Ενότητα 7: Ανάλυση ιασποράς µε έναν παράγοντα (One way Analysis of Variance)

Ενότητα 7: Ανάλυση ιασποράς ε έναν παράγοντα Oe wy yss of Vrce Σε αυτή την ενότητα θα εξετάσουε ένα ειδικό πρόβληα γραικής παλινδρόησης το ο- ποίο εφανίζεται αρκετά συχνά στις εφαρογές. Συγκεκριένα θέλουε να διερευνήσουε πώς ε- πηρεάζεται ία sced εταβλητή Υ από ία κατηγορική εταβλητή X ord ή o η οποία λαβάνει τιές. Η εταβλητή Χ καλείται και παράγοντας fcor ε στάθες. Για το σκοπό αυτό λαβάνουε τυχαία δείγατα της εταβλητής : Θεωρούε το οντέλο... όταν ο παράγοντας X βρίσκεται στην η στάθη... όταν ο παράγοντας X βρίσκεται στην η στάθη... όταν ο παράγοντας X βρίσκεται στην -οστή στάθη ε... ε X στην η στάθη... X στην η στάθη ε... X στην -οστή στάθη όπου τα «σφάλατα» ε είναι ανεξάρτητες τ.. που ακολουθούν N0σ. Ουσιαστικά θεωρούε ότι η εταβλητή Υ ~ Ν σ όταν ο παράγοντας X βρίσκεται στην -στάθη. Μας ενδιαφέρει να εκτιήσουε τα και το σ και να ελέγξουε αν είναι ίσα ή υπάρχει διαφορά εταξύ τους. Με άλλα λόγια θέλουε να ελέγξουε αν η εταβλητή Υ έχει διαφορετική «συπεριφορά» στις διαφορετικές στάθες της X. Το συγκεκριένο πρόβληα πορεί να θεωρηθεί και ως ία επέκταση του -τεστ που χρησιοποιείται για τον έλεγχο της ισότητας των έσων δύο ανεξάρτητων κανονικών πληθυσών. Όπως έχει ήδη αναφερθεί το παραπάνω οντέλο πορεί να θεωρηθεί και ως ια ειδική περίπτωση ενός πολλαπλού γραικού οντέλου. Πράγατι όλες οι παραπάνω σχέσεις γράφονται σε ία σχέση ως εξής: X ε όπου 0 0 ε 0 0 0 0 0 0 0 0 X O O 0 0 O 0 0 ε ε ε ε. ε ε όπου ε ~ Ν0σ Ι και εποένως έχουε ένα πολλαπλό γραικό οντέλο ε ειδικής ορφής πίνακα σχεδιασού Χ. Bouss.V. 00 Σηειώσεις αθήατος «Στατιστικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Ασφ. Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 8

Bouss.V. 00 Σηειώσεις αθήατος «Στατιστικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Ασφ. Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 86 7.. Εκτίηση των παραέτρων και σ Για την εκτίηση των παραέτρων του οντέλου πορούε να χρησιοποιήσουε τους γενικούς τύπους που ισχύουν για το γενικό πολλαπλό γραικό οντέλο βλ. Ενότητα 6 ή να εργαστούε εξαρχής αναζητώντας τις ε..π. ή ισοδύναα τις εκτιήτριες ελαχίστων τετραγώνων. Σε κάθε περίπτωση είναι εύκολο να διαπιστώσουε ότι οι εκτιήτριες των παραέτρων έχουν την α- κόλουθη απλή ορφή... ι. Όλες οι ποσότητες που χρησιοποιήθηκαν στο πολλαπλό γραικό οντέλο πορούν να χρησιοποιηθούν και εδώ. Για παράδειγα οι προσαροσένες τιές των Υ και τα κατάλοιπα θα είναι X ε και συγκεκριένα ε. Ως εκτιήτρια της διασποράς σ των σφαλάτων πορούε να θεωρήσουε όπως και στο πολλαπλό γραικό οντέλο την σ. 7.. Έλεγχοι υποθέσεων και δ.