Morganναδώσειμίαεναλλακτικήμέθοδο,αποδεικνύονταςπρώταότιηευθείαπουδιχοτομεί κάθεταμίαχορδήπεριέχειτοκέντροτουκύκλου. Παρ όλααυτά,καιαυτήημέθοδοςέχει
|
|
|
- Αταλάντη Ευταξίας
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ã Ð Ó ËØÓ Õ ÛÒ ÐÓ ³ È Ö ÐÓÙ º½ È Ö Õ Ñ Ò ØÓÙ ÐÓÙ ³ ÇÖ ÑÓ ½ ½½ ÈÖ Ø ½ ÈÛ Ö ÓÙÑ ØÓ ÒØÖÓ ØÓÙ ÐÓÙº ÈÖÓØ ¾ ½ ÉÓÖ ÐÓ Ø ÑÒ Ñ ÒÓ ÔØ Ñ ÒÓ º ÈÖÓØ ½ ½ ÔØ Ñ Ò º ÈÖÓØ ¾¼ ¾¾ ½ ÛÒ ØÑ Ñ Ø ÐÓÙ Ø ØÖ ÔÐ ÙÖ ÐÓÙº
2 à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï È ÊïÁ ÃïÍÃÄÇÍ ÈÖÓØ ¾ ¾ ¾ ÉÓÖ Ø Ü ÛÒ º ÈÖ Ø ¼ ÈÛ ÕÓØÓÑ Ø Ò Ø ÜÓº ÈÖÓØ ½ È Ö Ø Ö Ô Ö ÛÒ ôò ÐÓÙº ÈÖÓØ ÌÓÑ ÕÓÖ ôò Ø ÑÒÓÙ ôò ÔØÓÑ ÒÛÒº º¾ ÇÖ ÑÓ ØÓÙ ÐÓÙ ³ ÇÖ ÑÓ ½º ³Á Ó ÐÓ Ò ÙØÓ ØÛÒ ÓÔÓÛÒ Ó Ñ ØÖÓ Ò Ó ÔÓ Ø ¹ ØÓÙ Ô Ø ÒØÖ Ò º ½ Ô Ö Ø Ö ÓÙÑ ô Ø ÒÒÓ Ø Ø Ø ÐÛÒ Ò Ò Ø Ø Ô Ö ÕÓÑ ÒÓÙ ÔÛ Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑ ÐÐ Ñ ÐÐÓÒ Ø Ø Ñ ØÖÛÒ ØÒÛÒµº Ç Ù Ð ÓÔ Ò ÔÓ Ü Ø Ò ÖÕ ØÓÙ ÁÔÔÓ Ö Ø Ô Ø Ò ÓÔÓ ÔÖÓ ÔØ Ó ÙÒ Ñ ØÛÒ ÓÖ ÑôÒº ¾º Ì ÔØÓÑ Ò ØÓÙ ÐÓÙ Å Ù Ð Ø Ø ÔØ Ø Ò ÐÓ Ò Ø Ò ÙÒ ÒØ ¾ ØÓÒ ÐÓ ÔÖÓ Ø Ò Ø Ò Ø ÑÒ ØÓÒ ÐÓº... º ÌÑ Ñ ÐÓÙ Ò ØÓ Ô Ö Õ Ñ ÒÓ Ô ØÓÒ ÐÓ Ñ Ù Õ Ñ º ½ Κατάπολλούςόπωςλ.χοι Tartaglia, Borelli, Playfairτούτοςοορισμόςέπρεπεναείναι αξίωμα.κατ άλλους,όπωςοsimson,είναιδυνατόννααποδειχθείωςπρότασηχρησιμοποιώνταςφερ ειπείντηνεναπόθεση,αλλάοευκλείδηςτοαποφεύγειαυτόόπουμπορεί.βλέπουμε ότιδενυπάρχειορισμόςτηςακτίνας,οιαρχαίοιδενχρησιμοποιούσαναυτόντονόρο. Ετσι ακτίναεδώείναιηαπόστασηαπότοκέντρο. ¾ άπτεταιστοαρχαίοκείμενο. Αςπαρατηρήσουμετηδιαφοράτουάπτεται=συναντάκαι εφάπτεται.
3 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË ÉÇÊ ï Ë ËÉ ÌÁÃïÀ Âï ËÀ ÃïÍÃÄÏÆ º ÛÒ ØÑ Ñ ØÓ Ò Ô Ö Õ Ñ Ò Ô ÔÓ Ù Ô Ö ¹ Ö ÐÓÙº º ÛÒ ØÑ Ñ Ò ÛÒ ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ø ÙÒ Ñ Ò ØÑ Ñ Ø Ø Ò ÔÓ Ó Ñ Ó Ð Ô Ø Ô Ö Ö ØÓÙ ØÑ Ñ ØÓ Ó Ù ÙÒ Ó Ò Ô ÙØ ÔÖÓ Ø Ö Ø Ù ÓÔÓ Ò ØÓÙ ØÑ Ñ ØÓº ËÕ Ñ º½ ÛÒ ØÑ Ñ ØÓ Ö Ø Ö µ ÛÒ ØÑ Ñ Ü µº... ½½º ³ÇÑÓ ØÑ Ñ Ø ÐÛÒ Ò Ø Õ Ñ Ò ÛÒ ÙØ Ó ÛÒ Ò Ñ Ø Ü ØÓÙº º ÐÓ ³ Å ÖÓ ÉÓÖ ÐÛÒ ÐÓ Ø ÑÒ Ñ ÒÓ ÔØ Ñ ÒÓ ÈÖÒ Ü Ò Ñ ØÓ Å ÖÓ Ó Ù Ð Ô Ö Ø ØÓ ÔÖ Ð Ñ ³ ½ ÔÛ Ö Ø ØÓ ÒØÖÓ Ò ÐÓÙº ÌÓ ØÓ Ò Ø Ô Ö Ü ÒÓ Ó Ô ÖÜ ØÓÙ ÒØÖÓÙ Ü ÐÞ Ø ØÓÙ ÇÖ ÑÓ ³ ½ ½ Ò Ñ Ò Ø Ø Ù ØÓÙ ÐÓÙ Ñ Ø Ü ÐÞ ØÓÒ ÔÖÓ ÓÖ Ñ ØÓÙ ÒØÖÓÙº Å ÐÐÓÒ Ô Ö ÙØ Ø ÔÖ Ø Ô Õ Ô Ð Ø Ö Ø ÕÒ º Ò¹ Ø ØÓ Ñ Ò Ò ÖÕ Ó ÛÑ ØÖ Ø ÕÒØ µ Ò Ö Ò ÐÓ ØÓ ÕôÑ ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø Ø Ò ÓÙº ÈÓÙ Ò ØÓ ÒØÖÓ À Ô ÒØ Ò ÓÐ º Ç Ù Ð Ô ÖÒ Ñ ØÙÕ ÕÓÖ Ø Ò Ñ Ó Ø Ø º Ã Ø Ô Ò ÔÓ Ò Ø ØÓ Ñ ÓÒ Ø Ñ Ó ØÓÙ Ò ØÓ ÒØÖÓ ØÓÙ ÐÓÙ Οορισμόςτηςγωνίαςσετμήμααπηχείτηνπαράδοσητηςμεικτήςγωνίας.Σήμεραείναι παντελώςξεπερασμένος. Είναιηγνωστήσεόλουςεγγεγραμμένηγωνία. Δηλαδή,ηχορδή. Προτάσειςα 9και11. Εδώόμωςυπάρχειέναχάσμα: απόπουθενάδενδικαιολογείται ότιημεσοκάθετοςθατέμνειτονκύκλοσεακριβώςδύοσημεία! Τούτοοδήγησετον De
4 à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï È ÊïÁ ÃïÍÃÄÇÍ Ñ Ø Ò Ô Û ØÓÔÓº Ò ØÓ ÒØÖÓ Ø Ò ÔÓ Ó ÐÐÓ Ñ Ó ÒØ ØÓÙ ÐÓÙ ØÓ ÒôÒ Ñ Ø Ö Ø ÕÓÖ ØÓ Ñ ÓÒ Ø ÔÓ Ò Ø ÜÛØ Ö ÛÒ ØÓÙ Ò Õ Ñ Ø Þ Ñ ÒÓÙ ØÖ ôòóù Ò Ñ Ø Ò ÛØ Ö ØÓÙ ÐÐÓÙ ØÓ ÓÔÓÓ Ò Ò ØÓº ËØ Ò ÈÖ Ø ³ ¾ ÔÓ Ò Ø Ø ÕÓÖ Ò ÐÓÙ Ò ØÓ ÛØ Ö ØÓÙ ÐÓÙ Òô Ø Ò ÈÖ Ø ³ ÔÓ Ò Ø Ø Ñ Ñ ØÖÓ ÕÓØÓÑ Ñ ÕÓÖ Ò Ñ ÒÓ Ò Ò Ø ÙØ Òº ÈÖ Ø ³ º Ò Ò ÐÓ Ó Ù ÔÓÙ Ò Ô ÖÒÓ Ò Ô ØÓ ÒØÖÓ Ø ÑÒÓÒØ Ñ Ø Ü ØÓÙ Ø Ø Ò ÕÓØÓÑÓ ÒØ º ³ ØÛ Ó ÐÓ Ñ ³ ÙØ Ò Ó Ù Ó ÔÓÙ Ò Ô ÖÒÓ Ò Ô ØÓ ÒØÖÓ Ø ÑÒÓÒØ Ñ Ø Ü ØÓÙ ØÓ Ð Û Ø Ò ÕÓØÓÑÓ ÒØ º ËÕ Ñ º¾ ÈÖ Ø ³ º Ô Ü º Ø ØÛ Ø Ò ÙÒ Ø Ò Ò ÕÓØÓÑ Ó Ò ô Ø Ò Ò Ñ Ø Ò Ñ Ø Ò Õ Ð ØÓ ÒØÖÓ ØÓÙ ÐÓÙ ØÛ ØÓ ÙÒ º Morganναδώσειμίαεναλλακτικήμέθοδο,αποδεικνύονταςπρώταότιηευθείαπουδιχοτομεί κάθεταμίαχορδήπεριέχειτοκέντροτουκύκλου. Παρ όλααυτά,καιαυτήημέθοδοςέχει προβλήματα γιαλεπτομέρειες,κοιτάξτετον Heath, vol. II,σελ.7 8. Πρότασηγ 1.
5 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË ÉÇÊ ï Ë ËÉ ÌÁÃïÀ Âï ËÀ ÃïÍÃÄÏÆ Ô ÐÓ Ô Ò ÔÓ Ù ÔÓÙ Ô ÖÒ Ô ØÓ ÒØÖÓ ÕÓØÓÑ ÔÓ Ø Ò Ø ÑÒ ØÛ Ò Ö ÓÖ º È Ð Ô ÔÓ Ù ÕÓØÓÑ ÔÓ Ø Ò Ø ÑÒ ¹ ØÛ Ö Ò ÓÖ º Õ Ø Ò ÓÖ Ö Ò Ñ Ø Ò Ñ Ö Ø Ö Ñ Ø Ò Ñ Ð Ø Ö ØÓ ÓÔÓÓ Ò Ò ØÓº ³ Ö Ò Ò ÐÓ Ó Ù ÔÓÙ Ò Ô ÖÒÓ Ò Ô ØÓ ÒØÖÓ Ø ÑÒÓÒØ Ñ Ø Ü ØÓÙ Ø Ø Ò ÕÓØÓÑÓ ÒØ Çº º º Ç ÈÖÓØ ³ ½½»½¾ Ò ÙÑ º  ÜÓÙÑ Ñ ÒÓ Ø Ò ÈÖ Ø ³ ½½ ÔÓÙ Ñ Ð ÛØ Ö ÔØ Ñ ÒÓÙ ÐÓÙ Ô Ü Ø ³ ½¾ ÔÓÙ Ñ Ð ÜÛØ Ö ÔØ Ñ ÒÓÙ ÐÓÙ Ò Ô Ö ÔÐ º ÈÖ Ø ³ ½½º Ò Ó ÐÓ ÔØÓÒØ Ñ Ø Ü ØÓÙ ÛØ Ö Ð Ó Ò Ø ÒØÖ ØÓÙ Ø Ø Ù ÔÓÙ ÙÒ Ø ÒØÖ ØÓÙ ÔÖÓ Ø Ò Ñ Ò Ô Ö Ô ØÓ Ñ Ó Ô ØÛÒ ÐÛÒº Ø Ò Ó ÐÓ ÔÓÙ ÔØÓÒØ Ñ Ø Ü ØÓÙ ÛØ Ö ¹ ØÓ Ñ Ó Ð ØÓ ÒØÖÓ ØÓÙ ÐÓÙ ØÓ ÒØÖÓ À ØÓÙ ÐÓÙ º Ä Û Ø Ù ÔÓÙ ÙÒ Ø À ÔÖÓ Ø Ò Ñ Ò Ô ÖÒ Ô ØÓ º ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ ½½º Ô Ü º Πρότασηγ 3. Πρότασηγ 1.
6 à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï È ÊïÁ ÃïÍÃÄÇÍ Ø Ò Ò Ò ÙÒ Ø Ò ÑÔ ÔÛ À ÙÒ Ó Ò Ó Àº Ô ÐÓ Ô Ò ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ À À Ò Ñ Ð Ø ÖÓ Ô Ø Ò Ð Ô Ø Ò Â ½¼ Ö Ó Ò Àº ³ Ö ÐÓ Ô À Ò Ñ Ð Ø Ö Ø ÐÓ Ô Àº À À Ò Ñ Ø Ò À Ö À Ò Ñ Ð Ø Ö Ô Ø Ò ÀÂ Ð Ñ Ö Ø Ö Ò Ñ Ð Ø Ö Ô Ø Ò Ñ ¹ Ð Ø Ö ØÓ ÓÔÓÓ Ò Ò ØÓº ³ Ö Ô Ø À ÙÒ Ñ Ò Ù Ò Ô Ö ÜÛØ Ö Ô ØÓÒ Ò ÐÓ ÐÐ ÛØ Ö ØÓÙ ÐÐÓÙµ Ö Ô Ö Ô ØÓ Ó Ò Ñ Ó º ³ Ö Ò Ó ÐÓ ÔØÓÒØ Ñ Ø Ü ØÓÙ ÛØ Ö Ð Ó Ò Ø ÒØÖ ØÓÙ Ø Ø Ù ÔÓÙ ÙÒ Ø ÒØÖ ØÓÙ ÔÖÓ Ø Ò Ñ Ò Ô Ö Ô ØÓ Ñ Ó Ô ØÛÒ ÐÛÒ Çº º º ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ ½¾º Ç ÈÖÓØ ³ ½½»½¾ Õ Ò Ò Ö Ñ Ø ÖÑÓ Ø Ò ÖÕ Ø ØÓÒ ØÓÙ Å ÛÒ Ò ÓÙ Ø Ù Ø Ø ØÓÙ Ð Ñ ÒÓÙ ÓØ Ó ÖÙ ÑÓ º ËÕ Ñ º µ ½¼ Πρότασηα 20.
