Ευσταθίου Αγγελική (Μαθηµατικός Π.Π.Λ.Π.Π.) Σφαέλος Ιωάννης (Φυσικός Π.Π.Λ.Π.Π.) Φύττας Γεώργιος (Φυσικός Π.Π.Λ.Π.Π.)

Ευσταθίου Αγγελική (Μαθηµατικός Π.Π.Λ.Π.Π.) Σφαέλος Ιωάννης (Φυσικός Π.Π.Λ.Π.Π.) Φύττας Γεώργιος (Φυσικός Π.Π.Λ.Π.Π.)

Η ιδέα ιαθεµατική προσέγγιση φυσικών και µαθηµατικών εννοιών µέσα από τη µελέτη της «Πτώσης των σωµάτων» Φυσική Α Λυκείου

Καθοδηγούµενη ιερευνητική προσέγγιση

Ο βασικός διδακτικός στόχος είναι το να αναγνωρίσουν οι µαθητές ότι το φαινόµενο πτώση σώµατος στον αέρα, δεν είναι και τόσο απλό όσο πιστεύουν. Η απάντηση στο ερώτηµα: Τελικά, ποια σώµατα πέφτουν πιο γρήγορα; Τα βαρύτερα ή τα ελαφρύτερα; εν υπάρχει νόµος µε βάση τον οποίο να µπορούµε να προβλέψουµε τι θα συµβεί κατά την πτώση δύο οποιωνδήποτε αντικειµένων στον αέρα.

Τα «περιβάλλοντα» στα οποία µελετήσαµε την πτώση των σωµάτων Κενό Αέρας Yγρό

Να εµπλέξουµε τους µαθητές σε επίλυση πραγµατικών προβληµάτων Να αναπτύξουν δεξιότητες συνεργασίας Να εισάγουµε τους µαθητές σε διαδικασίες επιστηµονικής έρευνας Άλλοι Στόχοι Να αναδειχθεί η στενή σχέση Φυσικής και Μαθηµατικών Να αναδείξουµε τη συνεισφορά των ΤΠΕ στη διδασκαλία των Φυσικών Επιστηµών & Μαθηµατικών Να εξοικειωθούν οι µαθητές µε την επιλογή των κατάλληλων µεταβλητών

Οι ΤΠΕ ισχυρά εργαλεία για τη βελτίωση & διευκόλυνση της διδασκαλίας

Τα εργαλεία που χρησιµοποιήσαµε Software Hardware IP 2005 Tracker Logger Pro Lab Pro & Motion Detector Geogebra Function Probe

Με το Interactive Physics 2005 µελετήσαµε: Α. Την ελεύθερη πτώση σώµατος Β. Την πτώση σώµατος µε «υψηλή» αντίσταση

Αυτό που παρατηρούµε είναι ότι: Στην ελεύθερη πτώση η ταχύτητα είναι ανάλογη µε το χρόνο Σε µια ρεαλιστική πτώση, τα σώµατα αρχικά κάνουν µια κίνηση που µοιάζει µε ελεύθερη πτώση, αλλά σύντοµα η ταχύτητα παύει να αυξάνεται ανάλογα µε το χρόνο και τείνει σε µια σταθερή τιµή, δηλαδή µια οριακή ταχύτητα

Α. Ελεύθερη πτώση... / B

Β. Πτώση µε επίδραση της αντίστασης του αέρα (Παραβολική συµπεριφορά) Σε µια ρεαλιστική πτώση σώµατος (κίνηση στον αέρα ή σε κάποιο υγρό), λαµβάνοντας υπ όψη και την επίδραση της άνωσης Α και της αντίστασης ή τριβής FD, ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: FD Α Β Β Α F mα

Η παραδοχή µας... Στα σώµατα που θα µελετήσουµε την κίνησή τους, η άνωση θεωρείται αµελητέα. Ακόµα όµως και µε δύο δυνάµεις µόνο (Β και FD), στη γενική περίπτωση, οι εξισώσεις κίνησης γίνονται πολύπλοκες, εκτός αν γίνουν κάποιες επιπλέον παραδοχές.

Όταν, τότε: 0 και οπότε:

m=2kg, g=9.81m/, 4.95 /.. b=0.8 kg/m

y = A=4.898= =. /

H=2m Sensor Motion Detector

Lab Pro Vernier Logger Pro 3.8.2

m=0.6g, g=9.81m/, =1.3 / = = = 0.6 10 9.81 1.3 b=3.5 10 kg/m

Position-Time Velocity- Time

m (g) v ορ (m/s) V ορ 2 (m/s ) 2 0,6 1,36 1,85 1,2 1,94 3,76 1,8 2,29 5,24 2,4 2,74 7,5 3 2,96 8,76 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 y = 2,9267x + 0,154 R² = 0,9942 Vορ 2 (m/s) 2 m(g) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

Στα πειράµατα αυτά εφαρµόζουµε τη µέθοδο πτώσης µικρών σφαιρών. Αφήνουµε να πέσει στην επιφάνεια του υγρού, χωρίς αρχική ταχύτητα, µια σφαίρα, η οποία αρχικά και µετά την είσοδό της στο υγρό, κινείται επιταχυνόµενη.

