ΜΗΥΑΝΙΚΔ ΣΑΛΑΝΣΩΔΙ. f = t

Transcript

1 ΜΗΥΑΝΙΚΔ ΣΑΛΑΝΣΩΔΙ 1.ΠΔΡΙΟΓΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΔΝΑ α) Πεπιοδικό θαινόμενο : είλαη θάζε θαηλόκελν ην νπνίν επαλαιακβάλεηαη κε ηνλ ίδην ηξόπν ζε ίζα ρξνληθά δηαζηήκαηα, π.ρ. ε νκαιή θπθιηθή θίλεζε, ε πεξηζηξνθή ηεο Γεο γύξσ από ηνλ άμνλά ηεο ή γύξσ από ηνλ Ήιην, ην αλαβνζβήζηκν ελόο θιαο, είλαη πεξηνδηθά θαηλόκελα. β) Πεπίοδορ Σ : ελόο πεξηνδηθνύ θαηλνκέλνπ είλαη ν ρξόλνο πνπ απαηηείηαη γηα κηα πιήξε επαλάιεςε ηνπ θαηλνκέλνπ. Η κνλάδα κέηξεζε ηεο πεξηόδνπ ζην S.I. είλαη 1s. γ) ςσνόηηηα f : ελόο πεξηνδηθνύ θαηλνκέλνπ είλαη ην πειίθν ηνπ αξηζκνύ Ν ησλ επαλαιήςεσλ ηνπ θαηλνκέλνπ πξνο ην ρξόλν t, κέζα ζηνλ νπνίν πξαγκαηνπνηήζεθαλ. f = t N δ) Σρέζε κεηαμύ ζπρλόηεηαο θαη πεξηόδνπ. Σε ρξόλν ίζν κε κία πεξίνδν (t = Τ) ην θαηλόκελν επαλαιακβάλεηαη κία θνξά (N=l). Αληηθαζηζηώληαο t = Τ θαη Ν = 1 ζηελ εμίζσζε (1) βξίζθνπκε: f = T 1 θαη Τ = f 1 Η κνλάδα κέηξεζεο ηεο ζπρλόηεηαο ζην S.I. είλαη ην lhz θαη πξνθύπηεη από ηελ εμίζσζε (2), αλ βάινπκε Τ = 1s. (lhz = s 1 = ls -1 ) ε) Κςκλική ζςσνόηηηα ω Η θπθιηθή ζπρλόηεηα σ νξίδεηαη από ηελ εμίζσζε: 2 σ=2πf ή σ= Η κνλάδα κέηξεζεο ηεο θπθιηθήο ζπρλόηεηαο ζην S.I. είλαη rad/s 2. ΣΑΛΑΝΣΩΔΙ α) Σαλάνηωζη : ιέγεηαη θάζε πεξηνδηθή θίλεζε, ζηελ νπνία έλα ζώκα θηλείηαη παιηλδξνκηθά κεηαμύ δύν ζέζεσλ θηλνύκελν πάλσ ζηελ ίδηα ηξνρηά θαη θαηά ηηο δύν θαηεπζύλζεηο. Γηα παξάδεηγκα, ηαιάλησζε είλαη ε θίλεζε ηνπ ζθαηξηδίνπ ηνπ εθθξεκνύο ελόο ξνινγηνύ, θαζώο πεγαηλνέξρεηαη πάλσ ζε θακπύιε ηξνρηά. β) Γπαμμική ηαλάνηωζη νλνκάδεηαη θάζε ηαιάλησζε, ζηελ νπνία ην ζώκα θηλείηαη παιηλδξνκηθά πάλσ ζε επζεία ηξνρηά. ΚΕΦ.1 ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ (ΚΙΝΗΜΑΣΙΚΗ ΚΑΙ ΓΤΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΔΓΓΙΗ) Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 1

2 3.ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ Η ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ Οπιζμόρ Γπαμμική ή απλή απμονική ηαλάνηωζη είλαη ε ηαιάλησζε, θαηά ηελ νπνία ην ζώκα θηλείηαη πάλσ ζε επζεία γξακκή θαη ε απνκάθξπλζή ηνπ από ηελ ζέζε ηζνξξνπίαο είλαη εκηηνλνεηδήο ζπλάξηεζε ηνπ ρξόλνπ. [ x = A εκσt ή x = A εκ(σt + θ 0 ) ] Α. Xαπακηηπιζηικά μεγέθη ηηρ Α.Α.