Ατομική και Μοριακή Φυσική

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ατομική και Μοριακή Φυσική Λεπτή υφή Λιαροκάπης Ευθύμιος

Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Common. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε Άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναγράφεται ρητώς.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Λεπτή υφή 5.1 Σχετικιστική εξίσωση Schrodinger Η δημιουργία της εξίσωσης του Schrodinger βασίστηκε στην κλασική p Ze εξίσωση της ενέργειας, δηλαδή την H m 4 or (5.1) όπου m είναι η ανηγμένη μάζα του συστήματος πυρήνα-ηλεκτρονίου. Μολονότι ο βασικός διαχωρισμός των ηλεκτρονικών καταστάσεων που προκύπτουν από την λύση αυτής της εξίσωσης του Schrodinger είναι σωστός, μια πιο λεπτομερής μελέτη των φασμάτων εκπομπής των πιο βαριών πυρήνων, δείχνει άρση του ενεργειακού εκφυλισμού των στιβάδων και μετατόπιση των ενεργειών τους. Με βάση την ανάλυση που κάναμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, αυτό θα οφείλεται στην ύπαρξη επί πλέον όρων στην αρχική Χαμιλτονιανή, που χρησιμοποιήθηκε. Η πρώτη διόρθωση που μπορεί να προβλεφθεί είναι η χρήση της σχετικιστικής εξίσωσης της ενέργειας, αντί της κλασικής. Επομένως, θα ακολουθήσουμε την ίδια μεθοδολογία ξεκινώντας από την σχέση 4 E m c c p (5.) και αντικαθιστώστας E i και p i t (5.3) Τότε θα προκύψει η εξίσωση Klein-Gordon 4 c m c (5.4) t Αυτή η εξίσωση θα εκφράζει ένα σχετικιστικό σωματίδιο χωρίς, άλλους βαθμούς ελευθερίας. Η λύση για το επίπεδο κύμα θα είναι, κατά τα γνωστά, η ( r, t) Aexp ik r t, που οδηγεί στην σχέση για την ενέργεια 4 c k m c (5.5) Στην περίπτωση αλληλεπίδρασης με την ΗΜ ακτινοβολία, θα υπάρξει μια αλλαγή στην εξίσωση ενέργειας, που για σωματίδιο φορτίου q θα πάρει την μορφή 4 E q cp qa m c (5.6) Αυτή η εξίσωση στην περίπτωση λύσης μόνιμης κατάστασης ενέργειας Ε της μορφής ( r, t) u( r )exp iet / (5.7) και ΗΜ κύματος που οφείλεται σε δυναμικό Coulomb, δηλαδή όπου Ze A 0, ( r), θα καταλήξει στην εξής εξίσωση για την χωρική συνιστώσα 4 o r 4 c m c u( r ) E q ( r) u( r ) (5.8) Με την ίδια μέθοδο που ακολουθήθηκε για την περίπτωση της μη-σχετικιστικής εξίσωσης του Schrodinger, δηλαδή την μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητών, u( r,, ) R( r) Y lm (, ) (5.9) Μέσω των σφαιρικών αρμονικών Y (, ), θα προκύψει η εξίσωση lm 5-1

4 1 d d l( l 1) ( E q ) m c r R( r) R( r) r dr dr r (5.10) c Το δεξιό μέρος της εξίσωσης αυτής στην περίπτωση μικρών κινητικών ενεργειών ως προς το mc και θέτοντας E mc E καταλήγει στον αντίστοιχο μη-σχετικιστικό όρο m E q R ( r ) και στις γνωστές λύσεις για το άτομο του υδρογόνου. Η λύση της εξίσωσης (5.10) με μεθοδολογία αντίστοιχη της μη-σχετικιστικής δίνει λύσεις που αίρουν μερικώς τον ενεργειακό εκφυλισμό και διαχωρίζουν τις καταστάσεις με τον ίδιο κύριο κβαντικό αριθμό n, ανάλογα με τον τροχιακό κβαντικό αριθμό l (λεπτή υφή). Η ενέργεια τότε θα δίνεται από την έκφραση 4 4 Z e Ze 1 3 n Enl mc 1 4 3 4 4 1 (5.11) o c n o n l Ο πρώτος όρος αφορά την ενέργεια mc, ο ος όρος δίνει την ενέργεια της μησχετικιστικής εξίσωσης για το άτομο του υδρογόνου και ο 3 ος αφορά έναν επί πλέον όρο που αίρει τον εκφυλισμό ανάμεσα σε στιβάδες ίδιου n αλλά διαφορετικού l. Όμως δεν συμφωνεί με τα πειραματικά δεδομένα ως προς την ενεργειακή απόσταση των στιβάδων με την άρση του ενεργειακού εκφυλισμού. Επί πλέον, η όλη μεθοδολογία που ακολουθήσαμε παρουσιάζει μια ενδογενή δυσκολία, αφού δεν είναι δυνατόν να αναπαράξει το σπιν του ηλεκτρονίου, που είναι μια εσωτερική ιδιότητα του ηλεκτρονίου. Ο Pauli προσπάθησε να το προσθέσει στην εξίσωση του Schrodinger, μέσω της εισαγωγής των πινάκων και με αντίστοιχη μεταβολή της μησχετικιστικής εξίσωσης. Αυτή η μεθοδολογία δεν θα μπορούσε να εφαρμοστεί σε μια σχετικιστική εξίσωση, αφού οι τρεις πίνακες του Pauli, που θα αναφερθούν παρακάτω, προφανώς δεν ικανοποιούν τους μετασχηματισμούς του Lorentz (δεν περιλαμβάνουν χρονική συνιστώσα). 5. Εξίσωση του Dirac Για να ξεπεράσει τα προβλήματα της σχετικιστικής εξίσωσης του Schrodinger και να δημιουργήσει μια εξίσωση που θα περιλαμβάνει και τον εσωτερικό βαθμό ελευθερίας, ο Dirac σκέφθηκε να χρησιμοποιήσει μια 1 ου βαθμού εξίσωση, που θα είναι συμβατή με τους μετασχηματισμούς του Lorentz (covariant). Ας ξεκινήσουμε πάλι από την σχετικιστική ενέργεια (5.) που θα την γράψουμε ως E c p mc E c p mc 0 (5.1) Όπου τα, (,, ), είναι τέσσερις κατάλληλα επιλεγμένες ποσότητες. Από x y z τις πράξεις προκύπτει ότι θα πρέπει να ισχύει ότι 0 Αυτό δεν θα μπορούσε να ισχύει αν τα, ήταν αριθμοί, παρά μόνον αν οριστούν ως κατάλληλα επιλεγμένοι πίνακες, που δεν θα αντιμετατίθενται. Με την αντικατάσταση (5.3) θα προκύψει η διαφορική εξίσωση i i c mc i i c mc t t Ο Dirac επέλεξε για την κυματοσυνάρτηση ψ την εξίσωση 0 (5.13) 5-

