ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ: ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΚΗ ΙΑΣΤΑΣΗ ΚΑΙ Η Ι ΑΚΤΙΚΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΤΗΣ

1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ: ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΚΗ ΙΑΣΤΑΣΗ ΚΑΙ Η Ι ΑΚΤΙΚΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΤΗΣ Παναγιώτης Σπύρου, Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθανάσιος Γαγάτσης, Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής, Πανεπιστήµιο Κύπρου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης αποτελεί µια από τις πλέον βασικές για την συγκρότηση της Μαθηµατικής επιστήµης στην σηµερινή της µορφή. Τα προγράµµατα διδασκαλίας χειρίζονται συχνά συναρτήσεις, σε µαθήµατα µαθηµατικών και άλλων µαθηµάτων περιλαµβάνοντας πολλές µορφές και αναδείξεις της έννοιας. Ωστός,ο το αφηρηµένο και το περιεκτικό νόηµα της συνάρτησης γίνεται δύσκολα κατανοητό και οι µαθητές έχουν δυσκολίες στο χειρισµό και την εφαρµογή. Το ξεδίπλωµα της έννοιας µέσα στην επιστηµολογική και ιστορική της διάσταση φωτίζει πολλές από τις δυσκολίες που αφορούν στην διδακτική της µεταφορά. Η εργασία αυτή έχει στόχο να συµβάλει σε µια µεγάλη συζήτηση που έχει ανοίξει εδώ και πολλά χρόνια στο πλαίσιο της ιδακτικής των Μαθηµατικών µε θέµα την συνάρτηση. 1. ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΚΗ ΙΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έννοια της συνάρτησης είναι κεντρική στην επιστήµη των Μαθηµατικών και τις εφαρµογές της και ανάγεται στην γενικότερη τάση του ανθρώπου να κάνει συσχετισµούς µεταξύ ποσοτήτων, η οποία θα µπορούσαµε να πούµε ότι είναι τόσο αρχαία όσο και τα ίδια τα Μαθηµατικά. Όµως, η πορεία που οδήγησε από τους απλούς συσχετισµούς στην σύγχρονη έννοια της συνάρτησης είναι περίπλοκη, µακρόχρονη και δραµατική. Η αντίληψη µιας πολύ γενικής αντιστοιχίας σε τιµές (π.χ. ηµεροµηνίας) και άλλων τιµών (γωνιακών θέσεων Πλανητών) φαίνεται ότι υπάρχει στον Πτολεµαίο 165 µ.χ. ή στους Βαβυλώνιους ακόµη παλιότερα (Katz, p147). Επίσης, από πολύ παλιά συσχετισµοί µεταξύ γωνίας και ύψους προαναγγέλλουν συναρτησιακές έννοιες, όπως εκείνης της εφαπτοµένης (Keisoglou & Spyrou, 2003). Κατά την περίοδο των αρχαίων Ελλήνων, κάνει την εµφάνισή της µια ιδιαίτερη διαχείριση των µαθηµατικών αντικειµένων η οποία θα υπερβεί κατά πολύ εκείνη των απλών υπολογισµών και θα δώσει ουσιαστικά προοπτική στην απόδειξη και την ακρίβεια που θα κάνουν τα Μαθηµατικά επιστήµη. Η ιδέα του λόγου, που έγινε βασικό διανοητικό εργαλείο της διαλεκτικής και της Γεωµετρίας είναι γνωστό ότι δεν παρέπεµπε άµεσα στην µέτρηση,

2 Szabo (1973), Mueler (1981) αλλά απετέλεσε ένα εργαλείο προς σύγκριση απαραίτητο στις αποδείξεις. Οπωσδήποτε, η σχέση διαµέτρου και περιφέρειας ή εµβαδόν κύκλου αποτελούν πρώιµες µορφές συναρτησιακού συσχετισµού (functionality), αλλά ένας τέτοιος συνθετικός ορισµός δεν στάθηκε σε εκείνη την εποχή αναγκαίος (Boyer, 1949). Η νεοτερικότητα, από τον Όρεσµο ως τον Γαλιλαίο (Boyer 1949, Katz 1993, Koyré (1994)), θα µετατοπιστεί σε ένα άλλο επίπεδο αφαίρεσης που θα προκύψει µε την µετατροπή του λόγου σε ratio, δηλαδή σε υπολογιστική σχέση µε αριθµητικό αποτέλεσµα, καθόσον η αναγέννηση βλέπει τις φυσικές οντότητες ως res extensa (µεγέθη εκτατά και µετρούµενα). Ο ορθολογισµός των αρχαίων θα µετατραπεί σε ρασιοναλισµό. Εξάλλου, η νεοτερικότητα διαθέτει ένα τέλειο αριθµητικό σύστηµα και σκέφτεται µε έννοιες ακόµη πιο αφηρηµένες, κάτι που θα έχει ως αποτέλεσµα να φτάσει στην Άλγεβρα, Klein (1992, 1998). Επίσης, ξεπερνώντας τα επιστηµολογικά εµπόδια των αρχαίων βάζει την διάσταση του χρόνου, ως οµογενές µέγεθος, στις µετρήσεις και αρχίζει να κάνει µαθηµατική κινητική Koyré (1994). Η µαθηµατική µελέτη της κίνησης αποτελεί καθαυτό επίτευγµα της Αναγέννησης και είναι εκείνη που θα οδηγήσει στις δυναµικές ιδέες του Απειροστικού Λογισµού, όπως της παραγώγου και του διαφορικού, οπότε και αναπόφευκτα θα προκύψει η ανάγκη νέων µαθηµατικών εργαλείων (Boyer 1949). Στα µαθηµατικά χειριζόµαστε σχέσεις εν γένει, όπως στην αναλυτική γεωµετρία έχουµε σχέσεις του τύπου του κύκλου, της έλλειψης ή στην άλγεβρα σχέσεις ισοδυναµίας ή διάταξης. Ωστόσο, η ανάγκη υπολογισµών και ιδιαίτερα στα πλαίσια της Ανάλυσης (Βασάκος, 1995) είναι εκείνη που οδήγησε στην ιδέα χειρισµού της ειδικής κατηγορίας των µονοσηµάντων σχέσεων, γεγονός που θα γίνει τελικά αποδεκτό στον τελικό ορισµό της συνάρτησης. ιάφορες επεξεργασίες, που θα διαρκέσουν τρεις και πλέον αιώνες µετά την Αναγέννηση και προσιδιάζουν στην ιδέα της συνάρτησης, θα κάνουν την εµφάνισή τους. Από τον ορισµό του Bernoulli 1718 ως η ποσότητα που συντίθεται µε οποιοδήποτε τρόπο από µια µεταβλητή και σταθερών περνάµε στον ορισµό του Euler 1747 Συνάρτηση µιας µεταβλητής ποσότητας είναι µια αναλυτική έκφραση που συνθέτει µε οποιοδήποτε τρόπο µια

