Απι αξκνληθ ηαιάλησζε Βαζηθνί ηύπνη Σώκα κάδαο m εθηειεί απι αξκνληθ ηαιάληωζε κε πιάηνο Α θαη γωληαθ ζπρλόηεηα ω. Τε ρξνληθ ζηηγκ t ην ζώκα πεξλά από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ κε ηαρύηεηα ζεηηθ. Εμίζωζε ηεο απνκάθξπλζεο: x = Αεκωt Εμίζωζε ηεο ηαρύηεηαο: π ωαζπλωt π π ζπλωt Εμίζωζε ηεο επηηάρπλζεο: α ω Αεκωt α α εκωt Εμίζωζε ηεο ζπληζηακέλεο δύλακεο πνπ αζθείηαη ζην ζώκα (δύλακε επαλαθνξάο): F Dx F mω Αεκωt F F εκωt Σηαζεξά επαλαθνξάο: Πεξίνδνο ηεο ηαιάληωζεο: D mω π Ελέξγεηα ηεο ηαιάληωζεο: E D Η θηλεηηθ ελέξγεηα ηνπ ζώκαηνο: Κ m, Κ max m max Η δπλακηθ ελέξγεηα ηεο ηαιάληωζεο: U Dx, U max D Σηελ πεξίπηωζε όπνπ ε ηαιάληωζε έρεη αξρηθ θάζε νη εμηζώζεηο x f t, π f t, α f t F f t είλαη αληίζηνηρα: m D θαη max x Αεκωt, π Αζπλωt max max α ω Αεκωt, F mω Αεκωt 7
Βαζηθέο ιπκέλεο αζθζεηο θαη εθαξκνγέο πξνο ιύζε Δμηζώζεηο ζηελ απι αξκνληθ ηαιάλησζε. (Λπκέλν παξάδεηγκα) Σώκα κάδαο m kg εθηειεί απι αξκνληθ ηαιάληωζε κε πιάηνο Α, 5 m θαη πεξίνδν s. Τε ρξνληθ ζηηγκ t ην ζώκα πεξλά από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ κε ηαρύηεηα ζεηηθ. Να βξεζνύλ:. ε εμίζωζε ηεο απνκάθξπλζεο ηνπ ζώκαηνο από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν θαη λα γίλεη ε αληίζηνηρε γξαθηθ παξάζηαζε x f (t ),. ε εμίζωζε ηεο ηαρύηεηαο ηνπ ζώκαηνο ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν θαη λα γίλεη ε αληίζηνηρε γξαθηθ παξάζηαζε π f (t ), 3. ε εμίζωζε ηεο επηηάρπλζεο ηνπ ζώκαηνο ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν θαη λα γίλεη ε αληίζηνηρε γξαθηθ παξάζηαζε a f (t ), 4. ε εμίζωζε ηεο ζπληζηακέλεο ηωλ δπλάκεωλ πνπ αζθνύληαη ζην ζώκα ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν θαη λα γίλεη ε αληίζηνηρε γξαθηθ παξάζηαζε F f (t ). Λύζε. Η εμίζωζε ηεο απνκάθξπλζεο είλαη π x εκωt x εκ t Τ x, 5εκπt S.I.. Η εμίζωζε ηεο ηαρύηεηαο είλαη π ωαζπλωt π, 5πζπλπt S.I. Δίλαη x Τ ηηο t θ κε θ,,,... θαη x ηηο Τ t θ 4 κε θ,,,... Δίλαη π max Τ ηηο t θ κε θ,,,... θαη π ηηο Τ t θ 4 κε θ,,,... 8
3. Η εμίζωζε ηεο επηηάρπλζεο είλαη α ω Αεκωt α, 5π εκπt S.I. Η κέγηζηε ηηκ ηνπ κέηξνπ ηεο επηηάρπλζεο είλαη α max ω Α θαη επηηπγράλεηαη όηαλ ην ζώκα βξίζθεηαη ζε α- θξαία ζέζε ηεο ηαιάληωζεο. 4. Η εμίζωζε ηεο ζπληζηακέλεο δύλακεο πνπ αζθείηαη ζην ζώκα είλαη F mω Αεκωt F, 5π εκπt S.I. Η κέγηζηε ηηκ ηνπ κέηξνπ ηεο ζπληζηακέλεο δύλακεο πνπ αζθείηαη ζην ζώκα είλαη F max mω Α θαη επηηπγράλεηαη όηαλ ην ζώκα βξίζθεηαη ζε αθξαία ζέζε ηεο ηαιάληωζεο. Οη γξαθηθέο παξαζηάζεηο a f x θαη f x F θαίλνληαη ζηα παξαθάηω ζρκαηα. Δθαξκνγέο. Σώκα εθηειεί απι αξκνληθ ηαιάλησζε. Η εμίζσζε ηεο ηαρύηεηαο ηνπ ζώκαηνο ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν είλαη π, πζπλπt ( S.I.). Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επηηάρπλζεο ηνπ ζώκαηνο ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν. Οδεγία: Σπγθξίλεηε ηελ εμίζωζε π, πζπλπt S.I. κε ηελ εμίζωζε π ωαζπλωt. Απάληεζε: α, 4π εκπt S.I. 9
.3 Σώκα κάδαο m kg εθηειεί απι αξκνληθ ηαιάλησζε. Η γξαθηθ παξάζηαζε ηεο ζπληζηακέλεο δύλακεο πνπ αζθείηαη ζην ζώκα ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν θαίλεηαη ζην δηπιαλό ζρκα. Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο απνκάθξπλζεο ηνπ ζώκαηνο από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν. Οδεγία: Βξείηε από ην δηάγξακκα ηελ πεξίνδν θαη ηελ F max. Απάληεζε: x, εκπt S.I..4 Σώκα κάδαο m kg εθηειεί απι αξκνληθ ηαιάλησζε κε πεξίνδν T, π s. Τε ρξνληθ ζηηγκ t ην ζώκα πεξλά από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ κε ηαρύηεηα ζεηηθ. Τν κέηξν ηεο επηηάρπλζεο ηνπ ζώκαηνο είλαη 4m s ηηο ρξνληθέο ζηηγκέο ζηηο νπνίεο ε απόζηαζε ηνπ ζώκαηνο από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ είλαη ίζε κε ην ηνπ πιάηνπο ηεο ηαιάλησζεο. Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο ηαρύηεηαο ηνπ ζώκαηνο ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν. Οδεγία: Αμηνπνηζηε ηελ α ω x. Απάληεζε: π 4ζπλt S.I. Κηλεηηθ ελέξγεηα θαη δπλακηθ ελέξγεηα ηεο ηαιάλησζεο.5 (Λπκέλν παξάδεηγκα) Σώκα εθηειεί απι αξκνληθ ηαιάληωζε κε πεξίνδν s. Τε ρξνληθ ζηηγκ t ην ζώκα πεξλά από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ κε ηαρύηεηα ζεηηθ. Η ελέξγεηα ηεο ηαιάληωζεο είλαη Δ 4 J. Να βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ηεο θηλεηηθο ελέξγεηαο ηνπ ζώκαηνο θαη ηεο δπλακηθο ελέξγεηαο ηεο ηαιάληωζεο ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν θαη λα γίλνπλ νη αληίζηνηρεο γξαθηθέο παξαζηάζεηο Κ f (t ), U f (t ) ζην ίδην ζύζηεκα αμόλωλ. Λύζε Η θηλεηηθ ελέξγεηα ηνπ ζώκαηνο είλαη Κ m Κ mω Α ζπλ ωt K Δζπλ ωt
Κ ζπλωt Δ Δ Δ K ζπλωt K Δ Δ 4π ζπλ t K ζπλ4πt S.I. Η δπλακηθ ελέξγεηα ηεο ηαιάληωζεο είλαη Dx U U D εκ ωt U Δεκ ωt U ζπλωt Δ Δ Δ U ζπλ4πt U ζπλ4πt S.I. Η πεξίνδνο ηεο δπλακηθο ελέξγεηαο: ω U ω U U Η πεξίνδνο ηεο θηλεηηθο ελέξγεηαο: K K. Σώκα κάδαο m, kg Δθαξκνγέο εθηειεί απι αξκνληθ ηαιάλησζε. Η εμίζσζε ηεο θηλεηηθο ελέξγεηαο ηνπ ζώκαηνο ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν είλαη K, 5, 5ζπλt S.I.. Να βξεζεί ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο. Οδεγία: Σπγθξίλεηε ηελ Δ Δ K, 5, 5ζπλt κε ηελ K ζπλωt (κε απόδεημε). Απάληεζε: m
.7 Σώκα εθηειεί απι αξκνληθ ηαιάλησζε κε πεξίνδν s. Τε ρξνληθ ζηηγκ t ην ζώκα πεξλά από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ κε ηαρύηεηα ζεηηθ. Να βξεζεί ν ιόγνο K U, όπνπ K ε θηλεηηθ ελέξγεηα ηνπ ζώκαηνο θαη U ε δπλακηθ ελέξγεηα ηεο ηαιάλησζο ηνπ, ηε ρξνληθ ζηηγκ t, 5 s. Οδεγία: Αμηνπνηζηε ηηο K Δζπλ ωt θαη U Δεκ ωt (κε απόδεημε). K Απάληεζε: U Θέζεηο ζηηο νπνίεο ε θηλεηηθ ελέξγεηα ηνπ ζώκαηνο θαη ε δπλακηθ ελέξγεηα ηεο ηαιάλησζεο είλαη ίζεο.8 (Λπκέλν παξάδεηγκα) Σώκα εθηειεί απι αξκνληθ ηαιάληωζε κε πιάηνο, m. Να βξεζνύλ νη ζέζεηο ζηηο νπνίεο ε θηλεηηθ ελέξγεηα ηνπ ζώκαηνο θαη ε δπλακηθ ελέξγεηα ηεο ηαιάληωζεο είλαη ίζεο K U. Λύζε Γηα λα βξνύκε απηέο ηηο ζέζεηο, εθαξκόδνπκε ηε δηαηξεζε ηεο ελέξγεηαο ηεο ηαιάληωζεο θαη έρνπκε: Κ + U = Δ U Dx D x x x, m Δθαξκνγέο.9 Σώκα εθηειεί απι αξκνληθ ηαιάλησζε κε πιάηνο, 4 m. Να βξεζνύλ νη ζέζεηο ζηηο νπνίεο ε θηλεηηθ ελέξγεηα ηνπ ζώκαηνο θαη ε δπλακηθ ελέξγεηα ηεο ηαιάλησζεο ζπλδένληαη κε ηε ζρέζε K 3U. Οδεγία: Αμηνπνηζηε ηε δηαηξεζε ηεο ελέξγεηαο ηεο ηαιάληωζεο. Απάληεζε: x, m
. Σώκα εθηειεί απι αξκνληθ ηαιάλησζε κε πιάηνο, 8 m, 4 m, ε δπλα- απόζηαζε ηνπ ζώκαηνο από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ είλαη κηθ ελέξγεηα ηεο ηαιάλησζεο είλαη J. Να βξεζεί ε ελέξγεηα ηεο ηαιάλησζεο.. Όηαλ ε Οδεγία: Βξείηε ηε ζρέζε ηωλ E θαη U γηα ηηο ζπγθεθξηκέλεο ζέζεηο. Απάληεζε: E J Δύξεζε ηεο ηαρύηεηαο ηνπ ζώκαηνο όηαλ γλσξίδνπκε ηελ απνκάθξπλζε. (Λπκέλν παξάδεηγκα) Σώκα εθηειεί απι αξκνληθ ηαιάληωζε κε πιάηνο Α, 5 m θαη πεξίνδν, s. Να βξεζεί ε ηαρύηεηα ηνπ ζώκαηνο όηαλ ε απνκάθξπλζ ηνπ από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ είλαη x, 5 m. Λύζε Από ηε δηαηξεζε ηεο ελέξγεηαο ηεο ηαιάληωζεο έρνπκε: K U mπ mω x x mω x β ηξόπνο x x ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) Όκωο ( t ) ( t ) x π x άξα Α ω Α x x Η γωληαθ ζπρλόηεηα ηεο ηαιάληωζεο είλαη Επνκέλωο x π Τ rad s 4, 5π 3 m s 3