7 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË ÉÇÊ ï Ë ËÉ ÌÁÃïÀ Âï ËÀ ÃïÍÃÄÏÆ ËÕ Ñ º ÖÑÓ ØÛÒ ÈÖÓØ ÛÒ ³ ½½»½¾ Ø Ò Ñ ÛÒ ÖÕ Ø ØÓ¹ Ò À Ý Ø Ritterstiftskirche ØÓ Wimpfen Ø ÖÑ Ò ½¾ ¼º ËÕ Ð Ø ÈÖÓØ ³ ½½»½¾ ËÕ Ø ¹ ÐÛÒ Ò Ò Ô Ö Ø Ô ØÓÙ Ñ Ð Ø Ø ØÛÒ ËØÓ Õ ÛÒ Ø Ó ÔÓ Ü ØÛÒ ÈÖÓØ ÛÒ ³ ½½»½¾ Ò Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø º ½½ À Ñ Ö Ò ÔÖ Ø ¹ ÔÓÙ ÒØ Ø ÙØ Ø ÈÖÓØ ÐÐ Ü ÓÐÓÙ Ò Þ Ø Ø ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ù Ð ÛÖ Ñ Ø ÙÒ ØÓÒ Ö Ñ Ø Ò Ø Ò ¹ ØÛÒ Ó ÒôÒ Ñ ÛÒ Ó ÐÛÒ Ñ Ø Ò Õ ÔÓÙ Õ Ô Ø ØÛÒ ÒØÖÛÒ ØÓÙ Ñ ØÓ Ñ Ó ØÛÒ ØÒÛÒ ØÓÙº ½¾ ËÙÒÓÐ Ó ÈÖÓØ ³ ½½»½¾ ÒØ Ø ÒØ Ô Ø Ô Ñ Ò ½ ½º Ò Ô Ø ØÛÒ ÒØÖÛÒ Ó ÐÛÒ Ò Ñ Ð Ø Ö Ô ØÓ ¹ ÖÓ Ñ ØÛÒ ØÒÛÒ ØÓÙ Ø Ø Ó ÐÓ Ò ÕÓÙÒ Ó Ò Ñ Ò ÜÛØ Ö Ó Ó Ò ÔÖÓ ØÓÒ ÐÐÓÒº ¾º Ò Ô Ø ØÛÒ ÒØÖÛÒ Ó Ò ÛÒ ÐÛÒ Ò Ñ Ö Ø Ö Ô Ø Ò Ô ÐÙØ Ø Ñ Ø ÓÖ ØÛÒ ØÒÛÒ ØÓÙ Ø Ø Ó ÐÓ Ò ÕÓÙÒ Ó Ò Ñ Ó Ñ Ö Ø ÖÓ ÐÓ Ø ÓÐ Ð ÖÓ ÛØ Ö ØÓÙ Ñ Ð Ø ÖÓÙº º Ò Ô Ø ØÛÒ ÒØÖÛÒ Ó ÐÛÒ Ò Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ ØÒÛÒ ØÓÙ Ø Ø Ó ÐÓ ÕÓÙÒ Ò Ó Ò Ñ Ó Ñ ÒÓ ØÓ ÓÔÓÓ Ø Ø Ò ÒØÖÓº Ç ÐÓ Ò ÜÛØ Ö Ó Ó Ò ÔÖÓ ØÓÒ ÐÐÓÒº º Ò Ô Ø ØÛÒ ÒØÖÛÒ Ó Ò ÛÒ ÐÛÒ Ò Ñ Ø ÓÖ ½½ Δείτελ.χ.τον Heath, Vol. II,σελ ½¾ Οιρίζεςαυτήςτηςμεθόδουβρίσκονταιστους Veronese, Legendreκαιάλλους. ½ Γιατιςαποδείξεις,κοιτάξτετον Heath, Vol. II,σελ.30 32,ήταβιβλίατηςΓεωμετρίας τουλυκείου.
8 ¼ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï È ÊïÁ ÃïÍÃÄÇÍ ØÛÒ ØÒÛÒ ØÓÙ Ø Ø Ó ÐÓ ÕÓÙÒ Ò Ó Ò Ñ Ó Ñ ÒÓ ØÓ ÓÔÓÓ Ø Ø Ò ÒØÖÓº Ç Ñ Ö Ø ÖÓ ÐÓ Ø ÛØ Ö ØÓÙ Ñ Ð Ø ÖÓÙº º Ò Ô Ø ØÛÒ ÒØÖÛÒ Ó ÐÛÒ Ò Ñ Ö Ø Ö Ô ØÓ ÖÓ ¹ Ñ Ñ Ð Ø Ö Ô Ø ÓÖ ØÛÒ ØÒÛÒ ØÓÙ Ø Ø ÕÓÙÒ Ó Ó Ò Ñ ÔÓÙ Ö ÓÒØ ÙÑÑ ØÖ Û ÔÖÓ Ø ÒØÖÓ ÐÐ Ò ÒØ ³ ÙØ Òº º ÐÓ ³ Å ÖÓ ÔØ Ñ Ò Ç Ø Ö ÔÖÓØ ÙØ Ø Ô Ö Ö ÓÙ Ò Ñ Ð ô Ø Ò ØÓ ¹ Õ ô ÛÑ ØÖ Ø Ñ Ø Õ Ñ ØÞÓÙÒ Ø Ò Ø ÒÒÓ Ø ÔØÓ¹ Ñ Ò Û Ñ Ö ÑÑ ÔÓÙ ÓÙÑÔ ØÓÒ ÐÓ Ò ÕÖ ØÓ Ö Ð Ó Ñ ØÓ Ò ô ÓÙÒ Ñ ÔÐ Ø Ù Ø ÔØ Ñ Ò À ÔØ Ñ Ò Ò Ø Ø Ò ØÒ ÔÓÙ Ø Ô ØÓ ÒØÖÓ ÔÖÓ ØÓ Ñ Ó Ô º ÈÖ Ø ³ ½ À Ù ÔÓÙ Ö Ø Ø Ô ØÓ ÖÓ Ø Ñ ØÖÓÙ Ò ÐÓÙ Ô Ø ØÓÙ ÐÓÙº à ØÓÒ Ø ÔÓ Ñ Ø Ü Ø Ù Ø Ô Ö Ö Ò ÑÔÓÖ Ò Ô Ö Ñ Ð ½ ÐÐ Ù º Ã Ñ Ò ÛÒ ØÓÙ Ñ Ù ÐÓÙ Ò Ñ Ð Ø Ö Ô ÓÜ Ù Ö ÑÑ ÛÒ ÐÓ Ô Ò Ñ Ö Ø Ö Ô ÓÜ Ù Ö ÑÑ ÛÒ µº ½ ³ ØÛ Ó ÐÓ ÖÛ Ô ØÓ ÒØÖÓ Ñ Ñ ØÖÓ Ð Û Ø Ñ Ò Ô ØÓ ÔÖÓ Ø Ò Ø Ô Ø ØÓÙ ÐÓÙº Ô Ü º Ø Ò Õ Õ Ô ÒØ ØÓÙ ÐÓÙ ÔÛ Õ ÙÒ º Ô Ò Ñ Ø Ò ÛÒ Ò Ñ Ø ÛÒ º ½ À Ò ÓÖ Ö º ³ Ø ØÓ ØÖ ÛÒÓ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ ½ ουπαρεμπεσείταιστοαρχαίοκείμενο=δενμπορείναπέσειμεταξύ. ½ Απότηναρχαιότηταήδη,αλλάκαιστοδιάστημααπότον13οέωςτον17οαιώνα,το τελευταίομέροςτηςπρότασηςέγινεαντικείμενοδιαμάχης.ποιεςγωνίεςεννοείοευκλείδης; ΚατάτονΠρόκλο,καιεδώαπηχείταιηπαράδοσητωνμεικτώνγωνιών,τιςοποίεςκατάτ άλλαοευκλείδηςχρησιμοπιείαπόελάχισταέωςκαθόλου.ηγωνίαπουπαρεμβάλλεταιβέβεια δενείναιμεικτή. Στνπρο-Ευκλείδειαεποχή,οΔημόκριτοςείχεγράψειπερίτηςδιαφορής γνώμηςήπερίψαύσεωςκύκλουκαισφαίρης. ½ Πρότασηα 5.
9 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË ÈÌïÇÅ Æ Ë ½ ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ ½ º ÇÖ Ñ Ø ÔØÓÑ Ò º Ó ÛÒ ôò Ò Ó Ñ Ó ÓÖ ØÓ ÓÔÓÓ Ò Ò ØÓº ½ ³ Ö Ñ Ò Ô ØÓ Ø Ø Ò Ô ÒØ ØÓÙ ÐÓÙº ÇÑÓÛ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÜÓÙÑ Ø ÑÑ Ø ØÓ Ø Ô Ô Ø Ô Ö Ö º ³ Ö Ô ÓÙÒ Ð Ø º Ô ÔÛ º Ä Û Ø ØÓÒ Ø ÔÓ Ñ Ø Ü Ø Ø Ô Ö Ö Â Ò Ô Ö Ñ ÐÐ Ø ÑÑ ÐÐ Ù º Ø Ò Ø Ò ÙÒ Ø Ò Ô Ö Ñ Ð ÔÛ Õ Ô ØÓ Ñ Ó À Ø Ø Ò º ½ Ã Ô À Ò ÓÖ À Ò Ñ Ö Ø Ö Ô ÓÖ Ò Ö Ñ Ð Ø Ö Ô Ø Àº ½ À Ò Ñ Ø Â Ö Â Ò Ñ Ð Ø Ö Ô Ø À Ñ Ö Ø Ö Ô Ø Ñ Ð Ø Ö ØÓ ÓÔÓÓ Ò Ò ØÓº ³ Ö ØÓÒ Ø ÔÓ Ñ Ø Ü Ø Ù Ø Ô Ö Ö Ò Ô Ö Ñ ÐÐ Ø ÑÑ ÐÐ Ù º Ä Û Ø Ñ Ò ÛÒ ØÓÙ Ñ Ù ÐÓÙ ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ô Ø Ò Ù Ø Ò Ô Ö Ö Â Ò Ñ Ð Ø Ö Ô Ù Ö ÑÑ ÓÜ ÛÒ ÐÓ Ô ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ô Ø Ò Ô Ö Ö Â Ø Ò Ù Ò Ñ Ö Ø Ö Ô Ù Ö ÑÑ ÓÜ ÛÒ º Ø Ò ÙÔ ÖÕ Ù Ö ÑÑ ÛÒ Ñ Ð Ø Ö Ô Ø ÛÒ ÔÓÙ Ô Ö ¹ Õ Ø Ô Ø Ò Ù Ø Ò Ô Ö Ö Â Ñ Ö Ø Ö Ô Ø Ò ÛÒ ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ô Ø Ò Ô Ö Ö Â Ø Ò Ù ØÓÒ Ø ÔÓ Ñ Ø Ü Ø Ô Ö Ö Â Ø Ù Ô Ö Ñ ÐÐ Ø Ù ÓÔÓ Ò Ø Ò ÛÒ ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ø Ù µ Ñ Ð Ø Ö Ñ Ò Ô Ø Ò Ô Ö Õ ¹ Ñ Ò Ô Ø Ò Ù Ø Ò Ô Ö Ö Â Ñ Ö Ø Ö Ô Ø Ò ÛÒ ½ Πρότασηα 17. ½ Πρότασηα 12. ½ Πρότασηα 19.
10 ¾ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï È ÊïÁ ÃïÍÃÄÇÍ ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ô Ø Ò Ô Ö Ö Â Ø Ò Ù º ÐÐ Ò Ô Ö Ñ ÐÐ Ø º ³ Ö Ò ÙÔ ÖÕ Ù Ö ÑÑ ÓÜ ÛÒ ÔÓÙ Ò Ò Ñ Ð Ø Ö Ô Ø ÛÒ ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ô Ø Ò Ù Ø Ò Ô Ö Ö Â Ñ Ö Ø Ö Ô Ø ÛÒ ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ô Ø Ò Ô Ö Ö Â Ø Ò Ù º ËÕ Ñ º Ã Ö ØÓ ÛÒ º ËÕÓÐ ÞÓÒØ Ø Ò Ô Ü Ó Ñ Ü Ò Ø Ò Ö ØÓ ¾¼ ÛÒ ÔÓÙ Õ Ñ ØÞ Ø Ô Ø Ò Ù ØÓÒ ÐÓ ØÓ Ñ Ó Ô º Ñ Ø Ó Ù Ð ÔÓ Ò Ø ÛÒ Ñ Ø Ü ØÓÙ ÐÓÙ Ø ÔØÓÑ Ò Ò Ñ Ö Ø Ö Ô Ù Ö ÑÑ ÛÒ º ÌÓ ØÓ Õ Ó Ö ÙÒ Ô Ø Ø Ü ØÛÒ ÛÒ ôò Ò Ð Û ØÓÙ Ñ ¹ ÓÙ ØÓÙº À ÛÒ α ØÓÙ Õ Ñ ØÓ º ÑÔÓÖ Ò ÕÓØÓÑ Ü Ò Ü Ò µ ÐÐ ÔÓØ ÔÖÓ ÔØÓÙ ÛÒ Ò Ò Ñ Ö Ø Ö Ô Ø Ò ¹ Ö ØÓ º Ñ ÕÖÓÒÓÙ ÖÓÙ Ø Ü ÙØ ØÛÒ ÛÒ ôò ØÛÒ Ñ ØôÒ ÙÑÔ Ö Ð Ñ ÒÓÑ ÒÛÒµ Ò Ñ ÖÕ Ñ º ¾½ Ç Ù Ð Ø Ò Ò Ñ ÖÓ Ø Ø Ø Ø ÐÐ Ô Ö ÔØô ÔÓ Ð Ñ ¹ ÖÕ Ñ Ø Ü º ËØÓÒ ÇÖ Ñ ³ Ñ Ð Ñ Ò Ø Ò ÔÓÐÐ ÔÐ ØÓ Ò Ò Ü Ô Ö ÓÙÒ ØÓ Ò ØÓ ÐÐÓ Ø Ò ÈÖ Ø ³ ½ Õ Ö ô Ø Ò Ø Ø Ø ³ ½ ÕÒ Ñ Ø Ó ØÓÙ ÓÖ ÑÓ ³ Ø Ø ÓÕ Ñ Ø Ð ÒÓÙÒ Ñ Ö Ø Ö Ô ØÓ Ø ÖÓ Ñ Óº Ç ÖÕ Ñ Ó Ñ ¹ ÖÕ Ñ Ø Ü Ø Ò ÒÛ Ø Ø Ô ÖÔÓÙ ÕÖ Ò ÔÖ Ò ØÓÒ ÖÕ Ñ º È Ö Ñ º ¾¼ ΟόροςοφείλεταιστονΠρόκλο. ¾½ Αςείναι xηγωνίαμεταξύτουκύκλουκαιτηςεφαπτομένηςκαι yμίατυχαίαευθύγραμμη γωνία. ΟΕυκλείδηςαπλάμαςλέγειότιγιακάθεφυσικόαριθμό n,το nx < yδηλαδήτο x είναιαπειροστόωςπροςτο y. Ενασύνολοπουέχειμίααλγεβρικήδομήκαιμίαδιάταξηκατά τηνοποίαυπάρχουν x, yμετο xναείναιαπειροστόωςπροςτο yκαλείταιμη-αρχιμήδειο.
