APPLICATIONES MATHEMATICAE 31,4 (004), pp. 433 441 (ف دا ف مىغ) T. Sułkowski ل ف M. Niedziela NUMERICAL EXPERIMENTS FOR MATHEMATICAL MODELS OF RAILWAY TRACK OSCILLATIONS م ف ى ف ىك كف ف 属 ىف ن مل فكى ف مو ف 属 ش Abstract.. م ى م م فكى م ن ى فق مو لم ف ك ن ى ف قى ه ىقى ك مل مل فكى ف مو ف ل ا Introduction..1 مىل ه ى مم ىه م ى ن مو ل ف ف ى م ف ىف ل ف كف ف 属 ىف ىو ن ف ه ىف موش.(] ٥ [تح] ١ [ مم ) م ف ن منف ل ف ن ك ه ى مك ك م مو ن ى فومق فكى ف ل مو ن ى ى ك مل فكى ف مو ف ف ى 属 - ف مو ف م مffىل 属 ن م ى م م فكى م ف م م مط. كف - ىف ف ى م ىل-م ملى ك مط. ى ف ىك كف ف 属 ىف ن مل فكى ف لم فم وكىو (]٢[ 属 مم ) م ق لا 属 مو فح لم فق ى مح موش. مل مل كف ىف م ى مح ى ف ف ى فل ن كى ف م ف فمق م تحى م.مك ن ه ى ف ىك فكى فو ل ف (v ىك م و ى ( 属 ه ى ف ن ى كف مو ل ف x ى مو ف ل ف فمق مو فكى م ى ϖ/٢π ك م م ن ن مك ن موش ة.مل ى ف مو ى F 0 م مو ϖt δ(x vt) 属 ك F 0 م ف مو فو > ٠ t م ى م مم ف كى ف مو ن ى ف قى ككف ى م ف ل م 属 مل ىو مل ل كم موش. فمق م و 属 مو ن م ىكى ف م ف مك ل ى م 属 ق ل ف فمق ى م تح م ى ك ف ن ى ف م ف ن ى ك (]٤[ مم ) ى كف موش. م مم مو ن ى ف قى ه ىقى ك مل ى ف م فى م مffىل ف - ك فمق كى ف م ى ك م ى مح ى ف ن ه ى ى ك م ف ف لم ملى ك مط. م مم مو ه ى مل م ف م م ك ىل ن مق م ى مح ف و ى 属 لم كم ى لم مح م ف ه ى كف مك ن فكى م مو ق ىف مو ن ى مو م ف ى ى x = l ل ف ن مو ه ى فو F 0 e ωt ك ϖt δ(x l). موش م م ف ف م ى ى ω م ف ك م 属 ف فل كى ى فم ه ى ص. ىف مو ن ىك م مو ن م ى ق ف ى. مل و ق ن م ى م م فكى م ن م مقى ك مل مخمى ق مط models.. Presentation of two mathematical solutions asymptotic ملى ك فو م 属 و ق ة. مل ف م م مو.لم فم ف ىل فو ى ىل ك فى ى ى مو ن كمffم مو وكىو 属 ن ى.م.ى 000 Mathematics Subject Classification: 35G30, 74H99. Key words and phrases: railway track oscillations, Bernoulli Euler beam. [433]
434 M. Niedziela and T. Sułkowski ىوش oscillations..1. Mathematical model of infinite railway track تحى م ف لم فم وكىو属 (]٢[ مم ) م ق لا 属 مو فح لم فق ى مل -كف مو مل كف ىف م ى مح ى ف ف ى فل ن كى ف م ف فمق م مو ن ى ف م موش.مك ن ه ى ف ىك فكى فو ل ف ه ى ف ن ى ى كف EI 4 y x 4 + ϱa y (١) t + sy = ك F 0 ϖt δ(x vt), م مو 属 y(x, (t ى مو ف فمق مو ن ى كممخمل مو تح x م ى ل ف t فمق مو ن فى م ف مو ن ل لاه ع تح E مو كم م و ى 属 فمق مو ن ى كم مو ن فى م ى ن م تح I ى ف ف»ى و فمق مو ن ى مل تح ϱ فمق مو ن ى كم - ك مو ن فم ف تح A ىكى ف م ن مىكffiم ك تح s مك ن مو ن مل ى ف تح F 0 ى ك ن ف مل كف ىء تح δ. ىف مو ن ىك م تح v (t y(x, فو م ف ف مط ϖ/٢π. ى مك ن مو ن ك م م ن مو فو م خ ى ىل ك فل