3 µεταβλητή ποσότητα και αριθµούς ή σταθερές ποσότητες (Katz, 512). Θα πρέπει να παρατηρήσουµε εδώ την ιδέα της µεταβλητής που είναι εµφανής, όπου την εποχή του εκείνη, η µεταβλητή ή η σταθερά δεν είναι παρά εκτατά συνήθως γεωµετρικά µεγέθη κατά την µελέτη καµπύλων (τετµηµένες, τεταγµένες κ.λ.π.) (Euler, σελ. 2) στις οποίες αναφερόταν τα σύµβολα και φαινόταν ως συγκεκριµένες πραγµατικές οντότητες. Όµως αυτή η αντίληψη, η αναφορά των γραµµάτων σε αντικείµενα που θεωρούντο πραγµατικά, όπως παρατηρεί ο Βασάκος (1995) δεν πρέπει να άρεσε στον Euler και προσπάθησε το 1775 να διατυπώσει ένα ορισµό πιο αφηρηµένο Μια ποσότητα θα ονοµαζόταν συνάρτηση µόνο όταν εξαρτιόταν από µια άλλη ποσότητα µε έναν τέτοιο τρόπο ώστε, εάν η τελευταία ποσότητα αλλάζει η πρώτη ποσότητα να υφίσταται αλλαγή από µόνη της (Katz σελ. 515). (Στον Euler αναλυτική έκφραση σηµαίνει µαθηµατικός τύπος. Ο Euler ενώ αναγνώριζε ότι η έκφραση 2 x αποτελεί συνάρτηση αφού οριζόταν µε ένα τύπο δεν θεωρούσε το ίδιο και για την πολυκλαδική συνάρτηση της µορφής x x αν x 0 και x x αν x 0. Επίσης, του αποδίδεται και η χρήση του συµβόλου f από το function. εν πρέπει να µας διαφύγει ότι υπάρχει µια σύνδεση µε αυτό που λέµε λειτουργία ή διαδικασία και την οποία προσπαθούµε αποδώσουµε µε την ιδέα της συνάρτησης, Cassirer (1953)). Οι προκαντιανές αυτές επεξεργασίες αποτελούν επινοήσεις και προσεγγίσεις που κατασκευάζουν και εξελίσσουν οι µαθηµατικοί εργαζόµενοι µέσα στο ίδιο το µαθηµατικό φαινόµενο που αποκαλύπτεται µέσα σε µυριάδες νέες ιδέες, Απειροστικού, Άλγεβρας, τριγωνοµετρικών συναρτήσεων, µηχανικής, αστρονοµίας, ιαφορικής Γεωµετρίας. Αστερισµοί νέων ιδεών και νοητικών συγκροτηµάτων προκαλούν δέος για τον πλούτο των κοµψών συσχετισµών και των συµµετριών που αναδεικνύουν, αλλά αφήνουν ένα ανοικτό µυστήριο να εκτείνεται µεταξύ αυτού που ο Kant ονόµασε a priori συνθετικές κρίσεις και ενέταξε τα µαθηµατικά έναντι εκείνου που ονόµασε a priori αναλυτικές κρίσεις και ενέταξε την λογική, Αναπολιτάνος (1985). Με άλλα λόγια, θα µπορούσαµε να πούµε την διαδικασία του νου µεταξύ της καθαρής εποπτείας του µαθηµατικού µέχρι την ακριβή, λογική, αντικειµενική και ανεξάρτητη από την υποκειµενική εµπειρία αφηρηµένη και τυπική διατύπωση.

4 Ο 19 ος αιώνας είναι η εποχή που κυριαρχεί το αίτηµα θεµελίωσης για τα Μαθηµατικά Ρουσόπουλος (1985). Σε αυτό θα συµβάλλουν µεγάλοι µαθηµατικοί της εποχής, όπως οι Langrange, Legendre, Cauchy, Bolzano, Dedekind, Cantor, Weierstrass, Peano, Frege κ.ά. Ο Cauchy, που έδωσε τον µαθηµατικό ορισµό ορίου ακολουθίας, προσπαθεί να ξεπεράσει και τις διαισθητικές δεσµεύσεις της έννοιας της συνάρτησης µε µικρή όµως επιτυχία, Όταν µεταβλητές ποσότητες συνδέονται µεταξύ τους κατά τέτοιο τρόπο ώστε όταν δίνεται η τιµή µιας από αυτές, να µπορούµε να προσδιορίσουµε τις τιµές των άλλων, τότε συνήθως εννοούµε ότι αυτές οι µεταβλητές ποσότητες µπορούν να εκφρασθούν µέσω της µιας από αυτές, και η οποία τότε παίρνει την ονοµασία ανεξάρτητη µεταβλητή. Οι αποµένουσες ποσότητες που εκφράζονται µέσο της ανεξάρτητης µεταβλητής είναι εκείνες που µπορούµε να ονοµάσουµε συναρτήσεις αυτής της µεταβλητής. Πρέπει να σηµειωθεί ότι ο Cauchy έχει ακόµη υπόψη του τις αναλυτικές συναρτήσεις που είναι συνεχείς και διαφορίσιµες. Εκείνο που δεν είναι άµεσα εµφανές σε αυτές τις πρώτες προσεγγίσεις της συνάρτησης, αλλά θα πρέπει να διακριθεί ιδιαίτερα στην προηγούµενη περιγραφή, είναι µια άλλη επιστηµολογική διάσταση που κρύβει. Η συνάρτηση, στην µαθηµατική πρακτική, αποτελεί µια ειδική σχέση που προσφέρεται ιδιαίτερα στους υπολογισµούς. Στην ουσία πρόκειται για την εκτίµηση ενός µεγέθους y η οποία όµως ανάγεται στην εκτίµηση ενός άλλου µεγέθους x µέσο µιας σχέσης που τα συνδέει. Το y έρχεται να αποτελέσει τον στόχο που επιδιώκετε να γνωρίζουµε την τιµή του, σε ένα πλαίσιο διαχείρισης, την στιγµή που το x µας είναι το άµεσα προσπελάσιµο. Με αυτή την οπτική η συνάρτηση προσφέρεται ως διαµεσολαβητικό εργαλείο θα λέγαµε δηλαδή ότι την ιδέα της διαµεσολαβηµένης εκτίµησης ή ακόµη περιγραφής. Ο Fraenkel (1966) εκφράζει χαρακτηριστικά το συγκεκριµένο ζήτηµα ως εξής: Η συνάρτηση T = f (t) που χαρακτηρίζει το θερµογράφο είναι µονότιµη, για κάθε στιγµή t αντιστοιχεί µια κάποια θερµοκρασία. Αν, οποτεδήποτε, ρωτήσουµε σε ποια χρονική τιµή είχαµε µια συγκεκριµένη θερµοκρασία η απάντηση δίδεται από µια συνάρτηση - Η αντίστροφη της συνάρτησης T = f (t) - είναι εν γένει µη µονότιµη καθόσον διαφορετικές χρονικές στιγµές έχουν διαφορετική µπορεί να έχουν την αυτή θερµοκρασία. Η ιδέα του µονότιµου αλλά µη αναπόφευκτα αντιστρεπτού είναι χρήσιµη στην ανάλυση (Fraenkel, σελ. 23).

5 Κύριο αίτηµα σε αυτή την προ των συνόλων εποχή είναι η εξάλειψη της έννοιας της µεταβλητής και η αποφυγή της κάθε ειδικής αναφοράς. Προηγείται η µαθηµατική εµπειρία της έρευνας των φυσικών χορδών από τον Euler και αργότερα τον Daniel Bernoulli (Katz, σελ. 524) στις τριγωνοµετρικές σειρές και σε συναρτήσεις και η ανάπτυξη των δυναµοσειρών από τον Lagrange. Επίσης, η µελέτη διαφορικών µερικών εξισώσεων που να εκφράζουν την κίνηση των παλουµένων χορδών, έκανε την ιδέα της συνάρτησης κεντρική µέσα στην ανάλυση (Menheim, 1964, σελ 47). Ο Fourier είχε ως κύριο ενδιαφέρον την µαθηµατική φυσική και ιδιαίτερα την Αναλυτική Θεωρία της Θερµότητας. Τα συµπεράσµατα του είχαν συνέπειες και στους µουσικούς ήχους. Το κύριο συµπέρασµά του αναφέρεται στο ότι κάθε περιοδική συνάρτηση είναι άθροισµα απλών ηµιτονοειδών συναρτήσεων της µορφής Dsin 2 pft (Kline, σελ. 519). Αποτέλεσµα των ερευνών του Fourier ήταν οι αναζήτηση µιας γενίκευσης της έννοιας της συνάρτησης που θα επεκταθεί τελικά από τον Dirichlet (Menheim, σελ. 44). Εκτός των άλλων, συναρτήσεις εντελώς παράδοξες κάνουν την εµφάνισή τους ως εργαλεία των µαθηµατικών στην προσπάθειά να λύσουν όλα και πιο πολύπλοκα προβλήµατα, όπως εκείνη του Dirichlet,: Η τιµή της f (x) είναι ίση µε 1, αν ο x είναι ρητός και 0 αν ο x είναι άρρητος. Τελικά ο Dirichlet 1837 θα καταλήξει σε µια πιο γενική διατύπωση: Η µεταβλητή y είναι συνάρτηση της µεταβλητής x η οποία ορίζεται στο διάστηµα a <x <b, αν σε κάθε τιµή της µεταβλητής x από αυτό το διάστηµα αντιστοιχεί µια µόνη τιµή της µεταβλητής y, ανεξάρτητα από τη µορφή της αντιστοιχίας (Davis & Herch, σελ. 257, 1981). Κατά αρχή, στον ορισµό αυτό εµφανίζεται ξεκάθαρα το µονοσήµαντο της τιµής y. Ακόµη, αν και διατηρείται ο όρος µεταβλητή ενέχει πλέον θέσει νοητής επιλογής ενός στοιχείου του συνόλου των πραγµατικών αριθµών a <x <b και είναι πλέον ανεξάρτητη από την εµµονή σε µια εποπτική είτε χρονική διάσταση, (Frege, σελ. 1974, Ρουσόπουλος, σελ. 211). Ο Frege στο Was ist eine Funkion? δείχνει πόσο αµφίβολος είναι ο όρος της µεταβλητής, καθώς υπονοεί τον χρόνο, κάτι που δεν έχει να κάνει µε την Ανάλυση και επικαλείται τις λογικές ασάφειες που προκύπτουν στην έννοια της συνάρτησης ώστε ν αναζητήσει ένα

