NUMERICAL EVALUATION OF HIGHLY OSCILLATORY INTERGRALS WITH WEAK SINGULARITIES

Σχετικά έγγραφα
ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Nov., ( µ ) ( (



Z L L L N b d g 5 * " # $ % $ ' $ % % % ) * + *, - %. / / + 3 / / / / + * 4 / / 1 " 5 % / 6, 7 # * $ 8 2. / / % 1 9 ; < ; = ; ; >? 8 3 " #

Oscillatory integrals

Lecture 5: Numerical Integration

Review-2 and Practice problems. sin 2 (x) cos 2 (x)(sin(x)dx) (1 cos 2 (x)) cos 2 (x)(sin(x)dx) let u = cos(x), du = sin(x)dx. = (1 u 2 )u 2 ( du)

UDC. An Integral Equation Problem With Shift of Several Complex Variables 厦门大学博硕士论文摘要库

M 2. T = 1 + κ 1. p = 1 + κ 1 ] κ. ρ = 1 + κ 1 ] 1. 2 κ + 1

Ηυλοποίησ ητηςπαραπάνωκατηγορίαςβρίσ κεταισ τοναλγόριθμο º¾ºΗγραμμή

2011 Ð 5 ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA May, ( MR(2000) ß Â 49J20; 47H10; 91A10

v w = v = pr w v = v cos(v,w) = v w

Solving integral equations based on radial basis function interpolation

P É Ô Ô² 1,2,.. Ò± 1,.. ±μ 1,. ƒ. ±μ μ 1,.Š. ±μ μ 1, ˆ.. Ê Ò 1,.. Ê Ò 1 Œˆ ˆŸ. ² μ Ê ² μ Ì μ ÉÓ. É μ ±, Ì μé μ Ò É μ Ò ² μ Ö

Θεωρία Συνόλων. Ενότητα: Διατακτικοί αριθμοί. Γιάννης Μοσχοβάκης. Τμήμα Μαθηματικών

Ó³ Ÿ , º 2(214).. 171Ä176. Š Œ œ ƒˆˆ ˆ ˆŠ

Déformation et quantification par groupoïde des variétés toriques

Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι. Άρης Παγουρτζής

ΑΡΧΕΙΑ ΚΑΙ ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

Ó³ Ÿ , º 1(130).. 7Ä ±μ. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê

High order interpolation function for surface contact problem

Ó³ Ÿ , º 2(131).. 105Ä ƒ. ± Ï,.. ÊÉ ±μ,.. Šμ ² ±μ,.. Œ Ì ²μ. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê

P ² ± μ. œ Š ƒ Š Ÿƒ ˆŸ Œ œ Œ ƒˆ. μ²μ μ Œ Ê μ μ ±μ Ë Í μ É Í ±μ ³μ²μ (RUSGRAV-13), Œμ ±, Õ Ó 2008.

P Ë ³μ,.. μ μ³μ²μ,.. ŠμÎ μ,.. μ μ,.. Š μ. ˆ œ ˆ Š Œˆ ŠˆŒ ƒ Œ Ÿ ˆŸ Š ˆ ˆ -ˆ ˆŠ

arxiv: v1 [math.dg] 3 Sep 2007

Solutions 3. February 2, Apply composite Simpson s rule with m = 1, 2, 4 panels to approximate the integrals:

.. ƒ²μ É, Œ. Œ Ï,. Š. μé ±μ,..,.. ³ μ μ, ƒ.. ÒÌ

Σανπρώτοπαράδειγμαχρήσ εωςτης ÉÈ ÒØ Öπαρουσ ιάζεταιέναπαράδειγμασ χεδιασ μούκύκλωνμέσ ασ εένακεντρικόπαράθυροº

Ανώτερα Μαθηματικά ΙI

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΟΠΤΙΚΑ ΣΥΣΤΑΤΙΚΑ

Προσομοίωση Δημιουργία τυχαίων αριθμών

tan(2α) = 2tanα 1 tan 2 α

2011 Đ 3 Ñ ACTA METALLURGICA SINICA Mar pp

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Προσεγγιστική Λύση Εξισώσεων. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ

2 SFI

SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS

Θεωρία Συνόλων. Ενότητα: Επιλογής επόμενα. Γιάννης Μοσχοβάκης. Τμήμα Μαθηματικών

ƒ Š ˆ ˆ ˆˆ. ƒ. Ê ÖÏμ a,.. Š Ê,.. Šμ²μ ÊÉμ a, ƒ..œ ÍÒ a,. ƒ. Œμ²μ± μ a,.. ± a a Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê

½ Τετραγωνίζω=κατασκευάζωκάτιίσουεμβαδούμεδοθέντετράγωνο. Δείτεκαιτην υποσημείωσηστηνπρότασηβ 14. ¾

Ó³ Ÿ , º 7(163).. 793Ä797 ˆ ˆŠ ˆ ˆŠ Š ˆ. .. Ëμ μ. Î ± É ÉÊÉ ³..., Œμ ±

Œˆ ˆ ƒ ˆŸ Ÿ ˆ ˆ Ÿ Œˆ ˆ

Vol. 37 ( 2017 ) No. 3. J. of Math. (PRC) : A : (2017) k=1. ,, f. f + u = f φ, x 1. x n : ( ).

N i. D i (x) = 1 N i. D(x, x ik ). (3, 1), (3, 0.9), (3, 0.8), (3, 0.8) (4, 0), (4, 0.1), (4, 0.2). k=1. j=1

Ó³ Ÿ , º 6(155).. 805Ä813 ˆ ˆŠ ˆ ˆŠ Š ˆ. ˆ.. ³ Ì μ, ƒ.. Š ³ÒÏ, ˆ.. Š Ö. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê. Ÿ. ʲ ±μ ±

2x 2 y x 4 +y 2 J (x, y) (0, 0) 0 J (x, y) = (0, 0) I ϕ(t) = (t, at), ψ(t) = (t, t 2 ), a ÑL<ÝÉ b, ½-? A? 2t 2 at t 4 +a 2 t 2 = lim

S i L L I OUT. i IN =i S. i C. i D + V V OUT

Ó³ Ÿ , º 5(147).. 777Ä786. Œ ˆŠ ˆ ˆ Š ƒ Š ˆŒ. ˆ.. Š Öαμ,. ˆ. ÕÉÕ ±μ,.. ²Ö. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê

P ² Ì μ Š ˆ Œˆ Š Œ Œˆ. ² μ Ê ² Nuclear Instruments and Methods in Physics Research.

Prey-Taxis Holling-Tanner

Š Ÿ Š Ÿ Ÿ ˆ Œ ˆŠ -280

ˆŒ œ ƒ ƒ ˆ ˆŸ ˆ Š ˆ 137 Cs Š ˆ Œ.

P ²ÒÏ,.. μ μ Š ˆ ˆ Ÿ ˆ

ƒˆˆ-ˆœ œ Ÿ ˆ ˆ Š ˆˆ ƒ ˆ ˆˆ

Ó³ Ÿ , º 7(205) Ä1540 ˆ ˆŠ ˆ ˆŠ Š ˆ. .. ŠÊ Íμ,.. Ê ±μ,.. ² μ 1. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê

p din,j = p tot,j p stat = ρ 2 v2 j,

ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Sep., ( MR (2000) Õ È 32C17; 32F07; 35G30; 53C55

ØÖÓÒÓÑ ÈÖ Ø ÙÑ Ù Ò Ö Ò Ë Ð ØÛ ØØ Ö¹ ØÖÓÒÓÑ Íº Ù ÍÒ Ú Ö ØØ Ù ÙÖ ¹ Ò Ö ËÓÒÒ ÒÐ Ù Ñ Î ÖÐ Ù Ò Â Ö Ð ÙÒ ½ Û ÙÒ Ö ËÓÒÒ Ö Ò À ÑÑ Ð ÞÙ Ï ÒØ Ö Ò Ò Ö Ð Ò Ò Ò ÙÒ

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Μέθοδος Ελάχιστων Τετραγώνων. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

P ƒ. μ μ², Œ.. ˆ μ,.. μ ± Î Š Ÿ ˆ Œ ˆŸ ˆ Ÿ Š ˆ. ² μ Ê ² μ Ò É Ì ± Ô± ³ É.

