f = f(i, α) =f(x, ξ 1,...,ξ m ), (f(i 1,α),...,f(i m,α)) (ξ 1,...,ξ m )

ÂÅÑÒÍÈÊ ÓÄÌÓÐÒÑÊÎÃÎ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÀ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÌÅÕÀÍÈÊÀ. ÊÎÌÏÜ ÒÅÐÍÛÅ ÍÀÓÊÈ ÓÄÊ 517.912, 514.1 c Â. À. Êû îâ ÂËÎÆÅÍÈÅ ÔÅÍÎÌÅÍÎËÎÃÈ ÅÑÊÈ ÑÈÌÌÅÒÐÈ ÍÛÕ ÃÅÎÌÅÒÐÈÉ ÄÂÓÕ ÌÍÎÆÅÑÒÂ ÐÀÍÃÀ (N, 2) Â ÔÅÍÎÌÅÍÎËÎÃÈ ÅÑÊÈ ÑÈÌÌÅÒÐÈ ÍÛÅ ÃÅÎÌÅÒÐÈÈ ÄÂÓÕ ÌÍÎÆÅÑÒÂ ÐÀÍÃÀ (N + 1, 2) Â äàííîé àáîòå ï åäëàãàåòñß íîâûé ìåòîä êëàññèôèêàöèè ìåò è åñêèõ ôóíêöèé ôåíîìåíîëîãè åñêè ñèììåò è íûõ ãåîìåò èé äâóõ ìíîæåñòâ. Îí íàçûâàåòñß ìåòîäîì âëîæåíèß, ñóòü êîòî îãî ñîñòîèò â íàõîæäåíèè ìåò è åñêèõ ôóíêöèé ôåíîìåíîëîãè åñêè ñèììåò è íûõ ãåîìåò èé äâóõ ìíîæåñòâ âûñîêîãî àíãà ïî èçâåñòíîé ôåíîìåíîëîãè åñêè ñèììåò è íîé ãåîìåò èè äâóõ ìíîæåñòâ àíãà íà åäèíèöó íèæå. Òàê ïî àíåå èçâåñòíîé ìåò è åñêîé ôóíêöèè ôåíîìåíîëîãè åñêè ñèììåò è íîé ãåîìåò èè äâóõ ìíîæåñòâ àíãà (2, 2) íàõîäèòñß ìåò è åñêàß ôóíêöèß ôåíîìåíîëîãè åñêè ñèììåò è íîé ãåîìåò- èè äâóõ ìíîæåñòâ àíãà (3, 2), ïî ôåíîìåíîëîãè åñêè ñèììåò è íîé ãåîìåò èè äâóõ ìíîæåñòâ àíãà (3, 2) íàõîäèòñß ôåíîìåíîëîãè åñêè ñèììåò è íîé ãåîìåò èè äâóõ ìíîæåñòâ àíãà (4, 2). Çàòåì äîêàçûâàåòñß, òî âëîæåíèå ôåíîìåíîëîãè åñêè ñèììåò è íîé ãåîìåò èè äâóõ ìíîæåñòâ (4, 2) â ôåíîìåíîëîãè åñêè ñèììåò è íîé ãåîìåò èè äâóõ ìíîæåñòâ àíãà (5, 2) îòñóòñòâóåò. Äëß å åíèß ïîñòàâëåííîé çàäà è ñîñòàâëß òñß ñïåöèàëüíûå ôóíêöèîíàëüíûå ó àâíåíèß, êîòî ûå ñâîäßòñß ê õî î î èçâåñòíûì äèôôå åíöèàëüíûì ó àâíåíèßì. Êë åâûå ñëîâà: ôåíîìåíîëîãè åñêè ñèììåò è íàß ãåîìåò èß äâóõ ìíîæåñòâ, ìåò è åñêàß ôóíêöèß, äèôôå åíöèàëüíîå ó àâíåíèå. DOI: 10.20537/vm160302 Ââåäåíèå Â ñå åäèíå 60-õ ãîäîâ 20 âåêà èç àíàëèçà ñò îåíèß ôèçè åñêèõ çàêîíîâ áûëà ñîçäàíà òåî èß ôèçè åñêèõ ñò óêòó (ÒÔÑ) [1], îñíîâíîé çàäà åé êîòî îé ßâëßåòñß êëàññèôèêàöèß ìåò è åñêèõ ôóíêöèé ôåíîìåíîëîãè åñêè ñèììåò è íûõ (ÔÑ) ãåîìåò èé êàê íà îäíîì ìíîæåñòâå [2], òàê è íà äâóõ ìíîæåñòâàõ (ÃÄÌ) [3]. Ôåíîìåíîëîãè åñêàß ñèììåò èß îçíà àåò ñóùåñòâîâàíèå ôóíêöèîíàëüíîé ñâßçè ìåæäó çíà åíèßìè ìåò è åñêîé ôóíêöèè äëß îï åäåëåííîãî èñëà ï îèçâîëüíî âçßòûõ òî åê. Ôóíêöèîíàëüíûì ìåòîäîì íàéäåíà ìåò è åñêàß ôóíêöèß îäíîìåò- è åñêîé ÔÑ ÃÄÌ àíãà (2, 2): f = x + ξ. (0.1) Â äàííîé àáîòå ìåòîäîì âëîæåíèß íàõîäßòñß ìåò è åñêèå ôóíêöèè ÔÑ ÃÄÌ âûñîêèõ àíãîâ. Òàê, ïîèçâåñòíîé ìåò è åñêîé ôóíêöèè (0.1) ÔÑ ÃÄÌ àíãà (2, 2) [1] íàõîäèòñß ìåò è åñêàß ôóíêöèß ÔÑ ÃÄÌ àíãà (3, 2), ïîìåò è åñêîé ôóíêöèè ÔÑ ÃÄÌ àíãà (3, 2) íàõîäèòñß ìåò è åñêàß ôóíêöèß ÔÑ ÃÄÌ àíãà (4, 2). Çàòåì äîêàçûâàåòñß, òîâëîæåíèå ÔÑ ÃÄÌ àíãà (4, 2) âôñãäì àíãà (5, 2) îòñóòñòâóåò. Ï åäëîæåííûé çäåñü ìåòîä âëîæåíèß àï îáè îâàí äëß ÔÑ ãåîìåò èé íà îäíîì ìíîæåñòâå, ñ ïî ìî ùü êîòî îãî ïîñò îåíû âëîæåíèß åâêëèäîâûõ, ïñåâäîåâêëèäîâûõ, ñèìïëåêòè åñêèõ è ãåëüìãîëüöåâûõ ãåîìåò èé [5 7]. 1. Îï åäåëåíèå ÔÑ ÃÄÌ àíãà (m +1, 2) Â òîì ïà àã àäå äàåòñß îáùåå îï åäåëåíèå. Ïóñòü èìå òñß äâà ãëàäêèõ ìíîãîîá àçèß M è N, ï è åì dim M =1è dim N = m. Êëàññ ãëàäêîñòè ìíîãîîá àçèé è ôóíêöèé íà íèõ âåçäå