ق مو ممح ى ف (٢) ى x y(i) (x, t) = ٠ (i = ٠,..., ٤). Theorem ١. The asymptotic solution y(x, t) of equation (١) is given by (٣) y(x, t) = F ( 0 ١ (٤a b 1 ϖt ك + b )e b1 r ك a r + ٤ab 1 e b1 r ى a r ٢EI b 1 (٤a b 1 + b ) + ١٦a b 1 + ١ (٤a b + b 1 )e b r ك a r + ٤ab e b r ) a r ى b (٤a b + b 1 ) + ١٦a b ± F ( 0 ١ (٤a b 1 ϖt ى + b )e b1 r ى a r ٤ab 1 e b1 r ك a r ٢EI b 1 (٤a b 1 + b ) + ١٦a b 1 ١ (٤a b + b 1 )e b r ى a r ٤ab e b r ) a r ك b (٤a b + b 1 ) + ١٦a b, where r = x vt and the negative sign holds when r > ٠ and the positive sign for r ٠. Moreover the real and positive values of a, b 1, b are obtained by
Railway track oscillations 435 solving the system of equations ٢a b 1 b = ϱav EI, (٤) ٢a(b 1 b ) = ٢vϖϱA, EI (a + b 1)(a + b ) = s ϱaϖ. EI - مffىل فى ف م مه و مو ن (t Y,x) ى مو مك ىس.٢ Remark ى ف م فى م α 4 Y x 4 + β Y t + γy = ٠, م مو属 α, β, γ > ٠, م ىه (t y(x, ى كى ف مو م» ى ى ىل ك فى ى ى ه ى ن ى ف.لم ى م مل م ى ى (٣) ق كى ف مو ن ه ى م ف مط 1. Sketch of proof of Theorem فمق مو ن ى كممخمل مو فو مكى فم ى ة.(١) ى ف م ن ى مو ة ٢π/ϖ. + t ل ف t م ى ف م ف م ف مو فو r = x vt ى ف ى كى ف ف م س ٢π/ϖ. ل ى م و ى 属 كىل ى م ى (t y(r, ل 属 ن مو فو (٥) م مو 属 y(x, t) = y 1 (r) ك ϖt + y (r) ى ϖt, r = x vt. ىف ق م属 (١) ى ه ى ى ق س ( EI 4 y 1 r 4 + ϱav y 1 r ٢vϱAϖ y ) r + (s ϖ ك ϱa)y 1 ϖt ( + EI 4 y r 4 + ϱav y r + ٢vϱAϖ y ) 1 r + (s ϖ ى ϱa)y ϖt = F 0 δ(r) ك ϖt. مه م属 ى ف م ف مو EI 4 y 1 r 4 + ϱav y 1 r ٢vϱAϖ y r + (s ϖ ϱa)y 1 = F 0 δ(r), (٦) EI 4 y r 4 + ϱav y r + ٢vϱAϖ y 1 r + (s ϖ ϱa)y = ٠. ىف ق ن ف مى ء مو م م属 (٦) م ش { (EIu 4 ϱav u + s ϱaϖ )p 1 ٢vϱAϖiup = F 0, (٧) (EIu 4 ϱav u + s ϱaϖ )p + ٢vϱAϖiup 1 = ٠, 属 م مو p 1 (u) مو ل ف p (u) ن ن ف مى ء مو م ف y 1 (r) ل ف y (r). م م ى مو م ف ك فك ش.(u) p ل ف (u) p 1 م ى م مل ى فم فك م (٧) 属 ء
436 M. Niedziela and T. Sułkowski - ف ى ى ك ن م مو م كمل م p (u) 属 ل ف (u) p 1 ن ن ف ى ف م مو ن م ك مو م ف ك فك م 属 ىو ل ش. ى كف ن فى - ك ن مو مك ىس ٠. = ٢vϱAϖu + EIu 4 ϱav u + s ϱaϖ فم مو م مو a ± ib 属 ل ف a ± ib 1 ن مو م فو ن مو ىف م فه ي ن ن ف م م ى مو ه ى ف ك ف.(٤) ن ى ف,a b 1, b م ف م ى ى ل ف (٣). مه م p (u) 属 ل ف (u) p 1.. Mathematical model of infinite railway track oscillations with a finite م ف ف لم ملى ك ى كف موش load. number of sleepers under a fixed -ل م ف م م ك ىل و ى属 لم كم ك فمق كى ف م ى ك ف ن ه ى ى ك مو فو م ف مط. كف ف属 ىف م ى مح ف ملى ك مط. م مم مو ه ى م ه ى كف ى مك ن فكى م موش.n ف م ى ل ف م ى مح ف ى م مم ن مق ٠. > ω م مو属 ϖt ك F 0 e ωt ف م ى ى ل ف l x = ى لم مح م ف مكى وك م قف ى ف.