i i c mc t που μπορεί να γραφεί και ως 0 (5.14) i i c mc c p mc (5.15) t Η εξίσωση αυτή του Dirac διαφέρει από την μη-σχετικιστική εξίσωση του Schrodinger στο ότι περιλαμβάνει τον τελεστή της ορμής στην 1 η δύναμη, αντί της ης δύναμης της εξίσωσης του Schrodinger. Επί πλέον, η κυμασυνάρτηση ψ δεν μπορεί πια να είναι μία συνάρτηση, αφού τα, είναι πίνακες, αλλά θα έχει περισσότερες της μιας συνιστώσας (όση είναι η διάσταση των πινακών, ). Με τις πράξεις στην (5.1) προκύπτει ότι θα πρέπει 3 3 3 3 k k l l k 3 k k 4 E c pk pk p l mc pk m c k 1 k 1 l1 k 1 k l που για να ισχύει και να δίνει την σχετικιστική εξίσωση ενέργειας (5.) θα πρέπει 1 3 1 1 3 3 1,,, 0,,, 0 1 3 Όπου έχει οριστεί ο αντιμεταθέτης δύο τελεστών (ή πινάκων) ως (5.16) A, B AB BA (5.17) Το ερώτημα που προκύπτει είναι η (ελάχιστη) διάσταση Ν των πινάκων,, που ικανοποιούν αυτές τις σχέσεις. Από τους τέσσερις πίνακες,, κάποιος μπορεί να κατασκευάσει με πολλαπλασιασμό νέους πίνακες. Έτσι μπορεί να δημιουργήσει το γινόμενο ανά δύο (6 πίνακες), ανά τρεις (4 πίνακες) και ανά τέσσερις (1 πίνακας). Μαζί με τους 4 πίνακες, και τον μοναδιαίο αποτελούν 16 πίνακες. Όλοι οι άλλοι συνδυασμοί θα εκφράζονται από αυτούς τους πίνακες. Για έναν (ψευδοευκλίδειο) 4- διάστατο χώρο, προκύπτει ότι η ελάχιστη τιμή του Ν είναι 4. Ακόμη αποδεικνύεται ότι αυτοί οι πίνακες μπορούν να προσδιοριστούν μέσω 1 ενός unitary μετασχηματισμού O O (όπου ν=1-4) (5.18) που δεν αλλάζει τις ιδιότητες των πινάκων. Συνήθως επιλέγεται η μορφή των πινάκων του Dirac που κάνουν τον πίνακα β διαγώνιο. Δηλαδή η μορφή 0 I 0, (5.19) 0 0 I 1 0 Όπου I ο μοναδιαίος πίνακας και οι πίνακες του Pauli 0 1 0 1 0 i 1 0 1,, 3 (5.0) 1 0 i 0 0 1 0 5-3

Επομένως οι πίνακες, θα έχουν την μορφή (5.1) 0 0 0 1 0 0 0 i 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 i 0 0 0 0 1 0 1 0 0 x, y, z, 0 1 0 0 0 i 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 i 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 Η κυματοσυνάρτηση θα έχει τέσσερις συνιστώσες και θα είναι της μορφής 1( r, t) ( r, t) (5.) 3( r, t) 4( r, t) Το επίπεδο κύμα θα έχει επίσης τέσσερις συνιστώσες και θα είναι A1 A exp i k r t A 3 A4 Αν αντικαταστήσουμε στην (5.15) θα έχουμε τις εξής τέσσερις ομογενείς εξισώσεις z x y x y z z x y x y z E mc A cp A c p ip A 0 1 3 4 E mc A c p ip A cp A 0 3 4 E mc A cp A c p ip A 0 3 1 E mc A c p ip A cp A 0 4 1 (5.3) (5.4) Για να έχουν λύση αυτές οι εξισώσεις, θα πρέπει η ορίζουσα των συντελεστών των 4 A, που λαμβάνει τιμή E m c c p i Υπάρχουν όμως δύο περιπτώσεις για την ενέργεια, Η θετική λύση Ενώ η αρνητική 4 E c p m c να είναι μηδέν, το οποίο ισχύει. 4 E c p m c. δίνει τις συνιστώσες cp c px ipy A 1, A 0, A, A z 1 3 4 E mc E mc c p ip cp A A A A x y z 1 0, 1, 3, 4 E mc E mc 4 E c p m c cp c px ipy A, A, A 1, A 0 z 1 3 4 E mc E mc c p ip cp A, A, A 0, A 1 x y z 1 3 4 E mc E mc (5.5a) (5.5b) 5-4