. Σώκα κάδαο m, kg Δθαξκνγέο εθηειεί απι αξκνληθ ηαιάλησζε κε πιάηνο, 5 m θαη ζπρλόηεηα f π Hz. Να βξεζεί ην κέηξν ηεο νξκο ηνπ ζώκαηνο όηαλ ε απόζηαζ ηνπ από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ είλαη. (κε απόδεη- Οδεγία: Βξείηε ηελ ηαρύηεηα ηνπ ζώκαηνο από ηελ εμίζωζε με). Απάληεζε: x p, 5 3 kg m s.3 Σώκα εθηειεί απι αξκνληθ ηαιάλησζε. Καηά ηελ θίλεζ ηνπ από ηε ζέζε Γ ζηε ζέζε Γ ε δπλακηθ ελέξγεηα ηεο ηαιάλησζο ηνπ απμάλεηαη θαηά J. Να βξεζεί ην έξγν ηεο ζπληζηακέλεο ησλ δπλάκεσλ ζηελ ίδηα δηαδξνκ. Οδεγία: Δθαξκόζηε ην ζεώξεκα έξγνπ - ελέξγεηαο. Απάληεζε: W F Σ J Δύξεζε ηνπ πιάηνπο ηεο ηαιάλησζεο όηαλ ην ζώκα έρεη αξρηθ ηαρύηεηα θαη ην ειαηξην είλαη νξηδόληην.4 (Λπκέλν παξάδεηγκα) Σώκα κάδαο m kg είλαη ζηεξεωκέλν ζην ε- ιεύζεξν άθξν νξηδόληηνπ ειαηεξίνπ ζηαζεξάο k N m, ην άιιν άθξν ηνπ νπνίνπ είλαη ζηεξεωκέλν ζε αθιόλεην ζεκείν, όπωο θαίλεηαη ζην ζρκα. Απνκαθξύλνπκε ην ζώκα από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ θαηά x, m θαη δίλνληάο ηνπ αξρηθ ηαρύηεηα κέηξνπ 3 m s ζηε δηεύζπλζε ηνπ άμνλα ηνπ ειαηεξίνπ ην αθλνπκε ειεύζεξν λα εθηειέζεη απι αξκνληθ ηαιάληωζε πάλω ζην ιείν νξηδόληην επίπεδν. Να βξεζεί ην πιάηνο ηεο ηαιάληωζεο. Λύζε Από ηε δηαηξεζε ηεο ελέξγεηαο ηεο ηαιάληωζεο έρνπκε: 4
K Γ U E Γ m k x k m k x, m k Δθαξκνγ.5 Έλα ζώκα είλαη ζηεξεσκέλν ζην ειεύζεξν άθξν νξηδόληηνπ ειαηεξίνπ, ην άιιν άθξν ηνπ νπνίνπ είλαη ζηεξεσκέλν ζε αθιόλεην ζεκείν, όπσο θαίλεηαη ζην ζρκα. Αξρηθά ην ζώκα ηζνξξνπεί πάλσ ζην ιείν νξηδόληην επίπεδν. Απνκαθξύλνπκε ην ζώκα από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ ζπζπεηξώλνληαο ην ειαηξην θαηά x, 3 m θαη ηε ρξνληθ ζηηγκ t δίλνπκε ζην ζώκα αξρηθ ηαρύηεηα κέηξνπ ζηε δηεύζπλζε ηνπ άμνλα ηνπ ειαηεξίνπ. Τν κέηξν ηεο ηαρύηεηαο ηνπ ζώκαηνο ηηο ρξνληθέο ζηηγκέο πνπ πεξλά από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ είλαη. Να βξεζεί ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο. Οδεγία: Δθαξκόζηε ηε δηαηξεζε ηεο ελέξγεηαο ηεο ηαιάληωζεο. Απάληεζε:, 4 m Δύξεζε ηνπ πιάηνπο ηεο ηαιάλησζεο όηαλ ην ζώκα έρεη αξρηθ ηαρύηεηα θαη ην ειαηξην είλαη θαηαθόξπθν. (Λπκέλν παξάδεηγκα) Αξρηθά ην ζώκα κάδαο m kg ηνπ ζρκαηνο ηζνξξνπεί ζηεξεωκέλν ζην ε- ιεύζεξν πάλω άθξν ηνπ ειαηεξίνπ ζηαζεξάο k N m, ην άιιν άθξν ηνπ νπνίνπ είλαη ζηεξεωκέλν ζην δάπεδν. Απνκαθξύλνπκε ην ζώκα από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ θαη ην θέξλνπκε ζηε ζέζε θπζηθνύ κθνπο ηνπ ειαηεξίνπ, όπνπ δίλνληάο ηνπ αξρηθ ηαρύηεηα κέηξνπ 3 m s όπωο θαίλεηαη ζην ζρκα ην αθλνπκε ειεύζεξν. Να βξεζεί ην πιάηνο ηεο ηαιάληωζεο πνπ ζα εθηειέζεη ην ζώκα. Δίλεηαη g m s. 5
Λύζε Από ηε ζπλζθε ηζνξξνπίαο ζηε Θ.Ι. έρνπκε: F F ελ mg kx mg mg x x, m k Από ηε δηαηξεζε ηεο ελέξγεηαο ηεο ηαιάληωζεο έ- ρνπκε: K Γ U E Γ m kx k m k kx, m Δθαξκνγ.7 Σην ειεύζεξν θάησ άθξν θαηαθόξπθνπ ειαηεξίνπ ζηαζεξάο k N m, ην άιιν άθξν ηνπ νπνίνπ είλαη ζηεξεσκέλν ζηελ νξνθ, ζηεξεώλνπκε ζώκα κάδαο m kg. Τν ζώκα αξρηθά ηζνξξνπεί. Τε ρξνληθ ζηηγκ t δίλνπκε ζην ζώκα αξρηθ ηαρύηεηα ζηε δηεύζπλζε ηνπ άμνλα ηνπ ειαηεξίνπ θαη ην αθλνπκε ειεύζεξν λα εθηειέζεη απι αξκνληθ ηαιάλησζε. Η θηλεηηθ ελέξγεηα ηνπ ζώκαηνο ηελ t είλαη ίζε κε ην ηεο δπλακηθο ελέξγεηαο ηνπ ειαηεξίνπ ηελ ίδηα ζηηγκ. Να βξεζεί ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο. Γίλεηαη g m s. Οδεγία: Η δπλακηθ ελέξγεηα ηνπ ειαηεξίνπ ηελ t δίλεηαη από ηε ζρέζε όπνπ x ε επηκθπλζε ηνπ ειαηεξίνπ ηελ ίδηα ζηηγκ. U ει kx, Απάληεζε:, m
Δύξεζε ηνπ πιάηνπο ηεο ηαιάλησζεο όηαλ ε αξρηθ ζέζε ηζνξξνπίαο δε ζπκπίπηεη κε ηε Θ.Φ.Μ. ηνπ ειαηεξίνπ θαη ην ειαηξην είλαη ν- ξηδόληην.8 (Λπκέλν παξάδεηγκα) Σώκα είλαη ζηεξεωκέλν ζην ειεύζεξν άθξν νξηδόληηνπ ειαηεξίνπ ζηαζεξάο k N m, ην άιιν άθξν ηνπ νπνίνπ είλαη ζηεξεωκέλν ζε αθιόλεην ζεκείν, όπωο θαίλεηαη ζην ζρκα. Τν ζώκα αξρηθά ηζνξξνπεί πάλω ζην ιείν νξηδόληην επίπεδν ζηε Θ.Ι.() κε ηελ επίδξαζε δύλακεο κέηξνπ F N, όπωο θαίλεηαη ζην ζρκα. Απνκαθξύλνπκε ην ζώκα από ηε Θ.Ι.() επηκεθύλνληαο πξόζζεηα ην ειαηξην θαηά x, m. Τε ρξνληθ ζηηγκ t α- θλνπκε ην ζώκα ειεύζεξν θαη ηαπηόρξνλα θαηαξγνύκε ηε δύλακε F. Να βξεζεί ην πιάηνο ηεο ηαιάληωζεο πνπ ζα εθηειέζεη ην ζώκα. Λύζε Από ηε ζπλζθε ηζνξξνπίαο ζηε Θ.Ι. έρνπκε: F F F F k Γx Γx, m Μεηά ηελ θαηάξγεζε ηεο δύλακεο F ε λέα ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ ζώκαηνο Θ.Ι. ηνπ ειαηεξίνπ. Τν πιάηνο ηεο ηαιάληωζεο είλαη ηαπηίδεηαη κε ηε Θ.Φ.Μ. Γx Γx, m, m, m Δθαξκνγέο.9 Τα ζώκαηα θαη είλαη ζηεξεσκέλα ζηα ειεύζεξα άθξα νξηδόληησλ ειαηεξίσλ ζηαζεξάο k N m θαη k 4 N m αληίζηνηρα, ηα άιια άθξα ησλ νπνίσλ είλαη ζηεξεσκέλα ζε αθιόλεηα ζεκεία. Τα ζώκαηα θαη 7
