Μεθοδολογία επίλυσης προβληµάτων καταβύθισης

Transcript

1 Μεθοδολογία επίλυσης προβληµάτων καταβύθισης Τα προβλήµατα που υπάρχουν πάντα στις περιπτώσεις βαρυτοµετρικών διαχωρισµών είναι η γνώση της συµπεριφοράς των στερεών, όσον αφορά στην καταβύθισή τους µέσα σε ρευστά. ηλαδή ενδιαφέρουν: 1. ο προσδιορισµός της τερµατικής τους ταχύτητας καταβύθισης u t, όταν είναι γνωστό το µέγεθος D των τεµαχίων, ή το αντίστροφο πρόβληµα που είναι 2. ο προσδιορισµός του µεγέθους D των τεµαχίων, όταν είναι γνωστή η τερµατική ταχύτητα u t καταβύθισής του. Και τούτο, επειδή είναι γνωστό ότι η τερµατική ταχύτητα καταβύθισης u t είναι, εκτός των άλλων, συνάρτηση του συντελεστή αντίστασης ροής C D [εξίσωση (1) και Σχήµα 1], του οποίου η τιµή εξαρτάται από τις συνθήκες ροής (στρωτή, µεταβατική ή τυρβώδη) που επικρατούν κατά το διαχωρισµό. Επίσης, στο Σχήµα 2 φαίνεται οικογένεια καµπυλών για διάφορες τιµές σχήµατος τεµαχίων (σφαιρικότητα, sphericity). Είναι γνωστό ότι η τερµατική ταχύτητα καταβύθισης δίνεται από τη σχέση: (1) ή ο συντελεστής αντίστασης ροής από την εξίσωση: (2) Επίσης, ο αριθµός Reynolds από τη γνωστή εξίσωση: (3) 1

2 Σχήµα 1. Σχέση µεταξύ συντελεστή αντίστασης ροής C D και αριθµού Reynolds Re στην περίπτωση σφαιρικών τεµαχίων. Σχήµα 2. Σχέση µεταξύ συντελεστή αντίστασης ροής C D και αριθµού Reynolds Re στην περίπτωση τεµαχίων διαφορετικής σφαιρικότητας (οικογένεια καµπυλών). 2

3 1 η περίπτωση γραφικού υπολογισµού 1. Υπολογισµός της τερµατικής ταχύτητας καταβύθισης u t τεµαχίου µεγέθους D Καταρχήν γίνεται απαλειφή του όρου u t µε συνδυασµό των παραπάνω εξισώσεων (2) και (3). Το γινόµενο, που καλείται συντελεστής Castleman, είναι ανεξάρτητο της παραµέτρου της τερµατικής ταχύτητας και η τιµή του µπορεί να προσδιοριστεί εύκολα από τις γνωστές τιµές των D, ρ, ρ σ, g και µ. Αν λογαριθµήσουµε το παραπάνω γινόµενο προκύπτει η εξίσωση: ή (4) Η εξίσωση (3) είναι εξίσωση ευθείας γραµµής µε συντελεστή κατεύθυνσης (κλίση) -2 σε λογαριθµικό διάγραµµα logc D logre, όπως αυτό του Σχήµατος 2 [ευθεία (1)]. Η ευθεία (1) διέρχεται από το σηµείο Re = 1 ( και Η προβολή, στον οριζόντιο άξονα, των σηµείων τοµής της ευθείας µε τις καµπύλες του Σχήµατος 2, για διάφορες τιµές 3

4 σφαιρικότητας ψ των τεµαχίων, δίνει την αντίστοιχη τιµή του αριθµού Reynolds, η οποία αναφέρεται στις συνθήκες της καταβύθισης (µέγεθος, σχήµα τεµαχίων, περιοχή ροής). Από τη γνωστή εξίσωση (3) για τον αριθµό Reynolds, την υπολογισµένη (από το Σχήµα 2) τιµή του αριθµού Reynolds και από τα δεδοµένα του προβλήµατος (D, ρ, και µ) προσδιορίζεται η τιµή της τερµατικής ταχύτητας καταβύθισης u t. Προσοχή!!! Για σφαιρικότητα διαφορετική από αυτή της σφαίρας (ψ = 1.0), οι αντίστοιχες τιµές του αριθµού Reynolds (προβολές των σηµείων τοµής της ευθείας 1 µε τις υπόλοιπες καµπύλες) δίνουν τη δυνατότητα προσδιορισµού της «ισοδύναµης» διαµέτρου σφαίρας, δηλαδή τεµαχίου σφαιρικού σχήµατος ίδιας πυκνότητας, που έχει τερµατική ταχύτητα καταβύθισης ίδια µε αυτή του τεµαχίου διαφορετικού σχήµατος («ισοκαταβυθιζόµενο»). Αυτό σηµαίνει ότι, οπωσδήποτε, τα «ισοκαταβυθιζόµενα» είναι τεµάχια ίδιου όγκου για να έχουν ίδιο βάρος και να υφίστανται ίδια άνωση µε το στερεό διαφορετικού σχήµατος. Συσχετίζει λοιπόν έµµεσα τον παράγοντα του σχήµατος του τεµαχίου µε την ταχύτητα καταβύθισής του. Τιµές σφαιρικότητας «πραγµατικών» τεµαχίων διαφορετικού σχήµατος φαίνονται στο Σχήµα 4. Ο όρος της «σφαιρικότητας» εκφράζεται από το λόγο της εξωτερικής επιφάνειας «ισοδύναµης» σφαίρας προς την εξωτερική επιφάνεια του τεµαχίου ίδιου όγκου. Υπολογίζεται δε ως εξής: 4

