.- øª ƒπ (-) 8--06 :7 ÂÏ ΜΕΡΟΣ º π Εμβαδά Επίπεδων Σχημάτων Ô Πυθαγόρειο Θεώρημα
.- øª ƒπ (-) 8--06 :7 ÂÏ ΕΙΣΩΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜ È appleïëìì Ú ÙÔ Â ÏÔ, ÙÔ ÁÚË Î È ÙÔ ÊÚ ÙË, appleúèó applefi appleâú appleô ÙÚÂÈ ÈÏÈÂÙ Â, Ó ÁÎ Û Ó ÙÔ Ï Ô appleô Î ÙÔÈÎÔ Û Ó ÛÙËÓ appleâúèô Ó Ó appleù ÍÔ Ó ÙËÓ «Ù ÓË» ÙË Ì ÙÚËÛË ÙË ÁË ( ˆ-ÌÂÙÚ ). fiùâ Ó appleù ıëîâ Ë ÓÓÔÈ ÙÔ ÂÌ Ô, ÙËÓ ÔappleÔ ı ÌÂÏÂÙ ÛÔ Ì ÛÙÔ ÎÂÊ Ï ÈÔ Ùfi. Ì ıô Ì ÙÈ ÛÈÎ ÌÔÓ Â Ì ÙÚËÛË ÂÌ ÒÓ, Î ıò Î È ÙÔ Ù appleô appleôïôáèûìô ÙÔ ÂÌ Ô :. Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας. Μονάδες μέτρησης επιφανειών. Εμβαδά επίπεδων σχημάτων. Πυθαγόρειο θεώρημα ÙÂÙÚ ÁÒÓÔ, ÔÚıÔÁˆÓ Ô, apple Ú ÏÏËÏÔÁÚ ÌÌÔ, ÙÚÈÁÒÓÔ Î È ÙÚ appleâ Ô. ÙÔ Ù ÏÔ ÙÔ ÎÂÊ Ï Ô ı ÌÂÏÂÙ ÛÔ Ì ÙÔ ı ÁfiÚÂÈÔ ıâòúëì Î È ı ÂÍÂÙ ÛÔ Ì ÚÎÂÙ ÂÊ ÚÌÔÁ ÙÔ.
.- øª ƒπ (-) 8--06 :7 ÂÏ.. Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας ƒ ƒ π ίνονται δύο ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα με κάθετες πλευρές cm και ένα τετράγωνο πλευράς cm. α) Μπορείτε χρησιμοποιώντας τα τρία αυτά σχήματα να κατασκευάσετε: i) Ένα ορθογώνιο πλάτους 0 cm και ύψους cm; ii) Ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο, του οποίου οι κάθετες πλευρές είναι 0 cm; iii) Ένα ισοσκελές τραπέζιο με βάσεις cm και cm; β) Τι έκταση καταλαμβάνουν τα παραπάνω σχήματα στο επιπεδο, αν θεωρήσουμε ως μονάδα μέτρησης το τετραγωνάκι πλευράς cm; Λύση α) Έχουμε τα παρακάτω σχήματα: Ορθογώνιο Ορθογώνιο τρίγωνο Τραπέζιο β) Μετρώντας τα τετραγωνάκια πλευράς cm βρίσκουμε ότι το ορθογώνιο καταλαμβάνει έκταση 0, το τραπέζιο 0 και το ορθογώνιο τρίγωνο πάλι 0. Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι τα τρία νέα σχήματα που προκύπτουν, παρόλο που είναι διαφορετικά μεταξύ τους, καταλαμβάνουν την ίδια έκταση στο επίπεδο, γιατί αποτελούνται ακριβώς από τα ίδια στοιχεία: το τετράγωνο και τα δύο ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα. ια να δηλώσουμε ότι τα τρία αυτά σχήματα που κατασκευάσαμε, καταλαμβάνουν την ίδια έκταση στο επίπεδο, λέμε ότι έχουν το ίδιο εμβαδόν. ια να μετρήσουμε το εμβαδόν, πρέπει πρώτα να επιλέξουμε μία μονάδα μέτρησης. ν, αρχικά, επιλέξουμε ως μονάδα μέτρησης το ένα από τα δύο ισοσκελή ορθογώνια τρίγωνα, τότε τα τρία νέα σχήματα έχουν εμβαδόν.
.- øª ƒπ (-) 8--06 :7 ÂÏ Μέρος -.. Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας ν επιλέξουμε ως μονάδα μέτρησης το τετραγωνάκι πλευράς cm, τότε, όπως είδαμε, θα έχουν εμβαδόν 0. Το εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας είναι ένας θετικός αριθμός, που εκφράζει την έκταση που καταλαμβάνει η επιφάνεια αυτή στο επίπεδο. Ο αριθμός αυτός εξαρτάται από τη μονάδα μέτρησης επιφανειών που χρησιμοποιούμε. º ƒ ª Να υπολογίσετε το εμβαδόν των παρακάτω σχημάτων χρησιμοποιώντας ως μονάδα μέτρησης εμβαδού: α) β) γ) Λύση: α) Μετρώντας τα τετραγωνάκια που υπάρχουν μέσα σε κάθε σχήμα παρατηρούμε ότι είναι 7. Άρα Ε = 7. β) φού κάθε τριγωνάκι έχει το μισό εμβαδόν από κάθε τετραγωνάκι, τα δύο εμβαδά με μονάδα μέτρησης το θα είναι 7 =. Άρα Ε =. γ) φού κάθε έχει το διπλάσιο εμβαδόν από κάθε τετραγωνάκι, τα δύο εμβαδά με μονάδα μέτρησης το 7 θα είναι =,. Άρα Ε =,. º ƒ ª Να υπολογίσετε τα εμβαδά των σχημάτων,, χρησιμοποιώντας ως μονάδα μέτρησης εμβαδών το. Τι παρατηρείτε; Λύση: ρίσκουμε ότι τα εμβαδά των,, είναι :, :,, : 7,. Επομένως, παρατηρούμε ότι το εμβαδόν του ισούται με το άθροισμα των εμβαδών και, κάτι που γίνεται φανερό αν «ενώσουμε» κατάλληλα τα σχήματα και.
.- øª ƒπ (-) 8--06 :7 ÂÏ Μέρος -.. Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας π Ποιο από τα δύο σχήματα, έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν; ίνονται τέσσερα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα με ίσες κάθετες πλευρές: Nα υπολογίσετε το εμβαδόν καθενός από τα παρακάτω σχήματα χρησιμοποιώντας ως μονάδα εμβαδού το. Τι παρατηρείτε; α) Χρησιμοποιώντας μόνο τα δύο τρίγωνα να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο και ένα τετράγωνο. β) Χρησιμοποιώντας και τα τρίγωνα, (μια φορά το καθένα) να κατασκευάσετε ένα τετράγωνο, ένα ορθογώνιο και ένα τραπέζιο. π π : Στο παρακάτω σχήμα χρησιμοποιήσαμε σπίρτα για να σχηματίσουμε ένα τετράγωνο με εμβαδόν ίσο με 9 τετράγωνα πλευράς ενός σπίρτου! Aν τοποθετήσουμε, όμως, με διαφορετικό τρόπο τα αυτά σπίρτα, μπορούμε να σχηματίσουμε σχήματα με άλλο εμβαδόν. ια παράδειγμα, το παρακάτω σχήμα (σταυρός) έχει εμβαδόν ίσο με τετράγωνα πλευράς ενός σπίρτου. Μπορείτε να τοποθετήσετε με άλλο τρόπο τα αυτά σπίρτα, ώστε να προκύψουν σχήματα με εμβαδά 8, 7, 6,, τετράγωνα πλευράς ενός σπίρτου;
.- øª ƒπ (6-8) 8--06 :9 ÂÏ 6.. Μονάδες μέτρησης επιφανειών m = 0 dm dm = 0 cm cm=0 mm m = 0 dm m = 00 dm dm = 0 cm cm=0 mm \ \ dm = 00 cm cm = 00 mm ς θεωρήσουμε ένα τετράγωνο πλευράς m. To εμβαδόν του τετραγώνου αυτού λέγεται τετραγωνικό μέτρο ( m ) και το χρησιμοποιούμε ως μονάδα μέτρησης εμβαδών. φού m = 0 dm, το τετραγωνικό μέτρο χωρίζεται σε 0 0 = 00 «τετραγωνάκια» πλευράς dm. To εμβαδόν σε κάθε τετραγωνάκι ονομάζεται τετραγωνικό δεκατόμετρο ή τετραγωνική παλάμη ( dm ). Παρατηρούμε ότι m = 00 dm. ς θεωρήσουμε τώρα ένα τετράγωνο πλευράς dm. φού dm = 0 cm, το τετραγωνικό δεκατόμετρο χωρίζεται σε 0 0 = 00 «τετραγωνάκια» πλευράς cm. Το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς cm λέγεται τετραγωνικό εκατοστόμετρο ή τετραγωνικός πόντος ( cm ). Παρατηρούμε ότι dm = 00 cm. ς θεωρήσουμε τώρα ένα τετράγωνο πλευράς cm. φού cm = 0 mm, το τετραγωνικό εκατοστόμετρο χωρίζεται σε 0 0 = 00 «τετραγωνάκια» πλευράς mm. Το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς mm λέγεται τετραγωνικό χιλιοστόμετρο ( mm ). Παρατηρούμε ότι cm = 00 mm. Άλλες μονάδες μέτρησης εμβαδών είναι: Το τετραγωνικό χιλιόμετρο ( km ), το οποίο ισούται με το εμβαδό ενός τετραγώνου πλευράς 000 m. Eπομένως km = 000 000 =.000.000 m. Χρησιμοποιείται κυρίως για τη μέτρηση μεγάλων εκτάσεων, όπως είναι η έκταση που καταλαμβάνει ένα κράτος, ένας νομός ή ένα νησί. Το στρέμμα, το οποίο ισούται με 000 m και χρησιμοποιείται κυρίως για τη μέτρηση των εμβαδών οικοπέδων και κτημάτων. Συνοψίζοντας τα παραπάνω σχηματίζουμε τον πίνακα: m = 00 dm = dm = 0.000 cm = 00 cm = cm =.000.000 mm 0.000 mm 00 mm mm = 0,0 cm = cm = 0,000 dm = 0,0 dm = dm = 0,00000 m 0,000 m 0,0 m
.- øª ƒπ (6-8) 8--06 :9 ÂÏ 7 Μέρος -.. Μονάδες μέτρησης επιφανειών 7 º ƒ ª Mε τη βοήθεια του σχήματος μετατροπής μονάδων εμβαδού, να συμπληρώσετε τον διπλανό πίνακα. m dm 0 cm 7 mm 6 m 00 :00 dm 00 :00 cm 00 mm :00 Λύση: Σύμφωνα με το παραπάνω σχήμα, για να μετατρέψουμε ένα εμβαδόν στην αμέσως μικρότερη μονάδα, πολλαπλασιάζουμε με το 00, ενώ για να το μετατρέψουμε στην αμέσως μεγαλύτερη μονάδα, διαιρούμε με το 00. Επομένως: m,0 0,7 0,06 dm 00 0 7,,6 cm 0000 000 7 6, mm 000000 00000 700 6 º ƒ ª Να βάλετε σε αύξουσα σειρά τα παρακάτω εμβαδά: α),7 dm, 7 cm,, cm,,7 m. β) 0 cm, mm, 0 dm, m. γ) mm,, cm,, dm, 0, m. Λύση: α) Μετατρέπουμε τα τέσσερα εμβαδά στην ίδια μονάδα μέτρησης:,7 dm = 70 cm,,7 m = 7000 cm, οπότε:, cm < 7 cm <,7 dm = 70 cm <,7 m = 7000 cm. β) mm < 0 cm = 000 mm < 0 dm = 00000 mm < m = 000000 mm γ) φού, cm = 0 mm,, dm = 000 mm και 0, m = 0000mm, έχουμε ότι:, cm < mm <, dm < 0, m.. ƒø π Nα επιλέξετε τη σωστή απάντηση. 6 6, m = 6, mm = 6, cm = 6, cm = 6, m = 6, mm = 6 cm 6 cm 6 m 60 mm 6 dm 0,000006 m 60 cm 60 cm 0,6 m 600 mm 60 dm 0,0006 m 6000 cm 0,6 cm 60 m 0,6 mm 6000 dm 0,06 m 0,6 cm 0,06 cm 0,0006 m 0,0006 mm 0,06 dm 0,006 m