Για να καταλάβουμε την φυσική σημασία των δύο ζευγών λύσεων ας δούμε τι συμβαίνει στο όριο της μη-σχετικιστικής περίπτωσης. Στο πρώτο ζεύγος (5.5a) λύσεων τα Α 3, Α 4 τείνουν στο μηδέν, ενώ στο δεύτερο (5.5b) τα Α 1, Α τείνουν στο μηδέν. Αντιστοιχούν δε σε καταστάσεις με θετικές και αρνητικές ενέργειες. Όταν θα εισάγουμε και το ΗΜ πεδίο, αποδεικνύεται ότι θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε τις λύσεις αρνητικής ενέργειαςς ισοδύναμα ως λύσεις για σωματίδιο με φορτίο αντίθετο του αρχικού (αντισωματίδιο). Η ιδιοτιμή της προβολής του σπιν προκύπτει από τον τελεστή του σπιν που είναι 0 πίνακες 4 4 της μορφής, S (5.6) 0 Αν αγνοήσουμε τις μικρές συνιστώσες της κάθε μιας λύσης (θετικής και αρνητικής ενέργειας), προκύπτει ότι ο πρώτος όρος από τις δύο άλλες συνιστώσες αντιστοιχεί σε προβολή του σπιν, ενώ ο δεύτερος σε. 5.3 Εξίσωση του Dirac με ΗΜ πεδίο Με την παρουσία ΗΜ κύματος θα έχουμε την αντικατάσταση p p qa και E E q, που οδηγεί στην εξής μορφή της εξίσωσης του Dirac (5.15) i i c cq A q mc (5.7) t 1,, 3, 4 (5.8) H c p qa q mc (5.9) όπου η κυματοσυνάρτηση ψ έχει τέσσερις συνιστώσες που προέρχεται από την χαμιλτονιανή Η συζυγής (adjoint) εξίσωση της (5.7) θα είναι η i i c cqa q mc (5. 30) t Όπου * * * * 1,, 3, 4 (5.31) Από τις δύο αυτές εξισώσεις προκύπτει ότι η πυκνότητα πιθανότητας παρατήρησης του ηλεκτρονίου θα ικανοποιεί την εξίσωση συνέχειας 4 i1 i P( r, t) P P t t αν ορίσουμε το ρεύμα πυκνότητας ως j c c j 0 Αυτό αποδεικνύει ότι η ποσότητα c είναι ένας τελεστής ταχύτητας. (5.3) (5.33) (5.34) 5.4 Εξίσωση του Pauli Στην περίπτωση των στάσιμων καταστάσεων θα ψάξουμε για λύσεις της μορφής ( r, t) ( r )exp( it) (5.35) 5-5

Η αντικατάσταση στην (5.6) δίνει την εξίσωση E( r ) i c cq A q mc ( r ) (5.36) Ας γράψουμε την συνάρτηση ( r ( r ) ) με την μορφή ( r) (5.37) ( r ) όπου ( r ) και ( r ) κάποια μεγέθη (pinor) με δύο στοιχεία. Τότε θα έχουμε τις εξισώσεις E ( r ) ci qa( r) q mc ( r ) (5.38) E ( r ) c i qa ( r ) q mc ( r ) Αν θέσουμε E mc E τότε προκύπτει ότι E ( r ) ci qa( r ) q ( r) E mc ( r ) c i qa ( r ) q ( r ) και (5.39) Στην μη-σχετικιστική περίπτωση E mc q mc, επομένως 1 ( r ) i qa ( r ) (5.40) mc p που δηλώνει ότι το η είναι μικρότερο από το ξ κατά φορές, δηλαδή είναι mc c μια μικρή συνιστώσα, ενώ η ξ είναι η μεγάλη συνιστώσα της ψ. Αντικαθιστώντας το η στην εξίσωση για το ξ έχουμε 1 E ( r ) i qa q ( r ) (5.34) m Για τους πίνακες του Pauli ισχύουν οι ιδιότητες 1, x y z i, i, i x y y x z y z z y x z x x z y Tr Tr Tr 0 x y z det det det 1 Επειδή ισχύει ότι x y z προκύπτει η εξίσωση του Pauli A B A B i A B (5.35) (5.36) 1 q E ( r ) i qa B q ( r ) (5.37) m m όπου B A είναι το μαγνητικό πεδίο. e Για q e ο όρος B m περιγράφει μια αλληλεπίδραση του εξωτερικού μαγνητικού πεδίου με το σπιν, μέσω της εσωτερικής μαγνητικής ροπής M, με τον όρο M B. Επομένως, η εσωτερική μαγνητική ροπή θα έχει την τιμή 5-6

S e M B gb g S (5.38) m e Όπου η μαγνητόνη του Bohr ορίζεται ως B (5.39) m Ενώ ο γυρομαγνητικός λόγος του σπιν του ηλεκτρονίου έχει τιμή g. Ο τελεστής του σπιν εκφρασμένος σε σχέση με τους πίνακες του Pauli θα είναι ίσος προς S (5.40) 5.5 Δυναμικό Coulomb. Ανάπτυξη μέχρι όρους τάξης (υ/c) Για να βρούμε τον επόμενο όρο προσέγγισης μέχρι τάξη (υ/c) θα ξεκινήσουμε από τις γενικές σχέσεις για την περίπτωση δυναμικού Coulomb όπου Ze A 0, q e V ( r) (5.41) 4 or Από την ακριβή λύση θα έχουμε ότι 1 ( r ) c i ( r ) E mc V ( r) (5.4) Αντικαθιστώντας στην άλλη σχέση (5.3) έχουμε ότι 1 E ( r ) c i i ( r ) V ( r) ( r ) E mc V ( r) (5.43) Όμως 1 1 E V 1 E mc V mc mc (5.44) Μετά από πράξεις καταλήγουμε στην εξίσωση (5.45) E V ( r) 1 1 dv dv E ( r ) V ( r) L S ( r) m m mc m c r dr 4m c dr r όπου θέσαμε την στροφορμή ως L r p r i και S. p Επειδή E V έχουμε τον 3 ον 4 E V ( r) p όρο (5.46) 3 m m mc 8m c Το ίδιο θα προέκυπτε αν αναπτύσσαμε απ ευθείας την σχέση 4 4 p p c p m c mc 3 m 8m c (5.47) και αποτελεί την σχετικιστική διόρθωση στον όρο της κινητικής ενέργειας. Επειδή ο 1 ος p όρος είναι m, ο λόγος των δύο όρων 3ος /1 ος p θα είναι 4m c c. Ο 4 ος 1 1 dv όρος που εκφράζει την αλληλεπίδραση σπιν-τροχιακού L S (5.48) m c r dr αποτελεί και αυτός διόρθωση τάξης μεγέθους (υ/c). 5-7