ˆ Œ ˆŸ Š ˆˆ ƒ Šˆ ƒ ƒ ˆ Šˆ ˆ ˆ Œ ˆ

DtN ² *1) May, 2016 MATHEMATICA NUMERICA SINICA Vol.38, No.2. ˱ Helmholtz µå ű Dirichlet-to-Neumann. u = g, Γ, (1.1) r iku = o(r 1 2 ), r,

J. of Math. (PRC) 6 n (nt ) + n V = 0, (1.1) n t + div. div(n T ) = n τ (T L(x) T ), (1.2) n)xx (nt ) x + nv x = J 0, (1.4) n. 6 n

Ó³ Ÿ , º 4(181).. 501Ä510

ˆ Œ ˆ Ÿ ˆ ˆŸ Ÿ - ˆ ˆ Šˆ Š ˆŸˆ

SOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM

LAPLACE TYPE PROBLEMS FOR A DELONE LATTICE AND NON-UNIFORM DISTRIBUTIONS

Δυναμικοί τύποι δεδομένων

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ

Georgiou, Styliani. Neapolis University. þÿ ±½µÀ¹ÃÄ ¼¹ µ À»¹Â Æ Å

ƒ ˆŒ Œ ƒ ƒ ˆ ƒ ˆŠ ˆ -144

ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Ä616 Š ˆŒ CMS LHC

P Œ ²μ, Œ.. ƒê Éμ,. ƒ. ²μ,.. μ. ˆ ˆŸ Œˆ ˆŸ ˆ Š Œ ˆŸ Ÿ - ˆ ˆ ŠˆŒˆ Œ Œˆ ˆ œ ˆ Œ ˆ ŒˆŠ Œ -25

Ó³ Ÿ , º 7(163).. 855Ä862 ˆ ˆŠ ˆ ˆŠ Š ˆ. . ƒ. ² ͱ 1,.. μ μ Íμ,.. μ²ö,.. ƒ² μ,.. ² É,.. ³ μ μ, ƒ.. Š ³ÒÏ,.. Œμ μ μ,. Œ.

Ó³ Ÿ , º 7(163).. 798Ä802 ˆ ˆŠ ˆ ˆŠ Š ˆ. .. Ëμ μ. Î ± É ÉÊÉ ³..., Œμ ±

RELATIONSHIP BETWEEN MECHANICAL PROPERTIES AND LAMELLAR ORIENTATION OF PST CRYSTALS IN Ti 45Al 8Nb ALLOY

INTEGRAL INEQUALITY REGARDING r-convex AND

ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Ä Œμ Ìμ. ±É- É Ê ± μ Ê É Ò Ê É É, ±É- É Ê, μ Ö

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

An Inventory of Continuous Distributions

Œ ˆ Œ Ÿ Œˆ Ÿ ˆŸŒˆ Œˆ Ÿ ˆ œ, Ä ÞŒ Å Š ˆ ˆ Œ Œ ˆˆ

AMS 212B Perturbation Methods Lecture 14 Copyright by Hongyun Wang, UCSC. Example: Eigenvalue problem with a turning point inside the interval

2 Composition. Invertible Mappings

ƒê,.. ± É,.. Ëμ μ. ˆŸ Œ ƒ ˆ ƒ Ÿ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ Šˆ- ˆŒŒ ˆ ƒ Œ ƒ ˆ. ² μ Ê ² ² ±É Î É μ

þÿ Á±½Äà Å, šåá¹±º Neapolis University þÿ Á̳Á±¼¼± ¼Ìù±Â ¹ º à Â, Ç» Ÿ¹º ½ ¼¹ºÎ½ À¹ÃÄ ¼Î½ º±¹ ¹ º à  þÿ ±½µÀ¹ÃÄ ¼¹ µ À»¹Â Æ Å

Κληρονομικότητα. ΙωάννηςΓºΤσ ούλος

Œ.. ² μ,.. Œ ²μ, ƒ.. μ ±μ,. Ô Ô ², Œ.. ƒê Éμ, Œ.. Œ ² μ *

: Monte Carlo EM 313, Louis (1982) EM, EM Newton-Raphson, /. EM, 2 Monte Carlo EM Newton-Raphson, Monte Carlo EM, Monte Carlo EM, /. 3, Monte Carlo EM

