Η ΓΕΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1 Κίνηση σώματος σε πεδίο βαρύτητας Εδώ θα εφαρμόσουμε την Ι.Α.Ι. και τις γνώσεις μας από την Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας για να παράγουμε τις εξισώσεις κίνησης ενός ελεύθερου από άλλες δυνάμεις υλικού σημείου σε τυχόν πεδίο βαρύτητας. ΒΗΜΑ 1. Στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας μάθαμε οτι οι χώροι που μας ενδιαφέρουν στη φυσική αναμιγνύουν επί ίσοις όροις τον χώρο και τον χρόνο. Ο γνωστός μας 3-διάστατος χώρος είναι ένας υπόχωρος του 4-διάστατου χωρόχρονου M inkowski, ο οποίος σε καρτεσιανές συντεταγμένες (ξ 0, ξ 1, ξ 2, ξ 3 ) έχει στοιχειώδες μήκος: 2 = (dξ 0 ) 2 (dξ 1 ) 2 (dξ 2 ) 2 (dξ 3 ) 2 η αβ dξ α dξ β, α, β = 0, 1, 2, 3 (1) Η μετρική η αβ του χωρόχρονου Minkowski παρίσταται και με τον πίνακα 1 0 0 0 0 1 0 0 η αβ 0 0 1 0 = ηαβ (2) 0 0 0 1 που ταυτίζεται με τον αντίστροφό του, του οποίου τα στοιχεία συμβολίζονται με η αβ και εξ ορισμού ικανοποιούν τη σχέση η αβ η βγ = δ α γ. (3) Ως γνωστόν, οι εξισώσεις της τροχιάς ξ α = ξ α (s) ελεύθερου σώματος σε αυτό το χώρο, που όπως έχουμε δείξει ταυτίζονται με τις εξισώσεις των γεωδαισιακών, είναι: d 2 ξ α (s) dξ α (s) = 0, α = 0, 1, 2, 3 ; η 2 αβ Πράγματι, η γενική λύση της πρώτης έχει τη μορφή dξ β (s) = 1 (4) ενώ η δεύτερη συνεπάγεται οτι Από τις πρώτες η α = 0 γράφεται ξ α (s) = u α s + κ α, α = 0, 1, 2, 3. (5) η αβ u α u β = (u 0 ) 2 (u i ) 2 = 1. (6) s = ξ0 κ 0 u 0 (7) 1
και αντικαθιστώντας στις υπόλοιπες τρείς παίρνουμε: ξ i = ui u 0 ξ0 + h i vi c ξ0 + h i, i = 1, 2, 3, (8) ή ισοδύναμα, ενθυμούμενοι οτι ξ 0 = c t και οτι οι ξ i είναι οι συντεταγμένες θέσης του σώματος στο καρτεσιανό σύστημα M inkowski, γράφουμε για τη θέση συναρτήσει του χρόνου t τις γνωστές εξισώσεις της ευθείας ξ i (t) = v i t + ξ i (0) (9) με την ταχύτητα v i και αρχική θέση ξ i (0) να προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Σχόλιο 1: Από τις 7 ανεξάρτητες παραμέτρους u α και κ α, οι 6 (u i και κ i ) προσδιορίζονται από την αρχική θέση και αρχική ταχύτητα, και η έβδομη κ 0 από το σημείο της τροχιάς που ορίζουμε ως αρχή για τη μέτρηση της απόστασης s. Σχόλιο 2: Από την (8) έχουμε οτι u i = v i u 0 /c, και αντικαθιστώντας στην (6) u 0 = 1/ 1 v 2 /c 2. Οπότε, η (7) είναι ο τύπος της διαστολής του χρόνου, που έχουμε μάθει. Πράγματι, η σχέση αυτή με s = c τ, ξ 0 = c t και κ 0 = c t 0 παίρνει τη γνωστή μορφή τ = 1 v2 c (t t 0). (10) 2 Σύμφωνα με την ΙΑΙ αυτές είναι