Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
ÌÜèçìá 5 ÏÑÉÓÌÅÍÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ - ÌÅÑÏÓ III ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ Óôï ÌÜèçìá áõôü èá äïèåß ìéá óåéñü åöáñìïãþí ôùí ïñéóìýíùí ïëïêëçñùìüôùí, ðïõ êýñéá åìöáíßæïíôáé óôïí õðïëïãéóìü äéáöüñùí ñþóéìùí óôéò èåôéêýò åðéóôþìåò ìåãåèþí. 5. Åìâáäüí åðßðåäïõ ó Þìáôïò ÁíÜëïãá ìå ôéò óõíôåôáãìýíåò ðïõ ñçóéìïðïéïýíôáé ãéá ôçí ðåñéãñáöþ ôçò åîßóùóçò ôçò êáìðýëçò áðü ôçí ïðïßá äçìéïõñãåßôáé ôï ó Þìá, äéáêñßíïíôáé ïé ðáñáêüôù ðåñéðôþóåéò. 5.. Ïñèïãþíéåò óõíôåôáãìýíåò Åßíáé Þäç ãíùóôþ óôïí áíáãíþóôç áðü ôï ÌÜèçìá üôé ãåùìåôñéêü ôï ïñéóìýíï ïëïêëþñùìá ðáñéóôüíåé åìâáäü. Óáí óõíýðåéá áõôþò ôçò ãåùìåôñéêþò éäéüôçôüò ôïõ Ý ïõìå ôïí ðáñáêüôù ïñéóìü ôïõ åìâáäïý. Ïñéóìüò 5.. - (åìâáäü ó Þìáôïò). óôù üôé ç óõíüñôçóç f(x) åßíáé ïëïêëçñþóéìç óôï [á; â] êáé f(x) ãéá êüèå x [á; â]. Ôüôå ôï åìâáäüí ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôïí x-üîïíá, ôéò åõèåßåò x = á, x = â êáé ôçí êáìðýëç
ÅöáñìïãÝò ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò fx Α 4 x Β Ó Þìá 5.. - : Åßíáé f(x) > ãéá êüèå x [a; b], ïðüôå E = b a f(x) dx y = f(x) äßíåôáé áðü ôïí ôýðï (Ó. 5.. - ) E = â á f(x) dx: (5.. - ) Ãåíéêüôåñá, üôáí äåí åßíáé ãíùóôü ôï ðñüóçìï ôçò f(x), éó ýåé ï åîþò ïñéóìüò ôïõ åìâáäïý. Ïñéóìüò 5.. -. óôù üôé ç óõíüñôçóç f(x) åßíáé ïëïêëçñþóéìç óôï [á; â]. Ôüôå ôï åìâáäüí ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôïí x-üîïíá, ôéò åõèåßåò x = á, x = â êáé ôçí êáìðýëç y = f(x) äßíåôáé áðü ôïí ôýðï (Ó. 5.. - ) E = â á f(x) dx: (5.. - ) Óôéò ðåñéðôþóåéò üðïõ ôï ó Þìá ðåñéïñßæåôáé áðü äýï êáìðýëåò, ôüôå ôï åìâáäüí ïñßæåôáé ùò åîþò:
Åìâáäüí åðßðåäïõ ó Þìáôïò fx..5.5 Γ Β 4 5 Α x. Ó Þìá 5.. - : Åßíáé f(x) ãéá êüèå x [á; ] êáé f(x) ãéá êüèå â â x [; â]. Ôüôå E = f(x) dx + f(x) dx = f(x) dx f(x) dx a a Ïñéóìüò 5.. - (ãåíßêåõóç åìâáäïý ó Þìáôïò). óôù üôé ïé óõíáñôþóåéò f(x); g(x) åßíáé ïëïêëçñþóéìåò óôï [á; â]. Ôüôå ôï åìâáäüí ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôéò åõèåßåò x = á, x = â êáé ôéò êáìðýëåò f(x), g(x) äßíåôáé áðü ôïí ôýðï (Ó. 5.. - ) E = â á f(x) g(x) dx: (5.. - ) ÐáñáôÞñçóç 5.. - (åìâáäüí êýêëïõ) óôù üôé æçôåßôáé íá õðïëïãéóôåß ôï åìâáäüí ôïõ êýêëïõ ìå êýíôñï ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí êáé áêôßíá r, ðïõ üðùò åßíáé ãíùóôü ç åîßóùóç ôùí óçìåßùí ôçò ðåñéöýñåéüò ôïõ äßíåôáé áðü ôïí ôýðï x + y = r : (5.. - 4) Ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôùí Üêñùí ïëïêëþñùóçò óôïí ôýðï (5:: ), ðñýðåé íá ðñïóäéïñéóôïýí ôá óçìåßá ðïõ ï êýêëïò ìå åîßóùóç (5:: 4), ôýìíåé
4 ÅöáñìïãÝò ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò y fx.5..5 Α.5..5..5. x â Ó Þìá 5.. - : Åßíáé f(x) g(x) ãéá êüèå x [á; â]. Ôüôå E = [f(x) á g(x)] dx Β ôïí x-üîïíá, äçëáäþ üôáí y =. Ôüôå x = r Þ x = r ; ïðüôå x = ±r: ñá x [ á; á]. Áðü ôçí åîßóùóç (5:: 4) ðñïêýðôåé ôüôå üôé y = ± r x, ïðüôå Ýóôù y = f(x) = r x êáé y = g(x) = r x üðïõ ðñïöáíþò åßíáé y (x) y (x). ÅðïìÝíùò óýìöùíá ìå ôïí ôýðï (5:: ) ôï æçôïýìåíï åìâáäü E, ðïõ óýìöùíá ìå ôï ãíùóôü ôýðï ôçò Ãåùìåôñßáò åßíáé E = r, èá éóïýôáé ìå E = r = r [y (x) y (x)] dx r = r [ r x ( )] r x dx r
Åìâáäüí åðßðåäïõ ó Þìáôïò 5 fx Β Α x Ó Þìá 5.. - 4: Ç Ýëëåéøç x á + y â = = r r r x dx: (5.. - 5) Áðü ôçí (5:: 5) ðñïêýðôåé üôé a a a x dx = a : (5.. - 6) Ï ôýðïò áõôüò èá ñçóéìïðïéçèåß óôç óõíý åéá ôïõ ìáèþìáôïò. ÐáñÜäåéãìá 5.. - (åìâáäüí Ýëëåéøçò) Íá õðïëïãéóôåß ôï åìâáäüí ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôçí Ýëëåéøç (Ó. 5.. - 4) x á + y â = : (5.. - 7) Ëýóç. ¼ìïéá üðùò êáé óôçí ÐáñáôÞñçóç 5.. - ï ðñïóäéïñéóìüò ôùí Üêñùí ïëïêëþñùóçò óôïí ôýðï (5:: ) õðïëïãßæåôáé èýôïíôáò óôçí (5:: 7) y =. Ôüôå x = á Þ x = á ; ïðüôå x = ±á: ñá x [ á; á]:
6 ÅöáñìïãÝò ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ñá Áðü ôçí åîßóùóç (5:: 7) ðñïêýðôåé üôé x á + y â y = f(x) = â á = ; ïðüôå y = ± â x á : x á êáé y = g(x) = â á x á üðïõ ðñïöáíþò åßíáé y (x) y (x). ÅðïìÝíùò óýìöùíá ìå ôïí ôýðï (5:: ) ôï æçôïýìåíï åìâáäüí E èá éóïýôáé ìå á á E = [y (x) y (x)] dx = â x á â x dx á = â á á x á dx = â á á á óýìöùíá ìå ôïí ôýðï (5:: 6) á x dx = â á á = áâ: ÐáñÜäåéãìá 5.. - Íá õðïëïãéóôåß ôï åìâáäü ôçò ðåñéï Þò ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôï ãñüöçìá ôçò óõíüñôçóçò f(x) = x(x )(x ) êáé ôïí x-üîïíá (Ó. 5.. - 5). Ëýóç. Ôï ãñüöçìá ôçò óõíüñôçóçò ôýìíåé ôïí x-üîïíá óôá óçìåßá üðïõ f(x) = ; äçëáäþ ôá x = ; ; : ÅðåéäÞ äåí ãíùñßæïõìå ôï ðñüóçìï ôçò f(x), üôáí x [; ] [; ] ñçóéìïðïéåßôáé ï ôýðïò (5:: ), ïðüôå ôï æçôïýìåíï åìâáäüí èá åßíáé E = f(x) dx + Ôï ðñüóçìï ôçò f(x) õðïëïãßæåôáé óôïí Ðßíáêá 5.. -. f(x) dx: (5.. - 8)
Åìâáäüí åðßðåäïõ ó Þìáôïò 7 fx..5..5 Α.5 Γ Β.5..5..5. x Ó Þìá 5.. - 5: ÐáñÜäåéãìá 5.. - Ðßíáêáò 5.. - : ÐáñÜäåéãìá 5.. - + x - + + + x - - + + x - - - + f(x) - + - +
8 ÅöáñìïãÝò ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ÅðïìÝíùò, åðåéäþ f(x) ; üôáí x [; ] êáé f(x) ; üôáí x [; ]; ï ôýðïò (5:: 8) ãñüöåôáé E = f(x) dx + f(x) dx = = [ x(x )(x ) dx x 5x + x 4 ] 4 = 8 ( 5 ) = 7 : [ x 5x x(x )(x ) dx + x 4 ] 4 ÐáñÜäåéãìá 5.. - Íá õðïëïãéóôåß ôï åìâáäü ôçò ðåñéï Þò ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôéò êáìðýëåò y = x + êáé y = 4x + 6; üôáí x [ ; 5] (Ó. 5:: 6): Ëýóç. Áñ éêü õðïëïãßæïíôáé ôá óçìåßá ôïìþò ôùí êáìðõëþí y = x + êáé y = 4x + 6 (5.. - 9) ùò åîþò: y (x) = y (x); ïðüôå x + = 4x + 6; äçëáäþ óôù ã( ; ) êáé ä(; ). æçôïýìåíï åìâáäüí åßíáé E = x 4x 6 = : ñá x = ; : Ôüôå óýìöùíá ìå ôïí ôýðï (5:: ) ôï y (x) y (x) dx + y (x) y (x) dx
Åìâáäüí åðßðåäïõ ó Þìáôïò 9 6 y 5 4 Α Γ Β 4 5 x Ó Þìá 5.. - 6: ÐáñÜäåéãìá 5.. - 5 + y (x) y (x) dx: (5.. - ) Ãéá íá õðïëïãéóôïýí ôá ïëïêëçñþìáôá óôçí (5:: ), ðñýðåé íá áðáëåéöèïýí ôá áðüëõôá. Áõôü ãßíåôáé åîåôüæïíôáò ôï ðñüóçìï ôçò äéáöïñüò y (x) y (x). óôù y (x) y (x) Þ ëüãù ôçò (5:: 9) (x + )(x ) ; äçëáäþ x Þ x : Ôüôå ç (5:: ) ãñüöåôáé E = = = [ x [y (x) y (x)] dx + ( x 4x 6 4x 6x ) dx + ] + [ 5 [y (x) y (x)] dx + ( ) x + 4x + 6 dx + x + 4x + 6x ] + [y (x) y (x)] dx 5 [ x ( ) x 4x 6 dx 4x 6x ] 5