6 άλλο τρόπο διατύπωσης των µαθηµατικών δηλώσεων. Τις παρατηρήσεις του θα ακολουθήσει η δουλειά του που ονόµασε εννοιογραφία και αποτελεί την έναρξη της σχολής των Λογικιστών που θα συνεχίσει ο Russell, (Kneebone, 1962, Ρουσόπουλος 1995). Το παλιό αίτηµα του άχρονου (Bergson, 1954) πραγµατικού όντος, που δροµολόγησαν στην ιστορία του πνεύµατος ο Παρµενίδης και ο Πλάτων, επανέρχεται ως η λογική δέσµευση που εξασφαλίζει την αντικειµενικότητα του νοήµατος όπως απαιτήθηκε από τον Frege, τον Russell, τον Hilbert ή ακόµη τον Husserl, (Ρουσόπουλος 1991, Hilbert 1995, Husserl 1985). Το 1887 είναι µια εποχή όπου το ζήτηµα της λογικής θεµελίωσης είναι ακόµη πιο ώριµο. Η θεωρία των συνόλων έχει ήδη δώσει σηµαντικά εργαλεία για την αναζήτηση λογικής ενότητας της µαθηµατικής σκέψης, ενώ ο ίδιος ο Dedeking έχει ήδη θεµελιώσει την ιδέα του γεωµετρικού συνεχούς µε τις οµώνυµες τοµές του. Έτσι, θα εκφράσει και τον ορισµό της απεικόνισης αλλά µε εργαλεία που αγγίζουν πλέον τις σύγχρονες µαθηµατικές απαιτήσεις: Με την απεικόνιση ενός συστήµατος S ένας κανόνας γίνεται αντιληπτός όταν σύµφωνα µε αυτόν σε κάθε στοιχείο s του S αντιστοιχίζεται ένα µοναδικό αντικείµενο το οποίο ονοµάζεται εικόνα του s και συµβολίζεται φ(s). Θα λέµε επίσης ότι το φ(s) αντιστοιχεί στο στοιχείο s και ότι το φ(s) δηµιουργείται από την απεικόνιση φ µέσο του στοιχείου s. Αυτό το s µετασχηµατίζεται από την απεικόνιση φ σε φ(s). Θα ακολουθήσουν τα παραδείγµατα συναρτήσεων του είδους της καµπύλης του Peano (συνεχής συνάρτηση µε πεδίο τιµών το [0,1] υποσύνολο των πραγµατικών αριθµών που έχει ως τιµή ένα τετράγωνο) ή εκείνη του Weierstrass, (συνάρτηση παντού συνεχής αλλά πουθενά παραγωγίσιµη, (Menheim, σελ. 72, Boyer 1944) καθώς επίσης και ο εψιλοντικός ορισµός του τελευταίου της συνεχούς συνάρτησης διαµορφώνοντας το περιβάλλον της σύγχρονης επίγνωσης για το είδος των νοητών αντικείµενων τα οποία µιλούµε. Η συνάρτηση θα καταστεί έτσι το βασικό εργαλείο στο σύνολο των σύγχρονων µαθηµατικών.

7 Τέλος, ο σύγχρονος ορισµός της συνάρτησης διαµορφώνεται µετά τον Hausdorff (1914), ο οποίος δίνει τον ορισµό του διατεταγµένου ζεύγους. Αργότερα ο Kuratowski δίνει ένα πιο αυστηρό ορισµό του διατεταγµένου ζεύγους απαλλάσοντας τον από την οποια χρονική διάταξη του πρώτου στοιχείου από το δεύτερο [( a, b) { a,{ a, b}}]. Σηµερινός ορισµός που γράφεται στα βιβλία π.χ Stewart & Tall (1977), είναι της µορφής: Έστω δυο τυχαία σύνολα X και Y. Ονοµάζουµε συνάρτηση υποσύνολο f, του XxY τέτοιο ώστε (F 1 ) Αν x X υπάρχει y Y τέτοιο ώστε ( x, y) f. f : X Y είναι ένα (F 2 ) Το σηµείο y είναι µοναδικό: Με άλλα λόγια, αν x X και y, z Y είναι τέτοια ώστε αν ( x, y) f και ( x, z) f, έπεται ότι y = z. Ακόµη, έχει ενδιαφέρον να αναφέρουµε ένα παρόµοιο ορισµό που ωστόσο κινείται σε µια ακόµη πιο τυπική διατύπωση επιρρεασµένη από τις λογικές απόψεις και διατυπώσεις του Russell (Whitehead & Russell, 1962) ο Kuratowski (1961, 47), γράφει:. Έστω X και Y είναι δυο σύνολα. Με τον όρο συνάρτηση (function) οποίας οι µεταβλητές (arguments) διατρέχουν τα σύνολα X, πεδίο τιµών (domain), και τις οποίας οι τιµές (values) ανήκουν στο πεδίο τιµών καρτεσιανού γινοµένου XxY µε την ιδιότητα ότι για κάθε y τέτοιο ώστε Y (range) καταλαβαίνουµε ένα υποσύνολο f του x X υπάρχει ένα και µόνο ένα < x, y > f. Συνήθως γράφουµε y = f (x) αντί του < x, y > f. Κατά συνέπεια, µπορούµε να πούµε εν συντοµία τα εξής: Η συνάρτηση ως τυπική µαθηµατική έννοια αποτελεί µια νοητική κατασκευή που ολοκληρώθηκε σχετικώς πρόσφατα µέσα στη επιστήµη. Πρόκειται για µια σύνοψη και ενοποίηση πολλών εν πρώτοις διαφορετικών εµπειριών και νοητικών εργαλείων που µαθηµατικοί και επιστήµονες εν γένει χρησιµοποίησαν για να λύσουν προβλήµατα και να συγκροτήσουν θεωρίες. Η λιτότητα του σηµερινού συνολοθεωρητικού ορισµού, όπως τον ξέρουµε, δεν αποτελεί για τους µαθητές απλά ένα ξυράφι του Ochkam αλλά την έρηµη ψυχρή κορυφή

