ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ,

Transcript

1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ, --0 Άσκηση. Τα παρακάτω δεδομένα προέρχονται από μετρήσεις του δείκτη του σακχάρου στο αίμα 0 ποντικών που εξετάσθηκαν: ) υπό κανονικές συνθήκες, ) μετά από ένεση ptre, ) μετά από ένεση ptoc (στα ποντίκια δεν επιδρούν άλλοι παράγοντες π.χ. ηλικία, βάρος, φύλο κ.τ.λ.) ) Κατασκευάστε ένα ctterplot και ένα Boxplot των δεδομένων. ) Εκτιμήστε τα μ, μ, μ σημειακά και με δ.ε. 9% (χρησιμοποιώντας dvdul vrce etmte και pooled vrce etmte). ) Να κατασκευάσετε τα γραφήματα των παραπάνω δ.ε. ) Εξετάστε την υπόθεση Η 0 : μ = μ = μ με Η : όχι μ = μ = μ σε ε.σ. α = %. ) Βρείτε 9% δ.ε. για τη διαφορά μ μ και 9% δ.ε. για τη διαφορά μ μ. 6) Να δοθούν ταυτόχρονα δ.ε. για τις διαφορές μ μ, μ μ, μ μ με τις μεθόδους ) Boferro b) ukey, c) heffe. Να γίνει ομαδοποίηση των μέσων μ, μ, μ με πιθανότητα σφάλματος %. 7) Να ελέγξετε αν οι διασπορές των παρατηρήσεων είναι ίδιες στις περιπτώσεις,, με α = 0.0. ) Να εκτιμήσετε τα μ, μ, μ και τον πίνακα ANOVA χρησιμοποιώντας την ανάλυση παλινδρόμησης. Άσκηση. Εκλέχθηκαν τυχαία 0 δείγματα από πέντε τύπους αυτοκινήτων (,,,,) και μετρήθηκε η κατανάλωση βενζίνας σε κάθε περίπτωση (κάτω από τις ίδιες συνθήκες κυκλοφορίας). Τα αποτελέσματα (σε χιλιόμετρα ανά γαλόνι) ήταν: τύπος,0,,,,7 7,7 9, 6, 6,,6 7,7, 7, 9, 0,,6, 9, 9, 6,6,0 0,6 9,9,0, 6,7,, 7, 7,6,,9, 0, 7,,,6,,, 7,9 0,,7,, 0,6, 9,6,9 6,6 ) Κατασκευάστε ctterplot και Boxplot των δεδομένων. ) Να ελέγξετε αν οι διασπορές των παρατηρήσεων είναι ίδιες στις περιπτώσεις,,,, με α = 0.0. ) Εκτιμήστε τα μ,..., μ σημειακά και με δ.ε. 9% (χρησιμοποιώντας dvdul και pooled vrce etmte). Να κατασκευάσετε τα γραφήματα των συγκεκριμένων δ.ε. ) Εξετάστε την υπόθεση Η 0 : μ =... = μ με Η : όχι μ =... = μ σε ε.σ. α = %. ) Βρείτε 9% δ.ε. για τη διαφορά μ μ και 9% δ.ε. για τη διαφορά μ μ και εξετάστε αν μ = μ (με εναλλακτική μ μ ) σε ε.σ. %. 6) Να δοθούν ταυτόχρονα δ.ε. για όλες τις ανά δύο διαφορές μ μ με τις μεθόδους ) Boferro b) ukey, c) heffe. Κατατάξτε τα μ, μ,..., μ με πιθανότητα σφάλματος %. 7) Να εκτιμήσετε τα μ, μ,..., μ και τον πίνακα ANOVA χρησιμοποιώντας την ανάλυση παλινδρόμησης.