ÅöáñìïãÝò ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò 8 y 6 4 Α Β x Ó Þìá 5.. - 7: ÐáñÜäåéãìá 5.. - 4. Ç ìðëå êáìðýëç ïñßæåé ôçí y (x) = x = 4 + 64 + 64 = 4 : ÐáñÜäåéãìá 5.. - 4 ¼ìïéá ôï åìâáäüí ôçò ðåñéï Þò ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôéò êáìðýëåò y (x) = x êáé y (x) = 8 x (Ó. 5:: 7): Ëýóç. Ôá êïéíü óçìåßá ôïìþò ôùí äýï êáìðõëþí õðïëïãßæïíôáé èýôïíôáò y (x) = y (x); ïðüôå x = 8 x : ñá x = ±: Óôç óõíý åéá õðïëïãßæåôáé ôï ðñüóçìï ôçò äéáöïñüò y (x) y (x). óôù y (x) y (x) Þ x 8 ; ïðüôå (x + )(x ) : ñá y (x) y (x) ; üôáí x :
Åìâáäüí åðßðåäïõ ó Þìáôïò 4 y ˇ..4 `.6.8. x Ó Þìá 5.. - 8: ÐáñÜäåéãìá 5.. - 5. H êáöý êáìðýëç äåß íåé ôï ãñüöçìá ôçò y (x) = x, ç ìðëå ôçò y = 8x êáé ç êüêêéíç ôçò y (x) = x Ôüôå óýìöùíá ìå ôïí ôýðï (5:: 8) ôï æçôïýìåíï åìâáäüí éóïýôáé ìå E = [y (x) y (x)] dx = (8 x ) dx = 8x x = 64 : ÐáñÜäåéãìá 5.. - 5 ¼ìïéá ôï åìâáäüí ôçò ðåñéï Þò ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôéò êáìðýëåò y (x) = 8x; y (x) = x êáé y (x) = x (Ó. 5:: 8): Ëýóç. Ôá êïéíü óçìåßá êáé ôùí ôñéþí êáìðõëþí õðüñ ïõí ìüíï ãéá x, åíþ ç óõíüñôçóç y (x) ïñßæåôáé ãéá x R {}. Ðñïöáíþò ïé êáìðýëåò (åõèåßåò) y (x) êáé y (x) ôýìíïíôáé óôï óçìåßï (; ), äçëáäþ ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí. Ôï êïéíü óçìåßï, Ýóôù A, ôçò y (x) êáé y (x) õðïëïãßæåôáé èýôïíôáò y (x) = y (x) Þ 8x = x ; ïðüôå x = ; (ïé Üëëåò äýï ñßæåò äåí ëáìâüíïíôáé õð' üøéí), åíþ ôï êïéíü óçìåßï, Ýóôù B, ôçò y (x) êáé y (x) èýôïíôáò y (x) = y (x) Þ x = x ; ïðüôå x =