مل ى ف ه ى فم كمل فو مك ن مو فو فم ىوش لم مح م ف فم ف وكىو属 ممو属 مو ن ى مو مل ل و ى ω ن ى كف ف属 ىف مو فو م ف ف ى ىللف م属 فو ف ى ى ة. ى.(]٤[ مم ) م مم مو و ى属 مو مه ه ى ف ىك ىو ة. ن م ك مو ى مل ىو مقى ك مل فو م属 ىكى ى ء ى ف م موش ٠. > ω ل ف ω = ω + iϖ م مو属 F 0 e ωt ى مك ن ه ى كف مو م فك C F 0 e ωt ω لف لم مح ف مل فمق م تحى م ى ك ف ن ن مو فو l x = ف لم فك (٨) IE 4 z x 4 + ϱa z t + م مو 属 ( m pj d z j dt + k bj ) dz j dt + s bjz j δ(x l j ) = F 0 e ωt δ(x l), z(x, (t ى مو ف ى كممخمل لا فمق تح x م ى ل ف t z j (t) ن ى ى تح مو م مم و j ف ى مو ف ى فكى م l j j) = ١,..., n) ل لاه ع تح E مو كم م و ى 属 فمق مو ن ى كم مو ن فى م ى ن م تح I ى ف ف»ى و فمق مو ن ى مل تح ϱ فمق مو ن ى كم - ك مو ن فم ف تح A م مم و j مو ن ف تح m pj و ى 属 م مم مو ه ى ى ي ه ى و j مو ن ىكى ف م ن مىكffiم ك تح s pj فمق مو فمق مو و ى 属 م مم مو ه ى ى ي ه ى و j مو ن مىكffiم ك هف ل تح k pj و ى 属 م مم مو ه ى ى ي ه ى و j مو ن ىكى ف م ن مىكffiم ك تح s bj ل ه مو
Railway track oscillations 437 مو و ى 属 م مم مو ه ى ى ي ه ى و j مو ن مىكffiم ك هف ل تح k bj.ل ه -ىل ن م مو و ى 属 لم ك ى (٨) ى ف م فى م مffىل فى ف موش ى ف م فى م مffىل ف (٩) m pj غz j = k bj پz j s bj z j k pj پz j s pj z j + t z(l j,t)k pj + s pj z(l j, t) ن j = ١,..., n. فل ق مو ه ى ن ى ف ( ٩ )تح( ٨ ) م ن ى ف ن ه ى م ف مط ى ىل ك (١٠) ى x z(i) (x, t) = ٠ (i = ٠,..., ٤)..ف م ه ى 属 ن مو م م م 属 م مو م ف ن م 属 م نم Lemma ٣. The function U(x) defined by (١١) ١ U(x) = ٤λ 3 IE (ieiλ x e λ x ), where λ 4 = ϱaω IE, is a solution of the equation (١٢) satisfying the conditions (١٣) EIU (IV ) (x) + ϱaω U(x) = δ(x) ٤).,... ٠, = (i ٠ = (x) U (i) ى x Theorem ٤. The complex asymptotic solution of system ( ١٠ )تح( ٨ ) is given by z(x, t) = e ωt( ) (١٤) F 0 U(x l) B j γ j U(x l j ), with (١٥) z j (t) = β j e ωt for j = ١,..., n, and the constants γ j B j β j are calculated from (١٦) (١٧) (١٨) for i, j = ١,..., n. γ j = (m pjω + k bj ω + s bj )(k pj ω + s pj ) m pj ω, + k bj ω + s bj + k pj ω + s pj B i = F 0 U(l i l) B j γ j U(l i l j ), β j = B j (k pj ω + s pj ) m pj ω + k bj ω + s bj + k pj ω + s pj, ى ف 属 و مق فك ى كى ف مو ن م م ى ص.٥ Remark.٢.١ ى كمس