Morganναδώσειμίαεναλλακτικήμέθοδο,αποδεικνύονταςπρώταότιηευθείαπουδιχοτομεί κάθεταμίαχορδήπεριέχειτοκέντροτουκύκλου. Παρ όλααυτά,καιαυτήημέθοδοςέχει

Τεχνικές βασισμένες στα Δίκτυα Αναμονής Εισαγωγικά Επιχειρησιακοί νόμοι

2?nom. Bacc. 2 nom. acc. S <u. >nom. 7acc. acc >nom < <

Š ˆ œ Ÿ ˆ œ Œ Œ ƒ ˆ Œ Œ LEPTA

P ƒ.. Š ³ÒÏ,.. Š ³ÒÏ,.. ± ˆ ŒˆŠˆ Š ˆŠ

þÿ±½»åã ±½±³ºÎ½ ƱÁ¼ ³  þÿ» Á Æ Á¹±º Í ÅÃÄ ¼±Ä  þÿ ºº± Á¹Ã  ±À±½Î½

Blowup of regular solutions for radial relativistic Euler equations with damping

Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude

J. of Math. (PRC) Banach, , X = N(T ) R(T + ), Y = R(T ) N(T + ). Vol. 37 ( 2017 ) No. 5

þÿ¼ ½ ±Â : ÁÌ» Â Ä Å ÃÄ ²µ þÿä Å ÃÇ»¹º Í Á³ Å

CHAPTER 101 FOURIER SERIES FOR PERIODIC FUNCTIONS OF PERIOD

Editorís Talk. Advisor. Editorial team. Thank

Transcript:

27  9 ÞÒÙ ËÙ ÒÂÆ 38 3 Æ Sep., 27 Journl On Numericl Methods nd Computer Applictions Vol.38, No.3  ÀÃ Ä ÁÅ * 2. ²É± Ñ Ê É Ï, 4543 2. ²É± Ý Ê¹ Ï, 4543» Ê ÔÁ ¾Æ µôá b lnx lnb x x α x ηb x βfxex dx, È < α <, < β <,η,b, fx Ü [,b], ÙÝÑÔÁ. Ä, Æ µôá ²Û Á ¹ÆÁ, ÆÁ Å ², ÆÁÒÅ n Guss-Lguerre ÔÁØÐ., ¾Ê ¾ ÅÌ Ý ², Ä ¾ Ý. ÝÑÐ ¼Ä ¾È ¾. : µ Ý; ÝÑÔÁ; ; Guss-Lguerre ÔÁ; Ê ¾ MR 2 ² : 65D32 NUMERICAL EVALUATION OF HIGHLY OSCILLATORY INTERGRALS WITH WEAK SINGULARITIES Wng Xinhui Qio Hui 2. School of Mechnicl nd Power Engineering, Henn Polytechnic University, Jiozuo 4543, Chin 2. School of Mthemtics nd Informtion Science, Henn Polytechnic University, Jiozuo 4543, Chin Abstrct In this pper, we explore qudrture methods for highly oscilltory integrl b lnx lnb x x α x ηb x βfxex dx, where < α <, < β <,η,b. fx is n nlytic function in [,b]. In the presented method, the highly oscilltory integrls cn be seprted to two prts. One prt is evluted by the symptotic method, nd nother prt is evluted by the n points Guss- Lguerre qudrture. A new constructed function is used to tret the wek singulrity in ech expnsion of symptotic method. The symptotic error is given in inverse powers of the * 26  6 4 Ùº. Ð ² : Æ Ð Þ²Ð ÐÜ NSFRF422 ²É± Ð B24-38.