Σ. Θέζη ιζοπποπίαρ : νλνκάδεηαη ε ζέζε, ζηελ νπνία ε ζπληζηακέλε δύλακε πνπ αζθείηαη ζην ζώκα είλαη ίζε κε κεδέλ. Απομάκπςνζη x : είλαη ε αιγεβξηθή ηηκή ηεο κεηαηόπηζεο από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο. Παίξλεη ηηκέο - A x +A Η εμίζσζή ηεο είλαη x = A εκσt ή x = A εκ(σt + θ 0 ) Πλάηορ A : είλαη ε κέγηζηε ηηκή (ηνπ κέηξνπ) ηεο απνκάθξπλζεο. Τν πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο έρεη ζεηηθή ηηκή. Η απόζηαζε αλάκεζα ζηε ζέζε ηζνξξνπίαο θαη ζε κηα αθξαία ζέζε είλαη ίζε κε ην πιάηνο A Πεπίοδορ Σ : είλαη ν ρξόλνο πνπ ρξεηάδεηαη ην ζώκα γηα λα θάλεη κηα πιήξε ηαιάλησζε. ςσνόηηηα f : είλαη ην πειίθν ηνπ αξηζκνύ Ν ησλ ηαιαληώζεσλ πξνο ην ρξόλν t κέζα ζηνλ νπνίν πξαγκαηνπνηήζεθαλ. f = t N σέζη μεηαξύ ζςσνόηηηαρ και πεπιόδος. Σε ρξόλν ίζν κε κία πεξίνδν (t = Τ) ην ζώκα θάλεη κία (N=l) πιήξε ηαιάλησζε. Αληηθαζηζηώληαο t = Τ θαη Ν = 1 ζηελ εμίζσζε (1) βξίζθνπκε: f = T 1 ή Τ= f 1 2 Κςκλική ζςσνόηηηα ω : σ=2πf ή σ= ηαιάλησζεο., όπνπ f ε ζπρλόηεηα θαη Τ ε πεξίνδνο ηεο Φάζη ηηρ ηαλάνηωζηρ: θ=σt ή θ=σt +θ 0 ε ηηκή ηεο γσλίαο πνπ ππάξρεη ζην εκίηνλν ζηελ εμίζσζε ηεο απνκάθξπλζεο. ΚΕΦ.1 ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ (ΚΙΝΗΜΑΣΙΚΗ ΚΑΙ ΓΤΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΔΓΓΙΗ) Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 2

3 Β. Δξιζώζειρ ηηρ απλήρ απμονικήρ ηαλάνηωζηρ Έζησ έλα ζώκα ην νπνίν εθηειεί Α.Α.Τ ρσξίο ηξηβέο θαηά ηελ δηεύζπλζε ηνπ άμνλα x x κεηαμύ ησλ αθξαίσλ ζέζεσλ Α θαη +Α κε πεξίνδν Τ. Γηα ηελ κειέηε ηεο θίλεζεο ηνπ ζώκαηνο ζεσξνύκε ζαλ αξρή ησλ ρξόλσλ t=0 ηελ ζηηγκή πνπ ην ζώκα πεξλά από ηελ ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ x=0 θηλνύκελν θαηά ηελ ζεηηθή θαηεύζπλζε έρνληαο ηαρύηεηα ζεηηθή θαη ίζε κε π = +π max.σην παξαθάησ ζρήκα θαίλνληαη νη αιγεβξηθέο ηηκέο ηεο απνκάθξπλζεο ηεο ηαρύηεηαο θαη ηεο επηηάρπλζεο ηνπ ζώκαηνο ηηο δηάθνξεο ρξνληθέο ζηηγκέο κέζα ζε κηα πεξίνδν όπνπ ην ζώκα εθηειεί κία πιήξε ηαιάλησζε. - A x = 0 + A x x t=0 x = 0 α = 0 υ = +υ max 0<t<T/4 α < 0 x > 0 υ > 0 t=t/4 α = -α max x =+Α υ = 0 T/4<t<T/2 υ < 0 α < 0 x > 0 t=t/2 υ = -υ max x = 0 α = 0 T/2<t<3T/4 υ < 0 x < 0 α >0 t=3t/4 3T/4<t<T x =-Α υ = 0 α = +α max x < 0 α >0 υ > 0 t=t x = 0 α = 0 υ = +υ max ΚΕΦ.1 ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ (ΚΙΝΗΜΑΣΙΚΗ ΚΑΙ ΓΤΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΔΓΓΙΗ) Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 3

4 α) Η εξίζωζη ηηρ θέζηρ (απομάκπςνζηρ) Η απνκάθξπλζε ελόο ζώκαηνο πνπ εθηειεί απιή +A αξκνληθή ηαιάλησζε δίλεηαη από ηελ εμίζσζε: x= Aεκσt -A όπνπ A είλαη ην πιάηνο θαη σ = 2πf = 2π/Τ είλαη ε θπθιηθή ζπρλόηεηα. Σηελ ζέζε ηζνξξνπίαο είλαη x=0 Σηηο αθξαίεο ζέζεηο είλαη x=+α ε x= -Α Η απόζηαζε ησλ δύν αθξαίσλ ζέζεσλ είλαη 2Α Τν θηλεηό ζε κηα πεξίνδν Τ δηαλύεη δηάζηεκα 4Α β) Η εξίζωζη ηηρ ηασύηηηαρ Η ηαρύηεηα ελόο ζώκαηνο πνπ εθηειεί απιή αξκνληθή ηαιάλησζε δίλεηαη από ηελ εμίζσζε: +υ max π = π max ζπλσt -υ max όπνπ π max = σ A