ε. για τις παραέτρους του οντέλου. Είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι ~ N σ και εποένως ~ από όπου προκύπτει ότι το είναι ένα δ.ε. για το συντελεστού. Το συγκεκριένο δ.ε. χρησιοποιεί ως εκτίηση του σ την η οποία βασίζεται στις παρατηρήσεις από όλες τις στάθες του παράγοντα pooed ese. Η εκτιήτρια αυτή είναι η καλύτερη που πορούε να πάρουε αρκεί η διασπορά των σφαλάτων να είναι σταθερή και ίση ε σ σε όλες τις στάθες του παράγοντα Χ. Εάν δεν είαστε σίγουροι ότι κάτι τέτοιο συβαίνει πορούε να εκτιήσουε την διασπορά των σφαλάτων ξεχωριστά σε κάθε στάθη er ese και να πάρουε το δ.ε για το συντελεστού. Σε αυτό το οντέλο ας ενδιαφέρει ο έλεγχος Η 0 : για. Επειδή ~ N σ προκύπτει το δ.ε. συντελεστού για το

ενώ θα απορρίπτεται η Η 0 : έναντι της Η : όταν T > όπου T ~ H0 ε αντίστοιχο p-vue για δείγα που έδωσε T p vue T > F. 7.. Ερηνεύοντας τη συνολική εταβλητότητα του οντέλου Το οντέλο που εξετάζουε αποτελεί υποπερίπτωση του πολλαπλού γραικού οντέλου και εποένως πορούε απευθείας και εδώ να πούε ότι η διασπορά των παρατηρήσεων χωρίζεται σε δύο αθροίσατα θα πορούσε εύκολα να αποδειχθεί και ανεξάρτητα τα οποία συβολίζονται και πάλι ε T E και R ή Tr αντίστοιχα το συβολίζεται και ε. Αν θεωρήσουε ότι οι παρατηρήσεις χωρίζονται σε οάδες ία για κάθε στάθη του παράγοντα τότε το E πορεί να θεωρηθεί ως η εταβλητότητα «εντός των οάδων» u of qures W Groups ενώ το R η εταβλητότητα «εταξύ των οάδων» u of qures Bewee Groups. Αποδεικνύεται εδώ εύκολα ότι E χ σ ~ σ σ ενώ όταν τότε αποδεικνύεται ότι Tr T ~ χ ~ χ. σ σ διαφορετικά ακολουθούν κάποιες η-κεντρικές κατανοές χι-τετράγωνο. Εποένως αν το πηλίκο Tr Tr F σ ~ F E E σ Tr και E είναι ανεξάρτητες. Αντίστοιχα ε το πολλαπλό γραικό οντέλο πορούε να κατασκευάσουε έναν έλεγχο για την υπόθεση Η 0 : δηλ. ότι η Υ συπεριφέρεται το ίδιο σε όλες της στάθες του παράγοντα άρα είναι ανεξάρτητη του παράγοντα. Θα απορρίπτεται η Η 0 όταν ε.σ. α Tr F > F : άνω -σηείο της κατανοής F ε και β.ε. E Στο πολλαπλό γραικό οντέλο ο ίδιος έλεγχος χρησιοποιείται για την υπόθεση b b b p- 0 ενώ εδώ για την κ όχι 0. Η διαφορά έδω είναι το έχουε ένα οντέλο χωρίς σταθερά ο πίνακας σχεδιασού X δεν έχει στην πρώτη στήλη ονάδες διότι Υ ε. Εάν όως θέσουε Σ 0 τότε το παραπάνω γράφεται ισοδύναα ως οντέλο ε σταθερά ως εξής Υ ε. στο οποίο το F-τεστ ελέγχει αν κ 0 δηλαδή. Bouss.V. 00 Σηειώσεις αθήατος «Στατιστικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Ασφ. Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 87

