ΕΝΟΤΗΤΑ η -ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ.1. ΓΕΝΙΚΑ Σύστημα αναφοράς καλούμε ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων, η αρχή του οποίουσυνήθως συμπίπτει με την αρχική θέση ενός σώματος. Το θεωρούμε ως κάτι στατικό ή κινούμενο με σταθερή ταχύτητα και με βάση αυτό γίνονται οι μετρήσεις. o Το διάστημα είναι ένα πρωταρχικό μέγεθος (θεμελιώδες).δεν μπορεί να οριστεί από κάτι άλλο, απλώς απαντάει στην ερώτηση :«πόσο μακριά είναι κάτι;» o Η ταχύτητα είναι παράγωγο μέγεθος αφού ο ορισμός της βασίζεται σε μια ερώτηση για το διάστημα: «πόσο γρήγορα αλλάζει το διάστημα;». Δηλ. είναι ο ρυθμός μεταβολής του διαστήματος! o Ομοίως η επιτάχυνση a βασίζεται σε μια ερώτηση για την ταχύτητα: «πόσο γρήγορα μεταβάλλεται η ταχύτητα;» είναι δηλ. ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας. o Στα προβλήματα,ως αφετηρία θεωρούμε συνήθως το σημείο όπου ο χρόνος t είναι μηδέν. Το διάστημα συνήθως είναι μηδενικό δηλ. 0 αλλά κάποιες φορές όχι όπως δείχνει και το σύμβολο o που στους τύπους όπου υπάρχει υποδηλώνει ότι την χρονική στιγμή μηδέν, το σώμα έχει απομακρυνθεί κατά o από την αρχή μέτρησης των αποστάσεων... ΟΙ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ Οι κινήσεις που γίνονται πάνω σε μία ευθεία,και διακρίνονται στα εξής είδη:..1 Η Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση (ΕΟΚ) Είναι η κίνηση στην οποία το μέγεθος που ονομάζεται ταχύτητα, παραμένει σταθερό. Η ταχύτητα είναι ένα μέγεθος διανυσματικό, έτσι για τον ορισμό της απαιτείται η γνώση των παρακάτω στοιχείων: Μέτρο, μ άλλα λόγια πόσο μεγάλη ή μικρή είναι.η τιμή της. Διεύθυνση, δηλ. ο άξονας πάνω στον οποίο κινείται το σώμα. Φορά, το προς τα πού γίνεται η κίνηση. Σημείο εφαρμογής,το σώμα στο οποίο γίνεται αναφορά. Ο ορισμός της ταχύτητας όπως ήδη έχουμε δει, είναι : «Ταχύτητα είναι ο ρυθμός μεταβολής του διαστήματος» ή με σύμβολα: Δ Δt ΣΧΟΛΙΑ ΕΠΙ ΤΟΥ ΤΥΠΟΥ 1) Oι μονάδες S.I. που προκύπτουν για την ταχύτητα αν αντικαταστήσουμε στον τύπο τις μονάδες των μεγεθών, είναι m/sec. 1
) Ο ρυθμός μεταβολής του διαστήματος δεν είναι πάντα σταθερός. Κάνοντας ένα ταξίδι με αυτοκίνητο,δεν περιμένουμε φυσικά η ταχύτητά του να είναι πάντα αναλλοίωτη. Τότε αν διαιρέσουμε την μεταβολή του με την μεταβολή του t, τι είναι αυτό που θα βρούμε; Θα είναι απλώς μια μέση τιμή της ταχύτητας που στην ουσία θα δείχνει τι ταχύτητα θα έπρεπε να είχε ένα κινητό σταθερής ταχύτητας για να διανύσει την ίδια απόσταση και στον ίδιο χρόνο με το δικό μας ρεαλιστικό κινητό. 3) Πώς θα μπορούσαμε να έχουμε την αληθινή τιμή μιας ταχύτητας; Πρέπει, ή: Α) Να θεωρήσουμε ιδανικά κινητά που να μπορούν να κρατούν για μεγάλο χρονικό διάστημα σταθερό το μέτρο και τη διεύθυνση της ταχύτητάς τους π.χ. πλοία ή καλύτερα αεροπλάνα ή ακόμα καλύτερα διαστημόπλοια, ή Β) το χρονικό διάστημα στο οποίο εξετάζουμε το κινητό μας να είναι απειροστά μικρό.σε αυτήν την περίπτωση, αναζητούμε μια τιμή οριακή (limit) καθώς το Δt τείνει στο μηδέν και θα έχουμε την λεγόμενη στιγμιαία ταχύτητα lim Δt 0 Δ Δt Πάντως αυτόν τον τύπο δεν θα τον χρησιμοποιούμε γιατί δεν μπορούμε να δουλέψουμε τα μαθηματικά που απαιτούνται. 4) Από τον ορισμό προκύπτει ότι αν το σώμα ξεκίνησε από μια θέση όπου 0,t0 τότε υ t Η προηγούμενη παρατήρηση μας δίνει και τον τύπο του διαστήματος:. t (-1) ο οποίος πάντως χρησιμοποιείται μόνο όταν έχουμε Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση ΣΤΟ ΕΞΗΣ ΘΑ ΚΑΝΟΥΜΕ ΤΗΝ ΠΑΡΑΔΟΧΗ ΟΤΙ ΕΧΟΥΜΕ ΤΕΤΟΙΑ ΚΙΝΗΣΗΕΟΚ διαγράμματα Ο τύπος της ταχύτητας μας δίνει μια σχέση μεταξύ του διαστήματος και της από αυτό παραγόμενης ταχύτητας.αν και τα δύο αυτά παρασταθούν σε σχέση με τον χρόνο,σε γραφικές παραστάσεις, θα λάβουμε τα διαγράμματα:
.. ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση (ΕΟΜΚ) Εδώ έχουμε ακόμα ένα παραγόμενο μέγεθος, την επιτάχυνση a η οποία παράγεται από την ταχύτητα, όπως είδαμε και στην αρχή, και άρα είναι ένα δεύτερο παραγόμενο μέγεθος του διαστήματος.εδώ θα αλλάξει και η σχέση που δίνει την ταχύτητα. Ο ορισμός της a είναι ι: a Δ Δt (-) Σε αντιστοιχία με τις παρατηρήσεις που είχαμε κάνει στον ορισμό της ταχύτητας, οι μονάδες της a θα είναι 1 m s s 1 m s ΣΤΟ ΕΞΗΣ ΘΑ ΚΑΝΟΥΜΕ ΤΗΝ ΠΑΡΑΔΟΧΗ ΟΤΙ ΟΤΑΝ ΕΧΟΥΜΕ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ ΑΥΤΗ ΘΑ ΕΧΕΙ ΣΤΑΘΕΡΟ ΜΕΤΡΟ. Σε αυτήν τη περίπτωση η γραφική παράσταση a-t θα είναι όπως στο σχ. -3 Το εμβαδό της γραφικής παράστασης θα δίνει την ταχύτητα που αποκτήθηκε ΜΕΤΑ την εφαρμογή της επιτάχυνσης (αφού συνήθως μπορεί να υπάρχει και μια αρχική ταχύτητα 0 στην αφετηρία). Η τελική ταχύτητα θα είναι το άθροισμα της 0 και του εμβαδού Ε a. t Έτσι παίρνουμε τη σχέση 0 + at (-3) η οποία όμως μπορεί να προκύψει και άμεσα από τον ορισμό της α. Η γραφ.παράσταση φαίνεται στο σχ -4. Η κλίση της ευθείας (είναι η ίδια) δείχνει την επιτάχυνση α ενώ το εμβαδόν (αφήνεται ως άσκηση) θα δώσει την απόσταση χ που διανύθηκε ΜΕΤΑ την εφαρμογή της επιτάχυνσης. Η σχέση είναι: o t + 1 a t (-4α)
Αν στην αφετηρία το κινητό έχει και απομάκρυνση ο από το «0» των αποστάσεων ο τύπος που θα δώσει το διάστημα θα είναι o + o t + 1 a t (-4β) Η γραφική παράσταση της εξίσωσης -4α είναι στο σχ-5 Οι προηγούμενοι τύποι μαζί με τον ορισμό της a περιγράφουν όλη την κίνηση που αποκαλούμε Ευθύγραμμη Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση (ΕΟΜΚ) και τις γραφικές παραστάσεις της. ΓΕΝΙΚΟΤΕΡΑ ΣΧΟΛΙΑ Εάν η μεταβολή της ταχύτητας είναι αρνητική, μ άλλα λόγια η ταχύτητα ελαττώνεται, σ αυτή την περίπτωση μιλάμε για επιβράδυνση. Τότε οι παραπάνω τύποι (-3) & (-4) γράφονται βάζοντας (-) στη θέση του (+),μόνο που θα πρέπει τότε να προσέξουμε στην αντικατάσταση των τιμών να βάλουμε την απόλυτη τιμή, το μέτρο δηλ. της επιτάχυνσης a και όχι την αρνητική αλγεβρική της τιμή,που πιθανόν προκύπτει από τα δεδομένα. Οι παραπάνω γρ.παραστάσεις θα γίνουν: 4