.- øª ƒπ (6-8) 8--06 :9 ÂÏ 8 8 Μέρος -.. Μονάδες μέτρησης επιφανειών. Nα επιλέξετε τη σωστή απάντηση. ια να μετατρέψουμε:. m σε dm πολλαπλασιάζουμε με 00 διαιρούμε με 00 διαιρούμε με 0. dm σε cm διαιρούμε με 00 πολλαπλασιάζουμε με 00 διαιρούμε με 0. cm σε mm διαιρούμε με 00 διαιρούμε με 0 πολ/με με 00. dm σε m πολλαπλασιάζουμε με 00 διαιρούμε με 00 διαιρούμε με 0. cm σε dm πολλαπλασιάζουμε με 0.000 πολλαπλασιάζουμε με 00 διαιρούμε με 00 6. mm σε cm διαιρούμε με 00 πολλαπλασιάζουμε με 00 διαιρούμε με 0 7. m σε cm διαιρούμε με 00 πολλαπλασιάζουμε με 0.000 διαιρούμε με 0.000 8. m σε mm πολ/με με.000.000 διαιρούμε με 00.000 διαιρούμε με.000 9. cm σε m διαιρούμε με 00 διαιρούμε με 0.000 πολ/με με 0.000 0. mm σε dm διαιρούμε με 00 πολλαπλασιάζουμε με 0.000 διαιρούμε με 0.000 π Nα μετατρέψετε σε m τα παρακάτω μεγέθη: cm, cm, 7 km, 70 dm, 70 mm, dm, 80 mm, 79 km. Nα μετατρέψετε σε cm τα παρακάτω μεγέθη: m, 7 dm, 6 m, 6 m, km, 70 mm, 6 km. Nα μετατρέψετε σε mm τα παρακάτω μεγέθη: km, m, 7 dm, 6 cm. Nα μετατρέψετε σε km τα παρακάτω μεγέθη: 7 mm, cm, 6 dm, 6 mm, 60 m. 6 Στις παρακάτω περιπτώσεις να εκφράσετε τα εμβαδά στην ίδια μονάδα μέτρησης και στη συνέχεια να τις κατατάξετε κατά σειρά μεγέθους από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο. α) 80 mm, 0, m, 0,8 m, 670 cm,,7 dm. β) dm,, m, 70 mm, 6 cm. Ποια από τις μονάδες μέτρησης εμβαδού θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε, για να μετρήσουμε το εμβαδόν: α) του δωματίου μας, β) της Κρήτης, γ) ενός αγρού, δ) ενός γραμματόσημου, ε) ενός φύλλου τετραδίου.
.- øª ƒπ (9-6) 8--06 : ÂÏ 9.. Εμβαδά επίπεδων σχημάτων cm cm Εμβαδόν τετραγώνου ς θεωρήσουμε ένα τετράγωνο πλευράς cm. Μπορούμε να το χωρίσουμε σε = = «τετραγωνάκια» πλευράς cm, καθένα από τα οποία έχει εμβαδόν cm. Άρα, το τετράγωνο έχει εμβαδόν cm. ενικά: Το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς α ισούται με α. α β Εμβαδόν ορθογωνίου ς θεωρήσουμε ένα ορθογώνιο με πλευρές cm και cm. Όπως φαίνεται στο σχήμα, το ορθογώνιο χωρίζεται σε «τετραγωνάκια» εμβαδού cm. Επομένως, το ορθογώνιο έχει εμβαδόν = cm. ενικά: Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου με πλευρές α, β ισούται με α β. Τις πλευρές ενός ορθογωνίου τις λέμε μήκος (τη μεγαλύτερη πλευρά) και πλάτος (τη μικρότερη) και τις ονομάζουμε διαστάσεις του ορθογωνίου. Έτσι, μπορούμε να πούμε ότι το γινόμενο των διαστάσεων ενός ορθογωνίου ισούται με το εμβαδόν του ή: εμβαδόν ορθογωνίου = μήκος πλάτος. E E E Z Z Παρατήρηση: ια να συμβολίσουμε το εμβαδόν κάθε επίπεδου σχήματος, το γράφουμε μέσα σε παρένθεση. ηλαδή, το εμβαδόν ενός τετραπλεύρου συμβολίζεται με (), το εμβαδόν ενός τριγώνου ΖΗΘ συμβολίζεται με (ΖΗΘ) κ.ο.κ. Εμβαδόν παραλληλογράμμου ς θεωρήσουμε ένα παραλληλόγραμμο με βάση = β = και ας φέρουμε τα ύψη του Ε = υ και Ζ = υ. Μεταφέροντας το τρίγωνο Ε στη θέση τού (ίσου με αυτό) τριγώνου Ζ, παρατηρούμε ότι: το εμβαδόν του παραλληλογράμμου ισούται με το εμβαδόν του ορθογωνίου ΕΖ. Άρα: () = (ΕΖ) = ΕΖ Ζ = β υ. ενικά: E Z Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το γινόμενο μίας βάσης του με το αντίστοιχο ύψος.
.- øª ƒπ (9-6) 8--06 : ÂÏ 0 0 Μέρος -.. Eμβαδά επίπεδων σχημάτων υ β υ β A υ A υ β Εμβαδόν τυχαίου τριγώνου ς θεωρήσουμε ένα τυχαίο τρίγωνο που δεν είναι ορθογώνιο και ας πάρουμε και άλλο ένα τρίγωνο ίδιο με αυτό. ν τοποθετήσουμε το δεύτερο τρίγωνο δίπλα στο πρώτο, όπως φαίνεται στα διπλανά σχήματα, τότε θα σχηματιστεί ένα παραλληλόγραμμο, που θα έχει ως βάση β, τη βάση του και ως ύψος υ, το ύψος του, από την κορυφή. Είτε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο είτε είναι αμβλυγώνιο, το εμβαδόν του θα είναι ίσο με το μισό του παραλληλογράμμου που σχηματίζεται, αν τοποθετήσουμε άλλο ένα τρίγωνο ίσο με το, όπως φαίνεται στα διπλανά σχήματα. Επομένως, θα ισχύει: () = () = β υ, όπου β η βάση του και υ το αντίστοιχο ύψος. ενικά: Το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινομένου μιας βάσης του με το αντίστοιχο ύψος. υ = γ β Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου Όταν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, τότε η μία από τις κάθετες πλευρές είναι η βάση β και η άλλη το ύψος του. Επομένως: () = β υ = β γ. β Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινομένου των δύο κάθετων πλευρών του. E β υ Θ β Ζ Η Εμβαδόν τραπεζίου ς θεωρήσουμε το τραπέζιο Ε που έχει μεγάλη βάση =, μικρή βάση Ε = β και ύψος ΕΘ = υ. Θεωρώντας άλλο ένα ίσο τραπέζιο με το Ε σχηματίζουμε ένα παραλληλόγραμμο ΖΗΕ, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Το παραλληλόγραμμο που σχηματίσαμε έχει βάση (β + ) και ύψος υ. Επομένως: (ΖΗΕ) = (β + ) υ. Όμως: (ΖΗΕ) = (Ε) (β + )υ Άρα: (Ε) = Το εμβαδόν ενός τραπεζίου είναι ίσο με το γινόμενο του ημιαθροίσματος των βάσεών του με το ύψος του.
.- øª ƒπ (9-6) 8--06 : ÂÏ Μέρος -.. Eμβαδά επίπεδων σχημάτων º ƒ ª Να συμπληρώσετε τον διπλανό πίνακα: Μήκος ορθογωνίου m 7 m m Πλάτος ορθογωνίου 0 m 9 m Περίμετρος ορθογωνίου m Εμβαδόν ορθογωνίου m 0 m Λύση: Με τη βοήθεια της σχέσης: εμβαδόν ορθογωνίου = μήκος πλάτος, συμπληρώνουμε τον πίνακα: Μήκος ορθογωνίου m 7 m m m Πλάτος ορθογωνίου 0 m m 9 m 0 m Περίμετρος ορθογωνίου m m 8 m 86 m Εμβαδόν ορθογωνίου 0 m 8 m m 0 m º ƒ ª H αίθουσα Φυσικής στο σχολείο της Άννας αποφασίστηκε να στρωθεί με τετράγωνα πλακάκια που το καθένα έχει πλευρά cm. α) Να βρείτε πόσα πλακάκια θα χρειαστούν, αν το δάπεδο της τάξης έχει διαστάσεις m μήκος και 8 m πλάτος. β) ν κάθε πλακάκι κοστίζει 0,, πόσα χρήματα θα χρειαστούν για να στρωθεί η τάξη; Λύση: α) Το εμβαδόν του δαπέδου είναι: Ε Π = 8 = 96 (m ) και το εμβαδόν σε κάθε πλακάκι είναι: Ε ΠΛΚ = = 6 (cm ) = 0,06 (m ). ιαιρώντας τα δύο αυτά εμβαδά βρίσκουμε πόσα πλακάκια χρειάζονται για να στρωθεί η τάξη: E Π 96 = = 6. Ε ΠΛΚ 0,06 β) φού χρειάζονται 6 πλακάκια και το κάθε πλακάκι κοστίζει 0,, το συνολικό κόστος θα είναι: 6 0, = 768. º ƒ ª Στο σχολείο της Κάτιας το μαθητικό συμβούλιο εκδίδει μια εφημερίδα που κάθε φύλλο της έχει διαστάσεις cm μήκος και 0 cm πλάτος. Να υπολογίσετε τη συνολική επιφάνεια του χαρτιού που θα χρησιμοποιηθεί, για να τυπωθούν 800 αντίτυπα της εφημερίδας, αν κάθε αντίτυπο έχει 8 φύλλα. Λύση: Το εμβαδόν κάθε φύλλου είναι 0 = 60 (cm ). Aφού κάθε αντίτυπο έχει 8 φύλλα, χρειάζονται 8 60 = 0080 (cm ) χαρτί για κάθε αντίτυπο. Eπομένως, για να τυπωθούν 800 αντίτυπα, θα χρειαστούν: 800 0080 = 806000 (cm ) = 806, (m ) χαρτί.
