Παρουσίαση 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Παρουσίαση 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ"

Transcript

1 Παρουσίαση ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2 Παρουσίαση α Στους µιγαδικούς δεν υφίστανται ανισοτικές σχέσεις Το σύνολο C διατηρεί ισοτικά όλες τις ιδιότητες του R εν υφίστανται ανισοτικές σχέσεις, υφίστανται µόνο στο R Οι εικόνες των µιγαδικών είναι σηµεία και αυτά ή ταυτίζονται ή είναι διαφορετικά. Έτσι και οι µιγαδικοί ή θα είναι ίσοι ή θα είναι διαφορετικοί, όχι άνισοι. εν έχει νόηµα να «µιλάµε» και για κάθε διαδικασία που περιέχει, κάθε έννοια θετικού ή αρνητικού αριθµού. Παράδειγµα εν γράφουµε + i < + i, παρά µόνο + i + i Παράδειγµα εν µπορούµε να γράφουµε + i Από τη σχέση z + w 0, δεν µπορούµε να πούµε ότι z w 0 αφού κάτι τέτοιο στο R το λέγαµε για τον λόγο ότι το άθροισµα µη αρνητικών ποσοτήτων µηδενίζεται µόνο όταν αυτές ταυτόχρονα γίνονται Μηδέν. Εδώ, επειδή η έννοια των µη αρνητικών ποσοτήτων απουσιάζει, δεν µπορούµε να γράψουµε κάτι τέτοιο, παρά µόνο µπορούµε να γράψουµε ότι z + w 0 ή z i w 0 ή z ( iw) 0 ή ( z iw)( z + iw) 0 ή z iw, z iw Απαγορεύεται να έχουµε δυνάµεις µε εκθέτες πέρα από ακέραιους αριθµούς. µ ν Στο R, η δύναµη α µε µ, ν µη µηδενικούς φυσικούς είχε οριστεί µόνο αν α > 0 Παράδειγµα εν µπορούµε να γράψουµε i i ( i ) Η µόνη περίπτωση που µπορούµε να κινηθούµε στην έννοια των ανισοτήτων είναι η περίπτωση που ο µιγαδικός είναι πραγµατικός. Παράδειγµα Από + κi > 0, υπονοούµε σίγουρα ότι κ 0 Ασκήσεις α. Ο αριθµός i είναι ένας θετικός φανταστικός αριθµός. α. Αν ο z έχει εικόνα στο I τεταρτηµόριο, θα είναι z + z 0 και άρα > z + i α. Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς, ώστε > 0 + i > z

3 Παρουσίαση Θέµα Έστω ο µιγαδικός z + i, µε z και ο µιγαδικός z ο + i Θα προσδιορίσουµε τον z, ώστε το µέτρο z z να γίνει µέγιστο. Απάντηση Θα δούµε πρώτα το θέµα αλγεβρικά. ο Είναι z z z + ( z ) z + z z + z ηλαδή z z ο 6 Πρώτα να θυµηθούµε τα πιο κάτω. ο ο ο Μία σχέση της µορφής f() f() για κάθε τιµή της µεταβλητής f() από το πεδίο ορισµού της συνάρτησης, δεν δηλώνει ότι η f παρουσιάζει απαραίτητα και µέγιστο το O ο Για να συµπεράνουµε ότι έχει µέγιστο πρέπει να διαπιστώσουµε ότι υπάρχει, ώστε f ( ) δηλαδή, να είναι τελικά f() f( ) για κάθε από το πεδίο ορισµού της f Ανάλογα σκεφτόµαστε για το ελάχιστο. Θα ελέγξουµε αν είναι δυνατόν να συµβεί η ισότητα z z ο 6 Από z z ο 6 C f είναι ( ) + ( ) 6 ή ( ) + ( ) 6 ή Επειδή z, θα είναι + Οπότε, ισοδύναµα, η προηγούµενη σχέση γίνεται ή + Τότε από + είναι ή + 6 ή ή ή ( + ) 0 ή και έτσι είναι ηλαδή, υπάρχει µιγαδικός z, ο z i ma z z ο +, ώστε το ( ) 6