ζπλδένληαη κεηαμύ ηνπο κε αβαξέο, κε εθηαηό λκα, όπσο θαίλεηαη ζην ζρκα, θαη αξρηθά ηζνξξνπνύλ πάλσ ζην ιείν νξηδόληην επίπεδν. Τε ρξνληθ ζηηγκ t θόβνπκε ην λκα θαη ηα ζώκαηα θαη εθηεινύλ απι αξκνληθ ηαιάλησζε. Τν πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο ηνπ ζώκαηνο είλαη, 4 m. Να βξεζεί ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο ηνπ ζώκαηνο. Οδεγία: Γηα ην ζύζηεκα ηωλ θαη αξρηθά είλαη F. Απάληεζε:, m. Σώκα κάδαο m, kg είλαη ζηεξεσκέλν ζην ειεύζεξν άθξν νξηδόληηνπ ειαηεξίνπ, ην άιιν άθξν ηνπ νπνίνπ είλαη ζηεξεσκέλν ζε αθιόλεην ζεκείν. Σην ζώκα έρνπκε θνιιζεη ην ζώκα κάδαο m, 8 kg. Τα ζώκαηα αξρηθά ηζνξξνπνύλ πάλσ ζην ιείν νξηδόληην επίπεδν, θαζώο αζθείηαη ζην ζώκα νξηδόληηα δύλακε κέηξνπ F N ζηε δηεύζπλζε ηνπ άμνλα ηνπ ειαηεξίνπ, όπσο θαίλεηαη ζην ζρκα. Τε ρξνληθ ζηηγκ t θαηαξγνύκε ηε δύλακε F θαη ηα ζώκαηα εθηεινύλ απι αξκνληθ ηαιάλησζε. Λόγσ θαθο πνηόηεηαο ηεο θόιιαο ηα ζώκαηα απνθνιιώληαη αθαξηαία ηε ρξνληθ ζηηγκ t, π s ζηελ νπνία ε ηαρύηεηά ηνπο κεδελίδεηαη γηα δεύηεξε θνξά κεηά ηελ t. Να βξεζεί ην πιάηνο ηεο λέαο ηαιάλησζεο ηνπ ζώκαηνο κεηά ηελ απνθόιιεζε ησλ ζσκάησλ. Οδεγία: Βξείηε ηε ζηαζεξά ηνπ ειαηεξίνπ από ηελ πεξίνδν. Τα ζώκαηα αξρηθά ηζνξξνπνύλ, νπόηε ΣF. Απάληεζε:, m 8
Δύξεζε ηνπ πιάηνπο ηεο ηαιάλησζεο όηαλ ζην ζώκα αζθείηαη ζηαζεξ δύλακε γηα θάπνην ρξόλν. (Λπκέλν παξάδεηγκα) Σώκα αξρηθά ηζνξξνπεί πάλω ζε ιείν νξηδόληην επίπεδν ζηεξεωκέλν ζην ειεύζεξν άθξν νξηδόληηνπ ειαηεξίνπ ζηαζεξάο k N m, ην άιιν άθξν ηνπ νπνίνπ είλαη ζηεξεωκέλν ζε αθιόλεην ζεκείν. Αζθνύκε ζην ζώκα ζηαζεξ δύλακε κέηξνπ F N ζηε δηεύζπλζε ηνπ άμνλα ηνπ ειαηεξίνπ θαη ηε ρξνληθ ζηηγκ ζηελ νπνία ην κέηξν ηεο δύλακεο ηνπ ειαηεξίνπ είλαη F F γηα πξώηε θνξά, ε δύλακε F θαηαξγείηαη αθαξηαία. Να βξεζεί ην πιάηνο ηεο ηαιάληωζεο πνπ ζα εθηειέζεη ην ζώκα. Λύζε Σηε ζέζε Γ όπνπ θαηαξγείηαη ε δύλακε F ε επηκθπλζε ηνπ ειαηεξίνπ x πξνθύπηεη από ηε ζρέζε F F ελ F kx x F k Ιζρύεη ET W F k Fx F, m k Δθαξκνγ. Σην ειεύζεξν θάησ άθξν θαηαθόξπθνπ ειαηεξίνπ ζηαζεξάο k 4 N m, ην άιιν άθξν ηνπ νπνίνπ είλαη ζηεξεσκέλν ζηελ νξνθ, ζηεξεώλνπκε ζώκα κάδαο m kg. Σην ζώκα, πνπ αξρηθά ηζνξξνπεί, αζθνύκε ζηαζεξ θαηαθόξπθε δύλακε κέηξνπ F 4 N κε θνξά πξνο ηα θάησ, ε νπνία θαηαξγείηαη αθαξηαία ηε ρξνληθ ζηηγκ πνπ ε δπλακηθ ελέξγεηα ηνπ ειαηεξίνπ έρεη απμεζεί θαηά,5 J. Να βξεζεί ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο πνπ ζα εθηειέζεη ην ζώκα. Γίλεηαη g m s. 9
Οδεγία: Βξείηε ηελ επηκθπλζε ηνπ ειαηεξίνπ ζηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ ζώκαηνο θαη ηε ζηηγκ πνπ θαηαξγείηαη ε δύλακε F. Ιζρύεη ET WF. Απάληεζε:, m Γύν ζώκαηα δεκέλα κε λκα ην νπνίν ζηε ζπλέρεηα θόβνπκε.3 (Λπκέλν παξάδεηγκα) Σην ειεύζεξν θάηω άθξν θαηαθόξπθνπ ειαηεξίνπ ζηαζεξάο k N m, ην άιιν άθξν ηνπ νπνίνπ είλαη ζηεξεωκέλν ζηελ νξνθ, έρνπκε ζηεξεώζεη ην ζώκα Σ κάδαο m kg θαη ζε απηό έ- ρνπκε δέζεη κε αβαξέο θαη κε εθηαηό λκα ην ζώκα Σ κάδαο m kg. Τα ζώκαηα αξρηθά ηζνξξνπνύλ. Κόβνπκε ην λκα θαη ην ζώκα Σ εθηειεί απι αξκνληθ ηαιάληωζε. Να βξεζεί ην πιάηνο ηεο ηαιάληωζεο. Δίλεηαη g m s. Λύζε Από ηε ζπλζθε ηζνξξνπίαο γηα ην ζύζηεκα ηωλ ζωκάηωλ Σ θαη Σ έρνπκε: F m g m g F ελ kx m m g x m m k g x, m Από ηε ζπλζθε ηζνξξνπίαο γηα ην ζώκα Σ ζηε λέα ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ έρνπκε: F F m g kx m g mg x x, m k Η ζέζε Γ είλαη αθξαία ζέζε ηεο ηαιάληωζεο ηνπ Σ, αθνύ ζηε ζέζε απη ε ηαρύηεηά ηνπ είλαη ίζε κε κεδέλ.
