ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Transcript

1 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός

2 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω συνάρτηση : R, όπου Δ διάστημα του R. Αν υπάρχει παραγωγίσιμη συνάρτηση F : R τέτοια ώστε : F, για κάθε τότε η F λέγεται παράγουσα συνάρτηση της στο διάστημα Δ. ΘΕΩΡΗΜΑ Δίνεται η συνάρτηση : R, όπου Δ διάστημα του R, και F μια παράγουσα της. Τότε οποιαδήποτε άλλη παράγουσα της είναι της μορφής F + c, όπου c σταθερά. ΠΑΡΑΓΟΥΣΕΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Συνάρτηση Παράγουσα F c + c, R c,,, c ln c, c, c c,, Z,, Z, c c c ln ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

3 ΠΑΡΑΓΟΥΣΕΣ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Συνάρτηση Παράγουσα F g, g g g, g g g, g g g g c g ln g g g c g g, R,, g g c c c ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΑΞΕΩΝ ΠΑΡΑΓΟΥΣΩΝ α Αν η συνάρτηση F είναι η παράγουσα της συνάρτησης και α ένας σταθερός αριθμός τότε η συνάρτηση α F είναι η παράγουσα της συνάρτησης α. β Αν οι συναρτήσεις F και G είναι οι παράγουσες των συναρτήσεων και g αντίστοιχα τότε η συνάρτηση F ± G είναι η παράγουσα της συνάρτησης ± g. Αν θεωρήσουμε μια συνάρτηση παραγωγίσιμη με παράγωγο την, είναι φανερό ότι μια παράγουσα της είναι η, αφού αν την παραγωγίσουμε παίρνουμε την. Με αυτό τον τρόπο αν γνωρίζουμε την παράγωγο μιας συνάρτησης μπορούμε χρησιμοποιώντας τους πίνακες και τους κανόνες να «επιστρέψουμε» στον τύπο της αρχικής συνάρτησης, κατά προσέγγιση σταθεράς. ά c ά c ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να υπολογίσετε τις παράγουσες των συναρτήσεων : α β γ δ ε στ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

4 Να υπολογίσετε τις παράγουσες των συναρτήσεων : α 6 β 8 γ δ 6 ε στ Να βρεθεί ο τύπος της αν γνωρίζουμε ότι : α 6 και ισχύει β και ισχύει γ και ισχύει δ και ισχύει ε και η γραφική παράσταση της διέρχεται από το σημείο Α, στ 6 και η γραφική παράσταση της διέρχεται από το σημείο Α, ζ και η γραφική παράσταση της διέρχεται από το σημείο Α, η και η γραφική παράσταση της διέρχεται από το σημείο Α, Να υπολογίσετε τον τύπο της κατά προσέγγιση σταθεράς όταν : α β, γ,, δ ln, ε, στ ζ, η Αν για μια συνάρτηση : R R γνωρίζουμε ότι και ότι, να υπολογίσετε το. 6 Αν η γραφική παράσταση της διέρχεται από την αρχή των αξόνων και ισχύει ότι, να υπολογίσετε το. 7 Να βρείτε συνάρτηση : R R δυο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύουν :, και ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

5 8 Να υπολογίσετε τις παράγουσες των σύνθετων συναρτήσεων : α β γ ε ζ δ στ η θ ln ι ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

6 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω συνεχής συνάρτηση : [, ] R με παράγουσα συνάρτηση F. Τη σταθερή διαφορά F F ονομάζουμε ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτησης από το α στο β και το συμβολίζουμε με : d Επομένως ισχύει ότι : d F F F ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ α cd c, όπου c σταθερά β d d d, όπου γ d δ d d ε g d d στ Αν g d,, R για κάθε, τότε d ζ Αν g για κάθε, τότε d Παρατήρηση Μια συνάρτηση είναι ολοκληρώσιμη στο ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ d g d, αν είναι συνεχής στο,. d, R,, d ln ln ln, d d d ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 6