ÅöáñìïãÝò ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò üðïõ üìïéá ïé Üëëåò äýï ñßæåò äåí ëáìâüíïíôáé õð' üøéí. óôù E = E + E ôï æçôïýìåíï åìâáäüí. ÅðåéäÞ ôï óçìåßï x = äåí áíþêåé óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò y (x), ôï E äåí èá ðñïêýøåé áðü óõíäõáóìü ôçò y (x) ìå ôçí y (x) Þ ôçí y (x) êáé Üêñï ïëïêëþñùóçò ôï. ÅðïìÝíùò - ôï åìâáäüí E èá ðñýðåé íá ïñßæåôáé áðü ôçí y (x) = 8x êáé ôçí y (x) = x ìå x [; :5] üðïõ ðñïöáíþò y (x) y (x), äçëáäþ Å = :5 [y (x) y (x)] dx = 7 :5 x dx = 7 8 - êáé ôï åìâáäüí E èá ïñßæåôáé áðü ôçí y (x) = x êáé ôçí y (x) = x ìå x [:5; ] üðïõ ðñïöáíþò y (x) y (x), äçëáäþ Å = :5 [y (x) y (x)] dx = ñá E = E + E =. :5 ( x x ) dx = [ x x ] :5 = 5 8 : 5.. ÐáñáìåôñéêÞ ìïñöþ Ïñéóìüò 5.. -. Áí ìßá êáìðýëç ïñßæåôáé ìå ðáñáìåôñéêýò åîéóþóåéò ôçò ìïñöþò x = x(t) êáé y = y(t) üôáí t [t ; t ], ôüôå ôï åìâáäüí E ôïõ êáìðõëüãñáììïõ ôñáðåæßïõ ðïõ ïñßæåôáé áðü ôçí êáìðýëç, ôéò êüèåôåò åõèåßåò x = á, x = â êáé ôïí Üîïíá ôùí x, éóïýôáé ìå E = t t y(t)x (t) d t; (5.. - ) üôáí y(t) ãéá êüèå t [t ; t ] êáé ïé ôéìýò t êáé t ðñïêýðôïõí áðü ôçí åîßóùóç x = x (t). ÐáñÜäåéãìá 5.. - Íá õðïëïãéóôåß ôï åìâáäüí ôçò Ýëëåéøçò ðïõ åêöñüæåôáé ìå ôç âïþèåéá ôùí ðáñáìåôñéêþí åîéóþóåùí ôçò ìïñöþò x = á cos t êáé y = â sin t: (5.. - )
Åìâáäüí åðßðåäïõ ó Þìáôïò. yt.5..5 t t.5..5..5. t Ó Þìá 5.. - : ÐáñÜäåéãìá 5.. -. Ôï ðñþôï ôåôáñôçìüñéï ôçò Ýëëåéøçò x 9 + y 4 = Ëýóç. Ëüãù ôçò óõììåôñßáò ôçò Ýëëåéøçò áñêåß íá õðïëïãéóôåß ôï åìâáäüí åíüò ôåôáñôçìïñßïõ áõôþò (Ó. 5.. - ) êáé ôï áðïôýëåóìá íá ðïëëáðëáóéáóôåß åðß 4. ÈÝôïíôáò óôçí ç åîßóùóç (x = á cos t) ôçò (5:: ) äéáäï éêü x = êáé x = a ðñïêýðôïõí óáí üñéá ïëïêëþñùóçò ôá t = = êáé t =, åíþ åßíáé y > ãéá êüèå t [; =]. Ôüôå óýìöùíá ìå ôïí ôýðï (5:: ) åßíáé ð= â sin á ( sin t) d t = áâ ð= sin t d t = ðáâ 4 : ñá E = áâ. ÐáñáôÞñçóç 5.. - Ï ðáñáðüíù ôñüðïò õðïëïãéóìïý ôïõ åìâáäïý ôçò Ýëëåéøçò ìå ôç âïþèåéá ôçò ðáñáìåôñéêþò ðáñüóôáóþò ôçò åßíáé åìöáíþò åõêïëüôåñïò ôïõ áíôßóôïé ïõ ôñüðïõ ìå ïñèïãþíéåò óõíôåôáãìýíåò (ÐáñÜäåéãìá 5.. - ). Áõôü åßíáé ìéá áðüäåéîç ôçò ñçóéìüôçôáò ôùí ðáñáìåôñéêþí ðáñáóôüóåùí ôùí êáìðõëþí.
