Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ενδεικτικές Λύσεις Ασκήσεων Κεφάλαιο 3 Κοκολάκης Γεώργιος
Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.
ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΩΝ ΑΝΕΛΙΞΕΩΝ Άσκ. 3.. Η συνάρτηση y= g(x), T είναι αντιστρέψιµη, και συνεπώς έχουµε - x= h(y) g (y), y g( ). Θεωρούµε τη δεσµευµένη πιθανότητα P[Y+ = y Y 0= y,...,y 0 = y ] για + οποιαδήποτε επιλογή καταστάσεων y,...,y 0, y T και N. Έχουµε + P[Y+ = y Y 0= y,...,y 0 = y ] = P[X + + = h(y ) X 0= h(y ),...,X 0 = h(y )] + P[X + = h(y ) X = h(y )] = P[Y+ = y Y = y ]. + = + Συνεπώς η Σ.Α. {Y = g(x ) : = 0,,...} είναι Μαρκοβιανή. εν είναι απαραίτητο να είναι η συνάρτηση g αµφιµονοσήµαντη (β. Άσκ. 3.). Άσκ. 3.5. Θεωρούµε τη δείκτρια συνάρτηση Ι του ενδεχόµενου {X = } για, δηλαδή έχουµε I = όταν X = και I = 0 όταν X. Ορίζουµε την τ.µ. οποία εκφράζει το συνολικό αριθµό επανεµφανίσεων της κατάστασης µε εκκίνηση από την ίδια. Λαµβάνοντας την αντίστοιχη µέση τιµή προκύπτει: Όµως Έχουµε συνεπώς E[N ] = E[ I X = ] = E[I X = ]. 0 0 = = E[I X = ] = p = P[X = X = ]. () 0 0 N = I = η E[N ] = p = P (). = Το δεύτερο µέλος απειρίζεται εάν και µόνο εάν η κατάσταση είναι επαναληπτική. ()
Άσκ. 3.7. Έχουµε το στοχαστικό πίνακα E E E 3 E 4 E 0.4 0 0 0.6 E 0. 0 0 0.8 P =. E3 0 0 0.3 0.7 E4 0 0 0 Παρατηρούµε ότι Ε Ε 4 Ε Ε. Συνεπώς οι καταστάσεις αυτές αποτελούν µία κλειστή κλάση C. Η κατάσταση Ε 3 Ε 4 και συνεπώς αποτελεί µια ανοικτή κλάση C. Η κανονική µορφή του παραπάνω στοχαστικού πίνακα είναι: E E E 4 E 3 E 0.4 0 0.6 0 E 0. 0 0.8 0 P =. E4 0 0 0 E3 0 0 0.7 0.3 Η ύπαρξη ενός τουλάχιστον µη µηδενικού διαγώνιου στοιχείου µέσα σε κάθε κλάση αποκλείει την περιοδικότητα αυτών. Έχουµε δηλαδή τις κλάσεις επικοινωνουσών καταστάσεων C ={Ε,Ε,Ε 4 } και C ={Ε 3 } µε C C. Η κλάση C είναι επαναληπτική και η κλάση C είναι παροδική. Επιπλέον η κλάση C είναι γνήσια επαναληπτική αφού έχει πεπερασµένο πλήθος καταστάσεων. Και οι δύο κλάσεις είναι µη περιοδικές. Για τον δεύτερο στοχαστικό πίνακα έχουµε: P Ε Ε Ε 3 Ε 4 Ε 5 E 0.4 0.6 0 0 0 E 0. 0 0.3 0 0.5 = E 0 0 0 0 E 4 0 0.4 0. 0.5 0 E5 0. 0 0 0.3 0.6 3
Παρατηρούµε ότι Ε 3 Ε 3 αποκλειστικά. Άρα η κατάσταση Ε 3 είναι µια απορροφητική και συνεπώς αποτελεί από µόνη της µια κλάση C. Επίσης έχουµε Ε Ε Ε 5 Ε, και Ε 5 Ε 4 Ε Οι καταστάσεις Ε, Ε, Ε 4 και Ε 5 επικοινωνούν µεταξύ τους και συνεπώς αποτελούν µια δεύτερη κλάση C. Έχουµε συνεπώς τις κλάσεις επικοινωνουσών καταστάσεων: C = {Ε 3 }και C ={Ε, Ε, E 4, Ε 5 }. Επειδή έχουµε Ε Ε 3 θα έχουµε ότι C C. Η κανονική µορφή του στοχαστικού πίνακα P είναι: P Ε 3 Ε Ε Ε 4 Ε 5 E3 0 0 0 0 E 0 0.4 0.6 0 0 = E 0.3 0. 0 0 0.5 E 4 0. 0 0.4 0.5 0 E5 0 0. 0 0.3 0.6 Η κλάση C είναι επαναληπτική και η κλάση C είναι παροδική. Και οι δύο κλάσεις είναι απεριοδικές. 3
