ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι: i. Ορθογώνιο με ορθή γωνία την Β ii. Ορθογώνιο με ορθή γωνία την Α ii. Ορθογώνιο με ορθή γωνία την. * ια το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ του σχήματος ισχύει: i. ΑΒ = Β Β ii. Α = ΑΒ Α iii. Α = Β iv. Α = Β Β v. ΑΒ = Β vi. Α = Β 3. * ια το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ του σχήματος, στο οποίο η Α είναι ύψος και η ΑΜ διάμεσος, ισχύει: i. ΑΒ = Β Β Μ ii. ΑΒ = ΑΜ + Β - Α iii. ΑΒ = ΑΜ + ΒΜ iv. ΑΒ = Β - Α v. ΑΒ = Β + Α vi. ΑΒ Β = 4 + ΒΜ 4. * Το τρίγωνο ΑΒ είναι αμβλυγώνιο. Ισχύει α > β + γ. 5. * Αν γ η μεγαλύτερη πλευρά τριγώνου ΑΒ με πλευρές α, β, γ και γ > α + β, τότε αυτό είναι αμβλυγώνιο. 6. * Το τρίγωνο ΑΒ είναι ορθογώνιο στο Α. Ισχύει β < α + γ. 7. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ με πλευρές α, β, γ ισχύει β < α + γ, τότε το τρίγωνο είναι πάντοτε οξυγώνιο. 8. * ια τυχαίο τρίγωνο ΑΒ με ύψος Α, ισχύει ΑΒ = Β Β. 9. * ε τρίγωνο ΑΒ με < 90 ισχύει Β < ΑΒ + Α. 10. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ με πλευρές α, β, γ ισχύουν ταυτόχρονα: α < β + γ, β < α + γ, γ < α + β, τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο. 11. * Υπάρχει τρίγωνο ΑΒ με πλευρές α, β, γ για το οποίο να ισχύουν ταυτόχρονα: α > β + γ, β < α + γ, γ > α + β. 1
1. * Αν γνωρίζουμε τις τρεις πλευρές τριγώνου ΑΒ α, β, γ, τότε συγκρίνοντας το τετράγωνο μιας οποιασδήποτε πλευράς του με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, μπορούμε να διαπιστώσουμε αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, οξυγώνιο ή αμβλυγώνιο. 13. * Το τρίγωνο που έχει μήκη πλευρών 5, 7, 9 είναι οξυγώνιο. 14. * το τρίγωνο ΑΒ που έχει διάμεσο την ΑΜ και ύψος το Α ισχύει: - ΑΒ = Β Μ. 15. * το διπλανό σχήμα, αν το Α είναι ύψος, ισχύει Α = ΑΒ + Β - Β. 16. * Αν Α η προβολή της πλευράς γ πάνω στην πλευρά β τριγώνου ΑΒ με πλευρές α, β, γ και ισχύουν ταυτόχρονα: α = β + γ - βα και α = β + γ + βα, τότε το ΑΒ είναι ορθογώνιο στο Α. 17. * το τρίγωνο ΑΒ είναι ΑΒ = 6 cm, Α = 8 cm και Β = 7 cm. Η ΑΜ είναι διάμεσος και το Α είναι ύψος. Το Μ ισούται με cm. 18. * το τρίγωνο ΑΒ η μ α είναι διάμεσός του. Ισχύει β + γ = μ α + α. 19. * το τρίγωνο ΑΒ η ΑΜ είναι διάμεσος και το Α είναι ύψος. Ισχύει: ΑΒ + Α = ΑΜ + Μ. 0. * Αν γνωρίζουμε τις διαμέσους ενός τριγώνου, μπορούμε να υπολογίσουμε τις πλευρές του. 1. * Η απόδειξη των θεωρημάτων της διαμέσου, μπορεί να γίνει με τη βοήθεια της γενίκευσης του Πυθαγορείου Θεωρήματος.. * Το G είναι το βαρύκεντρο τριγώνου ΑΒ. Ισχύει = G G.