2 Απαντήσεις Άσκησης. Αρχικά εισάγουμε τις 0 περιπτώσεις στο P σε τρεις στήλες, y, f (αρκούν και οι στήλες y, f) ως εξής: y f y f ) Για ctterplot: Grph/ctterplot/mple, x: y, X x: f. Για Boxplot: Grph/Boxplot/mple: Vrble:y, Ctegory Ax: f N = 0,,0,,0,,0,,00,00,00 Παρατηρούμε ότι οι τιμές των δεδομένων της κατηγορίας (μετρήσεις του δείκτη του σακχάρου μετά από ένεση ptre) φαίνονται να είναι μεγαλύτερες από τις τιμές των κατηγοριών,. ) Εφαρμόζουμε το μοντέλο = µ + ε =,, ( r = ), =,,...,,, όπου ε ανεξάρτητες τ.μ. που ακολουθούν Ν(0,σ ). Στο P: Alyze/compre me/oe-wy ANOVA, Depedet lt: y ctor: f, Opto: Check Decrptve λαμβάνεται ο πίνακας: Decrptve,00,00,00 otl 9% Cofdece Itervl for Me N Me td. Devto td. Error Lower Boud Upper Boud Mmum Mxmum 09,667 9,70,9 0,9,0 9,00,00 0,000 7,,9 6,96 7,,00 7,00 07,70 6,97,99 0,0,699 9,00,00 0 6,667,,7,97,6 9,00 7,00

3 Ο οποίος περιέχει: N Me td. Dev. td. Error Lower/Upper Boud = ( ) ( ) = ± t ( ) = = ( ) ( ) = ± t ( ) = = ( ) ( ) = ± t ( ) otl (όπου α = 0.0) Επίσης λαμβάνεται και ο πίνακας = =, ( ) ANOVA ( ) ± t ( ) = Betwee Group Wth Group otl um of qure df Me qure g. 67,0 7,0 6,,000, 7 69,77 7,67 9 ο οποίος περιέχει: Model um of qure df Me qure g. Betwee r = ( ) Group ( ) = ( ˆ ) Wth Group E = ) ( = ( ˆ ) ) (, = ( ) ( ( ) ) otl =, R Mr = r r r E ME = r MR = ME > * * P( ~ r, r ) Προφανώς, τα παραπάνω δ.ε. προκύπτουν χρησιμοποιώντας terl vrce etmte (οι εκτιμήσεις των διασπορών γίνονται σε κάθε ομάδα ξεχωριστά). Η pooled εκτίμηση της διασποράς (χρησιμοποιείται όταν οι διασπορές μέσα στις ομάδες θεωρούνται ίσες) είναι η r r E = ME = = ( ) = ( ) = r r r = = και άρα τα δ.ε. α για τα μ με pooled εκτίμηση της διασποράς είναι ± t ( ) = ± t7(0.0) = (0.,.) r ± t ( ) =.± t7(0.0) = (6.6,7.) r 0 =

4 69.77 ± t ( ) = 07.7 ± t7(0.0) = (0.,.9) r όπου t 7(0.0) = ID. (0.97,7). 0 (υπολογίζονται χρησιμοποιώντας π.χ. το trform / compute). ) Επιλέγουμε Grph/error br/mple, vrble: y, Ctegory Ax: f (c.. for me, level: 9%) από όπου λαμβάνουμε το γράφημα με τα δ.ε. 9% για τα μ (dvdul vrce etmte) % CI N = 0,00,00,00 Για να φτιάξουμε το αντίστοιχο γράφημα με τα pooled etmte θα εργασθούμε ως εξής: φτιάχνουμε τρεις μεταβλητές (μπορούμε προσωρινά να κλείσουμε τα δεδομένα της άσκησης) που περιέχουν τα συγκεκριμένα δ.ε. (με τα κεντρικά σημεία) ως εξής: L C U και επιλέγουμε Grph/Hgh-Low/mple Hgh-Low, check vlue of dvdul ce, Hgh:U, Low: L, cloe: C από όπου λαμβάνουμε το γράφημα με τα δ.ε. 9% για τα μ (pooled vrce etmte): U L 90 C Ce Number Παρατηρούμε ότι το δ.ε. για το μ δεν τέμνεται με τα άλλα δύο δ.ε. άρα υπάρχει μία ένδειξη ότι το μ μπορεί να διαφέρει από τα μ, μ (ο ακριβής έλεγχος γίνεται παρακάτω). ) Ο έλεγχος της υπόθεσης Η 0 : μ = μ = μ έναντι της Η : όχι μ = μ = μ γίνεται χρησιμοποιώντας το - tet που περιέχεται στον πίνακα ANOVA. Παρατηρούμε ότι το αντίστοιχο p-vlue είναι 0.00

