Επαπτικά θέµατα Θέµα Έστω εξίσωσ (ε) : ( a b ) x + ( a b + ) x a = 0 +, a,b R Α) Αν b = a να αποδείξετε ότι εξίσωσ ή θα έχει µοναδική ύσ το ή θα είναι αόριστ. Β ) Αν b a να αποδείξετε ότι εξίσωσ θα έχει δύο ύσεις, τις r = και Β ) Αν αυτές είναι ίσες, να αποδείξετε ότι α 0, 5 r α + = a b Θέµα Έστω γεωµετρική πρόοδος ( α ν ), Γνωρίζουµε ότι + α + α +... + α α 0 = * ν Ν και όγο > Α ) Να αποδείξετε ότι Α ) Να αποδείξετε ότι Α ) Να αποδείξετε ότι 0 α α = 0 0 0 0 + α +... + α0 = 0 Β ) Να αποδείξετε ότι = ( )( + +... + + + ) 9 8 Β ) Να αποδείξετε ότι 0 + + +... + 9 = α Γ) Να αποδείξετε ότι 0 < α < 0, Θέµα 7 6 9 Έστω οι ευθείες (ε ) : y = ( + + ) x + + µ 6 9 + και (ε ) : y ( + ) x + µ =,,µ R Α) Να βρείτε τους,µ, ώστε οι ευθείες ε, ε να είναι µεταξύ τους παράες. Ξέρουµε ότι ευθεία ( ε ) διέρχεται από το Ο (0,0) Β) Να αποδείξετε ότι µ = και να παραστήσετε στο επίπεδο τις ε και ε
Επαπτικά θέµατα Θέµα ( a + b ) Έστω συνάρτσ x f(x) = ( a b) x Α) Να αποδείξετε ότι a =, b = Β) Να ύσετε τν ίσωσ f (x) < 0 Θέµα 5 x 0, a,b R, ώστε f ( ) = f() x < 0 Έστω οι ευθείες (ε ) : y = ( + )x, R Α ) Να παραστήσετε στο επίπεδο δύο τυχούσες ευθείες ( ε ) και ( ε ) απ αυτές. Α ) Να αποδείξετε ότι οι ( ε ) και ε ) Α ) Να αποδείξετε ότι όες οι ευθείες ε ) ( τέµνονται στο σµείο Σ (, ) ( διέρχονται από το σµείο Σ (, ) Έστω ότι µία από τις προγούµενες ευθείες ( ε ) τέµνει τον θετικό µιάξονα Ο y στο σµείο B και τον αρντικό µιάξονα Β ) Να αποδείξετε ότι,0 + Β ) Να αποδείξετε ότι < < 0 A και Β( 0, ) Ο x στο σµείο A Β ) Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν Ε () του τριγώνου που ορίζει ευθείς ε ) µε τους µιάξονες Ο x, Ο y ισούται µε Ε() = + Β ) Να βρείτε τέος, εκείν τν ευθεία, ώστε το εµβαδόν να ισούται µε 0, 5 τ.µ ( Θέµα 6 Έστω παραβοή x f(x) = και ευθεία ( ε) : y = x, R Α) Να βρείτε τ σχετική θέσ τς ευθείας και τς παραβοής στο επίπεδο. Β) Έστω ότι ευθεία τέµνει τν παραβοή στα σµεία Α ( ρ, ) και Α ( ρ, ) µε ρ < ρ και έστω ρ ρ = Β ) Να αποδείξετε ότι Β ) Να αποδείξετε ότι = 5 5 5 Α, και Α, y y
Επαπτικά θέµατα Θέµα 7 Α ) Να αποδείξετε ότι εξίσωσ Α ) Να αποδείξετε ότι ίσωσ x x = x έχει ακριβώς ρίζες, τις, 0 και x x < x αθεύει για x (, ) (0,) Β) Να παραστήσετε στο επίπεδο τις συναρτήσεις f (x) = x x και g (x) = x Γ ) Να βρείτε τα σµεία τοµής των διαγραµµάτων C f και C g Γ ) Να βρείτε τα διαστήµατα του R στα οποία το διάγραµµα από το διάγραµµα Θέµα 8 C g Έστω συνάρτσ fκ (x) = x x k, x R και k Z οποία έχει τουάχιστον µία ρίζα. Α) Να αποδείξετε ότι ο κ είναι φυσικός. Β ) Να ύσετε τν εξίσωσ f x + = 0 x Β ) Να ύσετε τν εξίσωσ f ( + x ) 0 5 = 6 = Β ) Να ύσετε τν εξίσωσ f ( + x ) 0 C f είναι «κάτω» n Γ) Να βρείτε το πήθος των διαφορετικών ύσεων τς εξίσωσς f ( x ) = όπου n φυσικός. Θέµα 9 Έστω ορισµέν στο R + συνάρτσ f, που τιστοιχεί το τυχόν x στο Α) Να βρείτε τα σµεία τοµής του διαγράµµατος C f µε τ διχοτόµο ( δ) : y = x του Ι, ΙΙΙ τεταρτµορίου. Θεωρούµε στο R + και τ συνάρτσ g οποία τιστοιχεί το προγούµενο y στο τίστοιχο x Β) Να παραστήσετε στο ίδιο σύστµα τις C f, Τι παρατρείτε? C και ( δ) Γ) Να αποδείξετε ότι g έχει τύπο g (x) = x, x 0 g y = x
