Μια κρούση, δύο ολισθήσεις και μια ενδεχόμενη κύλιση Δύο πανομοιότυπες ομογενείς και λείες σφαίρες και με μάζες m=0,1kg και ακτίνες R=0,1m βρίσκονται ακίνητες σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Εκτοξεύουμε τη σφαίρα προς τα δεξιά με οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ 0=7m/s και με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω=10ra/s και ωρολογιακής φοράς. Τη χρονική στιγμή t=0, η σφαίρα συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με τη σφαίρα. Σε απόσταση =3,5m από τη θέση της κρούσης, το δάπεδο γίνεται τραχύ με συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,1 για μήκος =3,375m, ενώ στη συνέχεια ξαναγίνεται λείο. x ω υ 0 t=0 α. να περιγράψετε την κίνηση των δύο σφαιρών, αμέσως μετά την κρούση τους. β. θα αποκατασταθεί κύλιση για τη σφαίρα, κατά την κίνησή της στο τραχύ δάπεδο; γ. να υπολογίσετε την απώλεια ενέργειας της σφαίρας, κατά την κίνησή της στο τραχύ δ. να υπολογίσετε τη μέση ισχύ της τριβής, κατά την κίνηση της σφαίρας στο τραχύ ε. να βρείτε τον αριθμό στροφών, που θα εκτελέσουν οι σφαίρες, μέχρι τη στιγμή που η σφαίρα θα έχει μετατοπιστεί κατά Δx=8,175m. Δίνονται: η ροπή αδράνειας σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της Icm = mr, g=10m/s, η διάρκεια της κρούσης αμελητέα και τα σώματα δεν 5 παραμορφώνονται κατά τη διάρκειά της.
Λύση α. Κατά τη διάρκεια της κρούσης, οι ασκούμενες δυνάμεις μεταξύ των σφαιρών διέρχονται από τα κέντρα μάζας τους και δεν ασκούν ροπές στις σφαίρες. F υ 0 F Έτσι η γωνιακή ταχύτητα της καθεμίας θα παραμείνει σταθερή. Επομένως αμέσως μετά την κρούση η σφαίρα θα συνεχίσει να στρέφεται ωρολογιακά με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω=10ra/s, ενώ η σφαίρα θα παραμείνει στροφικά ακίνητη. Επίσης κατά τη διάρκεια της κρούσης είναι ΣF = 0 για το σύστημα, οπότε ορμή του διατηρείται: P = P mυ = mv + mv αρχ τελ 0 (1) Όπου V A, V B τα μέτρα των ταχυτήτων των σφαιρών αμέσως μετά την κρούση. εξ x ω V A t=0 V B Επίσης αφού η κρούση είναι ελαστική, θα ισχύει: 1 1 1 1 1 Καρχ = Κτελ mυ0 + Ιcmω = mva + Ιcmω + mvb () Λύνοντας το σύστημα των (1) και () προκύπτει V A=0 και V B=υ 0 (ανταλλαγή ταχυτήτων). Έτσι η σφαίρα μετά την κρούση θα εκτελέσει ομαλή στροφική με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω=10ra/s, ενώ η θα ολισθήσει με ταχύτητα μέτρου V B=7m/s.