Âëîæåíèå ôåíîìåíîëîãè åñêè ñèììåò è íûõ ãåîìåò èé 313 ï åäïîëàãàåòñß íå íèæå C m. Äëß ñîê àùåíèß çàïèñåé íèæå áóäåì ãîâî èòü ï îñòî î ãëàäêîñòè, ïîä àçóìåâàß âû åñêàçàííîå. Òî êè ïå âîãî ìíîãîîá àçèß îáîçíà à òñß ñò î íûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè: i,j,k..., à òî êè âòî îãî ìíîãîîá àçèß μ ñò î íûìè ã å åñêèìè áóêâàìè: α,β,γ... Ðàññìàò èâàåòñß òàêæå ãëàäêàß ôóíêöèß f : M N R, íàçûâàåìàß ìåò è åñêîé, ñîïîñòàâëß ùàß ïà å òî åê i, α èç îòê ûòîé è ïëîòíîé îáëàñòè îï åäåëåíèß S f M N èñëî f(i, α). Â ëîêàëüíûõ êîî äèíàòàõ f = f(i, α) =f(x, ξ 1,...,ξ m ), ãäå x μëîêàëüíàß êîî äèíàòà òî êè i, à(ξ 1,...,ξ m ) μëîêàëüíûå êîî äèíàòû òî êè α. Â îòíî åíèè ìåò è åñêîé ôóíêöèè ï åäïîëàãàåòñß âûïîëíåíèå àêñèîìû íåâû îæäåííîñòè [3,8]: Àêñèîìà íåâû îæäåííîñòè. Âûïîëíß òñß íå àâåíñòâà f(i, α) x 0, (f(i 1,α),...,f(i m,α)) (ξ 1,...,ξ m ) 0, ï è åì ïå âîå íå àâåíñòâî ñï àâåäëèâî äëß ïëîòíîãî â M N ìíîæåñòâà ïà òî åê i, α, à âòî îå μ äëß ïëîòíîãî â M m N ìíîæåñòâà ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé òî åê i 1,...,i m,α. Îï åäåëåíèå 1. Áóäåì ãîâî èòü, òî ìåò è åñêàß ôóíêöèß f : M N R íà ìíîãîîá àçèßõ M è N çàäàåò ôåíîìåíîëîãè åñêè ñèììåò è íó ãåîìåò è äâóõ ìíîæåñòâ (ÔÑ ÃÄÌ) àíãà (m +1, 2), åñëè ê îìå àêñèîìû íåâû îæäåííîñòè äîïîëíèòåëüíî âûïîëíßåòñß àêñèîìà ôåíîìåíîëîãè åñêîé ñèììåò èè. Àêñèîìà ôåíîìåíîëîãè åñêîé ñèììåò èè. Ñóùåñòâóåò ïëîòíîå ìíîæåñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé i 1,...,i m+1,α 1,α 2 â M m+1 N 2, ãäå i ν,α s S f, ν =1,...,m +1, s =1, 2, òàêîå, òî äëß êàæäîé èç íèõ íàéäåòñß òàêàß ãëàäêàß ôóíêöèß Φ:R 2(m+1) R ñrangφ=1, äëß êîòî îé âûïîëíßåòñß àâåíñòâî Φ(f(i 1,α 1 ),...,f(i m+1,α 2 )) = 0. 2. Ãèïîòåçà î âëîæåíèè ÔÑ ÃÄÌ àíãà (n, 2) â ÔÑ ÃÄÌ àíãà (n +1, 2) Â äàííîì ïà àã àôå ñòàâèòñß çàäà à îâëîæåíèè ÔÑ ÃÄÌ àíãà (m 1 +1, 2) âôñãäì àíãà (m 2 +1, 2), ï è åì m 1 = n 1, m 2 = n. Ãèïîòåçà î âëîæåíèè. Â îê åñòíîñòè ï îèçâîëüíîé òî êè îáëàñòè îï åäåëåíèß S f ñóùåñòâóåò òàêàßëîêàëüíàßñèñòåìà êîî äèíàò, â êîòî îé ìåò è åñêó ôóíêöè f ÔÑ ÃÄÌ àíãà (n +1, 2) ìîæíî ï åäñòàâèòü â ñëåäó ùåì âèäå: f(i, α) =χ(g(x, ξ 1,...,ξ n 1 ),ξ n ); (2.1) çäåñü α =(ξ 1,...,ξ n ), χ = χ(u, v) μ ãëàäêàß ôóíêöèß äâóõ ïå åìåííûõ, g = g(i, α) =g(x, ξ 1,...,ξ n 1 ) (2.2) μ ìåò è åñêàß ôóíêöèß ÔÑ ÃÄÌ àíãà (n, 2), α μ ï îåêöèß òî êè α, çàäàâàåìàß êîî äèíàòàìè (ξ 1,...,ξ n 1 ). Îã àíè åíèß íà ôóíêöè χ âûòåêà ò èç àêñèîìû íåâû îæäåííîñòè ìåò è åñêîé ôóíêöèè f, êîòî ûå çàïèñûâà òñß â âèäå ñëåäó ùèõ äâóõ íå àâåíñòâ: f(iα) x 0, (f(i 1 α),...,f(i n α)) (ξ 1,...,ξ n ) 0 χ u 0, χ v 0. Ìåò è åñêàß ôóíêöèß (2.2)ñîõ àíßåò ñâîé âèä îòíîñèòåëüíî íåêîòî îé n 1-ïà àìåò è åñêîé ã óïïû Ëè ï åîá àçîâàíèé (äâèæåíèé), äåéñòâó ùåé ñ àçó íà äâóõ ìíîãîîá àçèßõ M

314 Â. À. Êû îâ è N [8], òî åñòü ßâëßåòñß åå äâóõòî å íûì èíâà èàíòîì, è ïîòîìó âûïîëíßåòñß óñëîâèå ëîêàëüíîé èíâà èàíòíîñòè X ω g +Ξ ω g =0, (2.3) ãäå ω =1,...,n 1, ï è åì îïå àòî û X ω è Ξ ω îá àçó ò áàçèñû àëãåá Ëè. Äëß àëãåá û Ëè äåéñòâèß ã óïïû ï åîá àçîâàíèé íà ïå âîì ìíîãîîá àçèè L(M) ï îèçâîëüíûé îïå àòî îï åäåëßåòñß àâåíñòâîì X = a ω X ω, à äëß àëãåá û Ëè äåéñòâèß ã óïïû ï åîá àçîâàíèé íà âòî îì ìíîãîîá àçèè L(N) μ àâåíñòâîì Ξ=a ω Ξ ω, ãäå ω =1,...,n 1. Ñëåäóåò îòìåòèòü, òîàëãåá û Ëè L(M) è L(N) íå òîëüêî èçîìî ôíû, íî è êâèâàëåíòíû. Ìåò è åñêàß ôóíêöèß (2.1) äëß ÔÑ ÃÄÌ àíãà (n +1, 2) ßâëßåòñß äâóõòî å íûì èíâà èàíòîì n-ïà àìåò è åñêîé ã óïïû äâèæåíèé. Ïî òîìó ïî óñëîâè ëîêàëüíîé èíâà èàíòíîñòè âûïîëíß òñß n äèôôå åíöèàëüíûõ àâåíñòâ ï è åì îïå àòî û Y μ = Y μ x, Y μ f +Ω μ f =0, μ =1,...,n, (2.4) Ω μ =Ω 1 μ ξ 1 + +Ωn 1 μ ξ n 1 +Ωn μ ξ n, ãäå Y μ (x), Ω ɛ μ(ξ 1,...,ξ n ) μãëàäêèå ôóíêöèè â îáëàñòè ñâîåãî îï åäåëåíèß, ɛ =1,...,n,îá àçó ò áàçèñû àëãåá Ëè. Äëß àëãåá û Ëè äåéñòâèß ã óïïû ï åîá àçîâàíèé íà ïå âîì ìíîãîîá àçèè L(M) ï îèçâîëüíûé îïå àòî îï åäåëßåòñß àâåíñòâîì Y = a μ Y μ,àäëß