οι εξισώσεις κίνησης ενός ελεύθερου υλικού σημείου μέσα στο ασανσέρ, δηλαδή, ως προς τον αδρανειακό 1 παρατηρητή A που πέφτει ελεύθερα σε τυχόν πεδίο βαρύτητας και μετράει στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (ξ 0, ξ 1, ξ 2, ξ 3 ). ΒΗΜΑ 2. Το πέρασμα από τον παρατηρητή A σε τυχόντα άλλον G, (για παράδειγμα, από τον αδρανειακό παρατηρητή στο ασανσέρ σε αυτόν που είναι ακίνητος στη Γη και αισθάνεται τη δύναμη της βαρύτητας) περιγράφεται μαθηματικά από ένα μετασχηματισμό συντεταγμένων ξ x, ξ α = ξ α (x µ ), α, µ = 0, 1, 2, 3 (11) Παραδοσιακά (σχεδόν), χρησιμοποιούνται δείκτες α, β,... από τα πρώτα γράμματα του αλφαβήτου για καρτεσιανές συντεταγμένες M inkowski και µ, ν,... από τα μεσαία γράμματα για συντεταγμένες σε γενικό σύστημα αναφοράς. Παράδειγμα: Σύμφωνα με την Ι.Α.Ι. ένας παρατηρητής σε χώρο χωρίς βαρύτητα, που επιταχύνεται με επιτάχυνση g, αισθάνεται ό,τι αισθάνεται άλλος σε πεδίο βαρύτητας με επιτάχυνση της βαρύτητας g. Επομένως, ειδικά για κατακόρυφες κινήσεις στο πεδίο βαρύτητας της Γης, αν ο παρατηρητής σε ελεύθερη πτώση χρησιμοποιεί σύστημα συντεταγμένων (t, z ) το επιταχυνόμενο προς τα πάνω σύστημα συντεταγμένων (t, z) με επιτάχυνση g, θα συνδέεται με το προηγούμενο για μικρούς χρόνους και σε μικρή περιοχή του χώρου, κατά προσέγγιση από τις σχέσεις t = t, z = z 1 2 gt 2 (12) 1 Για τον παρατηρητή Α ισχύουν οι νόμοι της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας, και επομένως είναι εξ ορισμού αδρανειακός. 2
όπου έχω πάρει τις αρχές των αξόνων να συμπίπτουν όταν t = t = 0. Πράγματι, η τροχιά της αρχής των αξόνων z(t) = 0 του επιταχυνόμενου συστήματος είναι ως προς τον αδρανειακό παρατηρητή z = (1/2)gt 2. ΒΗΜΑ 3. Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις (4) στο σύστημα {ξ α } και το μετασχηματισμό (11) παίρνω τις εξισώσεις κίνησης ως προς το σύστημα {x µ }, ως εξής: (α) Η τροχιά του σώματος με παράμετρο την απόσταση s κατά μήκος της δίνεται στο σύστημα {x µ } από τέσσερις σχέσεις της μορφής x µ = x µ (s). (13) (β) Από τον κανόνα παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης παίρνω dξ α = ξα x ν dx ν. (14) Εφαρμόζοντας τον κανόνα αυτόν μία ακόμα φορά γράφω τη πρώτη από τις εξισώσεις (4) ως εξής: d 2 ξ α = ξα d 2 x ν 2 x ν + 2 ξ α dx ν dx λ 2 x ν x λ = 0 (15) Πολλαπλασιάζω επί το x µ / ξ α και αθροίζω στα α. Χρησιμοποιώ την x µ ξ α ξ α x ν = δµ ν (16) και παίρνω τελικά d 2 x µ (s) + Γ µ 2 νλ (x) dxν (s) όπου ώρισα τα σύμβολα Christoffel