Μάθηση µε αναλογίες & µεταφορές

Μάθηση µε αναλογίες & µεταφορές αναλογική σκέψη και µάθηση οι µεταφορές και ο ρόλος τους στη κατασκευή της µαθηµατικής γνώσης

Συλλογισµός µε χρήση αναλογίας

αναλλογικός συλλογισµός Η Γη είναι σφαιρική... σαν µια µπάλα

Αναλογική Σκέψη Αναλογία είναι µια γνωστική διαδικασία µεταφοράς πληροφοριών ή νοήµατος από ένα συγκεκριµένο θέµα (τοµέας «βάσης») σε ένα άλλο συγκεκριµένο θέµα (τοµέας «στόχος»), και η γλωσσική έκφραση που αντιστοιχεί σε αυτή τη διαδικασία. Όταν χρησιµοποιούνται πληροφορίες από ένα τοµέα (τοµέας «βάσης») µε σκοπό να βοηθηθούµε να σκεφτούµε για έναν άλλο τοµέα (τοµέας «στόχος») Απαραίτητες διεργασίες: αναγνώριση της αναλογίας - χαρτογράφηση οµοιοτήτων και διαφορών µεταβίβαση λύσης αξιολόγηση

η αναλογία ανάµεσα στο ηλιακό σύστηµα και τη δοµή του ατόµου

Αναλογικός συλλογισµός

Συλλογισµός µε αναλογία Μια αναλογία είναι µια σύγκριση πραγµάτων που βασίζεται στις οµοιότητες που αυτά µοιράζονται. οι αναλογίες είναι ενδιαφέρουσες και σηµαντικές για πολλούς λόγους, συµπεριλαµβανοµένης της χρήσης τους στην ποίηση και τη λογοτεχνία και το χιούµορ, εδώ θα επικεντρωθώ στη σηµασία τους στην κατασκευή επαγωγικών επιχειρηµάτων στη σκέψη στη κατανόηση στη διδασκαλία

Η συλλογιστική σκέψη Απαγωγικός Συλλογισµός Επαγωγικός Συλλογισµός Συλλογισµός µε Αναλογία

Απαγωγική Λογική - Παραγωγικός συλλογισµός

Παραγωγικός συλλογισµός Τα συµπεράσµατα είναι ειδικές περιπτώσεις ενός γενικού κανόνα Αρχίζουµε µε µία γενική πρόταση που θεωρείται αληθής και µε την επικουρία ενός ακόµη δεδοµένου τερµατίζουµε σε µία άλλη πρόταση που επιβάλλεται µε λογική αναγκαιότητα ως ακολουθία (λογικό προϊόν) των προηγούµενων προτάσεων. Όλοι οι άνθρωποι είναι θνητοί Ο Σωκράτης είναι άνθρωπος Ο Σωκράτης είναι θνητός Το συµπέρασµα είναι αληθές αν οι προκείµενες είναι αληθείς και τα βήµατα του συλλογισµού είναι τα ενδεδειγµένα Το συµπέρασµα δεν επικυρώνεται εµπειρικά αλλά εξαρτάται µόνο από τις προκείµενες και το συλλογισµό

Παραγωγικός συλλογισµός Ένα παράδειγµα παραγωγικού συλλογισµού είναι ο κατηγορηµατικός συλλογισµός. Οι κατηγορικές προτάσεις: Όλα τα Α είναι Β: Γενική καταφατική Κανένα Α δεν είναι Β: Γενική αποφατική Μερικά Α είναι Β: Μερική καταφατική Μερικά Α δεν είναι Β: Μερική αποφατική Κανόνες συλλογισµού: α=>β, Αν α τότε β (Modus Ponens) Όχι β τότε όχι α (Modus Tollens) Θεωρείται ο πιο έγκυρος συλλογισµός καθώς δεν επηρεάζεται από εµπειρικά δεδοµένα.

Επαγωγικός Συλλογισµός

Επαγωγικός Συλλογισµός Ο επαγωγικός συλλογισµός ξεκινά από το ειδικό και το συγκεκριµένο και καταλήγει στο γενικό και το αφηρηµένο. Όταν το αντικείµενο Α δεν στηρίζεται πέφτει Όταν το αντικείµενο Β δεν στηρίζεται πέφτει Όταν το αντικείµενο Γ δεν στηρίζεται πέφτει... Άρα τα αντικείµενα που δε στηρίζονται πέφτουν

Επαγωγικός Συλλογισµός Το συµπέρασµα αποτελεί γενίκευση (αφαίρεση) από µια σειρά δεδοµένων από το ειδικό στο γενικό Είναι ατελής συλλογισµός καθώς το συµπέρασµα δεν αποτελεί λογική αναγκαιότητα Βάση του επιστηµονικού τρόπου σκέψης και της επιστηµονικής ανακάλυψης (βλ. Λογικό θετικισµό) Βάση για την έκφραση θεωριών...αλλά, τα συµπεράσµατά του αντανακλούν βαθµούς πιθανότητας (πιθανά, ίσως,...σχεδόν σίγουρα) π.χ., όλοι οι κύκνοι είναι λευκοί