àëãåá û Ëè äåéñòâèß ã óïïû ï åîá àçîâàíèé íà âòî îì ìíîãîîá àçèè L(N) μ àâåíñòâîì Ω=a μ Ω μ, ãäå μ =1,...,n. Â ßâíîì âèäå òè îïå àòî û çàïèñûâà òñß òàê: Y = Y x, Ω=Ω1 ξ 1 + +Ωn 1 +Ωn ξn 1 ξ n, (2.5) ãäå Y (x), Ω ɛ (ξ 1,...,ξ n ) μãëàäêèå ôóíêöèè â ñâîåé îáëàñòè îï åäåëåíèß, Y 0. Ñëåäóåò êàê è âû å îòìåòèòü, òîàëãåá û Ëè L(M) è L(N) êâèâàëåíòíû. Çàìåòèì, òîàëãåá û Ëè L(M) è L(N) ßâëß òñß ïîäàëãåá àìè ñîîòâåòñòâåííî àëãåá Ëè L(M) è L(N). Äàëåå å àåòñß çàäà à î íàõîæäåíèè ôóíêöèè f, çàäà ùåé ÔÑ ÃÄÌ àíãà (n +1, 2) ïî èçâåñòíîé ôóíêöèè g, çàäà ùåé ÔÑ ÃÄÌ àíãà (n, 2). Îïå àòî û (2.5) è ìåò è åñêó ôóíêöè (2.1) ïîäñòàâëßåì äàëåå âóñëîâèå èíâà èàíòíîñòè (2.4) è ïîëó àåì ôóíêöèîíàëüíî-äèôôå åíöèàëüíîå âû àæåíèå: ãäå u = g, v = ξ n. Î åâèäíî, ( Y g g +Ω1 x ξ 1 + +Ωn 1 g ξ n 1 ) χ χ +Ωn =0, (2.6) u v Y g g +Ω1 x ξ 1 + g +Ωn 1 ξ n 1 =Ωn κ(u, v), (2.7) ãäå κ = χ v/χ u 0. Ëåììà 1. Â ôóíêöèîíàëüíî-äèôôå åíöèàëüíîì âû àæåíèè (2.6) Ω n 0. Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü Ω n =0.Òîãäà, ñîãëàñíî(2.7), èìååì àâåíñòâî Y g g +Ω1 x ξ 1 + g +Ωn 1 ξ n 1 =0, êîòî îå ï åäñòâëßåò ñîáîé óñëîâèå ëîêàëüíîé èíâà èàíòíîñòè (2.3) äëß ï îèçâîëüíûõ îïå àòî îâ (2.5). Òàêèì îá àçîì, ï îèçâîëüíûå îïå àòî û Y è Ω àëãåá Ëè L(M) è L(N) óäîâëåòâî- ß ò óñëîâè èíâà èàíòíîñòè äëß àëãåá Ëè L(M) è L(N). Ïî òîìó Y = b ω X ω è Ω=b ω Ξ ω. Çíà èò àëãåá û Ëè L(M) è L(N) èìå ò àçìå íîñòü n 1. Ï îòèâî å èå.

Âëîæåíèå ôåíîìåíîëîãè åñêè ñèììåò è íûõ ãåîìåò èé 315 Èòàê, ïîëó àåì äèôôå åíöèàëüíîå ó àâíåíèå íà ôóíêöè χ: κ(u, v) χ u + χ =0. (2.8) v Íèæå èùóòñß ìåò è åñêèå ôóíêöèè ÔÑ ÃÄÌ ñ òî íîñòü äî ëîêàëüíîé èçîòîïèè, êîòî àß âêë àåò ëîêàëüíî-äèôôåîìî ôíó çàìåíó ëîêàëüíûõ êîî äèíàò (ϕ(x) =x, ψ 1 (ξ 1,...,ξ m )= = ξ 1,...,ψ m (ξ 1,...,ξ m ) = ξ m ) è ãëàäêîå ëîêàëüíî-îá àòèìîå ï åîá àçîâàíèå ìåò è åñêîé ôóíêöèè (κ(f) =f). 3.Âëîæåíèå ÔÑ ÃÄÌ àíãà (2, 2) â ÔÑ ÃÄÌ àíãà (3, 2) Â äàííîì ïà àã àôå n =2, òî åñòü àññìàò èâàåòñß âëîæåíèå ÔÑ ÃÄÌ àíãà (2, 2), êîòî îå àíåå áûëîíàéäåíîâ [1, 9]. Òåî åìà 1. Ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå âëîæåíèå ÔÑ ÃÄÌ àíãà (2, 2) ñ ìåò è åñêîé ôóíêöèåé, ëîêàëüíî èçîòîïíîé ôóíêöèè (0.1), â ÔÑ ÃÄÌ àíãà (3, 2) ñ ìåò è åñêîé ôóíêöèåé, ëîêàëüíî èçîòîïíîé ôóíêöèè f = xξ + η. (3.1) Ä îê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ìåò è åñêàß ôóíêöèß ÔÑ ÃÄÌ àíãà (2, 2) çàïèñûâàåòñß òàê: g = u = x + ξ; ïî òîìó àâåíñòâî (2.7), â êîòî îì óäîáíî ââåñòè îáîçíà åíèß ξ = ξ 1, η = ξ 2, ï èíèìàåò âèä: Y +Ω 1 =Ω 2 κ(u, η). (3.2) Ïîëó åííîå âû àæåíèå âûïîëíßåòñß òîæäåñòâåííî ïî ïå åìåííûì x, ξ, η è ïî òîìó ßâëßåòñß ôóíêöèîíàëüíûì ó àâíåíèåì îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ Y (x), Ω 1 (ξ,η), Ω 2 (ξ,η), κ(u, η). Ïî ëåììå 1 Ω 2 0. Äàëåå, å àß ó àâíåíèß (3.2) è (2.8), íàéäåì âñå ìåò è åñêèå ôóíêöèè, çàäà ùèå ÔÑ ÃÄÌ àíãà (3, 2). κ u Ëåììà 2. Â ôóíêöèîíàëüíîì ó àâíåíèè (3.2) Y const. Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü Y = α = const. Òîãäà, äèôôå åíöè óß (3.2) ïî x, èìååì =0, ñëåäîâàòåëüíî κ = q(η). Ïîäñòàâëßåì íàéäåííîå â ó àâíåíèå (2.8): q(η) χ u + χ η =0. Èíòåã è óß, èìååì ( f = ϕ(c 1 )=ϕ x + ξ ) dη/q(η). Çàòåì îñóùåñòâëßåì çàìåíó êîî äèíàò è ìàñ òàáíîå ï åîá àçîâàíèå ìåò è åñêîé ôóíêöèè: f = ϕ 1 (f), ξ = ξ dη/q(η). Òîãäà ìåò è åñêàß ôóíêöèß ï èíèìàåò âèä: f = x + ξ. Â òó ìåò è åñêó ôóíêöè âõîäèò òîëüêî îäíà êîî äèíàòà âòî îãî ìíîãîîá àçèß N, ïî òîìó îíà âû îæäåíà, òîåñòü íå çàäàåò ÔÑ ÃÄÌ àíãà (3, 2).

