ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε - ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού

2 ΑΣΚΗΣΗ Το βάρος μαθητών σε κιλά είναι : 5, 5, 57, 5, 6, 5, 5, 5, 57, 5 Να υπολογίσετε : α ) τη μέση τιμή β ) τη διάμεσο γ ) το εύρος Θα κάνω πίνακα συχνοτήτων. Υπενθυμίζουμε ότι κάθε πίνακας συχνοτήτων παριστάνει τα δεδομένα σε αύξουσα σειρά. Το βάρος των μαθητών στην άσκηση είναι μια διακριτή μεταβλητή. Οι τιμές της είναι οι : χ 5, χ 5, χ 57 και χ 6. Τιμές χ ι Συχνότητες ν ι χ ι ν ι Σύνολο 5 α ) å i n i i 5 5, κιλά n β ) Το μέγεθος του δείγματος είναι, άρτιο, οπότε η διάμεσος είναι το ημιάθροισμα της 5 ης και της 6 ης τιμής ( αφού πρώτα έχουν τοποθετηθεί σε αύξουσα σειρά ). 5 5 Άρα δ 5 κιλά. γ ) Το εύρος συμβολίζεται με R και είναι η διαφορά της μεγαλύτερης τιμής του δείγματος από την μικρότερη τιμή. Δηλαδή : R 6 5 κιλά. ΑΣΚΗΣΗ Τα δέκα τμήματα της Α Λυκείου ενός σχολείου της Αττικής, έχουν το εξής πλήθος μαθητών : Να βρείτε :, 6,,, 8, 6, 8,, 5, α ) τη μέση τιμή β ) τη διάμεσο γ ) το εύρος δ ) την επικρατούσα τιμή. Θα κάνω πίνακα συχνοτήτων. Το πλήθος των μαθητών είναι μια διακριτή μεταβλητή. Οι τιμές της είναι : χ, χ, χ 5, χ 6, χ 5 8, χ 6, χ 7, χ 8 6.

3 Τιμές χ ι Συχνότητες ν ι α ) 8 å i n i i 8 8 μαθητές, n 8 8 β ) δ 8 μαθητές, το δείγμα είναι άρτιο άρα είναι το ημιάθροισμα των δυο μεσαίων τιμών. γ ) R μεγαλύτερη τιμή μικρότερη τιμή 6 μαθητές. Σύνολο 8 δ ) Επικρατούσα είναι η τιμή με την μεγαλύτερη συχνότητα, συμβολίζεται με Μ, εδώ έχουμε δυο επικρατούσες τιμές, τις 8 και και η μεταβλητή ονομάζεται δικόρυφη. Άρα Μ 8 και χ ι ν ι ΑΣΚΗΣΗ Οι ημερήσιες θερμοκρασίες που παρατηρήθηκαν στην Φλώρινα σε διαδοχικές μέρες ήταν : Να υπολογιστούν : 5, 5, 6, 8, 8, 6, 7, 8, 7, α ) η μέση τιμή β ) τη διάμεσο γ ) το εύρος δ ) τη διασπορά ε ) την επικρατούσα τιμή. Οι θερμοκρασίες της άσκησης είναι μια διακριτή μεταβλητή με τιμές : χ 5, χ 6, χ 7, χ 8, χ 5. Θα κάνω πίνακα συχνοτήτων. Τιμές χ ι Συχνότητες ν ι χ ι ν ι ( χ ι ) ν ι ( χ ι ) Σύνολά 7 α ) 5 å i n i i 7 7 n β ) Το μέγεθος του δείγματος είναι άρτιο, άρα 7 7 δ 7 γ ) R 5 6

4 n ( ) n ( )... δ ) S ån ( i n n 5 i i ) 5 ε ) Μ 8, με συχνότητα. ΑΣΚΗΣΗ Ο πίνακας παρουσιάζει των αριθμό των παιδιών που έχουν οι οικογένειες μιας πολυκατοικίας της Κυψέλης. Αριθμός Παιδιών i 5 Οικογένειες n i 7 Να υπολογίσετε : α ) τη μέση τιμή β ) τη διάμεσο γ ) το εύρος δ ) την τυπική απόκλιση ε ) τον συντ. μεταβλητότητας Ο αριθμός των παιδιών είναι μια διακριτή μεταβλητή. Για να υπολογίσω τα ερωτήματα της άσκησης θα κάνω πίνακα συχνοτήτων. χ ι ν ι χ ι ν ι ( χ ι ) ν ι ( χ ι ) Σύνολα α ) 6 å i n i i 5 παιδιά n 5 β ) Το μέγεθος του δείγματος είναι περιττό, συνεπώς η διάμεσος είναι η μεσαία τιμή. Άρα δ η τιμή γ ) R 5 5 παιδιά δ ) s 6 å i v ( i i n ) 8 8 παιδιά 5 5