Η γαλοπούλα του Russell Bertrand Russell's Inductivist Turkey ``The turkey found that, on his first morning at the turkey farm, that he was fed at 9 a.m. Being a good inductivist turkey he did not jump to conclusions. He waited until he collected a large number of observations that he was fed at 9 a.m. and made these observations under a wide range of circumstances, on Wednesdays, on Thursdays, on cold days, on warm days. Each day he added another observation statement to his list. Finally he was satisfied that he had collected a number of observation statements to inductively infer that ``I am always fed at 9 a.m.''. However on the morning of Christmas eve he was not fed but instead had his throat cut.''

συλλογισµός µε χρήση αναλογίας

Συλλογισµός µε αναλογία Είδος επαγωγικού συλλογισµού Οπότε: Είναι ατελής συλλογισµός καθώς το συµπέρασµα δεν αποτελεί λογική αναγκαιότητα συµπεράσµατά του δεν αντανακλούν βαθµούς πιθανότητας (πιθανά, ίσως,...σχεδόν σίγουρα) Ο συλλογισµός µε βάση την αναλογία λαµβάνει υπόψη το γεγονός ότι δύο ή περισσότερα πράγµατα είναι παρόµοια σε ορισµένα σηµεία και καταλήγει στο συµπέρασµα ότι είναι πιθανόν να είναι επίσης παρόµοια και σε κάποια ακόµη σηµεία Σε µια στενότερη έννοια, το «κατ αναλογία συµπέρασµα» είναι ένα επιχείρηµα από ένα συγκεκριµένο σε ένα άλλο συγκεκριµένο, σε αντίθεση µε την αφαίρεση, την επαγωγή και την απαγωγή, όπου τουλάχιστον µία από τις προκείµενες ή το συµπέρασµα είναι γενική.

η αναλογία του σύµπαντος µε µπαλόνι

Συλλογισµός µε αναλογία Η Αναλογία παίζει σηµαντικό ρόλο στην επίλυση προβλήµατος, λήψη αποφάσεων, την αντίληψη, τη µνήµη, τη δηµιουργικότητα, το συναίσθηµα, την επεξήγηση και την επικοινωνία. Βρίσκεται πίσω από βασικές νοητικές διεργασίες, όπως την αναγνώριση αντικειµένων τόπων ή και ανθρώπων, για παράδειγµα, στην αναγνώριση προσώπων. Έχει υποστηριχθεί ότι η αναλογία είναι «ο πυρήνας της γνώσης». βλ. «Εύρηκα!!!» του Αρχιµήδη

είδη οµοιοτήτων Η αναλογία αποτελεί µία σχέση οµοιότητας Είδη οµοιοτήτων: Κυριολεξία: το µανταρίνι είναι σαν το πορτοκάλι Μεταφορά: Η ζωή είναι σαν ένα κουτί από σοκολατάκια Αναλογία: Το Άµστερνταµ είναι η Βενετία του Βορρά Ανωµαλία: Το Άµστερνταµ είναι σαν το πορτοκάλι

Αναλογίες vs Μεταφορές Ενώ οι παροµοιώσεις και οι µεταφορές συγκρίνουν πράγµατα που είναι στην ουσία εντελώς διαφορετικά αλλά έχουν µία οµοιότητα, στις αναλογίες συγκρίνονται πράγµατα που είναι όµοια ως προς όλα τα ουσιώδη σηµεία (σε θεµελιώδη δοµικά ή διαδικαστικά χαρακτηριστικά) ώστε στη συνέχεια να ισχυριστεί κανείς ότι µοιάζουν και ως προς ένα ακόµα χαρακτηριστικό. Μεταφορά: η ζωή είναι σαν ένα κουτί από σοκολατάκια...ποτέ δεν ξέρεις τι θα σου τύχει Αναλογία: η Γη είναι σαν µπάλα

βασικά είδη αναλογιών Δοµικές βασίζεται σε οµοιότητες ως προς την εµφάνιση ή τη δοµή π.χ., η Γη είναι σαν πορτοκάλι, στρόγγυλη, έχει φλοιό, κτλ. Διαδικαστικές βασίζεται σε οµοιότητες ως προς τη λειτουργία π.χ., ο νους λειτουργεί σαν η/υ, δέχεται πληροφορία, την επεξεργάζεται & βγάζει συµπεράσµατα Δοµικές & Διαδικαστικές π.χ., το ηλεκτρικό κύκλωµα ~ υδραυλικό σύστηµα: η µπαταρία ~δεξαµενή & τα καλώδια ~ σωλήνες ύδρευσης

ο αναλλογικός συλλογισµός Στα αρχαία ελληνικά η λέξη αναλογία σήµαινε αρχικά την αναλογικότητα, µε τη µαθηµατική έννοια του όρου (π.χ., διπλάσιο), και µερικές φορές µεταφράζεται στα Λατινικά ως proportio. Από εκεί ο αναλογικός συλλογισµός έγινε κατανοητός ως η σχέση ανάµεσα σε οποιοδήποτε ζεύγος πραγµάτων, είτε είναι µαθηµατικής φύσεως είτε όχι.