Αν λάβουμε υπόψη μας ότι V είναι το δυναμικό Coulomb προκύπτει ότι dv Ze dr r και σε πρώτο όρο διαταραχής η συνεισφορά του 5 ου όρου θα είναι ίση 4 o Ze προς ( r) (5.49) m c 4 o και αποτελεί μια σχετικιστική διόρθωση στην δυναμική ενέργεια και έχει τάξη μεγέθους (υ/c) και ονομάζεται διόρθωση του Darwin. Τελικά η χαμιλτονιανή μέχρι τάξη μεγέθους (υ/c) γράφεται ως 4 p p 1 1 dv Ze H V ( r) L S ( r ) 3 m 8m c m c r dr m c 4 o (5.50) Δηλαδή έχει την μορφή H Ho H 1 H H 3 (5.51) όπου η μη-σχετικιστική χαμιλτονιανή H o p Ze m 4 r (5.5) 4 p 1 1 dv H 1, H 3 L S Ze και H 3 ( ) r (5.53) 8m c m c r dr m c 4 o Οι αρχικές μη-διαταραγμένες κυματοσυναρτήσεις θα είναι εκείνες που προκύπτουν από την μη-σχετικιστική εξίσωση του Schrodinger, αφού λάβουμε όμως υπόψη μας και το σπιν. Δηλαδή θα είναι της μορφής nlml m nlm l 1/, m (5.54) Όπου H E (5.55) Και οι o nlml n nlml μπορούν να γραφούν ως επαλληλία καταστάσεων με σπιν + και 1/, m 1 0 (pinor) μέσω των δύο διανυσμάτων,. (5.56) 0 1 Δηλαδή θα ισχύει ότι 1 0 1/,1/, 1/, 1/, που θα αποτελούν τις δύο 0 1 ιδιοσυναρτήσεις του τελεστή του σπιν S. Έτσι θα έχουμε ότι 3 Sz, Sz, S 1/, m 1/, m. (5.57) 4 Με βάση αυτά τα αποτελέσματα οι δύο τελεστές θα δίνονται από τις σχέσεις 1 0 3 1 0 S z και S (5.58) 0 1 4 0 1 Στην γενική περίπτωση θα μπορούμε να αναλύσουμε μια συνάρτηση του σπιν στις δύο ιδιοσυναρτήσεις ως και τότε οι ποσότητες θα εκφράζουν την πιθανότητα να προκύψει από μια μέτρηση του σπιν ποσότητα /. o 5.6 Σχετικιστική διόρθωση στην κινητική ενέργεια 4 p H 8m c 1 3 5-8

Ο όρος που οφείλεται στην διόρθωση από την κινητική ενέργεια είναι της 4 p μορφής H 1 και δεν περιλαμβάνει το σπιν. Επειδή οι ιδιοσυναρτήσεις του 3 8m c ατόμου του υδρογόνου για κάποιο κύριο κβαντικό αριθμό n είναι εκφυλισμένες ως προς τα l, ml, m, θα πρέπει να εφαρμόσουμε την θεωρία διαταραχών εκφυλισμένων καταστάσεων. Θα πρέπει επομένως να διαγωνοποιήσουμε τον πίνακα με στοιχεία nlml m H 1 nlml m. Μπορεί όμως να αποδειχθεί ότι η διαταραχή H 1 αντιμετατίθεται με τις συνιστώσες του τελεστή της στροφορμής, δηλαδή ότι L, H 1 0. Το ίδιο και ως προς τον τελεστή του σπιν. Αυτό σημαίνει ότι οι τελεστές αυτοί έχουν κοινές ιδιοσυναρτήσεις και τα μη-διαγώνια στοιχεία του πίνακα θα μηδενιστούν. Δηλαδή ο πίνακας θα είναι διαγώνιος, οι κυματοσυναρτήσεις nlml m εξακολουθούν να αποτελούν την σωστή βάση συναρτήσεων και η διαταραχή θα μετακινήσει απλά τις ενέργειες. Επί πλέον, δεν θα αρθεί ο ενεργειακός εκφυλισμός ως προς τα ml, m. Στην 1 η τάξη προσέγγισης η μετατόπιση της ενέργειας θα είναι E H. (5.59) 1 nlm m 1 nlm m l l 4 p Ze p Ze p Ze Επειδή H o Ho Ho m 4 or m 4 or 4m 4 or Έτσι προκύπτει ότι 4 p 1 Ze E1 nlml m 3 nlml m nlml m H o nlml m 8m c mc 4 or 1 Ze nlml m En nlmlm mc 4 or mc 4 r 4 r Που μετά από τους υπολογισμούς καταλήγει στην σχέση 1 Ze 1 Ze 1 E n En o nlml m o nlml m (5.60) (5.61) Z 3 n E1 E n (5.6) n 4 l 1 Όπου α είναι η σταθερά λεπτής υφής. Παρατηρούμε ότι αίρεται ο ενεργειακός εκφυλισμός ως προς τον τροχιακό κβαντικό αριθμό, αλλά δεν αίρεται ως προς τον μαγνητικό και το σπιν. 5.7 1 1 dv Ο όρος σπιν-τροχιακού H L S m c r dr Ας γράψουμε τον ο 1 1 dv όρο διαταραχής H L S m c r dr με την μορφή H ( r) L S 1 Ze 1, όπου ( r) 3 m c 4 o r (5.63) 5-9

