1 ÓÄÊ 523.24 ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÎÐÁÈÒ ÁËÈÇÊÈÕ ÑÏÓÒÍÈÊÎÂ ÏÈÒÅÐÀ c 27 ã. Àâä åâ Â.À., Áàíüùèêîâà Ì.À. ÍÈÈ ï èêëàäíîé ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè Òîìñêîãî ãîñóíèâå ñèòåòà, ï. Ëåíèíà, 36, Òîìñê, Ðîññèß, 6345; e-mail: astrodep@niipmm.tsu.ru PACS: 95.1.Ce, 96.3.L-, 95.1.Eg, 91.1.Sp Àííîòàöèß Èññëåäó òñß íåêîòî ûå ï îáëåìû â îï åäåëåíèè î áèò áëèçêèõ ñïóòíèêîâ, êîòî- ûå ñâßçàíû ñî ñëîæíûì õà àêòå îì ïîâåäåíèß öåëåâîé ôóíêöèè, ñèëüíî îâ àæíîé è ñ ìíîãî èñëåííûìè ìèíèìóìàìè, òî èìååò ìåñòî, êîãäà î áèòà ñïóòíèêà îï åäåëßåòñß ïî ßäó àç îçíåííûõ íàáë äåíèé, àñï åäåëåííûõ íà äîñòàòî íî äëèòåëüíîì èíòå âàëå â åìåíè. Ýòè îñîáåííîñòè â îá àòíûõ çàäà àõ àññìàò èâà òñß íà ï èìå å äèíàìèêè áëèçêèõ ñïóòíèêîâ ïèòå à: Àìàëüòåè, Òåáû, Àä- àñòåè è Ìåòèäû. Ïîñò îåíû èñëåííûå ìîäåëè äâèæåíèß ñïóòíèêîâ, ïà àìåò- û êîòî ûõ îï åäåëåíû ïî èìå ùèìñß íà äàííûé ìîìåíò íàçåìíûì íàáë äåíèßì. Ï åäëàãàåòñß ñîñòàâíîé ïîäõîä äëß ôôåêòèâíîãî ïîèñêà ìèíèìóìà öåëåâîé ôóíêöèè, ïîçâîëß ùèé äàæå ï è äîâîëüíî ã óáûõ íà àëüíûõ ï èáëèæåíèßõ ïîëó èòü ñîîòâåòñòâó ùèå îöåíêè î áèòàëüíûõ ïà àìåò îâ âñåãî çà íåñêîëüêî äåñßòêîâ èòå àöèé. Ïîêàçàíî, òî ï è íàëè èè äâóõ ã óïï íàáë äåíèé (Àä àñòåß) ôî ìàëüíàß ìèíèìèçàöèß öåëåâîé ôóíêöèè äàåò ìíîæåñòâî å åíèé, èç êîòî ûõ ôàêòè åñêè íå óäàåòñß âûá àòü íàèëó åå ñ òî êè ç åíèß ï åäñòàâëåíèß î áèòàëüíîãî äâèæåíèß. Äà òñß ä óãèå îöåíêè, õà àêòå èçó ùèå ñïåöèôèêó èññëåäóåìûõ îá àòíûõ çàäà. Ââåäåíèå Îäíà èç ãëàâíûõ ò óäíîñòåé â îï åäåëåíèè î áèòû ë áîãî áëèçêîãî ñïóòíèêà âûçâàíà åãî áûñò ûì äâèæåíèåì îêîëî ïëàíåòû: àñòîòà îá àùåíèß ñïóòíèêà íàñòîëüêî âûñîêà, òî âñåãî çà ãîä îí ñîâå àåò ïî ßäêà òûñß è îáî îòîâ è áîëåå. Ýòà îñîáåííîñòü â äâèæåíèè ï èâîäèò ê òîìó, òî â îá àòíûõ çàäà àõ öåëåâàß ôóíêöèß, ìèíèìèçè óåìàß ïî î áèòàëüíûì ïà àìåò àì, èìååò ñèëüíî îâ àæíó ñò óêòó ó, òî âû àæàåòñß âïëîõîé îáóñëîâëåííîñòè ìàò èöû êâàä àòè íîé ôî ìû, àïï îêñèìè ó ùåé öåëåâó ôóíêöè. Âìåñòå ñ òåì èç òåî èè îïòèìèçàöèè èçâåñòíî, òî ìèíèìèçàöèß îâ àæíûõ ôóíêöèé âåñüìà çàò óäíèòåëüíà è ò åáóåò ï èâëå åíèå ñïåöèàëüíûõ ïîäõîäîâ. Ï è èñïîëüçîâàíèè ò àäèöèîííûõ ìåòîäîâ òèïà Ãàóññà Íü òîíà äëß å åíèß òàêèõ çàäà èòå àöèîííûå ñõåìû ìåòîäîâ îáû íî ïëîõî ñõîäßòñß è ï è åì èìå ò ìàëûå îáëàñòè
ñõîäèìîñòè, ò.å. ôàêòè åñêè èõ ï èìåíåíèå âîçìîæíî òîëüêî ï è î åíü õî î èõ íà- àëüíûõ ï èáëèæåíèßõ. Ä óãàß ò óäíîñòü ñâßçàíà ñ íåîäíîçíà íîñòü îï åäåëåíèß ñïóòíèêîâîé î áèòû, òî èìååò ìåñòî, êîãäà î áèòàëüíûå ïà àìåò û îï åäåëß òñß ïî íåñêîëüêèì ã óïïàì íàáë äåíèé, àññ åäîòî åííûì íà äîñòàòî íî äëèòåëüíîì â åìåíí îì èíòå âàëå. Â äàííîì ñëó àå öåëåâàß ôóíêöèß ìîæåò èìåòü äîâîëüíî ìíîãî ïî òè àâíîçíà íûõ ìèíèìóìîâ, ñ åäè êîòî ûõ ò óäíî óçíàâàåì òîò, òî ñîîòâåòñòâóåò íàèëó èì îöåíêàì î áèòàëüíûõ ïà àìåò îâ. Ïî òîìó äàæå åñëè èòå àöèîííàß ñõåìà ñõîäèòñß, ï àêòè åñêàß öåííîñòü ïîëó åííîé î áèòû íå ìîæåò áûòü áåçóñëîâíîé. Â äàííîé àáîòå òè îñîáåííîñòè â îá àòíûõ çàäà àõ àññìàò èâà òñß íà ï èìå å äèíàìèêè áëèçêèõ ñïóòíèêîâ ïèòå à: Àìàëüòåè (J5), Òåáû (J14), Àä àñòåè (J15) è Ìåòèäû (J16). Óæå ïå âûå íàáë äàòåëè Àìàëüòåè, Òåáû, Àä àñòåè è Ìåòèäû (Barnard, 1892; Jewitt et al., 1979; Synnott, 1984) ï åäï èíèìàëè ïîïûòêè îï åäåëèòü èõ î áèòàëüíûå ëåìåíòû ïî íåìíîãî èñëåííûì íàáë äåíèßì. Êàæäûå íîâûå íàáë äåíèß ñòèìóëè- îâàëè èññëåäîâàòåëåé ê î å åäíîìó óòî íåíè ñïóòíèêîâûõ î áèò. Ïî òîìó î áèòà ïßòîãî ñïóòíèêà ïèòå à, îòê ûòîãî åùå â 1892 ã. è íàáë äàåìîãî íà ï îòßæåíèè óæå áîëåå ñòà ëåò, èçó åíà ëó å, åì î áèòû ò åõ ä óãèõ áëèçêèõ ñïóòíèêîâ, êîòî- ûå áûëè îáíà óæåíû òîëüêî â 1979 ã. Ñïóòíèê Òåáà â îòëè èè îò Àä àñòåè è Ìåòèäû èìååò ãî àçäî áîëåå ïëîòíûé ßä íàáë äåíèé, îá àáîòêà êîòî ûõ íå âûçûâàåò îñîáûõ çàò óäíåíèé, è åãî î áèòà òàêæå îï åäåëßåòñß äîñòàòî íî óâå åííî. Âìåñòå ñ òåì äâà ïîñëåäíèõ ñïóòíèêà íàáë äàëèñü íàñòîëüêî åäêî, òî íà äîâîëüíî äëèòåëüíîì èíòå âàëå â åìåíè ìîìåíòû èõ íàáë äåíèé àññ åäîòî åíû âñåãî â íåñêîëüêèõ ã óïïàõ. Â òîé ñâßçè îá àáîòêà òàêèõ íàáë äåíèé ñ öåëü óòî íåíèß î áèòàëüíûõ ïà àìåò îâ ñîï ßæåíà ñ óêàçàííûìè âû å ò óäíîñòßìè. Áëèçêèå ñïóòíèêè äâèæóòñß âíóò è î áèò ãàëèëååâûõ ñïóòíèêîâ ïî ïî òè ê óãîâûì éîâè êâàòî èàëüíûì î áèòàì íà àññòîßíèè îò ïèòå à 1.8 3.1 åãî àäèóñîâ. Ââèäó åçâû àéíîé áëèçîñòè ñïóòíèêîâ ê ïèòå ó èõ äâèæåíèå, ãëàâíûì îá àçîì, ïîä èíåíî ìîùíîìó ã àâèòàöèîííîìó âëèßíè ìàññèâíîé ïëàíåòû, âñëåäñòâèå åãî àñòîòû îá àùåíèß ñïóòíèêîâ î åíü âûñîêè è ñîîòâåòñòâó ùèå èì ïå èîäû íàõîäßòñß â ï åäåëàõ.3.7 ñóò. Ïå âûå ìîäåëè äâèæåíèß Àìàëüòåè áûëè âåñüìà ï îñòû è ó èòûâàëè ëè ü âîçìóùåíèß ïå âîãî ïî ßäêà îò ñæàòèß ïèòå à (Tisserand, 1893; Cohn, 1897). Â äàëüíåé- åì äëß îïèñàíèß î áèòû ñïóòíèêà âñå àùå ñòàëè ï èáåãàòü ê êèíåìàòè åñêèì ìîäåëßì, â êîòî ûõ èñïîëüçó òñß ôî ìóëû ï åöåññè ó ùèõ êåïëå îâñêèõ ëëèïñîâ (Van Woerkom, 195; Sudbury, 1969; Jacobson, 1994). Íåñìîò ß íà ï èìèòèâíîñòü òèõ ìîäåëåé, îíè äîâîëüíî õî î î (äàæå â ñîîòâåòñòâèè ñ òî íîñòü ñîâ åìåííûõ íàáë äåíèé) ï åäñòàâëß ò äâèæåíèå Àìàëüòåè è ïî òîìó äî ñèõ ïî ï èìåíß òñß äëß îá àáîòêè íàáë äåíèé ñïóòíèêà (Jacobson, 1994). Âï î åì, ñëåäóåò çàìåòèòü, òî Ï.Â. Ñàäáå- è (Sudbury, 1969), èñïîëüçóß ìîäåëü ï åöåññè ó ùèõ ëëèïñîâ, ïîòå ïåë íåóäà ó â ïîïûòêå îáúåäèíèòü â àìêàõ îäíîé ñèñòåìû î áèòàëüíûõ ïà àìåò îâ àííèå íàáë äå- 2
íèß ñ â åìåííûì ï îáåëîì îêîëî 3 ëåò. Âûäâèãàëèñü ãèïîòåçû (Sudbury, 1969; Pascu, 1977), îáúßñíß ùèå ï è èíó òîé íåóäà è, êîòî ûå ïî ñóòè ñâîäèëèñü ê íåñîâå åíñòâó èñïîëüçóåìîé ìîäåëè. Òåì íå ìåíåå, íà íà âçãëßä, íàèáîëåå âå îßòíàß ï è èíà ôèàñêî ê îåòñß â õà àêòå íîé îñîáåííîñòè îá àáîòêè ñïóòíèêîâûõ íàáë äåíèé, î åì áóäåò ñêàçàíî íèæå â îñíîâíîé àñòè àáîòû. Ê îìå òîãî, ñëåäóåò çàìåòèòü, òî Ð.