«Έννοια της διάταξης ΟΡΙΣΜΟΣ α > β α β > 0.»
|
|
- Ανδρομέδη Γιαννακόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1 Η σχέση της διάταξης στο IR ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Πρόλογος Η εργασία αυτή γράφτηκε µε αφορµή την κυκλικότητα που παρατηρείται στο σχολικό βιβλίο της Άλγεβρας της Α Λυκείου στην προσέγγιση της σχέσης της διάταξης στο IR και αποτελείται από δύο ενότητες. Στην πρώτη ενότητα ορίζεται η έννοια των θετικών πραγµατικών αριθµών και ορίζεται η σχέση της διάταξης στο IR. Στην δεύτερη ενότητα περιγράφεται η αξιωµατική θεµελίωση του διατεταγµένου σώµατος των πραγµατικών αριθµών και εξηγείται γιατί το σώµα των µιγαδικών αριθµών δεν είναι διατεταγµένο. Τέλος, στο παράρτηµα που παρατίθεται αποδεικνύεται ότι το αξίωµα της πληρότητας δεν ισχύει στο σύνολο των ρητών αριθµών. Εισαγωγή Στο σχολικό βιβλίο της άλγεβρας της Α Λυκείου η παράγραφος που αναφέρεται στην έννοια της διάταξης στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών αρχίζει ως εξής: «Έννοια της διάταξης Οι έννοιες «µεγαλύτερος από», «µικρότερος από», που είναι γνωστές από το Γυµνάσιο, ορίστηκαν ως εξής: ΟΡΙΣΜΟΣ Ένας αριθµός α λέµε ότι είναι µεγαλύτερος από έναν αριθµό β, και γράφουµε α > β, όταν η διαφορά α β είναι θετικός αριθµός. Στην περίπτωση αυτή λέµε επίσης ότι ο β είναι µικρότερος του α και γράφουµε β < α. Από τον παραπάνω ορισµό προκύπτει αµέσως ότι: Κάθε θετικός αριθµός είναι µεγαλύτερος από το µηδέν. Κάθε αρνητικός αριθµός είναι µικρότερος από το µηδέν. Έτσι ο αρχικός ορισµός γράφεται ισοδύναµα: α > β α β > 0.»
2 2 Σχολιάζοντας το παραπάνω κείµενο αναφέρω τα εξής: 1. Η έννοια της διάταξης στο γυµνάσιο, που επικαλούνται οι συγγραφείς του συγκεκριµένου βιβλίου, δίνεται διαισθητικά και εµπειρικά και όχι µε αυστηρό τρόπο όπως ταιριάζει στο λύκειο. 2. Οι µαθητές της Α Λυκείου γνωρίζουν ότι κάθε έννοια που χρησιµοποιείται για τον ορισµό µιας νέας έννοιας, αν δεν είναι πρωταρχική, πρέπει να έχει ορισθεί νωρίτερα. Όµως, στον παραπάνω ορισµό βλέπουν ότι για τον ορισµό της έννοιας του «µεγαλύτερου από», στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών χρησι- µοποιείται η έννοια των θετικών πραγµατικών αριθµών χωρίς όµως να έχει ο- ρισθεί νωρίτερα ή να αντιµετωπίζεται ως πρωταρχική! 3. Τι νόηµα έχει η φράση: «Από τον παραπάνω ορισµό προκύπτει αµέσως ότι κάθε θετικός αριθµός είναι µεγαλύτερος από το µηδέν», χωρίς να έχει ορισθεί η έννοια των θετικών πραγ- µατικών αριθµών; Αν µας ρωτήσει ένας µαθητής ποιος αριθµός λέγεται θετικός, τι θα απαντήσουµε; Αυτός που είναι µεγαλύτερος του µηδενός; Αυτό δεν δηµιουργεί κύκλο; ηλαδή για τον ορισµό της έννοιας του «µεγαλύτερου από» χρησιµοποιείται η έννοια των θετικών πραγµατικών αριθµών και για τον ορισµό της έννοιας των θετικών πραγµατικών αριθµών χρησιµοποιείται η έννοια του «µεγαλύτερου από»! 4. Τι σηµαίνει η φράση: «Έτσι ο αρχικός ορισµός γράφεται ισοδύναµα: α > β α β > 0» ; Ότι η ισοδυναµία: α > β α β > 0 µπορεί να αποτελέσει ορισµό της έννοιας του «µεγαλύτερου από» ; Αν είναι έτσι, τότε στο σηµείο αυτό είναι άµεσα ορατή η κυκλικότητα, δηλαδή ορίζουµε δια του οριζοµένου! Στις δύο ενότητες που ακολουθούν θα δούµε πώς αντιµετωπίζεται 1 το πρόβλη- µα αυτό και πώς ορίζεται η σχέση της διάταξης στο IR. Πιο συγκεκριµένα, στην πρώτη ενότητα ορίζεται η έννοια των θετικών πραγµατικών αριθµών, η οποία στη συνέχεια χρησιµοποιείται για τον ορισµό της έννοιας του «µεγαλύτερου από», ενώ στη δεύτερη δεχόµαστε αξιωµατικά την ύπαρξη των θετικών πραγµατικών αριθµών, οι οποίοι χρησιµοποιούνται στη συνέχεια για τον ορισµό της έννοιας του «µεγαλύτερου από». 1 Για την σύνταξη της εργασίας αυτής δεν χρησιµοποιήθηκε ιδιαίτερη βιβλιογραφία. Απλά µεταφέρθηκε το πνεύµα και η φιλοσοφία που συναντά κανείς σε βιβλία Μαθηµατικών που αναφέρονται στο συγκεκριµένο θέµα.