.- øª ƒπ (9-6) 8--06 : ÂÏ Μέρος -.. Eμβαδά επίπεδων σχημάτων º ƒ ª Στο τρίγωνο του σχήματος φέρνουμε τη διάμεσο Μ. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα Μ και Μ έχουν το ίδιο εμβαδόν. Η Μ Λύση: Φέρνουμε το ύψος Η. Τότε το τρίγωνο Μ έχει εμβαδόν: (Μ) = Μ Η. Το τρίγωνο Μ έχει εμβαδόν: (Μ) = Μ Η. Όμως, Μ = Μ, επειδή το Μ είναι το μέσο της (η Μ είναι διάμεσος). Άρα: (Μ) = (Μ). º ƒ ª Λύση: Ένα οικόπεδο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, πωλείται προς 00 το m. Ποια είναι η αξία του οικοπέδου; ρίσκουμε πρώτα το εμβαδόν του οικοπέδου. υτό αποτελείται από το ορθογώνιο και το τραπέζιο ΕΖ. Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι: () = 8 = 70 (m ). To εμβαδόν του τραπεζίου είναι: m Ζ 8 m ( + 8) 0 (ΕΖ) = = (m ). 8 m Ε Άρα, το εμβαδόν του οικοπέδου είναι 70 + = 8 (m ). ια να βρούμε την αξία πώλησης του οικοπέδου, πολλαπλασιάζουμε το εμβαδόν του με την τιμή πώλησης του τετραγωνικού μέτρου. Άρα, η αξία του οικοπέδου είναι: 8 00 =.00. º ƒ ª 6 Στο παρακάτω σχήμα: α) Να εκφράσετε το εμβαδόν του τραπεζίου ως συνάρτηση του. β) ν το εμβαδόν του τραπεζίου είναι το τριπλάσιο από το εμβαδόν του ορθογωνίου ΕΖ, να υπολογίσετε το. 8 m Λύση: α) Στο τραπέζιο, η μικρή βάση είναι = + (cm), η μεγάλη βάση είναι = + + = + (cm) και το ύψος του είναι = 6 (cm). Άρα, το εμβαδόν του (β + ) υ ( + + + ) 6 είναι: () = = = ( + 7) (cm ). β) Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι (ΕΖ) = 6 = 8 (cm ). Aφού το εμβαδόν του τραπεζίου είναι τριπλάσιο από το εμβαδόν του ορθογωνίου, έχουμε: () = (ΕΖ) ή ( + 7) = 8 6cm cm Ζ ηλαδή: Ε + + 7 = 8 ή = ή =, (cm).
.- øª ƒπ (9-6) 8--06 : ÂÏ Μέρος -.. Eμβαδά επίπεδων σχημάτων ƒø π. Στο διπλανό σχήμα: cm Θ To εμβαδόν του ΗΘ είναι: To εμβαδόν του ΖΘ είναι: 6 6 9 8 cm To εμβαδόν του ΕΗ είναι: To εμβαδόν του Η είναι: 9 8, Η 6 To εμβαδόν του ΖΗ είναι: To εμβαδόν του ΖΗ είναι: 9 8, cm 7 8 To εμβαδόν του ΕΗ είναι: To εμβαδόν του ΕΘ είναι:,, 8 8 7 Ζ Nα επιλέξετε τη σωστή απάντηση. cm Ε. Nα επιλέξετε τη σωστή απάντηση: To εμβαδόν του παραλληλογράμμου είναι: 9 8 To ύψος που αντιστοιχεί στην πλευρά είναι:, 9, cm 6 cm cm To εμβαδόν του παραλληλογράμμου ΕΖΗΘ είναι: Ε cm 8 cm 6 cm cm Ζ Η πλευρά = ΕΘ είναι: 6 Θ Η Ποιο από τα επόμενα δεν είναι ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου ; A A A K AΛ K 6 Το εμβαδόν του τριγώνου ΕΘΗ είναι: 6 0 Λ E Κ 7 Το ύψος ΘΚ που αντιστοιχεί στην πλευρά ΕΗ είναι: 6 Θ cm Ζ 0 cm 8 cm Η
.- øª ƒπ (9-6) 8--06 : ÂÏ Μέρος -.. Eμβαδά επίπεδων σχημάτων Το διπλανό παραλληλόγραμμο έχει εμβαδόν Κ 8 6cm και το Ε είναι το μέσο της πλευράς. Το εμβαδόν του τριγώνου ΚΕ είναι: 6 8 υ Ε 9 Το εμβαδόν του μπλε παραλληλογράμμου είναι: 8 m 0 Το εμβαδόν κάθε πράσινου τριγώνου είναι: 6 0 7, 8m m ν το εμβαδόν του παραλληλογράμμου Ε είναι cm και το Ε είναι το μέσο της πλευράς, τότε το εμβαδόν του τραπεζίου είναι: 6 8 Ε π ν η περίμετρος ενός τετραγώνου είναι 60 cm, να υπολογίσετε το εμβαδόν του. Οι διαστάσεις ενός φύλλου στο εικοσάφυλλο τετράδιο του Σταύρου είναι cm και 0 cm. Να υπολογίσετε πόση επιφάνεια χαρτιού έχει όλο το τετράδιο. Στο παρακάτω σχήμα να αποδείξετε ότι τα εμβαδά του ροζ και του κίτρινου σχήματος είναι ίσα. α) Να αποδείξετε ότι το τετράγωνο και το τρίγωνο Ε έχουν ίσα εμβαδά. β) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του Ε είναι διπλάσιο από το εμβαδόν του Ε. Nα υπολογίσετε τα εμβαδά των δύο σχημάτων στο παρακάτω σχήμα, αν = cm. Στη συνέχεια, να εξηγήσετε γιατί αυτά είναι ίσα για οποιαδήποτε τιμή του. α 6cm α cm Να κατασκευάσετε ένα τετράγωνο. Στη συνέχεια να προεκτείνετε την πλευρά του τετραγώνου και να πάρετε τμήμα Ε =. 6 Ένα τετράγωνο και ένα τραπέζιο έχουν ίσα εμβαδά. ν οι βάσεις του τραπεζίου είναι cm και 0 cm και το ύψος του είναι cm, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραγώνου.
.- øª ƒπ (9-6) 8--06 : ÂÏ Μέρος -.. Eμβαδά επίπεδων σχημάτων 7 m Ένας ορθογώνιος κήπος έχει διαστάσεις 0 m και m. Tον κήπο διασχίζουν δύο κάθετα μεταξύ τους δρομάκια. Το ένα παράλληλο προς τη μεγάλη πλευρά του κήπου με πλάτος 0,6 m και το άλλο με πλάτος 0,8 m. Το υπόλοιπο τμήμα θα φυτευτεί 0,6 m 0,8 m β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΜΝ έχει εμβαδόν όσο είναι το άθροισμα των εμβαδών των παραπάνω τριγώνων. Στα παρακάτω σχήματα κάθε τετραγωνάκι έχει πλευρά cm. Να βρείτε τα εμβαδά των σχημάτων που δίνονται: Μ Ν 0 m 8 με γκαζόν. Να υπολογίσετε το κόστος της κατασκευής του γκαζόν, αν ο γεωπόνος χρεώνει κάθε m γκαζόν. Τα παρακάτω ορθογώνια έχουν τις ίδιες διαστάσεις. Εξηγήστε γιατί τα πράσινα μέρη των δύο ορθογωνίων έχουν ίσα εμβαδά. 6 8 9 7 0 9 Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται οικόπεδο σχήματος ορθογωνίου, το οποίο διασχίζει διαγώνια ένας δρόμος σταθερού πλάτους. α) Να αποδείξετε ότι τα τριγωνικά οικόπεδα που απομένουν έχουν ίσα εμβαδά. β) Να υπολογίσετε το, ώστε ο δρόμος να «αποκόπτει» από το οικόπεδο τμήμα του οποίου το εμβαδόν να είναι ίσο με το του εμβαδού που απομένει στο οικόπεδο. { Στο τετράπλευρο του διπλανού σχήματος οι διαγώνιες είναι κάθετες. ν = cm,ο=cm και Ο=6cm, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετράπλευρου. Να υπολογίσετε το σε καθένα από τα παρακάτω σχήματα. Ο 8 m cm 0 cm 6 cm 0 0 m Στο τετράγωνο του παρακάτω σχήματος είναι Μ και Ν τα μέσα των πλευρών του και αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα Μ και Ν έχουν ίσα εμβαδά. cm 0 cm 8 cm
.- øª ƒπ (9-6) 8--06 : ÂÏ 6 6 Μέρος -.. Eμβαδά επίπεδων σχημάτων cm 9 cm Να υπολογίσετε τα εμβαδά των παρακάτω σχημάτων: cm cm cm cm 6 cm cm 8 cm 0 cm 6 cm 6 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η κάτοψη ενός διαμερίσματος. Να βρείτε: α) Το εμβαδόν κάθε δωματίου. β) Το εμβαδόν του γωνιακού διαδρόμου. γ) Το εμβαδόν της βεράντας. εράντα εράντα 8, m Σαλόνι m m Κουζίνα ιάδρομος ραφείο Υπνοδωμάτιο WC, m Mπάνιο Υπνοδωμάτιο, m m m, m, m m m m m cm Να βρείτε το εμβαδόν του πορτοκαλί τετραγώνου του παρακάτω σχήματος. 7 Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το τοπογραφικό διάγραμμα ενός κτήματος το οποίο πωλείται προς 0.000 το στρέμμα. α) Να βρεθεί η αξία του κτήματος. β) Πόσα κλήματα μπορούμε να φυτέψουμε στο κτήμα αυτό, αν κάθε κλήμα απαιτεί, m χώρο; 60m 0m 0m π π : Πίσω από την κουρτίνα κρύβονται ένα τετράγωνο, ένα ορθογώνιο και ένα ορθογώνιο τρίγωνο. m ρείτε τη θέση και το εμβαδόν καθενός, αν γνωρίζετε ότι:. Το ορθογώνιο έχει τετραπλάσιο εμβαδόν και βρίσκεται πιο αριστερά από το τετράγωνο.. Ένα σχήμα εμβαδού 00 cm βρίσκεται δεξιά από το ορθογώνιο τρίγωνο.. εξιά από ένα σχήμα με τέσσερις ορθές γωνίες βρίσκεται το ορθογώνιο τρίγωνο.. Οι κάθετες πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσες με τις κάθετες πλευρές του ορθογωνίου.