Επνκέλωο x 3 x x, m Δθαξκνγέο.4 Σην ειεύζεξν θάησ άθξν θαηαθόξπθνπ ειαηεξίνπ ζηαζεξάο k 5π N, ην άιιν άθξν ηνπ νπνίνπ είλαη ζηεξεσκέλν ζηελ ν- m ξνθ, ζηεξεώλνπκε ζώκα κάδαο m kg θαη ζε απηό δέλνπκε κε αβαξέο θαη κε εθηαηό λκα έλα άιιν ζώκα κάδαο m, όπσο θαίλεηαη ζην ζρκα. Τν ζώκα κάδαο m βξίζθεηαη ζε ύςνο h, m πάλσ από ην έδαθνο. Τε ρξνληθ ζηηγκ t θόβνπκε ην λκα. Να βξεζεί ε ηαρύηεηα ηνπ ζώκαηνο κάδαο m ηε ρξνληθ ζηηγκ πνπ ην ζώκα κάδαο m θηάλεη ζην έδαθνο. Γίλεηαη g m s. Οδεγία: Βξείηε ηε ρξνληθ ζηηγκ ζηελ νπνία ην ζώκα κάδαο m θηάλεη ζην έδαθνο θαη ηελ πεξίνδν ηεο ηαιάληωζεο. Απάληεζε:.5 Σηα ειεύζεξα άθξα δύν θαηαθόξπθσλ ειαηεξίσλ ζηαζεξάο k θαη k k, ηα άιια άθξα ησλ νπνίσλ είλαη ζηεξεσκέλα ζε αθιόλεηα ζεκεία, έρνπκε ζηεξεώζεη ηα ζώκαηα κάδαο m 4m θαη κάδαο m m αληίζηνηρα, ηα νπνία είλαη δεκέλα κεηαμύ ηνπο κε λκα αβαξέο θαη κε εθηαηό, όπσο θαίλεηαη ζην ζρκα. Τα ζώκαηα αξρηθά ηζνξξνπνύλ θαη ην ειαηξην ζηαζεξάο k έρεη ην θπζηθό ηνπ κθνο. Κόβνπκε ην λκα θαη ηα ζώκαηα εθηεινύλ απι αξκνληθ ηαιάλησζε. Να βξεζεί ν ιόγνο, όπνπ θαη ηα πιάηε ησλ ηαιαληώζεσλ ησλ θαη αληίζηνηρα. Οδεγία: Βξείηε ηελ αξρηθ επηκθπλζε ηνπ ειαηεξίνπ ζηαζεξάο k. Απάληεζε:
Δύξεζε ηνπ πιάηνπο ηεο ηαιάλησζεο κεηά από έθξεμε. (Λπκέλν παξάδεηγκα) Σώκα κάδαο m kg είλαη ζηεξεωκέλν ζην ε- ιεύζεξν θάηω άθξν θαηαθόξπθνπ ειαηεξίνπ ζηαζεξάο k N m, ην άιιν άθξν ηνπ νπνίνπ είλαη ζηεξεωκέλν ζηελ νξνθ. Τν ζώκα πνπ αξρηθά ηζνξξνπεί ζπάεη κε έθξεμε ζε δύν ζώκαηα Σ θαη Σ κε κάδεο m θαη m m αληίζηνηρα. Τν ζώκα Σ παξακέλεη ζηεξεωκέλν ζην ειαηξην θαη ην Σ α- κέζωο κεηά ηελ έθξεμε απνθηά ηαρύηεηα κέηξνπ m s ζηε δηεύζπλζε ηνπ άμνλα ηνπ ειαηεξίνπ κε θνξά πξνο ηα θάηω. Να βξεζεί ην πιάηνο ηεο ηαιάληωζεο πνπ ζα εθηειέζεη ην ζώκα Σ. Δίλεηαη Λύζε g m s. Από ηε ζπλζθε ηζνξξνπίαο γηα ην αξρηθό ζώκα κάδαο m έρνπκε: F ελ mg kx mg mg x x, m k Από ηε ζπλζθε ηζνξξνπίαο γηα ην ζώκα Σ έρνπκε: F F m g kx m g m g x k x, 5 m Σπλεπώο x x x, 5 m. 3 Από ηελ αξρ δηαηξεζεο ηεο νξκο γηα ηελ έθξεμε έρνπκε: p, ά, p m m m s
Από ηε δηαηξεζε ηεο ελέξγεηαο ηεο ηαιάληωζεο ηνπ ζώκαηνο Σ έρνπκε: K Γ U E Γ m kx3 k m k kx 3 4, 5 5 m, 5 3 m.7 Έλα ζώκα κάδαο m 5 kg Δθαξκνγ είλαη ζηεξεσκέλν ζην ειεύζεξν άθξν νξηδόληηνπ ειαηεξίνπ ζηαζεξάο k 4 N m, ην άιιν άθξν ηνπ νπνίνπ είλαη ζηεξεσκέλν ζε αθιόλεην ζεκείν, όπσο θαίλεηαη ζην ζρκα. Αξρηθά ην ζώκα ηζνξξνπεί πάλσ ζην ιείν νξηδόληην επίπεδν. Με έθξεμε ην ζώκα ζπάεη ζε δύν ζώκαηα Σ θαη Σ κε κάδεο m θαη m 4m αληίζηνηρα. Τν ζώκα Σ παξακέλεη ζηεξεσκέλν ζην ειαηξην θαη ην Σ ακέζσο κεηά ηελ έθξεμε απνθηά ηαρύηεηα κέηξνπ,5 m s, όπσο θαίλεηαη ζην ζρκα. Να βξεζεί ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο πνπ ζα εθηειέζεη ην ζώκα Σ. Οδεγία: Βξείηε από ηελ Α.Γ.Ο. ηελ ηαρύηεηα ηνπ Σ ακέζωο κεηά ηελ έθξεμε. Απάληεζε:, 5 m Δύξεζε ηεο πεξηόδνπ ηεο ηαιάλησζεο όηαλ ην ζώκα είλαη δεκέλν ζε δύν ειαηξηα.8 (Λπκέλν παξάδεηγκα) Σώκα κάδαο m, 5 kg ειεύζεξα άθξα ηωλ ειαηεξίωλ ζηαζεξάο k N m θαη k 5 N m, ηα άιια άθξα ηωλ νπνίωλ είλαη ζηεξεωκέλα ζε αθιόλεηα ζεκεία, όπωο θαίλεηαη ζην ζρκα. Απνκαθξύλνπκε ην ζώκα είλαη ζηεξεωκέλν ζηα 3
από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ θαηά x θαη ζηε ζπλέρεηα ην αθλνπκε ειεύζεξν πάλω ζην ιείν νξηδόληην επίπεδν. Να βξεζεί ε πεξίνδνο ηεο ηαιάληωζεο πνπ ζα εθηειέζεη ην ζώκα αθνύ δεηρζεί όηη ζα εθηειέζεη απι αξκνληθ ηαιάληωζε. Λύζε Σε κηα ηπραία ζέζε έρνπκε: ΣF F ελ Fελ F kx kx k k x F Άξα ην ζώκα εθηειεί απι αξκνληθ ηαιάληωζε κε ζηαζεξά επαλαθνξάο D k k θαη πεξίνδν: m T π D T m T, s k k.9 (Λπκέλν παξάδεηγκα) Σώκα κάδαο m 3 kg είλαη ζηεξεωκέλν ζηα ε- ιεύζεξα άθξα ηωλ ειαηεξίωλ ζηαζεξάο k N m θαη k N m αληίζηνηρα, ηα άιια άθξα ηωλ νπνίωλ είλαη ζηεξεωκέλα ζε αθιόλεηα ζεκεία, όπωο θαίλεηαη ζην ζρκα. Απνκαθξύλνπκε ην ζώκα από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ θαη ζηε ζπλέρεηα ην αθλνπκε ειεύζεξν πάλω ζην ιείν νξηδόληην επίπεδν. Να βξεζεί ε πεξίνδνο ηεο ηαιάληωζεο πνπ ζα εθηειέζεη ην ζώκα αθνύ δεηρζεί όηη ζα εθηειέζεη απι αξκνληθ ηαιάληωζε. 4