Εύκολα μπορούμε να αποδείξουμε ότι ο τελεστής L (και ο S ) αντιμετατίθεται με το H ενώ οι συνιστώσες των L και S δεν αντιμετατίθενται. Επομένως, η διαταραχή αυτή δεν συνδέει καταστάσεις με διαφορετικές τιμές της στροφορμής l. Για κάθε l όμως υπάρχουν (l+1) καταστάσεις που θα διαταραχθούν διαφορετικά. Επομένως, για να υπολογιστούν οι ιδιοενέργειες θα πρέπει να διαγωνοποιηθεί ένας τετραγωνικός πίνακας της μορφής [(l+1)] [(l+1)]. Αντί όμως να κάνουμε διαγωνοποίηση αυτού του πίνακα, μπορούμε να ξεκινήσουμε με άλλη βάση ιδιοσυναρτήσεων (δηλαδή με κάποιο γραμμικό συνδυασμό των (l+1) εκφυλισμένων ενεργειακά συναρτήσεων), όπου το L S να είναι διαγώνιο. Αυτό επιτυγχάνεται με την παρακάτω διαδικασία. Έστω J L S. (5.64) J L S Τότε J L S L S L S (5.65) Αντί των καταστάσεων με ιδιοτιμές τις ( n, l, m, m ), θα πάρουμε καταστάσεις με ιδιοτιμές ( n, l, j, m ). j j l 1 Επειδή το σπιν είναι ½ έχουμε ότι l 0 για j 1 l 0. (5.66) Για την προβολή του j θα έχουμε ότι m j, j 1, j,, j. (5.67) j Ο τρόπος δημιουργίας των καταστάσεων ( n, l, j, m ) από τις ( n, l, m, m ) δίνεται από κάποιους πίνακες (συντελεστές Clebch-Gordan) και προκύπτουν από την συμμετρία των καταστάσεων με την θεωρία ομάδων. Σ αυτή την βάση των ο τελεστής L S είναι διαγώνιος και επομένως, η nljm j διαταραχή H απλά μετακινεί τις στιβάδες. Ο υπολογισμός δίνει εύκολα ότι Για l 0 1 E nljm ( r ) J L S j nljm j Όπου =1/. Θα έχουμε ότι Όμως Επομένως j( j 1) l( l 1) ( 1) nljm ( r) j ( r) nljm j nljm j 3 1 Z 3 r 3 3 nl on l l l Τελικά θα προκύψει ότι nl 1 1 1 Ze m c 4 1 Ze 1 3 o l j r nl nljm j l (5.68). (5.69). (5.70) 3 1 m c 4 3 3 o on l l l 1 Z l l E En nl l 1 1 l 1 Ενώ για l 0 θα έχουμε E 0. Z όταν j l 1 j l 1 (5.71) (5.7) 5-10

Ze 5.8 Ο όρος του Darwin H 3 ( r ) m c 4 o Η προέλευση αυτού του όρου έχει να κάνει με την εξίσωση του Dirac, δίνει μια διόρθωση για τις -στιβάδες για τις οποίες η αλληλεπίδραση σπιν-τροχιακού μηδενίζεται και ουσιαστικά δημιουργείται από γρήγορες ταλαντώσεις του ηλεκτρονίου γύρω από την θέση του, που αλλοιώνουν το μέσο δυναμικό που νοιώθει από τον πυρήνα. Ο όρος αυτός δεν δρα στο σπιν και είναι διαγώνιος στα ( l, ml, m ). Αποδεικνύεται ότι εφαρμόζεται μόνο στις καταστάσεις εξ αιτίας της συνάρτησης δέλτα, που λαμβάνει τιμές διάφορες του μηδενός, μόνο στο κέντρο του ατόμου, όπως και μόνο οι καταστάσεις. Επομένως, μόνο για τις καταστάσεις με l 0 Z Ze Ze E3 n00 ( r ) n00 n00(0) En m c 4 o m c 4 o n (5.73) 3 1 Z αφού 00(0) n Rno (0) 3 3 4 n (5.74) o 5.9 Η συνολική διαταραχή Η συνολική διαταραχή από τους τρεις όρους θα είναι ίση προς E E E E (5.75) nj 1 3 Συνοψίζοντας τις τρεις περιπτώσεις, l 0, j l 1, 1 j l, καταλήγουμε στην εξής γενική σχέση Z n 3 Enj E n n j 1 4 (5.76) Z n 3 Και Enj En Enj E n 1 (5.77) n j 1 4 Επειδή Ε n ~Z /n το ΔΕ n θα είναι ανάλογο του Z 4 και αντιστρόφως ανάλογο του n 4. Μια ελαφρώς μεγαλύτερη ενέργεια που εξαρτάται από τις τιμές των n, j (μικραίνει με την αύξηση αυτών) και από το Ζ (αυξάνει ποσοστιαία τετραγωνικά με αυτό και σε απόλυτη τιμή με την 4 η δύναμη). Υπάρχει δυνατότητα να λυθεί η εξίσωση του Dirac στην περίπτωση του κεντρικού δυναμικού ( Ze / 4 or ) επακριβώς. Τότε το αποτέλεσμα για την ενέργεια είναι E 1 Z 1 1 1 n j j 1 Z Dirac nj mc 1 (5.78) Η ακριβής αυτή σχέση συμφωνεί με την παραπάνω σχέση στον όρο προσέγγισης Z. 5-11