.- øª ƒπ (7-) 8--06 : ÂÏ 7.. Πυθαγόρειο θεώρημα β ε γ α ƒ ƒ π ίνονται οκτώ ίσα ορθογώνια τρίγωνα με κάθετες πλευρές β, γ και υποτείνουσα α και τρία τετράγωνα με πλευρές α, β, γ αντίστοιχα. α) Να υπολογίσετε τα εμβαδά ε, Ε, Ε, Ε των διπλανών τριγώνων και τετραγώνων. β) Να τοποθετήσετε κατάλληλα τα τρίγωνα και τετράγωνα, ώστε να σχηματίσουν δύο νέα τετράγωνα, πλευράς (β + γ). Λύση α) Έχουμε ότι: ε = β γ γ E γ β α E β E α Ε = α Ε = γ Ε = β β) ρκεί να τα τοποθετήσουμε όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. Παρατηρούμε ότι μπορούμε να γράψουμε το εμβαδόν των ίσων τετραγώνων πλευράς (β + γ) με δύο διαφορετικούς τρόπους: ος τρόπος: Ε + Ε + ε από το πρώτο τετράγωνο που αποτελείται απο τρίγωνα και τα δύο τετράγωνα πλευράς β, γ αντίστοιχα. ος τρόπος: Ε + ε από το δεύτερο τετράγωνο που αποτελείται πάλι από τρίγωνα και το τετράγωνο πλευράς α. β γ β γ γ ε γ ε ε E γ ε α α β ε E β E β α β α ε ε ε γ β γ γ β Επομένως, θα ισχύει ότι: Ε + Ε + ε = Ε + ε ή Ε + Ε = Ε ή β + γ = α Η σχέση αυτή, που συνδέει τις κάθετες πλευρές με την υποτείνουσα ενός τριγώνου, εκφράζει το Πυθαγόρειο θεώρημα, δηλαδή ισχύει:
.- øª ƒπ (7-) 8--06 : ÂÏ 8 8 Μέρος -.. Πυθαγόρειο θεώρημα γ γ α α β β ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών είναι ίσο με το τεράγωνο της υποτείνουσας. Παρατήρηση: Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα ισχύει ότι: α = β + γ, δηλαδή το εμβαδόν του μεγάλου πορτοκαλί τετραγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των δύο πράσινων τετραγώνων. Το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος Στην ρχαία ίγυπτο για την κατασκευή ορθών γωνιών χρησιμοποιούσαν το σκοινί του παραπάνω σχήματος. Όπως βλέπουμε, το σκοινί έχει κόμπους σε ίσες αποστάσεις μεταξύ τους που σχηματίζουν ίσα ευθύγραμμα τμήματα. Κρατώντας τους ακραίους κόμπους ενωμένους και τεντώνοντας το σκοινί στους κόκκινους κόμπους, σχηματίζεται το τρίγωνο, το οποίο οι αρχαίοι ιγύπτιοι πίστευαν ότι είναι ορθογώνιο με ορθή γωνία την κορυφή. Μεταγενέστερα, οι αρχαίοι Έλληνες επαλήθευσαν τον ισχυρισμό αυτό αποδεικνύοντας την επόμενη γενική πρόταση, που είναι γνωστή ως το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος: ν σε ένα τρίγωνο, το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, τότε η γωνία που βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά είναι ορθή. º ƒ ª Να επαληθεύσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο του διπλανού σχήματος. Ε Ζ Λύση: Στο τρίγωνο ΕΖ οι κάθετες πλευρές έχουν μήκη και, οπότε το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών είναι + = + = 69. Επιπλέον, η υποτείνουσα έχει μήκος και το τετράγωνό της ισούται με: = 69. Επομένως, ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα, αφού: + =.
.- øª ƒπ (7-) 8--06 : ÂÏ 9 Μέρος -.. Πυθαγόρειο θεώρημα 9 º ƒ ª Λύση: Στο διπλανό σχήμα, το τρίγωνο έχει περίμετρο 0 m. α) Να βρείτε τον αριθμό. β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. α) Η περίμετρος του τριγώνου είναι: + + = + 0 + 6 + + = + 0. Σύμφωνα με την εκφώνηση είναι: + 0 = 0 ή = 0 0 ή = 0 ή 0 =. Άρα = 0. +0 6+ Λύση: β) ια = 0 τα μήκη των πλευρών (σε μέτρα) είναι: = 0 + 0 = 60, = 0 =, = 6 0 + = 6. Επομένως: + = 60 + = 600 + 6 =. Επίσης: = 6 =. Επομένως: + = και σύμφωνα με το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. º ƒ ª Ένα ράφι είναι στερεωμένο σε ένα κατακόρυφο τοίχο με ένα μεταλλικό στήριγμα μήκους =,6 cm. ν = 7,7 cm και = 7, cm, να εξετάσετε αν το ράφι είναι οριζόντιο. Το ράφι θα είναι οριζόντιο, μόνο αν είναι κάθετο στον τοίχο, δηλαδή αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο. Είναι: + = 7,7 + 7, = 767,9 + 9,8 = 06,. Επίσης: =,6 = 06,76. Επομένως: +, οπότε το τρίγωνο δεν είναι ορθογώνιο. º ƒ ª Στο διπλανό σχήμα δίνεται τετράγωνο πλευράς cm. To σημείο Μ είναι το μέσο της πλευράς και Ρ = cm. α) Να υπολογίσετε τα Μ, ΜΡ και Ρ. β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΜΡ είναι ορθογώνιο στο Μ. Μ Ρ Λύση: α) φού το Μ είναι μέσο του, είναι Μ = Μ = 6 (cm). Eπίσης: Ρ = = 9 (cm). πό το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο Μ έχουμε: Μ = + Μ = + 6 = + 6 = 80.
.- øª ƒπ (7-) 8--06 : ÂÏ 0 0 Μέρος -.. Πυθαγόρειο θεώρημα Ομοίως, στο ορθογώνιο τρίγωνο ΜΡ έχουμε: ΜΡ = Μ + Ρ = 6 + = 6 + 9 =, και στο ορθογώνιο τρίγωνο Ρ έχουμε: Ρ = + Ρ = + 9 = + 8 =. β) Είναι Μ + ΜΡ = 80 + = = Ρ, οπότε σύμφωνα με το αντίστροφο του Πυθαγόρειου θεωρήματος, το τρίγωνο ΜΡ είναι ορθογώνιο στο Μ. ƒø H Στις παρακάτω ερωτήσεις - τα τρίγωνα είναι ορθογώνια στο. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. 6 cm 0 cm γ 8 cm cm cm 6 cm 7 cm β = = = β = και γ = 7cm cm cm β= και γ=8 9cm cm 0 cm β= και γ=0 0 cm cm cm β= και γ= cm cm 0 cm β=8 και γ=9 π Να βρείτε το εμβαδόν του κόκκινου τετραγώνου στα επόμενα σχήματα. Να αποδείξετε ότι τα παρακάτω τρίγωνα είναι ορθογώνια. m 7 6 0 8 7,76 m m 9 m 0,6 m m α) ίνεται ένα τρίγωνο με μήκη πλευρών 6 cm, 8 cm και 0 cm. Nα αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο που έχει διπλάσιες πλευρές από τις πλευρές του, καθώς και το τρίγωνο που έχει τις μισές πλευρές από τις πλευρές του, είναι επίσης ορθογώνιο.
