Ελλθνικι Δθμοκρατία Σεχνολογικό Εκπαιδευτικό Κδρυμα Ηπείρου Ψθφιακι Επεξεργαςία ιματοσ Ενότθτα 5 : Θεϊρθμα Shanon Κωνςταντίνοσ Αγγζλθσ 1
Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα ςτο ΤΕΙ Ηπείρου Σμιμα Μθχανικϊν Πλθροφορικισ Σ.Ε. Ψθφιακι Επεξεργαςία ιματοσ Ενότητα 5: Θεϊρθμα Shanon Κωνςταντίνοσ Αγγζλθσ Κακθγθτισ Άρτα, 2015 2
Άδειεσ Χρήςησ Σο παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται ςε άδειεσ χριςθσ Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπωσ εικόνεσ, που υπόκειται ςε άλλου τφπου άδειασ χριςθσ, θ άδεια χριςθσ αναφζρεται ρθτϊσ. 3
Σκοποί ενότητασ ε ςυνζχεια τθσ προθγοφμενθσ ενότθτασ, παρουςιάηεται το βαςικό κεϊρθμα για τθν δειγματολθψία ενόσ αναλογικοφ ςιματοσ προκειμζνου να ανακαταςκευαςτεί. Περιγράφονται τα προβλιματα που προκφπτουν όταν δεν εφαρμόηεται το κεϊρθμα Shanon 4
Περιεχόμενα ενότητασ Το Θεϊρημα δειγματοληψίασ του Shannon Αποφυγή φαινομζνου αναδίπλωςησ Μαθηματική αναπαράςταςη δειγματοληψίασ Συνοπτική αναπαράςταςη A/D 5
Το Θεϊρημα δειγματοληψίασ του Shannon Ζνα αναλογικό ςιμα x(t) (ςιμα ςυνεχοφσ χρόνου) το οποίο δεν περιζχει ςυχνότθτεσ μεγαλφτερεσ τθσ f m μπορεί να ανακαταςκευαςτεί ακριβϊσ από τα δείγματα x n =x(nt s ), εάν θ ςυχνότθτα δειγματολθψίασ ικανοποιεί τθ ςχζςθ f s 2f m. 6
s(t) Ψθφιακά Επεξεργαςία ιματοσ-ενότθτα-5-θεϊρθμα Shanon-Μθχανικϊν Πλθροφορικισ Σ.Ε. s(t) Το Θεϊρημα δειγματοληψίασ του Shannon (α) (β) Χρόνος t Χρόνος t Αναλογικό ςιμα x(t) (ςιμα ςυνεχοφσ χρόνου) Δειγματολθψία ςε ςυχνότθτα f s =2f a. 7
s(t) Το Θεϊρημα δειγματοληψίασ του Shannon Δειγματολθψία ςε ςυχνότθτα f s <2f a. Παρατθρείται θ εμφάνιςθ του φαινομζνου αναδίπλωςθσ. (α) Χρόνος t 8
s(t) Το Θεϊρημα δειγματοληψίασ του Shannon Δειγματολθψία ςε ςυχνότθτα f s >>2f a δίνει πολφ πιο ακριβι αναπαράςταςθ του αρχικοφ ςιματοσ. (β) Χρόνος t 9
S(f) Ψθφιακά Επεξεργαςία ιματοσ-ενότθτα-5-θεϊρθμα Shanon-Μθχανικϊν Πλθροφορικισ Σ.Ε. S(f) Αποφυγή φαινομζνου αναδίπλωςησ -f m Σστνότητα f Ευρφ φάςμα για ζνα τυπικό ςιμα ειςόδου f m -2f m -f m f m 2f m Σστνότητα f Δειγματολθψία ευρζωσ φάςματοσ με ςυχνότθτα f s =2f a. ε αυτι τθν περίπτωςθ παρατθρείται αναδίπλωςθ 10
S(f) Αποφυγή φαινομζνου αναδίπλωςησ Εφαρμογι χαμθλοπερατοφ φίλτρου για τον περιοριςμό τθσ υψθλισ ςυχνότθτασ ςτθν f m. -f m f m Σστνότητα f 11
Μαθηματική αναπαράςταςη δειγματοληψίασ Η βαςικότερθ διαφορά μεταξφ ςθμάτων ςυνεχοφσ και διακριτοφ χρόνου: Οι ςυχνότθτεσ των αναλογικϊν ςθμάτων παίρνουν τιμζσ ςτο διάςτθμα [0 ) Ενϊ οι αντίςτοιχεσ των ψθφιακϊν περιορίηονται ςτο [0 1/2]. τον ςυνεχι χρόνο: 0<T< θ αναλογικι ςυχνότθτα f=1/σ βρίςκεται μεταξφ των ορίων 0<f<. 12
s(t) s(t) Ψθφιακά Επεξεργαςία ιματοσ-ενότθτα-5-θεϊρθμα Shanon-Μθχανικϊν Πλθροφορικισ Σ.Ε. Μαθηματική αναπαράςταςη δειγματοληψίασ το διακριτό χρόνο: Η μικρότερθ δυνατι περίοδοσ που επιτρζπει εναλλαγι είναι για N=2.Επομζνωσ για τον διακριτό χρόνο θ περίοδοσ N ικανοποιεί 2<N< θ αντίςτοιχθ ςυχνότθτα λ=1/n να περιορίηεται ςτα όρια 0<λ<1/2 (α) (β) T Χρόνος t N Χρόνος t 13