438 M. Niedziela and T. Sułkowski مق ى 属 مل ىو ن (t y(x, ى كى ف فم موش.٦ Remark t). z(x, مز = t) y(x, ق م ىه كى ف م ك مو فو م ف مط.4 Sketch of proof of Theorem ن مو فو ى (١٩) (٢٠) z(x, t) = B(x)e ωt, z j (t) = β j e ωt. م ى كم م ىف ق م (٩) 属 ل ف (٨) ى ( ٢٠ )تح( ١٩ ) ه ى ى ق س (٢١) IEB (IV ) (x) + ϱaω B(x) ل ف (٢٢) = F 0 δ(x l) β j (ω m pj + ωk bj + s bj )δ(x l j ) β j ω m pj = β j ωk bj β j s bj β j ωk pj β j s pj + B j ωk pj + B j s pj, مه م 属 ف ن م قف مو ن β j ه ى ف ك ف ). j B j = B(l م مو 属 (٢٣) β j = م فو م (٢٣) 属 ل ف (٢١) ء (٢٤) و ى 属 (٢٥) B j (k pj ω + s pj ) m pj ω + k bj ω + s bj + k pj ω + s pj n.,... ١, = j ن IEB (IV ) (x) + ϱaω B(x) = F 0 δ(x l) ممح ى ف B(x) م مو 属 (٢٦) γ j = (m pjω + k bj ω + s bj )(k pj ω + s pj ) (m pj ω + k bj ω + s bj + k pj ω + s pj ), ى x B(i) (x) = ٠ (i = ٠,..., ٤). j = ١γj B j δ(x l j ), : 属 ن ف (٢٦) ه ى ن ى ف (٢٤) ن ى مو ىف ق م属 ٣ ف مج ه ى ص (٢٧) B(x) = F 0 U(x l) j = ١Bj γ j U(x l j ). n),... ١, = (k B k م ف ك فك فك م属 (٢٧) ى n),... ١, = (k x = l k ه ى ذ ى ف م فم ى ن م ف ن ى ف ف (٢٨) (δ kj + γ j U(l k l j ))B j = F 0 U(l k l) ن k = ١,..., n..ن مو ل م ىوش ه ى ى ف ك لم ن م م فو مط experiment..3 Numerical و ى ذ ن وك فم م ف ك ن م ف مل مو ق لم م ى مل ف فل كى ى فم. ف ف 属 ىفز ف ى فخ
Railway track oscillations 439 type of rail S4 S49 S60 application small intensity of motion average intensity of motion large intensity of motion ϱa [kg/dm 3 ] 7.85 7.85 7.85 E [N/m ].1 10 11.1 10 11.1 10 11 I [cm 4 ] 144 1815 3055 s, s pj [N/m] 3.3 10 8 4.15 10 8 7 10 8 وكف. ى فكمحى ى م ملف م فو م 属 م ى م م فكى م ة ككف ى مط. فك 属 ل ف ل ق هف 属 ف ن ى ك هف 属 ممو 属 ن فو فك م. فك مو ن م ن ى مو ملى م ى لم م م ى م ف م 属 م فكمق مو ن 属 ملى ك م 属 ق ه ى 属 ن مو لم م 属 س.م ف لم فم م ف ممو 属 属 م موش. فك مو ن = ١٢٥٠٠ 0 F ( ممو 属 م ن ف ) ه = ١٢٥٠ m : مل و ق ى م م ف ف م مح ف ى ل مك ىس.( كف مو ه ى كف مك ن ى ف ه) خ ن م كم ك مو كموك ف 属 ىف مح مل ف م مه م ف ك ك لم فكى ك م مق مم مل ل كم موش. ى فم ىفهف مل و ق ى لم ىف ق م فكى م مو مو 属 م ف 属 ىف ل كم د. ف مو م ى ق وكىو ω 属 ن مكى وك فىكم ف ن م قف ف ك م ف مل و ق. مل ل كم مو ى v ىك م - ى ىللف لم م 属 مل مح مو ة model..3.1 Simulations for the first ملف م م 属 ى ف ى ء. / = ١٠ v ل ف = ٥٠ ϖ م م ف ف مو ف - لم م ق مط.( مل ل كم مو ى ف) ٣٥ و ه م ن م هم مو ى ف ىك لم ف ك ل ف ٠ = 0 x ى لم مح مو ف كف مو ن ى ف ىك ٦٠ س ن م 属 ل ف ٤٢ س ن موهىو م ف ى ف ىك موش. م م مffىل ن ل ف كف ف 属 ىف ن م م وهى مو ى ٤٢ س م فكمق م قف فم ى وكىو 属.( ٣ تح ١. هىء) م مى فمو مو ى ٦٠ س ى لم م م ف ف ه ى ىف م موش model. 3.. Simulations for the second ٥٠i + ١ = ω ( م مم مم 属 مق مك ف ىل) = ٠.