e 1 Είναι φανερό ότι η διαταραχή εξαρτάται από τον όρο, και (4 o ) c 137, 036 για τον λόγο αυτό ονομάζεται σταθερά λεπτής υφής. Από τις n ενεργειακά εκφυλισμένες καταστάσεις για κάθε κύριο κβαντικό αριθμό n (K, L, M,..στιβάδες), υπάρχει μια μερική άρση του εκφυλισμού που εξαρτάται από 1 3 1 την τιμή του j,,, n, δηλαδή διαιρείται σε n διαφορετικές καταστάσεις (πολλαπλότητα λεπτής υφής). Ο διαχωρισμός ονομάζεται λεπτής υφής. Επειδή ο σχετικιστικός όρος και η διόρθωση του Δαρβίνου δεν εξαρτώνται από το j (μετατοπίζονται μαζί όλες οι στιβάδες με τον ίδιο τροχιακό αριθμό), ο διαχωρισμός των στιβάδων για τα διαφορετικά j, αλλά τον ίδιο τροχιακό αριθμό, θα οφείλεται στην αλληλεπίδραση σπιν-τροχιακού. Π.χ. στα αλκάλια οι μεταπτώσεις 3p 3 θα έπρεπε να αποτελούνται από μια (κίτρινη) γραμμή, όμως είναι μια διπλή (κίτρινη) γραμμή. Για τον λόγο αυτό συχνά εννοούμε με τον όρο λεπτή-υφή την αλληλεπίδραση σπιντροχιακού. Η εξήγηση για τις διπλές γραμμές στο φάσμα εκπομπής του νατρίου είναι: Για την p στιβάδα η αλληλεπίδραση σπιν-τροχιακού θα έχει ως αποτέλεσμα να διαχωριστούν οι καταστάσεις με βάση την τιμή του j (=1/ και 3/). Η στιβάδα με υψηλότερη τιμή του j θα έχει υψηλότερη ενέργεια, όπως φαίνεται στο σχήμα. Οι -στιβάδες δεν θα έχουν αλληλεπίδραση σπιν-τροχιακού. Επειδή ο συντελεστής της αλληλεπίδρασης είναι ανάλογος της 4 ης δύναμης του φορτίου του πυρήνα, ο ενεργειακός διαχωρισμός θα είναι πολύ μικρός για το άτομο του υδρογόνου, ενώ θα αυξάνει πολύ με τον ατομικό αριθμό. Για το νάτριο οι δύο κίτρινες γραμμές απέχουν περίπου 17, cm -1. Οι χαρακτηριστικές καταστάσεις και μεταπτώσεις για τα αλκάλια παρουσιάζονται στο διπλανό σχήμα. Παρατηρούμε ότι ο ενεργειακός διαχωρισμός από την αλληλεπίδραση της λεπτής υφής μειούται όσο αυξάνουν οι κβαντικοί αριθμοί n και l. Οι μεταπτώσεις ακολουθούν τους κανόνες που έχουν αναφερθεί Δl= ±1, Δj=0 ή ±1. Επίσης βλέπουμε τις διπλές γραμμές που χωρίζονται οι στιβάδες από την αλληλεπίδραση σπιν-τροχιακού. Στο επόμενο σχήμα παρουσιάζονται επιτρεπτές και απαγορευμένες μεταπτώσεις για την περίπτωση D J P J (ατομικός συμβολισμός), όπου έχουμε μια τριάδα επιτρεπτών μεταπτώσεων. 5-1

Ο συμβολισμός των ατομικών στιβάδων ακολουθεί τον κανόνα +1 L J. Δηλαδή ο πάνω αριστερά δείκτης δηλώνει την πολλαπλότητα λόγω σπιν, ο κάτω δεξιά την συνολική στροφορμή και το κύριο γράμμα L, τον τροχιακό κβαντικό αριθμό. 5.10 Επίδραση διαταραχής λεπτής υφής στο υδρογόνο και ήλιο Το αποτέλεσμα της λεπτής υφής στις ενεργειακές στάθμες του υδρογόνου και του ηλίου παρουσιάζονται στο διπλανό και στο παρακάτω διάγραμμα. Τα χαρακτηριστικά είναι ότι δύο καταστάσεις με τα ίδια n,j αλλά διαφορετικά l ώστε j l 1 έχουν την ίδια ενέργεια. Θα δούμε στην επόμενη ενότητα ότι ο ενεργειακός εκφυλισμός αυτών των δύο στιβάδων αίρεται με διορθώσεις από την θεωρία πεδίου που οδηγούν στο Lamb hift και υπολογίζονται με την κβαντική ηλεκτροδυναμική (QED). 5-13

n=3 n= 0.018cm -1 3d 0.036cm -1 5/ (j=5/,l=) 3p 0.108cm -1 3/ (j=3/,l=1),3d 3/ (j=3/,l=) 3 1/ (j=1/,l=0),3p 1/ (j=1/,l=1) 0.091cm -1 p 0.365cm -1 3/ (j=3/,l=1) 1/ (j=1/,l=0),p 1/ (j=1/,l=1) n=1 1.46cm -1 1 1/ (j=1/,l=0) Όπως αναφέρθηκε, οι κανόνες επιλογής για την ηλεκτρική διπολική ροπή που είναι l 1, τώρα δίνουν για το j τον κανόνα j 0, 1. Έτσι οι γραμμές Lyman (μεταπτώσεις στην n=1) θα χωρίσουν από την διαταραχή λεπτής υφής σε μια διπλή γραμμή, που αντιστοιχεί στις μεταπτώσεις np1/ 1 1/, np3/ 11/. Οι γραμμές Balmer (μεταπτώσεις στην n=) θα αποτελούνται από τις μεταπτώσεις np, n p, nd p, np, n p, nd p, nd p 1 1/ 1/ 1/ 3/ 1/ 3/ 1/ 1/ 3/ 3/ 3/ 5/ 3/ Από το γεγονός ότι η ποσότητα που εξαρτάται από την ακτίνα είναι η ίδια για τις μεταπτώσεις np1/ n1/ και np3/ n1/, μπορεί κανείς να υπολογίσει λόγους εντάσεων των διαφόρων φασματικών γραμμών, από την σχέση ανάμεσα στην εξάρτησή τους από την στροφορμή. 5.11 Lamb hift Η λεπτή υφή δεν προβλέπει διαφορετική ενέργεια ανάμεσα σε καταστάσεις με το ίδιο j, όπως π.χ. ανάμεσα στις καταστάσεις p 1/ και 1/ που θάπρεπε να έχουν την ίδια ενέργεια. Κάποιες μετρήσεις του 1938 έδειξαν ότι πιθανά αυτές οι δύο καταστάσεις για το άτομο του υδρογόνου να μην έχουν την ίδια ενέργεια, αλλά ίσως να υπήρχε μια μετατόπιση κατά 0,03 cm -1, που αντιστοιχεί σε 900 MHz περίπου, της προς υψηλότερες ενέργειες. To 1947 οι W. Lamb και R.C. Retherford μέτρησαν 1/ με ακρίβεια 0, MHz μέσω μικροκυμάτων και πραγματικά διαπίστωσαν ότι η 1/ κατάσταση έχει υψηλότερη ενέργεια από την p 1/. 5-14