5 ( * = 6.) οπότε απορρίπτουμε ότι μ = μ = μ σε ε.σ. % (η μέση τιμή δεν είναι ίση και στις τρεις ομάδες). ) Επιλέγουμε Alyze/compre me/oe-wy ANOVA, Depedet lt: y ctor: f, : Pot Hoc: LD απ όπου λαμβάνουμε: Depedet Vrble: LD Multple Compro (I),00,00,00 (J),00,00,00,00,00,00 Me Dfferece 9% Cofdece Itervl (I-J) td. Error g. Lower Boud Upper Boud -,9*,76,000-0,70 -,97,97,,77-6,0 9,6,9*,76,000,97 0,70,0*,967,000 6,096, -,97,,77-9,6 6,0 -,0*,967,000 -, -6,096 *. he me dfferece gfct t the.0 level. Ο παραπάνω πίνακας περιέχει ( = ME = pooled vrce etmte): ˆ µ ˆ µ.e. g LB, UB + ~ ( P t.. ) > ± t r ( ). e. r e + ( P > ~ t.. ) r e ± ( ).. t r e οπότε το 9% δ.ε. για τη διαφορά μ μ είναι (.9, 0.7) και το 9% δ.ε. για τη διαφορά μ μ είναι ( 9., 6.). Επειδή το δ.ε. για το μ μ δεν περιέχει το 0 μπορούμε να πούμε ότι το μ διαφέρει σημαντικά από το μ (ε.σ. %). Οι έλεγχοι μέσω των παραπάνω δ.ε. είναι σε ε.σ. % ο καθένας, δηλαδή π.χ. P(σφάλμα τύπου Ι) = P(απορρίπτουμε την Η 0 : μ = μ ισχύει η Η 0 ) = %. Επομένως, η πιθανότητα να γίνει κάποια λάθος απόρριψη στους τρεις ελέγχους μ = μ, μ = μ, μ = μ είναι μεγαλύτερη του % διότι αν Α = {απορρίπτουμε λανθασμένα την Η 0 : μ = μ } τότε c c c c c c P ( A " A " A) = P( A! A! A) P( A) P( A) P( A) = ( 0.0).% (η ισότητα παραπάνω ισχύει αν τα ενδεχόμενα Α είναι ανεξάρτητα). Επομένως, για πολλαπλές συγκρίσεις (όπου η πιθανότητα να κάνουμε κάποια λάθος απόρριψη σε όλους τους ελέγχους που πραγματοποιούμε είναι το πολύ α) θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε κάποια από τις μεθόδους ukey, heffe, Boferro. 6) Επιλέγουμε Alyze/compre me/oe-wy ANOVA, Depedet lt: y ctor: f, : Pot Hoc: ukey, heffe, Boferro απ όπου λαμβάνουμε:

6 Multple Compro Depedet Vrble: ukey HD cheffe Boferro (I),00,00,00,00,00,00,00,00,00 (J),00,00,00,00,00,00,00,00,00,00,00,00,00,00,00,00,00,00 *. he me dfferece gfct t the.0 level. Me Dfferece 9% Cofdece Itervl (I-J) td. Error g. Lower Boud Upper Boud -,9*,76,000 -,00 -,0666,97,,99 -,60 0,77,9*,76,000,0666,00,0*,967,000,0,07 -,97,,99-0,77,60 -,0*,967,000 -,07 -,0 -,9*,76,000 -,97 -,670,97,,9 -,0,6,9*,76,000,670,97,0*,967,000,960,60 -,97,,9 -,6,0 -,0*,967,000 -,60 -,960 -,9*,76,000 -,06 -,0,97,,000 -,,0,9*,76,000,0,06,0*,967,000,,7 -,97,,000 -,0, -,0*,967,000 -,7 -, α) Όσον αφορά τη μέθοδο Boferro ο παραπάνω πίνακας αποτελείται: ˆ µ ˆ µ.e. g LB, UB + ( m{, ( ~ t )} ± t r P > ) r. e... / e διότι αν P(Α ) = P(απορρίπτουμε λανθασμένα την Η 0 : μ = μ ) = /r τότε P A " A A ) P( A ) + P( A ) + P( A ) = / + / + / = ( " Δηλαδή, η πιθανότητα να απορρίψουμε λανθασμένα κάποια από τις υποθέσεις είναι το πολύ α. Όσον αφορά τη μέθοδο ukey, o παραπάνω πίνακας αποτελείται: ˆ µ ˆ µ.e. g LB, UB + q( ; r, P( ~ q ( r, r )) r) > ±. e. e.. Υπενθυμίζεται ότι q ( ; r, v) είναι το άνω -σημείο της κατανομής q(r,v) του τυποποιημένου εύρους X ( r ) X () (όπου Χ,..., X r ανεξ. τ.μ. από Ν(0,σ ) και v / σ ~ χ v ανεξ. των Χ ).