4 ÅöáñìïãÝò ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò rθ 4 B A O..4.6.8. Θ Ó Þìá 5.. - : åìâáäüí ó Þìáôïò óå ðïëéêýò óõíôåôáãìýíåò 5.. ÐïëéêÝò óõíôåôáãìýíåò Ïñéóìüò 5.. -. óôù üôé r = r(è); è [è ; è ] åßíáé ç åîßóùóç óå ðïëéêýò óõíôåôáãìýíåò ôïõ ôìþìáôïò (Ó. 5.. - ) ðïõ ïñßæåôáé áðü ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí êáé ôá óçìåßá A (r; è ) êáé B (r; è ). Ôüôå ôï åìâáäüí E ôïõ ó Þìáôïò AOB äßíåôáé áðü ôï ïëïêëþñùìá E = è r (è) dè: (5.. - ) è ÐáñÜäåéãìá 5.. - Íá õðïëïãéóôåß ôï åìâáäü ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôïõò ëéìíþóêïõò ôïõ Bernoulli (Bernoulli's lemniscate) (Ó. 5.. - a) ìå åîßóùóç r = a cos è: Ëýóç. Ëüãù ôçò óõììåôñßáò ôçò êáìðýëçò õðïëïãßæåôáé ìüíï ôï åìâáäüí ÂëÝðå: http : ==en:wikipedia:org=wiki=lemniscate of Bernoulli
ÌÞêïò ôüîïõ êáìðýëçò 5 r.6.4.. Θ.4.6 r.7.6.5.4... (a).5..5. Θ (b) Ó Þìá 5.. - : Ï ëçìíßóêïò ôïõ Bernoulli r = cos è, üôáí (a) è [; ] êáé (b) è [; =4] ôïõ ïõ ôåôáñôçìïñßïõ (Ó. 5.. - b), ïðüôå 4 E = ð=4 a cos è dè = a [ sin è ] =4 = a 4 : ñá E = a : 5. ÌÞêïò ôüîïõ êáìðýëçò ¼ìïéá áíüëïãá ìå ôéò óõíôåôáãìýíåò ðïõ ñçóéìïðïéïýíôáé ãéá ôçí ðåñéãñáöþ ôçò åîßóùóçò ôçò êáìðýëçò äéáêñßíïíôáé ïé ðáñáêüôù ðåñéðôþóåéò. 5.. Ïñèïãþíéåò óõíôåôáãìýíåò Óôçí ðåñßðôùóç áõôþ ôï ìþêïò ôçò õðïëïãßæåôáé ùò åîþò: Ïñéóìüò 5.. - (ìþêïò êáìðýëçò). óôù üôé ç óõíüñôçóç f [á; â] åßíáé ðáñáãùãßóéìç ìå óõíå Þ ðáñüãùãï ãéá êüèå x [á; â]. Ôüôå ôï ìþêïò L ôçò êáìðýëçò ðïõ ïñßæåé ç y = f(x) áðü ôï óçìåßï á Ýùò êáé ôï óçìåßï â (Ó. 5.. - ) äßíåôáé áðü ôïí ôýðï L = â á â + [f (x)] dx = á + [ df(x) dx ] dx: (5.. - )
6 ÅöáñìïãÝò ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò fx Α 4 x Β Ó Þìá 5.. - : Ç êáìðýëç y = f(x) ÐáñÜäåéãìá 5.. - Íá õðïëïãéóôåß ôï ìþêïò ôçò êáìðýëçò (Ó. 5.. - ) y = f(x) = x = ; üôáí x [; ]: Ëýóç. Åöáñìüæïíôáò ôïí ôýðï (5:: ) üðïõ Ý ïõìå + [f (x)] = + 9x. ñá L = = 9 = 4 7 f (x) = x = x = + [f (x)] dx = + 9x dx = ( + 9x) ( + 9x) = dx = ( + 9x) + 9 + ( 8 7 5 ) 8:654: ( + 9x) = dx
ÌÞêïò ôüîïõ êáìðýëçò 7 fx 8 6 4 Α.5..5..5. x Β Ó Þìá 5.. - : Ç êáìðýëç y = x =, üôáí x [; ] ÐáñÜäåéãìá 5.. - ¼ìïéá ôï ìþêïò ôçò êáìðýëçò (Ó. 5.. - ) y = f(x) = x (x ); üôáí x [; 9]: Ëýóç. ¼ìïéá åöáñìüæåôáé ï ôýðïò (5:: ) üðïõ ç f (x) õðïëïãßæåôáé ùò åîþò: f (x) = [ ] [ x = ( (x ) = x =) ] (x ) + x = (x ) = [ ] x (x ) + x = Ôüôå ñá L = = 6 x = (x ) + x= = x x : + [f (x)] = + 9 9 + [f (x)] dx = ( ) x (x ) = + x 4x 9 x + x dx = 9 x x dx + = x + x : x dx