Λύζε Σε κηα ηπραία ζέζε έρνπκε: F F F F k x x k x x F kx kx kx kx Από ηε ζπλζθε ηζνξξνπίαο έρνπκε: F F F kx kx Άξα k x k x k k x F F Επνκέλωο ην ζώκα εθηειεί απι αξκνληθ ηαιάληωζε κε ζηαζεξά επαλαθνξάο D k k θαη πεξίνδν: m T π D T m T, s k k Δθαξκνγ.3 Πάλσ ζε ιείν θεθιηκέλν επίπεδν γσλίαο θιίζεο ηζνξξνπεί ην ζώκα κάδαο m kg ζηεξεσκέλν ζηα ειεύζεξα άθξα ησλ ειαηεξίσλ ζηαζεξάο k N m θαη k 3 N m αληίζηνηρα, ηα άιια άθξα ησλ νπνίσλ είλαη ζηεξεσκέλα ζε αθιόλεηα ζεκεί- 5
α, όπσο θαίλεηαη ζην ζρκα. Γίλνπκε ζην ζώκα αξρηθ ηαρύηεηα κέηξνπ π ζηε δηεύζπλζε ηνπ άμνλα ησλ ειαηεξίσλ θαη ην αθλνπκε ειεύζεξν. Να βξεζεί ε πεξίνδνο ηεο ηαιάλησζεο πνπ ζα εθηειέζεη ην ζώκα. αμηνπνηώληαο ηε ζπλζθε ηζνξ- Οδεγία: Δξγαζηείηε ζηελ ηπραία ζέζε βξίζθνληαο ηε F ξνπίαο. Απάληεζε: T, s Δύξεζε ηεο αξρηθο θάζεο ηεο ηαιάλησζεο.3 (Λπκέλν παξάδεηγκα) Έλα ζώκα εθηειεί απι αξκνληθ ηαιάληωζε. Η εμίζωζε ηεο απνκάθξπλζεο είλαη x εκωt.. Να βξεζεί ε αξρηθ θάζε ηεο ηαιάληωζεο ζηελ πεξίπηωζε όπνπ ηε ρξνληθ ζηηγκ t ην ζώκα πεξλά από ηε ζέζε x κε θαη ζηελ πεξίπηωζε όπνπ ηε ρξνληθ ζηηγκ t ην ζώκα πεξλά από ηε ζέζε x κε.. Να γίλνπλ νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ηεο απνκάθξπλζεο ηνπ ζώκαηνο από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν x f t ζε θαζεκία από ηηο πεξηπηώζεηο ηνπ εξωηκαηνο. Λύζε. Με ηξηγωλνκεηξηθ εμίζωζε Από ηελ εμίζωζε ηεο απνκάθξπλζεο x εκωt γηα t θαη x έρνπκε:
Οη ιύζεηο ηεο ηξηγωλνκεηξηθο απηο εμίζωζεο είλαη: κε θ,,,... 5 κε θ,,,... Από ηε κε έρνπκε: rad 5 Από ηε κε γηα 5 έρνπκε: rad Από ηελ εμίζωζε ηεο ηαρύηεηαο max ηελ t έρνπκε: t Γηα Γηα rad έρνπκε: 5 rad έρνπκε: max Επνκέλωο, όηαλ ηε ρξνληθ ζηηγκ t ην ζώκα πεξλά από ηε ζέζε κε, ε αξρηθ θάζε ηεο ηαιάληωζεο είλαη rad Όηαλ ηε ρξνληθ ζηηγκ t ην ζώκα πεξλά από ηε ζέζε ε αξρηθ θάζε ηεο ηαιάληωζεο είλαη 5 rad x x κε, 7
Με πεξηζηξεθόκελν δηάλπζκα Όηαλ ( t, x, ) Τν πεξηζηξεθόκελν δηάλπζκα ηε ρξνληθ ζηηγκ t βξίζθεηαη ζηε ζέζε πνπ θαίλεηαη ζην επόκελν ζρκα. Από ην ηξίγωλν ΟΓΔ έρνπκε:, άξα rad 3 Επνκέλωο ε αξρηθ θάζε ηεο ηαιάληωζεο είλαη π rad rad 3 Όηαλ ( t, x, ) Τν πεξηζηξεθόκελν δηάλπζκα ηε ρξνληθ ζηηγκ t βξίζθεηαη ζηε ζέζε πνπ θαίλεηαη ζην επόκελν ζρκα. Από ην ηξίγωλν ΟΓΔ έρνπκε:, άξα rad 3 Επνκέλωο ε αξρηθ θάζε ηεο ηαιάληωζεο είλαη π π 5 rad rad 3. Σηελ πεξίπηωζε όπνπ ηε ρξνληθ ζηηγκ t ην ζώκα πεξλά από ηε ζέζε x κε ε αξρηθ θάζε ηεο ηαιάληωζεο είλαη rad θαη ε εμίζωζε ηεο απνκάθξπλζεο είλαη x t π 8
Η γξαθηθ παξάζηαζε ηεο x εκωt είλαη ε γξαθηθ παξάζηαζε ηεο x εκt κεηαηνπηζκέλε T πξνο ηα αξηζηεξά θαηά, αθνύ T t T Γt Σηελ πεξίπηωζε όπνπ ηε ρξνληθ ζηηγκ t ην ζώκα πεξλά από ηε ζέζε 5 x κε ε αξρηθ θάζε ηεο ηαιάληωζεο είλαη rad θαη ε ε- μίζωζε ηεο απνκάθξπλζεο είλαη x 5π t 5 Η γξαθηθ παξάζηαζε ηεο x Αεκωt είλαη ε γξαθηθ παξάζηαζε ηεο x εκt κεηαηνπηζκέλε 5T πξνο ηα αξηζηεξά θαηά, αθνύ 5 T t 5T Γt Δθαξκνγέο.3 Σώκα εθηειεί απι αξκνληθ ηαιάλησζε. Η εμίζσζε ηεο απνκάθξπλζεο είλαη x π t. Από ηε ρξνληθ ζηηγκ t έσο ηε ρξνληθ ζηηγκ t ην δηάζηεκα πνπ δηαλύεη ην ζώκα είλαη s 8. Τε ρξνληθ ζηηγκ 5 t ε θάζε ηεο ηαιάλησζεο είλαη rad. Να βξεζεί ε αξρηθ θάζε ηεο ηαιάλησζεο. 9
Οδεγία: Βξείηε ηε ρξνληθ ζηηγκ t. Απάληεζε: rad.33 Σώκα εθηειεί απι αξκνληθ ηαιάλησζε. Η εμίζσζε ηεο απνκάθξπλζεο είλαη x εκt. Τε ρξνληθ ζηηγκ t πνπ ην ζώκα πεξλά γηα δεύηεξε θνξά από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ κεηά ηελ t ε ηαρύηεηά ηνπ είλαη αξλεηηθ. Τν δηάζηεκα πνπ δηαλύεη ην ζώκα από ηε ρξνληθ ζηηγκ t έσο ηε ρξνληθ ζηηγκ t είλαη s 5. Να βξεζεί ε αξρηθ θάζε ηεο ηαιάλησζεο. Οδεγία: Βξείηε ηελ απνκάθξπλζε ηνπ ζώκαηνο ηελ t από ην s 5. Απάληεζε: rad Δύξεζε ηνπ δηαζηκαηνο πνπ δηαλύεη ην ζώκα ζε νξηζκέλν ρξόλν.34 (Λπκέλν παξάδεηγκα) Σώκα εθηειεί απι αξκνληθ ηαιάληωζε. Η ε- μίζωζε ηεο απνκάθξπλζεο ηνπ ζώκαηνο από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ είλαη π x t. Να βξεζεί ην δηάζηεκα πνπ δηαλύεη ην ζώκα από ηε ρξνληθ T ζηηγκ t ζηελ νπνία ε απνκάθξπλζε ηνπ ζώκαηνο είλαη x θαη ε ηαρύηεηά ηνπ είλαη π έωο ηε ρξνληθ ζηηγκ T t t. Λύζε α ηξόπνο π Τε ρξνληθ ζηηγκ t ε απνκάθξπλζε ηνπ ζώκαηνο είλαη: x εκ t T Τε ρξνληθ ζηηγκ t ε απνκάθξπλζε ηνπ ζώκαηνο είλαη π π x Αεκ t x Αεκ t T T π Αεκ t T x π π x Αεκ t T 3