7 Τέλος, όσον αφορά τη μέθοδο heffe, o παραπάνω πίνακας αποτελείται: ˆ µ ˆ µ.e. g LB, UB + ± r ) r P( > ~ ) r, r r. e. ( ).. (, r e Παρατηρούμε ότι σε σύμφωνα με όλες τις παραπάνω μεθόδους, απορρίπτουμε ότι μ = μ, μ = μ ενώ δεχόμαστε ότι μ = μ σε ε.σ. %. Δηλαδή, το μ διαφέρει από τα μ, μ (Δηλαδή η ένεση ptre () έχει σημαντική επίδραση στο δείκτη του σακχάρου ενώ η ένεση ptoc () δεν φαίνεται να έχει σημαντική επίδραση). Η παραπάνω ομαδοποίηση δίνεται και από το πακέτο: ukey HD,b cheffe,b,00,00,00 g.,00,00,00 g. ubet for lph =.0 N 07,70 09,667 0,000,9,000 07,70 09,667 0,000,9,000 Me for group homogeeou ubet re dplyed.. Ue Hrmoc Me mple ze = 9,70. b. he group ze re uequl. he hrmoc me of the group ze ued. ype I error level re ot gurteed. Αξίζει να παρατηρηθεί ότι για την εκτίμηση γραμμικών αντιθέσεων της μορφής c μ +c μ +...+c r μ r όπου c γνωστοί συντελεστές με c +c +...+c r = 0, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την επιλογή cotrt στη διαδικασία oe-wy ANOVA του P. Συγκεκριμένα εισάγουμε ένα-ένα τα c στο πεδίο coeffcet (πατώντας κάθε φορά dd). 7) Για να ελέγξουμε αν οι διασπορές των παρατηρήσεων είναι ίδιες στις περιπτώσεις,, με α = 0. θα χρησιμοποιήσουμε το τεστ Levee. Ο έλεγχος αυτός θα πρέπει να γίνεται στην αρχή της α- νάλυσης για να βεβαιωθούμε ότι το μοντέλο στο οποίο βασιζόμαστε είναι σωστό (οι διασπορές των ε είναι ίσες για όλες τις ομάδες). Επιλέγουμε Alyze/compre me/oe-wy ANOVA, Depedet lt: y ctor: f, : Opto: check Homogeety of vrce από όπου παίρνουμε et of Homogeety of Vrce Levee tttc df df g.,6 7,9

8 Υπενθυμίζεται ότι το Levee τεστ γίνεται ως εξής: Δημιουργούνται οι απόλυτες διαφορές X =, =,,...,r, =,,..., και εκτελείται ανάλυση διασποράς στις διαφορές αυτές (depedet:x, ctor: f). o Levee tttc είναι το -rto του πίνακα ANOVA που προκύπτει. Αντίστοιχα, το παραπάνω p-vlue (=0.9) είναι το p-vlue του -tet στο συγκεκριμένο πίνακα ANOVA. Ο έλεγχος αυτός είναι περισσότερο ευσταθής από άλλα παρόμοια τεστ (Brtlett, Cochr, Hrtley) στην περίπτωση μη-κανονικότητας των παρατηρήσεων. Εφ όσον το p-vlue = 0.9 δεχόμαστε ότι οι διασπορές των παρατηρήσεων είναι ίδιες στις περιπτώσεις,,. ) Είναι γνωστό ότι το μοντέλο μας μπορεί εναλλακτικά να γραφεί στη μορφή = Xβ + ε όπου ε ε μ =, $ X =, β = $ ε = r μ r ε r r r ε r r Συνεπώς, κατασκευάζουμε τις μεταβλητές: y x x x