ε αντίστοιχο p-vue: Tr p vue FF E Όλες οι παραπάνω ποσότητες συνοψίζονται στον πίνακα ανάλυσης διασποράς NOV: ode u of qures df e qure F-Ro g. p-vue Bewee Tr Tr Tr Tr Groups Tr FF E E W E E Groups E To Τ 7.. Πολλαπλές συγκρίσεις Μία από τις κύριες επιδιώξεις ας στο οντέλο αυτό είναι να ελέγξουε αν η Υ παρουσιάζει διαφορετική συπεριφορά στις διάφορες στάθες του παράγοντα Χ. Μπορούε ε βάση το F-τεστ που είδαε παραπάνω να εξετάσουε την Η 0 :. Εάν απορριφθεί η συγκεκριένη υπόθεση ας ενδιαφέρει να εξετάσουε ποια διαφέρουν από τα υπόλοιπα. Για το σκοπό αυτό πορούε να κάνουε όλες τις ανά δύο συγκρίσεις των έσων πολλαπλές συγκρίσεις. Εάν έχουε στάθες τότε θα πρέπει να ελέγξουε υποθέσεις ισότητας έσων ανά δύο. Π.χ. αν πορούε να κάνουε όλους τους ελέγχους Η 0 : Η 0 : Η 0 : ε εναλλακτικές τις αφίπλευρες. Μπορούε να ελέγξουε κάθε ία από τις παραπάνω υ- ποθέσεις ξεχωριστά ε -ess σε ε.σ. ε τον τρόπο που είδαε στην Παράγραφο 7.. και στη συνέχεια να δούε ποιοι έσοι διαφέρουν και να τους κατατάξουε οαδοποιήσουε. Π.χ. αν απορρίψουε τις υποθέσεις Η 0 : και Η 0 : ενώ δεν απορρίψουε ότι Η 0 : τότε πορούε να πούε ότι ο έσος διαφέρει από τους άλλους δύο οι οποίοι πορεί να είναι ίσοι «πιθανές» οάδες από ίσους έσους: { {. Εάν σε άλλη περίπτωση απορρίψουε όνο την Η 0 : ενώ τότε ο διαφέρει από τον ενώ ο πορεί να είναι ίσος είτε ε τον είτε ε τον «πιθανές» οάδες από ίσους έσους: { {. Η παραπάνω διαδικασία κατά την οποία συγκρίνουε όλους τους έσους ανά δυο έλεγχος τo πλήθος υποθέσεων έσω -es κάθε φορά σε στάθη καλείται έθοδος D es gfc Dfferece. Η έθοδος αυτή έχει ένα ειονέκτηα: η πιθανότητα λανθασένης απόρριψης κάποιας από τις αυτές υποθέσεις δεν είναι αλλά αρκετά εγαλύτερη. Πράγατι αν είναι το ενδεχόενο να απορρίψουε την -υπόθεση τότε η πιθανότητα λανθασένης απόρριψης κάποιας από τις υποθέσεις ενώ θα είναι C C U UU I II Bouss.V. 00 Σηειώσεις αθήατος «Στατιστικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Ασφ. Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 88 C C C C θα ίσχυε ισότητα αν οι απορρίψεις είναι ανεξάρτητες που εδώ δεν είναι δηλαδή αρκετά εγαλύτερη του ειδικά για εγάλο. Μας ενδιαφέρει να γίνει η πολλαπλή σύγκριση έτσι ώστε ε πιθανότητα το πολύ να κάνουε τουλάχιστον ια λανθασένη απόρριψη στους ελέγχους δηλ. συνολική σφάλα τύπου Ι. Για το σκοπό αυτό έχουν προταθεί διάφορες έθοδοι. Στη συνέχεια θα εξετάσουε όνο δύο από αυτές: τη έθοδο Boferro και την έθοδο Tuey. Η έθοδος Boferro. Ένας απλός αλλά όχι τόσο αποτελεσατικός τρόπος για να παραείνει η σφάλα τύπου Ι στην πολλαπλή σύγκριση είναι να κάνουε κάθε έναν από τους ελέγχους

