ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΡΟΟΔΟΙ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΡΟΟΔΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΓΕΝΙΚΟΣ ΟΡΟΣ ΓΕΝΙΚΟΣ ΟΡΟΣ " ÎÀ-{0}, + ( ν-) ω " ÎÀ-{0}, l - ω : διαφορά προόδου λ : λόγος προόδου ΑΘΡΟΙΣΜΑ ì + ï í, w ¹ 0 + ( -) ï v w v î ΑΘΡΟΙΣΜΑ ì ï í ïî ( l -), l ¹ l -, l v v, ω 0 ΔΙΑΔΟΧΙΚΟΙ ΟΡΟΙ ΔΙΑΔΟΧΙΚΟΙ ΟΡΟΙ α, β, γ διαδοχικοί όροι Α Π Û α, β, γ ¹ 0 διαδοχικοί όροι Γ Π Û β α + γ β α γ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ α, x, x, b Αρ Πρόοδος, x 4 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ α, x, x, b Γεωμ Πρόοδος, x Τότε : ω b - (διαφορά παρεμβολής ) + Τότε : λ + b ( λόγος παρεμβολής )
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΡΟΟΔΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Αν στην εκφώνηση της άσκησης ζητούνται : v Να δείξουμε ότι μια ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος πρέπει να δείξουμε ότι η διαφορά : + - ισούται με σταθερό αριθμό, ο οποίος θα είναι και η διαφορά της προόδου v Να δείξουμε ότι μια ακολουθία είναι γεωμετρική πρόοδος, πρέπει να δείξουμε ότι το πηλίκο : της προόδου + ισούται με σταθερό αριθμό, ο οποίος είναι ο λόγος v Αν ω 0 σε αριθμητική πρόοδο τότε όλοι οι όροι είναι ίσοι με : α, οπότε : v Αν λ σε γεωμετρική πρόοδο τότε όλοι οι όροι είναι ίσοι με : α, οπότε: v Περιττοί το πλήθος άγνωστοι όροι αριθμητικής προόδου τότε τους συμβολίζουμε ως εξής :, x - ω, x- ω, x ω, x, x +ω, x + ω, x + ω όπου ω η διαφορά της προόδου v Άρτιοι το πλήθος άγνωστοι όροι αριθμητικής προόδου τότε τους συμβολίζουμε ως εξής :, x -5 ω, x - ω, x ω, x +ω, x + ω, x +5 ω όπου ω η διαφορά της προόδου v Περιττοί το πλήθος άγνωστοι όροι γεωμετρικής προόδου τότε τους συμβολίζουμε ως εξής :,,, x, x l, x l ( l ¹ 0) x x l l v Άρτιοι το πλήθος άγνωστοι όροι γεωμετρικής προόδου τότε τους συμβολίζουμε ως εξής :,,, x l, x l ( l ¹ 0) x x l l v μεταξύ των αριθμών γ, δ να παρεμβάλουμε ν το πλήθος αριθμούς ώστε μαζί τους αριθμούς γ, δ να δημιουργείται αριθμητική πρόοδος με ν+ το πλήθος όρους τότε, έστω x, x,, x οι ζητούμενοι αριθμοί Ο πρώτος όρος της προόδου είναι ο γ και ο τελευταίος ο δ, το πλήθος των όρων είναι ν+ Συνεπώς ισχύει : δ γ + (ν+) ω Û w, όπου ω η διαφορά της προόδου d - +