26 ÝÑØÐÊØÐÑÁÅ 27  frequency. The vlidity of the presented method hs been demonstrted by the numericl exmples. Keywords: oscilltory function; numericl qudrture; symptotic method; Guss- Lguerre qudrture; wek singulrity 2 Mthemtics Subject Clssifiction: 65D32. ½ º Å ÓÀÍ Ö È Ö Í¹½ Ç. ÉÅ ÓÀÍ, Õ Á ¼ [ 4]. Ö, Å ÓÀÍ Å Đ³½ º, «Ì Ç Æ Đ Ü Å½½Õ. Ú º½Å ÓÀ b lnx lnb x x α x ηb x βfxex dx,. ÇÖ < α <, < β <, η,b, fx Ö Û [,b] Ö½ Ü. ÇÓÀ½ ±Ú ½ Ç, ÇÖÓÀ½Å ½, ¾«ÇÖÓÀ Ç É ½. Ç É ½½Å ÓÀ ½. Erdélyi [5] ØÑÄ Neutrlizer Ü À ÓÀ½ß«. Lyness [6,7] À ܱ ß«. [8]» ØÅ ÓÀ. É Ç É Cuchy É ½½Å Ü, Ø ßÓÀ [9]. Clenshw-Curtis-Filon Å [] Ä Í Û Ç²Ü É ½½Å Ü., Ç Ç ½ Ä ± Ç É ½½Å ÓÀ Ü [ 3].,  ½ ÐÚÈ ÖÛ Ö ± ÑÄ, È ÖÛ ÎÅË ØÝ Çµ½ÜÐ. É»ÓÀ ß«, Øǵ½ÜÐ. à Ö, Å ÓÀÚ Äß«n Guss-Lguerre ÓÀ ±. ß«Ö, ½ É ½ ÄË Ü ±. ÜÐ ³»Ã ½Çµ½. 2. Ú, Ú ÓÀ»Ó½ß«, ÓÀ»ÓÆ ÇÖ fx, gx ÖÏ Ü,. ¼ 2. [3]., É, Ç I[f] I[f] b σ [f]x fx σ n+ [f]x d dx m fxe gx dx. 2. σ n [f]x, n,,2... g x 2.2 m+ { } e gb g b σ m[f]b eg g σ m[f]. 2.3

3 Æ : Ê ÔÁ ¾Æ µôáýñîø 27 ± 2., gx x, Ó 2.3 ß Æ I[f] m ± 2. ¼ß«½ s ± Q A s [f] s m m+{ e gb σ m [f]b e g σ m [f]}. 2.4 m+ { } e gb g b σ m[f]b eg g σ m[f] ¼ 2.2 []. ÉÏ Ü f g, s ±½ Æ 2.5 Q A s [f] I[f] O s,. 2.6 ÔÁÔ 3. ¾ÔÁ 3. ¾ Ú ØÅ ÓÀ½ÜÐÍ. Ú, ¼ ½ ±. ¼ 3.. ÉÓÀ I η,b.fx Ö Û [,b] ½ Î Â Ì ½ Ü. b fx x η ex dx, 3. Fx fx x η, 3.2 ÉÓÀ 3., ¼¹ ½ I m+ d m dx mfbeb dm dx mfe +iπe η fη, 3.3 m. Ú, É Õ½»ÓÀ, Ç Γ +Γ 2+Γ 3+Γ 4+Γ 5+Γ 6 fz z η ez dz. 3.4

28 ÝÑØÐÊØÐÑÁÅ 27 Â, Γ 2 «¼ Ü, [2] Õ, Ç ½ Γ 4+Γ 5+Γ 6 µ. Γ 2 fz z η ez dz fz z η ez dz iπe η fη. 3.5 m. ± 3., ÓÀ lim ǫ η+ǫ η ǫ Ö½ Cuchy É ½. m+ d m dz mfbeb dm dz mfe. 3.6 e x x η dx ½Ð iπeη fη, ÓÀ 3. 2 ÔÁÔ 3.3 ¾ÔÁ Å 3.. ÉÓÀ I[f] b lnx lnb x x α x ηb x βfxex dx, 3.7 ÇÖ, < α <, < β <,η,b, fx Ö Û [,b] Ö½ Ü. lnb x Fx x ηb x βfx, lnx Gx x α x η fx, Hx lnx lnb x x α b x β fx, ρ [F]x Fx, ρ k+ [F]x x α d lnx dx ϕ [G]x Gx, ϕ k+ [G]x b x β d lnb x dx ρ k [F]x ρ k [F] x α,k,,2... lnx ϕ k [G]x ϕ k [G]b b x β,k,,2... lnb x 3.8 3.9 3.