5 Έστω τεµάχιο κυβικού σχήµατος ακµής µήκους 1. Ο όγκος του κύβου είναι 1 3 =1. Σφαίρα ίδιου όγκου έχει διάµετρο D που υπολογίζεται από την εξίσωση: από την οποία Από τα παραπάνω: Η παραπάνω τιµή συµφωνεί µε τα δεδοµένα του Σχήµατος Υπολογισµός του µεγέθους D τεµαχίου µε γνωστή τερµατική ταχύτητα καταβύθισης u t γίνεται απαλειφή της παραµέτρου D (µέγεθος τεµαχίων) µε συνδυασµό των παραπάνω εξισώσεων. Το πηλίκο είναι ανεξάρτητο του όρου του µεγέθους D των τεµαχίων του υλικού και η τιµή του µπορεί εύκολα να προσδιοριστεί από τις γνωστές τιµές των, ρ, ρ σ, g και µ. Αν λογαριθµήσουµε το παραπάνω πηλίκο, προκύπτει η εξίσωση: ή 5

6 (5) Η εξίσωση (5) είναι εξίσωση ευθείας γραµµής µε συντελεστή κατεύθυνσης (κλίση) +1 σε λογαριθµικό διάγραµµα logc D logre, όπως αυτό του Σχήµατος 2 [ευθεία (2)]. Η ευθεία (2)-Σχήµα 2, στην περίπτωση αυτή, διέρχεται από το σηµείο Re = 1 ( και Η προβολή των σηµείων τοµής της ευθείας µε τις καµπύλες του Σχήµατος 2, στον οριζόντιο άξονα, για διάφορες τιµές σφαιρικότητας ψ των τεµαχίων, δίνει την αντίστοιχη τιµή του αριθµού Reynolds, η οποία αναφέρεται στις συνθήκες της καταβύθισης (ισοδύναµη διάµετρος, σχήµα τεµαχίων, περιοχή ροής). Από τη γνωστή εξίσωση (3) για τον αριθµό Reynolds, την υπολογισµένη (από το διάγραµµα) τιµή του αριθµού Reynolds και από τα δεδοµένα του προβλήµατος (u t, ρ, και µ) προσδιορίζεται η τιµή D του µεγέθους του τεµαχίου 2 η περίπτωση γραφικού υπολογισµού Από τις παραπάνω καµπύλες (Σχήµα 2) είναι δυνατή η κατασκευή παρεµφερών καµπυλών, οι οποίες συσχετίζουν τις τιµές του συντελεστή Castleman ( ) ή του λόγου ( ) µε τις τιµές του αριθµού Reynolds (Σχήµα 3). Στο Σχήµα 3 φαίνεται η µορφή των καµπυλών, που κατασκευάστηκαν από το Σχήµα 2, για σφαιρικά τεµάχια (ψ = 1.0). Ανάλογες καµπύλες 6

7 µπορούν να κατασκευαστούν και για άλλες τιµές σφαιρικότητας (ψ) των τεµαχίων µε στόχο τον υπολογισµό της «ισοδύναµης» διαµέτρου τεµαχίων διαφορετικού σχήµατος (σφαιρικότητας). Οι δύο καµπύλες του Σχήµατος 3 χρησιµοποιούνται για τον προσδιορισµό είτε της τερµατικής ταχύτητας u t (καµπύλη συντελεστή Castleman), είτε του µεγέθους D του καταβυθιζόµενου τεµαχίου (καµπύλη λόγου ), µε τη βοήθεια της αντίστοιχης τιµής του αριθµού Reynolds, που προσδιορίζεται στον οριζόντιο άξονα του Σχήµατος, και της γνωστής εξίσωσης (3). 7

8 Σχήµα 3. Καµπύλες συσχέτισης συντελεστή Castleman και του λόγου Re/C D µε την τιµή του αριθµού Reynolds (Re). 8

9 Σχήµα 4. Τιµές σφαιρικότητας "πραγµατικών" τεµαχίων διαφορετικού σχήµατος. 9