dx λ (s) = 0 (17) Γ µ νλ xµ ξ α 2 ξ α x ν x λ (18) (γ) Κατά την αλλαγή συντεταγμένων οι αποστάσεις όπως έχουμε πει μένουν αναλλοίωτες, δηλαδή ισχύει 2 = η αβ dξ α dξ β = g µν (x) dx µ dx ν. (19) Από τη σχέση αυτή συμπεραίνω οτι σε κάθε σημείο της τροχιάς ισχύουν: (γ1) g µν (x) dxµ dx ν = 1 (20) και (γ2) ξ α ξ β g µν (x) = η αβ (21) x µ x ν και χρησιμοποιώντας αυτές, μπορείτε να δείξετε οτι τα σύμβολα Christof f el γράφονται στη μορφή 2 2 ΑΣΚΗΣΗ: Ξεκινείστε από την (22) και αποδείξτε, χρησιμοποιώντας, φυσικά, τον ορισμό (21) της μετρικής, την (18). 3
(γ3) Γ µ νλ = 1 ( gνρ 2 gµρ x + g λρ λ x g ) νλ ν x ρ όπου ο πίνακας g µν είναι ο αντίστροφος του g λρ, δηλαδή ικανοποιεί τη σχέση (22) g µν g νλ = δ µ λ (23) ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Η εξίσωση της τροχιάς ενός ελεύθερου σώματος σε τυχόν πεδίο βαρύτητας, που περιγράφεται στο αυθαίρετα επιλεγμένο σύστημα {x µ } από τη μετρική 2 = g µν (x) dx µ dx ν (24) και με παράμετρο την ίδια την απόσταση s κατά μήκος της, δίνεται από τις σχέσεις d 2 x µ (s) 2 + Γ µ νλ (x) dxν (s) dx λ (s) με τα σύμβολα Γ που δίνονται από την (22). = 0, g µν (x) dxµ (s) dx ν (s) = 1 (25) Παράδειγμα: Ειδικά στο παράδειγμα της Γης (12) η εξίσωση κατακόρυφης κίνησης σώματος ως προς τον παρατηρητή στο ασανσέρ είναι d 2 z /dt 2 = 0, ενώ για τον παρατηρητή στη Γη: d 2 z/dt 2 = g. Πράγματι, ξεκινώντας από την d 2 z /dt 2 = 0 και χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό (12) βρίσκω d 2 z/dt 2 = g. Ωστόσο, είναι χρήσιμο να το επιβεβαιώσω και σαν μιά απλή εφαρμογή του παραπάνω τυπολογίου. Ξεκινάω από τη μετρική στο σύστημα του ασανσέρ 2 = c 2 dt 2 dz 2. Πηγαίνω στις συντεταγμένες (12) και βρίσκω για το στοιχειώδες μήκος 2 = (c 2 g 2 t 2 ) dt 2 2 g t dt dz dz 2, (26) οπότε η μετρική που περιγράφει κατά προσέγγιση το πεδίο βαρύτητας της Γης για μικρά χρονικά διαστήματα και μικρά ύψη, είναι ( c g µν = 2 g 2 t 2 ) gt gt 1 (27) με αντίστροφο πίνακα g µν τον g µν = 1 ( ) 1 gt c 2 gt c 2 + g 2 t 2 (28) Υπολογίστε από την (22) τα σύμβολα Γ. Βρίσκετε: Γ 0 00 = Γ 0 01 = Γ 0 11 = 0, Γ 1 01 = Γ 1 11 = 0, Γ 1 00 = g (29) Οι εξισώσεις κίνησης στις νέες συντεταγμένες είναι d 2 z 2 + g ( ) 2 dt = 0, d 2 t 2 = 0 (30) 4