9 και επιλέγουμε Alyze/Regreo/Ler/Depedet:y, Idepedet:X,X,X, opto: do ot clude cott equto, tttc: check cofdece tervl από όπου λαμβάνουμε τον πίνακα: Model X X X. Depedet Vrble: Utdrdzed Coeffcet tdrd zed Coeffce t Coeffcet,b 9% Cofdece Itervl for B t g. Lower Boud Upper Boud B td. Error Bet 09,67,,9,7,000 0,0,,00,6,60 0,06,000 6,6 7,9 07,7,9,7 6,,000 0,6,9 b. Ler Regreo through the Org ο οποίος αποτελείται από: Model B td. Error (pooled) X X X t g. Lower/Upper Boud ˆ * = β = * / ˆ P( > ~ t ( β) ) r ˆ * = β = * / ˆ P( > ~ t ( β) ) r ˆ * = β = * / ˆ P( > ~ t ( β) ) ± ± ± t r t t r r ( ) ( ) ( ) όπου = ME είναι η pooled εκτίμηση του σ και α=0.0. Παρατηρούμε ότι τα παραπάνω δ.ε. είναι ακριβώς αυτά που υπολογίσαμε στο () χρησιμοποιώντας pooled vrce etmte. Τέλος, ο πίνακας ANOVA που δίνεται από την παραπάνω ανάλυση παλινδρόμησης παρατηρούμε ότι δεν είναι ίδιος με τον πίνακα ANOVA που βρήκαμε στο () διότι σε αυτή την περίπτωση τα αθροίσματα τετραγώνων και R δεν «διορθώνονται» με αφαίρεση του (δηλ. =, R = ˆ ) (αυτό γίνεται από το πακέτο γιατί έχουμε υποθέσει ότι β 0 = 0 εξαιρώντας τη σταθερά από την ανάλυση). Για να λάβουμε τον σωστό πίνακα θα πρέπει να συμπεριλάβουμε τη σταθερά στο μοντέλο. Σε αυτή την περίπτωση δεν θα πρέπει να βάλουμε όλες τις στήλες Χ,Χ,Χ διότι ο πίνακας σχεδιασμού Χ = (, Χ, Χ, Χ ) θα περιέχει γραμμικά εξαρτημένες στήλες ( = Χ +Χ +Χ ). Αρκεί να βάλουμε π.χ. τις στήλες Χ, Χ. (Σε αυτή την περίπτωση ο πίνακας των Coeffcet θα περιέχει εκτιμήσεις για τα β 0 = μ, β = μ μ, β = μ μ και τα δ.ε. θα είναι τα α- ντίστοιχα LD ε.σ. 9%).

10 Απαντήσεις Άσκησης. Αρχικά εισάγουμε τα δεδομένα στο P ( μεταβλητές με 0 γραμμές): y f y f y f y f y f 7,7, 7,9,, 0,6,9 0,, 7, 9,9,,7, 9, 0,,,7 0,, 7,, 7,7,6 6,7, 0,6 9,,,,6, 6, 9,,, 9,6 6, 9, 7,,,9,6 6,6 7,6, 6,6 ) Για ctterplot: Grph/ctterplot/mple, x: y, X x: f. Για Boxplot: Grph/Boxplot/mple: Vrble:y, Ctegory Ax: f N = Παρατηρούμε ότι ο ος τύπος αυτοκινήτου φαίνεται να έχει να έχει την μικρότερη κατανάλωση βενζίνης, ενώ ο ος τύπος φαίνεται να έχει την μεγαλύτερη κατανάλωση. Για να διαπιστώσουμε όμως αν αυτή η διαφορά είναι σημαντική θα πρέπει να προχωρήσουμε στην ανάλυση διακύμανσης. ) Για να ελέγξουμε αν οι διασπορές των παρατηρήσεων είναι ίδιες στις περιπτώσεις,, με α = 0. θα χρησιμοποιήσουμε και πάλι το τεστ Levee που περιγράφεται στην λύση της προηγούμενης άσκησης. Επιλέγουμε Alyze/compre me/oe-wy ANOVA, Depedet lt: y ctor: f, : Opto: check Homogeety of vrce από όπου παίρνουμε et of Homogeety of Vrce Levee tttc df df g.,6,607 Εφ όσον το p-vlue = δεχόμαστε ότι οι διασπορές των παρατηρήσεων είναι ίδιες στις περιπτώσεις. ) Εφαρμόζουμε το μοντέλο = µ + ε =,,...,, =,,...,,,