11 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË ÈÌïÇÅ Æ Ë Ô ØÓ ØÓ Ò Ò Ö Ø Ù ÔÓÙ Ø Ø Ô Ø Ö Ñ Ñ ØÖÓÙ ÐÓÙ ÔØ Ø ØÓÒ ÐÓ Ø Ù ÔØ Ø Ò Ñ ÒÓ Ñ Ó Ô Õ Ø Ù ÔÓÙ Ø ÑÒ ØÓÒ ÐÓ Ó Ñ Ô Ø ÒØ ØÓÙ ÐÓÙº ¾¾ º Ǻ º º Ç ÈÖÓØ ³ ½»½ Ò Ñ Ö µ ÒØ ØÖÓ ØÓÙ ÈÓÖ Ñ ØÓº À ÈÖ ¹ Ø ³ ½ Ò Ó Ò ÖÓÒØÓ Ð Û Ø ØÙÔ Ø ÕÖ Ø Ùѹ Ñ ØÖ Ò Ñ Ñ Ø Ô Õ Ö Ñ º ÈÖ Ø ³ ½ º Æ Õ ÔØÓÑ Ò ØÓÙ ÐÓÙ Ô Ó Ò Ñ Ó ØÓÙº ³ ØÛ ØÓ Ó Ò Ñ Ó Ó Ó ÐÓº ÈÖ Ô Ò Õ Ô ØÓ ÔØÓÑ Ò ØÓÙ ÐÓÙ º ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ ½ º Ô Ü º Ø Õ Ð ØÓ ÒØÖÓ ØÓÙ ÐÓÙ ¾ Õ ÙÒ º Ã Õ Ö Ó ÐÓ À Ñ ÒØÖÓ Ø Ñ ¾ º Ã Õ Õ Ø Ø Ò Ô ØÓ ¾ ÕÓÙÒ ÙÒ Ó º Ä Û Ø ÔØÓÑ Ò Ô ØÓ ØÓÒ ÐÓ Õ Õ º ¾¾ Πρότασηγ 2. ¾ Πρότασηγ 1. ¾ διάστημα=ακτίνα. ¾ Πρότασηα 11.
12 à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï È ÊïÁ ÃïÍÃÄÇÍ Ø Ô ØÓ Ò ÒØÖÓ ØÛÒ ÐÛÒ À Ö Ò Ñ Ø Ò Ñ Ø Ò º ³ Ø Ó Ó Ù Ò Ñ Ø Ó Ù Ô Ö ÕÓÙÒ Ó Ò ÛÒ º ¾ º ³ Ö Ò Ñ Ø ØÓ ØÖ ÛÒÓ Ò Ó Ñ ØÓ ØÖ ÛÒÓ Ó ÐÓ Ô ÛÒ Ò Ñ Ø ÐÓ Ô ÛÒ º ¾ ³ Ö ÛÒ Ò Ñ Ø ÛÒ º À Ò ÓÖ Ö ÓÖ º Ã Ò Ô ØÓ ÒØÖÓ ¾ º à ٠ÔÓÙ Ø Ø Ô ØÓ ÖÓ Ø Ñ ØÖÓÙ ÔØ Ø ØÓÒ ÐÓ ¾ Ö ÔØ Ø ØÓÒ ÐÓ º ³ Ö Ô ØÓ Ó Ò Ñ Ó ØÓÙ ÐÓÙ Õ ÔØÓÑ Ò Ù Çº ºÈº Ù ØÓ Ñ Ñ Ø Ô Ü Ò Ó ÔÖÓ ØÓ ØÖ ÔÓ Ñ ØÓÒ ÓÔÓÓ ÔØÓÑ Ò ÔÓÙ Ø Ò ÔÖôØ Ñ Ø Ò ÕÒ Ò Õ Õ Ñ ØÓ ÔÖ Ð Ñ ÕÖ ÑÓÔÓ Ø Ò Ô Ö Õ Þ ØÓ Ñ Ò ÔØÓÑ Ò ØÓ ØÓ Ò Ø Ò Ø Ù ÓÑÝÓØ ÕÒ Ñ º À Ø Ù ÕÒ Ô Ø Ô Ó Ò Ñ Ó Ø ÐÓÙµ ÑÔÓÖÓ Ò Ò Õ Ó Ò Ó ÔØ Ñ Ò ØÓÒ ÐÓº Ò Ô Ò Ö Ø ØÓ Ø Ó ÔØ Ñ Ò Ò Ø Ó ÛÒ Ñ ÔÐ ÙÖ Ø ÔØ Ñ Ò Ø Ò Ù ÔÓÙ ÙÒ ØÓ Ó Ò Ñ Ó Ñ ØÓ ÒØÖÓ Ò Ô º ¼ Ç Ù¹ Ð Ô Ö Ð Ô Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ ØÓ Ó Ò Ñ Ó Ö Ø Ô ÒÛ Ø Ò Ô Ö Ö ÔÖÓ Òô Ð Û Ø Ð ÔØÓÑ ÖÓ Ò ÐÙ Ø ÈÖ Ø ³ ½ º Ô Ö Ø Ö ÓÙÑ Ø ÐÓ Ø Ò Ü Ö Ñ Ø Ö ÑÑ Ò Ñ Ð Ó ÛÒ Ò ÓÖ ÈÖ Ø ³ ½ Ô Ö ØÛµ ÔÐô Õ Ñ Ò Ö ÝÓÙÑ ÐÓ Ñ ØÖÓÙ ØÓ ØÓ Ø ÑÒ ØÓÒ Ó ÒØ ÐÓ Ø Ó Ñ Ô º º ÐÓ ³ Å ÖÓ ½ ÛÒ ØÑ ¹ Ñ Ø ÐÛÒ ³Á Û Ó Ø Ö Ô Ó Ñ ÒØ ÔÖÓØ ØÛÒ ËØÓ Õ ÛÒ Ò Ó Ô Ö ØÛ ½º À ÈÖ Ø ³ ¾ Ô Ö ØÓÙ ÖÓ Ñ ØÓ ÛÒ ôò ØÖ ôòóù ¾ ΜεκορυφήτοΕ. ¾ Πρότασηα 4. ¾ δηλαδήακτίνα. ¾ Πρότασηγ 16. ¼ Ταπαραπάνωδείχθηκαναπότον ΗρωνατονΑλεξανδρέα.
13 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË ½ ÏÆïÁ Ë Ë ÌÅïÀÅ Ì ¾º ÈÖ Ø ³ ØÓ ÈÙ Ö Ó Â ôö Ñ µ º ÈÖ Ø ³ ¾½ Ô Ö ØÓÙ Ò ÐÐÓ ôøóù ØÛÒ ÛÒ ôò ØÑ Ñ º ÈÖ Ø Ø³ ¾ Ô Ö ØÛÒ Ò ÐÓ ôò ØÛÒ ÔÐ ÙÖôÒ ÓÑÓÛÒ ØÖ ôòûòº À ÈÖ Ø ³ ¾¼ Ñ ØÓ ÓØ Ñ Ò ÖÕ ØÓ ÐÓ ³º ÈÖ Ø ³ ¾¼º Ë Ò ÐÓ ÛÒ ØÓ ÒØÖÓ ½ Ò ÔÐ Ø ÛÒ Ø Ò Ô Ö ¹ Ö Ø Ò Ó ÛÒ ÕÓÙÒ Ø Ò Ô Ö Ö º ¾ ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ ¾¼º Ô ÒØÖ Ö ÑÑ Ò ÛÒ º Ô Ü º ÉÖ ÑÓÔÓ Ó Ñ ÕÖÓÒÓ ÙÑ ÓÐ Ñ ÙÒØÓÑ ÐÐ Ø Ø³ ÐÐ ÓÐÓÙ Ó Ñ Ø Ð ÔØô ØÓÒ Ù Ð º ³ ØÛ α = Ñ ØÓ Ø ÜÓ º ÌÓ Ò ØÓ ÒØÖÓ ØÓÙ ÐÓÙº Ø Ò ÔÖôØ Ô ÖÔØÛ Ò ØÓ ØÓ ÛØ Ö Ø αº À ÔÖÓ Ø Ò Ø ØÓ º Ì Ø ØÓ Ò Ó Ð Ö ÜÛØ Ö ÛÒ ǫ = = 2 2βº ³ÇÑÓ η = = 2 2γº ³ Ö µ = = ǫ + η = 2(β + γ) = 2αº À Ô ÖÔØÛ ØÓÙ Ñ ÓÙ ÒØ Ñ ØÛÔÞ Ø Ô Ö ÑÓ Ñ Ø ÓÖ Ø ÖÓ ÒØ ÒØ Ò ÔÖÓ Ø ÒØ Ó ÛÒ º À ÈÖ Ø ³ ¾½ Ò Ñ Ó Ô Ö Ñ Ø ³ ¾¼ ½ =ηεπίκεντρηγωνία. ¾ Μεάλλαλογιαηεπίκεντρηγωνίαενόςτόξουείναιδιπλάσιατηςεγγεγραμμένηςστοίδιο τόξο.
14 à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï È ÊïÁ ÃïÍÃÄÇÍ ÈÖ Ø ³ ¾½º Ë Ò ÐÓ Ó ÛÒ ØÓ Ó ØÑ Ñ Ò Ñ Ø Ü ØÓÙº ËÕ Ñ º½¼ ÈÖ Ø ³ ¾½º Ç Ö ÑÑ Ò ØÓ Ó Ø ÜÓ Ò º À ÔÖôØ ÓÙ Ø ÖÑÓ Ø ÈÖ Ø ³ ¾½ Ò Ô Ö ØÛº ÈÖ Ø ³ ¾¾º ËØ Ø ØÖ ÔÐ ÙÖ ÒØ ÐÛÒ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ô Ò ÒØ ÛÒ ôò Ò Ó Ñ Ó ÓÖ º ³ ØÛ Ó ÐÓ Ñ ³ ÙØ Ò ØÛ Ø ØÖ ÔÐ ÙÖÓ ØÓ Ð Û Ø ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ô Ò ÒØ ÛÒ ôò Ò Ó Ñ Ó ÓÖ º Ô Ü º ÕÓÙÒ ÙÒ Ó º Ô ØÖ ÛÒÓ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ ØÖ ôò ÛÒ ôò ØÓÙ Ò Ó Ñ Ó ÓÖ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ ØÖ ôò ÛÒ ôò Ò Ó Ñ Ó ÓÖ º À Ñ Ò Ò Ñ Ø Ò Ò ØÓ Ó ØÑ Ñ Ò Ñ Ø Ò Ò ØÓ Ó ØÑ Ñ º ³ Ö Ð Ò Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ º ÈÖÓ Ø Ø Ø Ó º ³ Ö ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ò Ó Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ º ÐÐ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ò Ó Ñ Ó ÓÖ º ³ Ö ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ò Ó Ñ Ó =εγγεγραμμένατετράπλευρα. Πρότασηα 32. Πρότασηγ 21.
15 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË ¾ ÉÇÊ ï Ë ÌïÇ Ã Á ÏÆïÁ Ë ËÕ Ñ º½½ ÈÖ Ø ³ ¾¾º Ö ÑÑ ÒÓ Ø ØÖ ÔÐ ÙÖÓ Ç Ô Ò ÒØ ÛÒ ÕÓÙÒ ÖÓ Ñ Ó ÓÖ º ÓÖ º ³ÇÑÓ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÜÓÙÑ Ø ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ ÛÒ ôò Ò Ó Ñ Ó ÓÖ º ³ Ö Ø Ø ØÖ ÔÐ ÙÖ ÒØ ÐÛÒ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ô Ò ÒØ ÛÒ ôò Ò Ó Ñ Ó ÓÖ Çº º º º ÐÓ ³ Å ÖÓ ¾ ÉÓÖ Ø Ü ÛÒ Ë ØÓ Ø Ø Ô Ö Ö Ó ØÓÙ ÐÓÙ ³ Ø ÔÓØ Ð Ñ Ø Ø ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ô Ø ÒÓÒØ Ñ Ò Ø ÕÒ ØÖ ÔÓ Ò Ø Ö Ø Ø Ô Ö ÑÓ Ñ Ø ÔÖÓØ Ô Ö Ñ ôò Ô Ö ÐÐ ÐÓ Ö ÑÑÛÒ ØÖ ôòûò ØÓ ÐÓ ³ ¹ º À Ø Ø ØÛÒ ÛÒ ôò Ñ Ø Ö Ø Ô ØÓ Ó ØÑ Ñ ØÑ Ñ Ø ÛÒ ÐÛÒ ÑÓ Ø ÕÓÖ Ø Ø Ü Ø Ü ÓÖÞÓÙÒ ÕÓÖ ÒØ ØÖ Û ØÓ Ó Õ Ø ÛÒ Ø Ø Ü º ³ÇÐ ÙØ Ö ÓÙÒ ÖÑÓ ØÓ ÐÓ ³º º ÐÓ ³ Å ÖÓ È Ö Ø Ö Ô Ö ÛÒ ôò ÐÓÙ ËØÓ Å ÖÓ ½ Ó Ö Ô Ö ÔØô Ò Ñ Ð Ø Òº À ÔÖôØ Ò ÙØ Ø ÛÒ Ñ Ð Óº À Ñ ØÖÓ Ò ÐÓÙ Ò Ñ Ù Ö ÑÑ
16 à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï È ÊïÁ ÃïÍÃÄÇÍ ØÓÒ Ù Ð ÙØ Ò ÓÖÞ ÛÒ ½ ¼ ÑÓ ÖôÒ Ó ÓÖ ôòµ ØÓ ÒØÖÓº ÈÖ Ø ³ ½º Ë Ò ÐÓ ÛÒ Ñ Ð Ó Ò ÓÖ º º º ËÕ Ñ º½¾ ÈÖ Ø ³ ½º À Ö ÑÑ Ò Ñ ØÖÓ Ò ÓÖ º À Ô Ü Ò Ô Ð ÕÖ Ó ÐôÒ ØÖ ôòûò Ô Ö Ð ÔØ Õ Û Ü À ÜÛØ Ö ÛÒ Ò Ñ ØÓ ÖÓ Ñ + Ö Ó + = + ÔÖÓ ÔØ Ø Ò ÓÖ º ÈÖ Ø ³ ¾º Ò ÔÓ Ù ÔØ Ø ÐÓ Ô ØÓ Ñ Ó Ô Õ Ù ÔÓÙ Ø ÑÒ ØÓÒ ÐÓ Ó ÛÒ ÔÓÙ Õ Ñ ØÞ Ñ Ø Ò ÔØÓÑ Ò Ò Ñ Ø ÛÒ Ø Ò ÐÐ Ü ØÑ Ñ Ø ØÓÙ ÐÓÙº Ø Ò Ù EF ÔØ Ø ØÓÒ ÐÓ ABCD ØÓ Ñ Ó B Ô ØÓ B Õ Ù BD ÔÓÙ Ø ÑÒ ØÓÒ ÐÓ Ð Û Ø Ó ÛÒ ÔÓÙ Õ Ñ ØÞ BD Ñ Ø Ò ÔØÓÑ Ò EF Ò Ñ Ø ÛÒ Ø Ò ÐÐ Ü ØÑ Ñ Ø ØÓÙ ÐÓÙ Ð ÛÒ FBD Ò Ñ Ø ÛÒ BAD ÛÒ EBD Ò Ñ Ø ÛÒ DCBº ΤοθεώρημααυτόαποδίδεταιστονΘαλή. ΕχειειπωθείπροηγουμένωςότιείναιάμεσηαπόρροιατηςΠρότασηςγ 20,αναυτήεπεκταθείώστεναπεριέχειτηνπερίπτωσηείναι μικρότεροήίσοτουημικυκλίου,δηλαδήηγωνίαστοκέντροείναιίσημεδύοορθές. ΥπάρχουνενδείξειςσταΜετάταΦυσικάτουΑριστοτέλη,ότιυπήρχεδιαφορετικήαπόδειξητου αποτελέσματοςαυτούγνωστήςστουςπρο-ευκλείδειουςχρόνους. Ηπρότασηπεριέχεικαιάλλααποτελέσματαπουαφορούνγωνίεςτμημάτωνκαιγωνίες σετμήμταμεγαλύτεραήμικρότεραημικυκλίων.