χρήση της αναλογίας Αναλογικές σχέσεις Στα µαθηµατικά: το 5 για το 10 είναι ότι το 10 για το... (x). (το 20 (γιατί η σχέσξ είναι το διπλάσιο) To πάνω είναι για το κάτω ότι το δεξιά για το...; (αριστερά γιατί η σχέση είναι: το αντίθετο) 1 ο Βήµα αναγνώριση της αναλογίας - χαρτογράφηση (mapping): να καταλάβεις τη σχέση που περιγράφεται 2 ο Βήµα µεταφορά (transfer): να µεταφέρεις χαρακτηριστικά από την πηγή στο στόχο 3 ο Βήµα: αξιολόγηση στοχασµός επί της λύσης που προέκυψε

Κεφάλι Μάτι Κερατοειδής Στόµα Στοµάχι Έντερο Πρωκτός Σκελετός Καρδιά Πόδι Γούνα Γάτα Αυτοκίνητο Ουρανός Προβολείς Γλυαλί προβολέα Στόµιο βενζίνης Ντεπόζιτο Θάλαµος καύσης Εξάτµιση Σασί Μηχανή Τροχός Βαφή

παράγοντες που ενισχύουν την αναλογία ο τοµέας βάσης να είναι όσο το δυνατόν πιο οικείος να γίνει καλή χαρτογράφηση των οµοιοτήτων το πλαίσιο όπου χρησιµοποιείται η αναλογία να είναι το κατάλληλο

δυσκολίες κατανόησης αναλογίας µη οικείος τοµέας βάσης δυσκολία µεταφοράς της γνώσης από τον τοµέα βάσης στον τοµέα στόχο η αναπαράσταση του προβλήµατος δεν έχει γίνει στη βάση των θεµελιωδών του χαρακτηριστικών αλλά των επιφανειακών

Μοντέλο προώθησης δηµιουργικότητας Gordon Δηµιουργικότητα Μπορεί να είναι συνειδητή διαδικασία Έχει έντονη συναισθηµατική βάση - εφευρετικότητα Ο άλογος χαρακτήρας του συναισθήµατος πρέπει να ελέγχεται συνειδητά Μάθηση µε αναλογίες (Analogical reasoning) & συγκρίσεις Ευθείες- άµεσες: σύγκριση προσώπων, γεγονότων, καταστάσεων Προσωπικές: ταύτιση µε κάτι άλλο, κάποιον άλλο µε στόχο την κατανόηση της θέσης του Αντιφατικές: εκφράζεται µε αντιθετικές σχέσεις που δίνουν πληροφορία, π.χ., «η καταστροφή είναι δηµιουργία»

αναλογία: ο δάσκαλος είναι ηθοποιός/performer

Μάθηση µε αναλογία Στρατηγική δηµιουργίας νέου αντικειµένου Κατανόηση νέας πληροφορίας µέσα από αναλογία µε κάτι ήδη γνωστό Φάση Α : Εισαγωγή στη νέα γνώση Φάση Β : Παρουσίαση άµεσης αναλογίας Φάση Γ : Προσωποποίηση της αναλογίας Φάση Δ : Σύγκριση, οµοιότητες διαφορές Φάση Ε : Επανεξέταση αρχικού θέµατος Φάση Στ : Νέες άµεσες αναλογίες Φάση Ζ : Αξιολόγηση

Μοντέλο προώθησης δηµιουργικότητας Gordon Στρατηγική δηµιουργίας νέου αντικειµένου Χρήση παλιών εργαλείων, γνώσεων εµπειριών για τη δηµιουργία νέας γνώσης µε νέες προοπτικές Φάση Α : Περιγραφή κατάστασης- Παρουσίαση θέµατος Περιγραφή ενός θέµατος, σηµείωση των όρων που χρησιµοποιήθηκαν Φάση Β : Εύρεση άµεσων αναλογιών Δηµιουργία αναλογιών µε βάση τους προηγούµενους όρους - Επιλογή µιας αναλογία για περαιτέρω επεξεργασία Φάση Γ : Δηµιουργία προσωπικής αναλογίας Οι µαθητές προσοµοιώνουν τους εαυτούς τους ως κοµµάτι της αναλογίας Φάση Δ : Εντοπισµός αντιφατικών αναλογιών Αναπτύσσονται αντιφατικές συνδέσεις ανάµεσα στις αναλογίες επιλέγεται µια από αυτές Φάση Ε : Δηµιουργία νέας άµεσης αναλογίας Φάση Στ : Επανεξέταση της αρχικής κατάστασης µέσα από την αναλογία που προέκυψε Φάση Ζ : Αξιολόγηση