8 ενός παγόβουνου που κρύβει βαθιά την ιστορική πρακτική και εµπειρία που την διαµόρφωσε. 2. ΤΟ ΖΗΤΗΜΑ ΤΗΣ Ι ΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Εξαιτίας ακριβώς αυτής της ιστορικής συµπύκνωσης, που περιγράψαµε παραπάνω (Boyer 1944, Βασάκος 1995, Katz 1991) η έννοια της συνάρτησης είναι τόσο αφηρηµένη ώστε να παρουσιάζει πολλές δυσκολίες για την διδακτική της µεταφορά, (παρόλη την απλότητα και την σαφήνεια του ορισµού της για τα κριτήρια ενός µαθηµατικού). Στα διδακτικά εγχειρίδια παρεισφρύουν κατά συγκεχυµένο τρόπο οι διάφορες επιστηµολογικές προσεγγίσεις που οδήγησαν στο νόηµα της συνάρτησης, µέσα στην µακρόχρονη ιστορική της εξέλιξη. Η πολυπλοκότητα, αυτής της διδακτικής µεταφοράς, έχει απασχολήσει ιδιαίτερα τους ενασχολούµενους µε την διδακτική των σχολικών (και όχι µόνο) Μαθηµατικών και έχει συντελέσει στην εµφάνιση στη διεθνή βιβλιογραφία σε µια πολυδιάστατη µελέτη της έννοιας Freudenthal (1983), Dubinsky & Harel (1992), Sierpinska (1992), Kalchman & Case, (1998), Βασάκος (1995), Ασβεστά & Γαγάτσης (1995), Gagatsis & Christou (2000). Θα επιχειρήσουµε να περιγράψουµε κάποιους προβληµατισµούς και προτάσεις που µας φαίνονται να έχουν µεγαλύτερο ενδιαφέρον. Οι ερευνητές συνήθως αναζητούν τα επιστηµολογικά εµπόδια, όπως αυτά µπορούν να προβλεφθούν από την ιστορική µελέτη της έννοιας και επιπλέον προτείνουν µεθόδους διδασκαλίας που έχουν σα στόχο να ξεπεραστούν τα εµπόδια αυτά, Sierpinska (1992). Μια άλλη αντιµετώπιση είναι εκείνη του Freudenthal (1983) που ασχολείται κυρίως µε τις βιωµένες εµφανίσεις της έννοιας µέσω γλωσσικών µεταφορών, πρακτικών, φυσικών εµπειριών και εφαρµογών. Είναι προφανές ότι σε τέτοιους σχεδιασµούς για µια ενδεχόµενη διδακτική µεταφορά δεν πρέπει να αγνοηθεί το ότι µέσα στο πλαίσιο της γνωστικής ψυχολογίας και ιδιαίτερα από τον ίδιο Piaget, έχουν γίνει προσπάθειες για την αναγωγή σε σωµατικές κιναισθητικές εµπειρίες που προκύπτουν δια µέσου των δράσεων των υποκειµένων και θα µπορούσαν να αποτελέσουν το βιωµατικό υπόστρωµα, ώστε να γίνει κατανοητή µια τέτοια έννοια.

9 Στην περίπτωση της συνάρτησης, ο Piaget είχε διαθέσει µια εκτεταµένη έρευνα στο τέλος της καριέρας του (Piaget and al. (1968), Davidson 1988, 1992, Chapman M. & Lindenberger (1988) Kalchman & Case, 1998). Ο Piaget θεωρούσε ότι οι αρχικές καταβολές της έννοιας προηγούνται της λειτουργικής περιόδου των 7 ετών. Στις έρευνες του αναζητά τα πρωταρχικά βιώµατα που αντιστοιχούν σε συσχετισµούς του τύπου έναένα ή πολλά-ένα. Π.χ όσο δυνατότερα σπρώξω την µπάλα τόσο µακρύτερα θα πάει (Davidson 1988). Επίσης, εµπειρίες που έχουν την µορφή πολλά-ένα Davidson (1992), καθόσον ένα επιδιωκόµενο αποτέλεσµα, π.χ. η προσέγγιση ενός αντικειµένου, µπορεί να επιτευχθεί µε πολλούς τρόπους άσκησης µιας δράσης. Ενδείξεις των Watson and al (2002), στην µελέτη της κατανόησης των διανυσµάτων αναφέρουν τον όρο effect, µε τον οποίο οι µαθητές δηλώνουν την κατάληξη στο αυτό αποτέλεσµα από διαφορετικές εναλλακτικές δράσεις (βλέπε επίσης Chapman & Lindenberer, 1988). Τα παιδιά στο σχολείο έχουν νοητικές εµπειρίες του πολλά - ένα, δηλαδή του ίδιου effect από πολύ νωρίς, όταν π.χ. καταλαβαίνουν ότι πολλά διαφορετικά κλάσµατα µπορούν να καταλήξουν στο αυτό ανάγωγο κλάσµα, το οποίο τελικά προκύπτει, µετά τις απλοποιήσεις. Σε αυτό το πλαίσιο κινείται και ο Freudenthal (1983) ο οποίος επικρίνοντας τον Piaget (σελ. 540) για το περιορισµένο και ασαφές της πρότασής του µε βάση την γενετική ψυχολογία, προσεγγίζει την βιωµατικότητα µε την φαινοµενολογική µέθοδο που ενδεχοµένος είναι και πλέον αποδοτική. H φαινοµενολογική προσέγγιση έχει ένα ιδιαίτερο ενδιαφέρον σήµερα που είναι επίκαιρη η συζήτηση για τα ενσώµατα µαθηµατικά * (embodied mathematics) από τις αναφορές άλλωστε των προτεργατών, Núñez & al. (1999), Varela and al. (1992). Είναι γενικά παραδεκτό ότι η διδασκαλία των Μαθηµατικών στο σχολείο γίνεται σε µεγάλο βαθµό ξεκοµµένη από τις εµπειρίες των παιδιών µε αποτέλεσµα οι έννοιες να µην βρίσκουν κάποιο προηγούµενο εννοιολογικό υπόστρωµα για να στηριχθούν. Συχνά, οι καλούµενες εφαρµογές από την φυσική, την οικονοµία ή άλλες επιστήµες προϋποθέτουν µια άλλη επιστηµονική γνώση που κι εκείνη µε την σειρά της προϋποθέτει τα µαθηµατικά για να γίνει κατανοητή. Εκτός των άλλων, πραγµατιστικές αναφορές είναι και εξεζητηµένες, αφού όπως αναφέρει ο Γαγάτσης καµιά νοικοκυρά δεν στήνει κάποια

10 συνάρτηση για να ψωνίσει. Την ίδια στιγµή, αυτό που γίνεται πολύ λίγο είναι η αξιοποίηση των άµεσων βιωµατικών και αδιαµεσολάβητων εµπειριών που προέρχονται από την επαφή µας µε το φυσικό περιβάλλον, την αίσθηση της βαρύτητας, την πρόσληψη της συµµετρίας, της οµοιότητας ή της σταθερότητας των µορφών. Lappas & Spyrou (2003), Watson & al (2002), Núñez & al. (1999), Lakoff & Núñez (2000). Ο Freudenthal επιδιώκει µε την φαινοµενολογική του µέθοδο στην αξιοποίηση της εµπειρίας κατά την πορεία του χουσερλιανού αιτήµατος δηλ. την πορεία υποκειµενικής κατασκευής του αντικειµενικού νοήµατος. Σε αυτή την κατεύθυνση συνάδει και όλο το κατασκευαστικό ρεύµα το οποίο καλύπτουµε µε την οµπρέλα κονστρουκτιβισµός. Σε ότι αφορά στην συνάρτηση, ο Freudenthal συζητά αρχικά το φλέγον ζήτηµα της µεταβλητής περίπου ως εξής: Αρχικά µεταβλητή σήµαινε κάτι που πράγµατι αλλάζει, κάτι στον φυσικό, κοινωνικό, πνευµατικό αλλά επίσης µαθηµατικό κόσµο που τον αντιλαµβανόµαστε, φανταζόµαστε και υποθέτουµε ως µεταβαλλόµενο στον χρόνο. Επίσης, µεταβλητά µαθηµατικά αντικείµενα, δηλαδή εκφράσεις όπως, i) ο αριθµός ε προσεγγίζει (συγκλίνει προς) το 0 ii) το σηµείο P διατρέχει την επιφάνεια S iii) το στοιχείο x διατρέχει το σύνολο S iv) ο αριθµός e 1 προσεγγίζεται από την ακολουθία n 1 +, αν ο n πηγαίνει τείνει στο άπειρο, µαρτυρούν την κινητική άποψη της µεταβλητής. Είναι αλήθεια, παρατηρεί ο Freudenthal αναφερόµενος σε συζητήσεις για τις οποίες κάναµε λόγω νωρίτερα, ότι στην πορεία του πρώτου µισού 20ου αιώνα τέτοιες εκφράσεις είχαν τεθεί εκτός νόµου από τους νεολογικιστές. Πράγµατι µπορεί να γραφεί xn συγκλίνει στο 0 lim = 0 n x n n