11 όπου ε ανεξάρτητες τ.μ. που ακολουθούν Ν(0,σ ). Στο P: Alyze/compre me/oe-wy ANOVA, Depedet lt: y ctor: f, Opto: Check Decrptve λαμβάνεται ο πίνακας: Decrptve otl 9% Cofdece Itervl for Me N Me td. Devto td. Error Lower Boud Upper Boud Mmum Mxmum 7,67,90,6,69 9,6,0,7 7,,6,6,76 9,9, 0, 0,00,60, 9,97,66 6,6 7,,97,09,,9 9, 0,,,9,,96 0,9,6 7,9, 0, 6,,, 7,0,0, ο οποίος περιέχει τις εκτιμήσεις και τα δ.ε. 9% για τα μ,..., μ χρησιμοποιώντας terl vrce etmte. Επίσης λαμβάνεται ο πίνακας ANOVA Betwee Group Wth Group otl um of qure df Me qure g.,9,,99,000, 0,77 906,7 9 από όπου λαμβάνεται ότι = ME = και άρα τα δ.ε. α για τα μ με pooled εκτίμηση της διασποράς είναι 0.77 ± t ( ) = 7.67± t(0.0) = (.679,9.666) r 0.77 ± t ( ) = 7. ± t(0.0) = (.7,9.0) r 0.77 ± t ( ) =.00 ± t(0.0) = (9.99,.70) r ± t ( ) =.97 ± t(0.0) = (.67,.) r 0.77 ± t ( ) =.9 ± t(0.0) = (0.,.) r όπου t (0.0) = ID. (0.97,7). 0. Τα παραπάνω δ.ε. μπορούν να εξαχθούν αυτόματα και από τη διαδικασία Ler Regreo (βλ. (7)) παρακάτω. Για τα γραφήματα των δ.ε. 9% για τα μ (με τα dvdul vrce etmte) επιλέγουμε Grph/error br/mple, vrble: y, Ctegory Ax: f (c.. for me, level: 9%) από όπου λαμβάνουμε το γράφημα

12 % CI 0 N = 0 Για το αντίστοιχο γράφημα με τα pooled etmte φτιάχνουμε τρεις μεταβλητές που περιέχουν τα συγκεκριμένα δ.ε. (με τα κεντρικά σημεία) ως εξής: L C U και επιλέγουμε Grph/Hgh-Low/mple Hgh-Low, check vlue of dvdul ce, Hgh:U, Low: L, cloe: C από όπου λαμβάνουμε το γράφημα με τα δ.ε. 9% για τα μ (pooled vrce etmte): U L 0 C Ce Number ) Ο έλεγχος της υπόθεσης Η 0 : μ =... = μ έναντι της Η : όχι μ =... = μ γίνεται χρησιμοποιώντας το - tet στον πίνακα ANOVA. Παρατηρούμε ότι το αντίστοιχο p-vlue είναι 0.00 ( * =.99) οπότε απορρίπτουμε ότι μ =... = μ σε ε.σ. % (η μέση τιμή δεν είναι ίση και στις πέντε ομάδες). ) Επιλέγουμε Alyze/compre me/oe-wy ANOVA, Depedet lt: y ctor: f, : Pot Hoc: LD απ όπου λαμβάνουμε:

13 Multple Compro Depedet Vrble: LD (I) (J) Me Dfferece 9% Cofdece Itervl (I-J) td. Error g. Lower Boud Upper Boud -9,0*,,000 -,9-6,76 -,07*,,00-7,96 -,9 -,0*,,000 -,7 -,0 -,60*,,000-7, -,9 9,0*,,000 6,76,9,*,7,00,97,6,7,6, -,76, -,70*,7,00-7,7 -,09,07*,,00,9 7,96 -,*,7,00 -,6 -,97 -,9*,7,06-7,0 -,79-0,*,,000 -,99-7,,0*,,000,0,7 -,7,6, -,,76,9*,7,06,79 7,0-6,7*,7,000-9, -,7,60*,,000,9 7,,70*,7,00,09 7,7 0,*,,000 7,,99 6,7*,7,000,7 9, *. he me dfferece gfct t the.0 level. οπότε το 9% δ.ε. για τη διαφορά μ μ είναι (.9, 7.) και το 9% δ.ε. για τη διαφορά μ μ είναι (.,.76). Για τον έλεγχο Η 0 : μ = μ παρατηρούμε ότι το αντίστοιχο p-vlue είναι 0. > 0.0 και άρα μπορούμε να πούμε ότι το μ δεν διαφέρει σημαντικά από το μ (ε.σ. %). 6) Επιλέγουμε Alyze/compre me/oe-wy ANOVA, Depedet lt: y ctor: f, : Pot Hoc: ukey, heffe, Boferro απ όπου λαμβάνουμε: Me Dfferece td. Error g. 9% Cofdece Itervl (I) (J) (I-J) Lower Boud Upper Boud ukey HD -9,0,,000 -,7 -,06 -,07,,0 -, -, -,0,,000 -,66 -,96 -,60,,000 -, -0,799 9,0,,000,06,7,,7,009,00 9,7,7,6, -,6 6,0 -,70,7,0 -,97 -,9,07,,0,, -,,7,009-9,7 -,00 -,9,7,0 -,9,9-0,,,000 -, -6,9,0,,000,96,66 -,7,6, -6,0,6,9,7,0 -,9,9-6,7,7,00-0,0 -,6,60,,000 0,799,,70,7,0,9,97 0,,,000 6,9, 6,7,7,00,6 0,0