είλαη ε κέγηζηε ηηκή ηεο ηαρύηεηαο. Σηηο αθξαίεο ζέζεηο ε ηαρύηεηα είλαη κεδέλ π=0 Σηελ ζέζε ηζνξξνπίαο ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο είλαη κέγηζην π max = σ A. Αλ ην ζώκα θηλείηαη πξνο ηελ ζεηηθή θαηεύζπλζε ε αιγεβξηθή ηηκή ηεο ηαρύηεηαο είλαη π =+ π max ελώ όηαλ ην ζώκα θηλείηαη πξνο ηελ αξλεηηθή θαηεύζπλζε ε αιγεβξηθή ηηκή ηεο ηαρύηεηαο είλαη π = - π max γ) Η εξίζωζη ηηρ επιηάσςνζηρ Η επηηάρπλζε ελόο ζώκαηνο πνπ εθηειεί απιή αξκνληθή ηαιάλησζε δίλεηαη από ηελ εμίζσζε: α = - α max εκσt +α max όπνπ α max = σ 2.A -α max είλαη ε κέγηζηε ηηκή ηεο επηηάρπλζεο. ΚΕΦ.1 ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ (ΚΙΝΗΜΑΣΙΚΗ ΚΑΙ ΓΤΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΔΓΓΙΗ) Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 4

5 Σηελ ζέζε ηζνξξνπίαο ε επηηάρπλζε είλαη κεδέλ α=0 Σηηο αθξαίεο ζέζεηο ε επηηάρπλζε έρεη κέγηζην κέηξν α max = σ 2 A. Αλ ην ζώκα βξίζθεηαη ζηελ ζέζε x=+α ε αιγεβξηθή ηηκή ηεο επηηάρπλζεο είλαη α= - α max ελώ όηαλ ην ζώκα βξίζθεηαη ζηελ ζέζε x=- Α ε αιγεβξηθή ηηκή ηεο επηηάρπλζεο είλαη α= + α max Όηαλ x > 0 είλαη πάληα α < 0 θαη όηαλ x < 0 είλαη πάληα α >0 δει ε θνξά ηεο επηηάρπλζεο είλαη πάληα πξνο ηελ ζέζε ηζνξξνπίαο. Επεηδή α max = σ 2.A => α max = σ.σa => α max = σ. π max δ)η εξίζωζη ηηρ δύναμηρ σέζη δύναμηρ-απομάκπςνζηρ Η ζπληζηακέλε ησλ δπλάκεσλ πνπ αζθνύληαη ζε ζώκα ην νπνίν εθηειεί απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πξνζδηνξίδεηαη κε ηε βνήζεηα ηνπ δεύηεξνπ λόκνπ ηνπ Νεύησλα F = mα αλ αληηθαηαζηήζνπκε : α = - α ν εκσt => α = - σ 2 Α εκσt Δειαδή: F = m α => F = m (- σ 2 Α εκσt) =>F = -mσ 2 Α εκσt=> F = - mσ 2 x => F = -Dx Η πνζόηεηα mσ 2 απνηειεί κηα ζηαζεξά ηεο ηαιάλησζεο, ε νπνία ζπκβνιίδεηαη κε D, νλνκάδεηαη ζηαζεξά επαλαθνξάο θαη εμαξηάηαη από ηα θπζηθά ραξαθηεξηζηηθά ηνπ ζώκαηνο ή ηνπ ζπζηήκαηνο πνπ ηαιαληώλεηαη θαη έρεη κνλάδα κεηξήζεσο Ν/m ζην SI. D=mσ 2 Από ηε ζρέζε F = -D.x πξνθύπηεη όηη ε δύλακε θαη ε απνκάθξπλζε έρνπλ αληίζεηεο θαηεπζύλζεηο. Επεηδή ε απνκάθξπλζε έρεη θαηεύζπλζε από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο πξνο ηε ζέζε πνπ βξίζθεηαη ην αληηθείκελν ε δύλακε ζα έρεη θνξά πάληνηε πξνο ηε ζέζε ηζνξξνπίαο. Γη ' απηό ην ιόγν ιέγεηαη δύλακε επαλαθνξάο (ηείλεη λα επαλαθέξεη ην ζώκα ζηελ ζέζε ηζνξξνπίαο) Η εμίζσζε F =-D.x απνηειεί ηελ απαξαίηεηε ζπλζήθε, γηα λα εθηειεί έλα ζώκα απιή αξκνληθή ηαιάλησζε. Δειαδή: Για να εκηελεί ένα ζώμα απλή απμονική ηαλάνηωζη, ππέπει η ζςνιζηαμένη ηων δςνάμεων πος αζκούνηαι ζηο ζώμα ζε ηςσαία θέζη να έσει: ί) ηιμή ανάλογη ηηρ ηιμήρ ηηρ απομάκπςνζηρ ίί) θοπά ππόρ ηη θέζη