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΡΟΟΔΟΙ 4 v μεταξύ των αριθμών γ, δ να παρεμβάλουμε ν το πλήθος αριθμούς ώστε μαζί τους αριθμούς γ, δ να δημιουργείται γεωμετρική πρόοδος με ν+ το πλήθος όρους τότε, έστω x, x,, x οι ζητούμενοι αριθμοί Ο πρώτος όρος της προόδου είναι ο γ και ο τελευταίος ο δ, το πλήθος των όρων είναι ν+ Συνε- d πώς ισχύει : δ γ λ + Û λ + () g Για την λύση της () διακρίνω τις περιπτώσεις : Περίπτωση : ν+ άρτιος και γ, δ ομόσημοι Η () έχει ρίζες τις : λ ± + d, έχουμε λοιπόν γεωμετρικές προόδους g Περίπτωση ν+ άρτιος και γ, δ ετερόσημοι Η () είναι αδύνατη, άρα το πρόβλημα δεν έχει λύση Περίπτωση ν+ περιττός και γ, δ ομόσημοι d Η () έχει λύση την : λ + g Περίπτωση 4 ν+ περιττός και γ, δ ετερόσημοι Η () έχει λύση την : λ - + - d g ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθούν οι πρώτοι όροι της ακολουθίας : α - ( - ), ÎÀ -{0} Ομοίως της ακολουθίας : α ( - ) +, ÎÀ -{0} Δίνεται η ακολουθία : α ν-4, ÎÀ -{0} Να εξεταστεί αν ο 4 είναι όρος της ακολουθίας 4 Να ορισθεί ο αναδρομικός τύπος της ακολουθίας : α 5, ÎÀ -{0} 5 Να χαρακτηριστούν ως Σωστές ή Λάθος οι παρακάτω προτάσεις : α ) οι αριθμοί -5, 5, 5 με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι Α Π
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΡΟΟΔΟΙ 5 β ) ο εικοστός όρος της αριθμητικής προόδου 0, 7, 4 είναι ίσος με 0 γ ) σε κάθε αριθμητική πρόοδο ( α ) για τους όρους α, α 4, α 6 ισχύει η σχέση: α 4 α + α 6 [ Εξετάσεις Ενιαίων Λυκείων 000 ] 6 Αν,, είναι τα αθροίσματα των ν, ν, ν πρώτων όρων μιας αριθμητικής προόδου, δείξτε ότι : ( - ) 7 Να βρεθεί ο x Î Â ώστε οι αριθμοί : x -7, x +, - x να είναι διαδοχικοί ό- ροι ΑΠ 8 Να βρεθεί το άθροισμα των 5 πρώτων πολλαπλασίων του 9 Να βρεθούν 5 αριθμοί, διαδοχικοί όροι Α Π αν : α +α 4 και α + α 5 0 0 Μεταξύ των αριθμών 9 και 4 να παρεμβληθούν αριθμητικοί ενδιάμεσοι ώστε να προκύψει αριθμητική πρόοδος με όρους Πόσοι όροι της αριθμητικής προόδου : 9, 7, 5 έχουν άθροισμα ίσο με 500 ; Σε Α Π δίνονται ω, α 0, 77 Να βρεθούν οι α, ν Σε Α Π δίνονται α, ω4, 6 Να βρεθούν α, ν 4 Σε Α Π δίνονται α, α 5, 9 Να βρεθούν ω, ν 5 Να βρεθεί η αριθμητική πρόοδος αν γνωρίζουμε ότι : ο δεύτερος, ο έκτος και ο έβδομος όρος της έχουν άθροισμα 7 ενώ ο όγδοος όρος της υπερβαίνει κατά μια μονάδα το διπλάσιο του τέταρτου όρου 6 Σε Α Π ο δεύτερος και ο όγδοος όρος διαφέρουν κατά 4 ενώ το άθροισμα του τέταρτου και του δωδέκατου όρου της είναι 70 Να βρεθεί η πρόοδος 7 Σε Α Π ( α ) να αποδείξετε ότι ισχύει : α ) 5α + 4 97 β ) 0α 0 + 000 00 8 Να βρείτε το άθροισμα των ακεραίων από το μέχρι και το 00 οι οποίοι : α ) είναι πολλαπλάσια του 6 β ) δεν είναι πολλαπλάσια του 4 9 Αν ο αριθμός -λ είναι ο αριθμητικός μέσος των αριθμών λ -λ+ και -6λ, να βρείτε τον λ και τους τρεις αριθμούς 0 Αν σε μια Α Π ισχύει 4 9, να αποδείξετε ότι : 4 7