Μάθηση µε αναλογία Αυξηµένη συµµετοχή καλών και κακών µαθητών Ικανοποίηση από τη συµµετοχή Κίνητρα Κοινωνικοποίηση- συνεργασία Μαθητοκεντρικό Κατάκτηση της γνώσης γνώση µε νόηµα Ευέλικτο µοντέλο, αυτοσχεδιασµός Μειωµένο κόστος, εύκολο στην εφαρµογή Ανεξάρτητα ηλικίας, τάξης, φύλο, κτλ.

παραδείγµατα αναλογίας

Ένα πρόβληµα αναλογίας To πρόβληµα της ακτινοβολίας, (Duncker, 1945) Ένας γιατρός προσπαθεί να καταστρέψει έναν κακοήθη όγκο µε ακτινοβολία. Αν ο γιατρός χρησιµοποιήσει ισχυρή ακτινοβολία, τότε ο όγκος θα καταστραφεί, αλλά θα καταστραφεί και ο υγιής ιστός που περιβάλλει τον όγκο Αν ο γιατρός χρησιµοποιήσει ασθενή ακτινοβολία, τότε ο υγιής ιστός θα διασωθεί, αλλά ο όγκος θα επιβιώσει Η λύση της σύγκλισης ασθενών ακτίνων: Ο γιατρός στοχεύει τον όγκο µε ασθενείς ακτίνες, από πολλές διαφορετικές διευθύνσεις. Οι ασθενείς ακτίνες συγκλίνουν στον όγκο, η συνολική τους ισχύς αθροίζεται και τελικά καταστρέφει τον όγκο, ενώ ο υγιής ιστός δεν επηρεάζεται (Ποσοστό επιτυχίας 10%)

Το ανάλογο πρόβληµα Ένας στρατηγός επιτίθεται µε το στρατό του σε ένα οχυρό. Ο στρατηγός δεν µπορεί να χρησιµοποιήσει όλο το στρατό του για επιτεθεί από µια µεριά στο οχυρό, γιατί οι δρόµοι που οδηγούν σε αυτό έχουν νάρκες που ενεργοποιούνται όταν µια µεγάλη οµάδα στρατιωτών δοκιµάσει να περάσει από το δρόµο. Η λύση των µικρών οµάδων: Ο στρατηγός χωρίζει το στρατό του σε µικρές οµάδες και επιτίθεται στο οχυρό από πολλούς διαφορετικούς δρόµους.

Πώς χρησιµοποιείται η αναλογία; Λίγοι από τους συµµετέχοντες παρατηρούσαν και χρησιµοποιούσαν την αναλογία Όταν δίνονταν η οδηγία ότι τα δύο προβλήµατα είναι ανάλογα, 80% έλυναν το πρόβληµα του ογκολόγου (βλ. Gick and Holyoak, 1983). Συµπεράσµατα Οµοιότης επί επιφανειακών χαρακτηριστικών συχνά δηµιουργεί την εντύπωση αναλογίας ανάµεσα σε καταστάσεις Επίσης, αν δύο ανάλογες καταστάσεις διαφέρουν ως προς τα επιφανειακά χαρακτηριστικά ή/και από σηµιολογικής άποψης, συχνά η αναλογία δεν γίνεται αντιληπτή Η αναλογία γίνεται πιο εύκολα αντιληπτή όταν υποστηρίζεται από προφανείς οµοιότητες ανάµεσα στον τοµέα-βάσης και τον τοµές-στόχο

µαθηµατικές αναλογίες

43

λόγος/αναλογία 6:9::10:15 «το σύστηµα των δύο αριθµών 6 και 9 είναι ανάλογο µε το σύστηµα των αριθµών 10 και 15, από τη στιγµή που τα δύο συστήµατα συµφωνούν ως προς το λόγο των αντίστοιχων όρων». Polya (1954)

Το γραµµικό πολ/κό µοντέλο Γραµµικές σχέσεις σχέσεις λόγου ή αναλογίας ο σταθερός ρυθµός αλλαγής µιας µεταβλητής συνδέεται µε έναν σταθερό ρυθµό αλλαγής µιας άλλης µεταβλητής. π.χ., Ένα κουτί έχει 8 µπισκότα. Πόσα µπισκότα θα περιέχει η συσκευασία των 3 κουτιών;

αλλά... Ένα πουκάµισο στεγνώνει σε 25 λεπτά αν εκτεθεί στον ήλιο. Σε πόσα λεπτά θα στεγνώσουν 3 ίδια πουκάµισα αν εκτεθούν σε ακριβώς ανάλογες συνθήκες µε το πρώτο;