À. SSêîáñîíó âñå æå óäàëîñü ï åîäîëåòü òó ò óäíîñòü (Jacobson, 1994), íå ï èáåãàß ï è òîì ê áîëåå ñëîæíûì ìîäåëßì. Ï åäï èíèìàëèñü òàêæå ïîïûòêè ñîçäàíèß äèíàìè åñêèõ ìîäåëåé íà îñíîâå âûñîêîòî íûõ àíàëèòè åñêèõ òåî èé äâèæåíèß Àìàëüòåè (Êè åíêîâ, 1969; À àçîâ, 1972; Breiter, 1996), êîòî ûå, íàñêîëüêî íàì èçâåñòíî, íå ïîëó èëè è îêîãî àñï îñò àíåíèß â àñò îíîìè åñêîé ï àêòèêå. Ïî-âèäèìîìó, àíàëèòè åñêèå òåî èè íà äàííûé ìîìåíò åùå äà ò íàñòîëüêî èçáûòî íî âûñîêó òî íîñòü (â ñîïîñòàâëåíèè ñ òî íîñòü íàáë äåíèé), òî ìîäåëè, ïîñò îåííûå íà èõ îñíîâå, ïîêà îñòà òñß íå âîñò åáîâàííûìè. òî êàñàåòñß ñïóòíèêîâ Òåáû, Àä àñòåè è Ìåòèäû, òî äëß èíòå ï åòàöèè èõ äâèæåíèß, êàê ï àâèëî, èñïîëüçó ò ï åöåññè ó ùèå ëëèïñû (Jacobson, 1994). Â äàííîé àáîòå ìû ï èáåãàåì ê èñëåííîìó èíòåã è îâàíè ñïóòíèêîâûõ î áèò (Áàíüùèêîâà, Àâä åâ, 26), ãäå â êà åñòâå îï åäåëßåìûõ ïà àìåò îâ äëß êàæäîãî ñïóòíèêà àññìàò èâàåì êîìïîíåíòû âåêòî à åãî íà àëüíîãî äèíàìè åñêîãî ñîñòîßíèß â ôàçîâîì ï îñò àíñòâå ï ßìîóãîëüíûõ êîî äèíàò è ñêî îñòåé. èñëåííûå ìîäåëè îñíîâàíû íà âûñîêîòî íûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèßõ äâèæåíèß, â êîòî ûõ ó èòûâà òñß îñíîâíûå ã àâèòàöèîííûå ñèëû, à òàêæå åëßòèâèñòñêèå ôôåêòû. Êàê è ä óãèå àâòî û ìû îï åäåëßåì î áèòàëüíûå ïà àìåò û â àìêàõ çàäà è íàèìåíü èõ êâàä àòîâ ïî èìå ùèìñß â íàñòîßùåå â åìß íàçåìíûì íàáë äåíèßì ñïóòíèêîâ, îäíàêî äëß ôôåêòèâíîãî ïîèñêà å åíèß çàäà è ìû ï èìåíßåì ï åäëàãàåìûé íàìè ñîñòàâíîé ïîäõîä, âêë à ùèé â ñåáß èçâåñòíûå èòå àöèîííûå ìåòîäû Ãàóññà Íü òîíà è ã àäèåíòíîãî ñïóñêà ñîâìåñòíî ñ òàê íàçûâàåìûì ï îåêöèîííûì ìåòîäîì. Âìåñòå ñ òåì ìèíèìèçè óåìûå öåëåâûå ôóíêöèè çàäà è èññëåäîâàëèñü íà ï åäìåò ìíîæåñòâåííîñòè ìèíèìóìîâ, à òàêæå ï èåìëåìîñòè ñîîòâåòñòâó ùèõ îöåíîê î áèòàëüíûõ ïà àìåò îâ äëß îïèñàíèß ñïóòíèêîâîãî äâèæåíèß. 3 Ï îáëåìà íåîäíîçíà íîãî îï åäåëåíèß î áèò Ïóñòü â íåêîòî îì ï îñò àíñòâå p èçâåñòíû N ïîëîæåíèé íåáåñíîãî îáúåêòà p O i â ìîìåíòû â åìåíè t i (i =1,...,N), ï è òîì î áèòàëüíîå äâèæåíèå îáúåêòà îïèñûâàåòñß ìîäåëü p C = p C (t, q,e), E = n(t t )+E, (1) ãäå q μ î áèòàëüíûå ïà àìåò û, îäíîçíà íî îï åäåëß ùèå ò àåêòî è íåáåñíîãî òåëà; E μ áûñò àß ïå åìåííàß; n μ àñòîòà, à E μ ïå åìåííàß E â ïîõó t. Ï è òîì p C 2π-ïå èîäè íà ïî E, ò.å. p C (t, q,e)=p C (t, q,e+2π). Ïîëîæèì ïîêà, òî ïà àìåò û q íå çàâèñßò îò n, è àññìîò èì êâàä àòû àññòîßíèé ρ 2 i = ρ 2 (p O i, pc i ) ìåæäó ïîëîæåíèßìè po i è p C i êàê ôóíêöèè n: ρ 2 i = ρ 2 i (n). Íåò óäíî
âèäåòü, òî ôóíêöèè ρ 2 i ïå èîäè íû ïî n ñ ñîîòâåòñòâó ùèìè ïå èîäàìè 2π/(t i t ). Â ñèëó òîãî, î åâèäíî, ñ åäíåêâàä àòè åñêàß âåëè èíà σ 2 = 1 N N i=1 ρ 2 i, (2) áóäåò èìåòü áåñêîíå íîå ìíîæåñòâî ìèíèìóìîâ âäîëü n. Ñëåäîâàòåëüíî, ìèíèìèçàöèß σ 2 ïî n áóäåò äàâàòü ìíîæåñòâî å åíèé, èç êîòî ûõ òîëüêîîäíî ñîîòâåòñòâóåò èñòèííîé àñòîòå n. Î áèòû áëèçêèõ ñïóòíèêîâ ìîãóò áûòü òàêæå ï åäñòàâëåíû â âèäå (1), ãäå, îäíàêî, íåêîòî ûå èç ïà àìåò îâ q (òàêèå êàê, íàï èìå, áîëü àß ïîëóîñü èëè ôîêàëüíûé ïà àìåò ) íåïîñ åäñòâåííî ñâßçàíû ñ àñòîòîé n. Ïî òîìó, âîîáùå ãîâî ß, ρ 2 i îêàçûâà- òñß íå ïå èîäè íûìè ïî n. Òåì íå ìåíåå ï è äîñòàòî íî áîëü èõ âåëè èíàõ t i t ôóíêöèè ρ 2 i â îê åñòíîñòè èñòèííîé àñòîòû n áóäóò î åíü áëèçêè ê àññìîò åííûì âû å ïå èîäè åñêèì ñîñòàâëß ùèì è, ñëåäîâàòåëüíî, ï îáëåìà ìíîæåñòâåííîñòè ìèíèìóìîâ äëß σ 2 çäåñü òàêæå áóäåò èìåòü ìåñòî. Õà àêòå íàß îñîáåííîñòü â ïîâåäåíèè σ 2 îòíîñèòåëüíî n, àñê ûâàåò ãåíåçèñ ï îáëåìû ìíîæåñòâåííîñòè å åíèé, êîòî àß åàëüíî ìîæåò âîçíèêàòü â îá àòíûõ çàäà- àõ äèíàìèêè áëèçêèõ ñïóòíèêîâ. Äåéñòâèòåëüíî, íà ï àêòèêå î áèòàëüíûå ïà àìåò- û ñïóòíèêà, êàê ï àâèëî, îï åäåëß òñß èç óñëîâèß äîñòèæåíèß ìèíèìóìà íåêîòî îé ôóíêöèè âèäà (2), êîòî àß âû àæàåò ñòåïåíü áëèçîñòè íàáë äàåìûõ è ìîäåëè óåìûõ ïîëîæåíèé îáúåêòà â ï îñò àíñòâå p. Ïî ê àéíåé ìå å, îäèí èç ïà àìåò îâ îáßçàòåëüíî ñâßçàí ñ àñòîòîé n, íî òî îáñòîßòåëüñòâî êàê àç è ñòàíîâèòñß ï è èíîé íåîäíîçíà íîãî îï åäåëåíèß ñïóòíèêîâîé î áèòû. Ðàññìîò èì ïîä îáíåå ï îáëåìó ìíîæåñòâåííîñòè å åíèé íà ï èìå å ê óãîâîé çàäà è, ãäå ëåãêî óäàåòñß ïîëó èòü äîâîëüíî ßñíûå è â òî æå â åìß ïîëåçíûå äëß ï àêòèêè åçóëüòàòû, ïîçâîëß ùèå, ê îìå òîãî, îöåíèòü âñ âàæíîñòü èññëåäóåìîé ï îáëåìû. 4 Ê óãîâàß çàäà à Â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ê óãîâó î áèòó ìîæíî ï åäñòàâèòü êàê x = ae ie, E = n(t t )+E, n = μ/a 3, (3) ãäå x μ ïîëîæåíèå òî êè; a μ àäèóñ î áèòû (áîëü àß ïîëóîñü); E μ áûñò àß ôàçà (àíîìàëèß); n μ àñòîòà îá àùåíèß (ñ åäíåå äâèæåíèå); t μ â åìß; E μ ôàçà íà íà àëüíûé ìîìåíò â åìåíè t, à μ μ ã àâèòàöèîííûé ïà àìåò. Ðàññìîò èì ñåìåéñòâî î áèò âèäà (3) è îöåíèì âåëè èíó àçíîñòè ïîëîæåíèé x è x íà î áèòàõ (a, E ) è (ā, Ē) ñîîòâåòñòâåííî. Ñîãëàñíî (3) àçíîñòü δx íåò óäíî ï åîá àçîâàòü ê âèäó δx = x(t, a, E ) x(t, ā, Ē) =āe ie [1 + α e i(λν+β) ], (4)
5.5 -.5-1 -.8 -.6 -.4 -.2.2.4.6.8 1 Ðèñóíîê 1 μ Ïîâåäåíèå ôóíêöèè f = α 2 +2(1+α)(1 cos ϕ) ï è λ =1 ãäå α =(a ā)/ā; β = E Ē; ν =(n n)/ n, à λ = n(t t ). Ïîëàãàß, òî α 1, ñ òî íîñòü äî ïå âîãî ïî ßäêà ìàëîñòè áóäåì èìåòü îöåíêó 2ν = 3α. Òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ (4) êâàä àò âåëè èíû δx áóäåò δx 2 =ā 2 [α 2 +2(1+α)(1 cos ϕ)], ϕ = 3 λα β. (5) 2 Îòñ äà âèäíî, òî ïîâåäåíèå δx 2 ï è ìàëûõ α, ãëàâíûì îá àçîì, áóäåò îï åäåëßòüñß ôóíêöèåé f = α 2 +2(1+α)(1 cos ϕ). (6) Íà èñ. 1 ïîêàçàíî ïîâåäåíèå ôóíêöèè f â çàâèñèìîñòè îò α è β ï è λ =1. Êàê âèäíî, åëüåô ïîâå õíîñòè, çàäàâàåìûé f, èìååò îâ àæíó ñò óêòó ó. Ï è òîì ñëåäóåò çàìåòèòü, òî óâåëè åíèå λ ï èâîäèò ê ïîâû åíè ñòåïåíè îâ àæíîñòè f. Òåïå ü ïîëîæèì, òî å åíèå x ï åäñòàâëßåò íàáë äàåìûå ïîëîæåíèß íåáåñíîãî îáúåêòà íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè â íåêîòî ûå ìîìåíòû t i, è ïîñòàâèì ïå åä ñîáîé çàäà ó îòûñêàòü òàêèå çíà åíèß ïà àìåò îâ α è β, êîòî ûå áû äîñòàâëßëè ìèíèìóì öåëåâîé ôóíêöèè σ 2 = 1 N N i=1 δx 2 i, (7) ãäå N μ èñëî íàáë äåíèé. Áóäåì àññìàò èâàòü òàêèå íàáë äåíèß, äëß êîòî ûõ â åìåíí àß óäàëåííîñòü îò íà àëüíîé ïîõè λ. Òîãäà ïîâåäåíèå σ 2 â çàâèñèìîñòè îò α è β áóäåò îï åäåëßòüñß, ãëàâíûì îá àçîì, ò èãîíîìåò è åñêèìè ñîñòàâëß ùèìè. Ïî òîìó ôàêòè åñêè íàñ äîëæíà èíòå åñîâàòü ôóíêöèß âèäà f cos =1 1 N N i=1 cos ϕ i, ϕ i = 3 2 λ iα β. (8) Ñëåäóåò çàìåòèòü, òî ï è äîñòàòî íî áîëü èõ λ i, îòëè à ùèõñß ä óã îò ä óãà íà âåëè èíû ìåíü å ïî ßäêà α 1, ôóíêöèß áóäåò âåñòè ñåáß ïî òè êàê îäíà ò èãîíîìåò- è åñêàß ñîñòàâëß ùàß: f cos 1 cos ϕ,