3 Æ : Ê ÔÁ ¾Æ µôáýñîø 29, I[f] + + k+ lnc i α e α kρ k[f]+ i β e b β c α [ρ k[f]c ρ k [F]]e c ln it t α e t dt ie c ln it t β e t dt+ie c d k lnc+ip k+ dp k c+ip α p k+ lnb c b c β [ϕ k[g]c ϕ k [G]b]e c k+ d k lnb c ip dp k b c ip β kϕ k[g]b+iπe η Hη. 3.. Ú ÀÄ ± 3., 3.7 ß Æ ½»Ó I[f] b Ý, ÊÓ 3.2 Ö, ÓÀ½ Cuchy É ½., 3.2 Ö½ÓÀ ß Æ ÇÓÀ ÇÖ, c,b,c η. p Hx x η ex dx+iπe η Hη, 3.2 I [f] c lnx lnb x x α x ηb x fxe x dx, β I 2 [f] b lnx lnb x c fxe x dx, x α x ηb x β ÐÚ Å ÓÀ I [f], ÀÄ ± 2. Ç I [f] c c { lnx lnb x x α x ηb x βfxex dx lnx x α [F[x] F[]]ex dx+f[] c } c lnx x α ex dx lnx x α [ρ [F]x ρ [F]]e x c { } lnx e x d x α [ρ [F]x ρ [F]] +ρ [F] { } c lnx x α [ρ [F]x ρ [F]]e x c c lnx x α ρ [F]xe x dx+ lnx x α ρ [F]e x dx ρ [F] c lnx c lnx x α ex dx+ρ [F] x α ex dx k+ c lnx x α [ρ k[f]x ρ k [F]]e x + k c ρ k [F] c 3.3 lnx x α ex dx lnx x α ex dx. 3.4

22 ÝÑØÐÊØÐÑÁÅ 27 Â ÀÄ Hópitl, ρ k [F]x ρ k [F] x α e x lnx x d dx ρ k[f]x αx α lnx x α e x lnx 2 x d dx ρ k[f]x e x αα x α α x α 2lnx x d dx ρ k[f]x αα x α α 2 x α ex x x α d dx ρ k[f]x αα α 2 e x. 3.5 x, ÓÀ c lnx x e x dx»óà ±, 2 Õ. α c lnx lnz x α ex dx Γ 2+Γ 3+Γ 4+Γ 5 z α ez dz, 3.6 z +ip, lnz Γ 4 z α ez dz lim r r i α e i α e α ln+ip +ip α e+ip idp lnip p α e p dp ln it t α e t dt 3.7, z +r e iθ, ³ r Ç lnz Γ 5 z α ez dz π i 2 ln+r e iθ iθ +r e iθ α e+re r e iθ dθ π 2 lnr e iθ ie r e iθ α r ereiθ e iθ dθ π e r α 2 lnr e iθ e rsinθ dθ π e r α 2 lnr dθ e r α lnr π, 3.8 2 lnz Γ 3 z α ez dz c lnx+ir x+ir α ex+ir dx, R. 3.9

3 Æ : Ê ÔÁ ¾Æ µôáýñîø 22 ¾«, z c+ip, Ç Γ 2 lnz z α ez dz ½ Ç, I [f] + i α e lnc+ip c+ip α ec+ip idp ie c lnc+ip c+ip α e p dp ie c ie c k+ lnc α k+ k+ p dk lnc+ip e dp k c+ip α p dk lnc+ip e dp k c+ip α c α [ρ k[f]c ρ k [F]]e c ln it t α e t dt ie c. 3.2 p d k lnc+ip k+ dp k c+ip α p kρ k[f]. 3.2 ±, I 2 [f] + k+ lnb c i β e b β b c β [ϕ k[g]c ϕ k [G]b]e c ln it t β e t dt+ie c d k lnb c ip k+ dp k b c ip β p kϕ k[g]b 3.22 Ý, ÓÀ ¼. ln it e t dt ln it t β t e t dt n Guss-Lguerre ÓÀÍ [4]. ± α. ± 3. Ö, Ü fx Å Ï Û [,b]. ¼ 3.2. ÉÓÀ 3.7, Ç ±½ß«Æ s Ö ±Ü.. ÓÀ error O s,. 3.23 lnxln x x.5 x.5 x /3 sinxex dx. 3.24 Ô c.8, 4 Guss-Lguerre ÓÀÄ Í ÀÓÀ. 3 4 ÀÅ Õ» s s Þ, ½Ø ½. 2 Ö Þ ½ Í., ÖÛÐ c ½ Ç ½Ã ³., 2 Æ Đ ½ Å. à ³» ½ Æ Çµ½.