ιζοπποπίαρ Σην δηπιαλό ζρήκα θαίλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο δύλακεο ζε ζπλάξηεζε κε ηελ απνκάθξπλζε. Γηα x=+a => F= -D A = - F max Γηα x=-a=> F= +D A = + F max Γηα x=0 => F=0 -A F -DA +DA +A x ΚΕΦ.1 ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ (ΚΙΝΗΜΑΣΙΚΗ ΚΑΙ ΓΤΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΔΓΓΙΗ) Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 5

6 σέζη δύναμηρ-σπόνος Αλ ζηελ εμίζσζε F = -D.x ζέζνπκε x = Aεκσt ηόηε παίξλνπκε: F = -D Aεκσt => F = -F max εκσt Σην δηπιαλό ζρήκα θαίλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο δύλακεο ζε ζπλάξηεζε κε ηελ απνκάθξπλζε. +F max -F max T/4 T/2 T Από ηελ ζρέζε F = - D.x παξαηεξνύκε όηη όηαλ x > 0 είλαη πάληα F < 0 θαη όηαλ x < 0 είλαη πάληα F >0 δει ε θνξά ηεο δύλακεο είλαη πάληα πξνο ηελ ζέζε ηζνξξνπίαο. Σηελ ζέζε ηζνξξνπίαο ε δύλακε είλαη κεδέλ F =0 Σηηο αθξαίεο ζέζεηο ε δύλακε έρεη κέγηζην κέηξν F max = D.Α =mσ 2 A. Αλ ην ζώκα βξίζθεηαη ζηελ ζέζε x=+α ε αιγεβξηθή ηηκή ηεο δύλακεο είλαη F= - F max = - D.Α ελώ όηαλ ην ζώκα βξίζθεηαη ζηελ ζέζε x=-α ε αιγεβξηθή ηηκή ηεο δύλακεο είλαη F= + F max = +D.Α ε) Η πεπίοδορ Αλ ζηε ζρέζε D=mσ 2 ζέζνπκε σ=2π/τ, ζα πάξνπκε: D = mσ 2 2 =>D=m ( ) =>D=m 2 m =>T 2 =4π 2 D => Τ=2π D m ΚΕΦ.1 ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ (ΚΙΝΗΜΑΣΙΚΗ ΚΑΙ ΓΤΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΔΓΓΙΗ) Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 6

7 ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ 1 Έλαο ηαιαλησηήο εθηειεί 120 πιήξεηο ηαιαληώζεηο ζε 1 min. Τν πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο είλαη 0,5m. Να ππνινγηζηνύλ: α) Η ζπρλόηεηα, ε θπθιηθή ζπρλόηεηα θαη ε πεξίνδνο. β) Η κέγηζηε ηαρύηεηα θαη ε κέγηζηε επηηάρπλζε. (π 2 = 10) ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ 2 Απ: α) f = 2Ηz, T= 0.5 s,σ =4π rad/s β) π max = 6,28m/s, α max = 80m/s 2 Η ρξνληθή εμίζσζε ηεο ζέζεο ελόο ζώκαηνο πνπ εθηειεί απιή αξκνληθή ηαιάλησζε είλαη: x=2εκ20t ζην S.I. Να ππνινγηζηνύλ: α) Τν πιάηνο, ε θπθιηθή ζπρλόηεηα θαη ε πεξίνδνο ηεο θίλεζεο. β) Η απνκάθξπλζε, ε ηαρύηεηα θαη ε επηηάρπλζε ηε ρξνληθή ζηηγκή t = π/120s. Απ: α) A= 2m, σ = 20 rad/s, T=π/10 s=0,314 s β) x=1m, π = 20 3 m/s, α = m/s 2 ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ 3 Έλαο ηαιαλησηήο κάδαο m=1kg εθηειεί α.α.