ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ 1

1. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Μαγνητικά φαινόμενα παρατηρήθηκαν για πρώτη φορά πριν από τουλάχιστον 2500 χρόνια σε κομμάτια μαγνητισμένου σιδηρομεταλλεύματος, ανακαλύφθηκε πως όταν μια ράβδος σιδήρου αγγίζει ένα φυσικό μαγνήτη, τότε μαγνητίζεται, ενώ όταν εξαρτάται από το κέντρο της με ένα νήμα, τείνει να προσανατολιστεί στην κατεύθυνση Βορρά - Νότου, όπως η βελόνα μιας πυξίδας. Οι μαγνήτες χρησιμοποιούνται στη ναυσιπλοΐα από τον ενδέκατο αιώνα τουλάχιστον. Για την περιγραφή των αλληλεπιδράσεων ανάμεσα σε μαγνήτες και σε βελόνες πυξίδων χρησιμοποιόταν η έννοια των μαγνητικών πόλων. Εκείνο το άκρο ενός ραβδόμορφου μαγνήτη που έδειχνε προς Βορρά, ονομαζόταν βόρειος πόλος και το άλλο άκρο νότιος πόλος (B και N αντίστοιχα, ή N και S στα αγγλικά). Δύο αντίθετοι πόλοι έλκονται μεταξύ τους, ενώ δύο όμοιοι πόλοι αλληλοαπωθούνται. Δεν έχουμε καμιά ένδειξη ότι υπάρχει ένας μεμονωμένος μαγνητικός πόλος οι πόλοι εμφανίζονται πάντοτε σε ζεύγη. Αν ένας ραβδόμορφος μαγνήτης κοπεί στα δύο, κάθε κομμένο άκρο γίνεται πόλος. Σχήμα 1 2

1. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Μια μαγνητική βελόνα στρέφεται προς το Βορρά γιατί η Γη είναι ένας μαγνήτης, o γεωγραφικός βόρειος πόλος της είναι κοντά στον μαγνητικό νότιο πόλο της. Το 1819 o Δανός επιστήμονας Hans Christian Oersted (Έρστετ) ανακάλυψε ότι ένα σύρμα που διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα προκαλεί απόκλιση της βελόνας μιας πυξίδας. Παρόμοιες έρευνες έγιναν από τον André Ampère (Αμπέρ) τον Michael Faraday (Φάρατεϊ) και τον Joseph Henry (Χένρυ) οι οποίοι ανακάλυψαν πως η κίνηση ενός μαγνήτη κοντά σε έναν αγώγιμο βρόχο μπορεί να προκαλέσει τη ροή ηλεκτρικού ρεύματος στο βρόχο και πως ένα μεταβαλλόμενο ρεύμα σε έναν αγώγιμο βρόχο μπορεί να προκαλέσει ρεύμα σε έναν άλλο βρόχο που βρίσκεται κοντά του. Αυτές οι παρατηρήσεις αποτέλεσαν την πρώτη ένδειξη για τη σχέση του μαγνητισμού με κινούμενα φορτία. Σήμερα γνωρίζουμε ότι υπάρχει στενή αλληλεξάρτηση ανάμεσα στις ηλεκτρικές και τις μαγνητικές αλληλεπιδράσεις. 3

2. ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Μπορούμε να περιγράψουμε τις μαγνητικές αλληλεπιδράσεις ως εξής: Ένα κινούμενο φορτίο ή ένα ηλεκτρικό ρεύμα δημιουργεί ένα μαγνητικό πεδίο στο χώρο (επιπρόσθετα με το ηλεκτρικό του πεδίο). Το μαγνητικό πεδίο ασκεί δύναμη F πάνω σε κάθε κινούμενο φορτίο ή ηλεκτρικό ρεύμα που βρίσκεται μέσα στο πεδίο. Το μαγνητικό πεδίο είναι ένα διανυσματικό πεδίο, δηλαδή μια διανυσματική ποσότητα που σχετίζεται με κάθε σημείο του χώρου. Θα χρησιμοποιήσουμε το σύμβολο B για το μαγνητικό πεδίο. 4

2. ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Tα χαρακτηριστικά της μαγνητικής δύναμης που ασκείται πάνω σε ένα κινούμενο φορτίο είναι: α) Το μέτρο της είναι ανάλογο του φορτίου. Αν ένα φορτίο 1 μc και ένα φορτίο 2 μc κινούνται με την ίδια ταχύτητα μέσα σε ένα μαγνητικό πεδίο, η δύναμη πάνω στο φορτίο των 2 μc θα είναι διπλάσια αυτής πάνω στο φορτίο του 1 μc. β) H δύναμη είναι ανάλογη του μέτρου ή της έντασης του πεδίου αν διπλασιάσουμε την ένταση του πεδίου χωρίς να μεταβάλουμε το φορτίο ή την ταχύτητα, η δύναμη διπλασιάζεται. γ) H μαγνητική δύναμη είναι επίσης ανάλογη του μέτρου της ταχύτητας του σωματίου. Σε ένα φορτισμένο σωμάτιο που είναι ακίνητο δεν ασκούνται μαγνητικές δυνάμεις. Επιπλέον, η μαγνητική δύναμη F δεν έχει την ίδια κατεύθυνση με το μαγνητικό πεδίο B αλλά, αντιθέτως, είναι πάντοτε κάθετη τόσο στο B όσο και στην υ. Το μέτρο F της δύναμης βρίσκεται ότι είναι ανάλογο της συνιστώσας της υ που είναι κάθετη στο πεδίο, όταν αυτή η συνιστώσα είναι μηδέν (δηλαδή όταν τα υ και B είναι παράλληλα), η δύναμη είναι ίση με μηδέν. 5

2. ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Το Σχ. 2 δείχνει αυτές τις σχέσεις. H κατεύθυνση της F είναι πάντοτε κάθετη στο επίπεδο που περιέχει τα υ και B. Το μέτρο της δίνεται από τη σχέση (1) όπου q είναι η απόλυτη τιμή του φορτίου και φ είναι η γωνία μεταξύ των υ και B που μετριέται από την κατεύθυνση του υ προς αυτήν του B, όπως φαίνεται στο σχήμα. ή F qu B (2) Για τον προσδιορισμός της κατεύθυνσης της μαγνητικής δύναμης F χρησιμοποιούμε τον κανόνα του δεξιού χεριού όπως φαίνεται στο Σχ. 2γ. Σχήμα 2 6

2. ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ H Εξ. (2) ισχύει τόσο για θετικά όσο και για αρνητικά φορτία. Όταν το q είναι αρνητικό, η κατεύθυνση της F είναι αντίθετη αυτής του γινομένου u x B (Σχ. 3). Οι μονάδες του B είναι ίδιες με αυτές του F/qυ. Έτσι, στο SI η μονάδα του B είναι ισοδύναμη με 1 N s/c m, ή, weber / m 2. H μονάδα weber / m 2 ονομάζεται επίσης και tesla (Τ). 1 weber / m 2 = 1 telsa = 1T =1 N / Am H μονάδα του B στο cgs είναι το gauss (1 G = 10-4 T) και χρησιμοποιείται συχνά. Σχήμα 3 Όταν ένα φορτισμένο σωμάτιο κινείται σε μια περιοχή όπου υπάρχουν ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο, και τα δύο πεδία ασκούν δυνάμεις πάνω στο σωμάτιο. H ολική δύναμη F είναι το διανυσματικό άθροισμα: F q E qu B (3) Η ολική δύναμη F που ορίζεται από την σχέση αυτή λέγεται δύναμη Lorentz. 7

3. ΓΡΑΜΜΕΣ ΤΟΥ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΡΟΗ Το μαγνητικό πεδίο μπορεί να παρασταθεί με γραμμές. Σχεδιάζουμε τις γραμμές έτσι ώστε η γραμμή που περνά από οποιοδήποτε σημείο να εφάπτεται στο διάνυσμα του μαγνητικού πεδίου B στο σημείο αυτό. Επίσης, ο αριθμός των γραμμών που σχεδιάζονται ανά μονάδα επιφάνειας κάθετης στις γραμμές να είναι ανάλογος προς την ένταση του πεδίου στο σημείο αυτό. Ονομάζουμε τις γραμμές αυτές γραμμές του μαγνητικού πεδίου ή και μαγνητικές δυναμικές γραμμές. Οι γραμμές του μαγνητικού πεδίου έχουν σε κάθε σημείο την κατεύθυνση προς την οποία θα προσανατολιστεί η βελόνα μιας πυξίδας στο σημείο αυτό. Επειδή η κατεύθυνση του B σε κάθε σημείο είναι μονοσήμαντα καθορισμένη, οι γραμμές του μαγνητικού πεδίου ποτέ δεν τέμνονται μεταξύ τους. Σχήμα 4 8