5 ε ) CV s Αν μας ρωτούσανε να εξετάσουμε αν το δείγμα είναι ομοιογενές, τότε θα έπρεπε να κάνουμε τα εξής (χωρίς υπολογιστή τσέπης βέβαια ) Η ρίζα του 7 είναι ένας αριθμός μεταξύ του και του, δηλαδή : 7 7 < 7 < Þ < < Þ, < <, 6 Þ Þ, < Cs <,6 Þ % < Cs < 6%, άρα το δείγμα δεν είναι ομοιογενές. 7 5, ΑΣΚΗΣΗ 5 Ο πίνακας παρουσιάζει τις ηλικίες των υπαλλήλων ενός εργοστασίου: Ηλικία [ ) Υπάλληλοι n i Να υπολογίσετε : α ) τη μέση τιμή β ) την τυπική απόκλιση γ ) τον συντ. μεταβλητότητας Εδώ έχουμε μια συνεχή μεταβλητή. Ο πίνακας συχνοτήτων είναι ο παρακάτω: [ ) Συχνότητες Κέντρα ν ι Ο ι ν ι Ο ι ( Ο ι ) ν ι ( Ο ι ) Αθροίσματα 68 6

6 α ) 5 å Oi n i i 68 χρόνων, n 5 å v i ( O i ) i 6 β ) s n χρόνια s 9 9 γ ) CV, αν μας ρωτούσανε να εξετάσουμε αν το δείγμα είναι ομοιογενές, τότε θα κάναμε τα εξής : Ο αριθμός 9 βρίσκεται μεταξύ του 5 και του 6, άρα : < 9 < 6 Þ < < Þ, < <,8 Þ % < Cs < 8% Άρα το δείγμα δεν είναι ομοιογενές. ΑΣΚΗΣΗ 6 Ένα δείγμα τριών παρατηρήσεων έχει διάμεσο, εύρος 9 και μέση τιμή. Να βρεθούν οι τρεις αυτές παρατηρήσεις. Έστω ότι οι τρεις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά είναι οι εξής : χ, χ, χ. Επειδή η διάμεσος είναι, θα είναι η μεσαία τιμή, δηλαδή χ. Επειδή R 9 Þ χ χ 9 (σχέση ) Εφόσον Þ χ χ 9 (σχέση ) Þ Þ χ χ Þ Από την σχέση και προκύπτει ένα σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους και λύνετε με πρόσθεση των δυο εξισώσεων κατά μέλη. ì 9 í Þ î 9 8 Þ 9, και το χ υπολογίζεται από την πρώτη σχέση χ 9 9, άρα οι παρατηρήσεις είναι οι :,, 9 5

7 ΑΣΚΗΣΗ 7 Οκτώ διαδοχικοί περιττοί αριθμοί έχουν μέση τιμή 6. Να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί καθώς και η διάμεσος τους. Έστω ότι οι 8 διαδοχικοί περιττοί είναι οι : χ κ,χ κ,χ κ, χ κ6, χ 5 κ8,χ 6 κ,χ 7 κ,χ 8 κ Τότε : k ( k )...( Þ 6 8 k ) Þ 6 8 8κ56Þ 8 8κ56 Þ 7 8κ Þ κ 9. Άρα οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι : 9,,, 5, 7, 9,, ΑΣΚΗΣΗ 8 Η μέση τιμή και η διάμεσος επτά αριθμών είναι 8. Οι πέντε από αυτούς είναι : Να βρεθούν οι άλλοι δυο., 5,,,. Το δείγμα είναι μεγέθους 7. Η διάμεσος είναι 8, όμως η διάμεσος είναι η μεσαία παρατήρηση. Η μεσαία τιμή από τις επτά είναι η η. Άρα οι αριθμοί σε αύξουσα σειρά είναι οι :, 5, k, 8,,,. Ονομάζω την τιμή που λείπει κ. Αυτή θα είναι μια από τις τρεις πρώτες. Γνωρίζουμε ότι 8, άρα έχουμε: 5 8 k 8 Þ 8 7 Þ 5 κ 56 Þ κ 6. Οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι :, 5, 6, 8,,,. ΑΣΚΗΣΗ 9 Σε ένα δείγμα μεγέθους οι τιμές μιας μεταβλητής είναι,, 5, 7, 8, ψ. Η τιμή ψ είναι διαφορετική από τις άλλες και δεν είναι μικρότερη. Επίσης έχουμε τον πίνακα : 6