η. Η ρξνληθή εμίζσζε ηεο ηαρύηεηά ηνπ είλαη π=2ζπλ10t ζην S.I. Να ππνινγηζηνύλ: α) Τν πιάηνο, ε θπθιηθή ζπρλόηεηα, ε πεξίνδνο ηεο θίλεζεο θαη ε ζηαζεξά επαλαθνξάο. β)τελ εμίζσζε ηεο απνκάθξπλζεο θαη ηεο επηηάρπλζεο ζε ζπλάξηεζε κε ηνλ ρξόλν. γ) Τελ εμίζσζε ηεο δύλακεο ζε ζπλάξηεζε κε ηνλ ρξόλν θαη ζε ζπλάξηεζε κε ηελ απνκάθξπλζε. δ) Τελ ηηκή ηεο απνκάθξπλζεο,ηεο ηαρύηεηαο,ηεο επηηάρπλζεο,ηεο δύλακεο ηελ ρξνληθή ζηηγκή t=t/12. Απ: α) Α = 0,2m, σ = 10 rad/s, T=0,2π s, D=100N/m β) x=0,2εκ10t (S.I)., α=-20εκ10t (S.I). γ) F=-20εκ10t (S.I)., F=-20 x (S.I). δ) x=0,1 m, π= 3 m, α = - 10 m/s 2, F=-10 N ΚΕΦ.1 ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ (ΚΙΝΗΜΑΣΙΚΗ ΚΑΙ ΓΤΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΔΓΓΙΗ) Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 7

8 ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ 4 α)να δεηρζεί όηη ε επηηάρπλζε ελόο ηαιαλησηή ζε ζπλάξηεζε κε ηελ απνκάθξπλζε δίλεηαη από ηε ζρέζε α= -σ 2 x β) Να δεηρζεί όηη ε ηαρύηεηα ελόο ηαιαλησηή ζε ζπλάξηεζε κε ηελ απνκάθξπλζε δίλεηαη από ηε ζρέζε π= 2 2 A x γ) Έλαο ηαιαλησηήο εθηειεί α.α.η. κε πεξίνδν Τ= π s θαη πιάηνο ηαιάλησζεο 3 cm. Να ππνινγηζηνύλ ε επηηάρπλζε θαη ηαρύηεηα όηαλ ε απνκάθξπλζε είλαη x= 3 /2 cm. Απ: γ)α=-4 3 cm/s 2, π= 3 cm/s ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ 5 Έλα ζώκα κάδαο m=1kg εθηειεί α.α.η.. Σε ρξνληθό δηάζηεκα 1 sec ην ζώκα πεξλά από ηελ ζέζε ηζνξξνπίαο 10 θνξέο. Η απόζηαζε ησλ αθξαίσλ ζέζεσλ ηνπ ζώκαηνο είλαη 0,4 m..να βξεζνύλ ηα: α) ε πεξίνδνο, ε ζπρλόηεηα, ε γσληαθή ζπρλόηεηα, ε ζηαζεξά επαλαθνξάο, ην κέγηζην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο, ηεο επηηάρπλζεο θαη ηεο δύλακεο επαλαθνξάο. β)τελ ηαρύηεηα θαη ηελ επηηάρπλζε ζηελ ζέζε x =+ 2 3A γ)τελ νξκή ηνπ ζώκαηνο ζηελ ζέζε x =+ 2 3A δ)τνλ ξπζκό κεηαβνιήο ηεο νξκήο ηνπ ζώκαηνο γηα x =+ 2 3A θαη x = +Α ε) Τνλ ξπζκό κεηαβνιήο ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ηνπ ζώκαηνο γηα x =+ 2 3A κε π>0 θαη x = 0 κε π<0 ΚΕΦ.1 ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ (ΚΙΝΗΜΑΣΙΚΗ ΚΑΙ ΓΤΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΔΓΓΙΗ) Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 8

9 ΑΚΗΔΙ 1.Έλαο ηαιαλησηήο εθηειεί α.α. η., πιάηνπο 1m θαη πεξηόδνπ 3, 14s. Να ππνινγηζηνύλ: α) Η ηαρύηεηα, όηαλ πεξλάεη από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο. β) Η επηηάρπλζε ζην άθξν ηεο ηξνρηάο. Απ: α) 2m/s, β) 4m/s 2 2.Η πεξίνδνο κηαο ηαιάλησζεο είλαη 1s. Να βξεζεί ε επηηάρπλζε ζε απνκάθξπλζε 0,2m (π 2 = 10). Απ: - 8m/s 2 3.Η απνκάθξπλζε ελόο ζώκαηνο, πνπ εθηειεί ηαιάλησζε, δίλεηαη από ηελ εμίζσζε: x = 0,5 εκ4t ζην S.I. Να ππνινγηζηνύλ: α) Τν πιάηνο θαη ε θπθιηθή ζπρλόηεηα. β) Η κέγηζηε ηαρύηεηα θαη ε κέγηζηε επηηάρπλζε. γ) Η απνκάθξπλζε, ε ηαρύηεηα θαη ε επηηάρπλζε ηε ρξνληθή ζηηγκή t = π/24 s. (π 2 = 10). Απ: α) 0,5 m, 4 rad/s, β) 2 m/s, 8m/s 2, γ) 0,25 m, 3 m/s, -4m/s 2 4.