Ανάλογες/µη-ανάλογες σχέσεις Αναλογική σχέση Χρειάζεστε περίπου 6 ώρες για να πλεύσετε γύρω από ένα κυκλικό νησί µε διάµετρο 70χλµ. Πόσες ώρες θα χρειαστείτε για να πλεύσετε (µε την ίδια ταχύτητα) γύρω από ένα κυκλικό νησί µε διάµετρο 140χλµ; (Απ. 12 ώρες) Μη αναλογική σχέση Χρειάζεστε περίπου 400 γραµµάρια σπόρου λουλουδιών για ένα κυκλικό παρτέρι µε διάµετρο 10µ. Πόσα γραµµάρια σπόρου θα χρειαζόσασταν για ένα κυκλικό παρτέρι µε διάµετρο 20µ; (Απ. 1600 γραµµάρια)

Ανάλογες/µη-ανάλογες σχέσεις Αναλογική σχέση Στον χάρτη της Ελλάδας η απόσταση Πάτρας -Ζακύνθου είναι περίπου 5εκ. και η απόσταση Πάτρας-Κέρκυρας περίπου 11εκ. Σε έναν άλλο χάρτη της Ελλάδας η απόσταση Πάτρας-Ζακύνθου είναι περίπου 20εκ. Πόσο µεγάλη είναι η απόσταση Πάτρας Κέρκυρας σε αυτό το χάρτη; (Απ. 44 εκ) Μη αναλογική σχέση Σε ένα χάρτη της Ελλάδας η απόσταση Πάτρας-Αθήνας είναι 2εκ και το εµβαδόν της Ελλάδας είναι 250 τ.εκ. Σε άλλο χάρτη η απόσταση Αθήνας-Πατρας είναι 6εκ. Πόσο είναι το εµβαδόν της Ελλάδας σε αυτόν τον άλλο χάρτη; (Απ. 2250 τ.εκ)

Ανάλογες/µη-ανάλογες σχέσεις

Ανάλογες/µη-ανάλογες σχέσεις

Ανάλογες/µη-ανάλογες σχέσεις

Ανάλογες/µη-ανάλογες σχέσεις Μοδέστου, Σ, Μ.(2007)

Ερµηνείες/τρόποι αντιµετώπισης Ερµηνείες Προϋπάρχουσα γνώση µε γενικευµένη χρήση γραµµικών προβληµάτων Η γραµµική σχέση είναι έντονα επιβεβαιωµένη από την καθηµερινή µαθηµατική πρακτική Τρόποι αντιµετώπισης Γνωστική σύγκρουση (βλ. µάθηση µε εννοιολογική αλλαγή) Αναπαράσταση-µοντελλοποίηση του προβλήµατος Μεταγνωστική επίγνωση

Αναλογίες: γεφυρώνοντας Υποθετικό παράδειγµα γεφύρωσης

Αναλογίες: γεφυρώνοντας Υποθετικό παράδειγµα γεφύρωσης

where mathematics come from? Lakoff & Nunez οι µεταφορές και η οντολογία των µαθηµατικών

Eννοιολογικές µεταφορές κατά Lakoff & Nunez πως καταλαβαίνουµε αφηρηµένες έννοιες όπως το Ευκλείδειο σηµείο; Στο µεγαλύτερο µέρος, οι άνθρωποι νοηµατοδοτούν τις αφηρηµένες έννοιες µε συγκεκριµένους όρους, χρησιµοποιώντας ιδέες και τρόπους συλλογισµού βασισµένες στο αισθησιοκινητικό τους σύστηµα. Ο µηχανισµός µε τη βοήθεια του οποίου το αφηρηµένο γίνεται κατανοητό µε συγκεκριµένους όρους λέγεται εννοιολογική µεταφορά. Τα µαθηµατικά χρησιµοποιούν εννοιολογικές µεταφορές. Για παράδειγµα, µέσω εννοιολογικής µεταφοράς οι αφηρηµένοι αριθµοί αντιστοιχίζονται στα σηµεία µιας ευθείας

Eννοιολογικές µεταφορές κατά Lakoff & Nunez οι Lakoff & Nunez πρότειναν ότι αυτές οι εξιδανικευµένες αφηρηµένες τεχνικές οντότητες στα Μαθηµατικά δηµιουργούνται από την ανθρώπινη φαντασία, µέσω µιας πολύ συγκεκριµένης χρήσης γνωστικών µηχανισµών που στηρίζονται στην καθηµερινή σωµατική εµπειρία, όπως οι: εννοιολογικές µεταφορές (Ε.Μ) οι εννοιολογικοί συνδυασµοί (blend), αναλογικοί συλλογισµοί, πλασµατική κίνηση, σχήµατα (aspectual) του τρόπου