8 i Ψ n 5 ; ; i α ) αν το εύρος είναι 6 να βρεθεί ο ψ, β ) να βρεθούν οι συχνότητες των τιμών 8 και ψ αν υπάρχουν δυο επικρατούσες τιμές, γ ) να βρεθεί η διάμεσος. α ) R ψ Þ 6 ψ Þ ψ 9, β ) Ονομάζω την συχνότητα του 8 ν 5 και την συχνότητα του 9 ν 6. ν ν ν ν ν 5 ν 6 Þ 5ν 5 ν 6 Þ ν 5 ν 6 7. Όμως υπάρχουν δυο επικρατούσες τιμές. Άρα μια εκ των ν 5, ν 6 είναι 5 και η άλλη είναι. Συνεπώς : ( ν 5 5, ν 6 ) ή ( ν 5, ν 6 5 ) γ ) Το μέγεθος του δείγματος είναι, άρα η διάμεσος είναι το ημιάθροισμα της ης και της ης τιμής. Οι δυο περιπτώσεις του (β) ερωτήματος δεν μας επηρεάζουν, διότι και η η και η η τιμή είναι το Οπότε : δ 7. ΑΣΚΗΣΗ Η μέση ηλικία 6 αγοριών και κοριτσιών μιας τάξης είναι 5, χρόνια. Εάν η μέση ηλικία των κοριτσιών είναι,8 χρόνια, να βρείτε τη μέση ηλικία των αγοριών. Έστω,,,.... 6, ηλικίες αγοριών 7, 8, Ζητάμε να βρούμε το κλάσμα : ηλικίες κοριτσιών 6 å i i A 6 των 6 ηλικιών , αρκεί να βρω τον αριθμητή, δηλαδή το άθροισμα 8 å i i Γνωρίζω ότι : B Þ,8 Þ,

9 Και επίσης : (... 6 ) ( ) Þ 5, 8 (... 6 ) ( ) Þ 5,6 (χ χ.χ 6 ) ( χ 7 χ 8 χ 8 ) Þ 5,6,8 χ χ.χ 6 Þ 8 χ χ.χ 6, οπότε ο ζητούμενος μέσος όρος είναι : 6 å i i... 6 A 8 5, 5 χρόνια ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση : f() ìa, ³ í î a 6, < Να υπολογιστούν : α ) f() β ) f() γ ) ο αριθμός α ώστε να υπάρχει το όριο στο χ. α ) f() (α χ) α β ) f() (α 6 ) α 6 γ ) Για να υπάρχει το όριο στο χ, πρέπει να ισχύει : f() f() Έχουμε : α α 6 Þ 7 α Þ 9 α Þ α ± 9 Þ α ± ΑΣΚΗΣΗ ì a, > Δίνεται η συνάρτηση : f() í î a, < Να υπολογιστούν : α ) f(), f() β ) f(), f() 8 γ ) τον αριθμό α ώστε να ισχύει : f()

10 α ) f() α α, f() α α β ) f() (χα) α 6 α f() (χα ) α α γ ) Για να υπάρχει το όριο f() και να είναι ίσο με πρέπει να ισχύει : f() f(), άρα από το (β) ερώτημα ισχύει : f() Þ f() Þ α Þ 6 α Þ α ± α Για ισχύει f() f() η ζητούμενη τιμή είναι : α, γιατί για α το f() δεν είναι ίσο με αλλά με 8. ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση : f() ìa b, > í, îa b, Να υπολογιστούν : α ) f() β ) f(), f() γ ) τις τιμές των α, β για τις οποίες ισχύει : f(). α ) f() α β () α β β ) f() (αβχ) α β f() (αχ β) α () β αβ γ ) Για να είναι : f() Þ f() και f(), θα προκύψει το παρακάτω σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους, 9