Bouss.V. 00 Σηειώσεις αθήατος «Στατιστικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Ασφ. Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 89 Η 0 : όχι σε ε.σ. α όπως στην έθοδο D αλλά σε ε.σ. ώστε η πιθανότητα λανθασένης απόρριψης τουλάχιστον ιας υπόθεσης να είναι UU U. Η παραπάνω έθοδος συνήθως προτιάται όταν το είναι ικρό. Ισοδύναα πορούε να διατηρήσουε το ίδιο ε.σ. σε κάθε έναν από τους ελέγχους αλλά να πολλαπλασιάσουε τα αρχικά p- vue που προκύπτουν από την έθοδο D ε. Έτσι αν ένας έλεγχος δίνει p-vue p 0 ε την έθοδο D θεωρούε ότι ε την έθοδο Boferro θα έχει p-vue p 0 ή καλύτερα { p 0. b. Η έθοδος Tuey. Η έθοδος αυτή βασίζεται στην κατανοή του τυποποιηένου εύρους από ανεξάρτητες κανονικές. Συγκεκριένα έστω Ζ Ζ... Ζ r ανεξάρτητες τ.. από την Ν0d και έ- στω D ία εκτιήτρια του d τ.. ανεξάρτητη των Ζ τέτοια ώστε ~ v d vd χ για κάποια παρά- ετρο v. Η κατανοή F Rrv του τυποποιηένου εύρους D R r r v r... {... x{. έχει ελετηθεί και έστω qrv τα άνω -σηεία της. Η έθοδος Tuey για ισοεγέθη δείγατα. Αν ισοεγέθη δείγατα στις στάθες του παράγοντα τότε οι τ..... είναι ανεξάρτητες τ.. και ακολουθούν Ν0 d σ. Επίσης αν επιλέξουε D τότε ~ d D χ και D ανεξ. των και εποένως σύφωνα και ε τα παραπάνω το τυποποιηένο εύρος D R { { x... {... x{ θα έχει γνωστή κατανοή την F R- και άνω -σηεία τα q. Εποένως q { { x. Είναι εύκολο τώρα να επαληθεύσουε ότι το ενδεχόενο στην παραπάνω πιθανότητα είναι ίσο ε το ενδεχόενο q για κάθε και άρα τελικά q κάθε για ή ισοδύναα q q κάθε για από όπου προκύπτει ένα πολλαπλό δ.ε. ή ένα σύνολο από ταυτόχρονα δ.ε. για τις διαφορές ε συνολικό σ.ε.. Επίσης αν απορρίψουε την υπόθεση όταν

T > q όπου T για η πιθανότητα να κάνουε τουλάχιστον ια λάθος απόρριψη στους ελέγχους ίση ε. Το p-vue του ελέγχου θα είναι για δείγα που έδωσε T p vue T > FR. Η έθοδος Tuey για ανισοεγέθη δείγατα. Η έθοδος Tuey πορεί να τροποποιηθεί ώστε να εφαρόζεται και στην περίπτωση που έχουε ανισοεγέθη δείγατα στις διάφορες στάθες του παράγοντα. Παρατηρούε ότι τώρα η τ.. δεν έχει διασπορά αλλά. Εφαρόζουε λοιπόν ακριβώς τα ίδια ε παραπάνω όνο που στη θέση του στα δ.ε. για το και στον αντίστοιχο έλεγχο χρησιοποιούε το. ηλαδή αντί του χρησιοποιούε τον αρονικό έσο των. Το πολλαπλό δ.ε. που προκύπτει θα έχει προσεγγιστικά συντελεστή επιστοσύνης. 7.. Έλεγχος οοσκεδαστικότητας των παρατηρήσεων Για να είναι αξιόπιστα όλα τα παραπάνω θα πρέπει τα σφάλατα ή ισοδύναα τα να έχουν την ίδια διασπορά σ. Εποένως θα πρέπει στα πλαίσια ελέγχου ορθότητας του οντέλου να εξετάσουε αν κάτι τέτοιο πράγατι ισχύει. Μπορούε και πάλι να χρησιοποιήσουε το evee s τεστ οοσκεδαστικότητας που έχουε χρησιοποιήσει για τον ίδιο σκοπό σε προηγούενη ενότητα κατά τον έλεγχο των έσων δύο ανεξάρτητων πληθυσών. Το τεστ αυτό βασίζεται στην ανάλυση διασποράς και εποένως τώρα είαστε σε θέση να το περιγράψουε. Βασίζεται στις τυχαίες εταβλητές