11 και να ορισθεί µε όχι κινητικό τρόπο ως για κάθε ε > 0 υπάρχει ένα n 0 τέτοιο ώστε xn < ε για n > n0. Επίσης το iii) µπορεί να γραφτεί ως x S Κάνοντας αυτές τις επιστηµολογικές διακρίσεις ο Freudenthal, υπογραµίζει την επίγνωση που πρέπει να χαρακτηρίζει την διδασκαλία από το κινητικό µιας έννοιας στο στατικό. Ακόµη παραπέρα, επικαλείται τις βιωµένες έννοιες της ιδέας της εξάρτησης στον περιβάλλοντα κόσµο, κοινωνικό, φυσικό, πνευµατικό. Οι εξαρτήσεις µπορούν να γίνουν αντικειµενικές, (εδώ κάνει χρήση του χουσερλιανού νοήµατος του αντικειµενικού), δηλαδή να παρουσιαστούν ως νοητά αντικείµενα ( να θεµατοποιηθούν ως νοητά όντα). Μια τέτοια εξάρτηση µπορεί να είναι, ιανοητικά βιωµένη, προερχόµενη από χρήση, προϊόν της συνείδησης, βιωµένη ως αντικείµενο, ονοµατιζόµενη ως αντικείµενο. Π.χ. Σχέση διάταξης χρονική ή χωρική. Ένα σώµα πέφτει, η σχέση χρόνου και θέσης του σώµατος. υο ελαστικά σώµατα συγκρούονται. Η εξάρτηση µεταξύ ζευγών διανυσµάτικών µεγεθών των ταχυτήτων. Εξαρτήσεις από τον χρόνο, κίνηση, ανάπτυξη, σχάση, ροπή. Σχέσης µεταξύ αγγίγµατος ενός πλήκτρου στο πιάνο ή στην γραφοµηχανή. Μεταξύ στροφής ενός διακόπτη και ηλεκτρικού αποτελέσµατος. Οι συναρτήσεις, για τον Freudenthal µπορεί να δοθούν µε τύπο, µε γραφική παράσταση, πίνακα τιµών ή λεκτική. Η λεκτική διατύπωση είναι συχνά η µόνη δυνατή, όπως για παράδειγµα η συνάρτηση του Dirichlet που αναφέραµε προηγουµένως. Η Sierpinska (1992) προτείνει µε την σειρά της ένα καλό υπόδειγµα προσέγγισης, αφού προϋποθέτει ότι για την κατανόηση µιας έννοιας είναι αναγκαία µια προκατανόηση και ο σχηµατισµός προεννοιών. Πρότεινε παραπέρα διαβαθµίσεις κατανόησης, όπου στην συγκεκριµένη περίπτωση λειτουργούν τα τέσσερα νοητικά ενεργήµατα που θα ήταν απαραίτητα να οδηγήσουν στην αφηρηµένη ιδέα της συνάρτησης, ενοποιώντας τις διάσπαρτες δυνατές εµφανίσεις της στην διδασκαλία των µαθηµατικών. Αυτά είναι:

12 1) Αναγνώριση, (κάτι που ήταν µακρινό, ξαφνικά εµφανίζεται ως κυρίαρχο αντικείµενο της εικόνας, αναδεικνύεται θεµατοποιηµένο από τον νου). 2) ιάκριση, σε σχέση µε τα αντικείµενα µιας άλλης κατηγορίας. 3) Γενίκευση, που οδηγεί στην επίγνωση της δυνατότητας να το επεκτείνουµε σε ένα πλαίσιο εφαρµογών. 4) Σύνθεση ανάµεσα σε αποµονωµένα γεγονότα που αίφνης οργανώντονται σε συνεπείς ολότητες. Στη συνέχεια η Sierpinska αναζητά τα διάφορα εµπόδια που εµφανίζουν οι µαθητές στην διδασκαλία και τα συσχετίζει µε την ιστορική ή την διδακτική εξέλιξη της έννοιας προτείνοντας µια διδακτική πορεία που θα έχει επίγνωση αυτών των εµποδίων και θα υπογραµµίζει το ξεπέρασµά τους. Η τεχνική αυτή θυµίζει την πορεία προς την γενίκευση µέσω αντιπαραδειγµάτων που προτείνει ο Lakatos I. (1996). Η πορεία αυτή θα εµφανίσει στο τέλος το µαθηµατικό ορισµό της έννοιας αφού έχει διδάξει όλες τις επί µέρους δυνατές εµφανίσεις του µέσα στην εµπειρία των µαθητών. Οι µαθητές ενίοτε, παγιδεύονται σε µια σειρά εµπόδια που αποτελούν γενικεύσεις των αποσπασµατικών σχολικών εµπειριών ή µεταφορών γλωσσικών συνειρµών, που προσλαµβάνονται κατά κυριολεξία, όπως για παράδειγµα την αναζήτηση µιας χρονικής µεταβλητής πίσω από τους όρους της ανεξάρτητης ή της εξαρτηµένης µεταβλητής. Αυτό αποτέλεσε ένα ισχυρό επιστηµολογικό εµπόδιο, όπως είδαµε στις ιστορικές µας αναφορές, καθώς η µελέτη κίνησης στάθηκε αποφασιστικός παράγων στην ανάδειξη της έννοιας. Έτσι, συναντούµε γενικά διαισθητικά σχήµατα ως αποκρυσταλλώσεις παρεξηγήσεων που αποκτούν ανθεκτικότητα και επιβιώνουν της διδασκαλίας που δεν έχει επίγνωση των παρεκκλίσεων αυτού ή του άλλου είδους. Θα µπορούσαµε να πούµε, ότι η διδασκαλία δεν µπορεί και δεν πρέπει να είναι καθοδήγηση εν λεοφόρω αλλά περιγραφή διεξόδου εν µέσω γλιστερών ατραπών. Τα εκπαιδευτικά προγράµµατα ακολουθούν διάφορους δρόµους αποκαλύπτοντας στα παιδιά κοµµάτια ενός παζλ που συγκροτούν ένα αόριστο συνοθήλευµα αποσπασµατικών

13 πληροφοριών, τυφλών αποµνηµονεύσεων, διάσπαρτων συνιστωσών που ενδεχοµένως ενοποιούνται σε πανεπιστηµιακό επίπεδο σπουδών που έχουν να κάνουν µε τις θετικές επιστήµες. Τύποι, γραφήµατα, διαγράµµατα, προφορική περιγραφή σχέσεων, ένα αόριστο σχήµα συνειρµών, όπως παρατηρεί κι η Sierpinska (1992). Ας δούµε µερικά από αυτά τα εµπόδια που διακρίνει η Sierpinska. Το ασυνείδητο σχήµα σκέψης που αναφέρεται στις αλλαγές του κόσµου ως φαινόµενα και χωρίς να επικεντρώνεται στο πως τα πράγµατα αλλάζουν, παραγνωρίζοντας το τι αλλάζει, δηλαδή τις παραµέτρους της αλλαγής. Μια τέτοια στάση βλέπει κατά ποιοτικό τροπο τον κόσµο και δεν στέκεται στις ποσοτικές σχέσεις. Η σκέψη που κατά πρωταρχικό τρόπο αναπτύσσεται στην άλγεβρα και αφορά στον χωρισµό σε σταθερές και άγνωστες ποσότητες οδηγεί συχνά στην ιδέα της εξίσωσης και όχι στην συνάρτηση. Συµµετρία µεταξύ των x και y. Στην εξίσωση της έλλειψης ή του κύκλου έχουµε τις σχέσεις των x και y οι οποίες εµφανίζονται κατά ένα ισοδύναµο και συµετρικό τρόπο. ηλαδή, δεν έχουµε να κάνουµε µε ανεξάρτητη και εξαρτηµένη µεταβλητή και η σειρά τους είναι αδιάφορη. Ο χειρισµός συµβόλων στην άλγεβρα είναι συχνά αδιαφοροποιητος στο αν λύνω µια εξίσωση για x ή για y, ακόµη δε για σταθερές ή µεταβλητές. Σύγχυση µεταξύ συνάρτησης και σχέσης. Η διάκριση µεταξύ της χρήσης του αριθµού και της ποσότητας. Αυτό εν γένει ωφείλεται από µια περιοριµένη κατανόηση του συνόλου των πραγµατικών αριθµών. Η εντύπωση ότι οι συναρτήσεις πρέπει να δίδονται µε ένα αναλυτικό τύπο. Πρόβληµα µεταξύ των διαφορετικών αναπαραστάσεων µιας συνάρτησης, συµβολική, γραφική, µε πίνακα τιµών κλπ. Η χρονικότητα της µεταβλητής που αναφέραµε παραπάνω. Άλλα εµπόδια όπως η εύκολη εντύπωση της συνάρτησης ως 1-1 και δυσκολία της κατανόησης του πολλά ένα. Οι εργασίες που αναφέρονται στην συνάρτηση προτείνουν εναλλακτικές διδασκαλίες όπως η επιφύλαξη του Βασάκου για την αποτελεσµατικότητα του συνολοθεωρητικού