Η λεπτή υφή της στιβάδας n= για το υδρογόνο των Bohr, του Dirac και από το Lamb hift. Το πλεονέκτημα της μεθόδου που χρησιμοποίησαν σε σχέση με τις οπτικές μετρήσεις έγκειται στην ύπαρξη μετατόπισης των γραμμών από Doppler, λόγω της υψηλής θερμοκρασίας του συστήματος. Η μετατόπιση Doppler είναι ανάλογη της συχνότητας του κύματος, επομένως στις οπτικές συχνότητες είναι πολύ μεγαλύτερη από ότι στα μικροκύματα. Η ανάγκη χρήσης υψηλής θερμοκρασίας πηγάζει από την προσπάθεια δημιουργίας ατομικού υδρογόνου από το μοριακό. Αν το μοριακό υδρογόνο το ζεστάνουμε στους 500Κ, τότε το 64% των μορίων διασπάται και δημιουργεί ατομικό υδρογόνο. Φυσικά η υψηλή θερμοκρασία δημιουργεί και ανάλογες ταχύτητες των ατόμων και επομένως ισχυρότερο φαινόμενο Doppler. Επειδή υπάρχει μια Maxwell κατανομή ταχυτήτων, θα δημιουργείται μια κατανομή μετατόπισης Doppler που θα διευρύνει τις φασματικές γραμμές. Η χρήση μικροκυμάτων μείωσε το Doppler αλλά μείωσε επίσης σημαντικά και το ρυθμό μεταπτώσεων, που εξαρτάται από την 3 η δύναμη της συχνότητας. Για να ξεπεραστεί αυτό το πρόβλημα επιλέχθηκε να γίνει εξαναγκασμένη μετάπτωση, όπου η δέσμη των ατόμων υδρογόνου περνούσε από μια περιοχή με ηλεκτρικές ταλαντώσεις στην κατάλληλη συχνότητα. Επειδή όμως η εξαναγκασμένη εκπομπή είναι ίση με την απορρόφηση, θα έπρεπε να βρεθεί κάποιος τρόπος ανισομερούς κατανομής των ηλεκτρονίων στις δύο στιβάδες. Αυτό επιτεύχθηκε από το γεγονός ότι η κατάσταση 1/ δεν μπορεί να αποδιεγερθεί (στον 1 ο όρο προσέγγισης) στην 1 1/, γιατί παραβιάζεται ο κανόνας επιλογής l 1. Αυτό μπορεί να γίνει στον ο όρο προσέγγισης με εκπομπή δύο φωτονίων, αλλά ο χρόνος ημιζωής είναι 1/7 δευτερόλεπτα, πολύ μεγαλύτερος από τον χρόνο ημιζωής της p κατάστασης (1,6 10-9 ec). Στην διάταξη των Lamb και Retherford ένας φούρνος 5-15

δημιουργούσε άτομα υδρογόνου, που περνούσαν από κάποια σχισμή και οδηγούνταν σε μια δέσμη ηλεκτρονίων ενέργειας 10,eV, που είναι αρκετή για να τα διαγείρει στις καταστάσεις, p. Περίπου 10-8 από τα υδρογόνα διαγείρονταν με αυτό τον τρόπο. Τα άτομα στους 500Κ είχαν μια ταχύτητα 8000m/<<c. Σε απόσταση ~10cm όπου ήταν ο ανιχνευτής, τα διηγερμένα ηλεκτρόνια στην 1/ είχαν παραμείνει διηγερμένα, ενώ εκείνα στις καταστάσεις p 1/ και p 3/ είχαν αποδιεγερθεί σε μια απόσταση ~1,3 10-3 cm. Ο ανιχνευτής ήταν μεταλλικό βολφράμιο, που εξέπεμπε ηλεκτρόνια τα οποία ελάμβαναν ενέργεια από την αποδιέγερση των ατόμων υδρογόνου της κατάστασης 1/. Αντίθετα, εκείνα στην βασική κατάσταση δεν ανιχνεύονταν. Αν τώρα η δέσμη των ατόμων υδρογόνου σε καταστάσεις 1/ περάσει από μια περιοχή μικροκυμάτων κατάλληλης συχνότητας ώστε να υφίσταται εξαναγκασμένες μεταπτώσεις στις p 1/ και p 3/ καταστάσεις, τότε τα ηλεκτρόνια δεν ανιχνεύονταν αφού μετάπιπταν στην βασική πριν φθάσουν στον ανιχνευτή. Στην περίπτωση συντονισμού της ενέργειας των μικροκυμάτων με την διαφορά ενέργειας των καταστάσεων 1/ και p 1/, p 3/, υπήρχε η μέγιστη μείωση του αριθμού των ανιχνεύσεων που έδινε μια τιμή για τις ενέργειες 1/ p1/ και 1/ p3/. Οι Lamb και Retherford χρησιμοποίησαν ένα σταθερής συχνότητας (και έντασης) πεδίο και με την βοήθεια ενός μεταβλητού μαγνητικού πεδίου (ώστε να διαχωρίσουν τις γραμμές Zeeman, αλλά και να αποφύγουν την μίξη των 1/ και p 1/ εξ αιτίας του ηλεκτρικού πεδίου-φαινόμενο Stark) κατάφερναν να περνούν μέσα από την περιοχή συντονισμού. Με τον τρόπο αυτό μέτρησαν μια διαφορά 1/ - p 1/ 1000MHz. Αργότερα, πιο ακριβείς μετρήσεις έδωσαν διαφορά ενέργειας 1057,8 ± 0,1 MHz = 0,035 cm -1 = 4,37 μev. Αυτή η διαφορά ενέργειας ονομάστηκε Lamb hift και άνοιξε τον δρόμο για την εξήγηση του φαινομένου μέσω της κβαντικής θεωρίας πεδίου (QED). Υπάρχουν όμως και κλασικές μέθοδοι παρουσίασης του φαινομένου. Η δομή του φάσματος του Η Η ανάδειξη των κορυφών με την σημαντική μείωση της επίδρασης του φαινομένου Doppler. Το αποτέλεσμα αυτό αφορά τις στιβάδες με τους ίδιους κβαντικούς αριθμούς n και j, αλλά διαφορετικές τιμές του l οι οποίες έχουν μια μικρή διαφορά ενέργειας. 5-16

