Ο ρόλος των αναπαραστατικών μέσων στην επίλυση προβλήματος

ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΔΙΑΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΜΑΘΗΜΑ: ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ: ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: Μ. ΤΖΕΚΑΚΗ Ο ρόλος των αναπαραστατικών μέσων στην επίλυση προβλήματος ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ: Ασπρούλη Μαρία 691 Διαμαντοπούλου Ελευθερία 697 Καπλάνη Θεοδώρα 699 Παπαδόπουλος Φώτης 708 Στογιάννου Γεωργία 719 Τόνα Μαγδαληνή 696 Θεσσαλονίκη, 2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΑΝΑΦΟΡΕΣ 1. Arcavi, A. (2003). The Role of Visual Representations in the Learning οf Mathematics. Educational Studies in Mathematic, 52: 215 241. 2. Booth, R. D.L., & Thomas, M.O.J. (2000). Visualization in Mathematics Learning: Arithmetic Problem-solving and Student Difficulties. Journal of Mathematical Behavior, 18 (2): 169-190. 2 1

Καπλάνη Θεοδώρα 699 Στογιάννου Γεωργία 719 Τόνα Μαγδαληνή 696 1 The Role of Visual Representations in the Learning οf Mathematics Arcavi, A. (2003) 3 Στόχος Να καθορίσει την οπτικοποίηση, να αναλύσει και να δώσει αρκετά παραδείγματα, τα οποία αντανακλούν τους πολλούς διαφορετικούς και πλούσιους ρόλους που διαδραματίζει στην μάθηση και διεξαγωγή των μαθηματικών. 4 2

Seeing the unseen Όραση: κεντρική για τον άνθρωπο σημαντική πηγή πληροφόρησης Οπτικοποίηση: προσφέρει μια μέθοδο για να «βλέπεις αυτό που δε φαίνεται» (seeing the unseen), προχωρά πέρα από την αίσθηση της όρασης Έτσι, θέτουμε ερωτήσεις γι αυτό που αφηρημένο Π.χ. η τεχνολογία βοηθά ως μέσο να προηγουμένως κόσμο, χωρίς ξεπεράσουμε δε βλέπαμε τα όρια και της όρασης, καμιά ηλεκτρονική της σκέψης, αναπτύσσουμε τεχνολογία που της μάθησης την κατανόησή και της επίλυσης μπορεί προβλήματος να «δει» 5 μας Αναφέρεται σε έναν πιο για μας Μπορεί να αναπτύξει οπτικά μέσα για να «βλέπουμε» καλύτερα τις μαθηματικές ιδέες και περιεχόμενα Αφού τα μαθηματικά βασίζονται στην οπτικοποίηση για την ερμηνεία και επεξεργασία αντικειμένων και ποσοτήτων Seeing the unseen Η οπτικοποίηση είναι η ικανότητα, η διαδικασία και το προϊόν της δημιουργίας, της χρήσης και της ερμηνείας των εικόνων, των διαγραμμάτων στο μυαλό μας, στο χαρτί ή με τη βοήθεια των τεχνολογικών εργαλείων με σκοπό την απεικόνιση και μετάδοση πληροφοριών, αναπτύσσοντας τις προηγούμενες άγνωστες ιδέες και εξελίσσοντας την κατανόησή μας (Zimmermann & Cunningham, 1991) and Hershkowitz et al.,1989). 6 3

«Ένα διάγραμμα αξίζει όσο χίλιες+ λέξεις» Εκστρατεία του Ναπολέοντα-1812 Charles Joseph Minard Τα γραφήματα αποκαλύπτουν πληροφορίες με μεγαλύτερη ακρίβεια: Δισδιάστατη και μη γραμμική απεικόνιση πληροφοριών Οργάνωση των πληροφοριών σε ομάδες που ερμηνεύονται με μια ματιά 7 Παραδείγματα Η ιδιότητα (mediant property) των θετικών κλασμάτων: a/b < a+c/b+d < c/d (Flegg, Hay & Moss, 1985) Η οπτικοποίηση μπορεί να συνοδεύει την συμβολική ανάπτυξη της απόδειξης Ένας τρόπος να (προσ)φέρουμε τη γεωμετρία ως βοήθεια στις «καθαρά» συμβολικές ιδιότητες 8 4