.- øª ƒπ (7-) 8--06 : ÂÏ Μέρος -.. Πυθαγόρειο θεώρημα Το τρίγωνο του παρακάτω σχήματος είναι ισοσκελές με = = 0 dm και = dm. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραγώνου που έχει πλευρά ίση με το ύψος του τριγώνου. A 8 H διατομή ενός καναλιού είναι σχήματος ισοσκελούς τραπεζίου με πλευρές: = = m, = 7 m και = m. Να υπολογίσετε το ύψος του καναλιού. A m 0 dm 0 dm m m 7 m dm 9 Ποια από τις τοποθεσίες Ε,, είναι πλησιέστερα στην πόλη ; 6 7 Να υπολογίσετε το εμβαδόν του μπλε τετραγώνου το οποίο έχει πλευρά ίση με τη διαγώνιο m του ορθογώνιου. ια να σχηματίσει ορθή γωνία με δύο ξύλινα δοκάρια (όπως λέμε για να «γωνιάσει» τα δοκάρια), ένας τεχνίτης μετράει στο ένα δοκάρι = 0 cm και στο άλλο = 0 cm. Στη συνέχεια, τα τοποθετεί κατάλληλα, ώστε να είναι = 0 cm. Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί είναι σίγουρος ότι η γωνία που σχηματίζουν τα δοκάρια είναι ορθή; Ο χαρταετός του διπλανού σχήματος είναι ρόμβος με διαγώνιες dm και 6 dm. Nα βρείτε την περίμετρο και το εμβαδόν της επιφάνειας του χαρταετού.,m 90 A 0 cm 0 cm A 0 cm Ο E 8 m 7 m m A 9 m π π : β β β γ γ ÙÔ ÈappleÏ Ófi Û Ì Ô ÌÂ Ó ÔÚıÔÁÒÓÈÔ α ÙÚ ÁˆÓÔ μ ( =90Æ) ÌÂ Ì ÎÔ appleôùâ ÓÔ Û Î È Ì ÎË Î ıâα α ÙˆÓ appleïâ ÚÒÓ α Î È Á. ͈ÙÂÚÈÎ ÙÔ ÙÚÈÁÒÓÔ Ô Ì Π٠ÛΠÛÂÈ ÙÚ ÙÂÙÚ ÁˆÓ ÌÂ Ì ÎË appleïâ ÚÒÓ, Î È Á ÓÙ - ÛÙÔÈ. ÃÚËÛÈÌÔappleÔÈÒÓÙ Ù ÚˆÌ ÙÈÛÙ «ÎÔÌÌ ÙÈ» appleô appleôùâïô Ó Ù ÙÂÙÚ ÁˆÓ ÙˆÓ Î ıâùˆó appleïâ ÚÒÓ, ÌappleÔÚ ÙÂ Ó «ÁÂÌ ÛÂÙ» ÙÔ ÌÂÁ ÏÔ ÁÎÚ Ô ÙÂÙÚ ÁˆÓÔ ÙË appleôùâ ÓÔ Û ÂÊ ÚÌfi ÔÓÙ ÎÚÈ Ò Ù ÚˆÌ ÙÈÛÙ ÎÔÌÌ - ÙÈ ˆÚ ÙÔ Ó Ó ÂappleÈÎ Ï appleùâè ÙÔ ÏÏÔ; β γ γ
.- øª ƒπ (7-) 8--06 : ÂÏ Μέρος -.. Πυθαγόρειο θεώρημα π ƒπ ª πøª To ı ÁfiÚÂÈÔ ıâòúëì Ô ı ÁfiÚÂÈÔ ıâòúëì appleôùâïâ Ó applefi Ù appleèô ÎÔÌ ÏÏ Ù Ùfi ÚÔÓ Î È appleèô ÛËÌ ÓÙÈÎ ıâˆú Ì Ù Ì appleôïï ÂÊ ÚÌÔÁ. Ó Î Ï Ë ÙÔ ıâˆú Ì ÙÔ, Ó Î È apple Ú ÔÛÈ Î appleô ÂÙ È ÛÙÔÓ ı - ÁfiÚ ÙÔ ÌÈÔ (8-00 apple.ã.), ÂÓ Â Ó È ÈÔ fiùè ÁÈÓ applefi ÙfiÓ applefi Î appleôèôó applefi ÙÔ Ì ıëù ÙÔ ÛÙËÓ ı ÁfiÚÂÈ ÔÏ appleô Ú ÛÂ. ŸÌˆ Â Ó È ÈÔ appleˆ  Ù fi ÈÔ Â Ù ÔÈ Ì ıëù ÙÔ È Ù appleˆû Ó ÙËÓ appleúòùë applefi ÂÈÍË. ÌÊˆÓ Ì ÙËÓ apple Ú ÔÛË, ÔÈ ıâô Ó ÎÔ ÓˆÛ Ó ÛÙÔÓ ı ÁfiÚ ÙÔ ÔÌÒÓ ÌÔ ıâòúëì Î È fiù Ó ÙÔ apple ÂÈÍÂ, ÁÈ Ó ÙÔ Â ÚÈÛÙ ÛÂÈ, Î Ó ı Û 00 Ô ÈÒÓ. È ÙÔ ÏfiÁÔ Ùfi, ÙÔ ı ÁfiÚÂÈÔ ıâòúëì Ó Ê ÚÂÙ È Û Ó Î È ˆ ıâòúëì ÙË ÂÎ - ÙfiÌ Ë. appleèappleï ÔÓ, ÔÈ ı ÁfiÚÂÈÔÈ È Ù appleˆû Ó Î È apple ÂÈÍ Ó ÙÔ ÓÙ ÛÙÚÔÊÔ ÙÔ ıâˆú Ì ÙÔ. ÔÏÏÔ Ì ıëì ÙÈÎÔ, È ÛËÌÔÈ Î È ÌË, appleúôûapple ıëû Ó Ó appleô  ÍÔ Ó ÙÔ ı ÁfiÚÂÈÔ ıâòúëì Ì ÈÎ ÙÔ ÓÂÍ ÚÙËÙË Ì ıô Ô. Ó ÌÂÛ Û ÙÔ apple Ú Ô Ó Î È appleúôûˆappleèîfiùëùâ, fiappleˆ Ô Leonardo da Vinci Î È Ô appleúfiâ ÚÔ ÙˆÓ Garfield. To 90 o Elisha Scott Loomis appleâúè Ï Â 6 È ÊÔÚÂÙÈÎ appleô  ÍÂÈ ÙÔ ı ÁfiÚÂÈÔ ıâˆú - Ì ÙÔ Û Ó È Ï Ô. Το εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας είναι ο θετικός αριθμός που εκφράζει το πλήθος των μονάδων μέτρησης, το οποίο χρειάζεται να πάρουμε, ώστε να καλύψουμε τη δοσμένη επιφάνεια. apple Ó ÏË Ë ÂÊ Ï Ô Eμβαδά Επίπεδων Σχημάτων - Πυθαγόρειο θεώρημα Μονάδες μέτρησης εμβαδών m = Εμβαδά των βασικών επιπέδων σχημάτων. 00 dm = dm = 0.000 cm = 00 cm = cm =.000.000 mm 0.000 mm 00 mm Τετράγωνο Oρθογώνιο Παραλληλόγραμμο α Ε = α Ε = α β β υ Ε = β υ α Oρθογώνιο τρίγωνο α Τυχαίο τρίγωνο β Τραπέζιο β γ Ε = υ β γ Ε = β υ υ Ε = (β+) υ β β Πυθαγόρειο θεώρημα: β + γ = α Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας. ντίστροφο Πυθαγόρειου θεωρήματος ν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, τότε η γωνία που βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά είναι ορθή.
.- øª ƒπ (-) 8--06 :8 ÂÏ ΜΕΡΟΣ º π Ô Τριγωνομετρία ιανύσματα
.- øª ƒπ (-) 8--06 :8 ÂÏ ΕΙΣΩΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜ. Εφαπτομένη οξείας γωνίας. Ημίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας. Μεταβολές ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης. Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 0, και 60. Η έννοια του διανύσματος.6 Άθροισμα και διαφορά διανυσμάτων.7 νάλυση διανύσματος σε δύο κάθετες συνιστώσες Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με την ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙ και τα ΙΝΥΣΜΤ. Η Τριγωνομετρία, όπως προδίδει και το όνομά της, ασχολείται με τη μέτρηση των τριγώνων και για την ακρίβεια με τη μέτρηση των στοιχείων των τριγώνων. Είναι ένα από τα σημαντικότερα αντικείμενα των Μαθηματικών που αναπτύχθηκε από πολύ παλιά, από τους αρχαίους Έλληνες, οι οποίοι τη χρησιμοποίησαν με θαυμαστά αποτελέσματα. Ιδιαίτερα εύστοχη ήταν η εκτίμηση του άλλου μαθηματικού D Alembert το 789: «Η τριγωνομετρία είναι η τέχνη να βρίσκεις τα άγνωστα στοιχεία ενός τριγώνου με τα λιγότερα μέσα που διαθέτεις». Εμείς θα περιοριστούμε στη μελέτη των τριγωνομετρικών αριθμών (ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη) οξείας γωνίας. Θα εξετάσουμε τις μεταβολές τους και θα τους χρησιμοποιήσουμε για να λύσουμε αρκετά προβλήματα. Στη συνέχεια, στο δεύτερο μέρος του Κεφαλαίου θα μελετήσουμε τα διανύσματα, μια έννοια γνωστή κυρίως από τη Φυσική. Χρησιμοποιώντας διανύσματα μπορούμε να παραστήσουμε διάφορα φυσικά μεγέθη, όπως τη δύναμη, την ταχύτητα κ.ά., στα οποία εκτός από το μέτρο τους είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε και την κατεύθυνσή τους. Είναι, λοιπόν, πολύ σημαντικό να γνωρίζουμε τα στοιχεία ενός διανύσματος, να μπορούμε να κάνουμε πράξεις μ αυτά, καθώς και να τα αναλύουμε σε συνιστώσες. ρκετές δραστηριότητες από την καθημερινή μας ζωή και αρκετά παραδείγματα από τη Φυσική θα μας βοηθήσουν να κατανοήσουμε πλήρως τη χρήση των διανυσμάτων.
.- øª ƒπ (-) 8--06 :8 ÂÏ Τι είναι η Τριγωνομετρία; H Τριγωνομετρία αναπτύχθηκε αρχικά για τις ανάγκες της στρονομίας και της εωγραφίας, αλλά χρησιμοποιήθηκε στη διάρκεια πολλών αιώνων και σε άλλους κλάδους των Μαθηματικών, στη Φυσική, στη Μηχανική και στη Χημεία. Οι έννοιες του ημιτόνου, του συνημιτόνου και της εφαπτομένης μιας γωνίας προέκυψαν από τις παρατηρήσεις των στρονόμων της ρχαιότητας. Οι αρχαίοι Έλληνες πίστευαν ότι τα αστέρια βρίσκονταν πάνω σε μια τεράστια νοητή σφαίρα, στην οποία κινούνταν μόνο οι τότε γνωστοί πλανήτες: Ερμής, φροδίτη, Άρης, ίας, Κρόνος, Σελήνη. Στην προσπάθειά τους να υπολογίσουν τις αποστάσεις μεταξύ των πλανητών που είναι αδύνατον να μετρηθούν άμεσα οι αρχαίοι Έλληνες προσπάθησαν να τις υπολογίσουν από τις γωνίες που σχημάτιζαν μεταξύ τους. Ο ρίσταρχος ο Σάμιος, ο Πτολεμαίος, ο Ίππαρχος και άλλοι, που ασχολήθηκαν με την στρονομία, βρήκαν σχέσεις μεταξύ των πλευρών και των γωνιών τριγώνων. Περίπου δύο χιλιάδες χρόνια πριν δημιουργήθηκαν τριγωνομετρικοί πίνακες, δηλαδή πίνακες με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς (ημίτονα, συνημίτονα, εφαπτομένες) γωνιών. Ο υπολογισμός των τριγωνομετρικών αυτών αριθμών δεν ήταν καθόλου απλός. Άρχισε να απλοποιείται μετά τον 7ο αιώνα μ.χ. και στις ημέρες μας είναι πανεύκολος με τη χρήση των υπολογιστών τσέπης. Σκοπός αυτών των πινάκων ήταν να διευκολυνθούν οι υπολογισμοί της στρονομίας. Οι εφαρμογές της στρονομίας ήταν πολλές και εντυπωσιακές. Ένα απλό παράδειγμα είναι η ναυσιπλοΐα κατά τη διάρκεια της νύχτας. Οι αρχαίοι Έλληνες χρησιμοποιούσαν ένα ναυτικό όργανο, τον αστρολάβο, με τον οποίο μετρούσαν ουσιαστικά γωνίες και με τη χρήση της τριγωνομετρίας υπολόγιζαν αποστάσεις και χάραζαν την πορεία τους. Οι αρχαίοι Έλληνες γνωρίζοντας ότι η η είναι σφαιρική χρησιμοποίησαν την Τριγωνομετρία στη εωγραφία. Ο Πτολεμαίος χρησιμοποίησε τριγωνομετρικούς πίνακες στο έργο του «εωγραφία», ενώ ο Κολόμβος είχε πάντα μαζί του στα ταξίδια του το έργο του Regiomontanus: «Ephemerides Astronomicae». Παρόλο που η Τριγωνομετρία εφαρμόστηκε αρχικά στη σφαίρα, έχει περισσότερες εφαρμογές στο επίπεδο. Η Τριγωνομετρία αποτελεί βασικό πεδίο γνώσης, καθώς συμβάλλει στην κατανόηση του χώρου και των ιδιοτήτων του. Οι εφαρμογές της Τριγωνομετρίας δεν περιορίζονται στη εωμετρία, αλλά επεκτείνονται στις βολές στη Φυσική, στην ανάκλαση στην Οπτική, στις αντοχές υλικών στη Στατική και σε άλλους κλάδους των Φυσικών ή ακόμα και των Κοινωνικών επιστημών.