W...... Αν τα Υ έχουν την ίδια διασπορά σε όλες τις στάθες τότε τα W θα έχουν την ίδια έση τιή σε όλες τις στάθες του παράγοντα Χ. Εποένως αρκεί να ελέγξουε αν οι τ.. W έχουν την ίδια έση τιή σε όλες τις στάθες του παράγοντα Χ. Αυτό πορεί εύκολα να γίνει ε την εθοδολογία που αναπτύχθηκε στην συγκεκριένη ενότητα ανάλυση διασποράς. Το evee τεστ ουσιαστικά είναι το F-ro τεστ του πίνακα NOV που αντιστοιχεί στο οντέλο ανάλυσης διασποράς της W ως προς τον παράγοντα X δηλ. βασίζεται στην στατιστική συνάρτηση Tr W W W F. EW W W Αν ε βάση αυτό το F-ro τεστ απορρίπτεται ότι ο θεωρητικός έσος της W είναι σταθερός σε όλες τις στάθες της Χ τότε απορρίπτεται ότι και η θεωρητική διασπορά της είναι σταθερή σε όλες τις στάθες της Χ. Ο έλεγχος αυτός είναι περισσότερο ευσταθής από άλλα παρόοια τεστ Bre Cocr Hrey στην περίπτωση η-κανονικότητας των παρατηρήσεων. Άσκηση. Σε ια έρευνα που έγινε στο πανεπιστήιο Μελβούρνης επελέγη τυχαία ένα δείγα α- ντρών και γυναικών διαφόρων ηλικιών το οποίο και υποβλήθηκε σε ένα τεστ αντοχής στον σωατικό πόνο. Στον ακόλουθο πίνακα δίνεται για κάθε ένα άτοο του δείγατος ο δείκτης αντοχής στον πόνο ο οποίος εξήχθη ε βάση το τεστ αυτό εγαλύτερος δείκτης σηαίνει εγαλύτερη αντοχή. Σε κάθε άτοο του δείγατος καταγράφεται επίσης και το φυσικό χρώα των αλλιών: ανοιχτό ξανθό σκούρο ξανθό ανοιχτό ελαχρινό σκούρο ελαχρινό. Έχει ενδιαφέρον να εξετάσουε αν υπάρχουν διαφορές στην έσο δείκτη αντοχής στον πόνο εταξύ των ατόων ε διαφορετικό χρώα αλλιού. Bouss.V. 00 Σηειώσεις αθήατος «Στατιστικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Ασφ. Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 90

Χρώα αλλιών είκτης αντοχής Χρώα αλλιών είκτης αντοχής Χρώα αλλιών είκτης αντοχής Χρώα αλλιών είκτης αντοχής 6 6 60 7 0 9 7 7 0 8 ccve J. T. d Derc II F. H. 99. scs. Dee ubsg Frcsco Exercse 0.0. Για να ληφθεί ία πρώτη εικόνα κατασκευάστε ένα scerpo και ένα Boxpo του δείκτη αντοχής για κάθε στάθη του παράγοντα «χρώα αλλιών». Ο δείκτης φαίνεται να επηρεάζεται από το χρώα των αλλιών; Αν Υ είναι δείκτης αντοχής στον πόνο του -ατόου ε -χρώα αλλιών εφαρόστε το οντέλο ε ε ε ε παράγοντας «χρώα» στην η στάθη παράγοντας «χρώα» στην η στάθη παράγοντας «χρώα» στην η στάθη παράγοντας «χρώα» στην η στάθη ή συνοπτικά ε όπου είναι ο έσος δείκτης αντοχής ατόου ε χρώα αλλιού και τα «σφάλατα» ε είναι ανεξάρτητες τ.. που ακολουθούν N0σ. Εκτι- ήστε τα σηειακά και ε δ.ε. συντελεστού 9% το καθένα. Εκτιήστε την διασπορά των σφαλάτων. Ελέγξτε την υπόθεση Η 0 : σε ε.σ. %. Ο παράγοντας «χρώα αλλιών» επιδρά στο δείκτη αντοχής στον πόνο; Να κατασκευάσετε τα γραφήατα των δ.ε. 9% των. Βρείτε 9% δ.ε. για τη διαφορά και 9% δ.