3. * Το ευθύγραμμο τμήμα α διαιρείται σε μέσο και άκρο λόγο από το σημείο Μ όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο λόγος φ = α x = 5 + 1 εκφράζει το λόγο της χρυσής τομής. 4. * το διπλανό σχήμα Ο είναι το κέντρο του κύκλου και Ο = δ, ΟΑ = R. Ισχύει Α ΑΒ = δ - R. 5. * Το σημείο Ρ είναι εσωτερικό του κύκλου (Ο, R) και ΟΡ = δ < R. Αν μια ευθεία διέρχεται από το Ρ και τέμνει τον κύκλο στα Α, Β, τότε ΡΑ.ΡΒ = R - δ. 6. * Η δύναμη σημείου ως προς κύκλο και η απόσταση του σημείου από το κέντρο είναι ποσά ανάλογα. 7. * ίνονται δύο ομόκεντροι κύκλοι. ημείο Ρ κινείται στον εξωτερικό κύκλο. Η δύναμη του σημείου Ρ ως προς τον εσωτερικό κύκλο είναι σταθερή. 8. * το διπλανό σχήμα είναι Ο = 4 cm, Ο = 3 cm και ΟΒ = O 3 = x. Η τιμή του x είναι cm. 9. * Τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και τέμνονται στο σημείο Ο και είναι ΟΑ = 3 cm, ΟΒ = 6 cm, Ο = cm και Ο = 8 cm. Τα σημεία Α, Β,, είναι ομοκυκλικά. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Οι παρακάτω σχέσεις αναφέρονται στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ του σχήματος. ανθασμένη είναι η σχέση: i. Α = Β ii. ΑΒ = Β Β iii. Α = Β iv. ΑΒ + Α = Β v. ΑΒ Α = Β 3
4 cm. * το διπλανό σχήμα η Β σε cm ισούται με: i. 3 ii. 4 iii. 5 iv. 6 v. 7 x cm 3. * το διπλανό σχήμα η σε cm ισούται με: i. ii. 3 iii., iv. 3, v. 3,5 3 cm 6 cm x cm 4. * το διπλανό σχήμα η σε cm ισούται με: i. 5,5 ii. 8 iii. 4 iv. 5 v. 4,5 4 cm 10 cm 5. * Αν το μήκος της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου είναι 5 α, τότε τα μήκη των καθέτων πλευρών του είναι: i. 3α, α ii. α, α iii. α, α iv. α, 5 α v. 3 α, α 6. * Αν το μήκος της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου είναι α, τότε τα μήκη των καθέτων πλευρών του είναι: 1 i. α 1, α ii. α, 1 α iii. 1 1 α, α iv. α 3 4 1, α 4 v. α, α 6 cm x cm 7. * Η διαγώνιος τετραγώνου είναι 4 cm. Το μήκος της πλευράς του σε cm ισούται με: i. ii. 5 iii. 5, iv. 3 v. 8. * Το ευθύγραμμο τμήμα που είναι μέση ανάλογος των ευθυγράμμων τμημάτων με μήκη cm και 4 cm έχει μήκος σε cm: i. 8 ii. 3 iii. 6, iv. v. 3 ΑΒ 9. * το ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος ισχύει =. Α Β Ο λόγος ισούται με: i. 3 ii. 4 iii. iv. 1 v. 5 4
10. * το διπλανό σχήμα είναι ΑΒ = 4 cm, Β = 5 cm και το Α ύψος και η γωνία ΒΑ = 30. Το μήκος της πλευράς Α σε cm ισούται με: i. 3 ii. 41 iii. 10 iv. 1 v. 0 11. * το διπλανό σχήμα ισχύει: i. γ = β + α + αγ ii. γ = β - α - αβ iii. β = α + γ + αγ iv. β = α + γ - αγ v. β = γ + 1. * ε τρίγωνο ΑΒ με < 90 φέρνουμε τα ύψη Β και Ε. Από τις παρακάτω ισότητες λανθασμένη είναι: i. α = β + γ - βα ii. α = β + γ - γαε iii. α = Β + iv. α = β + γ + βα v. α = ΕΒ + Ε 13. * ε τρίγωνο ΑΒ με πλευρές α, β, γ ισχύει α = β + γ + βγ. Αν Α είναι η προβολή της πλευράς γ = ΑΒ στην Α τότε η γωνία ΑΒ είναι: i. 45 ii. 30 iii. 60 iv. 75 v. 15 14. * το τρίγωνο ΑΒ είναι = 90, β > γ, το Α ύψος και η ΑΜ = μ α διάμεσος. Από τις παρακάτω σχέσεις λανθασμένη είναι: i. β + γ = 4ΑΜ ii. β - γ = αμ iii. β = μ α + Μ + αμ iv. β + γ = μ α + α v. γ + μ α = Α + M 15. * το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( = 90 ) είναι: i. β + γ = μ α ii. β + γ = μ α iii. β + γ = 3μ α iv. β + γ = 4μ α v. β + γ = 5μ α 16. * Το τρίγωνο ΑΒ έχει ΑΒ < Α, την ΑΜ διάμεσο και το Α ύψος. Ισχύει: i. Α - ΑΒ = Β. ii. ΑΒ - Α = Β.Μ iii. ΑΒ + Α = Β.Μ iv. Α + ΑΒ = ΑΜ.Μ v. κανένα από τα προηγούμενα 5