ãäå â êà åñòâå λ âûáè àåòñß îäíî èç çíà åíèé λ i. Ñëåäîâàòåëüíî, âñå íàáë äåíèß ñ òàêèìè λ i ìîæíî îáúåäèíèòü â ã óïïó è àññìàò èâàòü êàê îäíî íàáë äåíèå. Åñëè òàêèõ ã óïï íåñêîëüêî, òî ïîâåäåíèå ôóíêöèè ìîæíî ï åäñòàâèòü êàê f cos F 1 M k j cos (ω j α β), j=1 6 k j = N j N, ω j = 3 2 λ j, (9) ãäå M μ èñëî ã óïï; k j μ âåñ j-ã óïïû, îï åäåëßåìûé èñëîì íàáë äåíèé â ã óïïå N j, à λ j μîäíî èç çíà åíèé λj-ã óïïû. Ï è òîì áóäåì ïîëàãàòü, òî λ 1 λ 2... λ M. Èñïîëüçóß èçâåñòíûå ò èãîíîìåò è åñêèå òîæäåñòâà, F ìîæíî ïå åïèñàòü êàê F =1 A cos (β + ψ), ãäå A = c 2 + s 2, ψ = arctg(s/c), (1) c = M k j cos (ω j α), s = j=1 M k j sin (ω j α). Îòñ äà F 2π-ïå èîäè íà ïî β è ï è ôèêñè îâàííîì α èìååò åäèíñòâåííûé ìèíèìóì íà ïîëóèíòå âàëå (β π, β + π] äëß ë áûõ β (, + ). Ñëåäîâàòåëüíî, îáëàñòü èññëåäîâàíèß F ïî β ìîæíî îã àíè èòü äî ë áîãî ïîëóèíòå âàëà äëèíîé â 2π. Ââåäåì õà àêòå èñòèêó Φ(α) = min F (α, β), (11) β ( π,+π] êîòî àß ï èìå àòåëüíà òåì, òî íå çàâèñèò îò âûáî à íà àëüíîé ïîõè. Äåéñòâèòåëüíî, èçìåíåíèå íà àëüíîé ïîõè t t +Δt ñîãëàñíî (9) ï èâîäèò ê ï åîá àçîâàíè ñäâèãà âäîëü β: F (α, β) t +Δt = F (α, β +Δβ) t, ãäå Δβ αδt. Òîãäà ââèäó óêàçàííûõ âû å ñâîéñòâ F min F (α, β) t +Δt = min F (α, β +Δβ) t =Φ(α). β ( π,+π] β ( π,+π] Çàìåòèì, òî õà àêòå èñòèêà Φ(α) ßâëßåòñß îäíîçíà íîé ôóíêöèåé α, ïî òîìó ìèíèìóìû Φ(α) ïî α áóäóò îäíîçíà íî ñîîòâåòñòâîâàòü ìèíèìóìàì F (α, β) ïî α è β ( π, +π]. Èç (1) ëåãêî ïîëó èòü ôî ìóëó äëß Φ: j=1 Φ(α) =1 A(α). (12) Íåò óäíî òàêæå âèäåòü, òî êî ôôèöèåíòû c è s ìîæíî ï åäñòàâèòü êàê: c = 1 N N cos (ω i α), i=1 s = 1 N N sin (ω i α). Íåîáõîäèìî òàêæå îá àòèòü îñîáîå âíèìàíèå íà òî, òî åëüåô ïîâå õíîñòè, çàäàâàåìîé ôóíêöèåé F (α, β), â îê åñòíîñòßõ ìèíèìóìîâ èìååò ñèëüíî îâ àæíó ñò óêòó ó. Ýòî, ãëàâíûì îá àçîì, îáóñëîâëåíî áîëü èìè èñëàìè ω j. Äåéñòâèòåëüíî, ñ òî íîñòü i=1
äî ìàëûõ âòî îãî ïî ßäêà ïîâåäåíèå F (α, β) â îê åñòíîñòè ò èâèàëüíîãî ìèíèìóìà α = β = ìîæåò áûòü ï åäñòàâëåíî ôóíêöèåé ãäå κ 11 = Q(α, β) = 1 2 (κ 11α 2 +2κ 12 αβ + κ 22 β 2 ), (13) M k j ωj 2, j=1 κ 12 = M j=1 k j ω j, κ 22 =1. (14) Ó àâíåíèå Q(α, β) =const îïèñûâàåò íåêîòî ûé ëëèïñ â ïëîñêîñòè (α, β) ñ öåíò îì â ò èâèàëüíîì ìèíèìóìå. Èç àíàëèòè åñêîé ãåîìåò èè èçâåñòíî, òî êâàä àò îòíî åíèß C áîëü îé ïîëóîñè ëëèïñà ê ìàëîé ï åäñòàâèì â âèäå C 2 = κ 11 + κ + κ 22 κ 11 κ + κ 22, ãäå κ = 4κ 2 12 +(κ 11 κ 22 ) 2. Îòñ äà, ó èòûâàß (14), ï è äîñòàòî íî áîëü èõ ω j áóäåì èìåòü C 2 κ 11. (15) Âï î åì, ñòåïåíü îâ àæíîñòè ìîæíî ñëåãêà óìåíü èòü ïóòåì âûáî à íà àëüíîé ïîõè t. Ñîãëàñíî ï èáëèæåííîé îöåíêå (15) îòíî åíèå C 2 áóäåò áëèçêî ê ìèíèìàëüíîìó ï è t = M k j t j, j=1 ãäå t j μîäèí èç â åìåíí ûõ ìîìåíòîâ íàáë äåíèé j-ã óïïû. Ôàêòè åñêè òî îçíà àåò, òî äëß óìåíü åíèß îâ àæíîñòè F (α, β) âêà åñòâå íà àëüíîé ïîõè ñëåäóåò âûáè àòü ñ åäíåå à èôìåòè åñêîå âñåõ ìîìåíòîâ íàáë äåíèé. Èç èçâåñòíûõ íàì èñòî íèêîâ îá òîì âïå âûå óïîìèíàåòñß â ( å íèöîâ, 1975). Êñòàòè, òàêîé âûáî íà àëüíîé ïîõè ï èâîäèò êâàä àòè åñêó ôî ìó (13) ê êàíîíè åñêîìó âèäó,ïîñêîëüêó κ 12 îá àùàåòñß âíóëü. Äëß èññëåäîâàíèß ôóíêöèè F óäîáíåå àññìàò èâàòü åå â âèäå F =1 M j=1 k j cos((l j l )ζ β), (16) ζ = 3 2 α(λ M λ 1 ), l j = λ j λ 1 λ M λ 1 (j =,...,M), λ =. Çäåñü âåëè èíû l è l j [, 1] (j =1,...,M) ï åäñòàâëß ò â åìåíí îå àñï åäåëåíèå ñîîòâåòñòâåííî íà àëüíîé ïîõè è ã óïï íàáë äåíèé îòíîñèòåëüíî ïå âîé ã óïïû. Ðàññìîò èì ñëó àé äâóõ ã óïï íàáë äåíèé (M =2) îäèíàêîâîãî âåñà (k =1/2). Ýòîò ñëó àé ñîîòâåòñòâóåò àñï åäåëåíè èìå ùèõñß íà äàííûé ìîìåíò íàçåìíûõ íàáë äåíèé áëèçêîãî ñïóòíèêà ïèòå à Àä àñòåè (J15). Íà èñ. 2 ï åäñòàâëåíî ïîâåäåíèå ôóíêöèè F (ζ,β) (16) ï è àçëè íûõ l [, 1/2]. Èç èñóíêà âèäíî, òî èçìåíåíèå ïà àìåò à l, ò.å. èçìåíåíèå íà àëüíîé ïîõè, ï èâîäèò ê ñäâèãó åëüåôà ïîâå õíîñòè F (ζ,β) âäîëü β. Ï è òîì ìåíßåòñß è ñòåïåíü 7
8.5 -.5-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5.5 -.5-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5.5 -.5-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5.5 -.5-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5 Ðèñóíîê 2 μ Ïîâåäåíèå F (ζ,β) äëß äâóõ ã óïï íàáë äåíèé îäèíàêîâîãî âåñà è àçëè íûõ l :.,.2,.4 è.5 (ñâå õó âíèç ñîîòâåòñòâåííî) (ñïóòíèê Àä àñòåß)
9 1.5-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5 Ðèñóíîê 3 μ Ïîâåäåíèå Φ(ζ) äëß äâóõ ã óïï íàáë äåíèé îäèíàêîâîãî âåñà (ñïóòíèê Àä àñòåß) îâ àæíîñòè åëüåôà: òàê, îâ àãè ï è l =(íà àëüíàß ïîõà âáëèçè ìîìåíòîâ ïå âîé ã óïïû íàáë äåíèé) çàìåòíî áîëåå âûòßíóòûå, íåæåëè ï è l =1/2 (íà àëüíàß ïîõà íàõîäèòñß â öåíò å àññìàò èâàåìîãî â åìåíí îãî èíòå âàëà). Ýòè åçóëüòàòû ïîäòâå æäà ò íà è âûâîäû, ñäåëàííûå âû å, î ïîâåäåíèè ôóíêöèè F. Âòîæå â åìß õà àêòå èñòèêà Φ îñòàåòñß íåèçìåííîé äëß ë áûõ l ( èñ. 3). Â îáùåì ñëó àå, ï è àçëè íûõ k 1 = k è k 2 =1 k, ãäå k (, 1), õà àêòå èñòèêà Φ ñîãëàñíî (1) è (12) ï åäñòàâèìà êàê Φ=1 1 2k(1 k)(1 cos ζ). Èç íàëè èß ò èãîíîìåò è åñêîé ñîñòàâëß ùåé â õà àêòå èñòèêå Φ ñëåäóåò, òî äëß ë áûõ äâóõ ã óïï íàáë äåíèé ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî àâíîçíà íûõ ìèíèìóìîâ F, êîòî ûå ñîîòâåòñòâó ò çíà åíèßì ζ =2πm èëè 4πm α = 3(λ M λ 1 ) = 2 m 3 R, (17) ãäå m μ öåëûå èñëà, à R μ èñëî îáî îòîâ îáúåêòà çà λ M λ 1. Ñëó àé ò åõ ã óïï íàáë äåíèé (äàæå àâíîâåñíûõ) ãî àçäî áîëåå ñëîæåí äëß èññëåäîâàíèß. Ïî òîìó àññìîò èì òîëüêî àñòíûé ñëó àé, ñîîòâåòñòâó ùèé àñï åäåëåíè íàçåìíûõ íàáë äåíèé ñïóòíèêà Ìåòèäû (J16): k 1 =.28, k 2 =.16, k 3 =.56, l 1 =, l 2 =.92, l 3 =1. Õà àêòå èñòèêà Φ ( èñ. 4) òàêæå êàê è â ñëó àå äâóõ ã óïï íàáë äåíèé èìååò ìíîæåñòâî ìèíèìóìîâ. Ï àâäà, îòëè èòåëüíîé îñîáåííîñòü õà àêòå èñòèêè äëß ò åõ ã óïï ßâëßåòñß òî, òî òè ìèíèìóìû íå àâíîçíà íû, è íà àññìàò èâàåìîì èíòå âàëå èçìåíåíèß ζ ßâíî âûäåëßåòñß àáñîë òíûé ìèíèìóì, êîòî ûé ñîîòâåòñòâóåò èñòèííîìó å åíè. Âï î åì, åñëè àñï åäåëåíèå ã óïï íàáë äåíèé òàêîâî, òî âåëè èíû l j óäîâëåòâî- ß ò åçîíàíñíîìó ñîîòíî åíè òèïà M j=2 m j l j =, (18)
1 1.5-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5 Ðèñóíîê 4 μ Ïîâåäåíèå Φ(ζ) äëß ò åõ ã óïï íàáë äåíèé (ñïóòíèê Ìåòèäà) 1.5-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5 Ðèñóíîê 5 μ Ïîâåäåíèå Φ(ζ) äëß ò åõ ã óïï íàáë äåíèé ñ åçîíàíñíûì àñï åäåëåíèåì: l 1 =, l 2 =2/3, l 3 =1 ãäå m j μ öåëûå èñëà, òî ìîæåò ñóùåñòâîâàòü ìíîæåñòâî àáñîë òíûõ ìèíèìóìîâ F. Ï è åì ïëîòíîñòü àñï åäåëåíèß òàêèõ ìèíèìóìîâ âäîëü ζ áóäåò òåì âû å, åì íèæåáóäåò ïî ßäîê åçîíàíñà èëè åì ìåíü å áóäóò âåëè èíû m j. Ï èìå åçîíàíñíîãî àñï åäåëåíèß ã óïï íàáë äåíèé äëß M =3ï åäñòàâëåí íà èñ. 5, ãäå èñïîëüçîâàíû òå æå âåñà, òî è äëß íàáë äåíèé Ìåòèäû. Çäåñü èìååò ìåñòî åçîíàíñ l 2 /l 3 =2/3, êîòî ûé ï èâîäèò ê ìíîæåñòâó àâíîìå íî àñï åäåëåííûõ âäîëü ζ àáñîë òíûõ ìèíèìóìîâ ñ èíòå âàëîì 6π. Î åâèäíî, âñëåäñòâèå ïîâû åíèß ïî ßäêà åçîíàíñà (18) óâåëè åíèå èñëà àç îçíåííûõ ã óïï M áóäåò óìåíü àòü ïëîòíîñòü àáñîë òíûõ ìèíèìóìîâ. Èíòå åñåí òàêæå ñëó àé ìíîãî èñëåííûõ àâíîìå íî àñï åäåëåííûõ è àâíîâåñíûõ ã óïï. Íåò óäíî ïîêàçàòü, òî ï è äîñòàòî íî áîëü îì M F F F M =1 1 ζ [sin((1 l )ζ β) sin( l ζ β)]. Òîãäà Φ Φ Φ M =1 2 ζ sin ζ 2.