Όλες οι καταστάσεις S 1/ βρίσκονται σε υψηλότερη ενέργεια από εκείνες των P 1/ και η διαφορά είναι περίπου ίση προς το 1/10 της ενεργειακής απόστασης P 3/ -P 1/. Για τις άλλες καταστάσεις με το ίδιο j η επίδραση είναι πολύ μικρότερη. Το αποτέλεσμα του Lamb hift σε σύγκριση με την λεπτή υφή. Οι κορυφές 1, και 3,4 δεν θα έπρεπε να διαχωρίζονται χωρίς το Lamb hift. Η βασική αιτία του φαινομένου είναι ότι το κβαντισμένο ΗΜ κύμα έχει και στην βασική του κατάσταση μια ενέργεια. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα να δρα πάνω στο σημειακό ηλεκτρόνιο, που παύει να είναι σημειακό αλλά αποκτά μια ισοδύναμη κατανομή φορτίου σαν σφαίρα. Επομένως, η μέση δύναμη που θα υφίσταται από τον πυρήνα θα διαφέρει κατά λίγο από εκείνη του κέντρου του, κύρια για τα ηλεκτρόνια που περνούν κάποιο χρόνο σε μικρή απόσταση από τον πυρήνα (δηλαδή για εκείνα για τα οποία (0) 0 ), τα ηλεκτρόνια. Άρα θα έλκονται λιγότερο από τα p και θα έχουν υψηλότερη ενέργεια από εκείνα. Μια πλήρης μελέτη του φαινομένου απαιτεί την θεωρία QED, που δίνει τιμές 1057,864 ± 0,014 MHz, ενώ η πιο ακριβής πειραματική τιμή δίνει 1057,86 ± 0,00 MHz. 5-17

Η σχετική επίδραση των επί μέρους διαταραχών που παρουσιάσαμε για το άτομο του υδρογόνου παρουσιάζεται στο παρακάτω διάγραμμα 5-18

Θωράκιση Στο παρακάτω σχήμα παρουσιάζονται οι καταστάσεις των αλκαλίων σε σχέση με το άτομο του υδρογόνου. Παρατηρούμε ότι υπάρχουν διαφορές στην ενέργεια των καταστάσεων που έχουν τους ίδιους κβαντικούς αριθμούς n και ℓ, μολονότι δεν προκύπτει από την ανάλυση που έχουμε παρουσιάσει. Η αιτία αυτής της διαφοροποίησης βρίσκεται στο γεγονός ότι μέχρι τώρα έχουμε αγνοήσει την αλληλεπίδραση των άλλων ηλεκτρονίων, που καταλήγουν σε αυτό που ονομάζουμε θωράκιση. Ένας απλός εμπειρικός τρόπος να λάβουμε υπόψη μας την επίδραση της θωράκισης είναι να θεωρήσουμε ότι η ενέργεια της κάθε στιβάδας ορίζεται από μια σχέση της μορφής 1 n,l C A n (n, l ) Όπου CA/n θα εκφράζει την ενέργεια του ατόμου με ατομικό αριθμό Α και Δ(n,l) θα είναι κάποια εμπειρική τιμή (όχι κατ ανάγκη ακέραια) που προκύπτει από τις μετρήσεις και προσαρμόζει την εξίσωση στα πειραματικά αποτελέσματα. Για την περίπτωση του νατρίου οι τιμές της ποσότητας Δ δίνεται από τον παρακάτω πίνακα, που απεικονίζουν το διάγραμμα μεταπτώσεων που εμφανίζεται πιο κάτω. 5-19

Η βασική αιτία για την διαφοροποίηση των ενεργειακών καταστάσεων είναι τα άλλα ηλεκτρόνια που υπάρχουν στον χώρο, που εμποδίζουν (θωρακίζουν) την επίδραση του πυρήνα στα εξωτερικά ηλεκτρόνια. Ανάλογα με τον τροχιακό κβαντικό αριθμό, η επίδραση της θωράκισης θα διαφοροποιείται, αφού η κυματοσυνάρτηση παρουσιάζει μια κατανομή ως προς την απόσταση από τον πυρήνα, με βάση την τιμή του ℓ. Μια πιο πλήρη εκτίμηση της επίδρασης των άλλων ηλεκτρονίων θα παρουσιαστεί αργότερα με τις εξισώσεις Hartree-Fock. 5-0

Χρηματοδότηση - Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. - Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ε.Μ.Π.» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. - Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικού πόρους.