Επνκέλωο x x. π Η εμίζωζε ηεο ηαρύηεηαο είλαη: π ω t T π Τε ρξνληθ ζηηγκ t είλαη: ω t T Τε ρξνληθ ζηηγκ t T t είλαη π T π ω t ω t π T T Επνκέλωο. π ω t T Τν δηάζηεκα πνπ δηαλύεη ην ζώκα από ηε ρξνληθ ζηηγκ t έωο ηε ρξνληθ ζηηγκ t είλαη s x s x β ηξόπνο T Σε ρξόλν Γt ην πεξηζηξεθόκελν δηάλπζκα δηαγξάθεη γωλία Γt Επνκέλωο x x. π T π rad Τ Άξα ην δηάζηεκα πνπ δηαλύεη ην ζώκα από ηε ρξνληθ ζηηγκ t έωο ηε ρξνληθ ζηηγκ t είλαη s x s x 3
Δθαξκνγέο.35 Σώκα εθηειεί απι αξκνληθ ηαιάλησζε. Η εμίζσζε ηεο απνκάθξπλζεο ηνπ ζώκαηνο από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ είλαη x t Να βξεζεί ην δηάζηεκα πνπ δηαλύεη ην ζώκα ζε ρξόλν ζηνλ νπνίν ε θάζε ηεο ηαιάλησζο ηνπ απμάλεηαη θαηά π rad, ζε ζπλάξηεζε κε ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο. Οδεγία: Ιζρύεη Γ ω Γt. Απάληεζε: s 4.3 Σώκα εθηειεί απι αξκνληθ ηαιάλησζε. Η εμίζσζε ηεο απνκάθξπλζεο είλαη x t. Να βξεζεί ην κέγηζην δηάζηεκα ην νπνίν δηαλύεη ην π Τ ζώκα ζε ρξόλν t T ζε ζπλάξηεζε κε ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο. Οδεγία: Βξείηε ηελ απνκάθξπλζε ηνπ ζώκαηνο ηηο ρξνληθέο ζηηγκέο t t T θαη t t T, όπνπ t νη ρξνληθέο ζηηγκέο πνπ ην ζώκα πεξλά από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ. Απάληεζε: s max Απώιεηα επαθο.37 (Λπκέλν παξάδεηγκα) Πάλω ζε δίζθν κάδαο M ηνπνζεηνύκε ζώκα κάδαο m. Τν ζύζηεκα εθηειεί α- πι αξκνληθ ηαιάληωζε ζηελ θαηαθόξπθε δηεύζπλζε, όπωο θαίλεηαη ζην ζρκα. Να βξεζνύλ:. ην κέγηζην πιάηνο ώζηε λα κελ έρνπκε απώιεηα επαθο κεηαμύ ηωλ ζωκάηωλ όηαλ ε πεξίνδνο ηεο ηαιάληωζεο είλαη ζηαζεξ ( T ζηαζεξ),. ε ειάρηζηε πεξίνδνο ώζηε λα κελ έρνπκε απώιεηα επαθο κεηαμύ ηωλ ζωκάηωλ όηαλ ην πιάηνο ηεο ηαιάληωζεο είλαη ζηαζεξό ( ζηαζεξό). Λύζε Σε κηα ηπραία ζέζε, αθνύ ην ζώκα κάδαο m εθηειεί απι αξκνληθ ηαιάληωζε, έρνπκε: 3
ΣF m x F mg mω x F mg mω x Γηα x έρνπκε: F min mg mω Όηαλ ην ζώκα κάδαο m βξίζθεηαη θάηω από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ x, ε δύλακε πνπ ηνπ αζθείηαη από ην ζώκα κάδαο M είλαη F mg mω x, επνκέλωο δε ράλεηαη ε επαθ κεηαμύ ηωλ ζωκάηωλ. Όηαλ ην ζώκα κάδαο m πεξλά από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ x, ε δύλακε πνπ ηνπ αζθείηαη από ην ζώκα κάδαο M είλαη F mg, επνκέλωο δε ράλεηαη ε επαθ κεηαμύ ηωλ ζωκάηωλ. Γηα λα κε ράλεηαη ε επαθ κεηαμύ ηωλ ζωκάηωλ, πξέπεη F mg mω g min. Όηαλ T ζηαζεξ, ην κέγηζην πιάηνο γηα λα κε ράλεηαη ε επαθ κεηαμύ ηωλ ζωκάηωλ είλαη 4π T g gt gt max 4π 4. Όηαλ ζηαζεξό, ε ειάρηζηε πεξίνδνο γηα λα κε ράλεηαη ε επαθ κεηαμύ ηωλ ζωκάηωλ είλαη 4π T g T T π g 4 T min π g g Η κέγηζηε ζπρλόηεηα γηα λα κε ράλεηαη ε επαθ κεηαμύ ηωλ ζωκάηωλ είλαη f max T min f max g 33
Δθαξκνγ.38 Πάλσ ζε δίζθν κάδαο M ηνπνζεηνύκε ζώκα κάδαο m, ζην νπνίν α- ζθνύκε ζηαζεξ θαηαθόξπθε δύλακε F κε θνξά πξνο ηα θάησ. Τν ζύζηεκα ησλ ζσκάησλ εθηειεί απι αξκνληθ ηαιάλησζε ζηελ θαηαθόξπθε δηεύζπλζε. Να βξεζεί ην κέγηζην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο ώζηε λα κελ έρνπκε απώιεηα επαθο κεηαμύ ησλ ζσκάησλ όηαλ ε πεξίνδνο ηεο ηαιάλησζεο είλαη ζηαζεξ ( T ζηαζεξ). Γίλνληαη: m, g, F, T. Οδεγία: Γηα λα κε ράλεηαη ε επαθ κεηαμύ ηωλ ζωκάηωλ, πξέπεη F min. mg F Απάληεζε: max 4π m 34
Βαζικά λςμένα πποβλμαηα και επγαζίερ για εξάζκηζη.39 Σώκα κάδαο m kg είλαη ζηεξεωκέλν ζην έλα άθξν νξηδόληηνπ ειαηεξίνπ ζηαζεξάο k N m, ην άιιν άθξν ηνπ νπνίνπ είλαη ζηεξεωκέλν ζε αθιόλεην ζεκείν, όπωο θαίλεηαη ζην ζρκα. Αξρηθά ην ζώκα ηζνξξνπεί πάλω ζην ιείν νξηδόληην επίπεδν. Απνκαθξύλνπκε ην ζώκα από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ ζπζπεηξώλνληαο ην ειαηξην θαηά x, m θαη ηε ρξνληθ ζηηγκ t ην αθλνπκε ειεύζεξν. Να βξεζνύλ:. ε εμίζωζε ηεο απνκάθξπλζεο ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν,. ην ρξνληθό δηάζηεκα ζηε δηάξθεηα κηαο πεξηόδνπ ζην νπνίν ε απόζηαζε ηνπ ζώκαηνο από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ είλαη κεγαιύηεξε από, ό- πνπ ην πιάηνο ηεο ηαιάληωζεο, 3. ην έξγν ηεο δύλακεο πνπ αζθεί ην ειαηξην ζην ζώκα θαηά ηελ θίλεζε ηνπ ζώκαηνο από ηε ζέζε θπζηθνύ κθνπο ηνπ ειαηεξίνπ έωο ηε ζέζε x, 4. ε εμίζωζε ηεο δύλακεο ηνπ ειαηεξίνπ ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν. Χπζιμερ πληποθοπίερ Η αξρηθ θάζε ηεο ηαιάληωζεο είλαη όηαλ ην ζώκα ηε ρξνληθ ζηηγκ t πεξλά από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ κε ηαρύηεηα ζεηηθ. Τν έξγν ηεο δύλακεο ηνπ ειαηεξίνπ ππνινγίδεηαη από ηε ζρέζε W U U F ει Λύζε. Τε ρξνληθ ζηηγκ t ην ζώκα βξίζθεηαη ζηε ζέζε x. Εύξεζε ηεο αξρηθο θάζεο ηεο ηαιάληωζεο: 35