316 Â. À. Êû îâ Äàëåå äåëèì ó àâíåíèå (3.2) íàω 2 è ïå åîáîçíà àåì êî ôôèöèåíòû, â åçóëüòàòå ïîëó èì ôóíêöèîíàëüíîå ó àâíåíèå A(ξ,η)Y (x)+b(ξ,η) =κ(u, η), ãäå A =1/Ω 2 0, B =Ω 1 /Ω 2. Ïîëó åííîå ó àâíåíèå äèôôå åíöè óåì ïî x èïîξ: Ï è àâíèâàß ëåâûå àñòè, èìååì òîæäåñòâî A ξ Y (x)+b ξ = κ u, AY (x) =κ u. (3.3) A ξ Y (x)+b ξ = AY (x). Äèôôå åíöè óß åãîïîx è àçäåëßß ïå åìåííûå, ïîëó àåì A ξ /A = Y (x)/y (x) =a = const. (3.4) Äàëåå âîçìîæíû äâà ñëó àß. 1. Ïóñòü ñíà àëà a =0. Òîãäà A ξ =0,Y (x) =0, ñëåäîâàòåëüíî A = A(η), Y = bx + c. Ïîäñòàâëßß íàéäåííîå âî âòî îå ó àâíåíèå èç (3.3), çàòåì èíòåã è óß è ïå åîáîçíà àß êî ôôèöèåíòû, èìååì Çàòåì (3.5) ïîäñòàâëßåì â(2.8): κ = p(η)u + q(η), p 2 + q 2 0. (3.5) ( ) χ p(η)u + q(η) u + χ =0. (3.6) η Ï åäëîæåíèå 1. Îáùèì å åíèåì äèôôå åíöèàëüíîãî ó àâíåíèß (3.6) ßâëßåòñß ôóíêöèß ( f = χ = ϕ ue p(η) dη q(η)e ) p(η) dη dη. Ä îê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ó àâíåíèå (3.6) å àåì ìåòîäîì õà àêòå èñòèê, äëß åãîñîñòàâëßåòñß ó àâíåíèå õà àêòå èñòèê: du p(η)u + q(η) = dη 1. Çàïèñûâàåì äàëåå ëèíåéíîå äèôôå åíöèàëüíîå ó àâíåíèå: du dη = p(η)u + q(η), å åíèå êîòî îãî ï èâåäåíî â êíèãå [10]. Çàòåì îñóùåñòâëßåì çàìåíó êîî äèíàò è ìàñ òàáíîå ï åîá àçîâàíèå ôóíêöèè, ïîëó åííîé â ï åäëîæåíèè 1: f = ϕ 1 (f), ξ = e p(η) dη, η = ξe p(η) dη q(η)e p(η) dη dη. Òîãäà ìåò è åñêàß ôóíêöèß ï èíèìàåò âèä: f = xξ + η. Èòàê, ïîëó åíà êàíîíè åñêàß ôî ìà äëß ÔÑ ÃÄÌ àíãà (3, 2). 2. Ïóñòü òåïå ü a 0. Òîãäà ñèñòåìà (3.4) èìååò å åíèå: A = A(η)e aξ,y = be ax + c, b, c = const. Ïîäñòàâëßß íàéäåííîå â(3.3), èíòåã è óß è ïå åîáîçíà àß êî ôôèöèåíòû, èìååì Çàòåì (3.7) ïîäñòàâëßåì â(2.8): κ = p(η)e au + q(η), p 2 + q 2 0, (3.7) ( p(η)e au + q(η) ) χ u + χ =0. (3.8) η

Âëîæåíèå ôåíîìåíîëîãè åñêè ñèììåò è íûõ ãåîìåò èé 317 Ï åäëîæåíèå 2. Îáùèì å åíèåì äèôôå åíöèàëüíîãî ó àâíåíèß (3.8) ßâëßåòñß ôóíêöèß ( f = χ = ϕ e au e a q(y) dy + a p(y)e a ) q(y) dy dy. Ä îê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ó àâíåíèå (3.8) å àåì ìåòîäîì õà àêòå èñòèê, äëß åãîñîñòàâëßåòñß ó àâíåíèå õà àêòå èñòèê: du p(η)e au + q(η) = dη 1. Çàïèñûâàåì äàëåå îáûêíîâåííîå äèôôå åíöèàëüíîå ó àâíåíèå: du dη = p(η)eau + q(η). Ââîäèòñß ïîäñòàíîâêà z = e au,òîãäà ïîëó àåì ó àâíåíèå Áå íóëëè: 1 dz a dη = p(η)z2 + q(η)z. Ðå åíèå òîãî ó àâíåíèß ìîæíîíàéòè â êíèãå [10]. Ï îâåäåì çàìåíó êîî äèíàò è ìàñ òàáíîå ï åîá àçîâàíèå ôóíêöèè, ïîëó åííîé â ï åäëîæåíèè 2: f = ϕ 1 (f), x = e ax, ξ = e aξ e a q(η) dη, η = a p(η)e a q(η) dη dη. Òîãäà äëß ìåò è åñêîé ôóíêöèè ïîëó èì âû àæåíèå: f = xξ + η. Èòàê, ñíîâà ïîëó åíà êàíîíè åñêàß ôî ìà äëß ÔÑ ÃÄÌ àíãà (3, 2). Òàêèì îá àçîì, çàäà à âëîæåíèß ÔÑ ÃÄÌ àíãà (2, 2) â ÔÑ ÃÄÌ àíãà (3, 2) ïîëíîñòü å åíà. Çàìåòèì, òîåäèíñòâåííîñòü âëîæåíèß ñëåäóåò èç åäèíñòâåííîñòè å åíèß ñîîòâåòñòâó ùèõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé. 4.Âëîæåíèå ÔÑ ÃÄÌ àíãà (3, 2) â ÔÑ ÃÄÌ àíãà (4, 2) Â äàííîì ïà àã àôå n =3. Ìåò è åñêàß ôóíêöèß ÔÑ ÃÄÌ àíãà (3, 2) íàéäåíà â 3. Òåî åìà 2. Ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå âëîæåíèå ÔÑ ÃÄÌ àíãà (3, 2) ñ ìåò è åñêîé ôóíêöèåé, ëîêàëüíî èçîòîïíîé ôóíêöèè (3.1), â ÔÑ ÃÄÌ àíãà (4, 2) ñ ìåò è åñêîé ôóíêöèåé, ëîêàëüíî èçîòîïíîé ôóíêöèè f = xξ + η x + ϑ. (4.1) Ä îê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Âû å íàéäåíà ìåò è åñêàß ôóíêöèß ÔÑ ÃÄÌ àíãà (3, 2): g = u = xξ + η. Ñîãëàñíî ìåòîäó âëîæåíèß ìåò è åñêàß ôóíêöèß ÔÑ ÃÄÌ àíãà (4, 2) èùåòñß â âèäå (2.1), ï è åì äëß óäîáñòâà ââîäßòñß îáîçíà åíèß ξ = ξ 1, η = ξ 2, ϑ = ξ 3. Äàëåå çàïèñûâàåì àâåíñòâî (2.7) â ßâíîì âèäå: ξy + xω 1 +Ω 2 =Ω 3 κ(u, ϑ). (4.2) Ïîñëåäíåå âû àæåíèå âûïîëíßåòñß òîæäåñòâåííî ïî ïå åìåííûì x, ξ, η, ϑ è ïî òîìó ßâëßåòñß ôóíêöèîíàëüíûì ó àâíåíèåì îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ Y (x), Ω 1 (ξ,η,ϑ), Ω 2 (ξ,η,ϑ), Ω 3 (ξ,η,ϑ), κ(u, ϑ). Ïîëåììå 1 Ω 3 0.