7 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ g d g g g g g για κάθε, g d g g g g g για κάθε, g d ln g ln g ln g g g για κάθε,, Όπου Όπου Όπου g g g d g για κάθε, g g R, και g g g g g d ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Α : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σύμφωνα με το ορισμό του ορισμένου ολοκληρώματος ισχύει : d I. II. d III. d ln IV. d V. d VI. d VII. d d VIII. F F F d ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 7

8 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : i. d ii. d iii. d iv. d Λύση : i. d ii. d iii. iv. d d d d ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : d Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : i. d ii. d iii. d iv. d v. d vi. d vii. d 8 viii. d i. d. d i. d ln ii. d Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : i. d ii. t dt iii. d iv. d v. d vi. d vii. d i. d. d i. d viii. d Β. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ - ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α, ώστε να ισχύει : d. Λύση : 9 d ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 8

9 ή. Άρα. ύ Δίνεται συνάρτηση Λύση : I d d * : με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύει I d.. Να υπολογίσετε την παράσταση : d d d d d d. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 9 6 Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ, ώστε να ισχύει : d d 7 Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ, ώστε να ισχύει : d d d 8 Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α, ώστε να ισχύει : d ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 9

10 Γ. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ Όταν έχουμε μια συνάρτηση της μορφής : ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :, 9 Δίνεται η συνάρτηση. Να δείξετε ότι η είναι συνεχής και στη, συνέχεια να υπολογίσετε το d. Λύση : Για η είναι συνεχής ως πολυωνυμική, Για η είναι συνεχής ως τριγωνομετρική, Στο είναι : lim lim, lim lim και άρα η είναι συνεχής στο Έτσι : επομένως η είναι συνεχής για κάθε άρα και στο [-π,π]. d d. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : d d d, Δίνεται η συνάρτηση. Να δείξετε ότι η είναι συνεχής και, στη συνέχεια να υπολογίσετε το d., Δίνεται η συνάρτηση. Να δείξετε ότι η είναι συνεχής 6 8, και στη συνέχεια να υπολογίσετε το d.,, υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα d με, εργαζόμαστε ως εξής : τότε για να Εξετάζουμε αν η είναι συνεχής στο, καθώς για να έχει νόημα το d, πρέπει η να είναι συνεχής στο [α,β] άρα και στο. Στη συνέχεια έχουμε : d d d... ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : d Λύση : d Έχω : - + Άρα : έστω,, Δεν χρειάζεται να εξετάσουμε αν η είναι συνεχής, καθώς από την αρχική της μορφή η, είναι συνεχής ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Άρα : d d d d d 8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : i. d ii. d ii. d iv. d ln v. d Δ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ Συνήθως συναντάμε τη μορφή d. Αρχικά λύνω την εξίσωση, βρίσκουμε το πρόσημο της με πινακάκι, βγάζουμε την απόλυτη τιμή, αν είναι απαραίτητο χωρίζουμε το [α,β], και υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα.

12 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : i. d ii. d iii. d iv. d v. d Λύση : i. d d 6 d ii. d d d iii. d d 7 ln ln ln d iv. d d 8 d v. d d d ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ I. d II. d III. ln d IV. d V. d ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Αν το ολοκλήρωμα μας θυμίζει κάποια από τις παραπάνω μορφές ολοκληρωμάτων σύνθετων συναρτήσεων, τότε εφαρμόζουμε απευθείας τον αντίστοιχο τύπο. Συνήθως όμως οι συναρτήσεις μοιάζουν πολύ αλλά δεν είναι ίδιες. Τότε φτιάχνουμε την με κάποια απλή πράξη π.χ. πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας με ένα αριθμό ώστε να αναχθούμε σε μια από τις παραπάνω περιπτώσεις.