Eννοιολογικές µεταφορές κατά Lakoff & Nunez Οι Lakoff και Núñez (2000) τονίζουν ότι καθώς οι εννοιολογικές µεταφορές διατηρούν τη συµπερασµατική δοµή τους, η κατανόηση της αριθµητικής συνίσταται στην προηγούµενη κατανόηση καθηµερινών κοινότοπων φυσικών δραστηριοτήτων, όπως: απαρίθµηση - µέτρηση Πρόσθεση κι αφαίρεση µικρών ποσοτήτων Συλλογή αντικειµένων σε οµάδες ή στοίβες Χειρισµός αντικειµένων (περιστροφή, επιµήκυνση, διάσπαση σύνθεση) Βηµατισµός Κίνηση Επαναλαµβανόµενες ενέργειες

Eννοιολογικές µεταφορές κατά Lakoff & Nunez δοµή της κάθε εννοιολογικής µεταφοράς: είναι µια αντιστοίχιση (mapping) οντοτήτων από ένα γνωστικό «πεδίο πηγή» (source domain) σε αντίστοιχες οντότητες σε ένα άλλο γνωστικό «πεδίο στόχος» (target domain) π.χ. µεταφοράς: οι αριθµοί είναι συλλογές αντικειµένων ή οι αριθµοί είναι σηµεία σε ευθεία, ή κίνηση σε άξονα π.χ.: το 0 µπορεί να είναι είτε ένα σηµείο σε µια γραµµή ή το κενό σύνολο, και τα δυο ή τίποτα από τα δυο, και κάθε απόφαση είναι θέµα επιλογής της κατάλληλης εννοιολογικής µεταφοράς. τα σύνολα είναι δοχεία

µεταφορές των µαθηµατικών στην καθηµερινή γλώσσα κατά Lakoff & Nunez Η µεταφορά Οι ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΝΑΙ ΣΑΝ ΣΥΛΛΟΓΕΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ συναντάται σε εκφράσεις της καθηµερινής ζωής π.χ., «πρόσθεσε κρεµµύδι στη σούπα», «βγάλε τα βιβλία από το χαρτόκουτο» για την πράξη της πρόσθεσης κι αφαίρεσης αντίστοιχα. Η µεταφορά ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΕΙΝΑΙ ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΜΙΑ ΤΡΟΧΙΑ συναντάται σε εκφράσεις της καθηµερινής ζωής: «το 3 είναι µακριά από το 77» «µέτρα µέχρι το 1123 αρχίζοντας από το 11, το x τείνει στο µηδέν

µεταφορές των µαθηµατικών κατά Lakoff & Nunez Η µεταφορά της ΡΑΒΔΟΥ που αποτελείται από τµήµατα που ενώννονται για να σχηµατίσουν µεγαλύτερα µέρη. Έτσι, υπάρχουν και µέρη σώµατος που µπορούν να επιτελέσουν αυτή τη λειτουργία όπως για παράδειγµα η µέτρηση ενός µήκους µε µονάδα το µήκος του ποδιού, ο δείκτης του χεριού, ο βραχίονας κλπ Η µεταφορά Η ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΙΝΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ συναντάται στο Λατινικό Σύστηµα Αρίθµησης όπου για παράδειγµα προσθέτω ένα αριθµητικό µέρος στο VI για να πάρω το VII. ο αριθµός ως µέγεθος (βλ. κλάσµα µέρος όλου) ο αριθµός ως ποσότητα

µεταφορές των µαθηµατικών στην καθηµερινή γλώσσα κατά Lakoff & Nunez Η αναπαράσταση των αριθµών µε την αριθµογραµµή, µε το µοντέλου του θερµοµέτρου, ή µε ένα ασανσέρ που ανεβοκατεβαίνει τους ορόφους, είναι διαφορετικοί τρόποι αναπαράστασής τους κάνοντας χρήση της εννοιολογικής µεταφοράς ΚΙΝΗΣΗ ΚΑΤΑ ΜΗΚΟΣ ΤΟΥ ΜΟΝΟΠΑΤΙΟΥ

µεταφορά και πράξεις Ένας µαθητής ανέφερε για την πράξη -5+8: «το 5 είναι πέντε τρύπες», και τις ζωγράφισε στο χαρτί του, «και το 8 είναι οκτώ βόλοι», ζωγράφισε 8 κουκίδες για βόλους «κι έτσι οι πέντε τρύπες καταπίνουν πέντε από τους βόλους κι έτσι αποµένουν τρείς βόλοι κι άρα η απάντηση είναι συν τρία»

µοντέλα αναλογίας στη διδασκαλία των µαθηµατικών και µεταφορές άλλα παραδείγµατα

η αναλογία της συνάρτησης ως µηχανή η συνάρτηση είναι µια µηχανή που παίρνει πρώτη ύλη x και το µετατρέπει σε κάτι άλλο, π.χ., 2x http://nlvm.usu.edu/en/nav/ frames_asid_191_g_3_t_1.html