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΡΟΟΔΟΙ 6 Σε Α Π ισχύει ωα, να αποδείξετε ότι : m m Σε μια αριθμητική πρόοδο ( α ) με θετικούς όρους να αποδείξετε ότι : - + + + + + + - + Σε μια αριθμητική πρόοδο ( α ) δείξτε ότι ισχύει η σχέση : - + + + - 4 Να βρεθούν οι γωνίες κυρτού πενταγώνου αν γνωρίζουμε ότι είναι διαδοχικοί όροι Α Π και η μικρότερη γωνία του είναι 60 0 5 Η μικρότερη γωνία κυρτού πολυγώνου είναι 60 0 και κάθε άλλη 0 0 μεγαλύτερη της προηγούμενης της Να βρεθεί το πλήθος των πλευρών του πολυγώνου 6 Να βρεθούν τρεις αριθμοί που είναι διαδοχικοί όροι Α Π, αν το άθροισμα τους είναι και το γινόμενο τους 87 7 Να βρεθεί ο ν - στός όρος μιας Γ Π της οποίας ο τέταρτος όρος είναι -4 και ο ενδέκατος 64 8 Μεταξύ των αριθμών και 9 να παρεμβληθούν πέντε αριθμοί έτσι ώστε όλοι μαζί να είναι διαδοχικοί όροι μιας Γ Π 9 Σε Γ Π δίνονται α 4, α 97, 456 Να βρεθεί ο ν 0 Να βρεθεί ο x ώστε οι αριθμοί 5 x -9, x +, x - να είναι διαδοχικοί όροι Γ Π Ο όγδοος όρος μιας Γ Π είναι 84 και ο λόγος είναι Να βρείτε το άθροισμα των οκτώ πρώτων όρων της Ο πρώτος όρος μιας Γ Π είναι 5 και ο έβδομος 645 Να βρείτε το άθροισμα των επτά πρώτων όρων της Για ποια τιμή του x ο αριθμός 4 0x - 6 x - 8, x - είναι γεωμετρικός μέσος των αριθμών 4 Να βρείτε το άθροισμα των δέκα πρώτων όρων μιας Γ Π όταν α +α 6 4 και + 68 7 5 Να βρεθεί γεωμετρική πρόοδος αν 4 40, 8 80
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΡΟΟΔΟΙ 7 6 Να βρεθεί Γ Π αν το άθροισμα των τριών πρώτων όρων της είναι 6 και το άθροισμα των επομένων τριών όρων της είναι 70 7 Να βρεθεί Γ Π αν οι τρεις πρώτοι όροι της έχουν άθροισμα και ο πρώτος ό- ρος της με τον τέταρτο όρο της έχουν άθροισμα 7 8 Να υπολογιστούν τα αθροίσματα : 9+99+999+ +99 9 +++ + 5+55+555+ +5555 5 9 Ένας πληθυσμός βακτηριδίων τριπλασιάζεται σε αριθμό κάθε μια ώρα α ) αν αρχικά υπάρχουν 0 βακτηρίδια να βρείτε το πλήθος των βακτηριδίων ύστερα από 6 ώρες β ) στο τέλος της έκτης ώρας ο πληθυσμός των βακτηριδίων ψεκάζεται με μια ουσία η οποία σταματά τον πολλαπλασιασμό και προκαλεί καταστροφή 0 βακτηριδίων κάθε ώρα ι ) να βρείτε το πλήθος των βακτηριδίων που απομένουν 0 ώρες μετά τον ψεκασμό ιι ) μετά από πόσες ώρες από τη στιγμή του ψεκασμού θα καταστραφούν όλα τα βακτηρίδια ; [ Εξετάσεις Ενιαίων Λυκείων 000 ] 40 Δίνονται οι αριθμοί α συνα, α su α, όπου γωνία α ικανοποιεί την σχέση : 0 < α < p α ) να αποδείξετε ότι αυτοί οι αριθμοί