13 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : i. d ii. d iii. d iv. d v. d vi. d vii. d viii. d i. d. d 9 i. d ii. d ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Έστω δυο συνεχείς συναρτήσεις, g :, R ισχύει : gd ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ όπου και g g g d g d είναι συνεχής συναρτήσεις στο [α,β] Για να εφαρμόσουμε παραγοντική ολοκλήρωση, πρέπει το ολοκλήρωμα να έχει τη μορφή g d ή να το φέρουμε εμείς στη μορφή αυτή η προς ολοκλήρωση συνάρτηση να μπορεί να πάρει τη μορφή γινομένου δυο συναρτήσεων και στη συνέχεια η μια από τις δυο συναρτήσεις να γραφεί με τη μορφή παραγώγου. Ουσιαστικά χρειαζόμαστε την παράγουσα μιας εκ των δυο συναρτήσεων ώστε το ολοκλήρωμα να πάρει την επιθυμητή μορφή. Με παραγοντική ολοκλήρωση υπολογίζονται ολοκληρώματα της μορφής : η Περίπτωση : d εδώ χρησιμοποιούμε την παράγουσα της η Περίπτωση : d, d παράγουσα της και της αντίστοιχα. εδώ χρησιμοποιούμε την η Περίπτωση : ln d εδώ χρησιμοποιούμε την παράγουσα της η Περίπτωση : d, d g με συνεχείς παραγώγους, g. Τότε g d εδώ χρησιμοποιούμε την παράγουσα της. Σε αυτή την περίπτωση εμφανίζεται η ιδιομορφία ότι κατά τον υπολογισμό του ολοκληρώματος εμφανίζεται σε κάποιο στάδιο ξανά το αρχικό ολοκλήρωμα. Έτσι θέτουμε το αρχικό ολοκλήρωμα με ένα γράμμα π.χ. Ι και λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει ως προς Ι. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

14 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6 Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : i. d ii. d Λύση : i. d d d d ii. d d d d d d d d 7 Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : d Λύση : d d d d d 8 Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : i. ln d ii. d ln Λύση : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα i. ln d ln d ln ln d ii. 8 ln d ln d ln ln ln ln d ln d ln ln d ln ln d d 9 Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : d Λύση : Έχω : I d d d d d d d d I Άρα : I I I I

15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : i. d ii. d iii. d iv. d v. d vi. d vii. d viii. Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : α. d β. d d γ. d iv. d Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : α. ln d β. ln d γ. ln d δ. ln d Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : α. d β. d γ. d δ. d Δίνεται η συνάρτηση : με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύει και d. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : d ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Έστω συνάρτηση :, R περικλείεται από τη γραφική της παράσταση = β, με α < β δίνεται από τον τύπο : συνεχής στο E,. Το εμβαδό του χωρίου που C, τον άξονα ' και τις ευθείες = α και d Έστω δυο συνεχείς συναρτήσεις, g :, R. Το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές τους παραστάσεις C, C και τις ευθείες = α και = β, με α < β δίνεται από τον τύπο : E g d g ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

16 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΜΕΤΑΞΥ d C,,, Έστω μια συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [α,β]. Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν που περικλείεται από τη C, τον άξονα, και τις κατακόρυφες ευθείες,, εργαζόμαστε ως εξής : ον λύνουμε την εξίσωση στο [α,β] ον σχηματίζουμε πίνακα με το πρόσημο της στο [α,β], με τη βοήθεια του οποίου υπολογίζουμε το αντίστοιχο εμβαδόν. Για άκρα ολοκλήρωσης παίρνουμε τα α,β. Αν δεν δίνονται οι κατακόρυφες ευθείες,, τότε υπολογίζω το αντίστοιχο εμβαδόν ανάμεσα στις ρίζες της δηλ. για άκρα ολοκλήρωσης παίρνω τις ρίζες. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται η συνάρτηση 8. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη C, τον άξονα, και τις ευθείες,. Λύση : ή Το ζητούμενο εμβαδόν είναι d d d d 8 d 8 d 8 d ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6 Δίνεται η συνάρτηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη C, τον άξονα, και τις ευθείες,. 7 Δίνεται η συνάρτηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη C, τον άξονα, και τις ευθείες,. 8 Δίνεται η συνάρτηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη C και τον άξονα. 9 Δίνεται η συνάρτηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη C, τον άξονα και τον άξονα y y. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 6