17. * ε τρίγωνο ΑΒ με πλευρές α, β, γ ισχύει: α = β + γ - βα, όπου Α η προβολή της γ πάνω στη β. Αν έχουμε β < Α, τότε: i. < 90 ii. > 90 iii. = 90 iv. > 90 v. Β > 90 18. * Αν α = 10 cm, β = 9 cm και γ = 7 cm είναι τα μήκη πλευρών τριγώνου ΑΒ τότε η προβολή Α της πλευράς γ πάνω στη β σε cm είναι: i. 5 3 ii. 8 iii. 9 iv. 17 v. 19 19. * το διπλανό τρίγωνο είναι ΑΒ = 5 cm, Α = 7 cm και Β = 6 cm. Η ΑΜ είναι διάμεσος και το Α είναι ύψος. Το Μ έχει μήκος: i. 1 ii. iii.,5 iv. 3 v. 4 0. * το διπλανό σχήμα είναι Α = cm, Β = 9 cm, = 6 cm. ια να είναι ομοκυκλικά τα σημεία Α,, Β και, το πρέπει να ισούται με: i. 6 ii. 6. 9 iii.. 6 iv. 15 9 1. * το διπλανό σχήμα η σωστή σχέση είναι: i. ΡΑ Ρ = Ρ ΡΒ ii. ΡΑ ΡΒ = Ρ Ρ iii. ΡΑ ΑΒ = Ρ iv. ΡΑ Ρ = Ρ ΡΒ v. ΡΑ = Ρ ΑΒ v. 3 6 9. * το διπλανό σχήμα η σωστή σχέση είναι: i. ΡΑ ΑΒ = Ρ ii. ΡΑ ΡΒ = Ρ Ρ iii. ΡΑ Ρ = Ρ ΡΒ iv. ΡΑ = Ρ ΑΒ v. ΡΑ Ρ = ΑΒ 3. * ε κύκλο (Ο, R) θεωρούμε τη χορδή ΑΒ. ημείο Ρ μετακινείται πάνω στη χορδή. Η δύναμη του σημείου Ρ ως προς τον κύκλο γίνεται μέγιστη όταν: i. το Ρ είναι ένα από τα άκρα Α και Β ii. το Ρ είναι μέσο της ΑΒ iii. οποιοδήποτε σημείο της ΑΒ iv. το Ρ διαιρεί το ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο v. κανένα από τα παραπάνω 4. * Το πρόβλημα της χρυσής τομής είναι: i. η διαίρεση ευθύγραμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο ii. η διαίρεση ευθύγραμμου τμήματος στο μέσο iii. η διαίρεση κύκλου σε δύο τόξα που το ένα είναι διπλάσιο του άλλου iv. η διαίρεση γωνίας σε τρεις ίσες γωνίες v. κανένα από τα παραπάνω 6
Ερωτήσεις αντιστοίχησης 1. * τη στήλη Α του παρακάτω πίνακα αναφέρονται τα μήκη των πλευρών τεσσάρων τετραγώνων. Αντιστοιχίστε κάθε στοιχείο της στήλης Α με το στοιχείο της στήλης Β που αντιστοιχεί στο μήκος της διαγωνίου του. στήλη Α στήλη Β Μήκος πλευράς τετραγώνου Μήκος διαγωνίου τετραγώνου 1. 4α. 7 α 3. 4 α 4. 5 α Α. 10 α Β. 6α. 8α. 4 α Ε. 1α Τ. 6 α. * τη στήλη Α έχουμε είδη μιας γωνίας τριγώνου ΑΒ και στη στήλη Β σχέσεις μεταξύ των πλευρών του. Να αντιστοιχήσετε σε κάθε γωνία της στήλης Α την αντίστοιχη σχέση από τη στήλη Β. στήλη Α στήλη Β 1. Α = 90 Α. β = α - γ Β. α < β + γ. Α < 90. α > β + γ 3. Β = 90. α + γ = β Ε. γ - β > α 4. Β < 90 Ζ. β < γ + α Η. γ = α + β 7
3. * Από κάθε σχήμα της στήλης Α προκύπτει μια σχέση της στήλης Β. Να αντιστοιχήσετε κάθε σχήμα της στήλης Α με την αντίστοιχη σχέση της στήλης Β. στήλη Α στήλη Β 1. Α. = Α.Β + ΑΒ.Β Β. Α + Β = ΑΕ + ΕΒ. ΑΒ = Α + Β + Β.Α.. Α - Β = Α - Β Ε. ΑΒ = Β + Α + Β. 3. Ζ. Α + = ΑΕ + Ε 4. * το επίπεδο του κύκλου (Ο, R) παίρνουμε σημείο που απέχει απόσταση δ από το κέντρο Ο του κύκλου. Φέρνουμε από το σημείο ευθεία που τέμνει τον κύκλο στα σημεία Α και Β. Να αντιστοιχήσετε κάθε θέση του σημείου που περιγράφεται στη στήλη Α με την αντίστοιχη τιμή του γινομένου Α Β που βρίσκεται στη στήλη Β. στήλη Α στήλη Β Το σημείο είναι: Τιμή του γινομένου Α Β 1. εσωτερικό του κύκλου. εξωτερικό του κύκλου 3. πάνω στο κέντρο 4. πάνω στον κύκλο Α. δ - R Β. R - δ. 0. δ Ε. R Ζ. R + δ 8