Από την δεύτερη βρίσκουμε dt = κ = constant (31) και χρησιμοποιώντας την στην πρώτη, μαζί με τις dz/ = (dz/dt)(dt/) = κdz/dt και d 2 z/ 2 = κ 2 d 2 z/dt 2, παίρνουμε d 2 z = g (32) dt2 ό.έ.δ. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 1: Οι σχέσεις (25) ταυτίζονται με τις εξισώσεις της γεωδαισιακής στη μετρική g 3 µν. Ιδού τα βασικά βήματα της απόδειξης: Σύμφωνα με αυτά που είπαμε για τις γεωδαισιακές, οι εξισώσεις της γεωδαισιακής με παράμετρο το ιδιομήκος s είναι L g µν (x) dxµ dx ν = 1, d ( ) L ẋ σ Η πρώτη ταυτίζεται με την δεύτερη από τις (25), ενώ η άλλη γράφεται = L x σ. (33) 2 d (g σν ẋ ν ) = g λν x σ ẋλ ẋ ν (34) Πολλαπλασιάζω επί g µσ και αθροίζω στα σ, οπότε παίρνω ) Χρησιμοποιώ το ότι 4 ẍ µ + 1 2 gµσ ( 2 g σν x λ 2 g ( σν x λ ẋλ ẋ ν gσν = x λ και καταλήγω στην πρώτη από τις (25). ό.έ.δ. g λν x σ ẋ λ ẋ ν = 0 (35) + g ) σλ ẋ λ ẋ ν (36) x ν ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 2: Ξεκινήσαμε με την εξίσωση σώματος απουσία βαρύτητας και με εφαρμογή της Αρχής της Ισοδυναμίας παράγαμε τις εξισώσεις κίνησης του σώματος σε Τυχόν Βαρυτικό Πεδίο. (α) Με κατάλληλη γενίκευση και εφαρμογή της ίδιας ακριβώς μεθόδου μπορεί κανείς να γράψει τις εξισώσεις M axwell για τον ηλεκτρομαγνητισμό παρουσία τυχόντος βαρυτικού πεδίου, με αφετηρία τις εξισώσεις M axwell απουσία βαρύτητας. (β) Επίσης, η ίδια κεντρική ιδέα (gauge principle) εφαρμοζόμενη κατάλληλα οδηγεί στην περιγραφή και των τριών άλλων δυνάμεων, δηλαδή της ισχυρής, της ασθενούς και της ηλεκτρομαγνητικής. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 3: Η παράμετρος s ΔΕΝ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την παραμέτρηση της κοσμικής τροχιάς σωματιδίου με μηδενική μάζα (π.χ. φωτόνια). Ο λόγος είναι οτι το s δεν αλλάζει κατά μήκος μιας τέτοιας τροχιάς, αφού όπως έχουμε πει το φώς ικανοποιεί τη σχέση = 0. Σε επόμενο κεφάλαιο θα εξηγήσω τί κάνουμε σε αυτή τη περίπτωση. 3 ΑΣΚΗΣΗ: Να δείξετε οτι οι εξισώσεις της γεωδαισιακής με παραμέτρηση την απόσταση s, όπως έκανα παραπάνω, ταυτίζονται με τις (25). 4 ΑΣΚΗΣΗ: Να αποδείξετε την σχέση που ακολουθεί. 5
1.1 Η σχέση με την εξίσωση του Νεύτωνα Δεδομένης της επιτυχίας της Νευτώνειας Θεωρίας της Βαρύτητας είναι απαραίτητο να βεβαιωθούμε οτι η νέα θεωρία αναπαράγει στο σωστό όριο τα αποτελέσματα του Νεύτωνα με την σωστή ακρίβεια. Ετσι, είναι σημαντικό να πειστούμε οτι σε ασθενή και στατικά βαρυτικά πεδία (όπως είναι για παράδειγμα τα πεδία βαρύτητας της Γης, ή του Ηλιου) η παραπάνω εξίσωση ανάγεται, για σώματα που κινούνται με μικρές ταχύτητες (πλανήτες στο ηλιακό σύστημα ή βλήματα στη Γη) στη γνωστή μας εξίσωση της βαρύτητας του Νεύτωνα. Ας δούμε πώς γίνεται αυτό. (α) Για μικρές ταχύτητες του σώματος έχουμε dx/dt