17 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË ÏÆïÁ Ë Ë ÃïÍÃÄÇÍË Æï ËÕ Ñ º½ ÈÖ Ø ³ ¾º  ôö Ñ ÛÒ ÕÓÖ ÔØÓÑ Ò º Ô Ü º  ÐÓÙÑ Ò ÜÓÙÑ Ø φ = FBD = BAD = α ψ = EBD = DCB = γº Ò Ò ØÓ Ò ØÙÕ Ó Ñ Ó ØÓÒ ÐÓ ÐÐ Ð Û ØÓÙ Ò ÐÐÓ ôøóù Ø ÛÒ BAD ÑÔ ÓÖÓ Ñ Ò ÙÔÓ ÓÙÑ Ø BA Ò Ñ ØÖÓº  ØÓÙÑ Ô β = ABCº À ADB Ò ÓÖ Ö ØÓ ÖÓ Ñ α+β Ò Ó Ñ ÓÖ º ÐÐ Ô β +φ Ò Ñ ÓÖ Ø α = φº Ô γ = π α = π φ = ψº ¼ Ç Ô Ñ Ò Ó ÔÖÓØ Ò Ô Ö ÐÐ Ø ³ ¾ ÔÓÙ Ò ÕÖ Ñ Ø Ñ ÓÙÖ Ó Ò Ø Ø Ø ÐÐ Ð Ø Ò ÖÑÓ Ø ³ ¾½º ÈÖ Ø ³ º Æ Ö Ó Ù ØÑ Ñ ÐÓÙ ÔÓÙ Õ Ø ÛÒ Ñ Ù¹ Ö ÑÑ ÛÒ º ÈÖ Ø ³ º Ô Ó ÒØ ÐÓ Ò Ö ØÑ Ñ ÔÓÙ Õ Ø ÛÒ Ñ Ó Ù Ö ÑÑ ÛÒ º ³ ØÛ Ó Ó ÐÓ Ó Ù Ö ÑÑ ÛÒ Þ Ø Ø Ò Ö ØÑ Ñ ÐÓÙ ÔÓÙ Õ Ø ÛÒ Ñ Ø Ò Ù Ö ÑÑ ÛÒ º Πρότασηγ 31 Πρότασηα 32. ¼ Πρότασηγ 22.
18 ¼ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï È ÊïÁ ÃïÍÃÄÇÍ ËÕ Ñ º½ ÈÖ Ø ³ º ËÕ Ñ º½ ÈÖ Ø ³ º Ô Ü º Õ Ô ØÓ ÔØÓÑ Ò º Ã Õ Ø Ù Ø Ô ÒÛ ØÓ ÛÒ Ñ Ø Ò º ½ Ô ÐÓ Ô Ò Ù ÔØ Ø ØÓÒ ÐÓ Ô ØÓ Ñ Ó Ô ÖÕ Ø ÛÒ Ò Ö Ñ Ø Ò ÛÒ ÔÓÙ Ø ¹ Ù Ø ØÓ Ò ÐÐ Ü ØÑ Ñ º ÐÐ Ò Ñ Ø Ò Ö ÛÒ ØÓ ØÑ Ñ Ò Ñ Ø Ò º ³ Ö Ô ØÓÒ Ó ÒØ ÐÓ Ö ØÓ ÔÓÙ Õ Ø ÛÒ Ñ Ø Ó Ù Ö ÑÑ ÛÒ º Ǻ ºÈº ¾ º ÐÓ ³ Å ÖÓ ÌÓÑ ÕÓÖ ôò Ø ¹ ÑÒÓÙ ôò ÔØÓÑ ÒÛÒ ËØ Ñ Ö Ò ÛÑ ØÖ ØÓÙ ÐÙ ÓÙ Ó Ø Ð ÙØ ØÖ ÔÖÓØ ØÓÙ ÐÓÙ ³ Ø ÒØ ÒØ ØÓÙ ÔÐ ÓÙ Ø ÛÖ Ø ÓÑÓ Ø Ø ÔÓÙ Ó ÔÓ Ü ½ Πρότασηα 23. ¾ Μίαεναλλακτικήκατασκευήεδώθαήταννακατασκευάσουμεμίαεπίκεντρηγωνίαδιπλάσιατηςδοθείσας ανηδοθείσαείναιορθή,χρειάζεταιμόνοναφέρουμετηνδιάμετροτου κύκλου.
19 º º Á ÄïÁÇ ïåï ÊÇË ÉÇÊ ï Ë Ìï ÅÆÇÍË Ë ÈÌïÇÅ Æ Ë ½ ØÓÙ Ò ÓÐ º Ë ÙØ ØÓ Ø Ó Ó Ù Ð Ò ÑÔÓÖ Ò ÕÖ ÑÓ¹ ÔÓ Ò ÐÓ ÙØ ØÓ Ð Ó Ô ÖÔÐÓ Ñ ÖÓ Ð ÔÓ Ü º È ÔÐ Ñ Ò Ø ÈÖÓØ ³» Ò Ø Ù Ø Ò ÐÐÓ ôøóù ÔÓÙ Ð Ø Ñ Ö Ò Ñ Ñ ÓÙ Û ÔÖÓ ÐÓ ÓÔÓ Õ Ô Ü Ñ Ò¹ Ø Ö ÐÓ Ø Ò ØÓÖ Ø ÛÑ ØÖ º ÈÖ Ø ³ º Ò Ó Ù Ø ÑÒÓÒØ ÐÓ ØÓ Ô Ö Õ Ñ ÒÓ Ô Ø ØÑ Ñ Ø Ø Ñ ÓÖ Ó ôò Ó Ó Ø Ñ ØÓ Ô Ö Õ Ñ ÒÓ ÓÖ Ó ôò Ó Ô Ø ØÑ Ñ Ø Ø Ð¹ Ð º ËÕ Ñ º½ ÈÖ Ø ³ º ÈÖ Ø ³ º Ò Ð ÔÓ Ó Ñ Ó Ø ØÓÙ ÐÓÙ ØÓÒ ÐÓ Ô ØÓÙÒ Ó Ù Ñ Ø ÑÒÓÙ ÐÐ ÔØÓÑ Ò Ø Ø ØÓ ÓÖ Ó ôò Ó ÔÓÙ Ô Ö ¹ Õ Ø Ô Ð Ø Ò Ø ÑÒÓÙ ØÓ ØÑ Ñ Ø Ø ØÓÙ ÐÓÙ Ñ Ø Ü ØÓÙ Ñ ÓÙ Ø ÙÖØ Ô Ö Ö Ò Ó Ñ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø ÔØÓÑ ¹ Ò º ËÕ Ñ º½ ÈÖ Ø ³ º  ÛÖ Ñ Ì ÑÒÓÙ ÔØÓÑ Ò 2 = º ΗΠρότασηαυτήείναιτογνωστόΘεώρημαΤέμνουσαςκαιΕφαπτομένης.
20 ¾ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï È ÊïÁ ÃïÍÃÄÇÍ Ü Ò Ô Ö ÓÙÑ Ø Ò Ô Ö Ô ÒÛ ÈÖ Ø ô Ø Ò ÙÑÔ Ö Ð Ñ Ò Ø Ò ÒØ ØÖÓ Ø ÈÖ Ø ³ Ø ØÓ Õ Ñ º½ ÔØÓÑ Ò Ò Ñ ÒÓ Ò 2 = º  ÜÓÙÑ Ñ ÒÓ ØÓ Ù ØÓ ÒØ ØÖÓ Ó Ò Õ Ø ÖÓ Ò ÖÓÒº Ô Ü Ñ Ø Ò ÕÖ ÓÑÓ Ø Ø º  ÛÖÓ Ñ Ø ØÖ ÛÒ Ø ÓÔÓ ÕÓÙÒ Ó Ò Ø Ò º Ò Ò ÔØÓÑ Ò Ø Ø Ô Ø Ò ³ ¾ Ò º Ô Ø Ò ³ ¾ Ó ÒØ ØÓ Õ ÐÓ Ô ÛÒ Ò Ø ØÖ ÛÒ Ò Ó ôò º ³ Ö : 2 = º À Ô Ü ØÓÙ Ù Ð º Ç Ù Ð ÛÖ ÔÖôØ Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ Ô ÖÒ Ô ØÓ ÒØÖÓº È Ö Ð ÔÓÙÑ ÙØ Ø Ò Ô ÖÔØÛ Ø Ó Ñ Ó Ó ÔÓÙ ÓÐÓÙ Ó ÒØ Ò Ô ÒÓÑÓ ØÙÔ Ñ ÙØ Ø Ò Ô ÖÔØÛ º ³ ØÛ Ø Ø Ò ÙÒ ÓÒØ Ó º ËØ Ò Ù ÕÓÙÑ Ø Ò Ø Ø Ø ³ 2 2 º ÌôÖ ØÖ ÖÑÓ ØÓ٠Ⱥ º Ó Ó Òº Ô Ø Ù º ³ Ö 2 2 Ô Πρότασηστ 4. Πρότασηστ 16. Τούτηηπερίπτωσηείναιαυτόπουστιςμέρεςμαςονομάζουμεοριακή. ΟΕυκλείδης, όπωςκαιόλοιοι Ελληνεςγεωμέτρεςάλλωστε,δενεπιτρέπειστονεαυτότουνασυνάγει τηναλήθειατηςοριακήςπερίπτωσηςκατευθείαναπότηνγενικήπερίπτωσηπουτηνπεριέχει, αλλάδίδειξεχωριστήαπόδειξη.
21 º º Á ÄïÁÇ ïåï ÊÇË ÉÇÊ ï Ë Ìï ÅÆÇÍË Ë ÈÌïÇÅ Æ Ë 2 2 º ÌôÖ Ô Ò ÔØÓÑ Ò º ÒØ ØôÒØ ÖôÒØ ØÓ 2 Ô Ö Ô ÒÛ 2 º ÔÖôØ Ý Û Ô Ü ØÓÙ Ù Ð ÕÒ Ô Ó Ô ÖÔÐÓ Ô Ø Ò Ô Ü Ñ Ø Ò ÕÖ ÓÑÓ Ø Ø º È Ö ØÓ ØÓ Ø Ð ÙØ ÕÖ ÑÓÔÓ Ø Ò ÈÖ Ø Ø³ Ø Ò Ø³ ½ Ó ÓÔÓ ÕÖ ÞÓÒØ Ø ÒÒÓ Ù ÓÐ Ø ¹ Ö Ñ Ð ØÓÙ ÐÓÙ ³º ËÙÒÓÐ ÐÓ Ô Ò Ô Ü ØÓÙ Ù Ð Ò ÔÐÓ Ø Ö Ò Ø ÕÒ ÔÓÐ ÔÐÓ º
22 à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï È ÊïÁ ÃïÍÃÄÇÍ
½ Τετραγωνίζω=κατασκευάζωκάτιίσουεμβαδούμεδοθέντετράγωνο. Δείτεκαιτην υποσημείωσηστηνπρότασηβ 14. ¾
Ã Ð Ó ËØÓ Õ ÛÒ ÐÓ ³ À ÛÑ ØÖ ØÛÒ ÇÖ Ó ÛÒÛÒ º½ ÇÖ ÑÓ ØÓÙ ÐÓÙ ³ ÌÓ ÐÓ ³ Ò ÒØÓÑÓ ÓÑÓ Ò Ñ Ñ ÒÓ ½ ÔÖÓØ Ó ÓÖ ¹ ÑÓ Ø Ò ÖÕ º ËØÓ Ñ Ð Ø ÖÓ Ñ ÖÓ ØÓÙ ÔÖ Ø ÔÓØ Ð Ñ Ø ÔÓÙ ÓÖÓ Ò ÓÖÓÙ ÙÒ Ù ÑÓ ÓÖ Ó ÛÒÛÒ Ø ØÖ ôòûò ÓÙ Ô
a x = x a x. Ηθετικήλύσητηςεξίσωσηςαυτής(για a = 1)είναιοαριθμόςτου Fibonacci 5 1 φ =. 2 ΟΑριστοτέληςδενχρησιμοποιείτονόρο,αλλάπροτιμάτοκάθετος.