ε. για τη διαφορά. Το διαφέρει από το ; ε.σ. %. Το διαφέρει από το ; ε.σ. %. Να δοθούν ταυτόχρονα δ.ε. ε συνολικό σ.ε. 9% για τις διαφορές των ανά δύο ε τις εθόδους Boferro και b Tuey. Να γίνει οαδοποίηση των έσων ε τη έθοδο Tuey ώστε η συνολική πιθανότητα σφάλατος να είναι %. 6 Να ελέγξετε αν ο δείκτης αντοχής στον πόνο έχει πράγατι την ίδια διασπορά σ σε όλες τις στάθες του παράγοντα «χρώα αλλιών». 7 Θα πορούσαε σε αυτά τα δεδοένα να εφαρόσουε ένα απλό γραικό οντέλο; Λύση. Εισάγουε τις 9 περιπτώσεις στο σε δύο εταβλητές στήλες: HCOOR CORE Για το scerpo επιλέγουε : Grpscerpospe xs: CORE X xs: HCOOR. Για Boxpo: GrpsBoxpope: Vrbe: CORE Cegory xs: HCOOR. 80 80 70 70 60 60 0 0 7 0 0 CORE 0 0 0 N 0 0 0 0 CORE 0 HCOOR HCOOR Bouss.V. 00 Σηειώσεις αθήατος «Στατιστικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Ασφ. Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 9

Και από τα δύο γραφήατα φαίνεται να υπάρχει ία είωση του έσου δείκτη όσο πηγαίνουε από ξανθά σε ελαχρινά άτοα. εν πορούε όως άεσα να πούε ότι αυτή η είωση είναι στατιστικά σηαντική πορεί π.χ. να οφείλεται στο ότι το τυχαίο δείγα είναι ικρό. Επιλέγουε yzecopre esoe-wy NOV Depede s: CORE Fcor: HCOOR Opos: Cec Descrpve λαβάνεται ο πίνακας ε τα Descrpves: Descrpves CORE To 9% Cofdece Ierv for e N e d. Devo d. Error ower Boud Upper Boud u xu 90 8 8 86 6979 8 7 0 98 967 67 6 0 7 8 7 7 0 70 8 7 706 77 0 9 78 6 6 6 0 7 Ο οποίος περιέχει τις εκτιήσεις των 9... 7. καθώς και τα αντίστοιχα δ.ε. το καθένα συντελεστού 9% ε βάση τα er eses του σ. Ειδικότερα περιέχει τις ποσότητες N e d. Dev. d. Error owerupper Boud ± Ενώ η τελευταία γραή περιέχει τις ποσότητες To T T T ± όπου 0.0 Επίσης από την ανάλυση αυτή δίνεται και ο πίνακας NOV που περιγράψαε παραπάνω. NOV CORE Bewee Groups W Groups To u of qures df e qure F g. 6076 7 679 00 00800 66787 66 8 Η διασπορά των σφαλάτων ως γνωστό εκτιάται από το E που δίνεται στον πίνακα NOV και είναι 66.787. Αυτό είναι και το pooed ese της διασποράς σ. Ο έλεγχος της υπόθεσης Η 0 : έναντι της Η : διαφορετικά γίνεται χρησιοποιώντας το F - es του πίνακα NOV. Εάν ίσχυε η Η 0 η τιή F 6.79 θα έπρεπε να προέρχεται από την κατανοή F edecor ε και β.ε.. Το αντίστοιχο p-vue είναι όλις 0.00 χοντρικά όλις στο 0.00 των περιπτώσεων λαβάνουε ένα τόσο «ακραίο» δείγα υπό την Η 0 και εποένως απορρίπτουε την Η 0 ε.σ. %. Οι έσες τιές του δείκτη αντοχής στον πόνο δεν είναι ίσες σε όλες τις στάθες του παράγοντα «χρώα αλλιών» Επιλέγουε Grpserror brsspe vrbe: CORE Cegory xs: HCOOR c.. for e eve: 9% από όπου λαβάνουε το γράφηα ε τα δ.ε. για τα το καθένα συντελεστού 9% ε βάση τα dvdu vrce eses. Bouss.V. 00 Σηειώσεις αθήατος «Στατιστικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Ασφ. Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 9