٣٥ r م ف ى ف ى م مو -نم ك م مو ) /خ ١٠ 8 ٢.٦ = bj s / خ ١٠ 4 ٨.٢ = bj k / خ ١٠ 4 ٦.٣ = pj k ( م مم وكفم ن ف ) ه = ٧٥ p m ( م مم م م ن م ف مو م ف مىكمح.٠ = l ( ممو ( 属 ه ى كف ى مك ن لم مح ف م مو 属 مكف ١٠٠ = n م مم ن مق فو مه ه ى ف ىك ى ٤٢ س :١ مل ى ف م ف مو م ف ى ك ك موش.( ٣ تح ١. هىء) ٦٠ س ل ف ٤٩ س ( ٣ تح ١. هىء) م فكى م موش comments..3.3 Conclusions and مل و ق ة. كف ف 属 ىف ن ى فومق فم م م م ى م ف مل - فم ى وكىو 属 ٦٠ س ن م فم 属 ل ف ٤٢ س ن مه م ف ى كممخمل مو فم موش.وهىو م ف مل و ق ى ى كممخمل مو م م 属 ب.م قف - ك مل مو مى فم لم ى م ء. ممو 属 م م م ق م 属 فو ى ل ف ممو 属 ه ى مو ملى ك م 属 م مح مو ة. م مffىل م ف لم ملى ل كم مو ة. ى ف م مو مىكffiم ك ىكى ف م مو و ى 属 م ف للف م 属
440 M. Niedziela and T. Sułkowski ن ى مو ق م مم ف كى ف ن ى ف ىك ل ف م 属 مل لم 属 و ف مط. ى لم مح مو ف ه ى كف مك ن ف ق لم مل ى ممو 属 مو فك مل لم فكى ك م ل كم مو ω ن م ف م قف ى ف ن فو - ن فو فم ىوش.م مح مو ق م ىه م و ف ى ى م م ىه م ى مح مو م ف فك م 属 كف ن ى ف ىك ن ه ى مل فكى م. مل 10 x 10 5 8 model 1 model 6 y(0,t) [m] deflection 4 0 0 0.05 0.1 0.15 0. 0.5 0.3 t [s] time Fig. 1. Comparison of oscillations for both models for railway track S4 10 x 10 5 8 model 1 model 6 y(0,t) [m] deflection 4 0 0 0.05 0.1 0.15 0. 0.5 0.3 t [s] time Fig.. Comparison of oscillations for both models for railway track S49
Railway track oscillations 441 10 x 10 5 8 model 1 model 6 y(0,t) [m] deflection 4 0 0 0.05 0.1 0.15 0. 0.5 0.3 t [s] time Fig. 3. Comparison of oscillations for both models for railway track S49 References [1] P. M. Belotserkovskiy and A. D. Myshkis, On resonance of an infinite beam on uniform elastic foundation, ZAMM 79 (1999), 645 647. [] P. M. Mathews, Vibrations of a beam on elastic foundation, ibid. 38 (1958), 105 115. [3], Vibrations of a beam on elastic foundation II, ibid. 39 (1959), 13 19. [4] I. Zobory, V. Zoller and Z. Zábori, Time domain analysis of a railway vehicle running on a discretely supported continuous rail model at a constant velocity, ibid. 76 (1996), 169 17. [5],,, Dynamic response of a periodically supported railway track in case of a moving complex phasor excitation, Progress in Industrial Mathematics at ECMI 96 (1997), 85 9. Institute of Mathematics University of Zielona Góra Podgórna 50 65-46 Zielona Góra, Poland E-mail: m.niedziela@im.uz.zgora.pl t.sulkowski@im.uz.zgora.pl Received on 17.1.004; revised version on 3.6.004 (174)