3 3 Η έννοια των θετικών πραγµατικών αριθµών και η σχέση της διάταξης στο IR Αρχικά θα ορίσουµε την έννοια των θετικών πραγµατικών αριθµών σε έξι βή- µατα ξεκινώντας από το σύνολο των φυσικών αριθµών και στη συνέχεια θα ορίσουµε την έννοια του «µεγαλύτερου από» στο σύνολο των πραγµατικών α- ριθµών. Βήµα 1 ο : (Ορισµός της έννοιας του «µεγαλύτερου από» στο σύνολο Ν των φυσικών αριθµών) ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένας φυσικός αριθµός α λέµε ότι είναι µεγαλύτερος από ένα φυσικό αριθµό β και γράφουµε α > β, όταν υπάρχει ένας φυσικός αριθµός τ 0 τέτοιος ώστε να ισχύει α = β + τ. Βήµα 2 ο : (Ορισµός της έννοιας των θετικών ακεραίων αριθµών) Στο σύνολο ΝxΝ ορίζουµε τη διµελή σχέση σ ως εξής: (κ, λ)σ(µ, ν) εάν κ + ν = λ + µ. Αποδεικνύεται ότι η σχέση σ είναι σχέση ισοδυναµίας στο σύνολο ΝxΝ, οπότε διαµερίζει το ΝxΝ σε κλάσεις ισοδυναµίας. Κάθε κλάση ισοδυναµίας ορίζει έναν ακέραιο αριθµό. Με αυτόν τον τρόπο µπορούµε να ορίσουµε αυστηρά το σύνολο Ζ των ακεραίων αριθµών. εν θα επεκταθούµε στον ορισµό των πράξεων στο σύνολο Ζ, οι οποίες ορίζονται µε ανάλογο τρόπο. Θα δώσουµε µόνο την έννοια του θετικών ακεραίων. Έχουµε λοιπόν τον επόµενο ορισµό: ΟΡΙΣΜΟΣ 2 Ένας ακέραιος αριθµός α λέµε ότι είναι µεγαλύτερος του µηδενός και γράφουµε α > 0, όταν ισχύει η σχέση κ > λ, όπου (κ, λ) είναι ένας αντιπρόσωπος της κλάσης του α. Κάθε ακέραιος αριθµός α > 0 λέγεται θετικός ακέραιος α- ριθµός. Αποδεικνύεται ότι η παραπάνω έννοια ορίζεται καλά, δηλαδή δεν εξαρτάται από τον αντιπρόσωπο που παίρνουµε για την κλάση του α. Επίσης, αξίζει να σηµειωθεί ότι η σχέση κ > λ ορίσθηκε στο προηγούµενο βήµα, αφού οι αριθµοί κ και λ είναι φυσικοί. Με το σύµβολο Ζ + θα παριστάνουµε στο εξής το σύνολο των θετικών ακεραίων. Βήµα 3 ο : (Ορισµός της έννοιας του «µεγαλύτερου από» στο σύνολο των ακεραίων αριθµών) Τώρα µπορούµε να ορίσουµε την έννοια του «µεγαλύτερου από» στο σύνολο των ακεραίων αριθµών. Έτσι έχουµε τον επόµενο ορισµό:
4 4 ΟΡΙΣΜΟΣ 3 Ένας ακέραιος αριθµός α λέµε ότι είναι µεγαλύτερος από έναν ακέραιο α- ριθµό β και γράφουµε α > β, όταν η διαφορά α β είναι θετικός ακέραιος α- ριθµός, δηλαδή όταν ισχύει η σχέση α β > 0. Σηµειώνεται ότι η σχέση α β > 0 ορίσθηκε στο προηγούµενο βήµα. Βήµα 4 ο : (Ορισµός της έννοιας των θετικών ρητών αριθµών) Στο σύνολο ΖxΖ + ορίζουµε τη διµελή σχέση σ ως εξής: (κ, λ)σ(µ, ν) εάν κν = λµ. Αποδεικνύεται ότι η σ είναι σχέση ισοδυναµίας στο σύνολο ΖxΖ +, οπότε δια- µερίζει το ΖxΖ + σε κλάσεις ισοδυναµίας. Κάθε κλάση ορίζει έναν ρητό αριθµό. Με αυτόν τον τρόπο µπορούµε να ορίσουµε αυστηρά το σύνολο Q των ρητών αριθµών. Και εδώ δεν θα επεκταθούµε στον ορισµό των πράξεων στο Q, οι οποίες ορίζονται µε ανάλογο τρόπο. Θα δώσουµε µόνο την έννοια του θετικών ρητών αριθµών. Έχουµε λοιπόν: ΟΡΙΣΜΟΣ 4 Ένας ρητός αριθµός α λέµε ότι είναι µεγαλύτερος του µηδενός και γράφουµε α > 0, όταν ισχύει η σχέση κ > 0, όπου κ είναι το πρώτο µέλος ενός αντιπροσώπου της κλάσης του α. Κάθε ρητός αριθµός α > 0 λέγεται θετικός ρητός