Ερωτήσεις συμπλήρωσης 1. * Με βάση το διπλανό σχήμα, όπου ΑΗ ύψος και ΑΜ διάμεσος του τριγώνου ΑΒ, να συμπληρωθούν οι ισότητες: i. Α = ΑΜ + Μ + Μ... ii. ΑΜ = ΑΗ + iii. Α - ΑΒ = iv. ΑΜ = Α + ΑΒ... H M. * ια το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ του σχήματος να συμπληρωθεί ο πίνακας: ΑΒ 3 Α 4 Β Β Α 3. * ια το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ του σχήματος να συμπληρωθεί ο πίνακας: 4 Α 8 Β ΑΒ Β Α 4. * Να συμπληρωθούν οι παρακάτω ισότητες σύμφωνα με το διπλανό σχήμα: i. ΑΒ = Β ii. Α = Β iii. Α = iv. Α ΑΒ = v. Β = ( ) + ( ) 9
5. * Να συμπληρωθούν οι παρακάτω ισότητες σύμφωνα με το Μ διπλανό σχήμα: i. ΑΒ + Α = ΑΜ + ii. Α = + iii. Α = iv. Α = Β v. Α = Α - vi. ΑΜ = Α + vii. ΑΜ = ΑΒ + Α - Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** ε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ με κορυφή το Α, έχουμε Β = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii)το ύψος ΒΚ. ** ε ένα τετράγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ + Α = +. Να υπολογίσετε: i. Την πλευρά ΑΒ ii)τη διαγώνιο Α 3. ** Ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( = 90 ) είναι περιγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, r). Αν η πλευρά ΑΒ = 16 cm και η ακτίνα r = 4 cm, να υπολογίσετε: i. Την πλευρά Β του τριγώνου ii)την πλευρά Α του τριγώνου 4. ** Ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒ έχει ύψος ΑΗ. Αν ισχύει Β - ΑΗ = 1 cm, να υπολογίσετε: i. Την πλευρά του ii)το ύψος του υ 5. ** Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει α = β + γ, να δείξετε ότι το τρίγωνο με πλευρές 5α, 5β, 5γ είναι τρίγωνο ορθογώνιο. 6. ** Η διαφορά των τετραγώνων των δύο πλευρών τριγώνου ισούται με τη διαφορά των τετραγώνων των προβολών τους πάνω στην τρίτη πλευρά. 7. * το διπλανό σχήμα η ΑΒ είναι διάμετρος του κύκλου και η Α τυχαία χορδή του. Να δείξετε ότι η Α είναι μέση ανάλογος της διαμέτρου ΑΒ και της προβολής της πάνω στη διάμετρο ΑΒ. 8. ** ε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ φέρνουμε το ύψος Β. Να δείξετε ότι: (ΑΒ) + (Β) + (Α) = () + (Α) + 3 (Β). 10
9. ** ύο κύκλοι με ακτίνες α και 4α εφάπτονται εξωτερικά, όπως στο σχήμα. Αν ΑΒ είναι η κοινή εφαπτομένη των δύο κύκλων: i. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΚΒ είναι τραπέζιο. ii)να υπολογίσετε το μήκος ΑΒ συναρτήσει του α. Κ α Β 4α 10. ** ίνεται ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α. Να υπολογίσετε συναρτήσει του α: i. Tο ύψος του υ ii)tο ύψος υ του ισόπλευρου τριγώνου, που η πλευρά του είναι ίση με το ύψος υ του πρώτου τριγώνου. 11. ** Η περίμετρος ενός ρόμβου είναι 84 m. Να υπολογιστούν οι διαγώνιοί του, αν 3 γνωρίζουμε ότι η μία είναι τα της άλλης. 