Τν πιάηνο κηαο απιήο αξκνληθήο ηαιάλησζεο είλαη 0,5m. Η επηηάρπλζε ζε απνκάθξπλζε 0,2m είλαη - 0,8m/s 2. Να ππνινγηζηνύλ: α) Η γσληαθή ηαρύηεηα. β) Η κέγηζηε ηαρύηεηα. Απ: α) 2rad/s, β) 1m/s 5.Έλαο ηαιαλησηήο εθηειεί α.α. η., πιάηνπο 1m θαη πεξηόδνπ 3, 14s. Να ππνινγηζηνύλ: α) Η ηαρύηεηα, όηαλ πεξλάεη από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο. β) Η επηηάρπλζε ζην άθξν ηεο ηξνρηάο. Απ: α) 2m/s, β) 4m/s 2 6.Σώκα κάδαο 2kg εθηειεί απιή αξκνληθή ηαιάλησζε. Η ρξνληθή εμίζσζε ηεο απνκάθξπλζεο είλαη: x = 0,2εκ 2 t (S.I.). ΚΕΦ.1 ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ (ΚΙΝΗΜΑΣΙΚΗ ΚΑΙ ΓΤΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΔΓΓΙΗ) Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 9

10 α) Να ππνινγηζηνύλ ην πιάηνο, ε πεξίνδνο, ε κέγηζηε ηαρύηεηα, ε κέγηζηε επηηάρπλζε θαη ε κέγηζηε δύλακε. β) Να γίλνπλ νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο (x,t), (π,t), (α,t), (F,t). γ) Να γίλνπλ νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο (α, x) θαη (F,x). Απ: α) 0,2m, 4s, 0,314m/s, 0,5m/s 2, 1Ν 7.Σώκα κάδαο m = 1 Kgr εθηειεί απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πιάηνπο A= 0,2 m. Ο ειάρηζηνο ρξόλνο κεηάβαζεο από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο σο ηελ αθξαία ζέζε είλαη t = π/10 sec. Να γξάςεηε ηηο εμηζώζεηο ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν: α. ηεο απνκάθξπλζεο. β ηεο ηαρύηεηαο. γ ηεο δύλακεο επαλαθνξάο. Θεσξείζηε όηη γηα t = 0 είλαη x= 0 θαη π > 0. Απ. α.y=0,2εκ5t (S.I), β.π= ζπλ5t (S.I), γ. F= - 5εκ 5t (S.I) 8.Τν κήθνο ηεο επζύγξακκεο ηξνρηάο κίαο απιήο αξκνληθήο ηαιάλησζεο, είλαη 20 cm. Τν θηλεηό πεξλάεη γηα t = 0 από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ θηλνύκελν πξνο ηελ ζεηηθή θνξά, θαη ηελ ρξνληθή ζηηγκή t 1 = 1 sec πεξλάεη γηα πξώηε θνξά από ηε ζέζε Α κε x Α = 5 cm. α. Να γξάςεηε ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν ηηο εμηζώζεηο ηεο απνκάθξπλζεο θαη ηεο ηαρύηεηαο. β. Να ππνινγίζεηε πνηα ρξνληθή ζηηγκή βξίζθεηαη ην θηλεηό ζηελ ζέζε Α γηα δεύηεξε θνξά. Απ: α.. x = 0,1εκ t (S.I.), π = ζπλ 6 t, β. t2 = 5 sec 9.Σην δηπιαλό ζρήκα θαίλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο επηηάρπλζεο ελόο απινύ αξκνληθνύ ηαιαλησηή ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν. α. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηεο απνκάθξπλζεο ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν θαη λα ηελ παξαζηήζεηε γξαθηθά. β. Να ππνινγίζεηε γηα πόζν ρξνληθό δηάζηεκα ν ηαιαλησηήο θηλείηαη ζε απνκάθξπλζε κεγαιύηεξε ηεο x= 0,1 m. Απ. α. x = 0,2 εκ10t (S.I.), β. Δt = π/15 sec ΚΕΦ.1 ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ (ΚΙΝΗΜΑΣΙΚΗ ΚΑΙ ΓΤΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΔΓΓΙΗ) Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 10