Άσκ. 3.6 k (α) Έχουµε P[V k X 0= ]=f µε f = P T < X0 = =, όταν η κατάσταση είναι επαναληπτική και <, όταν η κατάσταση είναι παροδική. Εποµένως k, όταν ηκατάσταση είναι επαναληπτική, η =P[V = X 0 = ]= lm P[V k X 0 = ]= lm f = { k k 0,όταν η κατάσταση είναι παροδική. [ ] k- (β) Έχουµε επίσης P[Vj k X 0 = ]=fjf, και εποµένως k- f,όταν j η κατάσταση jείναι επαναληπτική, η j=p[v j = X 0 = ]= lm P[Vj k X 0= ]=fjlm f jj = { k k 0,όταν η κατάσταση jείναι παροδική. Έχουµε όµως () j j = j 0 = j 0 = = f = f P[T = X =] P[T < X =], και συνεπώς το ζητούµενο. Ασκήσεις 3.7, 3.8 και 3.9 Επιλύονται µε διαγωνιοποίηση των στοχαστικών πινάκων όταν έχουν διαφορετικές ιδιοτιµές. Εφαρµόζουµε ανάλυση κατά Jorda (Θεώρηµα Perro-Frobeus) στην περίπτωση πολλαπλών ιδιοτιµών. Άσκ. 3.0(β) Ο στοχαστικός πίνακας εδώ είναι: 0 α0 α α... α.. r r 0... 0.. 0 r r 0.. 0............ P =..................... 0 0 0.. r r 0..................... Επιλύοντας το σύστηµα π = π, µε π = (π, π, π,..., π,...), λαµβάνουµε διαδοχικά: α = r 0 π π 0, P 0 α α0 α π = { π ( r) πα 0 } /( r) = π π0 = π 0, r r και γενικά
α α... α r 0 π = π 0,( ). Κάνοντας χρήση της σχέσης και θέτοντας α, j= j = έχουµε A = α α...α = α, ( 0 j j= ), π = Aπ 0/( r), ( ). Όµως οι πιθανότητες π = Aπ 0/( r), ( ), µαζί µε τη π 0, πρέπει να ικανοποιούν την συνθήκη π =. Συνεπώς: 0 = { = } r π0 = + A =, r r+ A µε A = A. Συνεπώς, ικανή και αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη κατανοµής = ισορροπίας είναι να έχουµε A<, και τότε A A r r+ A π = π o =, (> 0 Σηµείωση: Επειδή η ακολουθία {α : =0,, } αποτελεί την κατανοµή του άλµατος Ζ από τη θέση 0 στη θέση, θα έχουµε: { } = = j= 0 j = j= j = A= A = α = α = α = E[Z]. ). Άσκ. 3. Στον συµµετρικό απλό τυχαίο περίπατο η επιστροφή στην ίδια θέση γίνεται σε άρτιο αριθµό βηµάτων µε πιθανότητα: () p 00 = /, ( = 0,,,...). Ο περίπατος αυτός είναι επαναληπτικός εάν και µόνο εάν ισχύει η σχέση: () ()! p00 = p 00 = / / = = = = = (!). Χρησιµοποιώντας τον τύπο του Strlg,! π(/e), όπου το σύµβολο " "εκφράζει ότι ο λόγος των δύο µελών τείνει στην µονάδα για, λαµβάνουµε : και συνεπώς έχουµε () p 00 =, π p π. () 00 = p00 = = =
() () Λόγω της σχέσης p 00 /p 00 για, οι δύο σειρές είτε θα συγκλίνουν και οι δύο είτε θα αποκλίνουν και οι δύο. Όµως η τελευταία σειρά είναι γνωστό ότι αποκλίνει, άρα και η πρώτη σειρά αποκλίνει και συνεπώς η κατάσταση 0, όπως και κάθε άλλη κατάσταση, αφού όλες οι καταστάσεις επικοινωνούν, είναι επαναληπτική. Εφαρµόζοντας την ίδια προσέγγιση για το! αποδεικνύεται ότι ο συµµετρικός τυχαίος περίπατος σε d διαστάσεις έχει () p00 Cd = = { } d, π και συνεπώς η σειρά αποκλίνει για d= και συγκλίνει για d >. Άσκ. 3.0 Αφού P διπλά στοχαστικός, ο πίνακας Q = P T είναι στοχαστικός. Έστω επίσης π =(π,..., π Ν ) η κατανοµή ισορροπίας του P. Εχουµε δηλαδή για Επειδή Q= P T για θα έχουµε επίσης:. Π = lm P =. (π,..., π N ) = e π.. lm Q = lm (P T ) = (lm P ) T = (e π) T = π T e T π. =. (,..., ) =. πν π π... π π π... π....... πν π Ν... π Ν Επειδή ο τελευταίος πίνακας είναι στοχαστικός έπεται ότι Ν π = (=,,N), δηλαδή η κατανοµή ισορροπίας του στοχαστικού πίνακα P (όπως και του Q) είναι η Οµοιόµορφη. 3
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα» του ΕΜΠ έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.