11 ïì a b ìa b ì a b í Þ í Þ í Þ a ïî a b î a b 6 î a b, το β θα προκύψει αντικαθιστώντας σε μια από τις αρχικές εξισώσεις. Αντικαθιστώντας στην πρώτη βρίσκουμε : β Þ β Þ β. ΑΣΚΗΣΗ Να υπολογιστούν τα όρια : ι ) 6 ιι ) ( ) 7 ( 6) 5 ιιι ) ιν) 9 9 ι ) Η συνάρτηση f(), ορίζεται για όλα τα χ για τα οποία ισχύει : 6 χ 6 ¹ Þ χ ¹ 6 Þ χ ¹ Þ χ ¹ ±. 6 ( ) ( ) 6, θα κάνουμε παραγοντοποίηση σε αριθμητή και παρανομαστή για να διώξουμε την απροσδιοριστία, έχουμε : 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) 7 ιι ) Η συνάρτηση f() ορίζεται για όλα τα χ για τα οποία ισχύει : ( 6) 5 χ ¹ (χ6) 5 ¹ Þ (χ6) ¹ 5 Þ χ6 ¹ ± 5 Þ χ ¹ 6 ± 5 χ ¹

12 ( ) 7 ( 6) 5.., θα κάνω παραγοντοποίηση χρησιμοποιώντας τις ταυτότητες : α β (αβ) (αβ) και α β (αβ) (α αββ ) ( ) 7 ( 6) 5 ( ) ( ) [( ) ( ) ] ( 6) 5 ( 6 5) ( 6 5 ) ( ) [( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) 7 ιιι ) Η συνάρτηση : f(), ορίζεται όταν : χ ¹ Þ χ ¹., θα κάνω παραγοντοποίηση στον αριθμητή, ( ) χ ιν ) Η συνάρτηση f() 9 9, ορίζεται όταν : χ ¹ Þ χ ¹ 9 9.., θα κάνω παραγοντοποίηση στον αριθμητή κατά ομάδες, έχουμε : 9 9 ( ) 9( ) ( )( 9) (χ 9) 8 ΑΣΚΗΣΗ 5 Ομοίως τα παρακάτω όρια : ι ) ιι ) ιιι ) 5 ι ) Η συνάρτηση f(), ορίζεται όταν : 6 î íì 6 ¹ î íì ¹ 6 Þ ³ ³

13 6 6, θα πολλαπλασιάσω και θα διαιρέσω με την συζυγή παράσταση του αριθμητή δηλαδή την παράσταση :. 6 6 ( )( (6 )( ) ( ) 6 ) 6 (6 )( ) 6 ( 6)( 6 ) 6 ( ) 6 8 ιι ) Η συνάρτηση της οποίας μας ζητούν να υπολογίσουμε το όριο ορίζεται ïì ³ ì ³ ì ³ όταν : í Þ í Þ í ïî 9 ¹ î ¹ 9 î ¹ ±., θα πολλαπλασιάσω και θα διαιρέσω με την 9 παράσταση :, έχουμε : 9 ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ιιι ) Η συνάρτηση : f() ì 5 ï, ορίζεται όταν : í ï î 5 ³ ì ³ ³ Þ í î ¹ ¹ 5.., εδώ έχω δυο συζυγείς παραστάσεις, θα πολλαπλασιάσω και θα διαιρέσω με τις :, 5. 5 ( 5 )( ( )( )( 5 )( ) 5 )...

14 ΑΣΚΗΣΗ 6 Δίνεται η f() ì ï í ïî 5 6, ¹. Να υπολογιστούν : a, α ) f(), f() β ) η τιμή του α ώστε η f() να είναι συνεχής στο. α ) f() , f() β ) Για να είναι συνεχής η f() στο χ, πρέπει να ισχύει η σχέση : f() f() () Θα υπολογίσω πρώτα το f() και κατόπιν το f(). Για να υπολογίσω αυτό το όριο δεν θα πάρω πλευρικά, γιατί η f() δεν αλλάζει τύπο δεξιά και αριστερά του. f() α, f() , θα κάνω παραγοντοποίηση στον αριθμητή. Ο αριθμητής είναι τριώνυμο. Θα πρέπει να βρω τις ρίζες του, κατά τα γνωστά. 5 6 ( )( ) (χ) Συνεπώς α, από σχέση (). ΑΣΚΗΣΗ 7 Να εξετάσετε αν η f() ορισμού της. ì ï í ïî, ¹, είναι συνεχής σε όλο το πεδίο 5,