η αναλογία της συνάρτησης ως µηχανή η σύνθετη συνάρτηση δύο µηχανές όπου η δεύτερη µετατρέπει τα αποτελέσµατα της πρώτης

αναλογία στη µεταβλητή διανοµέας/πουρµπουάρ: «όποιος κι αν είναι ο διανοµέας, δώστου πουρµπουάρ 1e» = όποια κι είναι η µεταβλητή θα πάρει τη συγκεκριµένη τιµή Ρόλοι/ηθοποιοί: οι µεταβλητές είναι οι ηθοποιοί που µετέχουν στην παράσταση που «ανεβαίνει» στην σκηνή του θεάτρου

η εξίσωση ως ζυγαριά ή τραµπάλα ό,τι πράξη κάνω στο πρώτο µέλος πρέπει να την κάνω και στο δεύτερο ΌΜΩΣ: δεν λειτουργεί για αρνητική λύση της εξίσωσης http://illuminations.nctm.org/ ActivityDetail.aspx?ID=10

το µοντέλο της αριθµογραµµής οι αρνητικοί αριθµοί και οι πράξεις ως αλλαγή θερµοκρασίας ή ασανσέρ

κι άλλες µεταφορές στις πράξεις µε αριθµούς οι θετικοί αριθµοί είναι έσοδα και οι αρνητικοί έξοδα/χρέη η συνάρτηση είναι η διαδροµή που κάνει κάποιος και που εξαρτάται από τις διαδροµές δύο άλλων ταξιδιωτών υποστηρίζει τη γραφική παράσταση στο καρτεσιανό σύστηµα

το µοντέλο των παράλληλων ευθειών Στις σκανδιναβικές χώρες π.χ στην Νορβηγία χρησιµοποιούν το παρακάτω ρεαλιστικό µοντέλο για την αισθητοποίηση των παράλληλων ευθειών. Δίνουν την εικόνα του σκιέρ που φορώντας τα χιονοπέδιλά του σκι. Τα χιονοπέδιδα αποτυπώνουν παράλληλες ευθείες καθώς ο σκιέρ διασχίζει τη πίστα. Μοιάζει µάλιστα να προσπαθεί να αποδείξει ότι οι γραµµές αυτές που αποτυπώνονται µπορεί και να συναντηθούν.

χωρισµός γνωστών από αγνώστους...σαν αναλογία Σε µια ωραία φυσική τοποθεσία υπήρχε ένα ποτάµι. Στην δυτική και ανατολική πλευρά του ζούσαν κάτι περίεργα πλάσµατα που τα λέγανε γνωστά και άγνωστα. Τα άγνωστα τα καταλάβαινες από µακριά από ένα χαρακτηριστικό σηµάδι στο κούτελό τους. Είχαν το σηµάδι x. Τα γνωστά πάλι ήταν αριθµοί.για πολλούς αιώνες γνωστά και άγνωστα πλάσµατα ζούσαν ειρηνικά και ανάµικτα µεταξύ τους δίπλα - δίπλα. Όταν όµως βασιλιάς τους έγινε ο Χωριστέας ο Α ( όχι ο Χαριστέας ), έβγαλε µια αλλόκοτη απόφαση. Στην δυτική όχθη του ποταµού έπρεπε να ζουν µόνο τα άγνωστα πλάσµατα και στην ανατολική τα γνωστά. Έτσι βάλθηκαν όλοι να µεταφέρονται µε τους µισθωµένους βαρκάρηδες του βασιλιά από τη µια µεριά στην άλλη ή αντίστροφα. Όσοι λοιπόν χρειαζόταν να περάσουν απέναντι πλήρωναν ένα περίεργο εισητήριο. Έπρεπε να δεκτούν να τους αλλάξουν ( όχι τα φώτα ) τα πρόσηµά τους οι µισθωµένοι φοροεισπράκτορες του βασιλιά. Έτσι γιγόταν δεκτοί στη βάρκα και µπάρκαραν για την αντίπερα όχθη κουνώντας το µαντήλι στους προηγούµενους γείτονες.

κι άλλα προβλήµατα τέτοιων συλλογισµών

προβλήµατα των µεταφορών/αναλογιών στη καθηµερινή χρήση τους παράδειγµα: Πριν από τους εθνοαπελευθερωτικούς αγώνες κάποιοι βασιλόφρονες υποστήριξαν ότι οι αποικίες ήταν σαν τα παιδιά της µητέρας πατρίδας, και ακριβώς όπως τα παιδιά θα πρέπει να παραµείνουν για πάντα πιστά στους γονείς τους, οι αποικίες δεν θα πρέπει να επαναστατήσουν ενάντια στην Αγγλία. Από την άλλη πλευρά, οι επαναστάτες υποστήριξαν ότι οι αποικίες είναι όπως τα φρούτα στα δέντρα, και όταν οι καρποί ωριµάσουν, είναι φυσικό ότι θα πρέπει να πέσουν από το δέντρο.