11 1.5-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5 Ðèñóíîê 6 μ Ïîâåäåíèå Φ (ζ) Ïîâåäåíèå Φ ï åäñòàâëåíî íà èñ. 6, îòêóäà âèäíî, òî äàæå ï è ïëîòíîì àñï åäåëåíèè ã óïï íàáë äåíèé ôóíêöèß F òàêæå áóäåò èìåòü ìíîæåñòâî ìèíèìóìîâ, ñ åäè êîòî ûõ ßâíî âûäåëßåòñß åäèíñòâåííûé àáñîë òíûé ìèíèìóì. Èç èñ. 6 ìîæíî èçâëå ü íåñêîëüêî èíó, íî òàêæå âåñüìà ïîëåçíó äëß ï àêòèêè èíôî ìàöè î ïîâåäåíèè öåëåâîé ôóíêöèè. Äîïóñòèì, äëß ìèíèìèçàöèè öåëåâîé ôóíêöèè σ 2 èñïîëüçóåòñß êàêîé-ëèáî èñëåííûé (èòå àöèîííûé) ìåòîä òèïà Ãàóññà Íü òîíà. Òîãäà ã àôèê íà èñóíêå ôàêòè åñêè äàåò ï åäåëüíûå îöåíêè ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûõ çíà åíèé ζ,ï èêîòî ûõ èòå àöèîííûé ìåòîä åùå ìîæåò èìåòü ñõîäèìîñòü ê ò èâèàëüíîìó ìèíèìóìó. Åñëè íà àëüíîå ï èáëèæåíèå î áèòàëüíûõ ïà àìåò îâ òàêîâî, òî ζ > 2π èëè, èíà å ãîâî ß, î èáêà â áîëü îé ïîëóîñè íàñòîëüêî áîëü àß, òî α > 2 1 3 R, òî, ñêî åå âñåãî, ìåòîä íå áóäåò ñõîäßùèìñß äàæå ï è ïëîòíîì â åìåíí îì àñï åäåëåíèè ìîìåíòîâ íàáë äåíèé. Î åâèäíî, èíòå âàë ñõîäèìîñòè (ïî α) ê ò èâèàëüíîìó ìèíèìóìó áóäåò òîëüêî óêî à èâàòüñß ï è ï î åæèâàíèè íàáë äàòåëüíûõ äàííûõ (ñì., íàï èìå, èñ. 3 5). Ìû âèäèì â òîì âîçìîæíó ï è èíó íåóäà è Ñàäáå è (Sudbury, 1969) â ïîïûòêå ïîëó èòü åäèíó ñèñòåìó ëåìåíòîâ Àìàëüòåè ïî äâóì ã óïïàì íàáë äåíèé, àçúåäèíåííûõ ïî òè 3-ëåòíèì â åìåíí ûì èíòå âàëîì. Ïî-âèäèìîìó, ïå âîíà àëüíûå îöåíêè ïà àìåò îâ áûëè íàñòîëüêî ã óáûìè, òî îíè ï îñòî íå ïîïàëè â îáëàñòü ñõîäèìîñòè ìèíèìèçè ó ùåãî ìåòîäà. Íåñìîò ß íà òî, òî ï è λ j öåëåâàß ôóíêöèß σ 2 (7) äîñòàòî íî õî î î ï åäñòàâëßåòñß åå ò èãîíîìåò è åñêîé ñîñòàâëß ùåé f cos (8), ïå âàß â îòëè èè îò ïîñëåäíåé âñåãäà áóäåò èìåòü òîëüêî îäèí àáñîë òíûé ìèíèìóì â α = β =, ñîîòâåòñòâó ùèé èñòèííîìó å åíè x, ãäå öåëåâàß ôóíêöèß îá àùàåòñß â íóëü. Ýòî ñâßçàíî ñ íàëè èåì â σ 2 êâàä àòè íîãî ëåíà α 2. Â ä óãèõ ìèíèìóìàõ öåëåâàß ôóíêöèß ï èíèìàåò ñàìûå àçíîîá àçíûå (íåíóëåâûå) çíà åíèß. Ïî òîìó â íà åì ñëó àå çà ê èòå èé èñòèííîñòè èñêîìîãî å åíèß x (ïî íàáë äåíèßì x)ìîæíî ï èíßòü óñëîâèå íàèìåíü åãî çíà åíèß σ 2 íà ìíîæåñòâå âñåõ ìèíèìóìîâ.
Îäíàêî, çàìåòèì, òî äëß îêîëî åçîíàíñíûõ àñï åäåëåíèé l j ìîãóò èìåòü ìåñòî òàêèå ìèíèìóìû, ï è êîòî ûõ çíà åíèß ôóíêöèè σ 2 áóäóò ïî òè íóëåâûìè. Ï è åì ïëîòíîñòü èõ ïîßâëåíèß òåì âû å, åì íèæå ïî ßäîê èõ ñîèçìå èìîñòè. Íàçîâåì òè ìèíèìóìû ïñåâäîò èâèàëüíûìè. Ê îìå òîãî, ñëåäóåò èìåòü â âèäó, òî åñëè çàôèêñè îâàòü a èâêà åñòâå îöåíèâàåìûõ ïà àìåò îâ àññìàò èâàòü n (íåçàâèñèìî îò a)èe, òî ôóíêöèß σ 2 áóäåò ïîäîáíà f cos ñî âñåìè åå îñîáåííîñòßìè, íî óæå îòíîñèòåëüíî ν (4) è β. Äî ñèõ ïî ìû ïîëàãàëè, òî íàáë äåíèß, ï åäñòàâëåííûå å åíèåì x, ßâëß òñß òî íûìè, îäíàêî ï è íàëè èè (ñëó àéíûõ) î èáîê δ x ôóíêöèß σ 2, âîîáùå ãîâî ß, íå áóäåò ï èíèìàòü íóëåâûå çíà åíèß è, ê îìå òîãî, íàèáîëåå ï àâäîïîäîáíîå å åíèå â îê åñòíîñòè α = β = ìîæåò íå äîñòàâëßòü àáñîë òíûé ìèíèìóì: âñëåäñòâèå î èáîê ñòàòóñ àáñîë òíîãî ìîæåò ïå åéòè ê îäíîìó èç ïñåâäîò èâèàëüíûõ ìèíèìóìîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, â òîì ñëó àå óñëîâèå íàèìåíü åãî çíà åíèß σ 2 íåëüçß ï èíèìàòü â êà åñòâå ê èòå èß ìàêñèìàëüíîãî ï àâäîïîäîáèß. Âåñüìà èíòå åñåí ñëó àé íàëè èß â àíîìàëèè E âåêîâûõ î èáîê λ = n (t t ), êîòî ûå ï îßâëß òñß íà ï àêòèêå â åçóëüòàòå íåìîäåëè óåìûõ ôôåêòîâ, â àñòíîñòè, âñëåäñòâèå èãíî è îâàíèß, ëèáî óï îùåíèß íåêîòî ûõ ìîäåëåé ñèë. Íåò óäíî ïîêàçàòü, òî âëèßíèå âåêîâûõ î èáîê λ ï èâîäèò ê ñäâèãó ôóíêöèè f cos (8) âäîëü α, òîãäà êàê ñîîòâåòñòâó ùèå çíà åíèß ìèíèìóìîâ ôóíêöèè ñîõ àíß òñß. Ï è òîì ïà àìåò ϕ ï åîá àçóåòñß ê âèäó ϕ = λ ( ) 3 2 α n β. n Îòñ äà, íàï èìå, ñëåäóåò, òî äàæå åñëè óï îùåííàß (ã óáàß) è óñëîæíåííàß (áîëåå òî íàß) ìîäåëè äà ò îäíè è òå æå çíà åíèß ìèíèìóìîâ öåëåâîé ôóíêöèè σ 2, òî åùå íå ìîæåò ßâëßòüñß îñíîâàíèåì â ïîëüçó âûáî à ïå âîé, òàê êàê îï åäåëßåìûå ï è ìèíèìèçàöèè σ 2 çíà åíèß α áóäóò ï èíöèïèàëüíî àçíûìè. Íàêîíåö, çàìåòèì, òî ìíîæåñòâî ìèíèìóìîâ σ 2 èìååò ìåñòî òîëüêî äëß M>1. Â ñëó àå îäíîé ã óïïû äîñòàòî íî áëèçêèõ íàáë äåíèé min σ 2 = α 2. β ( π,+π] Îòñ äà âèäíî, òî öåëåâàß ôóíêöèß äëß M =1äîëæíà èìåòü åäèíñòâåííûé ìèíèìóì â α = β =. Èòàê, öåëåâàß ôóíêöèß σ 2 (7) (äëß M>1) èìååò ìíîæåñòâî ìèíèìóìîâ. Ïî òîìó ï è èñïîëüçîâàíèè èñëåííûõ (èòå àöèîííûõ) ìåòîäîâ äëß ìèíèìèçàöèè σ 2 ïî a è E (3) ïîëó àåìîå å åíèå áóäåò íåïîñ åäñòâåííî çàâèñåòü îò âûáè àåìîãî íà àëüíîãî ï èáëèæåíèß. Ï è òîì èç âñåõ ìèíèìóìîâ íå âñåãäà óçíàâàåì òîò, òî ñîîòâåòñòâóåò èñòèííîìó å åíè x. Â îñîáåííîñòè, òî ìîæåò èìåòü ìåñòî, êîãäà λ j. 12
13 Ìåòîä Ãàóññà Íü òîíà Ïóñòü èìååì N íàáë äåííûõ ïîëîæåíèé p O i â L-ìå íîì ï îñò àíñòâå íà ìîìåíòû â åìåíè t i (i =1,...,N). Ò åáóåòñß ïî íàáë äåíèßì p O i îï åäåëèòü K î áèòàëüíûõ ïà àìåò îâ q. Îáû íî îï åäåëåíèå q ñâîäèòñß ê ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà S(q) = 1 2 N ρ 2 (p O i, pc i i=1 ), (19) ãäå ρ μ ìåò èêà â ï îñò àíñòâå p, à p C i = p C (t i, q) μ èñëåííîå ï åäñòàâëåíèå íàáë äåíèé p O i ïî q íà îñíîâå ìîäåëè îâàíèß î áèòàëüíîãî äâèæåíèß. Çàäàäèì ìåò èêó êàê ρ(p 1, p 2 )= (p 11 p 12 ) 2 +...+(p L1 p L2 ) 2, ãäå p 11,...,p L1 è p 12,...,p L2 μêîìïîíåíòû âåêòî îâ p 1 è p 2 ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà (19) ìîæíî ïå åïèñàòü â âèäå S(q) = 1 2 L i=1 N j=1 (p O ij pc ij )2. (2) Ìèíèìóì ôóíêöèîíàëà (2) íàõîäèòñß èç íåîáõîäèìîãî óñëîâèß êñò åìóìà ïî q = (q 1,...,q K ): L S q = i=1 N (p O ij pc ij ) pc ij q j=1 =, (21) òîáû å èòü ñèñòåìó ó àâíåíèé (21) îòíîñèòåëüíî ïà àìåò îâ q, ï èáåãà ò ê èòå àöèîííûì ìåòîäàì. Ñîãëàñíî èòå àöèîííîé ñõåìå Íü òîíà ïîï àâêà ê òåêóùåìó ï èáëèæåíè q îï åäåëßåòñß êàê ãäå 2 S/ q 2 μ ìàò èöà Ãåññå: 2 S q 2 = L i=1 ( 2 S Δq = q 2 N j=1 [ p C ij q ) 1 S q, (22) p C ij q (po ij p C ij) 2 p C ij q 2 ]. (23) Â ñõåìå (22) íà àëüíîå ï èáëèæåíèå q îáû íî áå åòñß èç ï åäâà èòåëüíîãî îï åäåëåíèß î áèòû ïî íåñêîëüêèì íàáë äåíèßì â àìêàõ çàäà è äâóõ òåë. Ââèäó ï îáëåìàòè íîãî âû èñëåíèß âòî ûõ ï îèçâîäíûõ â (23) íà ï àêòèêå èõ îïóñêà ò è, òàêèì îá àçîì, èñïîëüçó ò óï îùåííó ñõåìó òàê íàçûâàåìîãî ìåòîäà Ãàóññà Íü òîíà, êîòî ûé îòíîñèòñß ê è îêîìó êëàññó êâàçèíü òîíîâñêèõ ìåòîäîâ.
