Μηχανική Στερεού Ασκήσεις Εμπέδωσης

Μηχανική Στερεού Ασκήσεις Εμπέδωσης Όπου χρειάζεται, θεωρείστε δεδομένο ότι g = 10m/s 2. 1. Μία ράβδος ΟΑ, μήκους L = 0,5m, περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που περνάει από το ένα άκρο της Ο, με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω = 10π r/s. Να υπολογίσετε: α. Την γραμμική ταχύτητα του άλλου άκρου της Α. β. Την γραμμική ταχύτητα του μέσου της Μ. Ποιο απο τα δύο σημεία έχει μεγαλύτερη γραμμική ταχύτητα; γ. Την γωνία που θα έχει διαγράψει σε χρόνο Δt = 5s. δ. Τον αριθμό των περιστροφών στο προηγούμενο χρονικό διάστημα. 2. Μία μικρή σφαίρα μάζας m = 100g, περιστρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο, δεμένη στο άκρο ενός νήματος μήκους L=0,6m, με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α γ = 2r/s 2. Αν την χρονική στιγμή t = 0 η γωνιακή της ταχύτητα είναι ω αρχ = 2r/s, να υπολογίσετε: α. Την γωνιακή της ταχύτητα την χρονική στιγμή t = 4s β. Την γωνιακή της μετατόπιση Δθ μέχρι την προηγούμενη χρονική στιγμή. γ. Τον αριθμό των περιστροφών που θα έχει εκτελέσει. δ. Πόσο τόξο θα έχει διαγράψει μέχρι τότε; ε. Την κεντρομόλο δύναμη που θα δέχεται την χρονική στιγμή t = 4s 3. Στο διπλανό διάγραμμα φαίνεται η γωνιακή ταχύτητα συναρτήσει του χρόνου, για ένα αντικείμενο που εκτελεί στροφική κίνηση. Να υπολογίσετε: α. Την γωνιακή του επιτάχυνση β. Την γραμμική του ταχύτητα την χρονική στιγμή t = 2s, αν γνωρίζετε ότι η ακτίνα της τροχιάς του είναι R = 0,8m γ. Την γωνία που θα έχει διαγράψει την χρονική στιγμή t = 2s δ. Την κεντρομόλο επιτάχυνση που θα δέχεται την προηγούμενη χρονική στιγμή. 1 Νίκος Αναστασάκης

4. Ένας κυκλικός δίσκος κυλάει χωρίς ολίσθηση σε οριζόντιο επίπεδο. Το σημείο Α εφάπτεται (τη δεδομένη χρονική στιγμή) με τον δρόμο, τα Β, Γ, είναι αντιδιαμετρικά και το Δ είναι αντιδιαμετρικό του Α. α. Σχεδιάστε τα διανύσματα της γραμμικής (επιτρόχιας) ταχύτητας και της μεταφορικής ταχύτητας (κέντρου μάζας) στα τέσσερα σημεία, καθώς και στο κέντρο μάζας. β. Ποια είναι η σχέση που συνδέει τα μέτρα αυτών των ταχυτήτων; γ. Υπολογίστε το μέτρο της ταχύτητας σε κάθε ένα από τα τέσσερα σημεία, Α, Β, Γ, Δ καθώς και στο κέντρο μάζας. 5. Ο τροχός του διπλανού σχήματος κυλάει χωρίς ολίσθηση σε οριζόντιο επίπεδο. Το σημείο Κ βρίσκεται σε ύψος h = R/2 από το έδαφος ενώ το κέντρο μάζας του δίσκου κινείται με ταχύτητα υ cm = 2m/s. Η ακτίνα του τροχού είναι R = 40cm. α. Υπολογίστε την επιτρόχια ταχύτητα των σημείων της περιφέρειας του τροχού καθώς και την γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του. β. Σχεδιάστε την ταχύτητα του σημείου Α. γ. Υπολογίστε το μέτρο της ταχύτητας του σημείου Α, υ Α. δ. Πόσες περιστροφές θα έχει κάνει ο τροχός μετά από Δt = 5s κίνησης του; ε. Πόσο θα έχει μετατοπιστεί το κέντρο μάζας του στο προηγούμενο χρονικό διάστημα; 6. Στο διπλανό σχήμα, η ράβδος μήκους L = 80 cm και μάζας m 1 = 1kg, στηρίζεται στα δύο σημεία Α και Β που απέχουν το καθένα 20 cm από το κέντρο μάζας της. Το βαρίδι μάζας m 2 = 200g, απέχει 10cm από το κέντρο μάζας της. α. Πόση δύναμη δέχεται η ράβδος από το βαρίδι; β. Σχεδιάστε όλες τις δυνάμεις που δέχεται η ράβδος. γ. Υπολογίστε την δύναμη που ασκεί το κάθε ένα από τα στηρίγματα στην ράβδο. 2 Νίκος Αναστασάκης