c. Δηλαδή dx/ dx 0 /. Οπότε η εξίσωση κίνησης απλοποιείται στην d 2 x µ 2 + Γµ 00 ( ) dx 0 2 = 0 (37) (β) Για στάσιμο πεδίο βαρύτητας ισχύει g µν / x 0 = 0 και επομένως Γ µ 00 = 1 2 gµν g 00 x ν (38) (γ) Ειδικά στην περίπτωση ασθενούς βαρυτικού πεδίου, μπορούμε να γράψουμε g µν = η µν + h µν, h µν 1 (39) (δ) Οπότε τελικά οι εξισώσεις κίνησης του σώματος γίνονται d 2 x 0 2 = 0, d 2 x 2 = 1 2 (ε) Η γενική λύση της πρώτης είναι dx 0 και αντικαθιστώντας στη δεύτερη παίρνω ( ) dx 0 2 h 00 (40) = κ = constant (41) d 2 x dx 0 2 = 1 2 h 00 (42) η οποία ταυτίζεται με την εξίσωση του Νεύτωνα d 2 x/dt 2 = Φ αν αντιστοιχίσω το βαρυτικό δυναμικό στη μετρική σύμφωνα με τη σχέση ή ισοδύναμα h 00 = 2Φ(x) c 2, (43) g 00 = 1 + 2 Φ(x) c 2 (44) Παρατήρηση: Οπως έχουμε πει η τιμή του πεδίου βαρύτητας της Γης (Ηλιου) είναι 10 10 (10 6 ), πράγματι πολύ μικρότερο από τη μονάδα. Κατά συνέπεια, θα πρέπει η τροχιά 6
ενός σώματος (παραβολή) σε μια βολή στο επίπεδο της Γης να είναι με εξαιρετικά καλή προσέγγιση γεωδαισιακή, δηλαδή ευθεία. Ισχύει αυτό για τις βολές που ξέρουμε στο πεδίο της Γης; Η απάντηση είναι ΝΑΙ, παρά το γεγονός οτι εκ πρώτης όψεως η τυπική παραβολική τροχιά σε μια βολή μοιάζει να απέχει πολύ από ευθεία! Αρκεί να μήν ξεχνάμε οτι μιλάμε για γεωδαισιακές στον χωρόχρονο και όχι στο χώρο. Ετσι είναι σημαντικό να σχεδιάσει κανείς πώς μοιάζει μια τυπική παραβολή, που ξέρουμε από τη μελέτη των βολών στο βαρυτικό πεδίο της Γης, στο χωρόχρονο Minkowski και με τη σωστή κλίμακα στον άξονα των χρόνων. Σε ένα τέτοιο διάγραμμα, οι κοσμικές τροχιές των σωμάτων είναι πράγματι σχεδόν ευθείες. ΣΧΟΛΙΟ: Οι εξισώσεις (25) έχουν για όριο την εξίσωση του Νεύτωνα. Ομως (α) δίνουν όπως θα δούμε παρακάτω παρατηρήσιμες αποκλίσεις από τις προβλέψεις του Νεύτωνα για το Ηλιακό μας σύστημα, (β) ισχύουν γενικά και σε ισχυρά ή χρονομεταβαλλόμενα πεδία, όπου οι αποκλίσεις από τη θεωρία του Νεύτωνα είναι μεγάλες, και (γ) είναι μέρος μιας ΘΕΩΡΙΑΣ που σέβεται την Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας (ΕΘΣ). Δεν χρησιμοποιεί την έννοια της δράσης από απόσταση και την έννοια του δυναμικού της Νευτώνειας βαρύτητας, που αντιβαίνει στην ΕΘΣ. Οποιος ενδιαφέρεται μπορεί να αποδείξει οτι οι εξισώσεις (25) είναι συναλλοίωτες κάτω από μετασχηματισμούς Lorentz. Κατά τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας η βαρύτητα δεν οφείλεται σε κάποια δύναμη που ασκεί το ένα σώμα πάνω στο άλλο, αλλά είναι αποτέλεσμα της καμπύλωσης του