11 10.Σώκα κάδαο m = 1 kgr εθηειεί απιή αξκνληθή ηαιάλησζε κε πιάηνο A = 0,5 m. 'Όηαλ ε απνκάθξπλζε ηνπ ζώκαηνο είλαη 0,3 m, ην κέηξν ηεο δύλακεο επαλαθνξάο είλαη F = 30 Ν. Να ππνινγηζηεί ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο ηνπ ζώκαηνο ζηε ζέζε x = 0,3 m. Απ: π = 4 m/s 11.Σην δηάγξακκα ηνπ δηπιαλνύ ζρήκαηνο θαίλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο επηηάρπλζεο ελόο ηαιαλησηή ζε ζπλάξηεζε κε ηνλ ρξόλν. Να γξάςεηε ηηο εμηζώζεηο ηεο απνκάθξπλζεο θαη ηεο ηαρύηεηαο ζε ζπλάξηεζε κε ηνλ ρξόλν. Να θαηαζθεπάζεηε ηα αληίζηνηρα δηαγξάκκαηα ζε ζπλάξηεζε κε ηνλ ρξόλν. Απ: y = 0,8 εκ0,5t (S.I.), π = 0,4ζπλ0,5t (S.I.) ) 12.Η απνκάθξπλζε ελόο ζώκαηνο πνπ πξαγκαηνπνηεί A.Α.Τ. δίλεηαη από ηελ ζρέζε x = 0,6 εκ 4 t (S.I.) α. Πνηεο ρξνληθέο ζηηγκέο ην ζώκα δηέξρεηαη από ηελ ζέζε x = 0,3 m β. Πόζν ρξνληθό δηάζηεκα κεζνιαβεί από ηελ ζηηγκή πνπ ην ζώκα δηέξρεηαη από ηελ ζέζε ηεο κέγηζηεο ζεηηθήο απνκάθξπλζεο κέρξη ηε ζηηγκή πνπ πεξλάεη από ηελ ζέζε ηζνξξνπίαο κε αξλεηηθή ηαρύηεηα; Απ: α. t 1 = 2/3 sec, t 2 = 10/3 sec β. Δt = 2 sec 13.Σώκα κάδαο m = 1 kgr εθηειεί Γ.Α. Τ. κε ζηαζεξά επαλαθνξάο D = 4 N/m. Αλ ζηε ζέζε y 1 = 1m ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο ηνπ ζώκαηνο είλαη π 1 = 3 m/sec, λα βξεζνύλ: α. ε ζέζε ζηελ νπνία ε ηαρύηεηα ηνπ ζώκαηνο έρεη κέηξν π 2 = 2 m/sec. β. ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο. γ. ε κέγηζηε ηαρύηεηα θαη ε κέγηζηε δύλακε επαλαθνξάο. Απ: α. x 2 = 1,5 m,.β. A = 2 13 m, γ. πmax = 13 m/s, F max = 2 13 Ν 14.Η απνκάθξπλζε ζώκαηνο πνπ πξαγκαηνπνηεί νξηδόληηα A.Α.Τ. δίλεηαη από ηε ζρέζε: x= 0,2εκπt (S.I.) Να βξείηε: α) ην πιάηνο ηεο απνκάθξπλζεο, ηεο ηαρύηεηαο θαη ηεο επηηάρπλζεο. β) ηελ πεξίνδν, ηε ζπρλόηεηα θαη ηελ θπθιηθή ζπρλόηεηα. Απ: α) 0,2m, 0,2π m/s, 0,2 π 2 m/s 2,β) π rad/s, 2s, 0,5 Hz ΚΕΦ.1 ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ (ΚΙΝΗΜΑΣΙΚΗ ΚΑΙ ΓΤΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΔΓΓΙΗ) Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 11