17 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΜΕΤΑΞΥ C, C g, g d, Έστω,g δυο συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα [α,β]. Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν που περικλείεται από τις C, C και τις κατακόρυφες ευθείες,, g εργαζόμαστε ως εξής : ον θεωρούμε τη συνάρτηση h g ον λύνουμε την εξίσωση h στο [α,β] ον σχηματίζουμε πίνακα με το πρόσημο της h στο [α,β], με τη βοήθεια του οποίου υπολογίζουμε το αντίστοιχο εμβαδόν. Για άκρα ολοκλήρωσης παίρνουμε τα α,β. Αν δεν δίνονται οι κατακόρυφες ευθείες,, τότε υπολογίζω το αντίστοιχο εμβαδόν ανάμεσα στις ρίζες της h δηλ. για άκρα ολοκλήρωσης παίρνω τις ρίζες. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνονται οι συναρτήσεις χωρίου περικλείεται από τις και g C, g. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του C και τις ευθείες,. Λύση : Έστω h g h, με h άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι το h d. Έχω h, παρατηρώ ότι η είναι προφανής ρίζα της εξίσωσης h, και για κάθε, h, άρα η h ά, οπότε και η είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης h. h - Τα πρόσημα του παραπάνω πίνακα προκύπτουν ως εξής : h o h h h h o h h h Άρα τελικά : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 7 h d h d h d ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : d d τ.μ. Δίνονται οι συναρτήσεις και g. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τις C, C g και τις ευθείες,.

18 Δίνονται οι συναρτήσεις και g. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τις C, C g. Δίνονται οι συναρτήσεις και g. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τις C, C g. Δίνονται οι συναρτήσεις και g. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τις C, C g. ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : β d γ d ε d στ d η d θ d α d δ d ζ d Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α 8d β ln d γ d 9 δ d ε d στ d ζ d η d θ d Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : α d β d γ d 6 δ d ε d στ d ζ d η d ι d ια d θ d ιβ d ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 8

19 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : β d γ d α d δ d ε d στ d ζ d η d θ d ι d ια d ιβ d Αν ισχύουν και να υπολογιστεί η τιμή του ολοκληρώματος : d Αν η γραφική παράσταση της διέρχεται από τα σημεία A,8 και B, να υπολογιστεί η τιμή του ολοκληρώματος : d Δίνεται η συνάρτηση, με, R. Αν η γραφική παράσταση της διέρχεται από το σημείο A, και ισχύει : Να βρεθούν οι τιμές των α και β. d 6 Να υπολογίσετε τα σύνθετα ολοκληρώματα : α d δ d ζ d β d 8 γ d στ d ε d η d θ d 7 Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, >, τον άξονα ' και τις ευθείες = και =. 8 Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, R, τον άξονα ' και τις ευθείες = και =. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 9

20 9 Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τον άξονα ', τις ευθείες, ευθείες = και =, και από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης: α, R β, R Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, R, τον άξονα ' και τις ευθείες : α = και =. β = και =. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, R, τον άξονα ' και τις ευθείες : α = και =. β = και =. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, R, τον άξονα ' και την ευθεία =. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, R και τον άξονα '. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, R και τον άξονα '. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τους άξονες ', y'y, και την ευθεία y 6 Να υπολογίσετε το εμβαδό μεταξύ του άξονα και : α της συνάρτησης, και των ευθειών και β της συνάρτησης, και των ευθειών και γ της συνάρτησης, και των ευθειών και δ της συνάρτησης, και των ευθειών και ε της συνάρτησης, και των ευθειών στ της συνάρτησης, και της ευθείας ζ της συνάρτησης, και της ευθείας η της συνάρτησης, και της ευθείας θ της συνάρτησης, και της ευθείας ι της συνάρτησης ια της συνάρτησης ιβ της συνάρτησης ιγ της συνάρτησης και ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

21 7 Να υπολογίσετε το εμβαδό μεταξύ των συναρτήσεων : α β και g και g και των ευθειών και γ και g και των ευθειών και δ και g και των ευθειών και ε και g στ και g ζ και και των ευθειών και g και των ευθειών και η και g και τον άξονα y y θ και g ι και g ια και g του άξονα y y και της ευθείας ιβ και ιγ και g g και της ευθείας 8 Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :, και g 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα