Υποθέσεις και Θεωρήµατα Στο Λύκειο αλλά πολλές ϕορές και στο Πανεπιστήµιο τα µαθηµατικά µας παρουσιάζονται σαν έτοιµο προΐόν. Βλέπουµε συνήθως τη µια πλευρά των πραγµάτων, τη ϕωτεινή πλευρά όπου ϐρίσκονται τα ϑεωρήµατα που κάποιος έχει διατυπώσει και αποδείξει (συνήθως πριν από εκατοντάδες χρόνια). εν ϐλέπουµε συνήθως την άλλη πλευρά, τη σκοτεινή, που είναι τα ϑεωρήµατα που είτε κανένας δεν τα έχει σκεφτεί και διατυπώσει ακόµα, είτε έχουν µεν διατυπωθεί αλλά δεν έχουν αποδειχτεί ακόµα. Για να κατανοήσουµε καλύτερα όµως τα πράγµατα χρειά- Ϲεται όχι µόνο να µάθουµε κάποια ϑεωρήµατα, αποδείξεις και τεχνικές, αλλά να γνωρίζουµε τί ξέρουµε και τί δεν ξέρουµε. Αυτή η µεταγνώση µιας επιστη- µονικής περιοχής είναι καµιά ϕορά πιο σηµαντική από την ίδια τη γνώση. Η ενδιαφέρουσα περιοχή µε άλλα λόγια είναι το σύνορο των δυο πλευρών, εκεί που η σηµερινή έρευνα προσπαθεί να επεκτείνει τη ϕωτεινή περιοχή σε ϐάρος της σκοτεινής. Εκδοση 2005/03/22. Παρατήρηση - Υπόθεση - Απόδειξη Παρατηρώντας προσεκτικά τα δεδοµένα ενός προβλήµατος συνήθως καταλήγουµε να διατυπώσουµε µια ή περισσότερες υποθέσεις. Μια υπόθεση είναι µια υπόθεση λογική πρόταση που πιστεύουµε ότι είναι αληθής. Αν µια τέτοια πρόταση αποδειχτεί τότε λέγεται ϑεώρηµα, πρόταση, ή λήµµα. ϑεώρηµα Η διατύπωση σωστών υποθέσεων είναι συνήθως το πιο σηµαντικό ϐήµα για τη µελέτη ενός προβλήµατος. Μια καλή υπόθεση πρέπει να είναι καθαρά διατυπωµένη, να είναι απλή και λιτή και να έχει το κατάλληλο επίπεδο αφαίρεσης. Το παρακάτω διάγραµµα δείχνει µια τυπική διαδικασία που αρχίζει µε παρατηρήσεις και καταλήγει σε κατάλληλο ϑεώρηµα. πρόταση λήµµα Παρατηρήσεις, δεδοµένα Απόδειξη Λήµµα Θεώρηµα Απο τα δεδοµένα εξάγουµε συνήθως υποθέσεις τις οποίες προσπαθούµε να α- ποδείξουµε. Πολλές ϕορές αν αποτύχουµε τότε τροποποιούµε την υπόθεση και επαναλαµβάνουµε. Αλλά ακόµα και αν πετύχουµε να αποδείξουµε την υπόθεση, η ίδια η απόδειξη υποδεικνύει συχνά κατάλληλες γενικεύσεις ή εξειδικεύσεις της υπόθεσης.
. Υποθέσεις και Θεωρήµατα φ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ.. Ας πούµε ότι παίζουµε µε τα ακέραια πολλαπλάσια της χρυσής τοµής φ. Η χρυσή τοµή φ = + 5 2.68... είναι η µεγαλύτερη ϱίζα της εξίσωσης φ 2 = φ+ και έχει πολλές καταπληκτικές ιδιότητες. Σχετίζεται για παράδειγµα µε τους αριθµούς Fibonacci και µε την αναπαράσταση των αριθµών ως συνεχή κλάσµατα. φ = + + + + Εµφανίζεται συχνά σε ϐιολογικές διαδικασίες και ϕαίνεται να έχει σχέση µε την αισθητική αντίληψη µας λέγεται για παράδειγµα ότι κτήρια µε λόγο διαστάσεων ίσο µε φ έχουν αισθητική τελειότητα. Ας παρατηρήσουµε όµως τα πολλαπλάσια του φ και φ 2 : φ =.68... φ 2 = 2.68 2 φ = 3.236... 2 φ 2 = 5.236 3 φ = 4.854... 3 φ 2 = 7.854 4 φ = 6.472... 4 φ 2 = 0.472 5 φ = 8.090... 5 φ 2 = 3.090 6 φ = 9.708... 6 φ 2 = 5.708 Τι παρατηρείτε για το ακέραιο µέρος των αριθµών αυτών; Μια παρατήρηση είναι ότι εµφανίζονται οι αριθµοί (αριστερά), 2 (δεξιά), 3, 4 (αριστερά), 5 (δεξιά), 6 (αριστερά) κοκ. Μια ϕυσική υπόθεση εποµένως είναι η ακόλουθη. Για να κάνουµε την υπόθεση πιο σαφή ας χρησιµοποιήσουµε το συµβολισµό x για το ακέραιο µέρος ενός πραγµατικού αριθµού x. Πιο συγκεκριµένα x Z και x x < x +. Ανάλογα ορίζεται το πάνω ακέραιο µερος x ενος πραγµατικού αριθµού x: το x είναι ο ακέραιος που ικανοποιεί x < x x. Παραδείγµατα: 3.4 = 3, 3.4 = 4, 3 = 3, 3 = 3. Πριν προσπαθήσουµε να αποδείξουµε ότι η υπόθεση ισχύει ας προσπαθήσουµε να την ελέγξουµε πειραµατικά. Ας πάρουµε για παράδειγµα ενα µε- γάλο τυχαίο αριθµό n, ας πούµε n = 000. Είναι ο n το ακέραιο µέρος κάποιου πολλαπλασίου του φ; Με ποιο ακέραιο k πρέπει να πολλαπλασιάσουµε το φ ώστε το αποτέλεσµα να είναι λίγο µεγαλύτερο απο n; Προφανώς µε το k = n/φ = 000/.68 = 69. Αλλά για k = 69 έχουµε kφ = 00.563 = 00. Ο 000 λοιπόν δεν είναι ακέραιο µέρος κάποιου πολλαπλασίου του φ. Ας επαναλάβουµε τους υπολογισµούς για το φ 2. Βρίσκουµε k = n/φ 2 = 382 για το οποίο ισχύει kφ = 000.089 = 000. Η υπόθεση λοιπόν ισχύει για n = 000. Αν επαναλάβουµε την ιδία διαδικασία για πολλά n ϑα παρατηρήσουµε ότι η υπόθεση ισχύει για όλα. υπόθεση x x πειραµατικός ελεγχος Υπόθεση. Το ακέραιο µέρος των πολλαπλασίων του φ και φ 2 περιλαµβάνει όλους τους ϕυσικούς αριθµούς. 2
Παρατήρηση - Υπόθεση - Απόδειξη Ενας τέτοιος πειραµατικός έλεγχος µιας υπόθεσης, αν και δεν µας ϐεβαιώνει απόλυτα ότι η υπόθεση είναι αληθής, µας οπλίζει µε αρκετή εµπιστοσύνη στην ορθότητα της ώστε να προσπαθήσουµε να την αποδείξουµε. Εξάλλου σή- µερα έχουµε το κατάλληλο εργαλείο για αυτό, τον υπολογιστή. Ο πειραµατικός έλεγχος πρέπει να αποτελεί ένα ουσιαστικό συστατικό της αποδεικτικής διαδικασίας. Εκτός της εµπιστοσύνης, µας δίνει συνήθως και αρκετές πληροφορίες για να µας καθοδηγήσουν στην απόδειξη. Αλλά ο πειραµατικός έλεγχος µιας υπόθεσης µπορεί να µας οδηγήσει µερικές ϕορές σε λάθος συµπεράσµατα. Μόνο µια απόδειξη ϑα µας ϐεβαιώσει για την ορθότητα µιας υπόθεσης. Η ιστορία των µαθηµατικών είναι γεµάτη απο παραδείγµατα υποθέσεων που ϕαίνονταν αληθείς αλλά αποδείχτηκαν ψευδείς και µερικές ϕορές µε εντελώς αναπάντεχο τροπο. Ας προσπαθήσουµε λοιπόν να αποδείξουµε την υπόθεση. Απόδειξη της υπόθεσης. Ας ορίσουµε απόδειξη A = { kφ : k =,2,...} B = { kφ 2 : k =,2,...} Θέλουµε να δείξουµε ότι N = A B. Είναι δύσκολο να επιχειρηµατολογούµε µε απειροσύνολα για αυτό ας επικεντρωθούµε στα υποσύνολα που περιλαµβάνουν µόνο τους αριθµούς,2,...,n. A n = A {,2,...,n} = { kφ : kφ n και k =,2,...} B n = A {,2,...,n} = { kφ : kφ n και k =,2,...} Πόσα στοιχεία έχει το A n ; Οσα είναι οι ϕυσικοί k για τους οποίους ισχύει kφ n. Αλλά αυτή η σχέση είναι ισοδύναµη µε kφ < n + k < n + φ k n + φ. ηλαδή, ο αριθµός των στοιχείων του συνόλου A n είναι A n = n+ φ. Με τον ίδιο τρόπο ϐρίσκουµε B n = n+ φ 2. Ο αριθµός λοιπόν των στοιχείων και του A n και του B n είναι n + φ + n + φ 2. (.) Θα δείξουµε ότι αυτός ο αριθµός είναι ίσος µε n. Παρατηρούµε πρώτα ότι φ + = φ 2 (αυτό προκύπτει αν διαιρέσουµε όλους τους όρους της φ 2 = φ + µε φ 2 ). Εποµένως n + φ + n + φ 2 = n +. Αφού οι δυο αριθµοί n+ φ και n+ φ 2 είναι άρρητοι και έχουν άθροισµα n +, τα ακέραια µέρη τους έχουν άθροισµα n. (Για παράδειγµα 00/.68 = 68.652, 3
. Υποθέσεις και Θεωρήµατα 00/2.68 = 382.348, 68.652 + 382.348 = 00, 68.652 + 382.348 = 000.) είξαµε λοιπόν ότι A n + B n = n. Το n υπάρχει στο A n και στο B n αλλιώς ϑα είχαµε A n + B n = A n + B n. Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη της υπόθεσης. Αν παρατηρήσουµε προσεκτικά το τελευταίο µερος της παραπάνω απόδειξης ϑα παρατηρήσουµε ότι όχι µόνο αποδείξαµε ότι κάθε ϕυσικός αριθµός γράφεται σαν kφ ή σαν kφ 2 αλλά και ότι αυτό συµβαίνει µε µοναδικό τρόπο. Ο λόγος είναι το n υπάρχει στα A n και B n ακριβώς ( A n + B n ) ( A n + B n ) = n (n ) = ϕορά. Οταν ϐλέπουµε µια απόδειξη πρέπει να προσπαθούµε να καταλάβουµε ποιά είναι η κεντρική ή οι κεντρικές ιδέες. Για παράδειγµα, µια ϕυσική ερώτηση για την παραπάνω απόδειξη είναι Ποια ακριβώς ιδιότητα του φ χρησιµοποιήσαµε; Αν διαβάσουµε προσεκτικά την απόδειξη ϑα παρατηρήσουµε ότι χρησιµοποιήσαµε ακριβώς τις εξής δυο ιδιότητες: φ + φ 2 =. Ο φ και φ 2 είναι ϑετικοί άρρητοι. Την ιδιότητα αυτή χρησιµοποιήσαµε όταν ϐγάλαµε το συµπέρασµα ότι τα ακέραια µέρη των αριθµών n+ και n+ φ 2 φ έχουν άθροισµα n, επειδή οι δυο αυτοί αριθµοί έχουν άθροισµα n+. φ και n+ φ 2 ϑα Αν οι φ και φ 2 ήταν ϱητοί τότε για κάποια n οι αριθµοί n+ ήταν ακέραιοι και ϑα είχαν άθροισµα n + αντί για το επιθυµητό n. γενίκευση Εποµένως η ίδια απόδειξη ϑα ήταν σωστή για οποιουσδήποτε ϑετικούς άρρητους λ και µ που ικανοποιούν την εξίσωση λ + µ =. Ετσι µπορούµε να γενικεύσουµε την υπόθεση στο εξής ϑεώρηµα: Θεώρηµα. Για οποιουσδήποτε ϑετικούς άρρητους λ και µ που ικανοποιούν λ + µ =, κάθε ϕυσικός αριθµός γράφεται µε µοναδικό τρόπο σαν kλ ή kµ για ακέραια k. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ.2. Ας δούµε όµως ένα ακόµα παράδειγµα της διαδικασίας υπόθεση-απόδειξη-ϑεώρηµα-γενίκευση. Ας παρατηρήσουµε τις τιµές του πολυώνυµου n 2 n + 4 για n =,2,...: 4,43,47,53,6,.... Παρατηρούµε ότι όλοι αυτοί οι αριθµοί είναι πρώτοι. Εποµένως είναι ϕυσικό να κάνουµε την υπόθεση Υπόθεση 2. Για κάθε ϕυσικό αριθµό n, ο αριθµός n 2 n + 4 είναι πρώτος. οκιµάζοντας πολλές τιµές για το n διαπιστώνουµε ότι η υπόθεση δεν ισχύει. Ισχύει για n =,2,...,40, αλλά για n = 4 ϐλέπουµε ότι το 4 2 4+4 = 4 2 διαιρείται προφανώς απο το 4. 4
Εικασίες Οπως διαπιστώσαµε, το πολυώνυµο n 2 n+4 δεν καταφέρνει να παράγει όλους τους πρώτους αριθµούς και µόνο αυτούς. Υπάρχουν πολυώνυµα που έχουν αυτή την ιδιότητα; Αναπάντεχα, η απάντηση είναι καταφατική (αλλά το πολυώνυµο πρέπει να έχει πολλές µεταβλητές). Π.χ. υπάρχει πολυώνυµο µε 26 µεταβλητές που έχει αυτή την ιδιότητα και πιο συγκεκριµένα: το σύνολο των ϑετικών τιµών αυτού του πολυώνυµου είναι ακριβώς το σύνολο των πρώτων αριθµών..2 Εικασίες Μερικές ϕορές παρά τις προσπάθειες µας δεν καταφέρνουµε να αποδείξου- µε αλλά ούτε να διαψεύσουµε µια υπόθεση. Μια τέτοια υπόθεση αποκαλείται εικασία. Οι εικασίες είναι η κινητήρια δύναµη των µαθηµατικών και της επιστήµης γενικότερα. Προσπαθώντας να αποδείξουµε εικασίες αναγκαζόµαστε να ανακαλύψουµε νέες ϑεωρίες και τεχνικές. Μερικές διάσηµες εικασίες είναι οι ακόλουθες: Η τελευταίο ϑεώρηµα του Fermat. Η εικασία, που τώρα αποτελεί ϑεώρηµα, είναι ότι η εξίσωση x n + y n = z n δεν έχει λυση για µη µηδενικούς ακέραιους x, y, και z και για ακέραιο n > 2. Προτάθηκε απο τον Pierre Fermat τον 7ο αιώνα και αποδείχτηκε απο τον Andrew Wiles τη δεκατία του 990. Η εικασία του Goldbach. Το 742 ο Christian Goldbach διατύπωσε την ε- ξής υπόθεση: Καθε άρτιος αριθµός µεγαλύτερος του 2 µπορεί να γραφτεί σαν άθροισµα 2 πρώτων αριθµών. Π.χ. 4 = 2+2, 6 = 3+3, 8 = 3+5. Η εικασία δεν έχει αποδειχτεί ούτε καταρριφθεί ακόµα. Εχει όµως επιβεβαιωθεί µε τη ϐοήθεια υπολογιστή για όλους τους άρτιους µέχρι 0 4. Το Θεώρηµα των 4 χρωµάτων. Η εικασία, που και αυτή είναι τώρα πια ϑεώρηµα, είναι ότι κάθε επίπεδος χάρτης µπορεί να χρωµατιστεί µε 4 χρώµατα έτσι ώστε γειτονικές χώρες να έχουν διαφορετικά χρώµατα. Η υπόθεση αυτή προτάθηκε πριν απο 30 χρόνια περίπου και αποδείχτηκε τελικά το 976 απο τους Kenneth Appel και Wolfgang Haken. Η απόδειξη ϐασίζεται στον έλεγχο 936 περιπτώσεων και η κάθε περίπτωση απαιτεί τον έλεγχο πολλών λογικών συνδυασµών. Μονο µε τη ϐοήθεια υπολογιστή µπορούν να ελεγχθούν όλες οι περιπτώσεις. Παραµένει ανοικτό πρόβληµα αν υπάρχει σύντοµη απόδειξη, που δεν απαιτεί τεράστια υπολογιστική ικανότητα. Η εικασία του 3x +. Πάρε ένα ϕυσικό αριθµό x. Αν είναι άρτιος διαίρεσε τον µε το 2, αλλοιώς υπολόγισε το 3x +. Επανέλαβε µε το αποτέλεσµα µέχρι να προκύψει το. Για παράδειγµα: 7 22 34 7 52 26 3 40 20 0 5 6 8 4 2. Η εικασία λέει ότι αν αρχίσουµε από οποιοδήποτε ϕυσικό αριθµό x ϑα καταλήξουµε πάντα στο. Η εικασία προτάθηκε από διάφορους, γι αυτό και λέγεται επίσης το πρόβληµα του 5
. Υποθέσεις και Θεωρήµατα Collatz, το προβληµα του Ulam, ο αλγόριθµος του Hasse, κλπ. Η εικασία δεν έχει αποδειχτεί ούτε καταρριφθεί ακόµα. Εχει όµως επιβεβαιωθεί µε τη ϐοήθεια υπολογιστή για αρκετά µεγάλους αριθµούς. Η εικασία του Riemann. Η συνάρτηση ζ του Riemann ορίζεται ως εξής: ζ(x) = x + 2 x + 3 x +... Για x > το άθροισµα συγκλίνει. Η συνάρτηση µπορεί να επεκταθεί και στους µιγαδικούς αριθµούς. Η εικασία του Riemann λέει ότι οι µόνες ϱίζες µε ϑετικό πραγµατικό τµήµα της αναλυτικής επέκτασης της συνάρτησης ζ, δηλαδή οι τιµές του x που ικανοποιούν ζ(x) = 0 µε R(x) > 0, είναι µιγαδικοί αριθµοί µε πραγµατικό τµήµα ίσο µε /2. Η εικασία προτάθηκε απο τον Riemann πριν απο 30 χρόνια περίπου και δεν έχει ακόµα αποδειχτεί ούτε καταρριφθεί. Η εικασία του Riemann σχετίζεται άµεσα µε την πυκνότητα των πρώτων αριθµών. Πόσοι πρώτοι αριθµοί είναι µικρότεροι απο 000; Απο n; Ας ορίσουµε αυτόν τον αριθµό ως π(n). Πόσο µεγάλο είναι το π(n); Εχει αποδειχτεί ότι το π(n) είναι περίπου n/ln n. Αυτό είναι το περίφηµο Θεώρηµα των πρώτων αριθµών. Αλλά πόσο κοντά στο n/ln n είναι το π(n); Η εικασία του Riemann είναι ισοδύναµη µε την πρόταση ότι το π(n) και το n/ln n διαφέρουν κατά το πολύ c n lnn για κάποια σταθερά c. Η εικασία του Riemann είναι ένα εξαίρετο παράδειγµα για την ενότητα των µαθηµατικών γιατί συνδέει διάφορες περιοχές όπως η Θεωρία αριθµών και η Ανάλυση. Υπάρχουν για παράδειγµα εικασίες ισοδύναµες µε την εικασία του Riemann ακόµα και στην ϑεωρία σηµάτων (σταθερά de Bruijn Newman). Αποτελεί επίσης εξαίρετο παράδειγµα για το πως ϑέµατα εντελώς θεωρητικά µπορεί µε την ανάπτυξη της τεχνολογίας να γίνουν πρακτικά. Η εικασία αύτη για παράδειγµα έχει άµεση σχέση µε την κρυπτογραφία δηµόσιου κλειδιού. Η εικασία P NP. Η πιο σηµαντική εικασία στην πληροφορική και µια από τις σηµαντικότερες εικασίες γενικότερα σήµερα είναι η εικασία P NP. Η εικασία λέει ότι υπάρχουν προβλήµατα που λύνονται από µη ντετερµινιστικές µηχανές Turing σε πολυωνυµικό χρόνο αλλά απαιτούν περισσότερο απο πολυωνυµικό χρόνο σε ντετερµινιστικές µηχανές. Με πιο απλά λόγια, η εικασία λέει ότι υπάρχουν προβλήµατα για τα οποία είναι αρκετά πιο δύσκολο να ϐρούµε τη λυση τους από το να την επιβεβαιώσουµε. 6