Ã Ð Ó ½¾ ËØÓ Õ ÛÒ ÐÓ Ø³ ÇÑÓ Ø Ø ½¾º½ Ì Ô Ö Õ Ñ Ò ØÓÙ ÐÓ٠س ÇÖ ÑÓ ÇÖ ÑÓ Ø ÓÑÓ Ø Ø Ù Ù Ö ÑÑÛÒ Õ Ñ ØÛÒº ÈÖ Ø ½ ÌÓ ôö Ñ º ÈÖÓØ ¾ ÇÑÓ Ø Ø ØÖ ôòûòº ÈÖÓØ ½ Ò ÐÓ Ö ØÑ Ñ ØÛÒº ÈÖÓØ ½ ½ Ò ÐÓ Ñ º ½¾ ½¾ à ï Ä ÁÇ ½¾º
ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ÑÓÖ Û ÈÖÓÔØÙÕ ÛÒ ËÔÓÙ ÛÒ ÌÑ Ñ ØÓ Å Ñ Ø ÛÒ È Ò Ô Ø Ñ Ó È ØÖÛÒ Å Ñ Û Ø Ò Ô Ø Ñ ØÛÒ ÍÔÓÐÓ ØôÒ
ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ÑÓÖ Û ÈÖÓÔØÙÕ ÛÒ ËÔÓÙ ÛÒ ÌÑ Ñ ØÓ Å Ñ Ø ÛÒ È Ò Ô Ø Ñ Ó È ØÖÛÒ Å Ñ Û Ø Ò Ô Ø Ñ ØÛÒ ÍÔÓÐÓ ØôÒ ¾ ÓÑ ¹ Ì Ø ÖØ»»¾ ÃÙ ÐôÑ Ø ÔÖ Ü ÛÒ ¹ ËØÓ Õ ô ÑÓÒ Ö Ñ Ø»¾¾ Ö Ñ Ø ÔÖ Ü ÔÓÙ Ø Ð Ø Ò Ò ÀºÍº Ò À ÔÖ ¾ Ù ôò
º º½ Destination-Sequenced Distance-Vector (DSDV) º º º º. º º Temporally Ordered Routing Algorithm (TORA) º º º
È Ò Ô Ø Ñ Ó È ØÖôÒ ÈÓÐÙØ ÕÒ ËÕÓÐ ÌÑ Ñ Å Õ Ò ôò ÀÐ ØÖÓÒ ôò ÍÔÓÐÓ ØôÒ ÈÐ ÖÓ ÓÖ ÔÐÛÑ Ø Ö Ð Ö ÑÓ Ô Ó ÒÛÒ Ad-hoc Ã Ò Ø ØÙ È Ò ôø à ÒÓ Å ¾½¾ Ô Ð ÔÛÒ ÉÖ ØÓ ÖÓÐ È ØÖ ÁÓ Ð Ó ¾¼¼ c Copyright È Ò ôø à ÒÓ ÁÓ Ð Ó ¾¼¼
Å Ñ ¾ º½ ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ ÈÙÖ Ò Ò Ñ Ö ÑÑ Ô Ò º º º º º º º º º º º ½ º ÈÒ Ñ Ö ÑÑ Ô Ò º º º º º º
È Ö Õ Ñ Ò Á ³ Ò ÖÜ Ñ Ñ ØÓ ÁÁ ÖÕ Ñ Ñ Ø ½ Å Ñ ½ ½º½ Û º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º º º º º º º
Ö ØÓØ Ð Ó È Ò Ô Ø Ñ Ó ÈÓÐÙØ ÕÒ ËÕÓÐ Ò ÌÑ Ñ Ö Ñ Ø Ò ÐÙ Ä ÛÒ È Ø Ó Ð Â ÐÓÒ ¾¼¼
Ö ØÓØ Ð Ó È Ò Ô Ø Ñ Ó ÈÓÐÙØ ÕÒ ËÕÓÐ Ò ÌÑ Ñ Ö Ñ Ø Ò ÐÙ Ä ÛÒ È Ø Ó Ð Â ÐÓÒ ¾¼¼ ¾ È Ö Õ Ñ Ò ÈÖ ÐÓ Ó i ½ Ð Ö ÑÓ Ë ÐÑ Ø ½ ½º½ ÔÐÙ ÈÖÓ Ð Ñ ØÛÒ Ð Ö ÑÓ º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ð Ö ÑÓ Ù Ó ô º º º
p din,j = p tot,j p stat = ρ 2 v2 j,
ÁÑ ÔÖ Þ Ñ Öº Ò ÍÔÙØ ØÚÓ Þ Ð ÓÖ ØÓÖ Ú ¹ Å Ò ÐÙ Í Å Ò ÐÙ Ø ÓÖ ÔÖÓÙÕ Ú Ù ÒÓ Ñ ÒÞ ØÖÙ Ò Ø Ü ÚÓ ÐÙ º Ç ÒÓÚÙ Ø ÞÒ Õ Ò ÖÒÙÐ Ú Ò Õ Ò Ò Õ Ò ÓÒØ ÒÙ Ø Ø ÔÖÓ¹ Ö ÕÙÒ ØÖÙ Ò ÓØÔÓÖ º ÅÒÓ Ó Ø ÓÖ ÞÒ ÒÓ Ñ ÒÞ ØÖÙ ÑÓ Ù ÔÖÓÚ
ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ÑÓÖ Û ÈÖÓÔØÙÕ ÛÒ ËÔÓÙ ÛÒ ÌÑ Ñ ØÓ Å Ñ Ø ÛÒ È Ò Ô Ø Ñ Ó È ØÖÛÒ Å Ñ Û Ø Ò Ô Ø Ñ ØÛÒ ÍÔÓÐÓ ØôÒ
ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ÑÓÖ Û ÈÖÓÔØÙÕ ÛÒ ËÔÓÙ ÛÒ ÌÑ Ñ ØÓ Å Ñ Ø ÛÒ È Ò Ô Ø Ñ Ó È ØÖÛÒ Å Ñ Û Ø Ò Ô Ø Ñ ØÛÒ ÍÔÓÐÓ ØôÒ ÌÅÀÅ Ä ÉÇÍ Controlµ Ã Ì ÉÏÊÀÌ Ë Registersµ º Bussesµ ÃÍÃÄÇÁ ÅÀÉ ÆÀË Machine Cyclesµ Á ÍÄÇÁ ØÑ Ñ Ð ÕÓÙ
M 2. T = 1 + κ 1. p = 1 + κ 1 ] κ. ρ = 1 + κ 1 ] 1. 2 κ + 1
![M 2. T = 1 + κ 1. p = 1 + κ 1 ] κ. ρ = 1 + κ 1 ] 1. 2 κ + 1](/thumbs/59/43190514.jpg "M 2. T = 1 + κ 1. p = 1 + κ 1 ] κ. ρ = 1 + κ 1 ] 1. 2 κ + 1")
Å Ü Ò ÙÐØ Ø ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ø Ù Ó Ö Ù Ã Ø Ö Þ Ñ Ò Ù ÐÙ Ð Ò Ö Ëº Ó Ì Ä ÈÊÇÊ ÉÍÆ Æ ÃÁÀ ËÌÊÍ ËÌÁ ÁÎÇ ÄÍÁ Á ÆÌÊÇÈËÃ Ê Ä Á κ = 1.4µ ½ ½ ÁÞ ÒØÖÓÔ Ö Ð ÃÓÖ Ø Ò ÑÓ Þ Þ ÒØÖÓÔ Ó ØÖÙ ½ Ú ÔÓÑÓ Ù Ò ÜÙ ØÓØ ÐÒ Ú Ð Õ Ò Ø Ø
S i L L I OUT. i IN =i S. i C. i D + V V OUT
Ç ÒÓÚÒ ÓÒÚ ÖØÓÖ ÈÓ Ó ÒÓÚÒ Ñ ÔÖ Ñ ÓÒÚ ÖØÓÖ Ñ ÔÓ Ö ÞÙÑ Ú Ù ØÖ ÓÒÚ ÖØÓÖ Ù ÓÓ Ø Ù ¹ ÓÓ Øº ËÚ ØÖ ÓÒÚ ÖØÓÖ Ù Ö Ø Ö Ò Ñ Ò Ñ ÐÒ Ñ ÖÓ Ñ Ð Ñ Ò Ø Þ Ø Ú Ù Ò ÓÒØÖÓÐ Ò ÔÖ ÒÙ Ó Ù Ò Ð Ñ Ò ÓÒ ÒÞ ØÓÖº Æ Ò Ó ÓÚ ØÖ ÓÒÚ ÖØÓÖ
ØÖÓÒÓÑ ÈÖ Ø ÙÑ Ù Ò Ö Ò Ë Ð ØÛ ØØ Ö¹ ØÖÓÒÓÑ Íº Ù ÍÒ Ú Ö ØØ Ù ÙÖ ¹ Ò Ö ËÓÒÒ ÒÐ Ù Ñ Î ÖÐ Ù Ò Â Ö Ð ÙÒ ½ Û ÙÒ Ö ËÓÒÒ Ö Ò À ÑÑ Ð ÞÙ Ï ÒØ Ö Ò Ò Ö Ð Ò Ò Ò ÙÒ
ØÖÓÒÓÑ ÈÖ Ø ÙÑ Ù Ò Ö Ò Ë Ð ØÛ ØØ Ö¹ ØÖÓÒÓÑ Íº Ù ÍÒ Ú Ö ØØ Ù ÙÖ ¹ Ò Ö ËÓÒÒ ÒÐ Ù Ñ Î ÖÐ Ù Ò Â Ö Ð ÙÒ ½ Û ÙÒ Ö ËÓÒÒ Ö Ò À ÑÑ Ð ÞÙ Ï ÒØ Ö Ò Ò Ö Ð Ò Ò Ò ÙÒ ËÓÑÑ Ö Ò Ò ÖÞ Ù Ø Ñ Ø Ñ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ë ØØ Ò ÔÙÖ µ ½ ÒÐ
Z
Ç ÒÙØ Þ Ó Þ Þ Ñ ÒÓ Ó Ò Óö ÈÖ ÑÓö È Ø ÖÐ Ò Ë ËÚ Ø Ò Ò Ó Ø Ò ê ¾¼½½»¾¼½¾ ÈÓ Ð Ú ÌÇÅËÃÇ Â ÊÇ º½ ÍÚÓ Î Ø Ñ ÔÓ Ð Ú Ù ÓÑÓ Ù Ú Ö Ð Þ Ó ÒÓÚÒ Ñ Ð ØÒÓ ØÑ ØÓÑ Öº ÈÓÞÒ Ú Ò Ø Ð ØÒÓ Ø ÔÓÑ Ñ ÒÓ Þ Ö ÞÙÑ Ú Ò Ñ Ò ÒÓ Ø Ò
f 1 : P(Y ) P(X) : B f 1 (B) {x X : f(x) B}. (X, A) f (Y, B) g (Z, C) f 1 (E) A Õ E Eº (iii) a R f 1 ([a, )) Mº (iv) a R f 1 ((, a]) Mº
![f 1 : P(Y ) P(X) : B f 1 (B) {x X : f(x) B}. (X, A) f (Y, B) g (Z, C) f 1 (E) A Õ E Eº (iii) a R f 1 ([a, )) Mº (iv) a R f 1 ((, a]) Mº](/thumbs/103/160734174.jpg "f 1 : P(Y ) P(X) : B f 1 (B) {x X : f(x) B}. (X, A) f (Y, B) g (Z, C) f 1 (E) A Õ E Eº (iii) a R f 1 ([a, )) Mº (iv) a R f 1 ((, a]) Mº")
ÇÐÓ Ð ÖÛ º½ Å ØÖ Ñ ËÙÒ ÖØ È Ö Ø Ö º½ µ Å ÙÒ ÖØ f : X Y Ñ Ø Ü Ñ ÒôÒ ÙÒ ÐÛÒ Ô ½ Ñ Ô Ò f 1 : P(Y ) P(X) : B f 1 (B) {x X : f(x) B}. À Ô Ò ÙØ Ø Ö ÙÑÔÐ ÖôÑ Ø Ù Ö Ø Òô Ù Ö Ø ØÓÑ º µ Ò B P(Y ) Ò σ¹ Ð Ö Ó Ó Ò
tan(2α) = 2tanα 1 tan 2 α
½º ÙÒ Ð ØØ ½º Ò Ò Å Ò Ò M 1 = {1,4,9,16,25,36,49,64,...}, M 2 = {4,6,8,9,10,12,14,15,...}. µ Ö Ò Ë M 1 ÙÒ M 2 ÙÖ Ò Ò Ö Ò Ø ÓÖÑ Ð Ù º µ Ò Ë M 1 M 2 Òº µ Ò Ë M 1 \M 2 ÙÒ M 2 \M 1 Òº µ Ï Ú Ð ÚÓÒ Ò Ò Ö Ú Ö
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων. Α.-Γ. Σταφυλοπάτης.
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων Α.-Γ. Σταφυλοπάτης Πειράματα Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
arxiv: v1 [math.dg] 3 Sep 2007
![arxiv: v1 [math.dg] 3 Sep 2007](/thumbs/97/132296862.jpg "arxiv: v1 [math.dg] 3 Sep 2007")
Ì Ö ØÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò ØÛÓ Ò ÐÓ Ó Ø Å Ò ÓÛ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ê Ñ ÒÒ Ò Ô º Ò Ö Áº Ó Ö Ò Ó ½ arxiv:0709.0158v1 [math.dg] 3 Sep 2007 ØÖ Ø ÙØ ÓÖ Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ö ØÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ ÓÔ Ò Ò ÐÓ ÙÖ Ò Ê Ñ ÒÒ Ò Ô º Ì Ö ØÓ Ð ÔÖÓ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Μαθηματική μορφολογία. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα: Μαθηματική μορφολογία Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ÃÐÓ 11 ÅÑØ ÑÓÖÓÐÓ 11.1 ÅÓÖÓÐÓ ÔÜÖ ÙôÒ ÒÛÒ À ÑÑØ
Τεχνικές βασισμένες στα Δίκτυα Αναμονής Εισαγωγικά Επιχειρησιακοί νόμοι
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων Α.-Γ. Σταφυλοπάτης Τεχνικές βασισμένες στα Δίκτυα Αναμονής Εισαγωγικά Επιχειρησιακοί
N i. D i (x) = 1 N i. D(x, x ik ). (3, 1), (3, 0.9), (3, 0.8), (3, 0.8) (4, 0), (4, 0.1), (4, 0.2). k=1. j=1
Å Ì Å ÌÁà Á Î µ ÍÔÓÖ Å Ø Ñ Ø Á Ú Ð ØÖÓØ Ò ÚØÓÖ ØÙÑ Å Ð Ø À Ò Ú Ù Ø ¾¼¼ ½ âì ÎÁÄËà ÎÊËÌ ½º Ê ÎÊâ Æ ΠÇÊ Î ÃÓ ö Ð ÑÓ Ò Ö ÞÚÖ Ò ÚÞÓÖ ÑÓ ÒÓ Ö ÞÚÖ Ø Ø ÓÞº ÓÔÖ Ð Ø ÞÖ ÙÒ ÑÓ Ö Þ Ð Ø ÚÞÓÖ Ó Ú ÞÒ Ò Ö ÞÖ ÓÚ ÚÞÓÖ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Σχηματισμός και αντίληψη εικόνων. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα: Σχηματισμός και αντίληψη εικόνων Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ÃÐÓ 2 ËÕÑØ Ñ ÒØÐÝ ÒÛÒ 2.1 ËÕÑØ Ñ ÒÛÒ
v[m/s] U[mV] 2,2 3,8 6,2 8,1 9,7 12,0 13,8 14,2 14,6 14,9
![v[m/s] U[mV] 2,2 3,8 6,2 8,1 9,7 12,0 13,8 14,2 14,6 14,9](/thumbs/58/41284213.jpg "v[m/s] U[mV] 2,2 3,8 6,2 8,1 9,7 12,0 13,8 14,2 14,6 14,9")
Á ¹ È ÖÙÔ ½º ÖÞ ÚÓÞ Ö ÓÒ Ø ÒØÒÓÑ ÖÞ ÒÓÑ ÒØ ÒÞ Ø Ø v 1 = 45,0 m/s ÔÖÙ ÒÓÑ ÔÖ Ð ÞÙ Ó ÔÙØ Ñ ÒÓÖÑ ÐÒÓ Ò ÔÖ Ú ÔÖÙ Ö ÙØÓÑÓ Ð ÓÒ Ø ÒØÒÓÑ ÖÞ ÒÓÑ ÒØ ÒÞ Ø Ø v 2 = 15,0 m/s Ó Ò Ð º Í ÓÐ Ó Ö Ò ÚÓÞ Ñ ØÙ ÞÚÙ ÙÕ Ø ÒÓ
Προσομοίωση Δημιουργία τυχαίων αριθμών
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων Α.-Γ. Σταφυλοπάτης Προσομοίωση Δημιουργία τυχαίων αριθμών Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
v w = v = pr w v = v cos(v,w) = v w
Íö Ú Ò ÔÖ Ø Ô Ö ÔÖ ØÝ Ô Ð Ùö Ú ÒÝÒ ÝÖ Ð ÓØ Ó µ º ºÃÐ ØÒ Ë ÓÖÒ Þ ÔÓ ÒÐ Ø Ó ÓÑ ØÖ ½ ÁÞ Ø Ð ØÚÓ Æ Ù Å Ú º ÖÙ µº Ã Ø Ùö Ú Ò ÝÖ Ú Ø ÒÅ ØØÔ»»ÛÛÛºÑ ºÚÙºÐØ» Ø ÖÓ» ¾» л Ò Ó» ÓÑ ÙÞ º ØÑ ½ Î ØÓÖ Ð Ö ÒÅ Ö Ú ØÓÖ ÒÅ
¾
Ù Ð ÛÑ ØÖ Ë Ñ ô Áº º ÈÐ Ø ÌÑ Ñ Å Ñ Ø ôò È Ò Ô Ø Ñ Ó ÃÖ Ø Ñ ÖÓÙ ¾¼¼ ¾ ÈÖ ÐÓ Ó Ç Ñ ô ÙØ Ö Ø Ò Ø Ó Ø ØÖ ØÓÙ Ó Ø Ø ØÓÙ ÌÑ ¹ Ñ ØÓ Å Ñ Ø ôò ØÓÙ È Ò Ô Ø ÑÓÙ ÃÖ Ø ÔÓÙ Ô Ð Ü Ò ØÓ Ñ Ñ Å¾¼ Ù Ð ÛÑ ØÖ ØÓÙ ÒÓÒ Ó ÈÖÓ
Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (ΦΥΕ14) Περίοδος ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η. Τότε r r b c. και ( )
Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (ΦΥΕ4) Περίοδος 8-9 ΕΡΓΑΣΙΑ η Θέμα (μονάδες ) i. Δείξτε ότι ( a b) c a ( b c ) + b( a c ). a b c+ c a b+ b c a ii. Δείξτε την ταυτότητα Jacobi : ( ) ( ) ( ) Απάντηση i.