8 ÅöáñìïãÝò ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò fx 6 5 4 Α 4 6 8 Β x Ó Þìá 5.. - : Ç êáìðýëç y = x (x ), üôáí x [; 9] = 9 9 x dx + x = dx = 9 x = dx + 9 x = dx = x + 9 + + x + + ÐáñÜäåéãìá 5.. - 9 = 9 x= + x = 9 ¼ìïéá ôï ìþêïò ôçò êáìðýëçò (Ó. 5.. - 4) ( y = f(x) = ln x ) ; üôáí x [; :5]: = 9 + = : Ëýóç. ÅðåéäÞ ç óõíüñôçóç y åßíáé ëïãáñéèìéêþ, ãéá íá ïñßæåôáé ðñýðåé x >, äçëáäþ ( + x)( x) > êáé ôåëéêü < x <. Ôï äéüóôçìá [; :5] áíþêåé óôï ðåäßï ïñéóìïý ( ; ) êáé åðïìýíùò ôï ðñüâëçìá ïñßæåôáé. Áñ éêü õðïëïãßæïõìå ôçí ðáñüãùãï ôçò f(x) ùò åîþò: ( f x ) (x) = x = x x ; ïðüôå óýìöùíá ìå ôïí ôýðï (5:: ) Ý ïõìå ( ) x L = + x dx = ( x ) + 4x ( x ) dx
ÌÞêïò ôüîïõ êáìðýëçò 9 Α.5 fx....4.5 x Β..5..5 Ó Þìá 5.. - 4: Ç êáìðýëç y = ln ( x ), üôáí x [; :5] = ( + x ) x dx = + x dx (5.. - ) x ÅðïìÝíùò óýìöùíá ìå ôçí (5:: ) åßíáé L = + x x dx = ( ) dx + x dx = x + x dx = + x dx = + dx : (5.. - ) x Ðñüêåéôáé ãéá ïëïêëþñùìá ñçôþò óõíüñôçóçò üðïõ ï âáèìüò ôïõ áñéèìçôþ åßíáé ìåãáëýôåñïò Þ ßóïò áðü ôï âáèìü ôïõ ðáñïíïìáóôþ, üðïõ, üðùò åßíáé ãíùóôü áðü ôï ÌÜèçìá, áñ éêü ãßíåôáé ç äéáßñåóç. Óôçí ðåñßðôùóç üìùò áõôþ, åðåéäþ åßíáé ôïõ ßäéïõ âáèìïý, ôñïðïðïéåßôáé êáôüëëçëá ï áñéèìçôþò þóôå íá äçìéïõñãçèåß ï ðáñïíïìáóôþò, äçëáäþ + x + + + x = = ( ) x + = ( ) x + x x x x x = + x :
ÅöáñìïãÝò ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ôï ïëïêëþñùìá ôïõ äåîéïý ìýëïõò åßíáé ç ðåñßðôùóç ïëïêëþñùóçò ñçôþò óõíüñôçóçò üðïõ ï âáèìüò ôïõ áñéèìçôþ åßíáé ìéêñüôåñïò áðü ôï âáèìü ôïõ ðáñïíïìáóôþ êáé õðïëïãßæåôáé áíáëýïíôáò ôç ñçôþ óõíüñôçóç óå Üèñïéóìá áðëþí êëáóìüôùí ùò åîþò: x = ( x)( + x) = A + B x + x ; ïðüôå ðïëëáðëáóéüæïíôáò êáé ôá äýï ìýëç ìå ( x)( + x) ðñïêýðôåé = A( + x) + B( x); äçëáäþ (A B)x + A + B = ðïõ ãéá íá éó ýåé ãéá êüèå x R ðñýðåé A B = A + B = ; Ôüôå óýìöùíá êáé ìå ôçí (5:: ) Ý ïõìå L = + = + = + dx x = + dx x + ( x) dx x = ln x ïðüôå A = êáé B = : dx + x + + ln + x ( ( + x) dx + x x + + x = ( [ln ) ] [ ( ln + ln + ) ] ln = ln ( ) ( + ln = ) ( ln ) + ln ln ) dx = + ln :598 6 :