Παραδείγματα Φανταστείτε ένα σχοινί γύρω από την περιφέρεια της γης (6.400 km σε ακτίνα). Κάποιος προτείνει να τοποθετήσουμε ένα σχοινί σε πόλους των 1,8 μέτρων (Papert, 1980) 2π(R+h)-2πR Η οπτικοποίηση εδώ εξυπηρετεί να προσαρμόσουμε τις λανθασμένες διαισθήσεις μας και να τις εναρμονίσουμε με την αδιαφανή και παγερή ορθότητα του συμβολικού επιχειρήματος 9 Παραδείγματα Ποιο είναι το κοινό χαρακτηριστικό της οικογένειας των γραμμικών εξισώσεων της μορφής: f(x)=bx+b; f(x)=bx+b= b(x+1) f( 1)=0 Ένας ακόμη ρόλος της οπτικοποίησης σε ένα συμβολικό περιεχόμενο, είναι όταν μια εικονική λύση σε ένα πρόβλημα μας εμπλέκει σε έννοιες και σημασίες που εύκολα προσπερνιούνται μια απλή συμβολική λύση 10 από 5

Παραδείγματα «Αποδείξεις χωρίς λόγια» Οι οπτικές μορφές αναπαράστασης μπορεί να είναι σημαντικές έως και νόμιμα στοιχεία της απόδειξης (Barwise and Etchemendy, 1991) 1 4 +(1 4 )2 + ( 1 4 )3 + = 1 3 (Mabry, 1999) 11 Παραδείγματα Πόσα σπίρτα χρειάζονται για να κατασκευαστεί το ακόλουθο nxn τετράγωνο; 2n (n+1) Η οπτικοποίηση οργανώνει τα δεδομένα σε δομές με νόημα που μας οδηγούν ακόμη σε μια αναλυτική εξέλιξη της λύσης (Fischbein, 1987) (2+4+ +2n) 2 Μπορεί να είναι όμως και κάτι παραπάνω, μπορεί να υπάρξει από μόνη της ως μια αναλυτική διαδικασία που να παράγει λύσεις γενικές και τυπικές 12 6

Συμπεράσματα Η οπτικοποίηση δεν αποτελεί πλέον ένα μόνο παράγοντα απεικόνισης, αλλά αναγνωρίζεται ως σύμμαχος του συλλογισμού, της επίλυσης προβλήματος κι ακόμη της απόδειξης πολιτισμικές Όμως, παρατηρούνται 3 δυσκολίες: γνωστικές κοινωνικές ΑΠΣ: Επαναξιολογήσουν τη φύση της και τον ρόλο της ως κεντρικό στην μαθηματική εκπαίδευση Τη δέχονται ή όχι; Πιο εύκολο ή πιο δύσκολο; Π.χ. μεταφορά γνώσης-αλλοίωση 13 Not all that tempts your wand ering eyes and heedless hearts, is lawful prize; Nor all, that glisters, gold. (Archavi A., 2003) Ευχαριστούμε Δεν ξέρουμε τι βλέπουμε, βλέπουμε ότι ξέρουμε Goethe 14 7

Ασπρούλη Μαρία 691 Διαμαντοπούλου Ελευθερία 697 Παπαδόπουλος Φώτης 708 2 Visualization in Mathematics Learning: Arithmetic Problemsolving and Student Difficulties Booth, R. D.L. & Thomas, M.O.J. (2000) 15 Θεωρητικό πλαίσιο (1) Χωρική ικανότητα: κατανόηση, διαχείριση, οργάνωση και ερμηνεία οπτικών συσχετίσεων ή αναπαράσταση, μετασχηματισμός, δημιουργία και ανάκληση συμβολικών, μη λεκτικών πληροφοριών (Tartre, 1990b Linn & Petersen, 1985) Οπτική εικόνα (visual imagery): γνωστικό σχήμα που απεικονίζει οπτικές και χωρικές πληροφορίες (Presmeg, 1986) 16 8

Θεωρητικό πλαίσιο (2) Μ α θ η μ ατ ι κ ά οπτική φύση της γεωμετρίας διαγράμματα πίνακες αριθμοί & πράξεις αξία θέσης ψηφίου Χ ω ρ ι κ ή ι κ α ν ότ ητ α νοεροί υπολογισμοί & οργάνωση πληροφοριών στην επίλυση προβλήματος 17 Θεωρητικό πλαίσιο (3) Brown και Wheatley (1989): Συντελεστική πληροφορίες, δεδομένα και στρατηγικές επίλυσης απομνημονεύονται, χωρίς καμία αλληλοσύνδεση μεταξύ τους Συσχετιστική χωρική η γνώση έχει δομηθεί με νόημα και είναι εκ φύσεως Fennema και Tartre (1985): Ομάδα 1 Χωρική ικανότητα Λεκτική ικανότητα Υψηλή χωρική ικανότητα ίδια ικανότητα επίλυσης Ομάδα 2 Χωρική ικανότητα Λεκτική ικανότητα διαφορετική στρατηγική 18 9