.- øª ƒπ (-) 8--06 :8 ÂÏ 6.. Eφαπτομένη οξείας γωνίας Ε Ζ O 0 m 0%  Πıâ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ ÁˆÓÔ μ ( = 90Æ) Ë Î ıâùë appleïâ Ú, ÔÓÔÌ ÂÙ È «apple Ó ÓÙÈ Î ıâùë appleïâ Ú ÙË ÁˆÓ μ» Î È Ë μ «appleúôûîâ ÌÂÓË Î ıâùë appleïâ Ú ÙË ÁˆÓ μ». υποτείνουσα (απέναντι από την ορθή γωνία) A απέναντι κάθετη πλευρά από τη γωνία ƒ ƒ π Η πινακίδα που βρίσκεται στο σημείο Ο πληροφορεί τον οδηγό του αυτοκινήτου πόσο ανηφορικός είναι ο δρόμος 0 Ο. Το ποσοστό 0% ή = 0, σημαίνει ότι σε κάθε 00 00 m οριζόντιας απόστασης ανεβαίνουμε 0 m. Έτσι, π.χ. στο σημείο είναι Ο = 0 m και ανεβαίνουμε = 0 0, m = m. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Τι παρατηρείτε; Ο = 0 Ο = 00 Ο = 0 Λύση Παρατηρούμε ότι Ε = 0, Ζ =, οπότε οι λόγοι της τρίτης στήλης παραμένουν σταθεροί: = = 0, Ο 0 Ε Ο Ζ Ο = E = Ζ = 0 = = 0, 00 = = 0, 0 A Ο = E Ο = Ζ Ο = προσκείμενη κάθετη πλευρά στη γωνία º ÛÈÎ, appleúôîâèì ÓÔ ÁÈ ÙË ÁˆÓ, Ë μ Â Ó È Ë «apple Ó ÓÙÈ», ÂÓÒ Ë Â Ó È Ë «appleúôûîâ ÌÂÓË» Î ıâùë appleïâ Ú. ν ονομάσουμε ω τη γωνία που σχηματίζει ο ανηφορικός δρόμος με το οριζόντιο επίπεδο, τότε οι Ε Ζ λόγοι,, και γενικά ο λόγος Ο Ο Ο ύψος είναι ο ίδιος για όλα τα σημεία οριζόντια απόσταση
.- øª ƒπ (-) 8--06 :8 ÂÏ 7 Μέρος -.. Εφαπτομένη οξείας γωνίας 7 της ευθείας ΟΖ. Ο σταθερός αυτός λόγος λέγεται εφαπτομένη της γωνίας ω και γράφουμε εφω = 0,. Ειδικά, όταν αναφερόμαστε σε δρόμο, όπως παραπάνω, η εφαπτομένη της γωνίας ω ονομάζεται κλίση του δρόμου. Σε οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνο με οξεία γωνία ω ο σταθερός αυτός λόγος γράφεται ως εξής: ω απέναντι κάθετη πλευρά της γωνίας ω προσκείμενη κάθετη πλευρά της γωνίας ω ονομάζεται εφαπτομένη της γωνίας ω και συμβολίζεται με εφω. Ο λόγος που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την απέναντι κάθετη πλευρά με την προσκείμενη κάθετη πλευρά μιας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου, είναι πάντοτε σταθερός και λέγεται εφαπτομένη της γωνίας ω. O A(,y) y ω Σχόλιο : ς θυμηθούμε την κλίση της ευθείας με εξίσωση y = α, που συναντήσαμε στην παράγραφο.. y Είδαμε ότι ο λόγος είναι πάντα σταθερός και ίσος με τον αριθμό α για κάθε σημείο της ευθείας με εξίσωση y = α. Aν ω είναι η γωνία που σχηματίζει η ευθεία με εξίσωση y = α με τον άξονα, τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο Ο ισχύει: y εφω = = = α Ο Η κλίση α της ευθείας με εξίσωση y = α είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας ω, που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα. Σχόλιο : ια να υπολογίσουμε την εφαπτομένη μιας γωνίας, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον πίνακα τριγωνομετρικών αριθμών των γωνιών 89, που βρίσκεται στο τέλος του βιβλίου (σελ. ). Σε επόμενη παράγραφο (.) θα μάθουμε να υπολογίζουμε την εφαπτομένη μιας γωνίας χρησιμοποιώντας έναν «επιστημονικό» υπολογιστή τσέπης.
.- øª ƒπ (-) 8--06 :8 ÂÏ 8 8 Μέρος -.. Εφαπτομένη οξείας γωνίας º ƒ ª ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα = cm. ν η μία κάθετη πλευρά έχει μήκος = cm, να υπολογίσετε τις εφαπτομένες των γωνιών και. Λύση: νωρίζουμε ότι: εφ απέναντι κάθετη πλευρά = = και προσκείμενη κάθετη πλευρά A εφ απέναντι κάθετη πλευρά = = προσκείμενη κάθετη πλευρά A Επομένως, πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε το μήκος της κάθετης πλευράς. πό το Πυθαγόρειο θεώρημα γνωρίζουμε ότι + = και αντικαθιστώντας με = cm και = cm, έχουμε: + = ή + = 69 ή = 69 = Eπομένως, = = (cm). Άρα: εφ = = και εφ = =. cm cm º ƒ ª Nα σχεδιάσετε μια γωνία ω, με εφω =. Λύση: Σύμφωνα με τον ορισμό της εφαπτομένης οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου, απέναντι κάθετη πλευρά ισχύει: εφω =. προσκείμενη κάθετη πλευρά Επομένως, για να σχεδιάσουμε μια οξεία γωνία ω με εφω =, αρκεί να κατασκευάσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο που η μία κάθετη πλευρά του θα είναι ίση με και η άλλη κάθετη πλευρά ίση με. Ô Ì Ù ÛΠÔÚı ÁˆÓ Ô Ì ª ÙÚËÛË appleïâ ÚÒÓ Ô Ì KaÙ ÛΠÙÚÈÁÒÓÔ ρ= ρ = cm cm ω cm ια τη γωνία ω ισχύει: εφω = =.
.- øª ƒπ (-) 8--06 :8 ÂÏ 9 Μέρος -.. Εφαπτομένη οξείας γωνίας 9 º ƒ ª Nα υπολογίσετε το ύψος του κυπαρισσιού του παρακάτω σχήματος χρησιμοποιώντας το μήκος της σκιάς του και τη γωνία ω. Λύση: Στο ορθογώνιο τρίγωνο γνωρίζουμε ότι = 9 m και = ω =. Θέλουμε να υπολογίσουμε την πλευρά. Ο τριγωνομετρικός αριθμός που συνδέει την απέναντι με την προσκείμενη πλευρά μιας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι η εφαπτομένη της γωνίας. Έχουμε λοιπόν: εφ = οπότε = εφ άρα = 9 εφ. Με τη βοήθεια του πίνακα εφαπτομένων βρίσκουμε ότι εφ = 0,7. Άρα, = 9 0,7 =,, δηλαδή το ύψος του κυπαρισσιού είναι, m. º ƒ ª Ένας τουρίστας ύψους =,80 m «βλέπει» τον πύργο με γωνία και απέχει από αυτόν m. Nα υπολογίσετε το ύψος Ε του πύργου. Λύση: Στο ορθογώνιο τρίγωνο Ε γνωρίζουμε το μήκος της κάθετης πλευράς = m και μια οξεία γωνία. Επομένως, για να υπολογίσουμε την άλλη κάθετη πλευρά Ε, χρησιμοποιούμε την εφαπτομένη της γωνίας των. απέναντι κάθετη πλευρά Ε Ε Είναι εφ = προσκείμενη κάθετη πλευρά = =. πό τον πίνακα εφαπτομένων βρίσκουμε: εφ = 0,6, οπότε η παραπάνω σχέση Ε γίνεται: 0,6 =, οπότε έχουμε: Ε = 0,6 = 7,9 (m). Eπομένως, το συνολικό ύψος του πύργου είναι: Ε = + Ε =,8 + 7,9 = 9,7 (m). ƒø π. Στο διπλανό σχήμα είναι εφθ =... 00 7 7 :, :, :, :. 7 7 00 Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. θ 00 7
.- øª ƒπ (-) 8--06 :8 ÂÏ 0 0 Μέρος -.. Εφαπτομένη οξείας γωνίας. Στο διπλανό σχήμα είναι: α) εφθ =... :, :, :, :. β) εφφ =... :, :, :, :. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. θ φ. Σε κάθε γωνία θ, φ, ω, ψ του διπλανού σχήματος να αντιστοιχίσετε την εφαπτομένη της. ωνία θ φ Εφαπτομένη A θ φ ω ψ ωψ π Στα παρακάτω σχήματα να υπολογίσετε το μήκος : (γ) Η (α) (β) 7 0 8 Ι Θ (δ) Μ Λ Ζ 0 Κ Ε Στο παρακάτω σχήμα να υπολογίσετε την απόσταση των δύο πλοίων. 0 m Ένας τουρίστας βλέπει την κορυφή ενός πύργου από σημείο με γωνία 0 και τη βάση του πύργου με γωνία 8. ν γνωρίζετε ότι = m, να υπολογίσετε το ύψος h του πύργου. Να σχεδιάσετε μια γωνία ω με εφω = 0,7. Ποια στοιχεία μπορείτε να υπολογίσετε σε ορθογώνιο τρίγωνο με μια οξεία γωνία 0, αν η απέναντι κάθετη πλευρά έχει μήκος cm;
.- øª ƒπ (-) 8--06 :8 ÂÏ Μέρος -.. Εφαπτομένη οξείας γωνίας 6 Την Καθαρά ευτέρα ο Λάκης και ο Σάκης βλέπουν το χαρταετό του Μάκη με γωνίες και 8 αντίστοιχα. Ο Λάκης και ο Σάκης βρίσκονται σε απόσταση 80 m. Nα βρείτε σε τι ύψος από το έδαφος έχει ανέβει ο χαρταετός του Μάκη, αν γνωρίζουμε ότι τα μάτια του Λάκη και του Σάκη βρίσκονται σε ύψος,0 m. μπάλα ακολουθώντας τη διαδρομή του σχήματος. α) Να εκφράσετε την απόσταση ως συνάρτηση του. β) Στο τρίγωνο να εκφράσετε την εφθ ως συνάρτηση του. γ) Στο τρίγωνο Ε να εκφράσετε την εφθ ως συνάρτηση του. δ) Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω συμπεράσματα των ερωτημάτων (β) και (γ), να αποδείξετε ότι το είναι λύση της εξίσωσης (90 ) =. Να προσδιορίσετε τον αριθμό. 7 Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε ένα τραπέζι του μπιλιάρδου. ύο μπάλες και είναι τοποθετημένες έτσι ώστε, Ε = 90 cm, = cm, Ε = cm και Ε = cm. Ένας παίκτης θέλει να χτυπήσει τη μπάλα με τη
.- øª ƒπ (-6) 9--06 00:0 ÂÏ.. Hμίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας Το ημίτονο ƒ ƒ π O ω 0 ω ω 0 Ζ υποτείνουσα προσκείμενη 0 Ε απέναντι κάθετη πλευρά Ένα πυροσβεστικό όχημα σταματά μπροστά από ένα κτίριο που φλέγεται, για να κατεβάσει έναν άνθρωπο που βρίσκεται στην ταράτσα του κτιρίου. Η σκάλα του οχήματος έχει μήκος Ο = 0 m και το κτίριο έχει ύψος = 0 m. Ο πυροσβέστης που βρίσκεται στην άκρη της σκάλας παίρνει τον άνθρωπο που κινδυνεύει και η σκάλα αρχίζει να μαζεύεται. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: OA = 0 A = 0 = Ο E O = 0 E = = Ο Ζ O = 0 Ζ = = Ο Τι παρατηρείτε; Λύση Παρατηρούμε ότι οι λόγοι της τρίτης στήλης παραμένουν σταθεροί: 0 Ε Ζ = =, = = και = =. Ο 0 Ο 0 Ο 0 Είναι φανερό ότι ο λόγος αυτός παραμένει σταθερός για κάθε διαδοχική θέση της σκάλας. Επίσης, είναι φανερό ότι η γωνία ω στα ορθογώνια τρίγωνα Ο, ΟΕ, ΟΖ που σχηματίζονται, παραμένει σταθερή. απέναντι κάθετη πλευρά Ο σταθερός αυτός λόγος γράφεται ως: υποτείνουσα ονομάζεται ημίτονο της γωνίας ω και συμβολίζεται με ημω. ηλαδή ημω = απέναντι κάθετη πλευρά υποτείνουσα Επομένως: Ο λόγος που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την απέναντι κάθετη πλευρά μίας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου δια την υποτείνουσα, είναι πάντοτε σταθερός και λέγεται ημίτονο της γωνίας ω.