318 Â. À. Êû îâ Ëåììà 3. Â ôóíêöèîíàëüíîì ó àâíåíèè (4.2) Y const. Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü Y = α = const. Òîãäà Y (x) =αx + β, ï è åì α, β = const. Â ñèëó ëåììû 2 ìîæíîñ èòàòü α 0. Íàéäåííîå ïîäñòàâëßåì â (4.2) è äâàæäû äèôôå åíöè- óåì ïî x: κ u =0, ñëåäîâàòåëüíî κ = p(ϑ)u+q(ϑ). Äàëåå, àññóæäàß êàê è ï è äîêàçàòåëüñòâå òåî åìû 1, ïîëó àåì ìåò è åñêó ôóíêöè f = xξ + η, êîòî àß çàâèñèò òîëüêî îò äâóõ êîî äèíàò ìíîãîîá àçèß N. Òîãäà òà ôóíêöèß âû îæäåíà, òîåñòü íå çàäàåò ÔÑ ÃÄÌ àíãà (4, 2). Ó àâíåíèå (4.2) àçäåëèì íà Ω 3 0è ïå åîáîçíà èì êî ôôèöèåíòû: A(ξ,η,ϑ)Y (x)+xb(ξ,η,ϑ)+c(ξ,η,ϑ) =κ(u, ϑ), (4.3) ãäå A = ξ/ω 3 0, B =Ω 1 /Ω 3, C =Ω 2 /Ω 3. Ïîëó åííîå äèôôå åíöè óåì ïî x èïîη: A η Y (x)+xb η + C η = κ u, AY (x)+b = ξκ u. (4.4) Óìíîæàåì ïå âîå àâåíñòâî íà ξ è ï è àâíèâàåì ëåâûå àñòè: ξa η Y (x)+xξb η + ξc η = AY (x)+b. Äèôôå åíöè óß ïîëó åííîå ïî x äâàæäû è àçäåëßß ïå åìåííûå, èìååì: ξa η/a = Y (x)/y (x) =a = const. (4.5) Äàëåå âîçìîæíû äâà ñëó àß 1. Ïóñòü ñíà àëà a =0. Òîãäà Y (x) =0, ñëåäîâàòåëüíî Y = bx 2 + cx + d, b, c, d = const, b 0. Ïîäñòàâëßß íàéäåííîå â (4.3), ïîëó èì κ u =0, ñëåäîâàòåëüíî κ = p(ϑ)u 2 + q(ϑ)u + r(ϑ). Òàêèì îá àçîì, ó àâíåíèå (2.8) ï èíèìàåò âèä: ( p(ϑ)u 2 + q(ϑ)u + r(ϑ) ) χ u + χ =0. (4.6) ϑ Ï åäëîæåíèå 3. Îáùèì å åíèåì äèôôå åíöèàëüíîãî ó àâíåíèß (4.6) ßâëßåòñß ôóíêöèß ( e q(ϑ) dϑ +(xξ + η u 1 ) p(ϑ)e q(ϑ) dϑ ) dϑ f = χ = ϕ. xξ + η u 1 Ä îê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ó àâíåíèå (4.6) å àåì ìåòîäîì õà àêòå èñòèê, äëß åãîñîñòàâëßåòñß ó àâíåíèå õà àêòå èñòèê: du p(z)u 2 + q(z)u + r(z) = dz 1. Çàïèñûâàåì äàëåå îáûêíîâåííîå äèôôå åíöèàëüíîå ó àâíåíèå: du dz = p(z)u2 + q(z)u + r(z), êîòî îå íàçûâàåòñß ó àâíåíèåì Ðèêêàòè, åãî å åíèå ìîæíî íàéòè â àáîòå [10]. Äàëåå îñóùåñòâëßåì çàìåíó êîî äèíàò è ìàñ òàáíîå ï åîá àçîâàíèå ìåò è åñêîé ôóíêöèè: f = ϕ 1 (f), ξ = q(ϑ) dϑ p(ϑ)e dϑ,

Âëîæåíèå ôåíîìåíîëîãè åñêè ñèììåò è íûõ ãåîìåò èé 319 ( η = e q(ϑ) dϑ + η u q(ϑ) dϑ /ξ, 1 p(ϑ)e dϑ) ϑ =(η u1 )/ξ. Òîãäà ìåò è åñêàß ôóíêöèß ï èíèìàåò êàíîíè åñêèé âèä f = xξ + η x + ϑ. Èòàê, ïîëó åíà êàíîíè åñêàß ôî ìà ìåò è åñêîé ôóíêöèè äëß ÔÑ ÃÄÌ àíãà (4, 2). 2. Ïóñòü òåïå ü a 0.Òîãäà èç ñèñòåìû (4.5) ñëåäóåò Y = be ax +cx+d, b, c, d = const, b 0. Ïîäñòàâëßß íàéäåííîå â (4.4), áóäåì èìåòü A(ξ,η,ϑ)(be ax + cx + d)+xb(ξ,η,ϑ)+c(ξ,η,ϑ) =κ(u, ϑ). Ïîëó åííîå ï îäèôôå åíöè óåì äâàæäû ïî x: A(ξ,η,ϑ)a 2 be ax = ξ 2 κ u. Çàòåì äèôôå åíöè óåì íàéäåííîå ïî ξ èïîx: A ξ (ξ,η,ϑ)a2 be ax = xξ 2 κ u +2ξκ u, A(ξ,η,ϑ)a 3 be ax = ξ 3 κ u. Òîãäà A ξ (ξ,η,ϑ) =xa(ξ,η,ϑ)a/ξ +2A(ξ,η,ϑ)/ξ. Íàêîíåö, äèôôå åíöè óß ïîñëåäíåå ïî x, èìååì A =0. Ï îòèâî å èå. Òàêèì îá àçîì, çàäà à âëîæåíèß ÔÑ ÃÄÌ àíãà (3, 2) â ÔÑ ÃÄÌ àíãà (4, 2) ïîëíîñòü å åíà. Êàê è âû å, åäèíñòâåííîñòü âëîæåíèß ñëåäóåò èç åäèíñòâåííîñòè å åíèß ñîîòâåòñòâó ùèõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé. 5.Âëîæåíèå ÔÑ ÃÄÌ àíãà (4, 2) â ÔÑ ÃÄÌ àíãà (5, 2) Â äàííîì ïà àã àôå àññìàò èâàåòñß ïîñëåäíßß çàäà à îâëîæåíèè. Ïóñòü n =4.