s, β. την ισχύ της δύναμης και τη μεταβολή της κινητικής της ενέργειας όταν το μήκος του σχοινιού που ξετυλίχθηκε είναι 4,5m.. Κυλινδρικός δίσκος ακτίνας και μάζας m είναι τυλιγμένος με λεπτό, αβαρές μη εκτατό νήμα, η άλλη άκρη του οποίου στερεώνεται σε ακλόνητο σημείο, όπως στο σχήμα. Αφήνουμε το δίσκο ελεύθερο και αυτός αρχίζει να κατεβαίνει. α. Να βρείτε την επιτάχυνση του cm δίσκου και το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του. β. Να βñåßôå ôçí ôá ýôçôá ôïõ êýíôñïõ ìüæáò ôïõ üôáí ï äßóêïò Ý åé ðýóåé êáôü 1,m
Δίνονται: για το δίσκο I cm M = και g=10 m/s á. 4. Στον κύλινδρο του σχήματος ακτίνας =0,5m και μάζα M=kg που αρχικά έχει γωνιακή ταχύτητα ω 0 =4rad/s, ασκείται εφαπτομενικά δύναμη μέτρου F=0N. α. Να υπολογιστεί η μεταβολή της στροφορμής σε χρόνο s. F β. Το έργο της δύναμης σε s. γ. Tην ισχύ της δύναμης τη στιγμή s. Δίνεται για το δίσκο I cm M =.
6. Κύλινδρος συμπαγής μάζας Μ=4kg βρίσκεται στη βάση κεκλιμένου επίπεδου γωνίας κλίσης φ=0 0.Νήμα είναι τυλιγμένο στην περιφέρεια του κυ- 5. Μία γάτα με μάζα m=4kg βρίσκεται στην περιφέρεια του κυκλικού τραπεζιού του σχήματος, που έχει μάζα Μ=40kg, ακτίνα =1m. Η γάτα είναι ακίνητη ως προς το τραπέζι και όλο το σύστημα περιστρέφεται, χωρίς τριβές, με γωνιακή ταχύτητα ω=rad/s. Ξαφνικά η γάτα αρχίζει να κινείται στην περιφέρεια τραπεζιού με σταθερή κατά μέτρο ταχύτητα υ 0 = 4m/s. Να βρεθεί η νέα γωνιακή ταχύτητα του m τραπεζιού στις περιπτώσεις: M α. η φορά της κίνησης της γάτας συμπίπτει με την φορά περιστροφής ττου τραπεζιού, β. η φορά της κίνησης της γάτας είναι αντίθετη με την φορά περιστροφής του τραπεζιού.
λίνδρου και στο άκρο του ασκείται σταθερή δύναμη μέτρου F =0N, παράλληλη στο κεκλιμένο δάπεδο Ο κύλινδρος αρχίζει να ανεβαίνει τη στιγμή t=0, με επιτάχυνση 10/ m/s. Να υπολογιστoύν: α. η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου. β. ο ρυθμός που μεταβάλεται η στροφορμή του κυλίνδρου τη στιγμή 4s. γ. το έργο της δύναμης F σε 4s και ο ρυθμός που προσφέρεται ενέργεια στονκύλινδρο. 0 o F 7. Δύο μάζες m1 = Kg και m = 1Kg συνδέονται με αβαρές μη εκτατό νήμα που είναι περασμένο σε τροχαλία, ακτίνας =10cm και μάζας Μ=4Kg. Τα σώματα αρχικά είναι στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και το σύστημα ήταν ακίνητο. Να υπολογίσετε: α. την επιτάχυνση των μαζών m 1 και m, β. την υψομετρική διαφορά των σωμάτων σε s και την στροφορμή της τροχαλίας τη στιγμή αυτή. Δίνονται g=10 m/s και ότι το νήμα δεν ολισθαίνει στην τροχαλία. M I τρ 1 = M m m 1
l m 8. Οι δύο ίδιοι ράβδοι του σχήματος είναι κολλημένες στο Ο. Το σύστημα μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το Ο. Τη στιγμή t=0 αφήνεται το στερεό ελεύθερο από τη θέση που φαίνεται στο σχήμα. α. Να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα του στερεού, όταν οι ράβδοι σχηματίζουν ίσες γωνίες με την κατακόρυφη. β. Πόσος είναι εκείνη τη στιγμή ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του στερεού και πόση η στροφορμή του; Δίνονται g=10 m/s l=m, m=kg και ότι η ροπή αδράνειας ράβδου ως προς άξονα περιστροφής που περνά από το άκρο της, είναι: I = ml O l m
9. Ομογενής άκαμπτη ράβδος ΑΖ έχει μήκος L=4 m, μάζα Μ= kg και ισορροπεί σε οριζόντια θέση, όπως φαίνεται στο σχήμα. Στο k άκρο Α υπάρχει ακλόνητη άρθρωση γύρω από την οποία η ράβδος μπορεί να περιστρέφεται χωρίς m Ä τριβές, ενώ στο άλλο άκρο Ζ υ- πάρχει στερεωμένο σφαιρίδιο μάζας m 1 Ã m 1 =0,6 kg και αμελητέων διαστάσεων. Ένα αβαρές νήμα ΔΓ A Z συνδέει το σημείο Γ της ράβδου με σφαιρίδιο μάζας m =1 kg, το οποίο είναι στερεωμένο στο ελεύθερο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100 Ν/m. Δίνεται AΓ=,8 m. Nα υπολογίσετε: α. Τη ροπή αδράνειας του συστήματος ράβδου - σφαιριδίου m 1, ως προς άξονα που διέρχεται από το Α και είναι κάθετος στο επίπεδο της διάταξης β. Το μέτρο της τάσης του νήματος ΓΔ. Αν κόψουμε το νήμα ΓΔ το m κάνει γ.α.τ., ενώ η ράβδος με το m 1 πέφτει με την επίδραση της βαρύτητας. Να υπολογίσετε: γ. Το χρόνο που χρειάζεται το σφαιρίδιο m από τη στιγμή που κόβεται το νήμα μέχρι τη στιγμή που θα φτάσει στο ψηλότερη θέση του για 1η φορά. δ. Το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας του σημείου Ζ, τη στιγμή που η ράβδος περνά από την κατακόρυφη θέση. Δίνονται g=10m/s ML, η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το cm: Ι cm =
10. Μία σφαίρα μάζας m=1kg και ακτίνας =0,m περιστρέφεται με ω 0 =0 rad/s και τοποθετείται χωρίς αρχική μεταφορική ταχύτητα σε οριζόντιο δάπεδο με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής μ=0,5. ù0 α. Να υπολογίσετε το χρόνο που θα αρχίσει ο δίσκος να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. β. Να εξετάσετε την περίπτωση που υπάρχει αρχική μεταφορική ταχύτητα: i. υ 0 = m/s, ii. υ 0 =4 m/s.