Επαπτικά θέµατα Θέµα 0 Έστω συνάρτσ Γνωρίζουµε ότι f (k) = 0 Α) Να αποδείξετε ότι k = * f(x) = x x + (k + )x x + k, k N και x R Β) Να αποδείξετε ότι f(x) = ( x ) ( x + ) Γ) Λύστε τν ίσωσ Γ ) f(x) 0 και τν ίσωσ Γ ) f (x) > 0 Έστω και συνάρτσ g(x) = x x + x, x R ) Να αποδείξετε ότι πρώτα ότι ( x ) = x x + 6x x + ) Να αποδείξετε ότι τα διαγράµµατα των f, g τέµνονται µόνο στο σµείο T (,0 ) Θέµα Ο Γινάκς τοποθετεί µε τον πιο κάτω τρόπο 0 βέργες τ µία δίπα στν ά. Γνωρίζουµε ότι βέργα είναι 0 cm βέργα είναι 0 cm βέργα είναι 0 cm βέργα είναι 0 cm κ.. 0cm 0cm 0cm 0 Κοµάτια Η Καιτούα τοποθετεί 0 βέργες τ µία δίπα στν ά. Γνωρίζουµε ότι Η βέργα είναι 0 m βέργα είναι 5 m βέργα είναι,5m βέργα είναι,5cm κ.. 0 Κοµάτια Να βρείτε τίνος παιδιού το άθροισµα των µκών των βεργών είναι µεγαύτερο. 0m 5m,5m
Επαπτικά θέµατα 5 Θέµα Έστω εξίσωσ ( ε ) : y = ( + )x, R Α) Να αποδείξετε ότι αυτή παριστάνει ευθείες οι οποίες διέρχονται από σταθερό σµείο Μ του επιπέδου. Β) Να βρείτε τν τιµή του, ώστε αυτή να σχµατίζει µε τον x x γωνία Γ) Να εξετάσετε υπάρχει ευθεία τς πιο πάνω οικογένειας οποία να διέρχεται από το του άξονα x x και από το του άξονα y y ) Να αποδείξετε ότι καµία ευθεία τς πιο πάνω οικογένειας δεν έχει κοινά σµεία µε το Ι V τεταρτµόριο. o 5 Θέµα Έστω συνάρτσ f (x) = (x + κ) (x κ) κ x, κ > 0 κ Α) Να αποδείξετε ότι αυτή είναι παραβοή κ f (x) = 6κx κx + κ Β) Να βρείτε το πήθος των ριζών τς f (x) = 0, για τις διάφορες τιµές του κ Υποθέτουµε ότι f κ < 0 Γ ) Να αποδείξετε ότι 0 < κ < Γ ) Να αποδείξετε ότι f έχει δύο άνισες ρίζες, έστω τις r < r Γ ) Να αποδείξετε ότι r r < 0 ) Έστω ότι κ = Να αποδείξετε ότι f (x) = 0 x = + ή x = + Ε) Αν τέος γνωρίζουµε ότι f κ + = 0, να αποδείξετε ότι κ =
Επαπτικά θέµατα 6 Θέµα Έστω συνάρτσ f, µε τύπο f(x) = x + x + x x Α) Να αποδείξετε ότι το ευρύτερο υποσύνοο του R που ορίζεται f είναι το D = [, + ) Β ) Να αποδείξετε ότι (x) = x+ x 8 f Β ) Να αποδείξετε ότι x + x = ( x + ), x x = ( x ) Β ) Να αποδείξετε ότι Θέµα 5 f(x) = x Έστω οι παραβοές f(x) = x x + + και Α) Να αποδείξετε ότι x 8 x < 8 g(x) = x x, Z οι f, g έχουν το ίδιο πήθος ριζών, για τις διάφορες τιµές τς παραµέτρου Β) Γνωρίζουµε ότι παραβοή C f εφάπτεται του άξονα Β ) Να αποδείξετε ότι = Β ) Να αποδείξετε ότι Β ) Να αποδείξετε ότι C f εφάπτεται του C g εφάπτεται του x x x x στο σµείο A (,0 ) x x στο σµείο B(,0 ) Γνωρίζουµε τώρα, ότι οι παραβοές C f και C g τέµνονται. Γ ) Να αποδείξετε ότι παράµετρος παίρνει ακριβώς 7 τιµές. Γ ) Για τ µεγαύτερ τιµή αυτής, να παραστήσετε τις C f, C g στο επίπεδο. Θέµα 6 Έστω συνάρτσ f(x) = x Α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού τς. Β) Να αποδείξετε ότι γραφική τς παράστασ τέµνει τον x,0 B,0 και O (0,0) Γ) Να αποδείξετε ότι το δεν ήκει στο πεδίο τιµών τς f ) Να αποδείξετε ότι ευθεία y = τέµνει το διάγραµµα τς f σε σµεία τα σµεία 7 Κ,, Λ,, 7 Μ, και 7 Ν, 7 να βρείτε τον x στα A( ), ( )