14 ορισµού στην µέση εκπαίδευση. Ωστόσο, εκείνο που πρέπει να επισηµάνουµε είναι ότι όλες αυτές οι απόψεις κατά βάθος έχουν υπόψη τους το παράδειγµα της οµάδας εκείνων των µαθητών, που από επιλογή τους έχει εξασφαλιστεί η εµπλοκή τους σε αυτό τον προβληµατισµό. Τι γίνεται όµως µε τον εν γένει µαθητικό πληθυσµό, αν τον προσεγγίσουµε µε στοιχεία από την κοινωνική ψυχολογία. Είναι γενικά αποδεκτό ότι η διδασκαλία µέσα στην σύγχυση των εκπαιδευτικών στόχων που την καθορίζουν, περιορίζεται να εφοδιάσει τους µαθητές νοητικά εργαλεία για τα οποία δεν είναι καθόλου προφανής η αναγκαιότητά τους, τόσο για διδάσκοντες όσο και διδασκόµενους. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα, ενότητες που δεν είναι απαραίτητες για την εισαγωγή στα ανώτερα εκπαιδευτικά ιδρύµατα, να υποτιµούνται και να µην συγκεντρώνουν την ανάλογη προσοχή. Είναι γνωστό επίσης, ότι µαθητές που στοχεύουν σε θεωρητικές σχολές ή οποίες δεν οδηγούν σε θετικές επιστήµες βλέπουν τα µαθηµατικά ως ένα δευτερεύον αντικείµενο. Έτσι, οι πανεπιστηµιακοί που διδάσκουν σε φοιτητές µη αυστηρά θετικών κατευθύνσεων έρχονται αντιµέτωποι µ ένα άλλο ιδιόρρυθµο καθήκον να αναπληρώσουν την έλλειψη αυτού του εκπαιδευτικού στόχου και να αναζητήσουν τρόπους συγκρότησης µιας µαθηµατικής παιδείας σε ένα υπόστρωµα εν µέρει αποτρεπτικό και συχνά σοβαρά ελλιπές. Το θέµα τη διδασκαλίας µαθηµατικών αντικειµένων σε φοιτητές του ΕΠΑ είναι ένα ανοικτό ζήτηµα και ίσως λίγο µελετηµένο. Αναπόφευκτα, έχει να κάνει µε το τι και το πώς πρέπει να διδάξουµε σε µια οµάδα φοιτητών, που η εκπαίδευσή τους είναι πολύµορφη και δεν εξαντλείται µέσα στο αντικείµενο των µαθηµατικών ή των εφαρµογών τους. Ο µελλοντικός δάσκαλος θα χρησιµοποιήσει ένα πολύ µικρό µέρος των πραγµατικών µαθηµατικών, αφού θα διδάξει σε τάξεις του δηµοτικού τις βασικές µαθηµατικές πράξεις και έννοιες. Η όποια πλέον αφηρηµένη περιοχή των µαθηµατικών φαντάζει στο φοιτητή ως πολυτέλεια και προκαλεί πολλά ερωτήµατα. Πολλοί από αυτούς τους φοιτητές έρχονται από τµήµατα θεωρητικoύ Λυκείου και έχουν µικρή πείρα κι ίσως ενδιαφέρον για µαθηµατικές έννοιες, όπως επίσης µειωµένη αυτοπεποίθηση για τις ικανότητές τους σε αυτά, που πρέπει να ενισχυθεί! Είναι βασικό να απαντηθούν ορισµένα ερωτήµατα που δυσκολεύουν την επικοινωνία και την διδασκαλία των καθηγητών που διδάσκουν µαθηµατικά σε τέτοια Τµήµατα. Η κάθε συζήτηση έχει υπόρρητες παραµέτρους που εξασφαλίζουν την επιτυχία της. Η έχει αδήλωτες προϋποθέσεις που αφορούν στην αναγκαιότητά της τους λόγους και τις αξίες που το προς διαπραγµάτευση µήνυµα καθίσταται έγκυρο. Ο φοιτητής πρέπει να ξέρει γιατί του διδάσκεται ή εν λόγω ύλη και πως θα του φανεί χρήσιµη στο επάγγελµά του. Η µέχρι τώρα πρακτική που συναντούµε στα πανεπιστήµια είναι ότι αυτό απαιτεί το πρόγραµµα και ο

15 καθηγητής γνωρίζει τι και πως θα το κάνει. ηλαδή, το ήδη υπάρχον διδακτικό συµβόλαιο δεν δίνει της απαντήσεις που χρειάζεται ο φοιτητής για να δικαιολογήσει την ανάγκη να επενδύσει πνευµατικά και να θεµατοποιήσει το αντικείµενο µάθησης και τις δυσκολίες του. Έτσι θα ήθελα να αναφέρουµε κάποιους λόγους, που αφηρηµένα µαθηµατικά αντικείµενα τα οποία µοιάζουν να είναι έξω από τα άµεσα αναγκαία, για τις επαγγελµατικές ανάγκες του δασκάλου, πρέπει να τα διδαχθεί. Το άλλο δε ερώτηµα που προκύπτει αµέσως µετά είναι το πώς θα διδαχθούν αυτά τα αντικείµενα. Θα προσπαθήσουµε να δώσουµε κάποιες απαντήσεις στο πρώτο. Ο δάσκαλος θα διδάξει τις πρώτες βασικές έννοιες που θα στηρίξουν όλη την µετέπειτα µαθηµατική παιδεία του νέου. Είναι γνωστό ότι τα µαθηµατικά που χρησιµοποιούν καθηµερινά όλοι οι ενήλικες, ακόµη και εκείνοι που έχουν ως αντικείµενο εργασίας τα µαθηµατικά είναι τα µαθηµατικά του δηµοτικού, κάνοντας υπολογισµούς που αφορούν τα προβλήµατα της ζωής. Οι ειδικοί σε κάποιο µαθηµατικό αντικείµενο, χειρίζονται ως επί το πλείστον µόνο µια περιορισµένη περιοχή, ενώ σε όλα τα άλλα ζητήµατα κάνουν και αυτοί χρήση των βασικών πράξεων και εννοιών. Το ίδιο µπορούµε να πούµε για όλους τους εκείνους που ασχολούνται µε επιστηµονικούς ή τεχνικούς κλάδους, χρησιµοποιώντας µαθηµατικά. Αυτό σηµαίνει ότι την ορθολογική και µαθηµατικοποιηµένη οργάνωση της κοινωνίας την προετοιµάζει η διδασκαλία των µαθηµατικών στο δηµοτικό. Ένα άλλο ζήτηµα που θα πρέπει να λάβουµε υπόψη είναι ότι αυτή η πρωταρχική εκµάθηση των µαθηµατικών έχει να κάνει µε ένα πλήθος επιστηµολογικών προϋποθέσεων, έτσι όπως το µελέτησε ο Piaget κι η σύγχρονη γνωστική επιστήµη. Σε αυτές τις ηλικίες, θα γίνουν οι πρώτες καταγραφές της µαθηµατικής σκέψης και αφαίρεσης, της µαθηµατικοποίησης των προβληµάτων του φυσικού και κοινωνικού περιβάλλοντος, της αναζήτησης των παραµέτρων που ποσοτικοποιούνται στα προβλήµατα της ζωής, στην κατανόηση των µορφών του κόσµου µέσα από την εκµάθηση των γεωµετρικών αποδόσεων τους και η εν γένει µοντελοποίηση. Ο δάσκαλος για να βοηθήσει αυτές τις διεργασίες πρέπει να είναι ενήµερος για το τι σηµαίνει µαθηµατική σκέψη της οποίας προετοιµάζει τις βάσεις. Πρέπει να διδάσκει δίνοντας προοπτική, κατά τις υποδείξεις του Vigotski, στα επόµενα στάδια υψηλότερων αφαιρέσεων. Οι γνώσεις τις αριθµητικής πρέπει να προετοιµάζουν εκείνες της άλγεβρας, κάτι που σηµαίνει ότι ο δάσκαλος πρέπει να έχει επίγνωση των διαδικασιών αυτής της µετάβασης. Για τον ίδιο στοχαστή, µια έννοια ή µια δοµή σκέψης γίνεται κατανοητή όταν κανείς την δει σε ένα υψηλότερο εννοιολογικό σύστηµα και συχνά καταφεύγει στην σύγκριση αριθµητικής και άλγεβρας. Έτσι είναι αυτονόητο, ότι για να διδάξει κάποιος πρέπει να γνωρίζει πολύ περισσότερα από τα αντικείµενα της διδασκαλίας του! Ας εντοπίσουµε τώρα το συγκεκριµένο ζήτηµα της διδασκαλίας της συνάρτησης, µιας έννοιας που βασική στην µαθηµατική επιστήµη και η οποία επισύρει ένα πλήθος παρεξηγήσεων και δυσκολιών ένεκα του ιδιαίτερα επεξεργασµένου και αφηρηµένου χαρακτήρα της.