α- ριθµός. Αποδεικνύεται ότι η παραπάνω έννοια ορίζεται καλά, δηλαδή δεν εξαρτάται από τον αντιπρόσωπο που παίρνουµε για την κλάση του α. Επίσης, αξίζει να σηµειωθεί ότι η σχέση κ > 0 ορίζεται στο 2 ο βήµα, αφού ο αριθµός κ είναι ακέραιος. Βήµα 5 ο : (Ορισµός της έννοιας του «µεγαλύτερου από» στο σύνολο των ρητών αριθµών) Θα ορίσουµε τώρα την έννοια του «µεγαλύτερου από» στο σύνολο των ρητών αριθµών. Έχουµε λοιπόν τον επόµενο ορισµό: ΟΡΙΣΜΟΣ 5 Ένας ρητός αριθµός α λέµε ότι είναι µεγαλύτερος από έναν ρητό αριθµό β και γράφουµε α > β, όταν η διαφορά α β είναι θετικός ρητός αριθµός, δηλαδή ισχύει η σχέση α β > 0. Σηµειώνεται ότι η σχέση α β > 0 ορίσθηκε στο προηγούµενο βήµα.
5 5 Βήµα 6 ο : (Ορισµός της έννοιας των θετικών πραγµατικών αριθµών) Θεωρούµε ότι το σύνολο των πραγµατικών αριθµών έχει θεµελιωθεί µε τη βοήθεια ακολουθιών Cauchy των οποίων οι όροι είναι ρητοί αριθµοί. ηλαδή κάθε πραγµατικός αριθµός ορίζεται ως µία κλάση τέτοιων ακολουθιών. Έτσι έχουµε τον παρακάτω ορισµό: ΟΡΙΣΜΟΣ 6 Έστω α ένας πραγµατικός αριθµός και ( a ν ) * ένας αντιπρόσωπος της ν IN κλάσης του α. Θα λέµε ότι ο α είναι µεγαλύτερος του µηδενός και θα γράφουµε α > 0, όταν υπάρχουν θετικός ρητός αριθµός ε (ε > 0) και φυσικός αριθµός ν o ώστε να ισχύει a ν > ε για κάθε ν> ν o. Ένας πραγµατικός αριθ- µός µεγαλύτερος του µηδενός λέγεται θετικός πραγµατικός αριθµός. Αποδεικνύεται ότι η παραπάνω έννοια ορίζεται καλά, δηλαδή δεν εξαρτάται από τον αντιπρόσωπο που παίρνουµε για την κλάση του α. Επίσης, σηµειώνεται ότι η σχέση a ν > ε ορίζεται στο προηγούµενο βήµα, αφού οι αριθµοί ε και a ν, ν = 1, 2, είναι ρητοί αριθµοί καθώς και ότι η σχέση ν > ν o ορίζεται στο πρώτο βήµα. Βήµα 7 ο : (Ορισµός της έννοιας του «µεγαλύτερου από» στο σύνολο των πραγ- µατικών αριθµών) Τώρα ορίζουµε την έννοια του «µεγαλύτερου από» στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών ως εξής: ΟΡΙΣΜΟΣ 7 Ένας πραγµατικός αριθµός α λέµε ότι είναι µεγαλύτερος από έναν πραγµατικό αριθµό β και γράφουµε α > β, όταν η διαφορά α β είναι θετικός πραγµατικός αριθµός, δηλαδή όταν ισχύει η σχέση α β > 0. Σηµειώνεται ότι η σχέση α β > 0 ορίσθηκε στο προηγούµενο βήµα. Τώρα µπορούµε να ορίσουµε τη σχέση της διάταξης στο IR, δηλαδή λέ- µε ότι ένας πραγµατικός αριθµός α είναι µεγαλύτερος από έναν πραγµατικό αριθµό β ή ίσος µε τον β (συµβολικά α β) εάν α > β ή α = β. Σηµείωση: Ακολουθήθηκε η παραπάνω διαδικασία για τον ορισµό της έννοιας του «µεγαλύτερου από», επειδή ταιριάζει στο πνεύµα του σχολικού βιβλίου, δηλαδή για τον ορισµό της έννοιας αυτής χρησιµοποιείται η έννοια των θετικών αριθµών, η οποία όµως εδώ ορίζεται σε αντίθεση µε το σχολικό βιβλίο. Μπορούµε να ορίσουµε την έννοια του «µεγαλύτερου από» και απ ευθείας, χωρίς δηλαδή τη χρήση της έννοιας των θετικών αριθµών. Έχουµε λοιπόν µε τη σειρά τους παρακάτω ορισµούς: ΟΡΙΣΜΟΣ Α Ένας φυσικός αριθµός α λέµε ότι είναι µεγαλύτερος από ένα φυσικό αριθµό β και γράφουµε α > β, όταν υπάρχει ένας φυσικός αριθµός τ 0 τέτοιος ώστε να ισχύει α = β + τ.