χωροχρόνου!! (δ) Στην απόδειξη των εξισώσεων κίνησης (25) σε πεδίο βαρύτητας το σύστημα συντεταγμένων {x µ } ήταν αυθαίρετο. Αυτό σημαίνει οτι αλλαγή του συστήματος x µ x µ (x) (γενικός μετασχηματισμός συντεταγμένων) οδηγεί σε εξισώσεις με την ίδια ακριβώς μορφή με τις (25) στις νέες συντεταγμένες. Ητοι: d 2 x µ + Γ µ 2 νλ (g ) dx ν dx λ = 0, g µν(x ) dx µ dx ν = 1. (45) Λέμε οτι οι εξισώσεις κίνησης (25) είναι συναλλοίωτες ως προς γενικούς μετασχηματισμούς συντεταγμένων 1.2 Η βαρυτική ερυθρόπηση Καταλήξαμε παραπάνω στο ότι η μετρική του χωρόχρονου για στατικά, ασθενή βαρυτικά πεδία είναι 2 = (η 00 + h 00 )c 2 dt 2... Αντικαθιστώντας το h 00 με το παραπάνω, η σχέση αυτή γράφεται ( 2 = c 2 1 + 2 Φ(x) ) dt 2... (46) c 2 Ας πάρουμε για παράδειγμα ένα σφαιρικό σώμα μάζας M και ακτίνας R. Το βαρυτικό του πεδίο είναι Φ = G NM (47) r Αφού Φ(r ) 0 η συντεταγμένη t είναι ο χρόνος όπως τον έχουμε μάθει στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας, όπως τον μετράει αδρανειακός παρατηρητής στο άπειρο, 7
μακρυά από κάθε βαρυτική επίδραση. Ο ιδιοχρόνος παρατηρητή O ακίνητου στη θέση x συνδέεται με τον t με βάση τη σχέση dτ = ( 1 + Φ(x) c 2 ) dt (48) Θεωρείστε δύο παρατηρητές ακίνητους στις θέσεις r e και r r, αντίστοιχα. Εστω οτι ο r e στέλνει δύο φωτεινά σήματα στον r r. Αφού η μετρική είναι ανεξάρτητη από το χρόνο, τα δύο φωτεινά σήματα θα ακολουθήσουν την ίδια τροχιά, μετατοπισμένη χρονικά κατά t, την ίδια στις θέσεις του πομπού και του δέκτη. Αρα τ e τ r 1 + Φ e Φ r c 2 (49) Χρησιμοποιώντας οτι τα χρονικά διαστήματα είναι αντιστρόφως ανάλογα των συχνοτήτων των σημάτων που εκπέμπονται από τον r e και λαμβάνονται στον r r, θα έχουμε ω r ω e 1 + Φ e Φ r c 2 (50) ω r ω e ω e Φ e Φ r c 2 (51) η σχέση της βαρυτικής μετατόπισης στο ερυθρό, που είχαμε αποδείξει παλιότερα με άλλο τρόπο. 2 Η εξίσωση Einstein για το βαρυτικό πεδίο Μας λείπει ακόμα στη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας η εξίσωση που αντικαθιστά την δεύτερη εξίσωση του Νεύτωνα, δηλαδή την 2 Φ(x) = 4πG N ρ M (x) (52) που δίνει το βαρυτικό πεδίο που δημιουργεί μια δεδομένη κατανομή ύλης. Η χρήση του δυναμικού κάνει την εξίσωση αυτή ασυμβίβαστη με την ΕΘΣ. Η σωστή πρέπει εκτός του να ανάγεται στην παραπάνω στο κατάλληλο όριο, να είναι και συμβιβαστή με την ΕΘΣ. Επιπλέον, με βάση αυτά που έχουμε πει μέχρι τώρα, η υπό αναζήτηση εξίσωση θα είναι μια διαφορική εξίσωση με άγνωστη τη γεωμετρία που δημιουργεί η κατανομή της ύλης. Αρα, θα