5 1. ** το τραπέζιο ΑΒ του διπλανού σχήματος Μ και Ν είναι τα μέσα των διαγωνίων του Α και Β αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: E i. ΜΝ = ii. Β - Α = 4ΜΝ. Ν Μ Ε 13. ** το ισοσκελές τραπέζιο ΚΜΝ να δείξετε: i. ΖΝ = ΗΜ ii) ΚΜ - ΚΝ = Κ ΜΝ Κ Ν Ζ Η Μ 14. ** ε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( = 90 ) η ΑΒ = 4 3 Α. Αν Α είναι το ύψος του τριγώνου, να δείξετε ότι Β = 16 9. 15. ** Έστω τυχαίο σημείο στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου ΑΒ του διπλανού σχήματος. Η κάθετη στο τέμνει την ΑΒ στο Ε και την προέκτασή της Α στο Ζ. Αν Κ σημείο Κ Ζ της Ζ τέτοιο ώστε Β K = 90, να δείξετε: Ε i. K = ii)k = Z E 11
16. ** ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ η βάση του Β και το ύψος του Α έχουν το ίδιο μήκος 8 cm. Να υπολογιστεί η ακτίνα R του περιγεγραμμένου του κύκλου. O 17. ** ε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ με Β =, να δείξετε ότι = 3. 18. ** την προέκταση της πλευράς ΑΒ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒ παίρνουμε ΑΒ Β = ΑΒ. Φέρνουμε το ύψος Ε. Αν ισχύει ΑΒ = 4ΒΕ, να δείξετε ότι = Β + 3 Α. Κ 19. ** Να υπολογίσετε την απόσταση Κ της τσιμεντένιας σκάλας, αν το πλάτος κάθε σκαλοπατιού είναι 40 cm και το ύψος του 30 cm. Μ Α x Β 0. ** Να υπολογίσετε (σε ίντσες) την πλευρά τετράγωνης οθόνης τηλεόρασης 4 ιντσών. x 4 ίντσες ημείωση: Με την έκφραση «τηλεόραση α ιντσών» εννοούμε ότι η διαγώνιος της οθόνης είναι α ίντσες. 1. ** Να βρείτε το είδος του τριγώνου ΑΒ (ως προς τις γωνίες του) του οποίου οι πλευρές γ, β, α, είναι ανάλογες προς τους αριθμούς 4, 5 και 6 αντιστοίχως. Αν Α είναι η προβολή α + β + γ της πλευράς γ πάνω στη β, να δείξετε ότι Α =. 30. ** Ένα τρίγωνο έχει πλευρές με μήκη, 1 + 3, 6. Να δείξετε ότι η γωνία που βρίσκεται απέναντι από την πλευρά με μήκος 6 είναι 60. 3. ** Ενός τριγώνου ΑΒ τα μήκη των πλευρών του είναι 5 cm, 3 cm και 7 cm. i. Να προσδιοριστεί το είδος του ως προς τις γωνίες του. ii) Να υπολογιστεί σε μοίρες η γωνία του τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά του. 4. ** τη βάση Β ισοσκελούς τριγώνου ΑΒ με ΑΒ = Α = 11 παίρνουμε σημείο, τέτοιο ώστε να είναι Β = 3 και = 7. Να υπολογίσετε το Α. 5. ** Να βρείτε το είδος του τριγώνου αν έχει διαμέσους με μήκη 3, 4, 5. 1
6. ** ε τρίγωνο ΑΒ με Α > ΑΒ και ορθόκεντρο Η να δείξετε ότι: Η - ΗΒ = Α - ΑΒ. 7. ** Αν κ, λ, κ + λ - κλ είναι τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου, να υπολογιστεί σε μοίρες η γωνία που βρίσκεται απέναντι από την πλευρά που έχει μήκος 8. ** ε τρίγωνο ΑΒ να αποδείξετε ότι αν μ β < μ γ, τότε β > γ. κ + λ - κλ. 9. ** ε τρίγωνο ΑΒ είναι = 10. Αν Β είναι το ύψος του, τότε να δείξετε ότι: i. Α = γ ii) α =β + γ + βγ 30 ** Οι πλευρές ενός τριγώνου ΑΒ είναι: ΑΒ = 3 cm, Β = 5 cm, Α = 7 cm. i. Να δείξετε ότι η γωνία Β είναι αμβλεία. ii. Να υπολογίσετε την προβολή Β της πλευράς ΑΒ πάνω στη Β. iii. Να υπολογίσετε τη γωνία Β. 30. ** ια τις βάσεις ΑΒ και τραπεζίου ΑΒ έχουμε = ΑΒ. Να δείξετε ότι Α + Β = Β + + Α. 31. ** ε κύκλο (Κ, R) παίρνουμε σημείο Μ μιας χορδής ΑΒ. Να δείξετε ότι ΚΜ + ΜΑ ΜΒ = R. 3. Με εφαρμογή του θεωρήματος των διαμέσων στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( = 90 ) να αποδείξετε ότι: μ α = α. 33. ** Με εφαρμογή του θεωρήματος των διαμέσων στο ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α να αποδείξετε ότι το ύψος του ισούται με α 3. 