6 6 Για την θεµελίωση του συνόλου των ακεραίων χρησιµοποιούµε και εδώ τη δι- µελή σχέση σ στο σύνολο ΝxΝ όπως παραπάνω και έχουµε τον επόµενο ορισµό. ΟΡΙΣΜΟΣ Β Ένας ακέραιος αριθµός α λέµε ότι είναι µεγαλύτερος από έναν ακέραιο β και γράφουµε α > β, όταν ισχύει η σχέση κ + ν > λ + µ, όπου (κ, λ) είναι ένας αντιπρόσωπος της κλάσης του α και (µ, ν) ένας αντιπρόσωπος της κλάσης του β. Επίσης, για την θεµελίωση του συνόλου των ρητών αριθµών χρησιµοποιούµε και εδώ τη διµελή σχέση σ στο σύνολο ΖxΖ + όπως παραπάνω. Σύµφωνα µε τον ορισµό Β ένας ακέραιος αριθµός α λέγεται θετικός όταν ισχύει η σχέση κ + µ > λ + µ κ > λ (δείτε και ορισµό 2), όπου (κ, λ) είναι ένας αντιπρόσωπος της κλάσης του α και (µ, µ) ένας αντιπρόσωπος της κλάσης του µηδενός. ΟΡΙΣΜΟΣ Γ Ένας ρητός αριθµός α λέµε ότι είναι µεγαλύτερος από ένα ρητό β και γράφουµε α > β, όταν ισχύει η σχέση κν > λµ, όπου (κ, λ) είναι ένας αντιπρόσωπος της κλάσης του α και (µ, ν) ένας αντιπρόσωπος της κλάσης του β. Τέλος, ορίζουµε την έννοια του «µεγαλύτερου από» στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών όπου θεωρούµε και εδώ ότι έχει θεµελιωθεί µε την βοήθεια α- κολουθιών Cauchy ρητών αριθµών: ΟΡΙΣΜΟΣ Αν α και β είναι δύο πραγµατικοί αριθµοί και ( a ν ) *, ( ) * ν IN IN β αντιπρόσωποι των κλάσεων των α και β αντίστοιχα, θα λέµε ότι ο α είναι µεγαλύτερος του β και θα γράφουµε α > β, όταν υπάρχουν θετικός ρητός αριθµός ε (ε > 0) και φυσικός αριθµός ν o ώστε να ισχύει a ν β ν > ε για κάθε ν > ν o. ν ν
7 7 Αξιωµατική θεµελίωση του διατεταγµένου σώµατος των πραγµατικών αριθµών Συνήθως σε βιβλία Ανάλυσης δεν ακολουθείται η παραπάνω αναλυτική διαδικασία, αλλά προτιµάται ένας αξιωµατικός τρόπος θεµελίωσης του διατεταγµένου σώµατος των πραγµατικών αριθµών, όπως αυτός που παρουσιάζεται παρακάτω. εχόµαστε ότι στο IR ορίζονται δύο εσωτερικές πράξεις, η πρόσθεση (+) και ο πολλαπλασιασµός ( ), για τις οποίες ισχύουν τα παρακάτω αξιώµατα: Α. Αξιώµατα της πρόσθεσης 1. x + y = y + x, x, y IR 2. (x + y) + z = x + ( y + z), x, y, z IR 3. Υπάρχει µοναδικό ουδέτερο στοιχείο, το µηδέν (0), δηλαδή ισχύει: x + 0 = 0 + x = x, x IR 4. Για κάθε x IR υπάρχει µοναδικό αντίθετο στοιχείο x IR, για το οποίο ισχύει: x + x = x + x = 0. (Για το αντίθετο στοιχείο κάθε x IR χρησιµοποιείται ο συµβολισµός - x ). Β. Αξιώµατα του πολλαπλασιασµού 5. x y = y x, x, y IR 6. (x y) z = x ( y z), x, y, z IR 7. Υπάρχει µοναδικό ουδέτερο στοιχείο, το ένα (1), δηλαδή ισχύει: x 1= 1 x = x, x IR 8. Για κάθε πραγµατικό αριθµό x 0 υπάρχει µοναδικό αντίστροφο στοιχείο x IR, για το οποίο ισχύει: x x = x x = 1. (Για το αντίστροφο στοιχείο κάθε πραγµατικού x 0 χρησιµοποιείται ο συµβολισµός 1 x ). Γ. Αξίωµα που συνδέει τις δύο πράξεις 9. (x + y) z = x z + y z, x, y, z IR. Οι πράξεις της αφαίρεσης (-) και της διαίρεσης (:) στο IR ορίζονται ως εξής: x - y = x + (- y), x, y IR και x : y = x 1, x, y IR µε y 0. y. Αξιώµατα για τη διάταξη εχόµαστε ότι υπάρχει ένα υποσύνολο IR + του IR για το οποίο ισχύουν τα αξιώµατα:
8 8 10. Για κάθε x, y IR + ισχύει x + y IR + (το IR + είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση). 11. Για κάθε x, y IR + ισχύει x y IR + (το IR + είναι κλειστό ως προς τον πολλαπλασιασµό). 12. Για κάθε x IR ισχύει: ή x IR + ή -x IR + ή x = 0. Τους πραγµατικούς αριθµούς που ανήκουν στο IR + τους καλούµε θετικούς πραγµατικούς αριθµούς, ενώ τους πραγµατικούς αριθµούς που είναι διάφοροι του 0 και δεν ανήκουν στο IR + τους καλούµε αρνητικούς πραγµατικούς αριθ- µούς. Το σύνολο όλων των αρνητικών πραγµατικών αριθµών το συµβολίζουµε µε το σύµβολο IR. Παρατηρούµε ότι τα σύνολα IR +, {0} και IR αποτελούν µία διαµέριση του IR. Τώρα είµαστε σε θέση να ορίσουµε την έννοια του «µεγαλύτερου από» στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών. Έχουµε λοιπόν τον παρακάτω ορισµό: ΟΡΙΣΜΟΣ Λέµε ότι ένας πραγµατικός αριθµός α είναι µεγαλύτερος από έναν πραγµατικό αριθµό β και γράφουµε α > β, όταν η διαφορά α β ανήκει στο IR +, δηλαδή όταν η διαφορά α β είναι θετικός πραγµατικός αριθµός. Αποδεικνύεται εύκολα ότι ισχύουν οι ισοδυναµίες: (i) (ii) α > 0 α IR + (α θετικός) και α > β α β > 0, όπου α, β IR. Όλα τα παραπάνω αξιώµατα ισχύουν και στο σύνολο των ρητών αριθµών, το οποίο για αυτό είναι ένα διατεταγµένο σώµα, όχι όµως πλήρες όπως το σώµα των πραγµατικών αριθµών. Στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών για την διάταξη ισχύει επιπλέον το παρακάτω αξίωµα που είναι γνωστό ως αξίωµα πληρότητας, το οποίο όµως δεν ισχύει στο σύνολο των ρητών αριθµών (µπορείτε να δείτε στο παράρτηµα µία απόδειξη). Με το αξίωµα πληρότητας το σύνολο των πραγµατικών αριθµών καθίσταται ένα πλήρως διατεταγµένο σώµα. Α- ποδεικνύεται ότι κάθε πλήρως διατεταγµένο σώµα είναι ισόµορφο του IR. Πριν διατυπώσουµε το αξίωµα της πληρότητας του IR πρέπει να δώσουµε τον παρακάτω ορισµό: ΟΡΙΣΜΟΣ Ένα υποσύνολο Α του IR λέγεται άνω φραγµένο εάν υπάρχει πραγµατικός αριθµός φ τέτοιος ώστε για κάθε x Α να ισχύει x φ.
9 9 Ε. Αξίωµα πληρότητας 13. Κάθε άνω φραγµένο υποσύνολο του συνόλου IR των πραγµατικών αριθ- µών έχει ελάχιστο άνω φράγµα στο IR. Το ελάχιστο άνω φράγµα ενός άνω φραγµένου υποσυνόλου Α του IR το λέµε supremum του Α και γράφουµε supα. Στο σηµείο αυτό αξίζει να δούµε γιατί το σώµα C των µιγαδικών αριθµών δεν είναι διατεταγµένο. Προς τούτο πρέπει πρώτα να αποδείξουµε την παρακάτω πρόταση. Πρόταση: Αν Χ είναι ένα διατεταγµένο σώµα (ικανοποιούνται τα παραπάνω αξιώµατα 1-12), τότε: i) Για κάθε x Χ µε x 0 ισχύει x 2 = x x Χ + και ii) 1 Χ +. Απόδειξη (κανόνας των προ- i) Έστω x Χ µε x 0. Αν x Χ +, τότε από το αξίωµα 11 προκύπτει ότι x 2 Χ +. Αν x Χ +, τότε -x Χ + και (-x) 2 Χ +. Όµως (-x) 2 = x 2 σήµων). Άρα για κάθε x Χ µε x 0 ισχύει x 2 Χ +. ii) 1 ος τρόπος (µε τη βοήθεια του (i) ): Από την πρόταση που αποδείχθηκε στο (i) προκύπτει ότι 1 2 Χ +. Όµως 1 2 = 1 1 = 1. Άρα 1 Χ +. ii) 2 ος τρόπος (µε απαγωγή σε άτοπο): Αν 1 Χ + τότε -1 Χ + (αξίωµα 12). Έτσι λοιπόν για κάθε x Χ + θα ισχύει (-1) x Χ + (αξίωµα 11). Όµως (-1) x = -x (κανόνας των προσήµων). ηλαδή προκύπτει ότι και -x Χ + που είναι άτοπο. Άρα 1 Χ +. Έστω τώρα ότι το σώµα C των µιγαδικών αριθµών είναι διατεταγµένο. Σύµφωνα µε την παραπάνω πρόταση θα ισχύει i 2 C +. Όµως i 2 = -1 C +, αφού 1 C +. Παρατηρούµε ότι καταλήγουµε σε αντίφαση, που είναι άτοπο. Άρα το σώµα C των µιγαδικών αριθµών δεν είναι διατεταγµένο.
10 10 Επίλογος Κλείνοντας τίθεται το ερώτηµα µε ποιον από τους δύο τρόπους θα µπορούσε να διδαχθεί η σχέση της διάταξης στην Α Λυκείου. Επειδή ο σκοπός της διδασκαλίας της Άλγεβρας στο λύκειο δεν είναι η θεµελίωση του διατεταγµένου σώµατος των πραγµατικών αριθµών µε αυστηρό τρόπο, αλλά η καλλιέργεια της κριτικής, ορθολογικής, αναλυτικής, διαισθητικής και συνθετικής σκέψης των µαθητών θα µπορούσαµε να µείνουµε στην διαισθητική και εµπειρική προσέγγιση της σχέσης της διάταξης που έγινε στο γυµνάσιο και να αποφευχθεί έτσι ένας αυστηρός ορισµός, όπως άλλωστε γίνεται και µε τις πράξεις. Αν όµως πρέπει οπωσδήποτε να χρησιµοποιηθεί ένας τρόπος, ώστε να υπάρξει η διαφοροποίηση από το γυµνάσιο, νοµίζω πως ο τρόπος που ενδείκνυται είναι ο αξιωµατικός.
11 11 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Εδώ θα αποδείξουµε µε τη βοήθεια ενός αντιπαραδείγµατος ότι δεν ισχύει γενικά το αξίωµα της πληρότητας στο σύνολο των ρητών αριθµών. Έστω λοιπόν το σύνολο: 2 { / 0 ή 2} A= x Q x< x. Παρατηρούµε ότι το Α είναι άνω φραγµένο. Θα αποδείξουµε ότι δεν έχει ελάχιστο άνω φράγµα (supremum) στο σύνολο των ρητών αριθµών. Έστω ότι το παραπάνω σύνολο Α έχει supremum στο σύνολο των ρητών αριθ- µών και έστω supα = b όπου b Q. Για τον αριθµό b διακρίνουµε τις περιπτώσεις: b 2 = 2, b 2 > 2 και b 2 < 2. Εξετάζοντας κάθε περίπτωση χωριστά έχουµε: 1 η περίπτωση: Αν b 2 = 2, τότε είναι b = 2. Όµως, ο αριθµός 2, όπως αποδεικνύεται, δεν είναι ρητός. 2 η περίπτωση: Αν b 2 2 b 2 > 2, τότε θεωρώντας τον ρητό αριθµό ε = (προφανώς b 0), αποδεικνύεται εύκολα ότι ο ρητός αριθµός b ε είναι επίσης άνω 2b φράγµα του Α, που είναι άτοπο αφού b ε < b. 3 η περίπτωση: Αν b b < 2, τότε θεωρώντας τον ρητό αριθµό ε = (θα ι- 2b+ 1 σχύει 1 < b, γιατί 1 Α), αποδεικνύεται εύκολα ότι για τον ρητό b + ε ισχύει (b + ε) 2 < 2, δηλαδή b + ε Α, που είναι άτοπο, διότι b < b + ε και ο αριθ- µός b είναι άνω φράγµα του Α. Άρα το υποσύνολο Α του Q, ενώ είναι άνω φραγµένο, δεν έχει ελάχιστο άνω φράγµα στο σύνολο των ρητών αριθµών.
«Έννοια της διάταξης ΟΡΙΣΜΟΣ α > β α β > 0.»
1 Η σχέση της διάταξης στο IR ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Η εργασία αυτή αποτελείται από δύο µέρη. Στο πρώτο µέρος ορίζεται η έννοια των θετικών
Διαβάστε περισσότερα1 Οι πραγµατικοί αριθµοί
1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων
Διαβάστε περισσότεραΠώς είναι δυνατόν να είναι ισοδύναµες οι εξισώσεις που αναφέρονται στο ερώτηµα ii, αφού δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού 2 ;
1 Ισοδύναµες εξισώσεις και η έννοια του «κοντά» ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-thedrpuls.gr Εισαγωγή Στην εργασία αυτή αναλύονται και αναπτύσσονται οι έννοιες που
Διαβάστε περισσότερα1 Οι πραγµατικοί αριθµοί
1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς
Διαβάστε περισσότεραΛύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης είναι
Διαβάστε περισσότερα1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή
KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι
Διαβάστε περισσότεραιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012
ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΛύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι
Διαβάστε περισσότερα1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών
Διαβάστε περισσότερα1 Πολλαπλασιασµός ρητών αριθµών ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Πολλοί µαθητές της Α Γυµνασίου δυσκολεύονται να κατανοήσουν τους αλγορίθµους των
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα
Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις
Διαβάστε περισσότεραΣχολικός Σύµβουλος ΠΕ03
Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις
Διαβάστε περισσότερα1 Οι πραγµατικοί αριθµοί
Οι πραγµατικοί αριθµοί. Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {,, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3,,, 0,,, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς ανάλογα αν ένας
Διαβάστε περισσότεραΗ ασάφεια και τα Ασαφή Σύνολα ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η έννοια του ασαφούς συνόλου εισήχθη από τον Zadeh το 1965 και δηµιούργησε πραγµατική
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη
Κεφάλαιο 0 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Το κεφάλαιο αυτό έχει προπαρασκευαστικό χαρακτήρα Θα καθιερώσουµε συµβολισµούς και θα υπενθυµίσουµε ορισµούς και στοιχειώδεις προτάσεις για δακτύλιους και ιδεώδη
Διαβάστε περισσότερατων θετικών µαθηµάτων Ηµερήσιου και Εσπερινού Γυµνασίου για το σχ.
Παραγοντοποίηση του τριωνύµου αx + βx + γ (α ) ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ3 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Η παραγοντοποίηση ενός πολυωνύµου είναι µία από τις πιο βασικές
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.
Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές
Διαβάστε περισσότερα1 Οι πραγµατικοί αριθµοί
1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς
Διαβάστε περισσότεραΟι πραγµατικοί αριθµοί
Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος.
Πανεπιστηµιο Αιγαιου Τµηµα Μαθηµατικων 8 200 Καρλοβασι Σαµος Καρλόβασι 09/02/2012 Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος. 1. Απαντήστε µε α(αλήθεια)
Διαβάστε περισσότεραΤρία συνηθισµένα λάθη που κάνουν µαθητές της Γ Λυκείου σε ασκήσεις του ιαφορικού Λογισµού ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ3 e-mail@p-thedrpuls.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή επισηµαίνονται
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά
Διαβάστε περισσότεραΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ
ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.
Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότερα(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX
1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)
Διαβάστε περισσότεραΘεωρητικά Θέµατα. Ι. Θεωρία Οµάδων. x R y ή x R y ή x y(r) [x] R = { y X y R x } X. Μέρος Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις
202 Μέρος 4. Θεωρητικά Θέµατα Ι. Θεωρία Οµάδων 1. Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις 1.1. Σχέσεις ισοδυναµίας. Εστω X ένα µη-κενό σύνολο. Ορισµός 1.1. Μια σχέση ισοδυναµίας επί του X είναι ένα
Διαβάστε περισσότερατη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n
Διαβάστε περισσότεραΣυνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )
Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου 2016
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...
KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρα. Ενότητα: Πολυώνυµα πολλών µεταβλητών - ο αλγόριθµος της διαίρεσης. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Πολυώνυµα πολλών µεταβλητών - ο αλγόριθµος της διαίρεσης Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 202 Μέρος 4. Θεωρητικά
Διαβάστε περισσότεραΠολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και διάµεσος µιας τυχαίας µεταβλητής ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή αναλύονται
Διαβάστε περισσότεραΣχολικός Σύµβουλος ΠΕ03
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ω Ν ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ0 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηµατικών µε πολλά
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114
Διαβάστε περισσότεραΗ παιδαγωγική διάσταση των πολλών τρόπων επίλυσης ενός προβλήµατος ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Μία χαρακτηριστική ιδιότητα των Μαθηµατικών
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ι και Εφαρµογές
Ανάλυση Ι και Εφαρµογές Σηµειώσεις από τις παραδόσεις Α. Γιαννόπουλος Τµήµα Φυσικής Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 206 Περιεχόµενα Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών. Φυσικοί, ακέραιοι και ϱητοί αριθµοί.......................
Διαβάστε περισσότεραΔύο λόγια από τη συγγραφέα
Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114
Διαβάστε περισσότεραΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;
ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )
Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότερα( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}
7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]
Διαβάστε περισσότερα3 Αναδροµή και Επαγωγή
3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό
Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΣυνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.