80 70 60 0 9% CI CORE 0 0 0 N HCOOR Από το γράφηα φαίνεται και πάλι ια τάση είωσης του έσου δείκτη αντοχής όσο πάε προς ελαχρινότερα άτοα. Θα πορούσε όως π.χ. ο έσος δείκτης να είναι ίσος εταξύ των ξανθών στάθη και ίσος εταξύ των ελαχρινών ατόων στάθη ενώ να υπάρχει διαφορά εταξύ των ξανθών και ελαχρινών. Για να πορέσουε να κάνουε ια τέτοια «οαδοποίηση» των έσων θα πρέπει να προχωρήσουε σε κάποια έθοδο πολλαπλών συγκρίσεων. Επιλέγουε yzecopre esoe-wy NOV Depede s: CORE Fcor: HCOOR : os Hoc: D απ όπου λαβάνουε τις συγκρίσεις όλων των έσων ανά δύο κάθε δ.ε. για τη διαφορά των έσων είναι συντελεστού 9%: Depede Vrbe: CORE D upe Coprsos I HCOOR J HCOOR *. Te e dfferece s sgfc e.0 eve. e Dfferece 9% Cofdece Ierv I-J d. Error g. ower Boud Upper Boud 800 7-0 90 670* 8 008 0 88 80* 7 00 078 8-800 7-90 0 870 8-98 08 80* 7 07 78 8-670* 8 008-88 -0-870 8-08 98 0 8 67-68 678-80* 7 00-8 -078-80* 7 07-8 -78-0 8 67-678 68 Ο παραπάνω πίνακας περιέχει σε κάθε γραή τις ποσότητες e Dfferece s.e. g. B UB F ± s. e. s. e. Ένα 9% δ.ε. για τη διαφορά είναι το 0.78.8 ενώ ένα 9% δ.ε. για τη διαφορά είναι το 6.8 6.78. Το διαφέρει από το σε ε.σ. % διότι το αντίστοιχο p-vue είναι 0.00 ενώ δεν έχουε αρκετά στοιχεία για να πούε ότι το διαφέρει από το p-vue 0.67. οι έλεγχοι πορούν να γίνουν σε ε.σ. % ε βάση και τα δ.ε. συντ. 9%. Επιλέγουε yzecopre esoe-wy NOV Depede s: CORE Fcor: HCOOR : os Hoc: Boferro Tuey απ όπου λαβάνουε τις συγκρίσεις όλων των έσων ανά δύο ε την έθοδο Boferro ένα σύνολο από ταυτόχρονα δ.ε. για τις διαφορές ε συ- Bouss.V. 00 Σηειώσεις αθήατος «Στατιστικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Ασφ. Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 9

νολικό συντελεστή επιστοσύνης τουλάχιστον και τη έθοδο Tuey ταυτόχρονα δ.ε. ε συνολικό συντελεστή επιστοσύνης περίπου για ανισοεγέθη δείγατα. Depede Vrbe: CORE upe Coprsos Tuey HD Boferro I HCOOR J HCOOR *. Te e dfferece s sgfc e.0 eve. e Dfferece 9% Cofdece Ierv I-J d. Error g. ower Boud Upper Boud 800 7 6-690 90 670* 8 07 90 0 80* 7 00 690 670-800 7 6-90 690 870 8-70 0 80 7 07-0 870-670* 8 07-0 -90-870 8-0 70 0 8 789-070 090-80* 7 00-670 -690-80 7 07-870 0-0 8 789-090 070 800 7 8-769 69 670* 8 09 6E-0 80* 7 00 6 79-800 7 8-69 769 870 8 800-79 80 7 0-89 99-670* 8 09 - -6E-0-870 8 800-79 0 8 000-7 -80* 7 00-79 -6-80 7 0-99 89-0 8 000-7 Ο παραπάνω πίνακας περιέχει σε κάθε γραή που αφορά τη έθοδο Tuey τις ποσότητες e Dfferece s.e. g. B UB FR s. e. q ± s. e. ενώ σε κάθε γραή που αφορά τη έθοδο Boferro περιέχει τις ποσότητες e Dfferece s.e. g. B UB { F s. e. ± s. e. Παρατηρούε ότι σύφωνα ε την έθοδο Tuey υπάρχει στατιστικά σηαντική διαφορά ε.