12 15.Η απνκάθξπλζε ζώκαηνο πνπ πξαγκαηνπνηεί νξηδόληηα Γ.Α. Τ. δίλεηαη από ηε ζρέζε: x = 0,lεκ2πt (S.I.). Να βξείηε ηελ απνκάθξπλζε ηνπ ζώκαηνο ηηο ρξνληθέο ζηηγκέο: α) t = Τ/12 β) t = 5Τ/12 Να ζεσξήζεηε όηη ηε ρξνληθή ζηηγκή κεδέλ ην ζώκα πεξλά από ηε Θ.Θ. ηνπ. Απ: α)0,05 m, β) 0,05m. 16.Η απνκάθξπλζε ζώκαηνο πνπ πξαγκαηνπνηεί θαηαθόξπθε A.Α. Τ. δίλεηαη από ηε ζρέζε: x= 0,2εκ2πt (S.I.). Να βξείηε ηε ρξνληθή ζηηγκή t =Τ/8 α) ηελ ηαρύηεηά ηνπ. β) ηελ επηηάρπλζή ηνπ. Να ζεσξήζεηε όηη ηε ρξνληθή ζηηγκή κεδέλ ην ζώκα πεξλά από ηε Θ.Θ. ηνπ. 17.Η απνκάθξπλζε ζώκαηνο πνπ πξαγκαηνπνηεί Γ.Α.Τ. δίλεηαη από ηε ζρέζε: Απ: α)0,888m/s β)-0,987 m/s 2 x = 0,2εκ 2 t (S.I.). Να βξείηε ην ρξόλν πνπ κεζνιαβεί από ηε ζηηγκή πνπ ην ζώκα θαζώο απνκαθξύλεηαη από ηε Θ,Θ. ηνπ βξίζθεηαη ζε ζέζε όπνπ ε απνκάθξπλζε ηνπ είλαη 0,1 m, ώζπνπ λα βξεζεί ζηελ ίδiα ζέζε θαζώο επηζηξέθεη πξνο ηε Θ.Θ. ηνπ. 18. Σώκα πξαγκαηνπνηεί A.Α Τ. κε πεξίνδν 2s θαη πιάηνο 0,2 m. Να βξείηε όηαλ ε απνκάθξπλζε ηνπ είλαη 0,1 m α) ηελ ηαρύηεηά ηνπ. β) ηελ επηηάρπλζή ηνπ. Απ: 4/3 s Απ: α) 0,544m/ s β)-0,987 m/s 2 19.Υιηθό ζεκείν εθηειεί απιή αξκνληθή ηαιάλησζε θαηά κήθνο ηνπ άμνλα x'x. Τε ρξνληθή ζηηγκή t=0 ην πιηθό ζεκείν δηέξρεηαη από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ θηλνύκελν πξνο ηε ζεηηθή θαηεύζπλζε. Τν πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο είλαη Α=4cm θαη ε ζπρλόηεηα f=2 Ηz. Να ζεσξήζεηε όηη ε απνκάθξπλζε x ηνπ πιηθνύ ζεκείνπ από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ είλαη εκηηνληθή ζπλάξηεζε ηνπ ρξόλνπ. α. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηεο απνκάθξπλζεο x ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν. β. Να πξνζδηνξίζεηε ηε κέγηζηε ηαρύηεηα (θαηά κέηξν) ηνπ πιηθνύ ζεκείνπ θαη ηε ρξνληθή ζηηγκή t 1 θαηά ΚΕΦ.1 ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ (ΚΙΝΗΜΑΣΙΚΗ ΚΑΙ ΓΤΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΔΓΓΙΗ) Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 12

13 ηελ νπνία απηό ζα απνθηήζεη απηήλ ηελ ηαρύηεηα. γηα πξώηε θνξά κεηά ηε ρξνληθή ζηηγκή t=0. γ. Να πξνζδηνξίζεηε ηε κέγηζηε επηηάρπλζε ( θαηά κέηξν ) ηνπ πιηθνύ ζεκείνπ θαη ηε ρξνληθή ζηηγκή t 2 θαηά ηελ νπνία ηελ απνθηά γηα πξώηε θνξά κεηά ηε ζηηγκή t=0. δ. Να ππνινγίζεηε ηε ζπλνιηθή απόζηαζε πνπ δηάλπζε ην πιηθό ζεκείν από ηε ζηηγκή t=0 σο ηε ζηηγκή t= 1,25 s. Απ.α) x= εκ4πt (SΘ), β) 0,16π m/s, 0,25s, γ. 0,64.π 2 m/s 2, 8 1 s δ) 0,4m 20.'Ελα πιηθό ζεκείν εθηειεί απιή αξκνληθή ηαιάλησζε κε αξρηθή θάζε θ ν = 0. Σηε ζέζε x= lcm ην πιηθό ζεκείν έρεη ηαρύηεηα π= 2. 3 cm / sec θαη επηηάρπλζε α = -4cm / sec 2 Ζεηείηαη : α. Η πεξίνδνο ηεο ηαιάλησζεο β. Τν πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο. Απ. α. Τ=3,14sec, β. Α = 2cm ΚΕΦ.1 ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ (ΚΙΝΗΜΑΣΙΚΗ ΚΑΙ ΓΤΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΔΓΓΙΗ) Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 13