34. ** Θεωρούμε το τρίγωνο ΑΒ και τη διάμεσό του ΑΜ. Παίρνουμε το μέσο του ΒΜ και το μέσο Ν του Μ. Αν είναι ΑΒ = γ, Α = β, Β = α, Α = ν και ΑΝ = λ, να αποδείξετε ότι: β + γ = ν + λ + 3α 8. 35. ** Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών ενός τετραπλεύρου είναι μεγαλύτερο ή ίσο από το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων του. 36. ** ε τρίγωνο ΑΒ παίρνουμε πάνω στη βάση του Β τα σημεία και Ε ώστε Β = Ε = Ε. Να δείξετε ότι: ΑΒ + Α = 3ΑΕ + 6Ε. 37. ** ε ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ) να δειχθεί ότι: i. α + β + γ = 8μ α ii. μ β + μ γ = 5μ α 39. ** Αν σε τρίγωνο ΑΒ οι διάμεσοι μ β και μ γ τέμνονται κάθετα, να δείξετε ότι: β + γ = 5α. 40. ** Το τρίγωνο ΑΒ είναι ορθογώνιο με = 90 και το G είναι το κέντρο βάρους του. Να αποδείξετε ότι: i. μ α + μ β + μ γ = 3 α ii. G + G + G = 3 α 13
41. ** Αν μ β + μ γ = 5μ α, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με διαμέσους μ α, μ β, μ γ είναι ορθογώνιο. 4. ** Αν α, β, γ, δ είναι διαδοχικές πλευρές του τετραπλεύρου ΑΒ με α > β, γ > δ, να αποδείξετε ότι η διαφορά (α + γ ) - (β + δ ) ισούται με το διπλάσιο της μιας διαγωνίου επί την προβολή της άλλης πάνω σ αυτήν. 43. ** ια κάθε τρίγωνο ΑΒ να αποδείξετε ότι: 16 ( μ α μ β + μ β μ γ + μ α μ γ ) = 9 (α β + β γ + γ α ) 44. ** ίνεται το τρίγωνο ΑΒ με ΑΒ = Α. Προεκτείνουμε την πλευρά Β κατά ευθύγραμμο τμήμα = Β. Να αποδείξετε ότι: Α = Α + Β. 45. ** ίνεται το τρίγωνο ΑΒ με ΑΒ = Α και τη γωνία του Α αμβλεία. Να αποδείξετε ότι: Β = Α, όπου η προβολή του Β πάνω στην Α. 46. ** ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( = 90 ). Φέρνουμε τη διάμεσο ΑΜ και προς την ΑΜ στο σημείο Μ κάθετη ευθεία που τέμνει την Α στο. Να αποδείξετε ότι: Β + = Α. 47. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒ και η διάμεσός του ΑΜ. την προέκταση της Β παίρνουμε σημείο Ε, ώστε Ε = α. Να αποδείξετε ότι: ΑΕ = 3β + γ - 3 μ α. 48. ** Θεωρούμε κύκλο (Ο, R), μια διάμετρό του ΑΒ και τα σημεία και της ΑΒ ώστε Ο = Ο = δ. Αν Ρ είναι τυχαίο σημείο του κύκλου (Ο, R) και Ε, Ζ οι τομές των Ρ και Ρ αντιστοίχως με τον κύκλο, να αποδείξετε ότι: i. Ζ = R - δ Ρ και Ε = R - δ Ρ (δ < R) ii. Ρ Ε + Ρ Ζ = σταθερό. 49. ** ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( = 90 ). Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΒ κατά ευθύγραμμο τμήμα Β = Β. Να αποδείξετε ότι: = Β Α. 50. ** ε κύκλο (Ο, R) είναι εγγεγραμμένο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ = Α). Από το Α φέρνουμε τυχούσα ευθεία η οποία τέμνει την Β στο και τον κύκλο στο Ε. Να δείξετε ότι: i.αβ = Α ΑΕ ii.ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία Β,, Ε εφάπτεται στην ΑΒ. 51. ** ε κύκλο ακτίνας R = 15 cm παίρνουμε σημείο που απέχει από το κέντρο 10 cm. Μια χορδή ΑΒ διέρχεται από το και είναι Α = 3Β. Να βρεθεί το μήκος της χορδής. 5. ** Από σημείο Ρ εκτός κύκλου φέρνουμε την εφαπτόμενη ΡΑ και την τέμνουσα ΡΒ του κύκλου. Να δειχθεί ότι: i. Το τρίγωνο ΡΑΒ είναι όμοιο με το τρίγωνο ΡΑ. ii. Α = P Α P 53. ** ε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒ φέρνουμε τα ύψη Α, ΒΕ που τέμνονται στο Η. i.να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΕΒ είναι εγγράψιμο σε κύκλο. ii.να δείξετε ότι ΑΒ = ΒΗ ΒΕ + ΑΗ Α. 14