σ. % εταξύ των έσων και και εταξύ των έσων και. Για όλες τις υπόλοιπες συγκρίσεις δεν έχουε αρκετά στοιχεία ώστε να απορρίψουε την ισότητα. Εποένως ο έσος διαφέρει από τους που πορεί να είναι ίσοι ενώ ο πορεί να είναι ίσος είτε ε τον είτε ε τους. Άρα τα άτοα ε ανοιχτό ξανθό χρώα αλλιών στάθη έχουν εγαλύτερη αντοχή στον πόνο από ότι άτοα ε ελαχρινό ανοιχτό ή σκούρο χρώα αλλιών στάθες. Για τις υπόλοιπες συγκρίσεις δεν πορούε να αποφανθούε. Με βάση τα παραπάνω προκύπτουν δύο «πιθανές» οογενείς οάδες έσων: η οάδα { και η οάδα { οι οποίες δίνονται και από το : Bouss.V. 00 Σηειώσεις αθήατος «Στατιστικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Ασφ. Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 9

Hoogeeous ubses CORE ubse for p.0 HCOOR N Tuey HD b 70 0 0 0 90 g. 086 6 es for groups oogeeous subses re dspyed.. Uses Hroc e pe ze 706. b. Te group szes re uequ. Te roc e of e group szes s used. Type I error eves re o gureed. Το πρώτο p-vue που δίνεται στον πίνακα 0.086 αφορά την οογένεια της πρώτης οάδας των έσων. Αντιστοιχεί στον έλεγχο της υπόθεσης Η 0 : και επειδή το εκτιάται εταξύ των η υπόθεση αυτή είναι ισοδύναη ε την έσω της εθόδου Tuey θεωρώντας ως πλήθος παρατηρήσεων σε κάθε στάθη ίσο ε τον αρονικό έσο του πλήθους των παρατηρήσεων σε όλες τις κλάσεις δηλ -.706 δηλ. p vue F 0.086 R Το δεύτερο p-vue 0.6 αφορά αντίστοιχα την οογένεια της δεύτερης οάδας των έσων. Αντιστοιχεί στον έλεγχο της υπόθεσης Η 0 : έσω της εθόδου Tuey και πάλι ε βάση τον αρονικό έσο. 6 Για να ελέγξουε αν οι διασπορές των παρατηρήσεων είναι ίδιες σε όλες τις στάθες του παράγοντα χρησιοποιούε το τεστ evee. Επιλέγουε yzecopre esoe-wy NOV Depede s: CORE Fcor: HCOOR Opos: cec Hoogeey of vrce από όπου παίρνουε βλ. παρ. 7.. CORE Tes of Hoogeey of Vrces evee sc df df g. 9 69 εν πορούε να απορρίψουε ότι οι διασπορές των παρατηρήσεων είναι ίσες σε όλες τις στάθες p-vue0.69 7 Για να εφαρόσουε ένα γραικό οντέλο της ορφής CORE b0 b HCOOR ε θα πρέπει η HCOOR να είναι sced. Σε αυτή την περίπτωση η HCOOR είναι απλώς ord πορούε να διατάξουε τις στάθες της. Θα πορούσαε να την θεωρήσουε sced ε τιές αλλά προφανώς οι τιές αυτές είναι εντελώς αυθαίρετες και η σχέση που έχουν εταξύ τους δεν συφωνεί απαραίτητα ε την σχέση που έχουν οι κλάσεις του χρώατος αλλιών ε συνέπεια να οδηγηθούε σε αφίβολα αποτελέσατα. Bouss.V. 00 Σηειώσεις αθήατος «Στατιστικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Ασφ. Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 9