είναι μια εξίσωση που στο αριστερό μέλος θα έχει κάτι σχετικό με τη μετρική του χωρόχρονου και στο δεξί, ως πηγή, την κατανομή όχι πιά της μάζας, αλλά της ενέργειας και της ορμής, αφού αυτά πάνε αναγκαστικά μαζί σε μια θεωρία που σέβεται την ΕΘΣ. Ακόμα, το γεγονός οτι κάθε μετρική, όπως έχουμε πει, μπορεί τοπικά να προσεγγιστεί με την επίπεδη μετρική (με μηδενική καμπυλότητα), στο αριστερό μέλος θα πρέπει να υπάρχει μια ποσότητα, σχετική με την καμπυλότητα του χωρόχρονου, που θα εξαρτάται από τις δεύτερες παραγώγους της μετρικής. Η λύση που ικανοποιεί όλες τις παραπάνω απαιτήσεις δόθηκε από τον Einstein και είναι η εξής: 8
Η εξίσωση για τη μετρική g µν του χωρόχρονου που δημιουργείται από μια κατανομή ενέργειας και ορμής T µν, είναι η R µν 1 2 g µν R = 8 π G N T µν (53) όπου, διαδοχικά, η συνταγή για τον υπολογισμό των συστατικών της εξίσωσης αυτής είναι: (α) Από τη μετρική υπολογίζω τα σύμβολα Γ. (β) Από αυτά υπολογίζω τον τανυστή του Riemann R µ λαβ = αγ µ λβ βγ µ λα + Γµ να Γ ν λβ Γ µ νβ Γν λα, (54) όπου α / x α. (γ) Στη συνέχεια υπολογίζω τον τανυστή του Ricci και τέλος, τη βαθμωτή καμπυλότητα R µν = R λ µλν (55) R g µν R µν (56) Πράγματι, η εξίσωση αυτή έχει τις δεύτερες παραγώγους της μετρικής. Για δεδομένη κατανομή ενέργειας και ορμής T µν η λύση των εξισώσεων αυτών είναι οι συνιστώσες της μετρικής, δηλαδή η γεωμετρία του χωρόχρονου. Δυστυχώς, δεν έχουμε τη δυνατότητα στα πλαίσια αυτού του μαθήματος ούτε να αποδείξουμε την εξίσωση αυτή, ούτε καν να εξηγήσουμε με ακρίβεια τη σημασία όλων των συμβόλων που περιέχει. Αυτό είναι στο περιεχόμενο του προχωρημένου μαθήματος της Θεωρίας Βαρύτητας για λίγο αργότερα στις σπουδές σας. Θα την χρησιμοποιήσω όμως, επικαλούμενος λίγο την εμπιστοσύνη σας, με τρόπο που ελπίζω θα καταδείξει ακόμα σαφέστερα την αξία της. Για παράδειγμα, το 1916 ο Schwarzschild βρήκε τη μοναδική στατική, σφαιρικά συμμετρική λύση της εξίσωσης του Einstein με T µν = 0. Ο αντίστοιχος χωρόχρονος Schwarzschild έχει στοιχειώδες μήκος ( 2 = c 2 1 2G ) ( NM dt 2 1 2G NM c 2 r c 2 r ) 1 dr 2 r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ), (57) και περιγράφει τη γεωμετρία του χωρόχρονου στο εξωτερικό μιας σφαιρικής κατανομής συνολικής μάζας M ή (στο όριο) τη γεωμετρία μιας σημειακής μάζας M (Μελανή Οπή). Επομένως, η μελέτη της κίνησης των πλανητών στο Ηλιακό μας σύστημα ανάγεται στη μελέτη των γεωδαισιακών της μετρικής Schwarzschild. Κάτι που θα κάνουμε στο επόμενο κεφάλαιο. 9