54. ** Με πλευρά τη χορδή ΑΒ = α κύκλου (Ο, R) κατασκευάζουμε τετράγωνο ΑΒ που η πλευρά του Β δεν έχει σημείο εσωτερικό του κύκλου. Αν το εφαπτόμενο τμήμα Ε του κύκλου είναι Ε = α, να βρείτε το R. 55. ** Κυρτό τετράπλευρο ΑΒ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Αν τα ΑΒ και τέμνονται στο Ρ και ΡΑ = 9 cm, ΡΒ = 10 cm, Ρ = 15 cm, να υπολογιστεί η πλευρά και η εφαπτόμενη Ρ του κύκλου. 56. ** υο κύκλοι λέγονται ορθογώνιοι ή ότι τέμνονται κάθετα, όταν η γωνία των εφαπτομένων τους σ ένα από τα σημεία τομής τους είναι ορθή. Να αποδείξετε ότι: i.αναγκαία και ικανή συνθήκη για να τέμνονται δύο κύκλοι κάθετα είναι το τετράγωνο της διακέντρου τους να είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των ακτίνων τους. iiαναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι δύο κύκλοι (Ο 1, R 1 ) και (Ο, R ) ορθογώνιοι είναι: η δύναμη του κέντρου του Ο 1 ως προς τον κύκλο Ο να 1 ισούται με το τετράγωνο της ακτίνας του Ο 1, δηλαδή: (Ο, R ) = R 1. 57. ** Θεωρούμε κύκλο (Ο, R), μια σταθερή διάμετρό του ΑΒ και μια σταθερή ευθεία ε ΑΒ. Αν η ευθεία ε τέμνει τυχαία χορδή Α του κύκλου στο σημείο, να αποδείξετε ότι: Α Α = σταθερό. 58. ** Θεωρούμε κύκλο (Ο, R), μια διάμετρο αυτού ΑΒ και ένα σημείο Ρ στην προέκταση της ΒΑ. Φέρνουμε την εφαπτομένη Ρ και την κάθετη στο Ρ προς την ΑΒ που τέμνει τη Β στο. Να αποδείξετε ότι: ΡΒ = Ρ + Β Β. 59. ** Να αποδείξετε ότι τα σημεία που ισαπέχουν απ το κέντρο του κύκλου, έχουν την ίδια δύναμη ως προς τον κύκλο αυτό. 60. ** Θεωρούμε κύκλο (Ο, R) και μια διάμετρό του ΑΒ. ράφουμε μια χορδή του κύκλου που τέμνει την ΑΒ στο σημείο Ε έτσι ώστε Α E = 45. Να αποδείξετε ότι: ΑΕ ΕΒ + ΟΖ = R, όπου Ζ η προβολή του Ο στην. 61. ** υο κύκλοι (Ο, R) και (Ο, R ) τέμνονται στα σημεία Α και Β. Να αποδείξετε ότι τα εφαπτόμενα τμήματα, που γράφονται από τυχαίο σημείο της προέκτασης του ΑΒ προς τους δύο κύκλους είναι ίσα. 6. ** Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒ και τον περιγεγραμμένο του κύκλο. Η διάμεσος του τριγώνου ΑΜ προεκτεινόμενη τέμνει τον κύκλο στο σημείο Ε. i. Να υπολογίσετε το γινόμενο ΑΜ ΜΕ συναρτήσει του α. iiνα υπολογίσετε το γινόμενο ΑΜ ΜΕ συναρτήσει των β, γ και του μ α. 63. ** ίνεται κύκλος με κέντρο Κ και ακτίνα R. Μέσα στον κύκλο παίρνουμε σταθερό σημείο Α και κατασκευάζουμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ με υποτείνουσα τη χορδή Β. Αν Μ είναι το μέσο της μεταβλητής της υποτείνουσας Β και το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΚΑ, να δείξετε ότι: i.αμ + ΚΜ = R ii.μ = σταθερό 64. ** Επί ενός κύκλου λαμβάνουμε τα σημεία Α, Β, και. Τα ευθύγραμμα τμήματα ή οι φορείς που ορίζουν τα τέσσερα αυτά σημεία τέμνονται το πολύ σε τρία σημεία. Να γράψετε όλες τις σχέσεις, που συνδέουν τις αποστάσεις των σημείων τομής από τα σημεία Α, Β,,. Ο 65. ** Με κέντρο το σημείο τομής των διαγωνίων παραλληλογράμμου ΑΒ γράφουμε κύκλο τυχαίας ακτίνας. Αν Ρ σημείο του κύκλου, να δείξετε ότι: ΡΑ + ΡΒ + Ρ + Ρ = σταθερό. 15