με τη σειρά που δίνονται αποτελούν διαδοχικούς όρους Α Π β ) να βρείτε τη διαφορά ω γ ) να βρείτε το άθροισμα των πέντε πρώτων όρων της προόδου [ Εξετάσεις Ενιαίων Λυκείων 00 ] 4 Έστω μια αριθμητική πρόοδος της οποίας ο δεύτερος όρος είναι ίσος με 9 και ο τρίτος με α ) να βρεθεί η διαφορά ω και ο α β ) να βρεθεί ο α 00 γ ) να βρεθεί το 00 4 α ) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού x για τις οποίες οι αριθμοί : x-4, x+4, x-4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου β ) Αν ο x+4 είναι ο έκτος όρος της αριθμητικής προόδου του ερωτήματος (α) να βρείτε τον α γ ) Να βρείτε το 0 της προόδου του ερωτήματος (α) 4 Δίνονται οι αριθμοί :, ημ x +, ημ x +, όπου x  Πα ) να αποδείξετε ότι οι αριθμοί αυτοί με την σειρά που δίνονται δεν μπορεί να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΡΟΟΔΟΙ 8 β ) Αν 0 x π και οι αριθμοί, ημx +, ημx+ με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, τότε : ι ) να αποδείξετε ότι x p ιι ) να βρείτε τον λόγο της προόδου p 44 Αν συν θ, α hmq, α 4 efq, όπου θ Î(0, ), είναι όροι γεω- μετρικής προόδου α ) να δείξετε ότι θ p, β ) να βρείτε τον λ και τον α της προόδου, γ ) να βρείτε το 4 της παραπάνω προόδου 45 Ένα θέατρο έχει σειρές καθισμάτων Η πρώτη σειρά έχει 0 καθίσματα και κάθε επόμενη έχει καθίσματα περισσότερα από την προηγούμενη της α ) πόσα καθίσματα έχει η τελευταία σειρά ; β ) πόσα καθίσματα έχει όλο το θέατρο ; γ ) σε μια παράσταση τα εισιτήρια της 7 ης σειράς διανεμήθηκαν δωρεάν και όλα τα υπόλοιπα πουλήθηκαν προς 0 το ένα Πόσα χρήματα εισέπραξε το θέατρο την παράσταση αυτή ; 46 Ο κατασκευαστής μιας πολυκατοικίας ορόφων με πυλωτή, καθόρισε ως τιμή πώλησης του πρώτου ορόφου 00 το τετραγωνικό μέτρο και για κάθε επόμενο όροφο 00 το τετραγωνικό μέτρο ακριβότερα από τον προηγούμενο όροφο α ) πόσο πωλείται το διαμέρισμα ανά τετραγωνικό μέτρο στον 0 ο όροφο ; β ) πόσο πωλείται ένα διαμέρισμα 8 τετραγωνικά μέτρα στον ο όροφο ; γ ) αν ο κάθε όροφος έχει 00 τετραγωνικά μέτρα, πόσα χρήματα θα εισπράξει ο κατασκευαστής από την πώληση όλων των διαμερισμάτων ; 47 Παρατηρήθηκε ότι η ποσότητα πετρελαίου που διαρρέει προς τη θάλασσα από ένα βυθισμένο δεξαμενόπλοιο διπλασιάζεται κάθε μέρα ( λόγω αύξησης του ρήγματος που προκάλεσε η διαρροή ) Το πετρέλαιο που διέρρευσε κατά την διάρκεια της πρώτης μέρας ήταν 0 τόνοι α ) πόσοι τόνοι πετρελαίου θα διαρρεύσουν κατά την διάρκεια της 7 ης μέρας ; β ) πόσοι τόνοι πετρελαίου θα διαρρεύσουν συνολικά κατά τις 7 πρώτες μέρες; γ ) αν η