Με ηξηγωλνκεηξηθ εμίζωζε Από ηελ εμίζωζε ηεο απνκάθξπλζεο ημωt x γηα t θαη x έρνπκε: Οη ιύζεηο ηεο ηξηγωλνκεηξηθο απηο εμίζωζεο είλαη: κε,,,... Από ηε κε rad γηα έρνπκε: rad Η γωληαθ ζπρλόηεηα ηεο ηαιάληωζεο είλαη k ω m ω rad s Η εμίζωζε ηεο απνκάθξπλζεο ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν είλαη π x εκωt π x, εκ t S.I.. Από ηελ εμίζωζε ηεο απνκάθξπλζεο x π εκωt Γηα x έρνπκε: π εκωt ε κωt π 3
Οη ιύζεηο ηεο ηξηγωλνκεηξηθο απηο εμίζωζεο είλαη: t κε,, 3,... 5 t κε,,,... Από ηελ t γηα έρνπκε: t 4 5 Από ηελ 5 t γηα έρνπκε: t Γηα x έρνπκε: π εκωt π ε κωt Οη ιύζεηο ηεο ηξηγωλνκεηξηθο απηο εμίζωζεο είλαη: t κε,, 3,... 7 t κε,,,... Από ηελ t γηα έρνπκε: t 3 3 Από ηελ 7 t γηα έρνπκε: t 3 37
Επνκέλωο ην ρξνληθό δηάζηεκα ζηε δηάξθεηα κηαο πεξηόδνπ ζην νπνίν ε απόζηαζε ηνπ ζώκαηνο από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ είλαη κεγαιύηεξε από είλαη t t T Γt t 3 t4 T Γt 3 Γt 4π 3 Γt 5 s 3. Τν έξγν ηεο δύλακεο ηνπ ειαηεξίνπ ππνινγίδεηαη ωο εμο: W F U U ει W F k W F kα 8 W F, 5 J 4. Σηελ ηπραία ζέζε θαη αθνύ ην ζώκα εθηειεί απι αξκνληθ ηαιάληωζε ηζρύεη ΣF kx kx F ει F ει x κε, m x, m Με π x, εκt παίξλνπκε: π, εκt F ει F ει t S.I. 38
Για επγαζία Βπείηε ηο σπονικό διάζηημα ζηη διάπκεια μίαρ πεπιόδος ζηο οποίο η κινηηικ ενέπγεια ηος ζώμαηορ είναι μικπόηεπη από ηη δςναμικ ενέπγεια ηηρ ηαλάνηωζηρ. Οδηγία: Βξείηε ηηο ζέζεηο ζηηο νπνίεο K U από ηε δηαηξεζε ηεο ελέξγεηαο ηεο ηαιάληωζεο θαη ζηε ζπλέρεηα ηηο αληίζηνηρεο ρξνληθέο ζηηγκέο. Απάνηηζη: t, π s.4 Σώκα κάδαο m kg είλαη ζηεξεωκέλν ζην ειεύζεξν άθξν νξηδόληηνπ ειαηεξίνπ ζηαζεξάο k N m, ην άιιν άθξν ηνπ ν- πνίνπ είλαη ζηεξεωκέλν ζε αθιόλεην ζεκείν, όπωο θαίλεηαη ζην ζρκα. Αξρηθά ην ζώκα ηζνξξνπεί πάλω ζην ιείν νξηδόληην επίπεδν. Απνκαθξύλνπκε ην ζώκα από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ ζπζπεηξώλνληαο ην ειαηξην θαηά d, 4 m θαη ηε ρξνληθ ζηηγκ t ην αθλνπκε ειεύζεξν. Να βξεζνύλ:. ν ξπζκόο κεηαβνιο ηεο θηλεηηθο ελέξγεηαο ηνπ ζώκαηνο ηε ρξνληθ ζηηγκ ζηελ νπνία ε απόζηαζε ηνπ ζώκαηνο από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ είλαη γηα πξώηε θνξά ίζε κε, m,. ε θάζε ηεο ηαιάληωζεο ηε ρξνληθ ζηηγκ ζηελ νπνία ην ζώκα πεξλά από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ κε ηαρύηεηα αξλεηηθ γηα δέθαηε θνξά, 3. ε επηπιένλ ελέξγεηα πνπ έπξεπε λα έρνπκε πξνζθέξεη ζην ζύζηεκα αξρηθά ώζηε ην ζώκα λα εθηειεί ηαιάληωζε δηπιάζηνπ πιάηνπο. Χπζιμερ πληποθοπίερ Ο ξπζκόο κεηαβνιο ηεο θηλεηηθο ελέξγεηαο ηνπ ζώκαηνο δίλεηαη από ηε ζρέζε dk dwσf ΣF dx ΣF kx dt dt dt Από ηε δηαηξεζε ηεο ελέξγεηαο ηεο ηαιάληωζεο παίξλνπκε: π ω Α x Η ελέξγεηα πνπ πξνζθέξακε ζην ζύζηεκα είλαη E πξνζθ Eπξνζθ k 39
Λύζε. Ο ξπζκόο κεηαβνιο ηεο θηλεηηθο ελέξγεηαο ηνπ ζώκαηνο δίλεηαη από ηε ζρέζε dk dt dw dt ΣF ΣF dx dt ΣF kx Σε θάζε πεξίπηωζε ζα αληηθαηαζηζνπκε ηα x θαη κε ηηο αιγεβξηθέο ηνπο ηηκέο. Από ηε δηαηξεζε ηεο ελέξγεηαο ηεο ηαιάληωζεο έρνπκε: K U m mω x mω x Γηα π ω x, m παίξλνπκε: Α x π ω Α 4 3 k m 3 3 m s Τελ πξώηε θνξά πνπ ε απόζηαζε ηνπ ζώκαηνο από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ είλαη, m ε απνκάθξπλζε ηνπ ζώκαηνο είλαη x, m θαη ε ηαρύηεηά ηνπ είλαη 3 m s. Επνκέλωο dk dt dk J kx, 3 dt s dk dt 4 3 J s 4
. Από ηελ εμίζωζε ηεο απνκάθξπλζεο x εκ γηα x έρνπκε: ε εκ εκ Οη ιύζεηο ηεο ηξηγωλνκεηξηθο απηο εμίζωζεο είλαη: κε,, 3,... κε,,,... Από ηελ εμίζωζε ηεο ηαρύηεηαο Γηα Γηα έρνπκε: έρνπκε: Επνκέλωο από ηε γηα 9 (δέθαηε θνξά) έρνπκε: 8 9 rad 3. Η ελέξγεηα πνπ πξνζθέξακε ζην ζύζηεκα αξρηθά γηα λα εθηειεί ην ζώκα ηαιάληωζε πιάηνπο, 4 m είλαη E πξνζθ Eπξνζθ k Η ελέξγεηα πνπ έπξεπε λα πξνζθέξνπκε ζην ζύζηεκα αξρηθά ώζηε ην ζώκα λα εθηειέζεη ηαιάληωζε πιάηνπο, 8 m είλαη E πξνζθ E πξνζθ k E πξνζθ k Επνκέλωο ε επηπιένλ ελέξγεηα πνπ έπξεπε λα πξνζθέξνπκε ζην ζύζηεκα αξρηθά ώζηε ην ζώκα λα εθηειέζεη ηαιάληωζε πιάηνπο, 8 m είλαη 4