3. ΓΡΑΜΜΕΣ ΤΟΥ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΡΟΗ Ορίζουμε τη μαγνητική ροή Φ Β μέσα από μια επιφάνεια, χωρίζουμε την επιφάνεια σε στοιχεία, εμβαδού da (Σχ.5). Για κάθε στοιχείο προσδιορίζουμε την Β. Από το σχήμα, Β = B cos φ, όπου φ είναι η γωνία μεταξύ της κατεύθυνσης του B και της ευθείας που είναι κάθετη στην επιφάνεια στο σημείο εκείνο. Ορίζουμε τη μαγνητική ροή dφ Β μέσα από την da ως d B da Bcos da Bd A B H ολική μαγνητική ροή μέσα από την επιφάνεια ορίζεται ως εξής : B da Bcos da BdA B (4) (5) Σχήμα 5. Η μαγνητική ροή μέσα από ένα στοιχείο da ορίζεται ως Φ Β = Β da Όταν σχεδιάζουμε γραμμές μαγνητικού πεδίου, o αριθμός των γραμμών που διαπερνούν κάποια επιφάνεια είναι ανάλογος της μαγνητικής ροής μέσα από την επιφάνεια αυτή. 9

3. ΓΡΑΜΜΕΣ ΤΟΥ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΡΟΗ H μαγνητική ροή είναι βαθμωτό μέγεθος. Στην ειδική περίπτωση που το B είναι ομογενές πάνω σε μια επίπεδη επιφάνεια ολικού εμβαδού A, τα Β και φ έχουν τις ίδιες τιμές σε όλα τα σημεία της επιφάνειας και τότε B A B Acos B Η ολική μαγνητική ροή μέσα από μια κλειστή επιφάνεια είναι πάντοτε ίση με μηδέν. Αυτό συμβολίζεται από τη σχέση B da 0 Αυτή η εξίσωση ονομάζεται μερικές φορές νόμος του Gauss για τον μαγνητισμό. Από την εξίσωση αυτή προκύπτει ότι οι γραμμές του μαγνητικού πεδίου είναι πάντοτε συνεχείς. Δεν έχουν άκρα, ένα τέτοιο άκρο θα μαρτυρούσε την παρουσία ενός μονοπόλου. (6) (7) H μονάδα της μαγνητικής ροής στο SI προκύπτει από το γινόμενο της μονάδας του μαγνητικού πεδίου (1 T) επί τη μονάδα επιφάνειας (1 m 2 ). H μονάδα αυτή ονομάζεται weber (1 Wb) 1 weber = 1T m 2 =1 N m / A 10

4. ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙΩΝ ΜΕΣΑ ΣΕ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Το Σχ. 6 δείχνει ένα απλό παράδειγμα, έτσι ένα σωμάτιο με θετικό φορτίο q, βρίσκεται στο σημείο Ο, κινούμενο με ταχύτητα u μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο B κάθετο στο επίπεδο του σχήματος και με φορά προς τα κάτω. Τα διανύσματα u και B είναι κάθετα και η μαγνητική δύναμη F = qub, με κατεύθυνση αυτή του σχήματος. H δύναμη είναι πάντοτε κάθετη στη u και επομένως το μέτρο της ταχύτητας μένει σταθερό, ενώ μεταβάλλεται μόνο η κατεύθυνσή της. Έτσι, τα μέτρα των F και u είναι σταθερά. Το σωμάτιο κινείται επομένως υπό την επίδραση μιας δύναμης σταθερού μέτρου, που είναι πάντοτε κάθετη στην ταχύτητά του, με λίγα λόγια το σωμάτιο εκτελεί κυκλική κίνηση σταθερής ταχύτητας u έτσι έχουμε 2 u U F q u B m R (8) F + P H ακτίνα της κυκλικής τροχιάς και η γωνιακή ταχύτητα ω είναι R u mu q B H γωνιακή ταχύτητα ω του σωματίου είναι u R R q B u mu q B m (9) (10) X X X X X X X X X X X X B + F F O Σχήμα 6 + u A X X X X 11

4. ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙΩΝ ΜΕΣΑ ΣΕ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Ο αριθμός περιφορών ανά μονάδα χρόνου είναι ω/2π είναι δηλαδή 2 q B 2 m (11) Αυτή η συχνότητα είναι ανεξάρτητη της ακτίνας R της τροχιάς και της ταχύτητας του σωματιδίου. Η συχνότητα αυτή είναι χαρακτηριστική συχνότητα για το φορτισμένο σωματίδιο μέσα στο πεδίο και ονομάζεται συχνότητα κύκλοτρου. Αν η κατεύθυνση της αρχικής ταχύτητας δεν είναι κάθετη στο πεδίο, η συνιστώσα της ταχύτητας που είναι παράλληλη προς το πεδίο παραμένει σταθερή και το σωμάτιο κινείται σε μια ελικοειδή τροχιά (Σχ. 7). H μαγνητική δύναμη που δρα πάνω σε ένα φορτισμένο σωμάτιο ποτέ δεν παράγει έργο, γιατί η δύναμη είναι πάντοτε κάθετη στην ταχύτητα του σωματίου. Μια μαγνητική δύναμη μπορεί να μεταβάλει τη διεύθυνση της κίνησης, αλλά ποτέ δεν μπορεί να αυξήσει ή να μειώσει το μέτρο της ταχύτητας. H κίνηση ενός φορτισμένου σωματίου κάτω από την επίδραση ενός μαγνητικού πεδίου μόνο, είναι πάντοτε μια κίνηση στην οποία το μέτρο της ταχύτητας παραμένει σταθερό. Σχήμα 7.Όταν ένα φορτισμένο σωματίδιο με σταθερή κινητική ενέργεια έχει συνιστώσες ταχύτητας κάθετα και παράλληλα σε ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο, τότε το σωματίδιο κινείται σε ελικοειδή τροχιά 12

5. ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΑΝΩ ΣΕ ΑΓΩΓΟ ΠΟΥ ΔΙΑΡΡΕΕΤΑΙ ΑΠΟ ΡΕΥΜΑ Μπορούμε να υπολογίσουμε τη δύναμη που δρα πάνω σε έναν αγωγό που διαρρέεται από ρεύμα, αρχίζοντας από τη μαγνητική δύναμη πάνω σε ένα κινούμενο φορτίο, F = qu x B. Το Σχ. 8 δείχνει ένα ευθύγραμμο τμήμα αγώγιμου σύρματος, με μήκος l και εμβαδόν διατομής Α, το ρεύμα διαρρέει τον αγωγό από κάτω προς τα πάνω. Το σύρμα βρίσκεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο Β, κάθετο στο επίπεδο του σχήματος και προς τα μέσα και έστω ότι τα κινούμενα φορτία είναι θετικά. H ολική δύναμη F πάνω σε όλα τα κινούμενα φορτία με μήκος l και εμβαδόν διατομής Α έχει μέτρο F BIl Όπου Ι το ρεύμα που διαρρέει τον αγωγό μήκους l. (11) Σχήμα 8. Μαγνητικές δυνάμεις που ασκούνται πάνω στα κινούμενα θετικά φορτία ενός αγωγού που διαρρέεται από ρεύμα. 13

5. ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΑΝΩ ΣΕ ΑΓΩΓΟ ΠΟΥ ΔΙΑΡΡΕΕΤΑΙ ΑΠΟ ΡΕΥΜΑ Αν το πεδίο B δεν είναι κάθετο στο σύρμα, αλλά σχηματίζει γωνία φ με τον άξονά του, τότε η παράλληλη προς το σύρμα συνιστώσα του B δεν ασκεί δύναμη, η κάθετη στο σύρμα συνιστώσα είναι Β = B sin φ. Η γενική σχέση είναι F Il B (12) H δύναμη είναι πάντοτε κάθετη στον αγωγό και στο πεδίο, και η κατεύθυνση καθορίζεται από κανόνα του δεξιού χεριού (Σχ.9). Παριστάνουμε το τμήμα του σύρματος με ένα διάνυσμα l κατά μήκος του σύρματος και στην κατεύθυνση του ρεύματος. Αν o αγωγός δεν είναι ευθύγραμμος, μπορούμε να τον διαιρέσουμε σε απειροστά τμήματα dl τότε η δύναμη df πάνω σε κάθε τμήμα είναι df Idl B (13) F Il B Σχήμα 9. Η μαγνητική δύναμη F πάνω σε ένα τμήμα ευθυγράμμου σύρματος που έχει μήκος l και διαρρέεται από ρεύμα Ι είναι κάθετη τόσο στο μαγνητικό πεδίο Β όσο και στο l. Μπορούμε τότε να ολοκληρώσουμε αυτή τη σχέση κατά μήκος του σύρματος και να βρούμε την ολική δύναμη πάνω σε αγωγό οποιουδήποτε σχήματος. 14

6. ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΡΟΠΗ ΠΑΝΩ ΣΕ ΒΡΟΧΟ ΡΕΥΜΑΤΟΣ Στο Σχ. 10 φαίνεται ένας ορθογώνιος συρμάτινος βρόχος με μήκη πλευρών a και b. Μια ευθεία κάθετη στο επίπεδο του βρόχου σχηματίζει γωνία φ με την κατεύθυνση του μαγνητικού πεδίου B. O βρόχος διαρρέεται από ρεύμα Ι. Σχήμα 10. α) Οι δυνάμεις που ασκούνται πάνω στις πλευρές ενός ρευματοφόρου βρόχου μέσα σε ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο. Η συνισταμένη δύναμη είναι ίση με μηδέν. β) Η ροπή είναι μέγιστη όταν η κάθετη στο βρόχο είναι κάθετη στο Β. γ) Όταν η κάθετη στο βρόχο είναι παράλληλη στο Β, η ροπή είναι μηδέν. 15

6. ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΡΟΠΗ ΠΑΝΩ ΣΕ ΒΡΟΧΟ ΡΕΥΜΑΤΟΣ H δύναμη F πάνω στη δεξιά πλευρά του βρόχου (με μήκος a) είναι προς την κατεύθυνση + x, προς τα δεξιά, όπως φαίνεται. Στην πλευρά αυτή, το B είναι κάθετο στην κατεύθυνση του ρεύματος και η δύναμη πάνω στην πλευρά έχει μέτρο F IaB Μια δύναμη F με το ίδιο μέτρο αλλά αντίθετη κατεύθυνση δρα πάνω στην αντίθετη πλευρά, όπως φαίνεται στο σχήμα. Oι πλευρές με μήκος b σχηματίζουν γωνία ίση με 90 - φ με την κατεύθυνση του B. Oι δυνάμεις πάνω σε αυτές τις πλευρές είναι F' και F' το μέτρο του F' δίνεται από τη σχέση F' IbBsin 90 IbB cos Οι ευθείες πάνω στις οποίες δρουν οι δυο αυτές δυνάμεις βρίσκονται πάνω στον άξονα των y. H ολική δύναμη πάνω στον βρόχο είναι ίση με μηδέν γιατί οι δυνάμεις που ασκούνται πάνω σε αντίθετες πλευρές αλληλοαναιρούνται ανά δυο. Οι δυνάμεις F' και F' βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία και έτσι έχουν μηδενική ροπή ως προς οποιοδήποτε σημείο. 16

6. ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΡΟΠΗ ΠΑΝΩ ΣΕ ΒΡΟΧΟ ΡΕΥΜΑΤΟΣ Οι δυο δυνάμεις F και F σχηματίζουν ζεύγος δυνάμεων. Το μέτρο της ροπής ενός ζεύγους δυνάμεων, ως προς οποιοδήποτε σημείο, είναι ίσο με το γινόμενο του μέτρου των δυνάμεων επί την απόσταση των ευθειών πάνω στις οποίες δρουν οι δυο δυνάμεις. Από το Σχ.10α, η απόσταση αυτή είναι ίση με bsin φ και επομένως το μέτρο της ροπής είναι ( IBa)( bsin) Το εμβαδόν του βρόχου είναι Α = ab και γι' αυτό η Εξ. (14) γίνεται IBA sin Το γινόμενο ΙΑ ονομάζεται μαγνητική ροπή ή μαγνητική διπολική ροπή μ του βρόχου Η εξίσωση (14) σε διανυσματική μορφή γίνεται B όπου φ είναι η γωνία μεταξύ της κάθετης στο βρόχο (της κατεύθυνσης του διανύσματος A της επιφάνειας) και του B. H ροπή τ τείνει να περιστρέψει το βρόχο προς την κατεύθυνση μείωσης της φ, δηλαδή προς τη θέση ευσταθούς ισορροπίας, στην οποία o βρόχος βρίσκεται στο επίπεδο xy, κάθετος στην κατεύθυνση του πεδίου B. (14) (15) (16) 17

6. ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΡΟΠΗ ΠΑΝΩ ΣΕ ΒΡΟΧΟ ΡΕΥΜΑΤΟΣ Όταν μια μαγνητική ροπή αλλάζει προσανατολισμό μέσα σε ένα μαγνητικό πεδίο, το πεδίο παράγει έργο. Για περιστροφή κατά μια απειροστή γωνία dφ, το έργο dw δίνεται από το τ dφ και συνοδεύεται από μια αντίστοιχη μεταβολή στη δυναμική ενέργεια. Η δυναμική ενέργεια U συναρτήσει του προσανατολισμού του βρόχου μπορεί να εκφραστεί με την πιο κάτω σχέση: U B Bcos (17) Με αυτόν τον ορισμό, η U είναι μηδέν όταν το μαγνητικό δίπολο είναι κάθετο στο μαγνητικό πεδίο (μ παράλληλο με Β). Οι πιο πάνω εξισώσεις έχουν εξαχθεί για ένα ορθογώνιο βρόχο ρεύματος, όλες αυτές οι σχέσεις ισχύουν και για επίπεδους βρόχους οποιουδήποτε σχήματος. Κάθε επίπεδος βρόχος μπορεί να προσεγγιστεί με όση ακρίβεια επιθυμούμε από ένα πολύ μεγάλο αριθμό ορθογωνίων βρόχων, όπως φαίνεται στο Σχ. 11. Σχήμα 11. Βρόχος ακανόνιστου σχήματος μπορεί να προσεγγιστεί από ένα σύνολο ορθογωνίων παραλληλόγραμμων. 18

6. ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΡΟΠΗ ΠΑΝΩ ΣΕ ΒΡΟΧΟ ΡΕΥΜΑΤΟΣ Οι εξισώσεις μπορούν να χρησιμοποιήσουμε και για ένα πηνίο που αποτελείται από N επίπεδες σπείρες κοντά η μία στην άλλη. Έτσι η κάθε δύναμη, η μαγνητική ροπή, και η δυναμική ενέργεια πολλαπλασιάζοντας με ένα παράγοντα N. Μια διάταξη με ιδιαίτερο ενδιαφέρον είναι το σωληνοειδές, μια ελικοειδής περιέλιξη σύρματος, όπως αυτή ενός πηνίου που είναι τυλιγμένο πάνω σε έναν κυκλικό κύλινδρο (Σχ. 12). H ολική ροπή που ασκείται πάνω σε σωληνοειδές μέσα σε μαγνητικό πεδίο είναι απλώς το άθροισμα των ροπών πάνω στις ξεχωριστές σπείρες. Για ένα σωληνοειδές με N σπείρες μέσα σε ομογενές πεδίο B, είναι NIBA sin H ροπή είναι μέγιστη όταν o άξονας του σωληνοειδούς είναι κάθετος στο μαγνητικό πεδίο και μηδέν όταν o άξονας και το πεδίο είναι παράλληλα. Το αποτέλεσμα αυτής της ροπής είναι να τείνει να περιστρέψει το σωληνοειδές στη θέση στην οποία o άξονάς του είναι παράλληλος με το πεδίο. Σχήμα 1.2. Σωληνοειδές μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο. 19