15 Το πεδίο ορισμού της f() είναι το Â. Για όλα τα χ ¹ η f() είναι συνεχής ως ρητή συνάρτηση. Θα εξετάσω αν είναι συνεχής στο, Για να είναι συνεχής η f() στο χ, θα πρέπει να ισχύει: f() f() f() 5, για να είναι λοιπόν συνεχής θα πρέπει και το όριο να βγει 5, είναι : f() άσκηση...., θα το υπολογίσω όπως στην προηγούμενη f() ( )( ) (χ). Συνεπώς η f() όχι συνεχής στο χ. ΑΣΚΗΣΗ 8 Να παραγωγίσετε τις παρακάτω συναρτήσεις : α ) f () χ 5 χ χ β ) f () συνχ γ ) f () (χ). ln δ ) f () (χ) ε ) f 5 (), χ > στ ) f6 () (χ) 5 ζ ) f 7 () ημ χ η ) f 8 () ln e θ ) f 9 () 5 α ) f () (χ 5 ) (χ ) (χ) 5 χ χ β ) f () ( ) (συνχ) ημχ γ ) f () (χ) (χ) ( ) (χ)

16 δ ) f () (χ) χ (χ) (χ ) χ (χ) χ χ χ χ χ χ ln ln ( ln ) ln ε ) f 5 (), χ > στ ) f 6 () [(χ) 5 ] 5 (χ) (χ) 5 (χ) (χ) ζ ) f 7 () (ημ χ) ημχ (ημχ) ημχ συνχ η ) f 8 () ( e ) e (χ) e θ ) f 9 () ( ln 5 ) (χ ) () χ ΑΣΚΗΣΗ 9 Για τις συναρτήσεις : f() χ e ημ, g() χ ln a, α ) βρείτε τις παραγώγους : f (), f (), g (), g (), β ) υπολογίστε τους αριθμούς : f (), g (). α ) f () χ e χ e συνχ, g () χ f () (χ e ) (χ e ) ( συνχ) e χ g () (χ ) e χ e χ e ημχ β ) f () e e συν ( Θυμίζουμε : e, συν ) g ( ) 5 ΑΣΚΗΣΗ Έστω η συνάρτηση f() ì, í. Να εξεταστεί αν η f() είναι : î, > 5

17 ι ) συνεχής στο, ιι ) παραγωγίσιμη στο. ι ) Για να είναι συνεχής στο χ, θα πρέπει να ισχύει : f() f(). Όμως για το όριο του αλλάζει τύπο. f(), θα πάρω πλευρικά γιατί η f() δεξιά και αριστερά (χ) 6 5, (χ ) Επειδή f() ¹ f(), το όριο συνεχής στο. f() δεν υπάρχει, άρα η f() όχι ιι ) όχι συνεχής στο Þ όχι παραγωγίσιμη στο. ΑΣΚΗΣΗ Θεωρούμε τη συνάρτηση f() ì í î,, να υπολογίσετε :, > α) τον τύπο της f() για χ ¹, β) τους αριθμούς f(), f(5), γ) Είναι παραγωγίσιμη στο ; α ) Για χ < είναι : f () (χ χ) χ Για χ > είναι : f () (χ) ( για κάθε χ > η παράγωγος είναι ) β ) Για χ θα πάω στην παράγωγο για χ >,άρα : f () Για χ 5 θα πάω στην παράγωγο για χ >, άρα : f (5) γ ) Θα πρέπει τα όρια : ίσα. h f ( h) h f ( ), h f ( h) h f ( ) να είναι 6

18 Για το πλευρικό : h f ( h) h f ( ) έχουμε : f( χ h ) f( h ) f(h) h h, f( χ ) f() h h h h h(h ) h h (h ) h Για το πλευρικό : h f ( h) h f ( ) έχουμε : f(χ h ) f(h) h, f( χ ) f() h h h Άρα η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και f (). ΑΣΚΗΣΗ ì, Δίνεται η συνάρτηση : f() í, εξετάστε αν η f() είναι : î ln, > α ) συνεχής στο ; β ) παραγωγίσιμη στο ; γ ) υπολογίστε τις παραγώγους : f (), f () α ) Για να είναι συνεχής στο πρέπει να ισχύει : Θα πάρω πλευρικά : f() (χ χ) f() f() f() ( lnχ) Άρα η f() όχι συνεχής στο. β ) Όχι συνεχής στο Þ όχι παραγωγίσιμη στο γ ) Για χ < : f () (χ χ) χ, άρα f () Για χ > : f (), άρα : f () 5. 7