14 Ââåäåì ìàò èöû A LN K = p C 11 q 1.... p C L1... q 1... p C 12 q 1....... p C LN q 1... p C 11 q K. p C L1 q K p C 12 q K. p C LN q K è B LN 1 = p O 11 pc 11. p O L1 pc L1 p O 12 p C 12. p O LN pc LN. (24) Òîãäà ïîï àâêó (22) ìîæíî ïå åïèñàòü êàê Δq = Q 1 G, (25) ãäå Q = A T A μ íî ìàëüíàß ìàò èöà, êîòî àß â ìèíèìóìå S(q) ï è äîñòàòî íî ìàëûõ íåâßçêàõ B áëèçêà ê ìàò èöå Ãåññå, à G = A T B μ ã àäèåíò ôóíêöèè S ïî q. Íà ï àêòèêå àñòî íàáë äà òñß äâå óãëîâûå êîî äèíàòû îáúåêòà: ï ßìîå âîñõîæäåíèå p O 1 è ñêëîíåíèå p O 2. Â òîì ñëó àå àññòîßíèß ìåæäó íàáë äåííûìè è âû èñëåííûìè ïîëîæåíèßìè íà íåáåñíîé ñôå å âû èñëß òñß ïî ôî ìóëå: ρ(p O i, p C i )= (p O 1i pc 1i )2 cos 2 p O 2i +(po 2i pc 2i )2, òîãäà êàê â êà åñòâå ôóíêöèîíàëà (2) àññìàò èâà ò S(q) = 1 2 N i=1 [(p O 1i pc 1i )2 cos 2 p O 2i +(po 2i pc 2i )2 ]. (26) Çàäà à äâóõ òåë òîáû äåòàëüíî èññëåäîâàòü âîçìîæíîñòè ìåòîäà Ãàóññà Íü òîíà, ìû ñíà àëà ï èìåíèëè åãî ê ï îñòîé ìîäåëè, îñíîâàííîé íà ôî ìóëàõ çàäà è äâóõ òåë. Ìîäåëü ï åäñòàâëßëà äâèæåíèå ñïóòíèêà Àä àñòåè â ï îñò àíñòâå óãëîâûõ êîî äèíàò. Â êà åñòâå î áèòàëüíûõ ïà àìåò îâ áûëè âçßòû êîìïîíåíòû íà àëüíîãî âåêòî à äèíàìè åñêîãî ñîñòîßíèß q =(x, ẋ ), ï åäâà èòåëüíî ïîëó åííûå èç íàáë äåíèé ìåòîäîì Ëàïëàñà (Escobal, 1965). Ï è òîì ïà àìåò û q ñîîòâåòñòâîâàëè ïî òè ê óãîâîé î áèòå ñ áîëü îé ïîëóîñü ā =8.68 1 4 à.å. è êñöåíò èñèòåòîì ē =.161. Íà îñíîâå âåêòî à q ìû ìîäåëè îâàëè (òî íûå) íàáë äàåìûå ïîëîæåíèß p O =(p O 1,p O 2 ) (óãëîâûå êîî äèíàòû ñïóòíèêà) â ìîìåíòû åàëüíûõ íàáë äåíèé (N =9), àññ åäîòî åííûõ íà êîíöàõ èíòå âàëà â åìåíè 12 ëåò êàê äâå ïî òè àâíîâåñíûå ã óïïû. Íà àëüíàß ïîõà t áûëà âçßòà â ñå åäèíå â åìåííîãî èíòå âàëà. Âà üè óß ëåìåíòû a è e è ïîëó àß àçëè íûå íà àëüíûå ï èáëèæåíèß q, ìû îï åäåëßëè î áèòàëüíûå ïà àìåò û q ïî p O â ñîîòâåòñòâèè ñî ñõåìîé (25) ï èìåíèòåëüíî
15.2 e.16.12.8.4 4 3.5'' 5 3.3'' 2 3.1'' 2 2.9'' 5 2.6'' 7 2.4'' 6 2.2'' 16 2'' 18 1.8'' 21 1.6'' 44 1.3'' 56 1.1'' 88.9'' 125.67'' 2192.45'' 2329.23'' 169 '' 492 929.23''.46'' (,e) -.4.4.8.12.16.2 1 3.9'' Ðèñóíîê 7 μ Ìíîæåñòâî å åíèé â ïëîñêîñòè (α, e) ê (26). Òàêèì îá àçîì, âûïîëíèâ ìíîãî èñëåííûé ßä êñïå èìåíòîâ, ìû îáíà óæèëè, òî èòå àöèîííûé ï îöåññ ñõîäèòñß äàëåêî íå ï è âñåõ q, à åñëè è ñõîäèòñß, òî íå âñåãäà ê èñòèííîìó å åíè. Ï è åì îáëàñòü ñõîäèìîñòè ê îæèäàåìûì ëåìåíòàì ā è ē îêàçûâàåòñß äîâîëüíî ìàëîé. Ïî-âèäèìîìó, ï è èíà àñõîäèìîñòè èòå àöèîííîãî ï îöåññà (äàæå ï è õî î èõ íà àëüíûõ ï èáëèæåíèßõ q, îáåñïå èâà ùèõ ìàëûå çíà åíèß öåëåâîé ôóíêöèè), ãëàâíûì îá àçîì, ñâßçàíà çäåñü ñ ñèëüíîé îâ àæíîñòü è ñëîæíîé ñò óêòó îé ãèïå ïîâå õíîñòè, çàäàâàåìîé S(q). Âï î åì, ñõîäèìîñòü ï àêòè åñêè âñåãäà ìîæåò áûòü äîñòèãíóòà ïóòåì óìåíü åíèß âåëè èíû ïîï àâêè (25), ò.å. ïî ñõåìå Δq = hq 1 G, ãäå h<1. (27) Íà èñ. 7 ïîêàçàíû åçóëüòàòû, ïîëó åííûå ï è h =.1. Çäåñü α μ îòíîñèòåëüíîå îòêëîíåíèå áîëü îé ïîëóîñè a îò èñòèííîãî çíà åíèß ā, ò.å. a =ā(1 + α). Òî êàìè îáîçíà åíû å åíèß, ê êîòî ûì ñõîäèëñß èòå àöèîííûé ï îöåññ ï è àçëè íûõ íà àëüíûõ âà èàöèßõ α è e (âíóò è ï ßìîóãîëüíèêà ñ ïóíêòè íîé ã àíèöåé). èñëà ñëåâà îò òî åê îçíà à ò, ñêîëüêî àç èòå àöèîííûé ï îöåññ ñõîäèëñß ê ñîîòâåòñòâó ùåìó å åíè, òîãäà êàê èñëà ñï àâà ï åäñòàâëß ò ñ åäíåêâàä àòè åñêó î èáêó σ = S/N, ïîëó àåìó â òîì å åíèè. Ï è òîì àññìàò èâàëîñü 2 íà àëüíûõ ï èáëèæåíèé, èç êîòî ûõ ñî ëîñü òîëüêî.4%, à èç íèõ, â ñâî î å åäü, á îëü àß àñòü ê å åíèßì âíóò è îáëàñòè âà üè îâàíèß ëåìåíòîâ. Èòàê, â àññìàò èâàåìîé çàäà å òàêæå èìååò ìåñòî ìíîæåñòâî å åíèé, ñ åäè êîòî- ûõ, îäíàêî, äîñòàâëßåò àáñîë òíûé ìèíèìóì òîëüêî ñîîòâåòñòâó ùåå èñõîäíûì î áè-
òàëüíûì ëåìåíòàì ā è ē. Ñëåäóåò çàìåòèòü, òî ïî òè âñå ìèíèìóìû âäîëü α àñï åäåëåíû àâíîìå íî ñ àãîì Δα 9.23 1 5. Íåò óäíî ï îâå èòü, òî òî àñï åäåëåíèå õî î î ñîãëàñóåòñß ñ îöåíêîé (17) ï è åòíûõ m. Ï è èíà îòñóòñòâèß ìèíèìóìîâ äëß íå åòíûõ m ñîñòîèò â îñîáîì âûáî å íà àëüíîé ïîõè. Âå íåìñß ê èñ. 2. Åãî íèæíèé ã àôèê ïîêàçûâàåò, òî â ê óãîâîé çàäà å ï è íà àëüíîé ïîõå, íàõîäßùåéñß â ñå åäèíå â åìåííîãî èíòå âàëà (êàê â íà åì ñëó àå), å åíèß, äîñòàâëß ùèå ìèíèìóì öåëåâîé ôóíêöèè, äîëæíû ëåæàòü íà î áèòå â ïî òè äèàìåò àëüíî ï îòèâîïîëîæíûõ òî êàõ. Âà üè óß òîëüêî áîëü ó ïîëóîñü è êñöåíò èñèòåò, ìû ôàêòè åñêè èñêë èëè òå íà àëüíûå ï èáëèæåíèß, êîòî ûå ìîãëè áû äàòü ìèíèìóìû â ï îòèâîïîëîæíîé àñòè î áèòû, ñîîòâåòñòâó ùèå íå åòíûì m âîöåíêå (17). Â òî æå â åìß âå õíèé ã àôèê íà èñ. 2 ïîêàçûâàåò, òî âûáî ïîõè âíóò è îäíîé èç ã óïï ëîêàëèçóåò ìèíèìóìû, òî åñòåñòâåííî óäîáíî äëß èõ ïîèñêà. Äàëåå, ïîñêîëüêó ìû ï åäïîëàãàåì, òî ìîäåëè óåìûå íàáë äåíèß áåçî èáî íû, â àáñîë òíîì ìèíèìóìå σ =. Â ñîñåäíèõ ìèíèìóìàõ σ =.23. Ïî òîìó ï è íàëè èè â íàáë äåíèßõ ñëó àéíûõ î èáîê ñ äèñïå ñèåé ïî ßäêà òîé ñ åäíåêâàä àòè åñêîé âåëè èíû, ìèíèìóì σ äëß èñòèííîé î áèòû ìîæåò áûòü ñ àâíèì ñ ñîñåäíèìè àíàëîãàìè, ï è åì íàñòîëüêî, òî ñ åäè íèõ îí íå áóäåò óçíàâàåì êàê ñîîòâåòñòâó ùèé èñòèííîé î áèòå. Ìíîãîê àòíî âûïîëíèâ ï îöåäó ó îï åäåëåíèß î áèòû ï è àçëè íûõ âûáî êàõ íî ìàëüíî àñï åäåëåííûõ î èáîê, âíîñèìûõ â ìîäåëè óåìûå íàáë äåíèß, ìû ñ àâíèëè çíà åíèß ìèíèìóìîâ äëß èñòèííîé î áèòû è îäíîãî èç ñîñåäíèõ àíàëîãîâ. Íà èñ. 8 ïîêàçàíû âå îßòíîñòíûå ïëîòíîñòè P èõ àçíîñòåé Δσ â ñëó àßõ ò åõ äèñïå ñèé î èáîê s =.23,.46,.67. Ïîëîæèòåëüíîå çíà åíèå àçíîñòè îçíà àåò, òî ìèíèìóì, ñîîòâåòñòâó ùèé èñòèííîé î áèòå, ìåíü å ñîñåäíåãî. Â àñòíîñòè, èç èñóíêà âèäíî, òî ï è äîñòàòî íî ìàëûõ î èáêàõ (s =.23 ) àçíîñòè Δσ ï èíèìà ò ïîëîæèòåëüíûå çíà åíèß, ñ åäè êîòî ûõ íàèáîëåå âå îßòíû Δσ =.2.3. Òî åñòü, òàêèì îá àçîì, ïà àìåò û, äîñòàâëß ùèå íàèìåíü èé ìèíèìóì, ìîãóò àññìàò èâàòüñß êàê íàèëó èå îöåíêè èñòèííûõ î áèòàëüíûõ ïà àìåò îâ. Â îòëè èè îò òîãî ñëó àß â äâóõ ä óãèõ èìå ò ìåñòî îò èöàòåëüíûå àçíîñòè, âå îßòíîñòè ïîßâëåíèß êîòî ûõ ñ àâíèìû ñ âå îßòíîñòßìè ïîëîæèòåëüíûõ àçíîñòåé. Ýòî êàê àç ãîâî èò î òîì, òî ïî çíà åíèßì äâóõ áëèçêèõ ìèíèìóìîâ íåâîçìîæíî ñ óâå åííîñòü îöåíèâàòü ñòåïåíü ï àâäîïîäîáíîñòè ñîîòâåòñòâó ùèõ èì ïà àìåò îâ. Óñòàíîâèòü ñòàòóñû ñîñåäíèõ ìèíèìóìîâ óäàåòñß, åñëè èìååòñß áîëü îå êîëè åñòâî (ï è åì äîñòàòî íî òî íûõ) íàáë äåíèé. Â ï îòèâíîì ñëó àå òî ï åäï èßòèå îêàçûâàåòñß íåíàäåæíûì. Íà òîì æå èñ. 8 ï èâåäåíû åçóëüòàòû êñïå èìåíòà äëß 2 ìîìåíòîâ íàáë äåíèé (ïî 1 íà êàæäó ã óïïó). Îòñ äà ìû âèäèì, òî áîëü àß àñòü àçíîñòåé âî âñåõ ñëó àßõ (N =2)êîíöåíò è óåòñß îêîëî íóëß. Ï è òîì âå îßòíîñòü ïîßâëåíèß îò èöàòåëüíûõ àçíîñòåé äîâîëüíî âûñîêà. Êàê îòìå àëîñü âû å, ñõîäèìîñòü èòå àöèîííîé ñõåìû Ãàóññà Íü òîíà ìîæåò áûòü äîñòèãíóòà, åñëè â íåå ââåñòè óìåíü à ùèé ìíîæèòåëü h (27). Äëß ïîëó åíèß èñëåííûõ åçóëüòàòîâ â ï åäûäóùåì àçäåëå ìû èñïîëüçîâàëè h =.1. Îäíàêî, ó èòûâàß 16
17 P.8.6.4.2 s =.23'' -.25.25.5 ('') P.8.6.4.2 s =.46'' -.25.25.5 ('') P.8.6.4.2 s =.67'' -.25.25.5 ('') Ðèñóíîê 8 μ Âå îßòíîñòíàß ïëîòíîñòü àçíîñòåé ìèíèìàëüíûõ çíà åíèé Δσ ï è àçëè íûõ âûáî êàõ î èáîê íàáë äåíèé ñ äèñïå ñèßìè s =.23,.46,.67 (ñå àß çàëèâêà μ N =9; áåëàß çàëèâêà μ N =2)
18.2 h = 1 3 e.16.12.8 h = 1 3 h = 1 4 h = 1 3 ( 1,e 1 ) Complex Complex ( 2,e 2 ) h = 1 4.4 (,e) -2E-5-1E-5 1E-5 2E-5 Ðèñóíîê 9 μ Ñõîäèìîñòü ìåòîäîâ (òî íûå íàáë äåíèß, N =9) íèçêèé ï îöåíò ñõîäèìîñòè å åíèé (.4%), ìîæíî ïîëàãàòü, òî äëß áîëåå óâå åííîãî ïîëó åíèß ïà àìåò è åñêèõ îöåíîê q, ìèíèìèçè ó ùèõ öåëåâó ôóíêöè S, ñëåäóåò âûáè àòü ñóùåñòâåííî ìåíü èé ìíîæèòåëü. Ìû îöåíèëè õà àêòå è ñêî îñòü ñõîäèìîñòè ñõåìû Ãàóññà Íü òîíà ñ àçíûìè ìíîæèòåëßìè h íà ï èìå å äâóõ äîâîëüíî ã óáûõ íà àëüíûõ ï èáëèæåíèé q 1 è q 2, ñîîòâåòñòâó ùèõ ïà àìåò àì: α 1 = 1 5, e 1 =.1; è α 2 =1 5, e 2 =.1. Ìîíèòî èíã èòå àöèîííîãî ï îöåññà ï îâîäèëñß â ïëîñêîñòè (α,e). Ðåçóëüòàòû ï èâåäåíû íà èñ. 9. Çäåñü òàêæå ï åäñòàâëåí ã àôèê èçîëèíèé S êàê ôóíêöèè α è e ï è èñòèííûõ çíà åíèßõ ä óãèõ î áèòàëüíûõ ïà àìåò îâ. Â àñòíîñòè, èç èñóíêà âèäíî, òî äàæå äëß h =.1 ïîñëåäîâàòåëüíûå ï èáëèæåíèß ñ íà àëüíûì q 1 (α 1,e 1 ) îï åäåëß òñß âåñüìà íåï åäñêàçóåìûì îá àçîì, õîòß èòå àöèîííûé ï îöåññ âñå æå ñõîäèòñß. Â òî æå â åìß ñóùåñòâåííîå óìåíü åíèå ìíîæèòåëß (h =.1) êàê äëß q 1, òàê è äëß q 2 ï èâîäèò ê æåëàåìîé åëàêñàöèîííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ï èáëèæåíèé. Íàêîíåö, ñëåäóåò îòìåòèòü, òî ï è h =.1 èòå àöèîííûé ï îöåññ àñõîäèòñß â îáîèõ ñëó àßõ. Íåñìîò ß íà ñòîëü ï îñòîé ïîäõîä â å åíèè ï îáëåìû ñõîäèìîñòè, îí âñå æå íåï èåìëåì äëß îï åäåëåíèß î áèò åàëüíûõ áëèçêèõ ñïóòíèêîâ, ïîñêîëüêó â ñèëó ñïåöèôèêè îá àòíîé çàäà è ñîï ßæåí ñ î åíü íèçêîé ñêî îñòü ñõîäèìîñòè. Òàê, ï è èñïîëüçîâàíèè ñõåìû ñ ìíîæèòåëåì h =.1 äëß ñõîäèìîñòè èòå àöèîííîãî ï îöåññà (ñ êîî äèíàòíîé òî íîñòü 1 1 à.å.) íàì ïîò åáîâàëîñü âûïîëíèòü áîëåå 1 èòå àöèé.