Συνεδριο Δημιουργων ΕΛ/ΛΑΚ 2009
ÄÓ Ñ ÒÓ ØÓ Ãô ØÓ Ë Ø Ñ Ø Ì Ñ À Συνεδριο Δημιουργων ΕΛ/ΛΑΚ 2009 ½ º Ó Ó Ð Ó Διεύθυνση Πληροφορικής ΔΕΗ Τομέας Συστημάτων Γραφείου ÚºÞÓÙ Ó ºÓѺ Ö ¹Ñ Ð Αθήνα 19 Ιουνίου 2009 Συνεδριο Δημιουργων ΕΛ/ΛΑΚ 2009
È ÖÖÝ Àº Ä Ó ½½¼ ÍÒ ÓÒ ËØÖ Ø Ë ¾ ½ ÀÓÐÑ Ú º ˺ Å ÒÒ ÔÓÐ ÅÆ Å ÒÒ ÔÓÐ ÅÆ ¼ ½¾¹ ¾ ¹¼» Ü ½¾¹ ¾ ¹½ ½¾¹ ¾ ¹ Ô Ð Ó ÑºÙÑÒº Ù Ù Ø ÓÒ È º º ź Ò º º Ò º Å Ø ÐÐÙ
È ÖÖÝ Àº Ä Ó ½½¼ ÍÒ ÓÒ ËØÖ Ø Ë ¾ ½ ÀÓÐÑ Ú º ˺ Å ÒÒ ÔÓÐ ÅÆ Å ÒÒ ÔÓÐ ÅÆ ¼ ½¾¹ ¾ ¹¼» Ü ½¾¹ ¾ ¹½ ½¾¹ ¾ ¹ Ô Ð Ó ÑºÙÑÒº Ù Ù Ø ÓÒ È º º ź Ò º º Ò º Å Ø ÐÐÙÖ Ð Ò Ò Ö Ò Ò Å Ø Ö Ð Ë Ò ÖÒ Å ÐÐÓÒ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÆÓÚ Ñ
plants d perennials_flowers
ÈÖÓ Ð Ø Ç Ø ÌÀÇÅ Ë ÁÌ Ê Ì Ò ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ï Ò Â Å Ë Âº ÄÍ Ù Ò ÐÐ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÌÀÇÅ Ë ÄÍà ËÁ ÏÁ Ì Ò ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ï Ò Ò Îº ˺ ËÍ Ê ÀÅ ÆÁ Æ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Å ÖÝÐ Ò Ì ÓÙ Ø Ö Ö Ñ ÒÝ ÔÔÐ Ø ÓÒ Û Ö Ò Ó Ø ÓÖ ÒØ Ø ÑÓ Ð ÓÓ
ÍÒ Ú Ö Ø Ð Ù ÖÒ Ö ÄÝÓÒ Á ÁÒ Ø ØÙØ È Ý ÕÙ ÆÙÐ Ö ÄÝÓÒ Ì ÓØÓÖ Ø ËÔ Ð Ø È Ý ÕÙ Ô ÖØ ÙÐ ØÙ Ù Ò Ð À ¼ ¼ ÙÜ ÓÐÐ ÓÒÒ ÙÖ ÖÓÒ ÕÙ Ø ÒØ Ö Ð Ö Ø ÓÒ Ù ÐÓÖ Ñ ØÖ Ù ÊÙÒ ÁÁ Ù Ì Ú ØÖÓÒº Ô Ö È ÖÖ ¹ ÒØÓ Ò Ð ÖØ ËÓÙØ ÒÙ Ð ½
Scientific knowledge is the common heritage of mankind. Abdus Salam
È Æ ÈÁËÌÀÅÁÇ ÂÀÆÏÆ ÌÅÀÅ ÍËÁÃÀË ÈÌÍÉÁ ÃÀ Ê ËÁ Ô Ö ØÒÓÙ ÖÕ ÓÒ ÈÙÖ ÒÓ Ò ÇÖ Ø Ð ºÅº ¾¼¼¾¼¼¼¾ Ô Ð ÔÛÒ Ã Ø Ò Ó Ä Õ Ò ¾ Scientific knowledge is the common heritage of mankind. Abdus Salam È Ö Õ Ñ Ò ÈÖ ÐÓ Ó ½
Οδιαχωρισμόςτωνσχημάτωνσετρίπλευρα,τετράπλευρακλπ. οφείλεταιστονίδιοτον Ευκλείδη,αφούδεναπαντάταιούτεστονΠλάτωναούτεστονΑριστοτέλη.
Ã Ð Ó ËØÓ Õ ÛÒ ÐÓ ³ ÛÑ ØÖ º½ È Ö Õ Ñ Ò ØÓÙ ÐÓÙ ³ ÇÖ ÑÓ ½ ¾ ÒÒÓ ÓÖÞÓÒØ Ô Ö Ö ÓÒØ º Ü ôñ Ø ½ ÃÓ Ò ÒÒÓ ½ Ì Ü ôñ Ø Ó Ó Ò ÒÒÓ Ò Ø Ü ôñ Ø Ø Ô Ô ÓÑ ØÖ º ÈÖÓØ ½ ¾ ÈÖÓØ ¾ ¾ ÈÖÓØ ÈÖÓØ Â Ñ ÐÛ Ø Ô Ô ÓÑ ØÖ ÕÛÖ Ø Ò
arxiv:quant-ph/ v1 28 Nov 2002
Ò ÒÚ Ø Ø ÓÒ ØÓ ÉÙ ÒØÙÑ Ñ Ì ÓÖÝ arxiv:quant-ph/0211191v1 28 Nov 2002 Û Ö Ïº È ÓØÖÓÛ ÁÒ Ø ØÙØ Ó Ì ÓÖ Ø Ð È Ý ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ý ØÓ Ä ÔÓÛ ½ ÈÐ ½ ¾ Ý ØÓ ÈÓÐ Ò ¹Ñ Ð Ô ÐÔ ºÙÛ º ÙºÔÐ Â Ò Ë ÓÛ ÁÒ Ø ØÙØ Ó È Ý ÍÒ Ú Ö
+ m ev 2 e 2. 4πε 0 r.
Ç ÒÙØ Þ Ó Þ Þ Ñ ÒÓ Ó Ò Óö Ë ËÚ Ø Ò Ò Ó Ø Ò ê ¾¼½½»¾¼½¾ ÈÓ Ð Ú ÇËÆÇÎ ÅÇÄ ÃÍÄËà ÁÇ Á Áà º½ ÍÚÓ ÅÓÐ ÙÐ Ó Þ Ó Ö ÚÒ Ú Ð ØÒÓ Ø Ó ÒÓÚÒ Ø ÚÒ ÐÓÚ ÓÐÓ Ø ÑÓÚ ØÓ ØÓ¹ ÑÓÚ ÑÓÐ ÙÐ ÓÒÓÚ Ò Ñ ÖÓÑÓÐ Ùк Ç Ö ÚÒ Ú ØÙ ÞÚ ÞÓ
Î Ò È Ö Ó Ì ÈË Ì Ñ ØÙ Ò ÈÖÓÑÓ Ó Ë Ù
Î Ò È Ö Ó Ì ÈË Ì Ñ ØÙ Ò ÈÖÓÑÓ Ó Ë Ù ËÙÑ Ö Ó ½ Î Ò Ó Ú Ö ÓÙÐØ ½ ½º½ Ú Ò Ó Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ Å Ò ÑÓ Ò Ö ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º
¾ Ë Öö º¾º Å ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ê ÞÙÐØ Ø Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º Ê ÞÙÐØ
Ë Öö ½º ÍÚÓ Ó Ò Ú Ò ÓÐÓ ÑÖ ö Ø ÓÖ ÓÑ Ö ÓÚ ½º½º ÍÚÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º ÈÓÖ î Ò ÑÖ ö ÔÖ Ó Ò ÓÚ ÚÓ Ø Ú º º º º º º º º º º º ½º º ÅÓ Ð ÑÖ ö º º º º º º º
Ανώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 2: Αναλυτική Γεωμετρία Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Πολιτικών Μηχ.ΤΕ και Μηχ. Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής
The Prime Number Theorem in Function Fields
È Ò Ô Ø Ñ Ó ÃÖ Ø ËÕÓÐ Â Ø ÛÒ & Ì ÕÒÓÐÓ ÛÒ Ô Ø ÑÛÒ ÌÑ Ñ Å Ñ Ø ÛÒ Å Ø ÔØÙÕ Ö ÌÓ Â ÛÖ Ñ ÌÛÒ ÈÖÛØÛÒ Ö ÑÛÒ ËÛÑ Ø ËÙÒ ÖØ ÛÒ ôö Ó Ã Ô Ø Ò ØÓÙ Æ ÓÐ ÓÙ ÔÓÔ ÛÒ Ø Â ÓÙÐÓ Ö Ð ÀÊ ÃÄ ÁÇ Đ ¾¼¼ University of Crete School
ΑΡΧΕΙΑ ΚΑΙ ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ
ÔØ Ö ΑΡΧΕΙΑ ΚΑΙ ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Στοκεφάλαιοαυτόθαπαρουσ ιασ τούνμερικέςαπότιςδυνατότητεςπουπαρέχειη βιβλιοθήκη ÉÌσ εαρχείακαθώςκαιτρόποισ ύνδεσ ηςκαιεκτέλεσ ηςερωτημάτων σ εβάσ ειςδεδομένωνº º½ Ηκατηγορία
Ηυλοποίησ ητηςπαραπάνωκατηγορίαςβρίσ κεταισ τοναλγόριθμο º¾ºΗγραμμή
ÔØ Ö ΕΙΣΟΔΟΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ º½ ÉÄ Ò Ø Ηβασ ικήκατηγορίατης ÉØγιαείσ οδοδεδομένωνείναιηéä Ò Øμετηνοποία οχρήσ τηςμπορείναεισ άγεισ εμιαγραμμήένααλφαριθμητικόºστοναλγόριθμο º½παρουσ ιάζεταιηδήλωσ ηγιαένακεντρικόπαράθυρομετοοποίοοχρήσ
Montreal - Quebec, Canada.
ÂÆÁÃÇ Å ÌËÇ ÁÇ ÈÇÄÍÌ ÉÆ ÁÇ ËÉÇÄÀ ÀÄ ÃÌÊÇÄÇ ÏÆ ÅÀÉ ÆÁÃÏÆ Ã Á ÅÀÉ ÆÁÃÏÆ ÍÈÇÄÇ ÁËÌÏÆ ÌÇÅ Ë ËÀÅ ÌÏÆ Ä ÉÇÍ Ã Á ÊÇÅÈÇÌÁÃÀË ËÙÑ ÓÐ Ø Ò Ò ÔØÙÜ ÈÓÐÙÔÖ ØÓÖ ÖÕ Ø ØÓÒ Ò ÔØÙÜ Ó ÊÓÑÔÓØ Ó Ð ÕÓÙ Ø Ó Ò ÕÙØ Å : ÖÑÓ ØÓÒ
Γραφικάμετηνχρήσ η ÛØ
Γραφικάμετηνχρήση ÛØ ΙωάννηςΓºΤσούλος Νοέμβριος ¾¼ Η Úδιαθέτειένα δικό της σύστημαγραφικών τοοποίομπορεί να είναι κάπωςπεριορισμένοσεσχέσημετο ÉÌήτο ÏÁÆ ¾ ÈÁαλλάδίνειμεταφέρσιμο κώδικακαιμπορείναχρησιμοποιηθείγιατηνκατασκευήπρογραμμάτωνγραφικής
Τμήμα Φυσικής, Εργαστήριο Αστρονομίας
Á ÃÌÇÊÁÃÀ Á ÌÊÁ À ÆÁÉÆ ÍËÀ Ã Á Å Ä ÌÀ Ï Ä Á ÃÏÆ ÍÈÇÄ ÁÅÅ ÌÏÆ ÍÈ ÊÃ ÁÆÇ ÆÏÆ Ë ÈÇÄÄ ÈÄ ÅÀÃÀ ÃÍÅ ÌÇË Ä ÏÆÁ ÃÀ ÁÏ ÆÆ È Æ ÈÁËÌÀÅÁÇ È ÌÊÏÆ ¹ ÌÅÀÅ ÍËÁÃÀË ÂÆÁÃÇ ËÌ ÊÇËÃÇÈ ÁÇ ÂÀÆÏÆ Ë ÔØ Ñ Ö Ó ¾¼½¾ Á ÃÌÇÊÁÃÀ Á ÌÊÁ
Reserve & Trapped. Mission Fuel. Military Ordnance. Expendable Payload. Passengers + Bags ( lbs/pass.) Revenue Cargo. Non expendable Payload
ÈÖÐÑÒÖÝ ØÑØ Ó Ì¹Ç«ÏØ ÈÓØÓÖÔ Ó ÓÒ ¹½ ÐÓÑ ØÖ Ø Ø¹Ó«ÅÜÑÙÑ Ø¹Ó«ÛØ ÕÙÐ ¼¼¼ Ð ÑÜÑÙÑ ÔÝÐÓ ½ ¼¼¼ Ð ÓÙÖØ Ý Ó Ø ÓÒ ÓÑÔÒݵº ½ Ï Ì Ç Ï ÙÐ Ï ÔÝÐÓ Ï ÑÔØÝ ¾½ Ï ÔÝÐÓ Ï ÜÔÒÐ Ï ÒÓÒ ÜÔÒÐ ¾¾ 000000000000 111111111111 000000000000
Θεωρία Συνόλων. Ενότητα: Διατακτικοί αριθμοί. Γιάννης Μοσχοβάκης. Τμήμα Μαθηματικών
Θεωρία Συνόλων Ενότητα: Διατακτικοί αριθμοί Γιάννης Μοσχοβάκης Τμήμα Μαθηματικών Θεωρία Συνόλων Σημειώματα Σημειώμα ιστορικού εκδόσεων έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.1. Εχουν προηγηθεί οι κάτωθι
Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι. Άρης Παγουρτζής
Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Άρης Παγουρτζής Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Faculté des Sciences. Etude du couplage entre un algorithme génétique et des méthodes d optimisation locale
Faculté des Sciences Etude du couplage entre un algorithme génétique et des méthodes d optimisation locale Promoteur : Annick Sartenaer Directeur : Caroline Sainvitu Mémoire présenté pour l'obtention du
ÊÁËÌÇÌ Ä ÁÇ È Æ ÈÁËÌÀÅÁÇ Â ËË ÄÇÆÁÃÀË ËÉÇÄÀ Â ÌÁÃÏÆ ÈÁËÌÀÅÏÆ ÌÅÀÅ ÍËÁÃÀË Ð ÃÓÙ ÓÙÐÓ ÒÒ Å Ä ÌÀ ÆÌÇÈÁËÅ ÆÏÆ Ì Ä ÆÌÏË ÏÆ Ë ËÍËÌÀÅ Ì ÈÇÄÄÏÆ ÂÅÏÆ Ä ÍÂ ÊÁ Ë