19 ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση : f() συνχ ημχ, α ) υπολογίστε f (), β ) αποδείξτε ότι : f () f(), για κάθε χî Â. α ) f () ημχ συνχ, f () συνχ ημχ β ) f () f() συνχ ημχ συνχ ημχ ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση : f() χ χ, α ) υπολογίστε f (), β ) υπολογίστε τους αριθμούς : f (), f () γ ) αποδείξτε ότι : χ ( f () ) f(). α ) f () χ β ) f(), f () γ ) Για να δείξω τη σχέση ξεκινάω από το πρώτο μέλος και κάνοντας πράξεις καταλήγω στο δεύτερο : χ ( f () ) χ (χ) χ (χ) χ χ (χ χ) f() ΑΣΚΗΣΗ 5 Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας των συναρτήσεων : α ) f() χ χ β ) h() χ 6χ γ ) g() χ χ χ5 α ) f () χ, βρίσκω τις ρίζες της παραγώγου λύνοντας την εξίσωση : 8

20 f () Þ χ Þ χ. Η μονοτονία της φαίνεται στον παρακάτω πίνακα : f () f () β ) h () χ χ, οι ρίζες της παραγώγου είναι : h () Þ χ χ Þ χ(χ) Þ χ ή χ. Η μονοτονία της φαίνεται στο πινακάκι : h () h() γ ) g () χ χ, Δ 6 8 < δεν έχει πραγματικές ρίζες. g () g() ΑΣΚΗΣΗ 6 Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα των συναρτήσεων : α ) h() β ) f() 8χ χ 6χ6 γ ) f()χ ln α ) Πεδίο ορισμού : Â, h () ( ), θα λύσω την εξίσωση : h () Þ ( ) Þ χ Þ 8χ Þ χ, το πρόσημο της h () φαίνεται στον πίνακα: h () h() Για χ η h() έχει τοπικό ελάχιστο το σημείο : (, h() ) 9

21 β ) f () χ χ6 6 (χ χ), λύνω την εξίσωση : f () Þ Þ 6 (χ χ) Þ χ χ, Δ, ρίζα χ / f () f () Η f() δεν έχει ακρότατα, είναι σε όλο το Â γνησίως αύξουσα. γ ) Πεδίο ορισμού : Α (, ), f () (χ ) ln χ ( ln) χ ln χ Þ f () χ ( ln ), λύνω την εξίσωση : f () Þ χ ή ln Þ e h () h() e Έχω τοπικό ελάχιστο για χ. e ΑΣΚΗΣΗ 7 Δίνεται η συνάρτηση : f() α χln η οποία παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο. α ) υπολογίστε f (), β ) υπολογίστε τον αριθμό α, γ ) βρείτε το είδος του ακρότατου καθώς και την τιμή του. α ) f () αχ β ) εφόσον παρουσιάζει ακρότατο για χ από το Θεώρημα του Fermat έχω f () Þ α Þ α

22 γ ) Θα πρέπει να εξετάσω τη μονοτονία : f () χ και f () Þ Þ χ, και f () > όταν χ > και f () < όταν χ < άρα το χ είναι τοπικό ελάχιστο. ΑΣΚΗΣΗ 8 Δίνεται η συνάρτηση g() α, Î Â, η οποία παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο. α ) βρείτε την παράγωγο της g(). β ) βρείτε τον αριθμό α. γ ) Αποδείξτε ότι η g() παρουσιάζει και δεύτερο ακρότατο και βρείτε το είδος και την τιμή του. α ) g () α χ 6χ, β ) Από το Θεώρημα του Fermat, έχω : g ( ) Þ g () Þ Þ 7 α 8 Þ α γ ) Εφόσον α, g () χ 6χ Þ g () χ 6χ. Και θα εξετάσω τη μονοτονία, g () Þ χ (χ) Þ χ ή χ Το πρόσημο της παραγώγου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα : g () g() Για χ η g() παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. ΑΣΚΗΣΗ 9 Έστω f() α β χ, όπου α, β πραγματικοί αριθμοί. α ) βρείτε τον τύπο της παραγώγου της f() β ) αν η f() παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα και, ι ) υπολογίστε τα α,β