ÔÑ ÃÄÌ àíãà (4, 2) àíåå íàéäåíà â 4. Òåî åìà 3. Íå ñóùåñòâóåò âëîæåíèß ÔÑ ÃÄÌ àíãà (4, 2) ñ ìåò è åñêîé ôóíêöèåé, ëîêàëüíî èçîòîïíîé ôóíêöèè (4.1), â ÔÑ ÃÄÌ àíãà (5, 2). Â àñòíîñòè, ÔÑ ÃÄÌ àíãà (5, 2) íå ñóùåñòâóåò. Ä îê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ìåò è åñêàß ôóíêöèß ÔÑ ÃÄÌ àíãà (4, 2) íàéäåíà âû å: g = u = xξ + η x + ϑ. Ìåò è åñêó ôóíêöè ÔÑ ÃÄÌ àíãà (5, 2) èùåì â âèäå (2.1), ï è åì ââîäßòñß îáîçíà åíèß: ξ 1 = ξ, ξ 2 = η, ξ 3 = ϑ, ξ 4 = θ. Âû àæåíèå (2.7) ï èíèìàåò âèä: x x + ϑ Ω1 + 1 x + ϑ Ω2 xξ + η (x + ϑ) 2 Ω3 + ξϑ η (x + ϑ) 2 Y =Ω4 κ(u, θ), (5.1) êîòî îå âûïîëíßåòñß òîæäåñòâåííî ïî âõîäßùèì êîî äèíàòàì è ïî òîìó ßâëßåòñß ôóíêöèîíàëüíûì ó àâíåíèåì îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ Y (x), Ω 1 (ξ,η,ϑ,θ), Ω 2 (ξ,η,ϑ,θ), Ω 3 (ξ,η,ϑ,θ), κ(u, θ), ï è åì, ïîëåììå 1, Ω 4 0. Äàëåå äåëèì (5.1) íàω 4, çàòåì ã óïïè óåì è ïå åîáîçíà- àåì êî ôôèöèåíòû: A(ξ,η,ϑ,θ)Y (x)+x 2 B(ξ,η,ϑ,θ)+xC(ξ,η,ϑ,θ)+D(ξ,η,ϑ,θ) (x + ϑ) 2 = κ(u, θ), (5.2) ãäå A =(ξϑ η)/ω 4 0, B =Ω 1 /Ω 4, C =(ϑω 1 +Ω 2 ξω 3 )/Ω 4, D =(ϑω 2 ηω 3 )/Ω 4. Ïîëó åííîå ó àâíåíèå äèôôå åíöè óåì ïî x, ïî ξ, ïî η è ïî ϑ: AY (x)+2xb + C (x + ϑ) 2 2 AY (x)+x2 B + xc + D (x + ϑ) 3 = ξϑ η (x + ϑ) 2 κ u, (5.3)

320 Â. À. Êû îâ A ξ Y (x)+x2 B ξ + xc ξ + D ξ = xκ u x + ϑ A η Y (x)+x2 B η + xc η + D η = κ x + ϑ u, (5.4) A ϑ Y (x)+x2 B ϑ + xc ϑ + D ϑ (x + ϑ) 2 2 AY (x)+x2 B + xc + D (x + ϑ) 3 = xξ + η (x + ϑ) 2 κ u. (5.5) Äàëåå èç (5.5) âû èòàåì (5.3), à ïîòîì ëåâó è ï àâó àñòè óìíîæàåì íà x + ϑ: A ϑ Y (x)+x2 B ϑ + xc ϑ + D ϑ x + ϑ AY (x)+2xb + C x + ϑ = ξκ u. (5.6) Çàòåì (5.6) ñêëàäûâàåì ñ àâåíñòâîì (5.4), óìíîæåííûì íà ξ, ïîñëå åãî ëåâó è ï àâó àñòè óìíîæàåì íà x + ϑ: A ϑ Y (x)+x2 B ϑ + xc ϑ + D ϑ AY (x) 2xB C + ξ(a ηy (x)+x 2 B η + xc η + D η)=0. Íàéäåííîå òîæäåñòâîò èæäû äèôôå åíöè óåì ïî x, ïîëó àåì ôóíêöèîíàëüíî-äèôôå åíöèàëüíîå ó àâíåíèå: A ϑ Y (x) AY (x)+ξa ηy (x) =0. (5.7) Ëåììà 4. Â ôóíêöèîíàëüíî-äèôôå åíöèàëüíîì ó àâíåíèè (5.7) Y const. Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü Y =2α = const. Òîãäà Y (x) = αx 2 + βx + γ, ï è åì α, β, γ = const. Íàéäåííîå ïîäñòàâëßåì â(5.2) è ï èâîäèì ê îáùåìó çíàìåíàòåë : A(αx 2 + βx + γ)+x 2 B + xc + D =(x + ϑ) 2 κ(u, θ). Ïîëó åííîå ò èæäû äèôôå åíöè óåì ïî x: A(2αx + β)+2xb + C =2(x + ϑ)κ +(ξϑ η)κ u, A2α +2B =2κ +2 ξϑ η (ξϑ x + ϑ κ η)2 u + (x + ϑ) 2 κ η)3 u, 0=(ξϑ (x + ϑ) 4 κ Çíà èò κ u =0. Òîãäà κ = p(θ)u 2 + q(θ)u + r(θ). Ïîäñòàâëßß íàéäåííîå â ó àâíåíèå (2.8), ïîëó àåì ó àâíåíèå (4.5), èíòåã è óß êîòî îå è ïå åîáîçíà àß ïå åìåííûå, èìååì ìåò è åñêó ôóíêöè : f = xξ + η x + ϑ. Î åâèäíî, îíà âû îæäåíà, òàê êàê íå ñîäå æèò åòâå òîé êîî äèíàòû âòî îãî ìíîãîîá àçèß N, òîåñòü íå çàäàåò ÔÑ ÃÄÌ àíãà (5,2). Èòàê, â òîæäåñòâå (5.7) Y (x) 0, ñëåäîâàòåëüíî åãîìîæíîï èâåñòè ê âèäó: Ðàçäåëßß ïå åìåííûå, èìååì: (A ϑ + ξa η)/a = Y (x)/y (x). Y (x)/y (x) =a = const. (5.8) Âîçìîæíû äâà ñëó àß. 1. Ïóñòü ñíà àëà a =0. Òîãäà Y (x) = 0, ñëåäîâàòåëüíî Y = bx 3 + cx 2 + dx + k, ãäå b, c, d, k = const, b 0. Ïîäñòàâëßß íàéäåííîå â (5.2), áóäåì èìåòü A(bx 3 + cx 2 + dx + k)+x 2 B + xc + D (x + ϑ) 2 = κ(u, θ). u.