19 Ã àäèåíòíûé ñïóñê è ï îåêöèîííûé ìåòîä Ñ öåëü äîñòèæåíèß áûñò îé ñõîäèìîñòè èòå àöèîííîãî ï îöåññà ìîæíî ñîâìåñòíî ñ ìåòîäîì Ãàóññà Íü òîíà èñïîëüçîâàòü ä óãèå ìåòîäû âû èñëåíèß ïîï àâîê Δq. Â íà åì ñëó àå äîñòàòî íî ï èáåãíóòü ê èçâåñòíîìó ìåòîäó ã àäèåíòíîãî ñïóñêà è òàê íàçûâàåìîìó ï îåêöèîííîìó ìåòîäó (Himmelblau, 1972). Â ìåòîäå ã àäèåíòíîãî ñïóñêà ïîï àâêà âû èñëßåòñß êàê (Àòòåòêîâ è ä., 21) Δq = G G (QG) G G. (28) Çäåñü òî êîé îáîçíà åíî ñêàëß íîå ï îèçâåäåíèå K-ìå íûõ âåêòî îâ. Â ï îöåññå ïîñëåäîâàòåëüíîãî èñïîëüçîâàíèß ñõåìû (28) ï èáëèæåííîå å åíèå äîñòàòî íî áûñò î (çà íåñêîëüêî èòå àöèé) ñâàëèâàåòñß íà äíî îâ àãà S, íî â äàëüíåé åì íåâå îßòíî ìåäëåííî ñõîäèòñß ê ìèíèìóìó S. Íà òîì òàïå ìîæíî áûëî áû âîñïîëüçîâàòüñß ìåòîäîì Ãàóññà Íü òîíà. Îäíàêî, êàê ïîêàçûâàåò ï àêòèêà, åñëè ï èáëèæåííîå å åíèå îêàçûâàåòñß äîâîëüíî äàëåêî îò ìèíèìóìà S, ñõåìà (25) áóäåò äàâàòü òàêèå ïîï àâêè, êîòî ûå ñïîñîáíû âûêèíóòü å åíèå èç îáëàñòè ñõîäèìîñòè ìåòîäà. Âï î åì, ïëîõèå ïîï àâêè ìîæíî óëó èòü, åñëè èñïîëüçîâàòü àï èî íó èíôî ìàöè î ñâîéñòâàõ î áèòàëüíîãî äâèæåíèß. Â äâèæåíèè áëèçêèõ ñïóòíèêîâ ïèòå à äîìèíè ó ùó îëü èã àåò ã àâèòàöèîííîå ïîëå ïëàíåòû. Ï è ìîäåëè îâàíèè åãî ìîæíî àññìàò èâàòü êàê êîíñå âàòèâíîå. Ïî òîìó ïîëíàß íå ãèß H(q), îï åäåëßåìàß ï èòßæåíèåì ïëàíåòû, áóäåò ïî òè ïîñòîßííîé. Ó èòûâàß òî ñâîéñòâî, íàëîæèì îã àíè åíèå íà Δq: ïîï àâêè äîëæíû áûòü òàêèìè, òîáû H(q +Δq) =H(q), ò.å. òîáû ï èáëèæåííîå å åíèå îñòàâàëîñü íà îäíîì íå ãåòè åñêîì ó îâíå. Â îáùåì ñëó àå íàëàãàåìîå îã àíè åíèå îï åäåëßåò ìíîæåñòâî ïîï àâîê, îäíàêî èç íèõ öåëåñîîá àçíî èñïîëüçîâàòü ëè ü î òîãîíàëüíó ï îåêöè ïîï àâêè (25) íà ïîâå õíîñòü H(q). Àëãî èòìè åñêè òî âîçìîæíî ïî ñëåäó ùåé èòå àöèîííîé ñõåìå: Δq i+1 =Δq i H(q +Δq i) H(q) G H G H G H (i =, 1,...), (29) ãäå G H = H/ q μ ã àäèåíò H ïî q, àδq îï åäåëßåòñß èç (25). Êàê òîëüêî ï èáëèæåííîå å åíèå ñòàíîâèòñß äîñòàòî íî áëèçêèì ê ìèíèìóìó, òî îï åäåëßåòñß ìàëîñòü âåëè èíû Δq, çàêàí èâàåì ï îöåññ ìèíèìèçàöèè S ïî ñõåìå Ãàóññà Íü òîíà (25). Ñîñòàâíîé ïîäõîä ñ èñïîëüçîâàíèåì èòå àöèîííûõ ñõåì (25), (28) è (29) òàêæå áûë îï îáîâàí äëß íà àëüíûõ ï èáëèæåíèé q 1 è q 2.Ðåçóëüòàòû òåñòè îâàíèß ï èâåäåíû íà èñ. 9 (Complex). Ãî èçîíòàëüíûå ò àåêòî èè çäåñü ñîîòâåòñòâó ò ã àäèåíòíîìó ñïóñêó (28), òîãäà êàê âå òèêàëüíûå μ ñõåìå ìåòîäà Ãàóññà Íü òîíà ñîâìåñòíî ñ ï îåêöèîííîé ñõåìîé (29), ãäå â êà åñòâå H áûëà âçßòà êåïëå îâñêàß íå ãèß. Ñàìûì ï èìå àòåëüíûì ßâëßåòñß òî, òî äëß èòå àöèîííîãî ï îöåññà â îáîèõ ñëó àßõ ïîíàäîáèëîñü âñåãî 27 èòå àöèé äî ñõîäèìîñòè.
2 Ìîäåëü ñïóòíèêîâîãî äâèæåíèß Ôî ìàëüíî èñëåííó ìîäåëü ñïóòíèêîâîãî äâèæåíèß p C â ï îñò àíñòâå óãëîâûõ êîî äèíàò p =(p 1,p 2 ) îòíîñèòåëüíî ñòàíäà òíîãî çåìíîãî êâàòî à J2 ìîæíî ï åäñòàâèòü â âèäå p C = p C (t, q DT )=T(t, x(t, q D ), q T ). (3) Çäåñü t μ ôåìå èäíîå â åìß; q DT =(q D, q T ) μ âåêòî âñåõ ïà àìåò îâ ìîäåëè; T μ ï åîá àçîâàíèå ïå åõîäà îò éîâèöåíò è åñêîé ñèñòåìû êîî äèíàò ê òîïîöåíò è åñêîé; q D =(x, ẋ,t,q 8,...) è q T μ ïà àìåò è åñêèå âåêòî û, ñâßçàííûå ñîîòâåòñòâåííî ñ äâèæåíèåì ñïóòíèêà îòíîñèòåëüíî éîâèöåíò à è ñ êîî äèíàòíûì ï åîá àçîâàíèåì; x μ éîâèöåíò è åñêîå ïîëîæåíèå ñïóòíèêà; x è ẋ μ âåêòî û äèíàìè åñêîãî ñîñòîßíèß ñïóòíèêà âíà àëüíûé ìîìåíò â åìåíè t. Âìîäåëè (3) ïîëîæåíèå x îï åäåëßåòñß ïóòåì èñëåííîãî èíòåã è îâàíèß äèôôå- åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé äâèæåíèß d 2 x dt 2 = P(t, x, ẋ, qd )=P J + P G + P SP + P R (31) ñ íà àëüíûìè óñëîâèßìè x = x(t ), ẋ = ẋ(t ), (32) ãäå ó èòûâà òñß âëèßíèå ã àâèòàöèîííîãî ïîëß ïèòå à P J, ï èòßæåíèå îò ãàëèëååâûõ ñïóòíèêîâ P G, îò Ñîëíöà è ïëàíåò P SP, à òàêæå åëßòèâèñòñêèå ôôåêòû P R â àìêàõ çàäà è âà ö èëüäà. Ó àâíåíèß èíòåã è ó òñß ìåòîäîì Ãàóññà Ýâå õà òà (Everhart, 1974; Àâä åâ, 26). Êîî äèíàòíîå ï åîá àçîâàíèå T ìîæíî ï åäñòàâèòü êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ï åîá- àçîâàíèé T = T p1,p 2 T top T geo, (33) ãäå T geo è T top μ ïå åõîäû ñîîòâåòñòâåííî îò éîâè- ê ãåîöåíò ó è îò ãåî- ê òîïîöåíò ó; T p1,p 2 μ ïîëó åíèå óãëîâûõ êîî äèíàò îòíîñèòåëüíî íàáë äàòåëß (òîïîöåíò à). Ï åîá àçîâàíèå ïå åõîäà ê òîïîöåíò ó T top T geo ôî ìàëüíî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå T top T geo (x) =x + x JS x ES x TE, ãäå x JS è x ES μ ñîîòâåòñòâåííî ãåëèîöåíò è åñêèå ïîëîæåíèß ïèòå à è Çåìëè, êîòî ûå îï åäåëß òñß èç ôîíäà êîî äèíàò áîëü èõ ïëàíåò DE45 (Standish, 1998); à x TE μ ãåîöåíò è åñêîå ïîëîæåíèå íàáë äàòåëß, âû èñëßåìîå ïî åãî ñôå è åñêèì êîî äèíàòàì: ãåîöåíò è åñêîìó àññòîßíè b, è îòå ψ E è ìåñòíîìó çâåçäíîìó â åìåíè s, êàê x TE1 = b cos ψ E cos s, x TE2 = b cos ψ E sin s, x TE3 = b sin ψ E. Íàçåìíûå íàáë äåíèß p O i =(p O 1i,p O 2i), êàê ï àâèëî, îòíåñåíû ê ìîìåíòàì t O i âñåìè íîãî â åìåíè, ïî òîìó ï è èñïîëüçîâàíèè èñëåííîé ìîäåëè (3) ò åáóåòñß ï åäâà èòåëüíûé ïå åõîä ê ôåìå èäíîìó â åìåíè t i. Ê îìå òîãî, äëß ïîëó åíèß âèäèìûõ ïîëîæåíèé ñïóòíèêà p C i =(p C 1i,pC 2i ) îòíîñèòåëüíî çåìíîãî íàáë äàòåëß íåîáõîäèìî òàêæå
ó èòûâàòü ôôåêò çàïàçäûâàíèß ñâåòà. Òàêèì îá àçîì, èìååì â åìåíí îå ï åîá àçîâàíèå t i = t O i +Δt i, ãäå Δt i μ ïîï àâêà äëß ñîîòâåòñòâó ùåãî t O i çà ôåìå èäíîå â åìß è çà ôôåêò çàïàçäûâàíèß ñâåòà. Â êà åñòâå îï åäåëßåìûõ ïà àìåò îâ ï èíèìà òñß êîìïîíåíòû 6-ìå íîãî âåêòî- à íà àëüíîãî äèíàìè åñêîãî ñîñòîßíèß q =(x, ẋ ) (32) (õîòß òåî åòè åñêè ìîæíî îï åäåëßòü ñîâìåñòíî âñå êîìïîíåíòû ïà àìåò è åñêîãî âåêòî à q DT ). Ïà àìåò û íàõîäßòñß èç óñëîâèß ìèíèìóìà ôóíêöèîíàëà (26) S(q) = 1 2 N [(p O 1i pc 1i )2 cos 2 p O 2i +(po 2i pc 2i )2 ]. i=1 Èçëîæåííûé âû å ñîñòàâíîé ïîäõîä äëß ìèíèìèçàöèè S(q) ñ èñïîëüçîâàíèåì èòå àöèîííûõ ñõåì (25), (28) è (29) ï åäïîëàãàåò âû èñëåíèå ï îèçâîäíûõ p C / q. Ñîãëàñíî (3) èõ ìîæíî ï åäñòàâèòü êàê p C q = T x x q. (34) Ï îèçâîäíûå T/ x â äèíàìè åñêîé ìîäåëè (3) îï åäåëß òñß àíàëèòè åñêè èç äèôôå åíöèàëüíûõ ñîîòíî åíèé ρ C dt 1 cos p C 2 = dx 1 sin p C 1 + dx 2 cos p C 1, ρ C dt 2 = dx 1 cos p C 1 sin pc 2 + dx 2 sin p C 1 sin pc 2 + dx 3 cos p C 2 ; òîãäà êàê ï îèçâîäíûå x/ q íàõîäßòñß èñëåííî èç äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé â âà èàöèßõ ñ íà àëüíûìè óñëîâèßìè ( ) x x = E, ( ) x ẋ d 2 dt 2 =, ( ) x q = P x x q ( ) d x =, dt x ( ) d x = E. dt ẋ Çäåñü T =(T 1,T 2 ); ρ μ òîïîöåíò è åñêîå àññòîßíèå ñïóòíèêà; x =(x 1,x 2,x 3 ); E μ åäèíè íàß ìàò èöà àçìå à 3 3. Ó àâíåíèß (35) èíòåã è ó òñß èñëåííî ñîâìåñòíî ñ ó àâíåíèßìè äâèæåíèß (31). Òàêèì îá àçîì, ï è ìîäåëè îâàíèè èíòåã è óåòñß ñèñòåìà 42-ãî ïî ßäêà. Çàìåòèì, òî â àçäåëå èñïîëüçîâàëàñü òà æå ìîäåëü (3), ãäå, îäíàêî, êîî äèíàòû x è ï îèçâîäíûå x/ q âû èñëßëèñü ïî ôî ìóëàì çàäà è äâóõ òåë. Â ìîäåëè ïèòå àññìàò èâàëñß êàê ñôå îèä, ï èòßæåíèå êîòî îãî ó èòûâàëîñü ñ òî íîñòü äî åñòîé çîíàëüíîé ãà ìîíèêè. Ôî ìàëüíî ï èòßæåíèå ïëàíåòû ìîæíî ï åäñòàâèòü â âèäå P J = U x, ãäå U = μ i J i b i J x i+1 L i(sin ψ J ), sin ψ J = x J3 x, μ μ ã àâèòàöèîííûé ïà àìåò ïëàíåòû; J i μ êî ôôèöèåíòû çîíàëüíûõ ãà ìîíèê, ï è åì J = 1; b J μ êâàòî èàëüíûé àäèóñ ïèòå à; L i μ ïîëèíîìû Ëåæàíä- à; ψ J è x J3 μ è îòà è àïïëèêàòà ñïóòíèêà ñîîòâåòñòâåííî îòíîñèòåëüíî êâàòî- à ïëàíåòû. Ï è òîì àïïëèêàòà x J3 îï åäåëßëàñü èç êîî äèíàòíîãî ï åîá àçîâàíèß x J = T J x (Seidelmann et al., 22), ãäå T J μ ìàò èöà ïå åõîäà îò ãåî- ê éîâè êâàòî ó. 21 (35)