ÊÁËÌÇÌ Ä ÁÇ È Æ ÈÁËÌÀÅÁÇ Â ËË ÄÇÆÁÃÀË ËÉÇÄÀ Â ÌÁÃÏÆ ÈÁËÌÀÅÏÆ ÌÅÀÅ ÍËÁÃÀË Ð ÃÓÙ ÓÙÐÓ ÒÒ Å Ä ÌÀ ÆÌÇÈÁËÅ ÆÏÆ Ì Ä ÆÌÏË ÏÆ Ë ËÍËÌÀÅ Ì ÈÇÄÄÏÆ ÂÅÏÆ Ä ÍÂ ÊÁ Ë ØÓÖ ØÖ Â ÐÓÒ ¾¼¼ ËÁÄÀË ÃÇÍÃÇÍÄÇ Á ÆÆÀË ÍÔ ØÖÓ Ó ØÓÙ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Αποκατάσταση εικόνων. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα: Αποκατάσταση εικόνων Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ÃÐÓ 12 ÔÓØ Ø ÒÛÒ ÈÓÐÐ ÓÖ Ó Ò Ø Ø ÐÝ Ù ØÒØ ÔÖÑÖÛ
Δυαδικά Συστήματα. URL:
Ø ÖÓ Ü Ñ ÒÓ ÓØ Δυαδικά Συστήματα ôö Ó Éº Ð Ü Ò Ö ÔÓÙÐÓ Ä ØÓÖ Èº º ¼» ¼ e-mail: alexandg@uop.gr URL: http://users.iit.demokritos.gr/~alexandg ÌÑ Ñ Ô Ø Ñ Ì ÕÒÓÐÓ Ì Ð Ô Ó ÒÛÒ ôò È Ö Õ Ñ Ò Ù Ë Ø Ñ ½ ¾ Δυαδικό
iii vii Abstract xiii iii
È Ò Ô Ø Ñ Ó È ØÖÛÒ ÌÑ Ñ Å Ñ Ø ÛÒ ÇÑÓ Ò Å ØÖ Einstein Ë Ò ÙÑ Ò ÈÓÐÐ ÔÐÓØ Ø Ë Ñ ÛÒ ÁÛ ÒÒ Ãº ÉÖÙ Ó ØÓÖ ØÖ Ô Ð ÔÛÒ Ô ÓÙÖÓ Ã Ø Ò Ö Ö Ò ØÓ ÛÖ Ó È ØÖ ¾¼½¼ ÖôÒ Ø ØÓÙ ÓÒ ÑÓÙ ÃÖØÛÒ Å Ö È Ö Õ Ñ Ò È Ö Õ Ñ Ò ÙÕ Ö Ø
ΟπτικόςΠρογραμματισ μός. ΙωάννηςΓºΤσ ούλος
ΟπτικόςΠρογραμματισμός ΙωάννηςΓºΤσούλος ¾¼½ ÔØÖ ½ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σεαυτήτηνενότηταθαεξεταστούνμερικέςαπότιςβασικέςδομέςπάνωστις οποίεςστηρίζεταιηβιβλιοθήκη É̺Οιδομέςαυτέςπεριλαμβάνουνδυναμικούς πίνακες
Αρχείασ την Â Ú. ΙωάννηςΓºΤσ ούλος
Αρχείαστην ÂÚ ΙωάννηςΓºΤσούλος Νοέμβριος ½½ ½ Ηκατηγορία ÁÒÔÙØËØÖÑ Ηκατηγορία ÁÒÔÙØËØÖÑείναιμιααφηρημένηκατηγορίακαιχρησιμοποιείταιγια τηνανάγνωση δεδομένων στην ÂÚαπόαρχείαεισόδουº Ωςαρχείαεισόδου μπορούμεναθεωρήσουμεαρχείαπουβρίσκονταιστονσκληρόδίσκοτουυπολογιστήήκαισυσκευέςεισόδουόπωςτοπληκτρολόγιοºοισημαντικότερεςμέθοδοι
imagine virtuală plan imagine
Ô ØÓÐÙÐ ½ ÅÓ ÙÐÙÐ Ð Ö Ö ÓÑ ØÖ Ñ Ö ¾ ÈÁÌÇÄÍÄ ½º ÅÇ ÍÄÍÄ ÄÁ Ê Ê ÇÅ ÌÊÁ Å Ê Á ÙÔÖ Ò ½ ÅÓ ÙÐÙÐ Ð Ö Ö ÓÑ ØÖ Ñ Ö ½ ½º½ ÁÒØÖÓ Ù Ö ÑÓ Ð ÓÑ ØÖ Ð Ñ Ö º º º º º º º º º º º º º ½º½º½ ÈÖÓ ñ Ô Ö Ô Ø Ú º º º º º º º
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Εισαγωγή. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας. Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα: Εισαγωγή Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ÃÐÓ 1 Û Å ØÒ ÐÙ Ø Ý ÛØÓÖ Ý Ò Ò ÔÐÓÒ ØÑ ØÓÙ ÙÖÛ ÓÒÓº À ÔÜÖ ÒÛÒ
Z L L L N b d g 5 * " # $ % $ ' $ % % % ) * + *, - %. / / + 3 / / / / + * 4 / / 1 " 5 % / 6, 7 # * $ 8 2. / / % 1 9 ; < ; = ; ; >? 8 3 " #
Z L L L N b d g 5 * " # $ % $ ' $ % % % ) * + *, - %. / 0 1 2 / + 3 / / 1 2 3 / / + * 4 / / 1 " 5 % / 6, 7 # * $ 8 2. / / % 1 9 ; < ; = ; ; >? 8 3 " # $ % $ ' $ % ) * % @ + * 1 A B C D E D F 9 O O D H
c = a+b AC = AB + BC k res = k 1 +k 2
Ã Ô Ø Ð Á ÒÐ ØÙÒ ï ½ ÅÓ ÐÐ ÚÓÒ Î ØÓÖÖÙÑ Ò ÁÒ Ñ Ö ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ò Ò Òµ È Ö Ö Ô Ò Ò ÐÒ Û Ö Ô Ð ÞÙÖ Ð Ö ¹ Ò ËØÖÙ ØÙÖ Î ØÓÖÖ ÙÑ º Ò Ö ÙÒ Ò Ø Ò ØÞ Ò Û Ö Ð ÒÒØ ÚÓÖ Ù º Ò ÈÖÞ ÖÙÒ Ö ÓÐ Ø ÔØ Ö Û ÒÒ Û Ö ÙÒ ÙÑ Ò Ñ Ø
p a (p m ) A (p v ) B p A p B
½ ËØ Ø ÐÙ ½º½ ÍÚÓ ÈÖ ÔÖÓÙÕ Ú Ù Ñ Ò ÐÙ Ð Ó ÐÙ Ù Ò ÐÙ ÑÓ ÑÓ ÔÓ Ð Ø Ò Þ ÔÖ Ñ Ò Ð ¹ ÐÙ Ù Ò Ú ÐÙ Ò Ð ÙÒÙØ Ö ÔÓ Ñ ØÖ Ò Þ ÔÖ Ñ Ò Þ Ò Ó Ö ØÒÓ Þ Õ Ó ÓÒØ Ø Ð Þ Ñ Ò Ø Ò Ö ÐÒ Ð Ð ØÖÓÑ Ò ØÒ Ð µº ÇÚ Ð Ó ÕÒÓ ÞÖ Ú Ù ÔÓ
! " # $ % & $ % & $ & # " ' $ ( $ ) * ) * +, -. / # $ $ ( $ " $ $ $ % $ $ ' ƒ " " ' %. " 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 : ; ; < = : ; > : 0? @ 8? 4 A 1 4 B 3 C 8? D C B? E F 4 5 8 3 G @ H I@ A 1 4 D G 8 5 1 @ J C
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: 2-Δ συνεχή σήματα. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα: 2-Δ συνεχή σήματα Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ÃÐÓ 3 ¾¹ ÙÒÕ ÑØ Å ÙÒÕ Ò ÑÔÓÖ Ò ÔÖ Ø Ô Ò ¾¹ ÙÒÕ Ñ Ð
Θεωρία Συνόλων. Ενότητα: Επιλογής επόμενα. Γιάννης Μοσχοβάκης. Τμήμα Μαθηματικών
Θεωρία Συνόλων Ενότητα: Επιλογής επόμενα Γιάννης Μοσχοβάκης Τμήμα Μαθηματικών Θεωρία Συνόλων Σημειώματα Σημειώμα ιστορικού εκδόσεων έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.1. Εχουν προηγηθεί οι κάτωθι
Σανπρώτοπαράδειγμαχρήσ εωςτης ÉÈ ÒØ Öπαρουσ ιάζεταιέναπαράδειγμασ χεδιασ μούκύκλωνμέσ ασ εένακεντρικόπαράθυροº
ÔØ Ö ΓΡΑΦΙΚΑ ΚΑΙ ΠΟΛΥΜΕΣΑ Ηβιβλιοθήκη ÉÌμπορείναχρησ ιμοποιηθείκαιγιατηνδημιουργίαπρογραμμάτων μεαπλάγραφικά γραμμές κείμενο κύκλουςκτλµόπωςεπίσ ηςγιατηνδημιουργία γραφημάτων από δεδομέναº º½ Àκατηγορία
½ È Ê Ç Î Ç Ê ÇÚ ÒÓÚ ÓØ À Ð ÖØÓÚ Ç ÒÓÚ ÓÑ ØÖ Ò Ò ÔÖ Ú ÒÓÚ ÔÖ Ö º ÍÔÖ ÚÓ Ù Ò Ò Ù ÑÓ Ò ÔÖ Ú Ñ Ò ÓÔÙÒ º Í ÓÔÙÒ I Ù ÙÔÐ Ò Ò Þ Ú ÒÓ Ø Ù Ø ÑÙ ÓÑ Ö ÐÒ ÖÓ¹ Ú
½ ËÊÈËà à ÅÁÂ Æ Íà ÃÄ ËÁ ÆÁ Æ Í ÆÁ ËÈÁËÁ ÃÆÂÁ XIV Å Ì Å ÌÁ ÃÁ ÁÆËÌÁÌÍÌ ÃÆÂÁ ½ ÍÖ Ò Ñ Ê ÁÎÇ à â ÆÁÆ ÍÔÖ ÚÒ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ò Ø ØÙØ Ë Æ º ÀÁÄ ÊÌ ÇËÆÇÎ ÇÅ ÌÊÁ ÈÊ Î Ç Ë ÇËÅÇ Æ Å ÃÇ Á ÆÂ êº Ê â ÆÁÆ ÈÖ ÑÐ ÒÓ Ò XI
Δυναμικοί τύποι δεδομένων
Δυναμικοί τύποι δεδομένων ΙωάννηςΓºΤσούλος Δεκέμβριος ¾¼ Η ÂÚπεριέχειμιασειράαπόχρήσιμεςκατηγορίεςπουχρησιμοποιούνταιγια τηνδιαχείρισηδυναμικώνδεδομένων σταοποίαδενγνωρίζουμεεκτωνπροτέρων όχι μόνον την
Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Προσεγγιστική Λύση Γραμμικών Συστημάτων. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 8: Προσεγγιστική Λύση Γραμμικών Συστημάτων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο
[Na + ] [NaCl] + [Na + ]
![[Na + ] [NaCl] + [Na + ]](/thumbs/85/92069557.jpg "[Na + ] [NaCl] + [Na + ]")
Ç ÒÙØ Þ Ó Þ Þ Ñ ÒÓ Ó Ò Óö ÂÙÖ Ö Ò ÊÙ ÓÐ ÈÓ ÓÖÒ Ò Ë ËÚ Ø Ò ¾¼½½»¾¼½¾ ÈÓ Ð Ú Ä ÃÌÊÁ ÆÁ ÁÆ Å Æ ÌÆÁ ÈÇ ÎÁ º½ º½º½ Ð ØÖ ÒÓ ÔÓÐ Ò ØÓ Ð ØÖ Ò Ò Ó Ð ØÖ Ò ÔÓ Ú Ð Ó Ö ÞÐÓö ÑÓ Ò Ó ÒÓÚ Ù ÓØÓÚ ØÚ Ñ Ó Ó ÒÓÚÒ Ð ÓØ Ø
Ç ÖÚ Ø Ö Ø Ð ÒÙ Ù Ó Ø Ò ÒØ Ö Ø º È ÖÑ ÙÒ Ð Ô ÒØÖÙ Ñ Ø Ö Ð ÔÖ ÐÙ Ø ÒÙ Ù Ó Ø Ò ÖÙØ º È Ò Ø Ø Ð Ó Ö Ô ÒØÖÙ ÔÖ ÒØ Ø Ù ÓÖ Ô ÙÒ º ÔÓ Ø Ñ º
Þ ÔÓÚ Ø Ø Ö Ø Ò ÈÖ ÙÖ Ò ÐÙÖÙ ÔÖ Ð ½ ¾¼½¼ Ç ÖÚ Ø Ö Ø Ð ÒÙ Ù Ó Ø Ò ÒØ Ö Ø º È ÖÑ ÙÒ Ð Ô ÒØÖÙ Ñ Ø Ö Ð ÔÖ ÐÙ Ø ÒÙ Ù Ó Ø Ò ÖÙØ º È Ò Ø Ø Ð Ó Ö Ô ÒØÖÙ ÔÖ ÒØ Ø Ù ÓÖ Ô ÙÒ º ÔÓ Ø Ñ º ÓÒØ ÒØ ½ Å Ò ½ ½º ÄÙÑ Ñ Ø
Προγραμματισ μόςσ ε» ΙωάννηςΓºΤσ ούλος
Προγραμματισμόςσε» ΙωάννηςΓºΤσούλος ¾¼½ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ½º½ Μεταβλητές ½º½º½ Δήλωση Η δήλωσημεταβλητώνμπορεί να γίνει σε οποιοδήποτεσημείοτου κώδικα σε αλλάείναιπροτιμότεροναγίνεταιστηναρχήτουπρογράμματος
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΟΠΤΙΚΑ ΣΥΣΤΑΤΙΚΑ
ÔØ Ö ¾ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΟΠΤΙΚΑ ΣΥΣΤΑΤΙΚΑ ¾º½ Δημιουργία απλού παραθύρου Γιατηνδημιουργίαπαραθύρουθαχρειασ τείοχρήσ τηςνατοποθετήσ ειμέσ ασ ε μιακυρίωςεφαρμογήέναοπτικόσ υσ τατικό Ï ØµΤοπιοαπλόοπτικόσ υσ τατικόπουμπορείναχρησ
) * +, -. + / - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 : ; < 8 = 8 9 >? @ A 4 5 6 7 8 9 6 ; = B? @ : C B B D 9 E : F 9 C 6 < G 8 B A F A > < C 6 < B H 8 9 I 8 9 E ) * +, -. + / J - 0 1 2 3 J K 3 L M N L O / 1 L 3 O 2,
Ω = {ω 1,..., ω 6 }, ω = ω 1,..., ω m 1, 6, ω 1,...,, ω j {1, 2,...5}, m 1.