222 ÝÑØÐÊØÐÑÁÅ 27 Â 3 s 4 s «³ c, s c c.5 c.5 c.25 c.35 c.45.2849e-5.2849e-5.2848e-5.2847e-5.2847e-5 c c.55 c.65 c.75 c.85 c.95.2845e-5.285e-5.2857e-5.2872e-5.2968e-5 c c.5-e-4 c.5-e-8 c.5 c.5+e-4 c.5+e-8.2848e-5.2275e-5.373e-5.2847e-5

3 Æ : Ê ÔÁ ¾Æ µôáýñîø 223 2 е± Æ s 5 Ñ.33523579465388.25472474299597 +.243279893353623i +.326746648i ØÐÑ.33565442867.254773483472 +.2432472484547i +.3963368474i.22e-4.5444e-5.76e-4.4222e-5 2 Ñ.635546854 -.6627875997 -.39793343874i +.7253579728i ØÐÑ.63483356 -.6628782228568 -.3979964378i +.725269657366i.2862e-5.9664e-6.222e-5.7496e-6 4. É»ÓÀ ±,» Ø ± Ç É ½ Cuchy É ½½Å ÓÀ. à Ö, Ë ÜÄ ± ß«½ É ½. Ü fx ½ ½ ÏÅ É Û [,b], ß«Ó. Å ÓÀ ±Ú ÀÆ À, À Ä ß«±, ¾ ÀÑÄ n Guss-Lguerre ÓÀ. ß«Öà ½ Ü. ÜÐ ³»Ã ½Çµ½. ¹ [] Iserles A nd Nørsett S. On qudrture methods for highly oscilltory integrls nd their implementtion[j]. BIT, 24, 44: 755-772. [2] Filon L N G. On qudrture formul for trigonometric integrls[j]. Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 928, 49: 38-47. [3] Levin D. Procedures for Computmg One nd Two Dimensionl Integrls of Functions With Rpid Irregulr Oscilltions[J]. Mth. comp., 982, 38: 53-538. [4] Huybrechs D, Vndewlle S. On the evlution of highly oscilltory integrls by nlytic continution[j]. SIAM J. Numer. Anl., 26, 44: 26-48. [5] Erdélyi A. Asymptotic representtions of Fourier integrls nd the method of sttionry phse[j]. J. Soc. Ind. Appl. Mth., 955, 3: 7-27. [6] Lyness J N. Numericl evlution of fixed-mplitude vrible-phse integrl[j]. Numer. Algorithms. 28, 49: 235-249. [7] Lyness J N, Lottes J W. Asymptotic expnsions for oscilltory integrls using inverse functions[j]. BIT Numer. Mth., 29, 49: 397-47. [8] Kng H C, Xing S H. Efficient integrtion for clss of highly oscilltory integrls[j]. Appl. Mth. Comp., 2, 28: 3553-3564.

224 ÝÑØÐÊØÐÑÁÅ 27 Â [9] Fng C H. Efficient methods for highly oscilltory integrls with wek nd Cuchy singulrities[j]. Int. J. Computer Mth., 25, http://dx.doi.org/.8/276.25.6732 [] Kng H C, Ling C. Computtion of integrls with oscilltory singulr fctors of lgebric nd logrithmic type[j]. J. Comput. Appl. Mth., 25, 285: 72-85. [] Wng H Y, Xing S H. On the evlutions of cuchy principl vlue integrls of oscilltory functions[j]. J. Comput. Appl. Mth., 2, 234: 95-. [2] MilovnoviøG V. Numericl clcultion of integrls involving oscilltory nd singulr kernels nd some pplictions of qudrtures[j]. Comput. Mth. Appl., 998, 36: 9-39. [3] Iserles A. nd Nørsett S. Efficient qudrture of highly oscilltory integrls using derivtives[j]. Proc. Royl Soc. Lond. Ser. A Mth. Phys. Eng. Sci., 25, 46: 383-399. [4] Abrmowitz M, Stegun I A. Hndbook of Mthemticl Functions, Ntionl Bureu of Stndrds, Wshington, DC, 964.