22 n ( / ) 1.1.1.1.1 1E-5 1E-6 1E-7 1E-8 1E-9 1E-1 IntErr Plnts J3 G3 G2 J6 Sun G4 Rltvty G1 CircG J4 J2 Ðèñóíîê 1 μ Ñêî îñòü àñï îñò àíåíèß î èáêè n â ñ åäíåé äîëãîòå âñëåäñòâèå èãíî è îâàíèß âîçìóùà ùèõ ôàêòî îâ (Àìàëüòåß) Ââèäó ìàëûõ àçìå îâ ã àâèòè ó ùèõ òåë: ãàëèëååâûõ ñïóòíèêîâ, Ñîëíöà è ïëàíåò (çà èñêë åíèåì ïèòå à), ïî îòíî åíè ê èõ àññòîßíèßì îò áëèçêèõ ñïóòíèêîâ îíè àññìàò èâàëèñü êàê ìàòå èàëüíûå òî êè, à ï èòßæåíèå êàæäîãî òåëà â P G è P SP (31) âû èñëßëîñü ïî ôî ìóëå ( xi x P i = μ i x i x x ) i, 3 x i 3 ãäå μ i è x i μ ñîîòâåòñòâåííî ã àâèòàöèîííûé ïà àìåò è éîâèöåíò è åñêèé âåêòî ïîëîæåíèß i-ãî òåëà. Êîî äèíàòû ãàëèëååâûõ ñïóòíèêîâ âû èñëßëèñü ïî òåî èè Ëåíåé L1 (Lainey et al., 24), à êîî äèíàòû Ñîëíöà è ïëàíåò μ èç ôåìå èäû DE45. Äëß îïòèìèçàöèè âû èñëèòåëüíîãî ï îöåññà î áèòàëüíûå ïà àìåò û áëèçêèõ ñïóòíèêîâ ï åäâà èòåëüíî îï åäåëßëèñü ñ èñïîëüçîâàíèåì óï îùåííîé òåî èè ãàëèëååâûõ ñïóòíèêîâ, ãäå èõ ïîëîæåíèß âû èñëßëèñü ïî ôî ìóëàì ê óãîâîãî äâèæåíèß ñ êîíñòàíòàìè èç (Lieske, 1998). Òàêîé ïî òàïíûé ïîäõîä ïîçâîëèë ïîâûñèòü áûñò îäåéñòâèå èñëåííîãî îï åäåëåíèß ïà àìåò îâ ïî òè â 15 àç. Êîíñòàíòû ã àâèòàöèîííîãî ïîëß ïèòå à, à òàêæå ìàññû ãàëèëååâûõ ñïóòíèêîâ áûëè âçßòû èç òåî èè Ëèñêå E5, òîãäà êàê ìàññû ñòî îííèõ ïëàíåò μ èç DE45. Ðåëßòèâèñòñêèå ôôåêòû îï åäåëßëèñü â àìêàõ çàäà è âà ö èëüäà ïî ôî ìóëå (Á óìáå ã, 1972) μ2 P R =4 c 2 x x + 4 μ [4(x ẋ)ẋ (ẋ ẋ)x], c 2 x 3 ãäå c μ ñêî îñòü ñâåòà. Ñòåïåíü âëèßíèß âîçìóùà ùèõ ôàêòî îâ íà î áèòàëüíîå äâèæåíèå Àìàëüòåè ï åäñòàâëåíà íà èñ. 1. Ðåçóëüòàòû íà èñóíêå ïîëó åíû ïóòåì èñëåííîé îöåíêè ñêî îñòè âåêîâûõ î èáîê â ñ åäíåé äîëãîòå âñëåäñòâèå èãíî è îâàíèß òåõ èëè èíûõ âû åîïèñàííûõ âîçìóùà ùèõ ñèë. Êàê ïîêàçûâà ò åçóëüòàòû, íàèáîëåå âåñîìûìè ßâëß òñß
âëèßíèß îò ïå âûõ äâóõ åòíûõ ãà ìîíèê ã àâèòàöèîííîãî ïîëß ïèòå à (J2, J4), à òàêæå îò ï èòßæåíèß íàèáîëåå áëèçêîãî ãàëèëååâîãî ñïóòíèêà Èî (G1). Â àñòíîñòè, óæå å åç 1 ëåò âîçìóùåíèå â áûñò îé ïå åìåííîé îò ñæàòèß ïèòå à ñòàíîâèòñß ïî ßäêà îäíîãî îáî îòà. Âîçìóùåíèß îò ä óãèõ ãàëèëååâûõ ñïóòíèêîâ (G2, G3, G4), î åâèäíî, óìåíü à òñß ïî ìå å èõ óäàëåííîñòè îò ïëàíåòû. Ñòåïåíü âëèßíèß ï èòßæåíèé Ñîëíöà (Sun) è íàèáîëåå äàëåêîãî ãàëèëååâà ñïóòíèêà Êàëëèñòî (G4), à òàêæå åëßòèâèñòñêèõ ôôåêòîâ (Rltvty) ï èáëèçèòåëüíî îäíîãî ïî ßäêà. Íàèìåíü èé âêëàä â äâèæåíèå Àìàëüòåè âíîñßò âîçìóùåíèß îò ñòî îííèõ ïëàíåò. Èõ âëèßíèß îêàçàëèñü íàñòîëüêî ìàëûìè, òî ìû å èëè âîâñå èñêë èòü èõ èç ó àâíåíèé (31). Ê îìå òîãî, íà èñóíêå ï èâåäåíû îöåíêè âîçìóùåíèé, îáóñëîâëåííûõ î èáêàìè èñëåííîãî èíòåã è îâàíèß (IntErr) è óï îùåíèåì î áèòàëüíîé ìîäåëè ãàëèëååâûõ ñïóòíèêîâ äî ê óãîâîé (CircG). Âèäíî, òî âëèßíèå î èáîê èíòåã è îâàíèß, êàê è ïîëàãàåòñß, ñóùåñòâåííî ìåíü å ó èòûâàåìûõ âîçìóùåíèé. Â òî æå â åìß îöåíêà CircG ïîêàçûâàåò, òî î èáêà âñëåäñòâèå óï îùåíèß î áèòàëüíîé ìîäåëè ñïóòíèêîâ-ãèãàíòîâ íàñòîëüêî âåëèêà, òî åå èñïîëüçîâàíèå äëß èòîãîâîé îá àáîòêè íàáë äåíèé áëèçêèõ ñïóòíèêîâ ñîâå åííî íåäîïóñòèìî. 23 Íàáë äåíèß ñïóòíèêîâ Äëß îï åäåëåíèß î áèòàëüíûõ ïà àìåò îâ ñïóòíèêîâ èñïîëüçîâàëèñü â îñíîâíîì íàçåìíûå íàáë äåíèß, õ îíîëîãèß êîòî ûõ ï èâåäåíà â òàáë. 1. Ã àôè åñêè ïëîòíîñòü â åìåíí îãî àñï åäåëåíèß ñïóòíèêîâûõ íàáë äåíèé ï åäñòàâëåíà íà èñ. 11. Çäåñü êàæäàß ã óïïà íàáë äåíèé ïîìå åíà ñîîòâåòñòâó ùèì êîäîì îáñå âàòî èè; t μ íà- àëüíûé ìîìåíò â åìåíè, íà êîòî ûé îöåíèâà òñß î áèòàëüíûå ïà àìåò û. Êàê âèäíî, ìíîãî èñëåííûå è äîñòàòî íî ïëîòíûå ßäû íàáë äåíèé èìå ò ñïóòíèêè Àìàëüòåß (N = 77) è Òåáà (N = 465). Áîëåå òîãî, íàáë äåíèß Àìàëüòåè ïîê ûâà ò äîâîëüíî äëèòåëüíûé èíòå âàë â åìåíè ïî ßäêà 5 ëåò. Ñëåäóåò îòìåòèòü, òî á îëü àß àñòü âñåõ íàáë äåíèé òèõ ñïóòíèêîâ ïîëó åíà íà îáñå âàòî èè 874 Itajuba (Veiga, Vieira Martins, 25) çà ïå èîä 1995 21 ãã. Ê îìå òîãî, èìå òñß íåñêîëüêî íàáë äåíèé ñî ñïóòíèêà Hubble Space Telescope (Mallama et al., 24). Âñå íàáë äåíèß äî 1978 ã. ôîòîã àôè åñêèå, ïîñëå μ ïîëó åííûå ñ ïîìîùü ÏÇÑ-ï èåìíèêîâ; è ï åäñòàâëåíû ëèáî â àáñîë òíûõ êîî äèíàòàõ (p 1,p 2 ) (A), ëèáî â îòíîñèòåëüíûõ (Δp 1 cos p 2,Δp 2 ), ãäå â êà åñòâå îïî íûõ îáúåêòîâ âûñòóïà ò ïèòå (J), ëèáî îäèí èç ãàëèëååâûõ ñïóòíèêîâ (G). Ñóùåñòâåííî ìåíü å íàáë äàòåëüíûõ äàííûõ èìå ò ñïóòíèêè Àä àñòåß (N =9) è Ìåòèäà (N = 178). Âñå íàáë äåíèß ïîëó åíû ñ ïîìîùü ÏÇÑ-ï èåìíèêîâ íà äâóõ îáñå âàòî èßõ (675 Palomar Mountain è B18 Terskol) è ï åäñòàâëåíû îòíîñèòåëüíî ïèòå à, ãàëèëååâûõ ñïóòíèêîâ, à òàêæå ñïóòíèêîâ Àìàëüòåè è Òåáû (I). Âñå íàáë äàòåëüíûå äàííûå áûëè âçßòû èç Öåíò à äàííûõ åñòåñòâåííûõ ñïóòíèêîâ ïëàíåò http://www.sai.msu.ru/neb/nss/nssnsdcmr.htm (Åìåëüßíîâ è ä., 26). Ïîä îáíó èíôî ìàöè îá èñïîëüçóåìûõ íàáë äåíèßõ ìîæíî íàéòè â àáîòàõ (Van
24 Òàáëèöà 1 μ Â åìåííîå àñï åäåëåíèå ñïóòíèêîâûõ íàáë äåíèé N Òèï Èíòå âàë (ä.ì.ã ä.ì.ã) Îáñå âàòî èß Àìàëüòåß 41 Ôîòî A 14.2.1954 22.2.1954 711 McDonald 9 Ôîòî A 11.1.1967 7.2.1967 88 Kottomia 2 Ôîòî A 29.9.1976 9.12.1977 711 McDonald 2 Ôîòî A 17.12.1977 78 Leander McCormick 1 Ôîòî A 7.1.1978 9.1.1978 711 McDonald 16 ÏÇÑ J 3.12.1988 675 Palomar Mountain 8 ÏÇÑ J 15.7.1994 25.8.1994 25 Hubble Space Telescope 23 ÏÇÑ A 23.5.1995 14.9.1995 874 Itajuba 2 ÏÇÑ J 15.5.1996 25 Hubble Space Telescope 63 ÏÇÑ A 21.6.1996 23.8.1996 874 Itajuba 64 ÏÇÑ G 26.9.1998 2.11.2 B18 Terskol 188 ÏÇÑ A 25.1.21 27.1.21 874 Itajuba Òåáà 193 ÏÇÑ A 23.5.1995 23.8.1996 874 Itajuba 84 ÏÇÑ G 19.9.1998 2.11.1999 B18 Terskol 188 ÏÇÑ A 25.1.21 27.1.21 874 Itajuba Àä àñòåß 48 ÏÇÑ J 3.12.1988 675 Palomar Mountain 42 ÏÇÑ I 5.11.2 21.11.2 B18 Terskol Ìåòèäà 5 ÏÇÑ J 3.12.1988 675 Palomar Mountain 128 ÏÇÑ G, I 8.1.1999 2.11.2 B18 Terskol Biesbroeck, 1955; Sudbury, 1969; Mulholland et al., 1979; Ianna et al., 1979; Nicholson, Matthews, 1991; Mallama et al., 24; Veiga, Vieira Martins, 1996; Veiga, Vieira Martins, 25; Ledovskaya et al., 1999; Kulyk et al., 22). Äëß îá àáîòêè îòíîñèòåëüíûõ íàáë äåíèé êîî äèíàòû îïî íûõ îáúåêòîâ ïèòå à è ãàëèëååâûõ ñïóòíèêîâ îï åäåëßëèñü èç ôåìå èä DE45 è L1 ñîîòâåòñòâåííî, òîãäà êàê êîî äèíàòû áëèçêèõ ñïóòíèêîâ Àìàëüòåè è Òåáû âû èñëßëèñü ñ èñïîëüçîâàíèåì íà åé èñëåííîé ìîäåëè (3) íà îñíîâå ïà àìåò îâ, îï åäåëåííûõ ïî âû åîïèñàííûì íàáë äàòåëüíûì äàííûì. Ââèäó ìàëîãî êîëè åñòâà ã óïï ñïóòíèêîâûõ íàáë äåíèé ï îáëåìà íåîäíîçíà íîãî îï åäåëåíèß î áèòàëüíûõ ïà àìåò îâ äëß ñëó àß Àä àñòåè è Ìåòèäû âïîëíå ìîæåò èìåòü ìåñòî. Íà èñ. 12 äëß êàæäîãî ñïóòíèêà ï èâåäåíû ã àôèêè ôóíêöèé Φ (12), ôî ìàëüíî âû èñëåííûå ïî âñåì ìîìåíòàì íàáë äåíèé. Òàê êàê ôóíêöèè Φ åòíûå, îíè ï åäñòàâëåíû òîëüêî äëß ζ.