διαρροή σταματήσει στο τέλος της 7 ης μέρας και το κόστος καθαρισμού είναι 000 ανά τόνο, πόσο θα κοστίσει ο καθαρισμός της θάλασσας από την ρύπανση που προκάλεσε το δεξαμενόπλοιο ; 48 Η τιμή αγοράς μιας φωτογραφικής μηχανής είναι μεγαλύτερη από 60 και μικρότερη από 640 Κατά την αγορά της συμφωνήθηκαν τα εξής : Να δοθεί προκαταβολή 0 Η εξόφληση του υπόλοιπου ποσού να γίνει σε 0 μηνιαίες δόσεις Κάθε δόση να είναι μεγαλύτερη από την προηγούμενη κατά ω Η τέταρτη δόση να είναι 48 α ) να εκφράσετε το ποσό της ης δόσης ως συνάρτηση του ω β ) να εκφράσετε την τιμή αγοράς ως συνάρτηση του ω
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΡΟΟΔΟΙ 9 γ ) να βρείτε το ω δ ) να βρείτε το ποσό της τελευταίας δόσης ε ) να βρείτε την τιμή αγοράς της φωτογραφικής μηχανής [ Εξετάσεις Ενιαίων Λυκείων 999 ] 49 Έστω δυο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β Αν συμβολίσουμε με A 0 τον αρχικό πληθυσμό της κοινωνίας Α και με B0 τον αρχικό πληθυσμό της Β, τότε ισχύει : 9 A 0 0 B 0 Ο πληθυσμός της Α μειώνεται κάθε μία ώρα κατά του αρχικού 00 πληθυσμού της, ενώ ο πληθυσμός της Β αυξάνεται ανά ώρα με γεωμετρική πρόοδο και λόγο λ Οι δυο πληθυσμοί γίνονται ίσοι 0 ώρες μετά την αρχική στιγμή α ) να αποδείξετε ότι ο λόγος που αναφέρεται στον πληθυσμό Β είναι : λ 0 β ) πέντε ώρες μετά την αρχική στιγμή ο Β είναι 9 0 0 Να δείξετε ότι ο αρχικός πληθυσμός της Β είναι 9 0 5 γ ) να βρείτε τον πληθυσμό της κοινωνίας Α, 99 ώρες μετά την αρχική στιγμή 50 Η διάρκεια κατασκευής μιας σήραγγας του ΜΕΤΡΟ ήταν 0 μέρες Το μηχάνημα διάνοιξης κατά τις πρώτες 50 μέρες εργασίας διάνοιγε καθημερινά μήκος σήραγγας ίσο με αυτό της προηγούμενης μέρας και μέτρα επιπλέον Κατά τις επόμενες 60 ημέρες το μήκος διάνοιξης καθημερινά ήταν ίσο με τα ¾ του μήκους διάνοιξης της προηγούμενης μέρας Αν το μήκος της σήραγγας που διάνοιξε το μηχάνημα την πρώτη μέρα ήταν 4 μέτρα, να βρείτε το μήκος της σήραγγας κατά τις πρώτες 70 μέρες εργασίας καθώς και μετά το πέρας των εργασιών 5 Οι μαθητές της Β τάξης Ενιαίου Λυκείου των Αθηνών ρώτησαν τον καθηγητή των Μαθηματικών πόσες ασκήσεις Άλγεβρας θα διδαχθούν και πόσος χρόνος μελέτης θα απαιτηθεί για την προετοιμασία τους για τις εξετάσεις Εκείνος τους απάντησε ως εξής : «Όλες οι ασκήσεις θα είναι αριθμημένες Η πρώτη άσκηση θα φέρει τον αριθμό και η τελευταία τον αριθμό 99 Οι αριθμοί των ασκήσεων θα αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικές προόδου με άθροισμα ίσο με 00 - Ο χρόνος μελέτης κάθε άσκησης από τις 0 πρώτες θα