Θέμα 1 ο Α. Τροχός ακτίνας, κυλίεται χωρίς ολίσθηση στον οριζόντιο δρόμο και κάποια στιγμή έχει ταχύτητα υ cm και επιτάχυνση α cm. 1. Για κάθε σημείο του τροχού ισχύει ότι: υ περιστρ =υ cm. Είναι: α cm =α γων.. Όλα τα σημεία του τροχού που είναι σε ύψος από τον δρόμο έχουν ταχύτητα υ cm. 4. Τα σημεία του τροχού που εφάπτονται στο δρόμο έχουν ταχύτητα υ cm. Ποια πρόταση είναι σωστή; (Μονάδες 5) Β. α. Το τροχός του λούνα παρκ κάνει: 1. στροφική κίνηση. μεταφορική κίνηση. σύνθετη κίνηση β. Οι θαλαμίσκοι του τροχού του λούνα παρκ κάνουν: 1. στροφική κίνηση. μεταφορική κίνηση. σύνθετη κίνηση (Μονάδες 8) Γ. Ο δίσκος του σχήματος στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από άξονα, με την επίδραση μιάς εφαπτομενικής δύναμης F. Στο επόμενο σχήμα φαίνεται πως μεταβάλλεται η γωνιακή του ταχύτητα με το χρόνο. Ποια από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστή;
1. στο διάστημα (0, t 1 ) τα διανύσματα ω και τ είναι αντίρροπα,. στο διάστημα t>t 1 είναι W F <0,. η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου είναι μεταβλητή, 4. το μέτρο της δύναμης είναι μεταβλητό. (ÌïíÜäåò 7) Δ. Για την περιστροφή ενός τροχού δίνεται το διάγραμμα ω=f(t) του σχήματος. Ποια από τα διαγράμματα α=f(t) είναι το σωστό; F ù ù 0 t1 t á 1 á 0 t1 t t t 0 t1 t t t 0 t1 t t t á 0 t1 t t t (Μονάδες 5) Θέμα ο Α. Στην κύλιση τροχού να αποδείξετε την εξίσωση α cm =α γων.. (Μονάδες 5) Β. Ένα στερεό έχει α cm =0 και α γων =0. Τι είδους κίνηση μπορεί να κάνει; (Μονάδες 7)
Γ. Να αποδείξετε τη σχέση που δίνει τη στροφορμή στερεού σώματος. Γιατί η διάρκεια της περιστροφής της Γης γύρω από τον εαυτό της είναι 4h; (Μονάδες 8) Δ. Να αποδείξετε τη σχέση που δίνει την κινητική ενέργεια στερεού λόγω στροφικής κίνησης. Για ποιον από τους άξονες (α), (β) η ράβδος έχει μεγαλύτερη κινητική ενέργεια; (á) l, m (â) (Μονάδες 5) Θέμα ο Η ράβδος ΑΓ του παρακάτω σχήματος μάζας m=kg, μήκους L= m και ml I =, 1 cm στρέφεται γύρω από τον άξονα y y χωρίς τριβές με ω 0 = rad/s. Tη στιγμή t=0 δέχεται την εφαπτομενική δύναμη F σταθερού μέτρου 0 Ν, με φορά όπως φαίνεται στο σχήμα.
y Á L, m F y à ù 0 α. Nα γίνει το διάγραμμα ω=f(t) από 0 s μέχρι 4 s. β. Να υπολογίσετε το έργο της F μέχρι τη στιγμή 4 s, γ. το ρυθμό που προσφέρεται ενέργεια στη ράβδο τη στιγμή 4 s. δ. το ρυθμό που μεταβάλλεται η στροφορμή της ράβδου. (Μονάδες 5) (Μονάδες 8) (Μονάδες 7) (Μονάδες 5)...
Θέμα 4 ο Στεφάνη μάζας m=1kg αφήνεται σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ= 0 o και από ύψος h=1,8 m, να κυλήσει χωρίς να γλυστράει. Να βρείτε: α. το μέτρο της ταχύτητας της στεφάνης στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. (Μονάδες 5) β. την επιτάχυνση του κέντρου μάζας και το μέτρο της στατικής τριβής που δέχεται από το επίπεδο. (Μονάδες 7) γ. τις τιμές του συντελεστή στατικής τριβής για να κυλάει χωρίς ολίσθηση. (Μονάδες 8) δ. το μέτρο της ταχύτητας της στεφάνης στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου, αν αυτό ήταν λείο. (Μονάδες 5) Δίνεται: g=10m/s....