Μαθηματική αναπαράςταςη δειγματοληψίασ τθν Ψθφιακι Επεξεργαςία ιματοσ: Δειγματολθψία ςθμαίνει πολλαπλαςιαςμόσ του αρχικοφ αναλογικοφ ςιματοσ με μια περιοδικι δζλτα ςυνάρτθςθ δ(t) ι κρουςτικι απόκριςθ ι ςυνάρτθςθ Dirac 14
s(t) s(t) Ψθφιακά Επεξεργαςία ιματοσ-ενότθτα-5-θεϊρθμα Shanon-Μθχανικϊν Πλθροφορικισ Σ.Ε. Μαθηματική αναπαράςταςη δειγματοληψίασ 4 2 Χρόνος t 0 0 2 4 6 8 Χρόνος t Ιδανικόσ Παλμόσ του οποίου: Εφροσ = 0 Πλάτοσ = ( t) dt 1 τθν Πράξθ Παλμόσ του οποίου: Εφροσ = Α Πλάτοσ = 1 (t) dt 15
f(t) Ψθφιακά Επεξεργαςία ιματοσ-ενότθτα-5-θεϊρθμα Shanon-Μθχανικϊν Πλθροφορικισ Σ.Ε. Μαθηματική αναπαράςταςη δειγματοληψίασ Χρόνος t Αναλογικό ςιμα ειςόδου f(t). Ακολουκία κρουςτικϊν αποκρίςεων ςε ίςεσ χρονικζσ αποςτάςεισ μεταξφ τουσ t s. 16
Μαθηματική αναπαράςταςη δειγματοληψίασ Σο ςιμα s(t) δίνεται από τθ ςχζςθ: s( t) t... t 2t t t t t t t 2t... t s s s s s( t) n n t nt s 17
y(t) y(t) Ψθφιακά Επεξεργαςία ιματοσ-ενότθτα-5-θεϊρθμα Shanon-Μθχανικϊν Πλθροφορικισ Σ.Ε. Μαθηματική αναπαράςταςη δειγματοληψίασ Χρόνος t Χρόνος t y( t) f ( t) s( t) n n f ( t) t nt s 18
Συνοπτική αναπαράςταςη A/D anti-aliasing LPF, δειγματολθψία και κράτθςθ Αναλογικό Σήμα Εισόδου LPF Sample Hold 19
θμείωμα Αναφοράσ Copyright Σεχνολογικό Κδρυμα Ηπείρου. Κωνςταντίνοσ Αγγζλθσ. Ψθφιακι Επεξεργαςία ιματοσ. Ζκδοςθ: 1.0 Άρτα, 2015. Διακζςιμο από τθ δικτυακι διεφκυνςθ: http://eclass.teiep.gr/courses/comp102/ Ειςαγωγή, Θεϊρημα Ενότθτα Shanon 2, Ενότθτα Σμιμα 5, Μθχανικϊν Σμιμα Μθχανικϊν Πλθροφορικισ Πλθροφορικισ Σ.Ε., ΣΕΙ ΗΠΕΙΡΟΤ Σ.Ε., ΣΕΙ ΗΠΕΙΡΟΤ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Μαθήματα ςτο ΤΕΙ Ηπείρου ςτο ΤΕΙ Ηπείρου 20
θμείωμα Αδειοδότθςθσ Σο παρόν υλικό διατίκεται με τουσ όρουσ τθσ άδειασ χριςθσ Creative Commons Αναφορά Δθμιουργοφ-Μθ Εμπορικι Χριςθ-Όχι Παράγωγα Ζργα 4.0 Διεκνζσ [1] ι μεταγενζςτερθ. Εξαιροφνται τα αυτοτελι ζργα τρίτων π.χ. φωτογραφίεσ, Διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριζχονται ςε αυτό και τα οποία αναφζρονται μαηί με τουσ όρουσ χριςθσ τουσ ςτο «θμείωμα Χριςθσ Ζργων Σρίτων». Ο δικαιοφχοσ μπορεί να παρζχει ςτον αδειοδόχο ξεχωριςτι άδεια να χρθςιμοποιεί το ζργο για εμπορικι χριςθ, εφόςον αυτό του ηθτθκεί. [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.el 21
Τζλοσ Ενότητασ Επεξεργαςία: Κολοβοφ Ξανθή Άρτα, 2015 22
Διατιρθςθ θμειωμάτων Οποιαδιποτε αναπαραγωγι ι διαςκευι του υλικοφ κα πρζπει να ςυμπεριλαμβάνει: το θμείωμα Αναφοράσ το θμείωμα Αδειοδότθςθσ τθ Διλωςθ Διατιρθςθσ θμειωμάτων το θμείωμα Χριςθσ Ζργων Σρίτων (εφόςον υπάρχει) μαηί με τουσ ςυνοδευόμενουσ υπερςυνδζςμουσ. Θεϊρημα Shanon- Ενότθτα 5, Σμιμα Μθχανικϊν Πλθροφορικισ Σ.Ε., ΣΕΙ ΗΠΕΙΡΟΤ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα ςτο ΤΕΙ Ηπείρου 23
Σζλοσ Ενότθτασ Θεϊρθμα Shanon 24