23 ιι ) βρείτε το είδος του ακρότατου καθώς και την τιμή τους. α ) f () αχ βχ β ) Από το Θεώρημα του Fermat έχω : f () Þ α β ( ) f () Þ α β ( ) Οι σχέσεις () και () είναι ένα σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους, λύνοντας το βρίσκω : α και β 9. γ ) Μέσω του ερωτήματος (β) έχουμε : f () 6χ 8χ 6 (χ χ) Η εξίσωση : f () Þ. Þ χ ή χ και κάνοντας πίνακα με το πρόσημο της παραγώγου προκύπτει ότι το χ είναι θέση τοπικού μεγίστου και το χ θέση τοπικού ελαχίστου. ΑΣΚΗΣΗ Η θέση ενός σημείου που εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση σε άξονα δίνεται από τον τύπο: χ( t) t 6t 9t, όπου χ μετριέται σε μέτρα και το t σε δευτερόλεπτα. α) βρείτε τον τύπο της ταχύτητας. β) πότε το σημείο είναι ακίνητο; γ) ποια η ταχύτητα του σε και σε δευτερόλεπτα; α ) Η ταχύτητα είναι η παράγωγος της θέσης, δηλαδή : u ( t ) χ ( t ) t t 9 ( t t ) β ) Το σημείο ακίνητο όταν : u ( t ) Þ ( t t ) Þ Þ t ή t (δευτερόλεπτα) γ ) Ψάχνουμε το : u ( ) και u ( ) u ( ) (8) m/sec, u ( ) (66) 9m/sec

24 ΑΣΚΗΣΗ Η συνάρτηση f : Â à Â είναι παραγωγίσιμη στο και παρουσιάζει σε αυτό τοπικό ακρότατο με τιμή. α ) Υπολογίστε τους αριθμούς : ι ) f() ιι ) f() ιιι ) f() β ) Αν δίνεται επίσης η συνάρτηση g() ( ) f(), υπολογίστε τους αριθμούς: g(), g(). ι ) Εφόσον η τιμή του ακρότατου είναι και το ακρότατο είναι σημείο της συνάρτησης είναι : f () ιι ) Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, άρα και συνεχής στο οπότε : f() f () Þ f() ιιι ) Από το Θεώρημα του Fermat, γνωρίζω ότι στη θέση του ακρότατου η παράγωγος είναι μηδέν άρα : f () β ) Από τον τύπο της συνάρτησης για χ προκύπτει : g() () f () Þ g() 9 Και παραγωγίζοντας την g() έχω : g () (χ ) f () (χ ) f () Þ Þ g () χ f() (χ ) f (), δεν μπορώ να προχωρήσω διότι δεν γνωρίζω την f (), μου ζητούν όμως το g (), με αντικατάσταση όπου χ το προκύπτει : g () f () () f () Þ g () ΑΣΚΗΣΗ Ένα σώμα αφήνεται να πέσει τη χρονική στιγμή t, από ύψος 5 μέτρων. Αν αγνοήσουμε την αντίσταση του αέρα, σε χρόνο t δευτερολέπτων το σώμα διανύει απόσταση ( t ) 5 t σε μέτρα. Να βρείτε : α ) Τι διάστημα έχει διανύσει σε δευτερόλεπτα και πόσο απέχει από το έδαφος. β ) Σε πόσα δευτερόλεπτα το σώμα θα φτάσει στο έδαφος;

25 γ ) Τι ταχύτητα θα έχει τη στιγμή της επαφής με το έδαφος; α ) Το διάστημα που έχει διανύσει το σώμα σε δευτερόλεπτα είναι : χ () 5 5 μέτρα, άρα θα απέχει από το έδαφος : 55 8 μ β ) Θα φτάσει στο έδαφος όταν θα έχει διανύσει 5 μέτρα δηλαδή πρέπει να λύσω την εξίσωση : ( t ) 5 Þ 5 t 5 Þ t 5 Þ t 5 Þ 5 Þ t ± 5 ± 5, βεβαίως δεχόμαστε την θετική λύση διότι το t είναι χρόνος. Άρα σε t 5 δευτερόλεπτα το σώμα φτάνει στο έδαφος. γ ) Πρώτα θα βρω την ταχύτητα : u ( t ) χ ( t ) Þ u ( t ) t m/sec Σε 5 δευτερόλεπτα το σώμα φτάνει στο έδαφος οπότε η ταχύτητα του όταν φτάσει είναι : u ( 5) 5 5 m/sec ΑΣΚΗΣΗ Για την συνάρτηση : f : Â àâ, γνωρίζουμε ότι f() 6, Î Â. α ) Λύστε την εξίσωση f(). β ) Μελετήστε την f() ως προς τη μονοτονία και βρείτε τις θέσεις των τοπικών ακρότατων της. γ ) Αν το τοπικό μέγιστο της f() είναι, να βρείτε τον τύπο της f(). α ) f () Þ χ 6χ Þ χ (χ) Þ χ ή χ β ) Θα κάνω πίνακα προσήμου της παραγώγου για να εξετάσω την μονοτονία : f () f ()