β. Η σφαίρα εισέρχεται στο τραχύ δάπεδο με ταχύτητα μέτρου V B=7m/s. Κατά την κίνησή = mg της εμφανίζεται τριβή ολίσθησης μέτρου Τ = μ Τ = μmg T = 0,1N και φοράς προς τα αριστερά. α cm α γ Τ x Ο Έτσι μεταφορικά αποκτά επιβράδυνση μέτρου α cm, αφού η Τ είναι αντίρροπη της V B, ενώ στροφικά αποκτά γωνιακή επιτάχυνση μέτρου α γ, λόγω της ροπής της τριβής, ως προς το κέντρο μάζας της Ο. Για τα μέτρα των επιταχύνσεων ισχύει: ΣF = mα T = mα α = 1m / s x cm cm cm Στ = Ι α TR = mr α α = 5ra / s 5 (Ο) cm γ γ γ Για να αποκατασταθεί κύλιση, πρέπει να γίνει υcm = ωr VB αcmδt = αγδtr Δt = s Όπου Δt η χρονική διάρκεια κίνησης της σφαίρας στο τραχύ δάπεδο, μέχρι την αποκατάσταση της κύλισης. Όμως σε αυτή τη διάρκεια η μετατόπιση της σφαίρας θα έπρεπε να είναι 1 Δx1 = VB Δt αcmδt Δx1 = 1m Επειδή Δx 1=1m>=3,375m, δεν θα αποκατασταθεί κύλιση. γ. Για τη χρονική διάρκεια Δt κίνησης της σφαίρας στο τραχύ δάπεδο, θα είναι: 1 = VB Δt αcmδt Δt = 0,5s Άρα οι ταχύτητες της σφαίρας κατά την έξοδό της από το τραχύ δάπεδο θα έχουν μέτρα: V = VB αcmδt V = 6,5m / s
και ω = αγδt ω = 1,5ra / s ω x V Ο Έτσι η απώλεια ενέργειας της σφαίρας κατά την κίνησή της στο τραχύ δάπεδο θα είναι: 1 1 1 ΔΚ = Κτελ Καρχ ΔΚ = mv + Icmω mvb ΔΚ = 0,3065J δ. Είναι W = = T W T = ΔΚ PT PT 0,615W Δt ε. Η σφαίρα μετατοπίστηκε κατά =3,5m σε χρόνο Δt1 = Δt1 = 0,s. V Επίσης μετατοπίστηκε κατά =3,375m σε χρόνο Δt =0,5s, όπως υπολογίσαμε στο ερώτημα (γ). Κατά την επανείσοδό της στο λείο επίπεδο κινήθηκε ομαλά (ΣF=0 και Στ (Ο)=0 πλέον) για Δx χρόνο Δt3 = Δt3 = 0,s V Έτσι η γωνιακή μετατόπιση της σφαίρας θα είναι: Δθ = ωδtολ Δθ = ω(δt1 + Δt + Δt 3 ) Δθ = 9ra και ο αριθμός περιστροφών που εκτέλεσε B Δθ 4,5 π π = = Για τη σφαίρα τώρα έχουμε: Στο τραχύ δάπεδο μετατοπίστηκε γωνιακά κατά 1 Δθ = αγδt Δθ = 3,15ra Μετά την έξοδό της από το τραχύ δάπεδο μετατοπίστηκε γωνιακά κατά Δθ3 = ωδt3 Δθ3 =,5ra
Άρα η συνολική γωνιακή μετατόπιση της σφαίρας είναι Δθ = Δθ + Δθ3 Δθ = 5,65ra Επομένως ο αριθμός στροφών που εκτέλεσε μέχρι τότε, θα είναι Δθ 5,65 π π = = Σχόλια 1. Η απώλεια ενέργειας της σφαίρας στο τραχύ δάπεδο θα μπορούσε να υπολογιστεί και μέσω του έργου της τριβής. Πράγματι: WT = ΤΔx + ττδθ WT = ΤΔx + ΤRΔθ = 0,3065J ή W T = ΤΔx, όπου Δx επαφ. η μετατόπιση του σημείου επαφής της σφαίρας με το επαφ. Όμως 1 1 Δxεπαφ. = VB Δt αεπαφ,xδt Δxεπαφ. = VB Δt (αγr + α cm )Δt Δxεπαφ. = 3,065m φού η εφαπτομενική επιτάχυνση α επαφ,x του σημείου επαφής της σφαίρας με το δάπεδο έχει κατεύθυνση προς τα αριστερά.. H συνολική γωνιακή μετατόπιση της σφαίρας θα μπορούσε να υπολογιστεί εμβαδομετρικά από το διάγραμμα γωνιακής ταχύτητας - χρόνου ω(ra/s) 1,5 Δθ Δθ 3 0, 0,7 0,9 t(s)