16 Οι µαθηµατικοί έχουν συνηθίσει από την εκπαίδευσή τους σε ένα εντελώς παραγωγικό τρόπο σκέψης, που παράγει το ειδικό από το γενικό κι αυτό φαίνεται συχνά O Tall & al (2000), αναφέρει ότι η πανεπιστηµιακή εκπαίδευση προχωρά από τους ορισµούς στο αντικείµενα, τα αντικείµενα συγκροτούνται και συγκροτούνται µέσα στους ορισµούς, ενώ στην µέση εκπαίδευση το αντικείµενο εµφανίζεται πρώτα στην εποπτεία και µετά αποδίδεται µε ορισµούς. Με βάση τις παραπάνω διακρίσεις της Sierpinska, µια ενδεχόµενη διδασκαλία της συνάρτησης είναι εκείνη που θα ξεκινά από τις διάφορες δυνατές εµφανίσεις της έννοιας, π.χ. γραφική παράσταση, πίνακες τιµών, λεκτικές είτε συµβολικές µορφές. Θα την διακρίνει από άλλες που συνειρµικά ενδεχοµένως εµπλέκονται στο νου των µαθητών, π.χ σχέσεις που δεν είναι συναρτήσεις, όπως εξίσωση του κύκλου ή την σύγχυση που επικρατεί συχνά σε σχέση µε την έννοια της εξίσωσης, επειδή και εκείνη δίδεται µε τύπο. Στερεότυπες αποδόσεις της έννοιας, π.χ συνέχεια της συνάρτησης, µονοκλαδική. Επίσης, µια παραδοσιακή και από την ιστορία το ξεκαθάρισµα του νοήµατος της µεταβλητής ως χρονικής τοιαύτης. Θα πρέπει να προσθέσουµε κι άλλες στερεότυπες προσκολλήσεις των µαθητών που παρατηρήσαµε κατά την έρευνά µας, όπως οι 1-1 συνάρτηση ως το πλέον διαδεδοµένο παράδειγµα συνάρτησης κι ακόµη η αναµονή των συνεκτικών περιγραµµάτων στην περιγραφή µέσω βέννιων διαγραµµάτων. Τις παραπάνω φάσεις ακολούθησε ο ένας από τους δυο διδάσκοντες, δηλαδή περιέγραψε τις διαφορετικές αναπαραστάσεις συναρτήσεων που κάνουν την εµφάνισή τους στην προηγούµενη εκπαίδευσή τους µαθηµατικών φυσικής, οικονοµικών, ξεκαθάρισε τι από τα επιµέρους χαρακτηριστικά µπορεί να γενικευτεί κατά λανθασµένο τρόπο. ιέταξε τις περιπτώσεις από τις πιο απλές στις πλέον σύνθετες γραµµικές µη γραµµικές και στο τέλος έδωσε τον γενικό συνολοθεωρητικό ορισµό και έδειξε πως εξειδικεύεται στις γνωστές αναπαραστατικές µορφές, σε µια φάση σύνθεσης. Όπως γνωρίζουµε, ο ορισµός έχει προκύψει προσπαθώντας να συµπεριλάβει και να αποδώσει πολύ πιο πολύπλοκες µορφές όπως η συνάρτηση του Weierstrass ή του Dirichlet. Τέτοιες συναρτήσεις δεν θα προκύψουν στις ανάγκες του δασκάλου, κι ακόµη, οι κάποιες ιδιόρυθµες συναρτήσεις που µπορούν να συναντήσουν, αν τους προκύψει να χειριστούν στατιστικές µελέτες, δεν θα είναι ποτέ παθολογικές περιπτώσεις. Ωστόσο, η εκµάθηση ενός τόσο αφηρηµένου ορισµού, που ενοποιεί έστω και τις περιορισµένες περιπτώσεις της ενδεχόµενης εµπειρίας τους, αποτελεί µια σηµαντική

17 εξάσκηση στη λητότητα της µαθηµατικής αφαίρεσης και αποτελεί υπόδειγµα της ίδιας της λογικής των µαθηµατικών. Επίσης, η πορεία που προτείνει ο Freudenthal, που η εµπειρία του νοήµατος της µεταβλητής εµφανίζεται τόσο µε τον δυναµικό της χαρακτήρα όσο και τον στατικό και αχρονοποιηµένο, διδάσκει τον φοιτητή µια πολίτιµη επιστηµολογική διάσταση των µαθηµατικών, που θα του φανεί ιδιαίτερα χρήσιµη στις απορίες των µικρών µαθητών, όταν θα τους εγκαθιστά τα πρωτα λογικά νοήµατα διατήρησης. 3. ΑΝΤΙ ΕΠΙΛΟΓΟΥ Όπως φαίνεται, από την επιστηµολογική διάσταση της έννοιας της συνάρτησης, µε τον τρόπο που αυτή αποτυπώθηκε στην σύντοµη ιστορική παρουσίαση, πρόκειται για µια δύσκολη έννοια για την οποία απαιτήθηκαν πολλοί αιώνες συζήτησης, προτάσεων και υπερπήδησης πολύ διαφορετικών εµποδίων ώστε να συγκροτηθεί. Είναι φανερό ότι για πολλούς µαθηµατικούς προηγούµενων αιώνων η έννοια της συνάρτησης δεν εξέφραζε κατ ανάγκη το αυτό µαθηµατικό φαινόµενο. Από την άλλη πλευρά, εξίσου δύσκολη φαίνεται να είναι και η διδακτική µεταφορά της έννοιας, αφού η τελευταία εµπλέκει τρεις διαφορετικές διαστάσεις την επιστηµολογική διάσταση όπως αυτή εκφράστηκε στα µαθηµατικά κείµενα διάφορων µαθηµατικών µέσα στην ιστορία την επιστηµολογία των καθηγητών των µαθηµατικών και τέλος τη διδακτική διάσταση η οποία δεν αφορά µόνο τις γνώσεις των µαθητών, αλλά και τη λειτουργία του εν γένει διδακτικού συστήµατος και τους περιορισµούς τους οποίους βάζει, (δηλαδή αυτό που κατά τον Chevallard (1991) αποτελεί την νοόσφαιρα των µαθηµατικών.) Με βάση τις σύντοµες προηγούµενες παρατηρήσεις, φαίνεται εντελώς φυσικό οι µαθητές της δευτεροβάθµιας εκπαίδευσης οποιασδήποτε χώρας να έχουν προβλήµατα µε την έννοια αυτή. Αυτά τα προβλήµατα δε µπορεί παρά να αποτελούν αντικείµενο πολλών και ξεχωριστών ερευνών. Μια τέτοια ερευνητική πρόταση σε σχέση µε φοιτητές του Τµήµατος Επιστηµών της Αγωγής του Πανεπιστηµίου Κύπρου προτείνεται στο...