Θεωρώντας τη ροή του υγρού γύρω από τη σφαίρα στρωτή, ισχύει ο νόµος του Stokes, σύµφωνα µε τον οποίο, για σχετικά µικρές ταχύτητες, η δύναµη της τριβής FD, που δυσχεραίνει την κίνηση του σώµατος, είναι ανάλογη της ταχύτητας κίνησης υ. =, =

Στρωτή ροή, κατά την οποία το ρευστό περιβάλλει και ρέει συµµετρικά γύρω από τη σφαίρα. Τα µεµονωµένα στρώµατα του ρευστού γλιστρούν το ένα ως προς το άλλο χωρίς να αναµειγνύονται µεταξύ τους. Τυρβώδης ροή σε µεγάλες ταχύτητες. Εξαιτίας του σχηµατισµού στροβιλισµών το ρευστό αναµειγνύεται.

Όταν ένα σφαιρίδιο τοποθετηθεί εντός ενός υγρού τότε επ αυτού ασκούνται τρεις δυνάµεις: η άνωση Α, η δύναµη της βαρύτητας Β η οπισθέλκουσα δύναµη τριβής FD.

Το σφαιρίδιο επιταχυνόµενο αποκτά ολοένα και µεγαλύτερη ταχύτητα όµως παράλληλα αυξάνεται και η τριβή. Κάποια στιγµή επέρχεται ισορροπία των δυνάµεων και το σφαιρίδιο πλέον συνεχίζει την κίνησή του µε σταθερή ταχύτητα που ονοµάζεται οριακή ταχύτητα, που είναι χαρακτηριστική τόσο για το σώµα όσο και για το ρευστό.

= Α = = 1 = =m (1) όπου = 1

Όταν = 0 = =

Η λύση της.ε. (1) δίνει: (1- / ) όπου ο συντελεστής τ=m/b, έχει διαστάσεις χρόνου και καλείται χρόνος αποκατάστασης, κατά τον οποίον η ταχύτητα έχει αποκτήσει περίπου το 60% της τελικής, οριακής της τιμής.

m = 0.1Κg, r=2.0cm, g=9.81 m/, = =. = =.. =2984Kg/ (Αλουμίνιο) = / (Λάδι) = =9.81 =6.85 m/

=. = ( = ( =.. (2984. b = 0.6 kg/m

Πείραµα κίνησης σφαιριδίου σε παραφινέλαιο Μάζα σφαιριδίου: m=0.26g ιάµετρος σφαιριδίου: D=3.85mm Όγκος σφαιριδίου: = = =. = =.. =8701Kg/ (Χαλκός) Πυκνότητα παραφινέλαιου: = /

Μέτρηση οριακής ταχύτητας Απόσταση διανυθέντος διαστήµατος: S=44cm t (s) 9.79 9.88 9.94 10.05 9.98 = =. = 4.43cm/s

=., g=9.81m/, = 8701 Kg/, =, =. ( ) ( ).. (87. = b = 5.15 10 kg/m

Προβληµατισµός µαθητών Ο υπολογισµός του διαστήµατος που διανύει ένα σώµα κατά την κίνησή του σε υγρό µέχρι να αποκτήσει την οριακή του ταχύτητα. Η λύση βασίζεται στη µέτρηση του εµβαδού της περιοχής κάτω από την καµπύλη.

Οι µαθητές θα έχουν τη δυνατότητα: Να ασχοληθούν µε διαδικασίες µοντελοποίησης και να συνδέσουν ένα φυσικό φαινόµενο µε τις µαθηµατικές έννοιες που εµπλέκονται σε αυτό. Να γνωρίσουν και να εφαρµόσουν τη µέθοδο «εξάντλησης» (Εύδοξος 408-355 π.χ.) για τον υπολογισµό εµβαδών.

Να κατανοήσουν το ορισµένο ολοκλήρωµα µιας συνεχούς συνάρτησης σε κλειστό διάστηµα ως µια οριακή διαδικασία. Να κατανοήσουν ότι το Θ.Θ.Ο.Λ. αποτελεί ένα εργαλείο που µας απαλλάσει από τις προσεγγίσεις µε τη βοήθεια ανιαρών και επίµονων αθροισµάτων.

Με παράθεση παράλληλης χάραξης γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων επιχειρείται:

1. ιερεύνηση της γεωµετρικής διασύνδεσης µεταξύ των συναρτήσεων f(t) και F(x) προκειµένου οι µαθητές να κατανοήσουν ότι: η F(x) εκφράζει γεωµετρικά το εµβαδό µεταξύ της γραφικής παράστασης της f(t), του άξονα x x και των ευθειών t=α και t= x. κάθε συνεχής συνάρτηση f είναι η παράγωγος µιας άλλης, δηλ. της οι διαδικασίες παραγώγισης και ολοκλήρωσης είναι αντίστροφες η µία της άλλης.

2. ιαισθητική θεµελίωση της σχέσης η οποία µε τη σειρά της θα οδηγήσει στην αυστηρή απόδειξη του Θ.Θ.Ο.Λ.