Θεωρητικό πλαίσιο (4) Μαθησιακά στυλ (learning styles): Αναλυτική (λεκτική) μάθηση Γεωμετρική (οπτική) μάθηση Αρμονική μάθηση (Brumby, 1982 & Krutetskii, 1976) 19 Θεωρητικό πλαίσιο (5) Πιθανές αρνητικές επιπτώσεις Οι μαθητές που προτιμούν να σκέφτονται οπτικά έχουν πιο χαμηλή επίδοση στα Μαθηματικά (Lean και Clements, 1981). Οι μαθητές με χαμηλές επιδόσεις στη Γεωμετρία επέλεγουν περισσότερο οπτικές παρά αναλυτικές στρατηγικές (Battista, 1990). Μια εικόνα ή ένα διάγραμμα μπορεί να οδηγήσει τον μαθητή να λαμβάνει υπόψη του μη σχετικές ή ψευδής πληροφορίες (Presmeg,1986). Οι ατέλειες ενός σχεδίου, μπορούν να δυσκολέψουν την επίλυση ενός έργου (Laborde, 1993a). 20 10

Θεωρητικό πλαίσιο (6) Ψυχολογικές συνιστώσες Piaget και Inhelder (1971) σχηματική φύση των νοερών εικόνων (schematic nature of mental imagery) Thomas (1988, 1995) μοντέλο της γνωστικής ενσωμάτωσης (model of cognitive integration) δυο ποιοτικά διαφορετικοί τρόποι σκέψης (αναλυτικός και ολιστικός) μπορούν να αλληλεπιδρούν σαν δυο διαφορετικά στοιχεία μια ενοποιημένης σκέψης πολυπλευρος (versatile) μαθητής: αυτός που κατάφερνει να κατασκευάσει νοερά σχήματα τόσο στα ανώτερα όσο και στα χαμηλότερα γνωστικά επίπεδα, συνδυάζοντας αμφίδρομες εσωτερικές διασυνδέσεις. (Tall & Thomas, 1991) 21 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ερευνητική Μέθοδος: ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Διερεύνηση της χωρικής οπτικοποίησης και της συσχέτισής της με την επίδοση μαθητών με μαθησιακές δυσκολίες κατά την επίλυση αριθμητικών προβλημάτων 1 ο ΕΕ: Ποια η αξία αυτής της συσχέτισης για τους ίδιους τους μαθητές; 2ο ΕΕ: Ποια η επίδραση των αναπαραστατικών μορφών (προφορικός λόγος, εικόνα, διάγραμμα) στην επίδοση των μαθητών κατά την επίλυση αριθμητικών προβλημάτων; ΔΕΙΓΜΑ: 31 μαθητές 14 αγόρια 18 κορίτσια 11-15 ετών Με μαθησιακές δυσκολίες 22 11

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ PAT (Progressive Achievement Test in Mathematics) 7 τεστ αξιολόγησης της χωρικής αντίληψης Συνέντευξη & Παρατήρηση κατά την επίλυση 6 αριθμητικών προβλημάτων (με αύξουσας δυσκολίας 3 μέρη το καθένα αξιοποίηση αναπαραστατικών μορφών: γλώσσα, εικόνες, διαγράμματα) ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ 2 ομάδες 17 μαθητές ΧΑΜΗΛΗΣ χωρικής αντίληψης 15 μαθητές ΜΕΤΡΙΑΣ χωρικής αντίληψης 2 ώρες απασχόλησης του κάθε συμμετέχοντος για την ολοκλήρωση όλων των τεστ-αριθμητικών προβλημάτων ΑΡΧΗ: παρέχεται μόνο το λεκτικό πρόβλημα ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: η εικονική & η διαγραμματική αναπαράσταση του αρχικού προβλήματος ΤΕΛΟΣ: ζητείται να αιτιολογήσουν αν τους βοήθησαν οι αναπαραστατικές μορφές στη διαδικασία επίλυσης 23 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Καμία διαφορά στις επιδόσεις μεταξύ των ομάδων όταν ζητούνταν η ανάπτυξη από τους ίδιους τους μαθητές μιας εικόνας ή ενός διαγράμματος για την ενίσχυση της επίλυσης των προβλημάτων. Οι της ΜΕΤΡΙΑΣ χωρικής ικανότητας λύτες παρουσίασαν σημαντικά υψηλότερες επιδόσεις κατά την επίλυση όλων των προβλημάτων όποια κι αν ήταν η αναπαραστατική μορφή του αριθμητικού προβλήματος (47% έναντι 27%). 24 12