18 * Ο όρος ενσώµατα µαθηµατικά έχει προταθεί για µετάφραση του embodied mathematics από την Μαριάννα Κονδύλη, αναπληρώτρια καθηγήτρια του Πανεπιστηµίου Πατρών, γλωσσολόγο και τον Κώστα Γαβρά µαθηµατικό. Βιβλιογραφία Αναπολιτάνος. (1985), Εισαγωγή στην Φιλοσοφία των Μαθηµατικών, Αθήνα. Ασβεστά Α. & Γαγάτσης Α. (1995), Προβλήµατα ερµηνείας και η έννοια της συνάρτησης, Στο Α. Γαγάτση (Εκδ.), ιδακτική και Ιστορία των Μαθηµατικών (σσ. 19-38), Θεσσαλονίκη: Erasmus ICP-94-G-201/11. Βασάκος Θωµάς, Η έννοια της Συνάρτησης στους µαθητές του Λυκείου και Ενέργειες κατανόησης-εµπόδια που σχετίζονται µε τον ορισµό της συνάρτησης, Στο Α. Γαγάτσης (Εκδ.), ιδακτική των Μαθηµατικών: ΘΕΩΡΙΑ-ΕΡΕΥΝΑ. (σς. 239-258), Θεσσλονίκη: ART of TEXT. Bergson H. (1954), Creative Evolution, (translated by A. Mitchell), Macmillan, London, ελληνική µετάφραση, Η δηµιουργός εξέλιξις, εκδόσεις Αναγνωστίδη,. Boyer C. B. (1944), Historical Stages in the Definition of Curves, Mathematical Magazin, t. 19, pp.294-310. Boyer C. B. (1949), The History of the Calculus and its Conceptual Development, Dover, New York. Cassirer E. (1953), Substance and Function, Dover. Chapman M. & Lindenberger (1988), Functions, Operations, and Decalage in the Development of Transivity, Developmental Psychology, Vol. 24, No 4, pp 542-551. Chevallard Y. et Josua M. A.(1991), La transposition didactique, editions de la Penseé Sauvage. Davidson P.M. (1988), Piaget s Category-Theoretic Interpretation of Cognitive Development: A Neglected Contribution, Human Development, 31: pp. 225-224. Davidson P.M. (1992), Genevan Contribution Characterizing the Age 4 Transition, Human Development, 35: pp. 165-171. Davis P. J. & Hersh R. (1981), The Mathematical Experience, Birkhäuser, Boston, Ελληνική µετάφραση Αναστασιάδη, εκδόσεις Τροχαλία.

19 Dubinky E. & Harel G. (1992), The concept of function. Aspects of epistemology and pedagogy, Mathematical Association of America (MMA). Euler L. (1797), INTRODUCTION A L ANALYSE INFINITÉSIMALE, Ches BARROIS, PARIS. Fraenkel A. A. (1966), Abstract Set Theory, North Holland, Amsterdam. Frege G. (1974) Was ist eine Function? Hubert und Co, Göttingen. Freudenthal H. (1983), Didactical Phenomenology of Mathematical Structures, Reidel P. C. Dordrecht. Gagatsis A. & Christou C. (2000), Investigating Students Understanding of Multiplication and Division by Analysing their Textual Eigen Productions, Scienta Pedagogica Experimentalis XXXVII, 2, pp. 219-240. Hausdorff F. (1962), Set Theory, Chelsea, London. Hilbert D. (1995), Θεµέλια της Γεωµετρίας, Τροχαλία. E. Husserl (1982), Logical Investigations, Rootlege & Kegan Paul, London. Ελληνική µεταφραση Σκουτερόπουλου, εύτερη Λογική Έρευνα, εκδ. Γνώση Kalman M. & Case R. (1988), Scienta Paedagogica Experimentalis, XXXV, 1, 1998, 7-54. V.J. Katz (1993), A History of Mathematics, Harper Collins College Publishers, New York. Klein J. (1992), A Histoty of Greek Mathematics and the Origin of Algebra, Dover, New York. Klein J. (1981), The World of Physics and The Natural World, St. Johns Review, Vol. Autumn pp. 22-34. Ελληνική µετάφραση, Νεύση 7. (1988) σ. 41-74. Kline M. (1962), Mathematics A Cultural Approach, Addison Wesley, London. Keisoglou S. & Spyrou P. (2003), Processes of mathematization in a learning environment combining devices and computational tools, Rediconti Ricerca Mathematica, 13, p. 43-57. Koyré A, (1943), Galileo and Plato, Journal of History of Ideas, Vol. IV, no 4, p. 400-428, Ελληνική µετάφραση Κ. Κριµπά, (1994), Γαλιλαίος και Πλάτων, ΝΕΥΣΙΣ, Ι σελ. 51-83. Kuratowski K. (1961), Introduction to Set Theory and Topology, Pergamon Press. Lakatos I. (1976), Proofs and Refutations, Cambridge University Press, Ελληνική Μετάφραση (1996), Αποδείξεις και Ανασκευές, Τροχαλία, Αθήνα. Lakoff G. & Núñez E. R. (2000), Where Mathematics comes from, basic books, New York.

20 Lappas D. & Spyrou P. (2003), Embodied Cognition and the Origins of Geometry: A Model Approach of Embodied Mathematics Through Geometric Considerations, (submitted), appeared in front the mathematics, AMS. Menheim H. J. (1964), The Genesis of Point Set Topology, Pergamon Press, London. Mueller I. (1981), Philosophy of Mathematics and deductive structure in Euclid s Elements Cabridge, Massachussets London, MIT. Núñez R. E. & Edwards L. D. & Matos J. F. (1999), Embodied Cognition as Grounding for Situatedness and Context in Mathematics Education, Education Studies in Mathematics 39: 45-65. Piaget J. & Grize J.B. & Szeminska A. & Bang V. (1977), Epistemology and Psychology of Functions, Dordrect. Ρουσόπουλου Γ. (1991), Επιστηµολογία των Μαθηµατικών, Guttenberg. Stewart I. & Tall D (1977), The Foundations of Mathematics, Oxford U. P. London. Sierpinska A: (1992), On understanding the notion of function, in G. Harel and E. Dubinsky, MAA Notes, Vol. 25. Sfard A. (1992). Operational origins of mathematical objects and the quandary of reifications the case of function. In Guershon Harel & Ed Dubinsky (Eds), The concept of function: Aspects of epistemology and pedagogy (pp. 59-84) Washington, DC: MAA (MAA) Notes 25. Szabo A. (1973), Απαρχαί των Ελληνικών Μαθηµατικών, µετ. Φ. Βασιλείου, ΤΕΕ Αθήναι. Tall D. & Thomas M. & Davis G. & Gray E. & Simpson A. (2000), What is the Object of the Encapsulation of a process? Journal of Mathematical Behavior 18 (2), 223-241. Varela F. & Thompson E. & Rosch E. (1992), The Embodied Mind, MIT Press, London. Watson A. & Spyrou P. & Tall D. (2002), The relationship between physical embodiment mathematical symbolism: The concept of vector, Mediterranean Journal for Research in Mathematics Education, 2, pp. 73-97. Whitehead & Russell (1962), Principia Mathematica, Cambidge.