4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Μέτρο Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές
Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε
Διαβάστε περισσότεραΣυνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.
4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai218/lai218html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου 218 Ασκηση 1
Διαβάστε περισσότερα1.1 Η Έννοια του Διανύσματος
ΙΝΥΣΜΤΙΚΟΟΙΣΜΟΣ 11 Η Έννοια του ιανύσματος ΜΘΗΣΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να κατανοήσει τις έννοιες : διάνυσµα, µηδενικό διάνυσµα, φορέας-διεύθυνση, κατεύθυνση - φορά, µέτρο διανύσµατος, ϖαραλληλία
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. ιατεταγµένοι χώροι. 1.1 Κώνοι και διάταξη
Κεφάλαιο 1 ιατεταγµένοι χώροι 1.1 Κώνοι και διάταξη Εστω E γραµµικός χώρος. Ενα κυρτό, µη κενό υποσύνολο P του E είναι κώνος αν λ P για κάθε λ R +. Αν επιπλέον ισχύει P ( P) = {0} το P είναι οξύς κώνος
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 17-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Την προηγούμενη φορά αναφέραμε (και αποδείξαμε στην περίπτωση n = 2) το θεώρημα που λέει ότι, αν n N, n 2, τότε για κάθε y 0 υπάρχει μοναδική μηαρνητική
Διαβάστε περισσότερα11 Το ολοκλήρωµα Riemann
Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017
Διαβάστε περισσότερα1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ
. A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ. Τα σύνολα των αριθµών Το σύνολο των φυσικών αριθµών. Το σύνολο των ακεραίων αριθµών. N {0,,, 3 } Z { 3,,, 0,,, 3 } Το σύνολο των ρητών αριθµών. Q
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).
Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από
Διαβάστε περισσότεραΚυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραR={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός }
o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Οι ρητοί και οι άρρητοι αριθμοί λέγονται πραγματικοί αριθμοί. Το σύνολο που περιέχει όλους τους πραγματικούς αριθμούς λέγεται σύνολο των πραγματικών αριθμών και συμβολίζεται με R.
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις στις σειρές
. ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΣύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού
Σύµφωνα µε την Υ.Α. 139606/Γ2/01-10-2013 Άλγεβρα Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΛ Ι. ιδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» (έκδοση 2013) Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.1
Διαβάστε περισσότεραΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών
54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai018/lai018html Παρασκευή 3 Νοεµβρίου 018 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΤο σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.
1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Παράγωγος
Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της
Διαβάστε περισσότερα4 Συνέχεια συνάρτησης
4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Θεωρία Ζήτησης
Κεφάλαιο 1 Θεωρία Ζήτησης Στο κεφάλαιο αυτό υποθέτουµε ότι καταναλωτής εισέρχεται στην αγορά µε πλούτο w > 0 και επιθυµεί να τον ανταλλάξει µε διάνυσµα αγαθών x που να µεγιστοποιεί τις προτιµήσεις του.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)
Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων
Διαβάστε περισσότεραsup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)
Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις στις συναρτήσεις
Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος
Διαβάστε περισσότεραΠροκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί
Κεφάλαιο 0 Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Στο παρόν εισαγωγικό Κεφάλαιο, υπενθυµίζουµε, κατά κύριο λόγο χωρίς αποδείξεις, ϐασικές γνώσεις από : τη στοιχειώδη ϑεωρία συνόλων και απεικονίσεων,
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραA. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ
Μάθηµα 1 Κεφάλαιο: Εισαγωγικό Θεµατικές Ενότητες: A. Το Λεξιλόγιο της Λογικής B. Σύνολα A. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Ορισµός Πρόταση λέµε κάθε φράση που µε βάση το νοηµατικό της περιεχόµενο µπορούµε να
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html Παρασκευή 29 Μαίου 2015 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: υϊκοί Χώροι και Χώροι Πηλίκα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: υϊκοί Χώροι και Χώροι Πηλίκα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 6 υϊκοι Χωροι και Χωροι Πηλικα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Τοπολογία
Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 2 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΣχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2
A. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούµε προτάσεις οι οποίες µπορούν να χαρακτηριστούν ως αληθείς (α) ή ψευδείς (ψ). Τις προτάσεις συµβολίζουµε µε τα τελευταία µικρά γράµµατα του Λατινικού αλφαβήτου:
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΓΜΑΤΙΚΗ Ι ΑΣΚΑΛΙΑ «ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ» 1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 : Γραµµική εξίσωση λέγεται κάθε
Διαβάστε περισσότεραΣχέσεις Ισοδυναµίας και Πράξεις
Κεφάλαιο 1 Σχέσεις Ισοδυναµίας και Πράξεις Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα αναπτύξουµε τα ϐασικά στοιχεία από τη ϑεωρία σχέσεων µερικής διάταξης, σχέσεων ισοδυναµίας και διαµερίσεων οι οποίες ορίζονται επί ενός
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα
Διαβάστε περισσότερα