.- øª ƒπ (-6) 9--06 00:0 ÂÏ Μέρος -.. Hμίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας Το συνημίτονο ν συμπληρώσουμε, τώρα, τον παρακάτω πίνακα για το ίδιο σχήμα: OA = 0 O = 0 O 0 = = Ο 0 O = 0 ΟE = OΕ = = Ο 0 O = 0 ΟΖ = 6 OΖ 6 = = Ο 0 παρατηρούμε ότι σχηματίζεται και ένας δεύτερος σταθερός λόγος: προσκείμενη κάθετη πλευρά υποτείνουσα Ο λόγος αυτός ονομάζεται συνημίτονο της γωνίας ω και συμβολίζεται συνω. Επομένως: Ο λόγος που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την προσκείμενη κάθετη πλευρά μίας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου δια την υποτείνουσα, είναι πάντοτε σταθερός και λέγεται συνημίτονο της γωνίας ω. Παρατηρήσεις: συνω = α) νωρίζουμε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η υποτείνουσα είναι μεγαλύτερη από καθεμία από τις κάθετες πλευρές, οπότε οι λόγοι: απέναντι κάθετη πλευρά υποτείνουσα προσκείμενη κάθετη πλευρά υποτείνουσα είναι μικρότεροι της μονάδας. Επομένως ισχύουν οι ανισώσεις: και 0 < ημω < και 0 < συνω < για οποιαδήποτε οξεία γωνία ω. A ημω Ο β) ν τώρα διαιρέσουμε το ημω με το συνω θα προκύψει συνω = = = εφω, Ο Ο Ο όπως φαίνεται από το ορθογώνιο τρίγωνο Ο του σχήματος της προηγούμενης σελίδας. Άρα: ημω εφω = συνω προσκείμενη κάθετη πλευρά υποτείνουσα º ƒ ª Θεωρούμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές = cm και = 0 cm. Να υπολογίσετε τα ημίτονα και τα συνημίτονα των γωνιών και. Τι παρατηρείτε; cm A 0 cm
.- øª ƒπ (-6) 9--06 00:0 ÂÏ Μέρος -.. Hμίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας Λύση: ια τον υπολογισμό του ημιτόνου ή του συνημιτόνου μιας οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου, πρέπει να γνωρίζουμε και το μήκος της υποτείνουσας. πό το Πυθαγόρειο Θεώρημα έχουμε: = + = + 0 = + 00 = 6 οπότε = 6 = cm. Άρα: ημ = απέναντι κάθετη πλευρά στη γωνία 0 = = υποτείνουσα = συν = προσκείμενη κάθετη πλευρά στη γωνία = = υποτείνουσα = ημ = απέναντι κάθετη πλευρά στη γωνία = = υποτείνουσα = συν = προσκείμενη κάθετη πλευρά στη γωνία 0 = = υποτείνουσα = Παρατηρούμε ότι ημ = συν και ημ = συν. º ƒ ª Να σχεδιαστεί μία οξεία γωνία ω, με ημω =. Λύση: Σύμφωνα με τον ορισμό του ημιτόνου οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου, ισχύει: απέναντι κάθετη πλευρά ημω = υποτείνουσα. Επομένως, για να κατασκευάσουμε οξεία γωνία ω με ημω =, αρκεί να κατασκευάσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο στο οποίο η μία κάθετη πλευρά του θα είναι ίση με και η υποτείνουσά του ίση με. o Ì K Ù ÛΠÔÚı ÁˆÓ o Ì ª ÙÚËÛË appleïâ ÚÒÓ o Ì Ù ÛΠÙÚÈÁÒÓÔ ρ = cm ρ = cm ω ια τη γωνία ω ισχύει: ημω = =.
.- øª ƒπ (-6) 9--06 00:0 ÂÏ Μέρος -.. Hμίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας... ƒø π Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο είναι: α) ημθ = β) ημφ = φ γ) δ) συνθ = συνφ = Στο ορθογώνιο τρίγωνο του διπλανού σχήματος ποιος από τους παρακάτω αριθμούς: : συνθ : συνφ : ημφ 8 ισούται με 7 ; Σε ποιο από τα παρακάτω τρίγωνα ισχύει συνθ = 7 ; θ A: : : 7 θ 7 θ θ 7 7 θ A φ 8 A. ν ημθ = και συνθ =, τότε: εφθ =... :, :, :, : Να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση.. 6. 7. Να βάλετε σε κύκλο τις τιμές που δε μπορούν να εκφράζουν το συνημίτονο οξείας γωνίας: α) β) γ) δ) ε) στ), ίνεται το διπλανό σχήμα. Να χαρακτηρίσετε με Σ (σωστή) ή Λ (λανθασμένη) τις παρακάτω σχέσεις: α) συνθ = β) συνθ = γ) συνθ = Ε Ε δ) συνθ = ε) συνθ = στ) ημθ = Ε θ ζ) ημθ = η) ημθ = θ) ημθ = A Ε Στο διπλανό σχήμα η γωνία είναι ορθή. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω φράσεις: α) Στο τρίγωνο... είναι: συν... =.... Ε β) Στο τρίγωνο... είναι: ημ... =.... Ζ Ε γ) Στο τρίγωνο... είναι: συν... =. Ε A
.- øª ƒπ (-6) 9--06 00:0 ÂÏ 6 6 Μέρος -.. Hμίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας π Να υπολογίσετε τα ημίτονα και τα συνημίτονα των οξειών γωνιών στα παρακάτω ορθογώνια τρίγωνα. (α) (β) (γ) cm cm, cm cm ίνεται μια οξεία γωνία ω για την οποία ισχύει συνω = 7 cm A 9 cm. Να υπολογίσετε το ημω. ίνεται μια οξεία γωνία ω. Να αποδείξετε ότι: α) + ημω < 7 β) συνω > γ) ημω + συνω < 8 Στο διπλανό σχήμα είναι: Ο= 0 m, Ο = m και Ο = 8 m. Nα υπολογίσετε τις αποστάσεις Ο, και. O θ π ƒπ ª πøª O ÌË ÓÈÛÌfi ÙˆÓ ÓÙÈÎ ı ÚˆÓ A ƒ μ AÛÙÚÔÏ Ô Â Ó È Ó ÛÙÚÔÓÔÌÈÎfi fiúá ÓÔ appleô ÂÊÂ Ú ıëîâ applefi ÙÔÓ ÏÏËÓ ÛÙÚÔÓfiÌÔ ÿappleapple Ú Ô ÙÔ Ô ÈÒÓ apple.ã. ÁÈ Ó ÌÂÙÚ ÛÂÈ ÙÔ Ô ÂÓfi ÛÙÂÚÈÔ apple Óˆ applefi ÙÔÓ ÔÚ ÔÓÙ, Î ıò Î È ÙË ÁˆÓÈ Î applefiûù ÛË Ô ÛÙÂÚÈÒÓ. ÙËÓ appleúòùë ÙÔ ÌÔÚÊ Ô ÛÙÚÔÏ Ô Ù Ó Ó Í ÏÈÓÔ ÛÎÔ, ÛÙÔ Î ÎÏÈÎfi appleï ÛÈÔ ÙÔ ÔappleÔ Ô Ù Ó Ú ÁÌ Ó ÔÈ appleô È ÈÚ ÛÂÈ ÙÔ Û ÌÔ ÚÂ Î È ÌÈ ÎÙ Ó appleô ÂÈ Ó ÙÔ ÌË Ó ( Ú ) ÙˆÓ appleô È ÈÚ ÛˆÓ. ÙÔ Î ÓÙÚÔ ÙÔ ÛÎÔ Ù Ó ÛÙÂÚˆ- Ì ÓÔ Ó Î ÓfiÓ ( Ú Î ), appleô ÌappleÔÚÔ ÛÂ Ó appleâúèûùú ÊÂÙ È Î È Ì ÙÔÓ ÔappleÔ Ô ÁÈÓfiÙ Ó Ë ÛÙfi  ÛË ÙÔ ÛÙÂÚÈÔ. ÚÁfiÙÂÚ ÔÈ ÛÙÚÔÏ ÔÈ ÁÈÓ Ó ÌÂÙ ÏÏÈÎÔ, Ì apple Ú ÛÙ ÛÂÈ applefi ˆ È Îfi Î ÎÏÔ Î È Î appleôèô ÛÙÚÔÓÔÌÈÎÔ ÚÙÂ. Ù Ó ÙÔ Î ÚÈfiÙÂÚÔ fiúá ÓÔ Ó ÛÈappleÏÔ Î Ù ÙÔ ÌÂÛ ˆÓ Î È ÓÙÈÎ Ù ÛÙ ıëîâ applefi ÙÔÓ ÂÍ ÓÙ ÙÔÓ 8Ô ÈÒÓ. ÌÂÚ ÔÈ ÛÙÚÔÏ ÔÈ Â Ó È ÛÙÚÔÓÔÌÈÎ fiúá Ó ÌÂÁ ÛÙË ÎÚ ÂÈ, ÂÊÔ È ÛÌ Ó Ì ÈfiappleÙÚ ÌappleÚÔÛÙ applefi ÙËÓ ÔappleÔ Â Ó È appleúôû ÚÌÔÛÌ ÓÔ Ó appleú ÛÌ. ÚÔÛ ÈÔÚ Ô Ó ÙË ÚÔÓÈÎ ÛÙÈÁÌ Î Ù ÙËÓ ÔappleÔ Ó Û ÁÎÂÎÚÈÌ ÓÔ ÛÙ ÚÈ Ú ÛÎÂÙ È apple Óˆ applefi ÙÔÓ ÔÚ ÔÓÙ Û ÔÚÈÛÌ ÓÔ Ô, Û Ó ıˆ Æ 60Æ. ÙË Á ÏÏÈÎ Ù ÌÈÎÚÔÁÚ Ê ÙÔ Ô ÈÒÓ ÙÚÂÈ ÌÔÓ Ô apple Ú ÙËÚÔ Ó ÌÂ Ó Ó ÛÙÚÔÏ Ô Î appleôèô ÛÙ ÚÈ.