ÌÞêïò ôüîïõ êáìðýëçò 5.. ÓõíôåôáãìÝíåò ìå ðáñáìåôñéêþ ìïñöþ ¼ôáí ïé óõíôåôáãìýíåò ôçò êáìðýëçò ïñßæïíôáé ðáñáìåôñéêü, ôï ìþêïò ôçò õðïëïãßæåôáé ùò åîþò: Ïñéóìüò 5.. - (ìþêïò êáìðýëçò). óôù üôé ç êáìðýëç ïñßæåôáé ðáñáìåôñéêü, äçëáäþ y = y(t) êáé x = x(t) ãéá êüèå t [t ; t ]. Ôüôå ôï ìþêïò L ôçò êáìðýëçò óôï äéüóôçìá [t ; t ] äßíåôáé áðü ôïí ôýðï t [ ] d x(t) [ ] d y(t) L = + d t: (5.. - ) d t d t t ÐáñÜäåéãìá 5.. - Íá õðïëïãéóôåß ôï ìþêïò ôçò êáìðýëçò (Ó. åîßóùóç x = x(t) = (t + 4)= ; y = y(t) = t 5.. - ) ìå ðáñáìåôñéêþ + ; üôáí t [; ]: Ëýóç. Áñ éêü åßíáé d x(t) d t d y(t) d t = = t: (t + 4) (t + ) = (t + 4)= = (t + 4) = ÅðåéäÞ åßíáé t = êáé t =, åöáñìüæïíôáò ôïí ôýðï (5:: ) Ý ïõìå [ ] d x(t) [ ] d y(t) + = (t + 4) + t = (t + ) = t + : ñá d t d t L = (t + ) d t = t + t = 9 + = : Áðáãïñåýåôáé ç áíáäçìïóßåõóç Þ áíáðáñáãùãþ ôïõ ðáñüíôïò óôï óýíïëü ôïõ Þ ôìçìüôùí ôïõ ùñßò ôç ãñáðôþ Üäåéá ôïõ Êáè. Á. ÌðñÜôóïõ.
ÅöáñìïãÝò ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò yt 5 4 Α 4 6 8 Β xt Ó Þìá 5.. - : Ç êáìðýëç x = x(t) = (t + 4)=, y = y(t) = t +, üôáí t [; ] (á = x(); â = x()) E-mail: bratsos@teiath.gr URL: http://users.teiath.gr/bratsos/
Âéâëéïãñáößá [] ÌðñÜôóïò, Á. (), ÅöáñìïóìÝíá ÌáèçìáôéêÜ, Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç, ÁèÞíá, ISBN 978{96{5{874{7. [] ÌðñÜôóïò, Á. (), Áíþôåñá ÌáèçìáôéêÜ, Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç, ÁèÞíá, ISBN 96{5{45{5/978{96{5{45{4. [] ÓôåöáíÜêïò,., Ðñïãñáììáôéóìüò Ç/Õ ìå MATLAB, Ãêïýñäáò ÅêäïôéêÞ, ISBN 978{96{87{856{8. [4] Finney R. L., Giordano F. R. (4), Áðåéñïóôéêüò Ëïãéóìüò ÉÉ, ÐáíåðéóôçìéáêÝò Åêäüóåéò ÊñÞôçò, ISBN 978{96{54{84{. [5] Spiegel M., Wrede R. (6), Áíþôåñá ÌáèçìáôéêÜ, Åêäüóåéò Ôæéüëá, ISBN 96{48{87{8. ÌáèçìáôéêÝò âüóåéò äåäïìýíùí http://en.wikipedia.org/wiki/main Page http://eqworld.ipmnet.ru/index.htm http://mathworld.wolfram.com/ http://eom.springer.de/
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Αθήνας, Αθανάσιος Μπράτσος, 4. Αθανάσιος Μπράτσος. «Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ενότητα 5: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές». Έκδοση:.. Αθήνα 4. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ocp.teiath.gr. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4. [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4./ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: Το Σημείωμα Αναφοράς Το Σημείωμα Αδειοδότησης Τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων Το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.