Âëîæåíèå ôåíîìåíîëîãè åñêè ñèììåò è íûõ ãåîìåò èé 321 Äàëåå ï èâîäèì ê îáùåìó çíàìåíàòåë è ò èæäû äèôôå åíöè óåì ïî x: A(b3x 2 +2cx + d)+2xb + C =2(x + ϑ)κ +(ξϑ η)κ u, Çíà èò A(b6x +2c)+2B =2κ +2 ξϑ η (ξϑ x + ϑ κ η)2 (ξϑ u + (x + ϑ) 2 κ η)3 u, Ab6= (x + ϑ) 4 κ u. Ïîëó åííîå òîæäåñòâî äèôôå åíöè óåì ïîïå åìåííîé x: 6bA(x + ϑ) 4 =(ξϑ η) 3 κ u. (5.9) 24bA(x + ϑ) 3 = (ξϑ η)4 (x + ϑ) 2 κ u. (5.10) Òàê êàê b 0è A 0,òîκ u 0è κ u 0, ïî òîìó àâåíñòâî (5.10) äåëèì íà (5.9): èëè 4(x + ϑ) =(ξϑ η)κ u /κ u =(ξϑ η)(ln κ u ) u, Ï îäèôôå åíöè óåì ïîñëåäíåå àâåíñòâî ïî ξ è ïî η: x (ln κ u ) (x + ϑ)ϑ u = 4 x + ϑ (ξϑ η) 2, 1 x + ϑ (ln κ u ) u =4x + ϑ ξϑ η. (5.11) (ln κ u ) u = 4 x + ϑ (ξϑ η) 2. Èç äàííîé ñèñòåìû, î åâèäíî, ñëåäóåò (ln κ u ) u =0, òîãäà (ln κ u ) u = q(θ). Ïî òîìó (5.11) èìååò âèä: q(θ) = 4(x + ϑ)/(ξϑ η), òîíåäîïóñòèìî. Ï îòèâî å èå. 2. Ïóñòü òåïå ü a 0.Òîãäà äëß ó àâíåíèß (5.8) ïîëó àåì å åíèå Y = be ax + cx 2 + dx + k, b 0. Ïîäñòàâëßß íàéäåííîå â (5.2), áóäåì èìåòü âû àæåíèå A(be ax + cx 2 + dx + k)+x 2 B + xc + D (x + ϑ) 2 = κ(u, θ), êîòî îå ï èâîäèì ê îáùåìó çíàìåíàòåë è ò èæäû äèôôå åíöè óåì ïî x: Çíà èò A(bae ax +2cx + d)+2xb + C =2(x + ϑ)κ +(ξϑ η)κ u, A(ba 2 e ax +2c)+2B =2κ +2 ξϑ η (ξϑ x + ϑ κ η)2 u + (x + ϑ) 2 κ u, Aba3 e ax (ξϑ η)3 = (x + ϑ) 4 κ u. Ae ax (x + ϑ) 4 = κ u, A = ba 3 A/(ξϑ η) 3. Ïîëó åííîå òîæäåñòâî äèôôå åíöè óåì ïî η è ïî x: A η eax (x + ϑ) 4 = 1 x + ϑ κ u, Aeax (a(x + ϑ) 4 +4(x + ϑ) 3 )= ξϑ η (x + ϑ) 2 κ u. Âû àæàß κ u èç ïå âîãî àâåíñòâà è ïîäñòàâëßß âîâòî îå, ïîëó àåì A(a(x + ϑ)+4)=(ξϑ η)a η. Äèôôå åíöè óß ïî x, èìååì A =0, ïî òîìó A =0. Ï îòèâî å èå. Çíà èò ÔÑ ÃÄÌ àíãà (5, 2) íå ñóùåñòâóåò.

322 Â. À. Êû îâ Çàêë åíèå Òàêèì îá àçîì, íàìè å åíû çàäà è âëîæåíèß îäíîìåò è åñêèõ: ÔÑ ÃÄÌ àíãà (2, 2) âôñãäì àíãà (3, 2), ÔÑÃÄÌ àíãà (3, 2) âôñãäì àíãà (4, 2), ÔÑÃÄÌ àíãà (4, 2) âôñ ÃÄÌ àíãà (5, 2). Ñëåäóåò çàìåòèòü, òîèçíà àëüíîèçâåñòíîé ßâëßåòñß ÔÑ ÃÄÌ àíãà (2, 2), êîòî àß âïå âûå áûëà íàéäåíà. È. Êóëàêîâûì è îïóáëèêîâàíà â àáîòå [1]. Àíàëîãè íî ìîæíî å èòü è çàäà è âëîæåíèß äëß îñòàëüíûõ ÔÑ ÃÄÌ: (3, 2) â (3, 3), (3, 3) â (4, 3), (4, 3) â (5, 3) è ò.ä. Â åçóëüòàòå ìîæíî ïîëó èòü ïîëíó êëàññèôèêàöè âñåõ ôåíîìåíîëîãè åñêè ñèììåò è íûõ ãåîìåò èé íà äâóõ ìíîæåñòâàõ. Ðàíåå òà çàäà à å àëàñü òåõíè åñêè ñëîæíûìè ôóíêöèîíàëüíûìè ìåòîäàìè [3]. Ï åäëîæåííûé â äàííîé ñòàòüå ìåòîä âëîæåíèß ñîï ßæåí ñ ìåíü èìè òåõíè åñêèìè ò óäíîñòßìè, ï èìåíåíèå êîòî îãî äëß ÔÑ ÃÄÌ ñ áîëü åé ìåò è íîñòü, íàï èìå, äâóìåò è åñêèõ, ò èìåò è åñêèõ è ò. ä., ïî ìíåíè àâòî à, ïîçâîëèò ï îäâèíóòüñß â å åíèè êëàññèôèêàöèîííîé çàäà è. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Êóëàêîâ.È. Îá îäíîì ï èíöèïå, ëåæàùåì â îñíîâàíèè êëàññè åñêîé ôèçèêè // Äîêëàäû ÀÍ ÑÑÑÐ. 1970. Ò. 193. 1. Ñ. 72 75. 2. Ìèõàéëè åíêî Ã.Ã. Äâóìå íûå ãåîìåò èè // Äîêëàäû ÀÍ ÑÑÑÐ. 1981. Ò. 260. 4. Ñ. 803 805. 3. Ìèõàéëè åíêî Ã.Ã. Ðå åíèå ôóíêöèîíàëüíûõ ó àâíåíèé â òåî èè ôèçè åñêèõ ñò óêòó // Äîêëàäû ÀÍ ÑÑÑÐ. 1972. Ò. 206. 5. Ñ. 1056 1058. 4. Ìèõàéëè åíêî Ã.Ã. Ìàòåìàòè åñêèé àïïà àò òåî èè ôèçè åñêèõ ñò óêòó. Ãî íî-àëòàéñê: Èçä-âî Ãî íî-àëò. ãîñ. óí-òà, 1997. 144 ñ. 5. Êû îâ Â.À. Ôóíêöèîíàëüíûå ó àâíåíèß â ïñåâäîåâêëèäîâîé ãåîìåò èè // Ñèáè ñêèé æó íàë èíäóñò èàëüíîé ìàòåìàòèêè. 2010. Ò. 13. 4. Ñ. 38 51. 6. Êû îâ Â.À. Ôóíêöèîíàëüíûå ó àâíåíèß â ñèìïëåêòè åñêîé ãåîìåò èè // Ò óäû Èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè Ó Î ÐÀÍ. 2010. Ò. 16. 2. Ñ. 149 153. 7. Êû îâ Â.À. Îá îäíîì êëàññå ôóíêöèîíàëüíî-äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé // Âåñòíèê Ñàìà ñêîãî ãîñóäà ñòâåííîãî òåõíè åñêîãî óíèâå ñèòåòà. Ñå èß: Ôèçèêî-ìàòåìàòè åñêèå íàóêè. 2012. Ò. 26. 1.Ñ.31 38.DOI:10.14498/vsgtu986 8. Ìèõàéëè åíêî Ã.Ã. Ã óïïîâàß ñèììåò èß ôèçè åñêèõ ñò óêòó. Áà íàóë: Èçä-âî Áà í. ãîñ. ïåä. óí-òà, 2003. 204 ñ. 9. Êóëàêîâ.