7. Η ράβδος του διπλανού σχήματος ισορροπεί, αναρτημένη από άρθρωση Α και μη ελαστικό νήμα ΒΓ. Το μήκος της είναι L = 2m και η μάζα της m = 2kg. Η γωνία που σχηματίζει το νήμα με την ράβδο είναι θ = 30 ο. α. Σχεδιάστε τις δυνάμεις που δέχεται η ράβδος β. Υπολογίστε το μέτρο της δύναμης που ασκεί το νήμα στην ράβδο γ. Υπολογίστε το μέτρο και την διεύθυνση της δύναμης που ασκεί η άρθρωση στην ράβδο. 8. Η ροπή αδράνειας ενός κυκλικού δίσκου όταν αυτό περιστρέφεται γύρω από άξονα που περνάει από το κέντρο μάζας του, είναι Ι cm = 1 2 m R2, όπου m η μάζα του και R η ακτίνα του. Υπολογίστε την ροπή αδράνειας του δίσκου του σχήματος, που περιστρέφεται από άξονα που περνάει από το κέντρο του, και πάνω του έχουμε στερεώσει τρεις σημειακές μάζες m 1 = m 2 = m 3 = m/3. Κάθε μία από τις μάζες απέχει απόσταση R/2 από το κέντρο του δίσκου. 9. Η ράβδος του σχήματος έχει μάζα m = 0,6kg και μήκος L = 80cm. Θεωρώντας δεδομένο ότι η ροπή αδράνειας μίας ράβδου ως προς άξονα που περνάει από το κέντρο μάζας της είναι Ι cm = 1 12 m L2, υπολογίστε την ροπή αδράνειας αν η ράβδος περιστρέφεται α. από το κέντρο μάζας της β. από το άκρο της γ. από σημείο που απέχει d = 20cm από το κέντρο μάζας. 10. Η σφαίρα του σχήματος, κυλάει χωρίς ολίσθηση, κατεβαίνοντας το κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης θ = 45 ο. Η μάζα της είναι m = 1kg, η ακτίνα της R = 0,2m και η ροπή αδράνειας Ι cm = 2 5 m R 2. 3 Νίκος Αναστασάκης

α. Σχεδιάστε όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στην σφαίρα. β. Εφαρμόστε τον θεμελιώδη νόμο της μηχανικής για τη στροφική και μεταφορική της κίνηση. γ. Ποια σχέση συνδέει την γωνιακή της επιτάχυνση και αυτή του κέντρου μάζας της; δ. Υπολογίστε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας της της σφαίρας. ε. Πόση είναι η στατική τριβή που δέχεται; 11. Η σφαίρα του σχήματος, κυλάει χωρίς ολίσθηση, ανεβαίνοντας το κεκλιμένο επίπεδο μεγάλου μήκους και γωνίας κλίσης θ = 45 ο. Η μάζα της είναι m = 1,4kg, η ακτίνα της R = 0,4m και η ροπή αδράνειας Ι cm = 2 3 m R 2. α. Σχεδιάστε όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στην σφαίρα. β. Υπολογίστε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας της της σφαίρας, αφού εφαρμόσετε τον θεμελιώδη νόμο της μηχανικής για τη μεταφορική και την στροφική της κίνηση. γ. Αν η αρχική ταχύτητα του κέντρου μάζας (την στιγμή που άρχισε να ανεβαίνει το επίπεδο) είναι υ cmo = 4m/s, υπολογίστε την ταχύτητα του κέντρου μάζας της την χρονική στιγμή t = 2s. δ. Πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της τότε; 12. Στον τροχό του σχήματος, μάζας m = 2kg και ακτίνας R = 0,2m, ασκείται μέσω άξονα στο κέντρο μάζας του σταθερή δύναμη F = 2N, σε οριζόντια διεύθυνση. Αν ο τροχός κινείται με σταθερή μεταφορική επιτάχυνση α cm = 1m/s 2 : α. Πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του β. Πόσες περιστροφές κάνει σε χρόνο Δt = 4s γ. Υπολογίστε το μέτρο της στατικής τριβής που δέχεται ο τροχός. δ. Φτιάξτε το διάγραμμα της γωνιακής του ταχύτητας σε συνάρτηση με τον χρόνο. 4 Νίκος Αναστασάκης