Είναι βασικό να καταλαβαίνουμε τι είδους κίνηση έχουμε την κάθε φορά,αφού π.χ. ο τύπος της ταχύτητας είναι διαφορετικός για ΕΟΚ και ΕΟΜΚ Στην επίλυση των προβλημάτων παρουσιάζονται περιπτώσεις όπου ένα σώμα κάνει διαδοχικά διάφορα είδη κινήσεων κινήσεων. Θα πρέπει σε τέτοιες περιπτώσεις με κάποια σύμβολα (αριθμούς ή γράμματα) να διαχωρίζουμε τα διάφορα στάδια και έτσι όταν θα αρχίσουμε να χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις κίνησης τα σύμβολα των μεγεθών (αποστάσεις, χρόνοι κ.τ.λ.) να έχουν ως δείκτες τα γράμματα ή αριθμούς που επιλέξαμε: Παράδειγμα Το κινητό του παρακάτω σχήματος,από την πόλη Α έως την πόλη Β εκτελεί ΕΟΜΚ, στην συνέχεια έως την πόλη Γ κινείται με σταθερή ταχύτητα και κατόπιν έως την πόλη Δ κινείται με επιβράδυνση οπότε και σταματάει στην Δ. Α Β Γ Δ Οι εξισώσεις θα είναι: διάστημα Α-Β: διάστημα Β-Γ: a t B A + AB AB AB A AB +, t 1 a ABtAB t,όπου ΒΓ ΒΓ ΒΓ ΒΓ B διάστημα Γ-Δ: 1 ( 0) Γ a ΓΔtΓ, Γ ΓtΓ a ΓΔtΓΔ, όπου βέβαια Γ Β Θα πρέπει να προσέξουμε ότι το αρνητικό πρόσημο για την a δεν σημαίνει υποχρεωτικά επιβράδυνση. Φανταστείτε για παράδειγμα ένα κινητό που κινείται από μια πόλη Α προς μια πόλη Β ελαττώνοντας την ταχύτητά του (επιβράδυνση). Στην πόλη Β το κινητό φτάνει με μηδενική ταχύτητα και στην συνέχεια κάνει αναστροφή και κινείται προς την πόλη Α αυξάνοντας το μέτρο της ταχύτητάς του (επιτάχυνση).εφ όσον εξετάζουμε συνεχόμενα το πρόβλημα είμαστε τώρα υποχρεωμένοι να αποδώσουμε στην ταχύτητα αρνητικές φορές κι έτσι η μεταβολή Δ έχει αρνητικό πρόσημο αλλά παρ όλα αυτά η ταχύτητα ως μέτρο 5
αυξάνει.(επιτάχυνση). Έτσι η a έχει τώρα αρνητική τιμή αν και η ταχύτητα αυξάνει καθώς κινείται ανάστροφα προς την πόλη Α. Η ανωτέρω παρατήρηση μπορεί να αποτυπωθεί και στα διαγράμματα a-t, -t που φαίνονται παρακάτω Όπως βλέπουμε στο διάγραμμα -t η συνεχώς μειούμενη κάποια στιγμή μηδενίζεται και μετά αποκτά αρνητικές τιμές που σημαίνει ότι αυξάνει τώρα το μέτρο της αλλά με αντίθετη φορά. Το διάγραμμα a-t έχει όλη αυτή την ώρα a με αρνητική τιμή χωρίς όμως αυτή να σημαίνει μείωση ταχύτητας σε όλη την διάρκεια του φαινομένου. Τέλος να εξηγήσουμε εδώ ότι όταν σε μια ΕΟΜΚ κινητό επιβραδύνεται μέχρι να ακινητοποιηθεί μπορούμε να βρούμε την απόσταση ακινητοποίησης απαλλαγμένη από τον χρόνο συνθέτοντας τις εξισώσεις (-3) & (-4α) με απαλοιφή του χρόνου. Αυτό θα μας δώσει τις εξισώσεις (που πάντως πρέπει να ξέρουμε να αποδεικνύουμε) : ακ t 0 a o a (-5a) (-5b)
..3 ελεύθερη πτώση & κατακόρυφη βολή Οι δύο αυτές κινήσεις δεν θα εξεταστούν ως κάτι ξεχωριστό, αφού προκαλούμενη από την δύναμη της βαρύτητας, ασκείται στη μεν ελεύθερη πτώση μια σταθερή επιτάχυνση, στη δε κατακόρυφη βολή μια σταθερή επιβράδυνση αντίστοιχα. Αυτές δεν είναι άλλες από την επιτάχυνση της βαρύτητας, που συμβολίζεται g και ισούται με 10m/sec. Ελεύθερη πτώση είναι η κίνηση που θα κάνει ένα σώμα αν αφεθεί ελεύθερο (δηλ.χωρίς αρχική ταχύτητα) να κινηθείι εντός του βαρυτικού πεδίου της Γης, υπό την επίδραση μόνο της βαρύτητας. Αντικαθιστώντας στις εξισώσεις (-3) & (-4), όπου το h(height) και όπου a το g,εύκολα βλέπουμε (αφήνεται ως άσκηση) ότι ισχύουν οι εξισώσεις: gt (-6a) h 1 gt (-6β) Κατακόρυφη βολή, είναι η εκτίναξη ενός σώματος με αρχική ταχύτητα 0,κατακόρυφα προς τα πάνω, υπό την επίδραση μόνο της βαρύτητας. Οι εξισώσεις εδώ θα είναι: (γιατί;) 0 gt 1, h 0t gt (-7α) (-7β) Τέλος αν για την τελευταία περίπτωση θα θέλαμε να βρούμε το μέγιστο ύψος στο οποίο θα φτάσει το σώμα και επειδή εκεί 0, συνδυάζοντας τις (-7a,β ) ανωτέρω και απαλείφοντας τον χρόνο όπως κάναμε και στις εξισώσεις (-5a,β ) παίρνουμε: h ma 0 g (-8) 7