.- øª ƒπ (7-) 9--06 00:0 ÂÏ 7.. Μεταβολές ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης Η χρήση του υπολογιστή τσέπης για τον υπολογισμό του ημιτόνου, του συνημιτόνου και της εφαπτομένης μιας γωνίας ω Επειδή ο υπολογισμός του ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης μιας γωνίας δεν είναι απλός, χρησιμοποιούμε συχνά έναν «επιστημονικό» υπολογιστή τσέπης. Ο «επιστημονικός» υπολογιστής περιλαμβάνει τα πλήκτρα sin, cos και tan. To πρώτο υπολογίζει το ημίτονο, το δεύτερο το συνημίτονο και το τρίτο την εφαπτομένη μίας γωνίας (π.χ. των 6 ) ως εξής: α) Πατάμε το πλήκτρο που μετατρέπει τους αριθμούς σε μοίρες. Το πλήκτρο αυτό διαφέρει από υπολογιστή σε υπολογιστή. Συνήθως η ένδειξη που φανερώνει ότι έχουμε πατήσει το σωστό πλήκτρο είναι DEG. β) Πατάμε διαδοχικά τα πλήκτρα: 6 sin ή sin 6 που υπολογίζει το ημ6. γ) Στην οθόνη παρουσιάζεται ο αριθμός 0,89 που είναι το ημ6. δ) νάλογα πατώντας τα πλήκτρα: 6 cos ή cos 6 έχουμε ότι: συν6 = 0, και 6 tan ή tan 6 έχουμε ότι: εφ6 =,96. Παρατήρηση: Στο τέλος του βιβλίου (σελ. ) μπορείτε να βρείτε έναν πίνακα με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών από έως 89, για να τον χρησιμοποιήσετε στις ασκήσεις. Μεταβολές ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης οξείας γωνίας ω ς εξετάσουμε τώρα τι συμβαίνει όταν μεταβάλλεται η γωνία ω ενός ορθογωνίου τριγώνου. ƒ ƒ π Χρησιμοποιώντας έναν υπολογιστή τσέπης ή τον πίνακα των τριγωνομετρικών αριθμών που βρίσκεται στο τέλος του βιβλίου, να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: 8 7 68 8 ημίτονο συνημίτονο εφαπτομένη Λύση ρίσκουμε ότι: ημίτονο συνημίτονο εφαπτομένη 8 0,69 0,88 0, 7 0,7 0,68,07 68 0,97 0,7,7 8 0,99 0, 8,
.- øª ƒπ (7-) 9--06 00:0 ÂÏ 8 8 Μέρος -.. Mεταβολές ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης πό τον προηγούμενο πίνακα παρατηρούμε ότι: Ο R ω φ θ R R Ζ Ε Όταν μια οξεία γωνία αυξάνεται, τότε: αυξάνεται το ημίτονό της, ελαττώνεται το συνημίτονό της και αυξάνεται η εφαπτομένη της. εωμετρικά, τα παραπάνω συμπεράσματα φαίνονται στα διπλανά σχήματα: Σχηματίζουμε τα ορθογώνια τρίγωνα Ο, ΟΕ, ΟΖ, με σταθερή υποτείνουσα R = Ο = Ο = Ο και θεωρούμε τρεις γωνίες: ω < φ < θ. Παρατηρούμε ότι: < Ε < Ζ. E Ζ Επομένως, διαιρώντας με R έχουμε ότι: R < R < R ή ημω < ημφ < ημθ. Στο ίδιο σχήμα παρατηρούμε ότι: Ο > ΟΕ > ΟΖ. Ο ΟΕ ΟΖ Οπότε: R > R > R ή συνω > συνφ > συνθ. Ο ω φ θ ς θεωρήσουμε ορθογώνια τρίγωνα Ο, Ο, Ο με σταθερή τη μία κάθετη πλευρά Ο και ορθή τη γωνία. Παρατηρούμε ότι, όταν η οξεία γωνία με κορυφή το σημείο Ο μεγαλώνει, δηλαδή: ω < φ < θ, τότε μεγαλώνει αντίστοιχα η απέναντι κάθετη πλευρά: < <. Επομένως: Ο < Ο < Ο ή εφω < εφφ < εφθ. πό τα παραπάνω προκύπτει ότι: ν δύο οξείες γωνίες έχουν ίσα ημίτονα, τότε οι γωνίες αυτές είναι ίσες. ν δύο οξείες γωνίες έχουν ίσα συνημίτονα, τότε οι γωνίες αυτές είναι ίσες. ν δύο οξείες γωνίες έχουν ίσες εφαπτομένες, τότε οι γωνίες αυτές είναι ίσες. º ƒ ª Στο διπλανό σχήμα είναι Ο = cm, O = 8 cm και θ = cm. Nα υπολογίσετε την απόσταση. O Λύση: Παρατηρούμε ότι στο σχήμα υπάρχουν δύο ορθογώνια τρίγωνα, τα Ο και Ο με κοινή γωνία θ. Στο ορθογώνιο τρίγωνο Ο έχουμε: ημθ = Ο. Στο ορθογώνιο τρίγωνο Ο έχουμε: ημθ = Ο. 6 Άρα, θα ισχύει ότι: Ο = Ο οπότε: = Ο O ή = 8 = =, (cm).
.- øª ƒπ (7-) 9--06 00:0 ÂÏ 9 Μέρος -.. Mεταβολές ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης 9 º ƒ ª Το ημίτονο της γωνίας που σχηματίζει μια πίστα του σκι με το οριζόντιο επίπεδο είναι ημ = 0,. ν ένας σκιέρ βρίσκεται σε σημείο ύψους = m από το έδαφος, να βρεθεί η απόσταση που θα διανύσει ο σκιέρ ώσπου να φτάσει στο έδαφος. m Λύση: Στο ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ) πρέπει να βρούμε την πλευρά (υποτείνουσα) γνωρίζοντας ότι: = m και ημ = 0,. Έχουμε ότι: ημ = ή = ή = ή = 00 m. ημ 0, º ƒ ª Λύση: Ένας παρατηρητής, που βρίσκεται 00 m από την ακτή και 0 m από ένα δέντρο, θέλει να υπολογίσει την απόσταση του πλοίου από την ακτή. Μ ένα γωνιόμετρο (ένα όργανο που μας επιτρέπει να μετράμε γωνίες) σκοπεύει το πλοίο και το δέντρο και βρίσκει τη γωνία =70. ν = 90, να υπολογίσετε την απόσταση. Έστω = η απόσταση του πλοίου από την ακτή. Στο ορθογώνιο τρίγωνο χρησιμοποιούμε το συνημίτονο της γωνίας των 70. προσκείμενη κάθετη πλευρά 0 Eίναι: συν70 = υποτείνουσα = = A 00 + M έναν επιστημονικό υπολογιστή τσέπης βρίσκουμε: συν70 = 0,, οπότε η παραπάνω σχέση γίνεται 0, = 0 00 + και έχουμε: (00 + ) 0, = 0 ή + 0, = 0 ή 0, = 0 ή 6 = 0, =,8 (m).
.- øª ƒπ (7-) 9--06 00:0 ÂÏ 0 0 Μέρος -.. Mεταβολές ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης ƒø π. Nα κυκλώσετε τις σωστές απαντήσεις που αφορούν τις γωνίες των διπλανών ορθογωνίων τριγώνων: α) A: φ < θ : φ = θ : φ > θ β) A: ω < y : ω = y : ω > y (α) φ θ (β) ω y. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σ (σωστό) ή Λ (λανθασμένο). ΣΩΣΤΟ ΛΘΟΣ α) ημ < ημ β) συν < συν γ) συν7 < συν7 δ) ημ7 < ημ7 ε) ημ < ημ στ) συν < συν π Να υπολογίσετε το σε καθένα από τα παρακάτω τρίγωνα: α) β) A A cm 68 cm 8 A Σ ένα ιστιοπλοϊκό σκάφος το ύψος του καταρτιού έως το σημείο είναι 8 m. Να βρείτε το μήκος που έχουν τα συρματόσχοινα που στηρίζουν τα πανιά, αν αυτά σχηματίζουν γωνίες και 70 αντίστοιχα με το επίπεδο της θάλασσας. γ) 0 cm Nα υπολογίσετε το στα παρακάτω τρίγωνα: α) β) 6 0 Ένας μηχανικός θέλει να κατασκευάσει ένα σπίτι με υπόγειο γκαράζ. Το ύψος του γκαράζ πρέπει να είναι =, m και η κλίση της ράμπας θ =. Να βρείτε το μήκος της ράμπας και την απόσταση του σημείου από το σπίτι. γ) 0 ε) δ) 0 8 8