14 cheffe -9,0,,000 -,7 -,9 -,07,,067-9,0,99 -,0,,000 -,0 -,0 -,60,,000 -,9-0,0 9,0,,000,9,7,,7,06, 0,,7,6,96 -,7 6,09 -,70,7,07-9,7 -,E-0,07,,067 -,99 9,0 -,,7,06-0, -, -,9,7,00 -,96,06-0,,,000 -,67 -,77,0,,000,0,0 -,7,6,96-6,09,7,9,7,00 -,06,96-6,7,7,00 -,0 -,0,60,,000 0,0,9,70,7,07,E-0 9,7 0,,,000,77,67 6,7,7,00,0,0 Boferro -9,0,,000 -, -,7 -,07,,06 -,6 -,7 -,0,,000 -,0 -,00 -,60,,000 -,9-0,60 9,0,,000,7,,,7,0,6 0,09,7,6,000 -,0 6, -,70,7,0-9, -,6,07,,06,7,6 -,,7,0-0,09 -,6 -,9,7,6 -,9,70-0,,,000 -, -6,6,0,,000,00,0 -,7,6,000-6,,0,9,7,6 -,70,9-6,7,7,00-0,67 -,96,60,,000 0,60,9,70,7,0,6 9, 0,,,000 6,6, 6,7,7,00,96 0,67 Η ομαδοποίηση των μέσων είναι: ukey HD,b cheffe,b g. g. ubet for lph =.0 N 7,67 0,00,97,97 7,,9,000,06,,000 7,67 0,00,00,97,97 7, 7,,9,07,67,99,0 Me for group homogeeou ubet re dplyed.. Ue Hrmoc Me mple ze = 9,66. b. he group ze re uequl. he hrmoc me of the group ze ued. ype I error level re ot gurteed. 7) το μοντέλο μας μπορεί εναλλακτικά να γραφεί στη μορφή = Xβ + ε όπου

15 ε ε μ =, $ X =, β = $ ε = r μ r ε r r r ε r r συνεπώς εκτελώντας Alyze/Regreo/Ler/Depedet:y, Idepedet:X,X,X,Χ,Χ opto: do ot clude cott equto, tttc: check cofdece tervl λαμβάνουμε τον πίνακα: Model X X X X X. Depedet Vrble: Utdrdzed Coeffcet tdrd zed Coeffce t Coeffcet,b 9% Cofdece Itervl for B B td. Error Bet t g. Lower Boud Upper Boud 7,67,990,9 7,7,000,679 9,666 7,,6,,707,000,7 9,0,00,0,0,7,000 9,99,7,97,6,00,,000,6,,9,90,6,7,000 0,9,6 b. Ler Regreo through the Org Τα παραπάνω δ.ε. είναι ακριβώς αυτά που υπολογίσαμε παραπάνω χρησιμοποιώντας pooled vrce etmte. Τέλος, ο πίνακας ANOVA προκύπτει (σύμφωνα με σχόλια στην προηγ. Άσκηση) από τη διαδικασία Alyze/ Regreo/ Ler/ Depedet: y, Idepedet:X, X, Χ, Χ opto: clude cott equto: Model Regreo Redul otl. Predctor: (Cott), X, X, X, X b. Depedet Vrble: ANOVA b um of qure df Me qure g.,9,,99,000, 0,77 906,7 9