Î Ð Ù ËØ Å Ò Ì ÑÝ Ù Ø ÓÖ Ó Ô ØÓ Î ÐÒ Ù ¾¼¼ ÌÙÖ ÒÝ ½ Ì ÑÝ ÒÅ Ö ÚÅ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º ËØ Ø Ø Ò Ô Ö Ñ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º ÃÐ Ò ÑÓ Ð º º º º º º º º
½ ÍÚÓ Ò Ð Þ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÓÔ Ó Ò Ó Ù Ø ÓÖ Ñ Ö ÞÑ ØÖ Ò Ñ ÔÓ Ù Ú ÑÓ Ó Ö ÑÓ ÐÓö ÒÓ Ø Ø ö ÒÙ Ò Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ó Ù ÔÖ Ø Ò Ñ ÔÖ Ñ Ò Ñ ö Ð ÑÓ ØÓ ÔÖ ÞÒ ÔÖÓ Ò ÑÓ Ó Ú
Ò Ð Þ Ð ÓÖ Ø Ñ Ô ØÒ Ö Þ ÔÖ Ñ Ø ËÐÓö ÒÓ Ø ÞÖ ÙÒ Ú Ò Å Ð Ò Ò ÓÚ ¾¼¾½»¼ ¼ º ¼¾º ¾¼¼ º Ë ö Ø ÇÚ Ö ÔÖ Ø ÚÐ Ö Ø ÔÖ Ð Ò Ñ ØÓ Ò Ð Þ Ð ÓÖ Ø Ñ Ó Ñ ÙØÓÖ Ö ÙÔÓÞÒ Ó Ù Ó Ú ÖÙ ÙÖ ËÐÓö ÒÓ Ø ÞÖ ÙÒ Ú Ò Ò ÔÖÚÓ Ó Ò ÔÓ Ø ÔÐÓÑ
, z = 1 ( Lψ = Eψ, E = E fixed, L = +v(x,t), = 4 z z, x R 2 ½º µ
ÇÄ ÈÇÄ Ì ÀÆÁÉÍ ÆÌÊ Å ÌÀ Å ÌÁÉÍ Ë ÈÈÄÁÉÍ Ë ÍÅÊ ÆÊË ½ ½½¾ È Ä ÁË Í Ê Æ µº Ì Ð ¼½ ¼¼º Ü ¼½ ØØÔ»»ÛÛÛºÑ ÔºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö» Ò Ó ÓÐ ØÓÒ Û Ø Ù ÒØ Ð Ö ÐÓ Ð Þ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÆÓÚ ÓڹΠÐÓÚ ÕÙ Ø ÓÒ Ø ÒÓÒÞ ÖÓ Ò Ö Ý ÒÒ Ã Þ
Στοκεφάλαιοαυτόθαμιλήσ ουμεγιατααρχείασ τηνγλώσ σ α ºΘαχρησ ιμοποιηθούνσ υναρτήσ ειςαπότηνκαθιερωμένηβιβλιοθήκηεισ όδου»εξόδου
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΧΕΙΑ Στοκεφάλαιοαυτόθαμιλήσουμεγιατααρχείαστηνγλώσσα ºΘαχρησιμοποιηθούνσυναρτήσειςαπότηνκαθιερωμένηβιβλιοθήκηεισόδου»εξόδου ØÓºµκαι γιααυτόγίνεταιμιαπρώτηπαρουσίασηαυτήςτηςβιβλιοθήκηςº º½
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Μετασχηματισμός Fourier 2-Δ ακολουθιών. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα: Μετασχηματισμός Fourier 2-Δ ακολουθιών Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ÃÐÓ 5 ÅØ ÕÑØ Ñ Fourier ¾¹ ÓÐÓÙôÒ
Θεωρία Συνόλων. Ενότητα: Τα πάντα σύνολα; Γιάννης Μοσχοβάκης. Τμήμα Μαθηματικών
Θεωρία Συνόλων Ενότητα: Τα πάντα σύνολα; Γιάννης Μοσχοβάκης Τμήμα Μαθηματικών Θεωρία Συνόλων Σημειώματα Σημειώμα ιστορικού εκδόσεων έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.1. Εχουν προηγηθεί οι κάτωθι
Õâñéäéóìüò. Ðïéá åßíáé ç áíüãêç åéóáãùãþò ôçò Ýííïéáò ôïõ õâñéäéóìïý. Ðïéá åßíáé ôá âáóéêüôåñá åßäç õâñéäéóìïý
9 Õâñéäéóìüò ÐÅÑÉÅ ÏÌÅÍÁ 9.1 ÅéóáãùãÞ 9.2 Õâñéäéóìüò & õâñéäéêü ôñï éáêü 9.3 Åßäç õâñéäéóìïý êáé õâñéäéêþí ôñï éáêþí 9.4 Õâñéäéóìüò êáé ðïëëáðëïß äåóìïß 9.5 Õâñéäéóìüò êáé ìïñéáêþ ãåùìåôñßá 9.6 ÅñùôÞóåéò
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Βελτίωση εικόνων. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα: Βελτίωση εικόνων Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ÃÐÓ 9 ÐØÛ ÒÛÒ À ÒÒÓ Ø ÔÓØØ ØÛÒ ÒÛÒ ÒØ ÔÓÐ ÙÕÒ ÙÔÓÑÒ
Μονοδιάσ τατοιπίνακες
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΙΝΑΚΕΣ ¾º½ Μονοδιάστατοιπίνακες Οιπίνακεςείναιδομέςδεδομένωνπουδιαθέτουνέναπλήθοςαπόστοιχείατουίδιου τύπουº Γιαπαράδειγμαηβαθμολογίασεέναμάθημααποθηκεύτεταισεπίνακαº Κάθεστοιχείοτουπίνακααντιπροσωπεύειτηνβαθμολογίαενόςσπουδαστήστο
Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: SPLINES. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 11: SPLINES Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
ÔÖÓØ Ô ØÓ ESO (M. Sarazin and F. Roddier, A&A 227, 294-300, 1990) Õ Ò ¹
Seeing-GR Å ØÖôÒØ Ø Ø Ö Õ Ø ØÑ Ö Ø Ò ÐÐ Å Ð Ñ ØÖ 1 Æ ØÓÖ ÒÒ 2 È ÖÞ ËØ Ð Ó 3 ÌÖ ÑÓÙ Ù Ð 4 Ã Ö Ñ Ò Ð 5 ÒØÛÒ ÒÒ 5 ÓÙÐ ÒÒ 5 ÃÓÙÖÓÙÑÔ ØÞ Ãô Ø 5 Ë Ö ÒÒ 5 1 Hamburger Sternwarte, Gojenbergsweg 112, 21029 Hamburg,
x E[x] x xµº λx. E[x] λx. x 2 3x +2
![x E[x] x xµº λx. E[x] λx. x 2 3x +2](/thumbs/20/424851.jpg "x E[x] x xµº λx. E[x] λx. x 2 3x +2")
¾ λ¹ ÐÓÒ Ó ÙÖ ½ ¼ º õ ¹ ¹ ÙÖ ¾ ÙÖ º ÃÐ ¹ ½ ¼º ¹ Ð Ñ ÐÙÐÙ µ λ¹ λ¹ ÐÙÐÙ µº λ¹ º ý ½ ¼ ø λ¹ ÃÐ º λ¹ ÌÙÖ Ò ÌÙÖ º ÌÙÖ Ò ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ ¹ ÇÊÌÊ Æ Ä Çĺ ý λ¹ ¹ º Ö ÙØ ÓÒ Ñ Ò µ Ø ¹ ÓÛ ÓÑÔÙØ Ö µ ¹ λ¹ º λ¹ ÙÒØ ÓÒ Ð
Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Μέθοδος Ελάχιστων Τετραγώνων. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 10: Μέθοδος Ελάχιστων Τετραγώνων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του
Γιατηνδήλωσ ητωνδομώνχρησ ιμοποιείταιοπροσ διορισ τής ØÖÙØ όπωςσ την σ υνέχεια
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΟΜΕΣ º½ Απλές δομές Ηδομήχρησ ιμοποιείταισ ανσ υλλογήμεταβλητώνδιαφορετικούτύπουπροκειμένου ναπεριγράψεισ υνολικάμιαοντότηταº ΓιαπαράδειγμαηοντότηταΑΝΘΡΩΠΟΣ αποτελείταιαπόταπεδία ½º Ονομα αλφαριθμητικόµ
ÌÓ ÑÝ Ñ ÐÝ Ò Ö Ò Û Ø ÓÙØ Û ÓÑ Ø ÔÖÓ Ø ÛÓÙÐ Ò Ú Ö ÓÑÔÐ Ø
ÇÆ ÌÀ Ä ËËÁ Á ÌÁÇÆ Ç ÄÇË Ä Ì ÇÍʹŠÆÁ ÇÄ Ë Ý Ì ÓÑ È ÙÐ Ä Ñ ÖØ ÖØ Ø ÓÒ ËÙ Ñ ØØ ØÓ Ø ÙÐØÝ Ó Ø Ö Ù Ø Ë ÓÓÐ Ó Î Ò Ö ÐØ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Ô ÖØ Ð ÙÐ ÐÐÑ ÒØ Ó Ø Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ ÓÖ Ø Ö Ó Ç ÌÇÊ Ç ÈÀÁÄÇËÇÈÀ Ò Å Ø Ñ Ø Ù Ù
6,0 1RWIRU&RPPHU LDO8VH
6,0 ò ò ø ô 6,0 ù" ñ û" (UL VVRQ$V (UL VVRQ 0RELOH&RPPXQL DWLRQV$% ò (UL VVRQ0RELOH&RPPXQL DWLRQV$% ø (UL VVRQ0RELOH&RPPXQL DWLRQV$% 58/=7 5$,1129$75213$7(176 ø *60 ù ø 7Œ7H[W,QSXW± 7HJL &RPPXQL DWLRQV
ÍÆÁÎ ÊËÁ Ë ÆÌÁ Ç ÇÅÈÇËÌ Ä ÍÄÌ ËÁ Ô ÖØ Ñ ÒØÓ È ÖØ ÙÐ Ó Ý ÈÖÓ Ö Ñ Ò ÓÖ ÒØ Ó Ç ØÓ Ð Ê ÓÒ ØÖÙ Ò ËÙ Ó Ò Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ À Ë ÓÐ ÓÒ Æ Ð Ó¹Æ Ð Ó Å ÑÓÖ ÔÖ ÒØ Ô Ö ÓÔØ Ö Ð Ö Ó Ä Ò Ó Ò Ò ÔÓÖ Å ÒÙ Ð Ë Ò Þ Ö Å ÖÞÓ ½ ¾
Ανώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 5: Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο
Preisdifferenzierung für Flugtickets
Ë Ñ Ø Ö Ö Ø ÏÄ ÌÀ Ö ÈÖ Ö ÒÞ ÖÙÒ Ö ÐÙ Ø Ø Ù Ò ËØÖ Ò Ö ¹ ÄÓÒ ÓÒ ÙÒ Ö Ò ÙÖØ ¹ Æ Û ÓÖ ÙØÓÖ Ò Ì ÓÑ ÖÙÒÒ Ö À ÙÖ ØÖº ¼ Ö Ñ ÐØ ÓÑ ÖÙÒÒ Öº Ö ØÓÔ Ã Ö ÐÙÑ ÒÛ ½¼ Ç ÖÛ Ð Ö ØÙ Òغ Ø Þº ØÖ Ù Ö ËØ Ò Ä Ù Ò Ø Ò ÈÖÓ ÓÖ ÖÑ
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Συναρτήσεις πολλών Μεταβλητών Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Βιοϊατρικής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο
Ë Ö ½ Ç ÒÓÚÒ ÔÓ ÑÓÚ Þ Õ ÚÓ ØÚ ÐÙ ½ ½º½ ÈÖ Ñ Ø ÞÒ Õ Ö ÞÚÓ Ñ Ò ÐÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º½º½ ÈÖ Ñ Ø ÔÓ Ð Ñ Ò ÐÙ º º º º º º º º º º
ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ø Ù Ó Ö Ù Å Ü Ò ÙÐØ Ø Ëº É ÒØÖ Åº Ä Õ º Ó Å À ÆÁà ÄÍÁ Ó Ö ¾¼¼ º Ë Ö ½ Ç ÒÓÚÒ ÔÓ ÑÓÚ Þ Õ ÚÓ ØÚ ÐÙ ½ ½º½ ÈÖ Ñ Ø ÞÒ Õ Ö ÞÚÓ Ñ Ò ÐÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º½º½ ÈÖ Ñ Ø ÔÓ Ð Ñ Ò
Adaptive Trailing Edge Flaps for Active Load Alleviation in a Smart Rotor Configuration. DTU Wind Energy - PhD
Adaptive Trailing Edge Flaps for Active Load Alleviation in a Smart Rotor Configuration DTU Wind Energy - PhD Leonardo Bergami DTU Wind Energy PhD-0020(EN) August 2013 DTU Vindenergi Active Load Alleviation
Αντικειμενοστραφής Προγραμματισμός Ενδεκτικές ασκήσεις-απαντήσεις
Αντικειμενοστραφής Προγραμματισμός Ενδεκτικές ασκήσεις-απαντήσεις Τσούλος Ιωάννης, Επίκουρος Καθηγητής Τμ. Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. Άρτα, Μάιος 2015 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα Μια εισαγωγή σε γραφοθεωρητικά προβλήματα
Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα Μια εισαγωγή σε γραφοθεωρητικά προβλήματα Άρης Παγουρτζής Ε.Μ.Π. - Μ.Π.Λ.Α. Ευχαριστίες: μέρος των διαφανειών αυτών προέρχεται από τις Σημειώσεις Ε. Ζάχου για το μάθημα
arxiv: v3 [math.ap] 25 Nov 2009
![arxiv: v3 [math.ap] 25 Nov 2009](/thumbs/94/121663161.jpg "arxiv: v3 [math.ap] 25 Nov 2009")
ÅÁ ÊǹÄÇ Ä Æ Ä ËÁË ÏÁÌÀ ÇÍÊÁ Ê Ä Ë Í ËÈ Ëº È ÊÌ Á ËÌ Î Æ ÈÁÄÁÈÇÎÁ Æ Æ Ì Ç ÆÇÎ Æ ÂÇ ÀÁÅ ÌÇ Ì arxiv:0804.1730v3 [math.ap] 25 Nov 2009 ØÖ Øº Ä Ø ω,ω 0 ÔÔÖÓÔÖ Ø Û Ø ÙÒØ ÓÒ Ò q [1, ]º Ï ÒØÖÓ Ù Ø Û Ú ¹ ÖÓÒØ
Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Προσεγγιστική Λύση Εξισώσεων. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 7: Προσεγγιστική Λύση Εξισώσεων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του
A Francesca, Paola, Laura
A Francesca, Paola, Laura L. Formaggia F. Saleri A. Veneziani Applicazioni ed esercizi di modellistica numerica per problemi differenziali 2 3 LUCA FORMAGGIA FAUSTO SALERI ALESSANDRO VENEZIANI MOX - Dipartimento
Role of Alumina Support in Cobalt Fischer-Tropsch Synthesis
Øyvind Borg Role of Alumina Support in Cobalt Fischer-Tropsch Synthesis Thesis for the degree of doktor ingeniør Trondheim, April 2007 Norwegian University of Science and Technology Faculty of Natural
:$3. This is the Internet version of the user's guide. Print only for private use. :HE 6RQ\(UL VVRQ GH ODUDWLRQRI RQIRUPLW\
![:$3. This is the Internet version of the user's guide. Print only for private use. :HE 6RQ\(UL VVRQ GH ODUDWLRQRI RQIRUPLW\](/thumbs/57/40570010.jpg ":$3. This is the Internet version of the user's guide. Print only for private use. :HE 6RQ\(UL VVRQ GH ODUDWLRQRI RQIRUPLW\")
ù ù ø ³ ò :$3 û :$3 ù ñ 6,0 ù" :HE 6RQ\(UL VVRQ GH ODUDWLRQRI RQIRUPLW\ ñ û " 6RQ\(UL VVRQ7 *60 6RQ\(UL VVRQ0RELOH&RPPXQL DWLRQV$% ô6rq\(ul VVRQ 0RELOH&RPPXQL DWLRQV$% 6RQ\(UL VVRQ0RELOH&RPPXQL DWLRQV$%
Εισαγωγικά. URL:
Ø ÖÓ Ü Ñ ÒÓ ÓØ Εισαγωγικά ôö Ó Éº Ð Ü Ò Ö ÔÓÙÐÓ Ä ØÓÖ Èº º ¼» ¼ e-mail: alexandg@uop.gr URL: http://users.iit.demokritos.gr/~alexandg ÌÑ Ñ Ô Ø Ñ Ì ÕÒÓÐÓ Ì Ð Ô Ó ÒÛÒ ôò È Ö Õ Ñ Ò ½ Οργάνωση Μαθήματος Διαδικαστικά
0RELOH,QWHUQHW :$3 :HE 6RQ\(UL VVRQ GH ODUDWLRQRI RQIRUPLW\
![0RELOH,QWHUQHW :$3 :HE 6RQ\(UL VVRQ GH ODUDWLRQRI RQIRUPLW\](/thumbs/66/56247555.jpg "0RELOH,QWHUQHW :$3 :HE 6RQ\(UL VVRQ GH ODUDWLRQRI RQIRUPLW\")
ù ù ø ³ ò 0RELOH,QWHUQHW :$3 û 0RELOH,QWHUQHW :$3 ù ñ 6,0 ù" :HE 6RQ\(UL VVRQ GH ODUDWLRQRI RQIRUPLW\ ñ û " 6RQ\(UL VVRQ ù 6RQ\(UL VVRQ0RELOH&RPPXQL DWLRQV$% ô6rq\(ul VVRQ 0RELOH&RPPXQL DWLRQV$% 6RQ\(UL