Και οι 2 ομάδες προτιμούσαν να μην αξιοποιούν ούτε τα δοθέντα διαγράμματα & εικόνες, ούτε αυτά που σχεδίαζαν οι ίδιοι οι μαθητές. Οι της ΧΑΜΗΛΗΣ χωρικής ικανότητας λύτες προτιμούσαν να απαντούν γραπτώς/λεκτικά, λόγω της δυσκολίας νοητικής επεξεργασίας των δεδομένων Δοσμένης της διαγραμματικής αναπαράστασης του εκάστοτε προβλήματος φάνηκε ότι επωφελούνταν κατά την διαδικασία επίλυσης περισσότερο οι της ΜΕΤΡΙΑΣ χωρικής ικανότητας λύτες. Όσο πιο αναπτυγμένη η χωρική ικανότητα των λυτών, τόσο διευκολύνεται η ανάπτυξη της ικανότητας ερμηνείας των δεδομένων μιας διαγραμματικής αναπαράστασης ενός προβλήματος. 25 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Διαφορές στην ικανότητα των μαθητών κατά την επεξεργασία των μαθηματικών έργων με εικόνες ή και με διαγράμματα. Υπάρχει σαφής διάκριση μεταξύ εικονογραφημένου σχεδίου που συνδέεται πιο εύκολα με την πραγματικότητα και μιας τυποποιημένης μορφής διάγραμμα. Το διάγραμμα απαιτεί ερμηνευτική νοητική επεξεργασία. Το μαθηματικό πρόβλημα απαιτεί επίσης ερμηνεία. 26 13

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Υπάρχουν στάδια αναπαραστάσεων για να φτάσει κάποιος προοδευτικά στην αφαίρεση φωτογραφίες, ρεαλιστικά σχέδια, αναπαραστατικά σχέδια, διαγράμματα, γραφήματα, αριθμοί- με σειρά από το πιο ανταποκρινόμενο στον πραγματικό κόσμο προς την πιο αφηρημένη μορφή. Τα διαγράμματα μπορεί να δείχνουν τη σχέση μεταξύ αντικειμένων ή γεγονότων και ενδέχεται να μην παρουσιάζουν ολόκληρο το αντικείμενο, ενώ εστιάζουν την προσοχή του αναγνώστη σε συγκεκριμένη πτυχή της σχέσης. Η έρευνα έδειξε αδυναμία ορισμένων μαθητών να ολοκληρώσουν τα ερμηνευτικά βήματα που απαιτούνται στην επίλυση προβλημάτων. Απαραίτητη η γνωστική ολοκλήρωση του προηγούμενου επιπέδου, επιβεβαιώνει και ο Mason (), έτσι ώστε από την απλή εξέταση μιας εικόνας να μεταβεί κάποιος στην αφαίρεση των βασικών δεδομένων. 27 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Πρέπει να εξασκηθούν οι μαθητές στην επεξεργασία εικόνων. Δύο διαφορετικοί τομείς: α) η ικανότητα μετάφρασης του λεκτικού προβλήματος σε εικονική ή διαγραμματική αναπαράσταση και β) η ικανότητα ερμηνείας της συνάφειας ενός διαγράμματος ή εικόνας με το λεκτικό πρόβλημα. Η διαδικασία εννοιολογικής κατανόησης ενός διαγράμματος είναι πιο δύσκολη από τις λεκτικές πληροφορίες διότι μεσολαβούν περισσότερα βήματα και δεξιότητες. Τα αποτελέσματα της έρευνας αυτής εξηγούν πολλές μαθηματικές δυσκολίες των μαθητών και τις δυσκολίες της οπτικής παρουσίασης πληροφοριών. Θα πρέπει αυτές να συνοδεύονται από ρητές λεκτικές εξηγήσεις και περιγραφές των αντικειμένων έτσι ώστε να μπορούν να οικοδομηθούν οι απαραίτητοι γνωστικοί δεσμοί. 28 14

Ασπρούλη, Διαμαντοπούλου, Καπλάνη, Παπαδόπουλος, Στογιάννου, Τόνα 29 15