13. Η τροχαλία του σχήματος, έχει μάζα M = 1kg και ακτίνα R = 0,4m είναι αναρτημένη από το κέντρο της σε σταθερό σημείο. Μία μικρή μάζα m = 200g, κρέμεται μέσω αβαρούς νήματος τυλιγμένου στην τροχαλία. Την χρονική στιγμή t = 0 αφήνουμε ελεύθερο το σύστημα να κινηθεί. α. Σχεδιάστε τις δυνάμεις που ασκούνται στην μάζα και στην τροχαλία. β. Εφαρμόστε τον θεμελιώδη νόμο της μηχανικής για την στροφική κίνηση της τροχαλίας και για την μεταφορική κίνηση της μάζας. γ. Υπολογίστε την επιτάχυνση που θα αποκτήσει η μάζα. δ. Πόση θα είναι η ταχύτητα της την χρονική στιγμή t=5s ε. Την χρονική στιγμή t=5s, με πόση γωνιακή ταχύτητα θα περιστρέφεται η τροχαλία; 14. Μία ράβδος με δύο μάζες στα άκρα της (σχήμα) περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω = 5r/s, γύρω από σταθερό άξονα που περνά από το κέντρο μάζας της. Το μήκος της ράβδου είναι L = 2m, η μάζα της M = 0,6kg και κάθε μία από τις δύο μάζες έχει μάζα m 1 = m 2 = m = 0,8kg. α. Υπολογίστε την ροπή αδράνειας του συστήματος ράβδος μάζες. β. Πόση είναι η στροφορμή του συστήματος; Σχεδιάστε το διάνυσμα της. γ. Πόση ροπή πρέπει να ασκήσουμε στο σύστημα ώστε να το ακινητοποιήσουμε σε χρόνο Δt = 5s; δ. Αν γνωρίζετε ότι η δύναμη που προκαλεί την συγκεκριμένη ροπή θα ασκηθεί σε απόσταση d = 0,5m από το κέντρο της ράβδου (CM), και κάθετα σε αυτήν, πόσο είναι το μέτρο της δύναμης; Για την ράβδο δίνεται ότι Ι cm = 1 12 m L2. Οι δύο μάζες θεωρούνται σημειακές. 15. Στην ράβδο της προηγούμενης άσκησης, και ενώ περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω = 5r/s, μετακινούμε με κατάλληλο εσωτερικό μηχανισμό τις δύο μάζες σε απόσταση d = 0,5m από το κέντρο μάζας της. α. Υπολογίστε την καινούρια τιμή της ροπής αδράνειας του συστήματος. β. Πόσο θα μεταβληθεί η στροφορμή του συστήματος; 5 Νίκος Αναστασάκης

γ. Υπολογίστε την καινούρια τιμή της γωνιακής ταχύτητας περιστροφή του συστήματος. δ. Αν γνωρίσουμε ότι το σύστημα διατηρεί σταθερή την νέα γωνιακή ταχύτητα περιστροφής, πόσες περιστροφές θα ολοκληρώσει σε χρόνο Δt = 4s 16. Από το άκρο Ο μίας ράβδου ΟΑ, που βρίσκεται αρχικά ακίνητη σε λείο οριζόντιο επίπεδο, περνάει σταθερός κατακόρυφος άξονας περιστροφής. Το μήκος της ράβδου είναι ΟΑ = 0,6m και η μάζα της m = 0,4kg. Στο μέσο Μ της ράβδου, ασκούμε, σε διεύθυνση σταθερά κάθετη σ'αυτήν, δύναμη σταθερού μέτρου F = 1N. α. Υπολογίστε την ροπή της δύναμης F. β. Πόση είναι η γωνιακή επιτάχυνση που αποκτάει η ράβδος; γ. Πόση γωνιακή ταχύτητα αποκτάει μετά από χρόνο Δt = 2s δ. Πόση είναι η στροφορμή της τότε; ε. Φτιάξτε το διάγραμμα της στροφορμής της ράβδου σε συνάρτηση με τον χρόνο. Τι εκφράζει η κλίση του διαγράμματος; 17. Ένας τροχός μάζας m 1 = 0,4kg και ακτίνας R = 0,2m, περιστρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο, γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του με γωνιακή ταχύτητα περιστροφής ω = 2r/s. α. Πόση είναι η στροφορμή του; β. Κάποια στιγμή κολλάει σε σημείο της περιφέρειας του άκρο του μάζα m 2 αμελητέων διατάσεων. Πόση γίνεται η ροπή αδράνειας του συστήματος; Πόση γίνεται η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του; Υπολογίστε την γραμμική ταχύτητα περιστροφής της μάζας m 2 Για τον τροχό δίνεται ότι Ι cm = 1 2 m 1 R 2. 18. Μία σφαίρα μάζας m = 0,8kg και ακτίνας R = 0,2m, κυλάει χωρίς ολίσθηση πάνω σε οριζόντιο επίπεδο περιστρεφόμενη με γωνιακή ταχύτητα ω = 4r/s. Αν γνωρίζετε ότι η ροπή αδράνειας της δίνεται από την εξίσωση Ι cm = 2 5 m R 2 υπολογίστε: α. Την στροφορμή της. 6 Νίκος Αναστασάκης