26 Η f () είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα : (, ] και [, ) Η f () είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα : [, ] και παρουσιάζει τοπικό μέγιστο για χ και τοπικό ελάχιστο για χ. γ ) Το τοπικό μέγιστο της f () είναι σημαίνει ότι : f (). Για να βρω τον τύπο της f () πρέπει να βρω το γενικό τύπο των παραγουσών της f (), δηλαδή : f () 6 c Þ f() χ χ c. Για να βρω την σταθερά c χρησιμοποιώ την εξίσωση : f () Þ c Þ c Άρα : f () χ χ ΑΣΚΗΣΗ Μια καθημερινή τηλεοπτική εκπομπή προβλήθηκε για πρώτη φορά όταν t. Η θεαματικότητα της ως συνάρτηση του t δίνεται από τον τύπο : Q( t ) t ( t), όπου t Î[,5]. α ) βρείτε τη χρονική στιγμή κατά την οποία η θεαματικότητα γίνεται μέγιστη β ) ποια η μέγιστη θεαματικότητα ; γ ) πότε η θεαματικότητα αυξάνεται και πότε μειώνεται ; α ) Θ (t) ( t) (t) ( t ) (t) () (t) t Þ Θ (t) t t t 5 t Λύνω την εξίσωση : Θ (t) Þ 5 t Þ t Και Θ (t) > Þ 5 t > Þ t <, το πρόσημο της Θ(t) είναι : 5 Θ (t) Θ(t) 5

27 Έχω μέγιστο για t αφού η συνάρτηση αλλάζει πρόσημο γύρω από το. β ) Η μέγιστη θεαματικότητα είναι : Θ() () % γ ) Η θεαματικότητα αυξάνεται στο διάστημα : [, ] και μειώνεται στο [, 5 ]. ΑΣΚΗΣΗ 5 Συμπληρώστε τον πίνακα : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ (χ 5χ) χ e ln συν χ 5 e 5 l ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ι ) [ (χ 5χ) ] (χ 5χ) (6χ5) ιι ) (χ e ) χ e χ e ln ιιι ) ( ln ln ) ιν ) (συν χ) συνχ (ημχ) συνχ ημχ 5 ν ) ( e ) (5 χ e ) 5 () χ 5 νι ) ( 5 l ) χ χ λ 5χ χ χ 5λχ ΑΣΚΗΣΗ 6 Δίνεται η παράγωγος μιας συνάρτησης : f () 9 χ 9 α ) εξετάστε τη μονοτονία της f (), 6

28 β ) βρείτε τον αριθμό : f () γ ) αν η συνάρτηση f () διέρχεται από το σημείο (, ), βρείτε τον τύπο της f () α ) Θα λύσω την εξίσωση : f () Þ 9χ 9 Þ χ Þ χ ± Εκτός των ριζών είναι ομόσημο του 9 και εντός ετερόσημο του 9, δηλαδή : Η f() είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα : (, ] και [, ) και είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα : [, ]. β ) Για χ στην παράγωγο έχω : f () 9 9 γ ) Για να βρω την συνάρτηση πρέπει να βρω το γενικό τύπο των παραγουσών της f(). Έχουμε : f() 9 9χ c Þ f () χ 9χ c Η f () διέρχεται από το (, ) άρα : f () Þ 9 c Þ c 6 Ο τύπος της f () είναι : f () χ 9χ 6. ΑΣΚΗΣΗ 7 Το κέρδος (σε ευρώ) μιας εταιρείας συναρμολόγησης Η/Υ, σε σχέση με το πλήθος Η/Υ που πουλά μηνιαίως, δίνεται από τον τύπο : f()., όπου. α ) Πόσους Η/Υ πρέπει να πουλά μηνιαίως ώστε να μεγιστοποιεί τα κέρδη της; β ) Ποιο το μέγιστο δυνατό κέρδος της εταιρείας το χρόνο; α ) Θα πρέπει να βρω ακρότατα : f () χ, f () Þ Þ χ Þ χ f () f () 7

29 Το κέρδος είναι μέγιστο για χ, δηλαδή όταν πουλά Η/Υ. β ) Το μέγιστο δυνατό κέρδος είναι : f (). Þ Þ f (). 8.. Þ f (). 8