προβλήµατα αυτών των επιχειρηµάτων Σχεδόν οτιδήποτε µπορεί να αποδειχθεί επιλέγοντας προσεκτικά τις συγκρίσεις. Αν θέλουµε να εξιδανικεύσουµε την τρίτη ηλικία µπορούµε να τη συγκρίνουµε µε την ωρίµανση ενός καλού κρασιού ή να πούµε ότι το άτοµο επιτυγχάνει ανώτερη θέση στην κοινότητα, αποκτά υποµονή και σοφία, και απελευθερώνεται από την τυραννία των παθών. Από την άλλη πλευρά, θα µπορούσαµε να δείξουµε τη θλίψη των γηρατειών συγκρίνοντάς την µε ένα σπίτι που είναι ετοιµόρροπο και καταρρέει, ένα θλιβερό ερείπιο που σε τίποτα δε θυµίζει την παλιά του αίγλη και αξιοπρέπεια.

προβλήµατα αυτών των επιχειρηµάτων Ο Άγγλος θεολόγος William Paley (1743-1805) παρουσίασε ένα από τα πιο γνωστά επιχειρήµατα αναλογίας στην προσπάθειά του να υποστηρίξει την άποψη του Αγίου Θωµά Ακινάτη ότι ο κόσµος αποτελεί έναν σκόπιµο σχεδιασµό και αυτό αποδεικνύει την ύπαρξη ενός ευφυούς σχεδιαστή, δηλαδή, το Θεό. Ο Paley το έκανε αυτό µε τη σύγκριση του κόσµου µε τον µηχανισµό ενός ρολογιού. Αν ήµασταν σε ένα έρηµο νησί και να βρίσκαµε ένα ρολόι σε τέλεια κατάσταση και να δουλεύει, θα υποθέταµε ότι ένας ωρολογοποιός είχε φτιάξει αυτό το ρολόι. Το να υποστηρίξει κανείς ότι όλα του τα τµήµατα εννώθηκαν τυχαία και σχηµάτισαν αυτό τον πολύπλοκο µηχανισµό φαίνεται απίθανο. Με τον ίδιο τρόπο, είναι µάλλον απίθανο ότι ο κόσµος αυτός µπορεί και να προέκυψε από µια µεγάλη έκρηξη όπως το big bang.

προβλήµατα αυτών των επιχειρηµάτων Ωστόσο, θα µπορούσαµε επίσης να συγκρίνουµε τον κόσµο µε έναν οργανισµό, και όχι ένα µηχανισµό, που έχει βιολογικά µέρη και που µπορεί να νοσήσει. Με τα συστήµατα, τα ζωτικά όργανα, και τα άκρα που αναπτύσσονται και εκφυλίζονται. Και µε ύλη και ενέργεια κάπου στο κέντρο, όχι µυαλό ή πνεύµα. Ένας τέτοιος πολύπλοκος µηχανισµός µπορεί και να προκύψει όχι από ευφυή σχεδιασµό αλλά από διαδικασίες όπως της φυσικής επιλογής βλ. The blind watchmaker (Richard Dawkins)

τα προβλήµατα στις αποδόσεις µεταφορών Οι µεταφορές για τη νόσο: η φυµατίωση και οι µεταφορές της ο καρκίνος, το σώµα και ο πόλεµος η διαχείριση της νόσου οι Εβραίοι και τα καρκινώµατα βλ. «Η νόσος ως µεταφορά. Το AIDS και οι µεταφορές του» Σούζαν Σόντακ, Ύψιλον, 2006

Κουλέτση Ε (2010). Οι Εννοιολογικές Μεταφορές και η Χρήση τους από τους Καθηγητές στη διδασκαλία των Μαθηµατικών. Αδηµοσίευτη διπλωµατική εργασία. Διαπανεπιστηµιακό Διατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών Διδακτική και µεθοδολογία των Μαθηµατικών», Πανεπιστήµιο Αθηνών Lakoff, G., & Núñez, R. (2000). Where Mathematics Comes From? how the embodied mind brings mathematics into being, Basic Books. Vosniadou, S. & Ortony, A. (Eds.) (1989) Similarity and Analogical Reasoning, New York: NY: Cambridge University Press. Μοδέστου, Σ, Μ.(2007) Μαθηµατική αναλογική σκέψη στο Δηµοτικό και Γυµνάσιο: Ένα πολυδιάστατο γνωστικό και µεταγνωστικό µοντέλο, Προβλήµατα Μάθησης Των Μαθηµατικών Κατά τη Μετάβαση από το Δηµοτικό στο Γυµνάσιο, 81-102,