β. Την ταχύτητα του κέντρου μάζας της. γ. Την κινητική της ενέργεια λόγω περιστροφής. δ. Την κινητική της ενέργεια λόγω της μεταφορικής της κίνησης. ε. Την συνολική της κινητική ενέργεια. 19. Στο ένα άκρο Α μίας οριζόντιας ράβδου μήκους L = 2m και μάζας m=0,1kg, ακούμε οριζόντια δύναμη σταθερού μέτρου F = 2N και διεύθυνσης συνεχώς κάθετης σ' αυτήν της ράβδου. Η ράβδος μπορεί περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνάει από το άλλο άκρο της Ο. Η χρονική διάρκεια της άσκησης της δύναμης είναι Δt = 6s. α. Πόση γωνιακή επιτάχυνση αποκτάει η ράβδος; β. Πόση γωνία διαγράφει στο προηγούμενο χρονικό διάστημα; γ. Υπολογίστε το έργο της ροπής της δύναμης στο προηγούμενο χρονικό διάστημα. δ. Υπολογίστε την κινητική ενέργεια της ράβδου την προηγούμενη χρονική στιγμή. ε. Με ποιο ρυθμό προσφέρει έργο η δύναμη την χρονική στιγμή t = 6s; Για την ράβδο δίνεται ότι Ι cm = 1 12 m L2 20. Από την κορυφή του κεκλιμένου επιπέδου του σχήματος, και ύψος h = 2m από την βάση του, αφήνουμε ελεύθερο να κυλίσει χωρίς ολίσθηση έναν κυκλικό δακτύλιο, μάζας m = 0,4kg και ακτίνας R = 10cm. α. Πόση είναι η ροπή αδράνειας του δακτυλίου; β. Πόση είναι η αρχική του βαρυτική δυναμική ενέργεια. (Θεωρείστε επίπεδο αναφοράς την βάση του κ.ε. Και τις διαστάσεις του δακτυλίου αμελητέες σε σχέση με το ύψος h.) γ. Πόση θα είναι η συνολική του κινητική ενέργεια την στιγμή που θα φτάσει στην βάση του επιπέδου; 7 Νίκος Αναστασάκης

δ. Γράψτε τις εξισώσεις υπολογισμού της στροφικής και μεταφορικής του κινητικής ενέργειας και υπολογίστε τον λόγο τους. ε. Πόση θα είναι η μεταφορική και πόση η στροφική κινητική του ενέργεια στην βάση του επιπέδου; 21. Από την βάση του κεκλιμένου επιπέδου του σχήματος, πετάμε με αρχική ταχύτητα μέτρου υ cm = 2m/s, μία σφαίρα μάζας m = 0,4kg και ακτίνας R = 10cm. Η σφαίρα κυλάει ανεβαίνοντας μέχρι να σταματήσει σε κάποιο ύψος h, χωρίς να ολισθαίνει. α. Πόση είναι η αρχική γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της; β. Πόση είναι η αρχική της κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής; γ. Υπολογίστε την μηχανική ενέργεια της σφαίρας. δ. Σε ποιο ύψος ανεβαίνει μέχρι να σταματήσει; ε. Υπολογίστε το έργο της ροπής της στατικής τριβής που δέχτηκε η σφαίρα μέχρι να ανέβει στο μέγιστο ύψος. 8 Νίκος Αναστασάκης