είναι ίσος με τα του χρόνου μελέ- 0 της της προηγούμενης άσκησης Για την πρώτη άσκηση θα απαιτηθούν 0 λεπτά μελέτης, ενώ για την κάθε μια από τις υπόλοιπες ο χρόνος μελέτης θα είναι λεπτά» α ) να βρείτε το πλήθος των ασκήσεων β ) να βρείτε τον αριθμό που φέρει η 0 η άσκηση γ ) να βρείτε τον χρόνο μελέτης που θα χρειαστεί για τις 0 πρώτες ασκήσεις δ ) να βρείτε τον χρόνο μελέτης που θα χρειαστεί για όλες τις ασκήσεις 5 Δίνονται οι αριθμοί α, 8 p, β, με συνα ¹ 0, συνβ ¹ 0, οι οποίοι είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου α ) να δείξετε ότι (+εφα) (+εφβ)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΡΟΟΔΟΙ 0 β ) αν εφα 4, να δείξετε ότι οι αριθμοί : εφα, εφ 4 p, εφ(α+β) είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου γ ) να βρείτε το 004 της γεωμετρικής προόδου του ερωτήματος (β), αν α εφα [ Ένθετο «Ο υποψήφιος» 00 ] 5 Δίνεται η ακολουθία με γενικό όρο - +ν με πρώτο όρο α α ) να αποδείξετε ότι η είναι αριθμητική πρόοδος με α -9 και ω β ) να βρείτε το άθροισμα : + + της παραπάνω προόδου [ Πανελλήνιες Εξετάσεις 00 ] 54 Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ με περίμετρο 8 ισχύει ότι συν Α - 4 και οι πλευρές γ, β, α αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου Να βρεθούν τα μήκη των πλευρών του τριγώνου 55 α ) Να βρεθεί το άθροισμα 0, των 0 πρώτων διαδοχικών, θετικών λύσεων της εξίσωσης : εφ x -, β ) να βρεθεί ο ν ος όρος των παραπάνω θετικών διαδοχικών λύσεων και να βρεθεί ποια από αυτές ισούται με, 00p γ ) να λυθεί η εξίσωση : x + 4 x + 5 x -p 0, όπου α, 4, 5 διαδοχικές λύσεις της παραπάνω προόδου 56 Κάποιος αποφάσισε να αγοράσει με δόσεις ένα αυτοκίνητο 0000 Έδωσε προκαταβολή 5000, και συμφώνησε να πληρώσει το υπόλοιπο σε 5 ακέραιες δόσεις, έτσι ώστε κάθε δόση να είναι μεγαλύτερη από την προηγούμενη κατά σταθερό αριθμό Αν το γινόμενο των 5 δόσεων ήταν 945000, να βρεθεί το ποσό της δόσης 57 Σε αριθμητική πρόοδο ισχύει : + 40 60 Αν ο πρώτος όρος ισούται με το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης : x + 6x + 4x -5 0, να βρεθεί ο 00 ος όρος της προόδου 58 Δίνονται οι αριθμοί : α, α συνα, α -ημ π α, με α Î (0, ) α ) να δειχθεί ότι οι α, α, α αποτελούν τρεις πρώτους διαδοχικούς όρους α- ριθμητικής προόδου β ) να βρεθεί η τιμή του α αν το 4 -, όπου το 4 το άθροισμα των 4 πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου γ ) αν α 4 π, να υπολογιστεί το 0, των 0 πρώτων όρων της ΑΠ δ ) να βρεθεί ο βαθμός του πολυωνύμου : Ρ(χ) 5 χ 5 + 4 χ 4 + χ + χ + χ + 005