1ο χέδιο Κριτηρίου Αξιολόγησης του Μαθητή ιδακτική ενότητα: Μετρικές χέσεις ΘΕΜΑ 1ο Α. ια το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ του σχήματος, στο οποίο η Α είναι ύψος και η ΑΜ διάμεσος, ισχύει: Μ i. ΑΒ = Β Β ii. ΑΒ = ΑΜ Β + - Α iii. ΑΒ = ΑΜ + ΒΜ iv. ΑΒ = Β - Α v. ΑΒ = Β + Α vi.αβ = Β + ΒΜ 4 Β. Να αποδείξετε μία σωστή σχέση από τις παραπάνω. ΘΕΜΑ ο ίνεται το τρίγωνο ΑΒ με ΑΒ = Α και τη γωνία του Α αμβλεία. Αν είναι η προβολή του Β πάνω στην Α, να αποδείξετε ότι Β = Α. ο χέδιο Κριτηρίου Αξιολόγησης του Μαθητή ιδακτική ενότητα: ΘΕΜΑ 1ο Μετρικές χέσεις Α. Να συμπληρωθούν οι παρακάτω ισότητες σύμφωνα με το διπλανό σχήμα: Μ i. + = M + ii. = D + iii. Α = iv. Α = Β v. Α = Α - vi. ΑΜ = Α + vii. ΑΜ = ΑΒ + Α - Β. Να αποδείξετε την πρώτη σχέση από τις παραπάνω. ΘΕΜΑ ο Κυρτό τετράπλευρο ΑΒ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Αν τα ΑΒ και τέμνονται στο Ρ και ΡΑ = 9 cm, P = 10 cm, Ρ = 15 cm, να υπολογιστούν: i. η πλευρά ii. η εφαπτομένη Ρ του κύκλου. 16
3ο χέδιο Κριτηρίου Αξιολόγησης του Μαθητή ιδακτική ενότητα: Μετρικές χέσεις ΘΕΜΑ 1ο Α. ίνεται κύκλος ακτίνας ΟΑ = 6 cm, εφαπτόμενο τμήμα του ΡΑ = 8 cm και μεταβλητή τέμνουσα ΡΒ. Να βρείτε ποιο από τα παρακάτω ζεύγη δεν ταιριάζει: i. x = 6 και y = 3 3 ii. x = και y = 3 iii. x = 4 και y = 16 iv. x = 5 και y = 1,8 v. x = 7 και y = 64 7. το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( = 90 ) είναι: i. β + γ = μ α ii. β + γ = μ α γ μ α α iii. β + γ = 3μ α iv. β + γ = 4μ α β v. β + γ = 5μ α ΘΕΜΑ ο Από τη διασταύρωση δύο δρόμων ξεκινούν 4 άτομα με κατευθύνσεις τα σημεία Α, Β,, και αντίστοιχες ταχύτητες, 9, 3 και 6 km/h. Μετά από μία ώρα (1 h) σταματούν στις θέσεις Α 1, Β 1, 1, 1 αντίστοιχα. i. Να δείξετε ότι υπάρχει σημείο του επιπέδου από το οποίο τα 4 άτομα ισαπέχουν. ii.να προσδιορίσετε το σημείο αυτό. iii.να δείξετε ότι μετά από ν ώρες (ν h) για τις θέσεις Α ν, Β ν, ν, ν υπάρχει άλλο σημείο από το οποίο ισαπέχουν. iv.αν είναι η θέση του σημείου από το οποίο ισαπέχουν μετά από ν ώρες (ν h) και R η κοινή απόσταση, τότε = R - 18ν. (ίνεται: ιανυόμενο διάστημα = ταχύτητα. χρόνος) 17
4ο χέδιο Κριτηρίου Αξιολόγησης του Μαθητή ιδακτική ενότητα: Μετρικές χέσεις ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδείξετε το παρακάτω θεώρημα: «Η διαφορά των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου, είναι ίση με το διπλάσιο γινόμενο της τρίτης πλευράς επί την προβολή της αντίστοιχης διαμέσου πάνω σ αυτήν». Β. Ενός τριγώνου ΑΒ τα μήκη των πλευρών του είναι: ΑΒ = λ, Α = λ, Β = λ 3. Να βρεθούν συναρτήσει του λ: i. το μήκος της προβολής της διαμέσου ΑΜ στη Β ii.το μήκος της προβολής της διαμέσου ΒΝ στην Α ΘΕΜΑ ο Κάθε είδος τριγώνου της στήλης Α έχει για πλευρές μια τριάδα που τα μήκη τους είναι στη στήλη Β. Να συνδέσετε με μια γραμμή κάθε είδος τριγώνου με την αντίστοιχη τριάδα. στήλη Α στήλη Β Είδος τριγώνου Μήκη ευθυγράμμων τμημάτων οξυγώνιο, 3, 4 ορθογώνιο, 3, 5 6, 8, 10 αμβλυγώνιο 3, 6, 10 16, 10, 14 18