25 k k k k.3.2.1 711 88 711 711 2434 2438 2442 2446 245 2454.6.4.2 24496 245 2454 2458 24512 24516 2452 24524.6.4.2 874 874 874 874 t 24472 2448 24488 24496 2454 24512 2452.6.4.2 675 675 t t 24472 2448 24488 24496 2454 24512 2452 t (. ) B18 675 B18 t 25 874 874 B18 B18 B18 B18 874 874 B18 B18 Ðèñóíîê 11 μ Â åìåííîå àñï åäåëåíèå ñïóòíèêîâûõ íàáë äåíèé Â àñòíîñòè, äëß Àä àñòåè è Ìåòèäû âèäíî, òî ñóùåñòâó ò ìèíèìóìû Φ, áëèçêèå ê ò èâèàëüíîìó ζ =. Ýòî îáñòîßòåëüñòâî äèñê åäèòè óåò ê èòå èé äîá îòíîñòè îï åäåëßåìûõ ïà àìåò îâ ïî ï èçíàêó ìàëîñòè öåëåâîé ôóíêöèè S,ïîñêîëüêó,êàê íàì óæå èçâåñòíî, ï è íàëè èè î èáîê â íàáë äåíèßõ íàèëó èå (áîëåå áëèçêèå ê èñòèííûì) ïà àìåò û íå âñåãäà äîñòàâëß ò àáñîë òíûé ìèíèìóì öåëåâîé ôóíêöèè, â îñîáåííîñòè, åñëè íàáë äåíèé äîñòàòî íî ìàëî. Äëß Ìåòèäû òàêèõ ìèíèìóìîâ äâà: ζ/2π ±11, òîãäà êàê äëß Àä àñòåè èõ îêàçûâàåòñß äîâîëüíî ìíîãî. Â òî æå â åìß äëß Àìàëüòåè è Òåáû ï îáëåìà íåîäíîçíà íîãî îï åäåëåíèß î áèò â ßä ëè ìîæåò âîçíèêíóòü, ïîñêîëüêó âñå (íåò èâèàëüíûå) ìèíèìóìû ñóùåñòâåííî îòëè à òñß îò ò èâèàëüíîãî. Íàêîíåö, çàìåòèì, òî ìèíèìóìû Φ äëß Àä àñòåè âîç àñòà ò ïî ìå å óäàëåíèß îò ò èâèàëüíîãî ìèíèìóìà, õîòß âû å áûëî ïîêàçàíî, òî ï è íàëè èè âñåãî äâóõ ã óïï íàáë äåíèé âñå ìèíèìóìû àâíîçíà íû ( èñ. 3). Ýòî íåñîîòâåòñòâèå íà ñàìîì äåëå îáúßñíßåòñß òåì, òî ìîìåíòû âòî îé ã óïïû íàáë äåíèé (B18 Terskol, òàáë. 1) àññ åäîòî åíû íà äîñòàòî íî áîëü îì â åìåííîì îò åçêå, äëèííîé êîòî îãî ï è ñê óïóëåçíîì àíàëèçå íå ñòîèò ï åíåá åãàòü.
26 1.8.6.4.2 1.8.6.4.2 1 2 3 1 2 3 1.1.1.1 1 2 3 1.1.1.1 1 2 3 Ðèñóíîê 12 μ Ïîâåäåíèå Φ(ζ) äëß áëèçêèõ ñïóòíèêîâ
27 Îï åäåëåíèå î áèòàëüíûõ ïà àìåò îâ Íà àëüíûå îöåíêè î áèòàëüíûõ ïà àìåò îâ q ï åäâà èòåëüíî áûëè ïîëó åíû èç íàáë äåíèé ìåòîäîì Ëàïëàñà. Íà àëüíûå ìîìåíòû â åìåíè t îòíîñèòåëüíî ìîìåíòîâ íàáë äåíèé ïîêàçàíû íà èñ. 11. Íåñìîò ß íà òî, òî íàèìåíü àß îáóñëîâëåííîñòü íî ìàëüíûõ ìàò èö Q äîñòèãàåòñß ï è âûáî å t âíóò è èíòå âàëà, äëß Àä àñòåè è Ìåòèäû ìîìåíòû t íàìå åííî áûëè îñòàâëåíû âíóò è ê àéíåé ã óïïû (675 Palomar Mountain), ïî íàáë äåíèßì êîòî îé, êñòàòè, áûëè ïîëó åíû íà àëüíûå îöåíêè q.êàê áûëî ïîêàçàíî âû å íà ï èìå å ê óãîâîé çàäà è, èìåííî òàêîé âûáî óäîáåí äëß ïîèñêà ìèíèìóìîâ öåëåâîé ôóíêöèè S ï è ìàëîì êîëè åñòâå ã óïï íàáë äåíèé, ïîñêîëüêó å åíèß q, äîñòàâëß ùèå ìèíèìóì S, íàõîäßòñß äîñòàòî íî áëèçêî ä óã îò ä óãà â ôàçîâîì ï îñò àíñòâå îöåíèâàåìûõ ïà àìåò îâ ( èñ. 2). Èñïîëüçóß ñîñòàâíîé ïîäõîä äëß ìèíèìèçàöèè S(q) ñ èòå àöèîííûìè ñõåìàìè (25), (28) è (29) è îòï àâëßßñü îò íà àëüíûõ ï èáëèæåíèé q, âñåãî çà íåñêîëüêî äåñßòêîâ èòå àöèé ìû ïîëó èëè îöåíêè î áèòàëüíûõ ïà àìåò îâ q =(x, ẋ ), êîòî ûå ï èâåäåíû â òàáë. 2. Ñîîòâåòñòâó ùèå èì î áèòàëüíûå ëåìåíòû â óñå åííîé ôî ìå äàíû â òàáë. 3. Çäåñü i μ íàêëîíåíèå (îòíåñåííîå ê êâàòî ó ïèòå à); τ μ î áèòàëüíûé ïå èîä, à σ a μ ëîíãàöèß ñïóòíèêà. Ï îöåññ óòî íåíèß ïà àìåò îâ íà èíàëñß ñî ñõåìû (25) (ã àäèåíòíûé ñïóñê) äî ñõîäèìîñòè ñ åäíåêâàä àòè åñêîé î èáêè σ ñ òî íîñòü äî.1, çàòåì ï èìåíßëàñü ñõåìà (29) (ìåòîä Ãàóññà Íü òîíà). Åñëè ïîï àâêè â êîî äèíàòàõ Δx ï åâîñõîäèëè ïî âåëè èíå 1 7 à.å., å åíèå q èñï àâëßëîñü çà åãî îòêëîíåíèå îò íå ãåòè åñêîé ïîâå õíîñòè ïî ñõåìå (28) (ï îåêöèîííûé ìåòîä). Òàêèì îá àçîì, ï îöåññ ï îäîëæàëñß äî òåõ ïî, ïîêà ïîï àâêè â êîî äèíàòàõ ïî âåëè èíå íå äîñòèãàëè çíà åíèß 1 1 à.å. Âñå ï åäåëüíûå âåëè èíû, èñïîëüçóåìûå â êà åñòâå ê èòå èß äëß èñïîëüçîâàíèß òîé èëè èíîé ñõåìû, ïîäáè àëèñü îïûòíûì ïóòåì. Íàêîíåö, ñëåäóåò çàìåòèòü, òî äëß îá àùåíèß íî ìàëüíîé ìàò èöû â ñõåìå (25) èñïîëüçîâàëñß èçâåñòíûé ìåòîä Ãàóññà. Ïîëó åííûå îöåíêè ïà àìåò îâ äîñòàâëß ò ñ åäíåêâàä àòè åñêèå î èáêè σ = S/N, íå ï åâû à ùèå âåëè èíó.4 (òàáë. 4), òî ãîâî èò î õî î åì ñîãëàñèè ñ âíå íåé òî íîñòü íàçåìíûõ íàáë äåíèé. (Â òàáë. 4 ï èâåäåíû òàêæå èñëà îáóñëîâëåííîñòè íî ìàëüíûõ ìàò èö condq è â åìåííûå èíòå âàëû Δt è ΔE, ïîê ûâà ùèå ìîìåíòû íàáë äåíèé, ñîîòâåòñòâåííî âãîäàõ è â îáî îòàõ ñïóòíèêà.) Íåâßçêè Δp 1 cos p 2 è Δp 2, îï åäåëß ùèå âåëè èíû î èáîê σ, ï åäñòàâëåíû íà èñ. 13 16. Ï è òîì íåîáõîäèìî óïîìßíóòü, òî â ï îöåññå îï åäåëåíèß ïà àìåò îâ ï îèçâîäèëàñü îòá àêîâêà íàáë äåíèé, íåâßçêè êîòî ûõ ï åâû àëè ïî âåëè èíå 3σ. Òàêèì îá àçîì, èç áàçû äàííûõ áûëî èñêë åíî íåñêîëüêî äåñßòêîâ òàêèõ íàáë äåíèé. Óæå îòìå àëîñü, òî äëß ïîâû åíèß îïå àòèâíîñòè âû èñëèòåëüíîãî ï îöåññà îöåíêè î áèòàëüíûõ ïà àìåò îâ îï åäåëßëèñü â äâà òàïà: ñíà àëà ñ óï îùåííîé ê óãîâîé ìîäåëü ãàëèëååâûõ ñïóòíèêîâ, à çàòåì ñ èñïîëüçîâàíèåì âûñîêîòî íîé òåî èè Ëåíåé L1. Â ñâßçè ñ òèì èíòå åñíî îòìåòèòü, òî íà îáîèõ òàïàõ ìû ïîëó àëè ïî òè îäíè è òå æå ñ åäíåêâàä àòè åñêèå î èáêè, õîòß ï è òîì îï åäåëßåìûå ïà àìåò û