È. Ýëåìåíòû òåî èè ôèçè åñêèõ ñò óêòó. Íîâîñèáè ñê: Èçä-âî Íîâîñèá. ãîñ. óí-òà, 1968. 226 ñ. 10. Ýëüñãîëüö Ë.Ý. Äèôôå åíöèàëüíûå ó àâíåíèß è âà èàöèîííîå èñ èñëåíèå. Ì.: Íàóêà, 1969. 424 ñ. Ïîñòóïèëà â åäàêöè 21.06.2016 Êû îâ Âëàäèìè Àëåêñàíä îâè, ê. ô.-ì. í., äîöåíò, Ãî íî-àëòàéñêèé ãîñóäà ñòâåííûé óíèâå ñèòåò, 649000, Ðîññèß, åñï. Àëòàé, ã. Ãî íî-àëòàéñê, óë. Ëåíêèíà, 1. E-mail: kyrovva@yandex.ru V. A. Kyrov Embedding of phenomenologically symmetric geometries of two sets of the rank (N,2) into phenomenologically symmetric geometries of two sets of the rank (N +1, 2) Citation: Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp yuternye Nauki, 2016, vol. 26, no. 3, pp. 312 323 (in Russian). Keywords: phenomenologically symmetric geometry of two sets, metric function, differential equation. MSC2010: 39A05, 39B05 DOI: 10.20537/vm160302

Âëîæåíèå ôåíîìåíîëîãè åñêè ñèììåò è íûõ ãåîìåò èé 323 In this paper, we propose a new method of classification of metric functions of phenomenologically symmetric geometries of two sets. It is called the method of embedding, the essence of which is to find the metric functions of phenomenologically symmetric geometries of two high-rank sets for the given phenomenologically symmetric geometry of two sets having rank less by 1. By the previously known metric function of phenomenologically symmetric geometry of two sets of the rank (2, 2) the metric function of phenomenologically symmetric geometry of two sets of the rank (3, 2) is found, by the phenomenologically symmetric geometry of two sets of the rank (3, 2) we find phenomenologically symmetric geometry of two sets of the rank (4, 2). Then it is proved that embedding of phenomenologically symmetric geometry of two sets of the rank (4, 2) into the phenomenologically symmetric geometry of two sets of the rank (5, 2) is absent. To solve the problem we generate special functional equations which are reduced to well-known differential equations. REFERENCES 1. Kulakov Yu.I. The one principle underlying classical physics, Soviet Physics Doklady, 1971, vol. 15, no. 7, pp. 666 668. 2. Mikhailichenko G.G. Two-dimensional geometry, Soviet Mathematics. Doklady, 1981, vol. 24, no. 2, pp. 346 348. 3. Mikhailichenko G.G. The solution of functional equations in the theory of physical structures, Soviet Mathematics. Doklady, 1972, vol. 13, no. 5, pp. 1377 1380. 4. Mikhailichenko G.G. Matematicheskii apparat teorii fizicheskikh struktur (The mathematical apparatus of the theory of physical structures), Gorno-Altaisk: Gorno-Altaisk State University, 1997, 144 p. 5. Kyrov V.A. Functional equations in pseudo-euclidean geometry, Sib. Zh. Ind. Mat., 2010, vol. 13, no. 4, pp. 38 51 (in Russian). 6. Kyrov V.A. Functional equations in symplectic geometry, Tr. Inst. Mat. Mekh. Ural. Otd. Ross. Akad. Nauk, 2010, vol. 16, no. 2, pp. 149 153 (in Russian). 7. Kyrov V.A. On some class of functional-differential equation, Vestnik Samarskogo Gosudarstvennogo Tekhnicheskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2012, vol. 26, no. 1, pp. 31 38 (in Russian). DOI: 10.14498/vsgtu986 8. Mikhailichenko G.G. Gruppovaya simmetriya fizicheskikh struktur (The group symmetry of physical structures), Barnaul: Barnaul State Pedagogical University, 2003, 204 p. 9. KulakovYu.I.Elementy teorii fizicheskikh struktur (Elements of the theory of physical structures), Novosibirsk: Novosibirsk State University, 1968, 226 p. 10. Elsgolts L.E. Differentsial nye uravneniya i variatsionnoe ischislenie (Differential equations and the calculus of variations), Moscow: Nauka, 1969, 424 p. Received 21.06.2016 Kyrov Vladimir Aleksandrovich, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Gorno-Altaisk State University, ul. Lenkina, 1, Gorno-Altaisk, 649000, Russia. E-mail: kyrovva@yandex.ru