4 Παρουσίαση Θα µπορούσαµε να δούµε το θέµα και γεωµετρικά. Ας βρούµε την ευθεία ( ε) που διέρχεται από τα σηµεία Ο (0,0) και Μ(z ) Μ (,) ο ο Μ Μ(z ) Ο Μ Μ ο z z ο Μ Μ(z) Μ(z ) (,) ο Είναι 0 λ ε και έτσι ( ε) : 0 (ε) Ας δούµε, σε ποια σηµεία αυτή τέµνει τον κύκλο (κ) : + Επειδή 6, είναι + ή ή 9 και και Άρα ε) (κ) M,,M (, Το M M(z), είναι η εικόνα εκείνου του µιγαδικού, µε το µέγιστο µέτρο z z ο Πραγµατικά Μο Μ ΜοΟ + ΟΜ ή Μ ομ ΜοΟ + ΟΜ ή ΜοΜ ΜοΜ ηλαδή το µήκος Μ ομ είναι µεγαλύτερο από το τυχόν άλλο ΜοΜ z zο Να τονίσουµε επίσης ότι το ελάχιστο ανάλογα θα παρατηρείται στη θέση Μ Αυτό το µέγιστο µήκος είναι z z ο + i Το µέγιστο µέτρο τεκµηριώνεται και µε τον εξής τρόπο: ΟΜο + ΟΜ + 6 Το M M(z ) είναι η εικόνα εκείνου του µιγαδικού που δίνει το ελάχιστο µέτρο.

5 Παρουσίαση Θέµα Έστω οι µιγαδικοί αριθµοί z (λ + ) + (λ ) i, λ R Αφού αποδείξουµε ότι οι εικόνες των z για τις διάφορες τιµές του λ R βρίσκονται σε ευθεία, στη συνέχεια από τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς θα αποδείξουµε ότι ο µιγαδικός i έχει το µικρότερο δυνατό µέτρο. Απάντηση z (λ + ) + (λ )i Θέτουµε λ + Οπότε και λ + z λ + λ : ( ε) ηλαδή οι εικόνες των αριθµών z βρίσκονται στην ευθεία ( ε) Θα βρούµε τώρα την ευθεία ( δ) που διέρχεται από το Ο και είναι κάθετη στην ( ε) Επειδή (δ) (ε) είναι προφανώς και τελικά ( δ) : λ δ Λύνοντας το σύστηµα των ( ε),(δ), είναι και συνεπώς Οπότε, οι ευθείες ( ε),(δ) τέµνονται στο σηµείο Μ M(z ) (, ) Συνεπώς, πρόκειται για το µιγαδικό αριθµό z ο ο i Να τονίσουµε ότι το σηµείο αυτό είναι δεκτό, αφού η ευθεία ( ε) που βρήκαµε αποτελεί και τον τόπο των εικόνων των z αφού το πεδίο τιµών της συνάρτησης f(λ) λ +, λ R, είναι το R Ένας άλλος τρόπος για να διαπιστώσουµε ότι το Μ ο είναι και σηµείο του τόπου θα ήταν να αποδείξουµε ότι υπάρχει λ, ώστε λ + και λ το οποίο όµως είναι προφανές, αφού υπάρχει λ και προφανώς είναι ο λ 0 Μάλλον όµως, ο «καλύτερος τρόπος» για το ελάχιστο είναι ο παρακάτω: z (λ + ) + (λ )i ( λ + ) + (λ ) λ + λ + + λ λ + 8λ + το οποίο ελαχιστοποιείται για λ 0 Οπότε, πρόκειται για τον µιγαδικό αριθµό i z ο O M(z) M(z ) (, ) (ε) ( δ) :

6 Παρουσίαση 6 Τα πιο πάνω είναι σηµαντικά στην εξέλιξη του θέµατος. Για να δούµε τη σηµαντικότητά τους, ας προσέξουµε και το πιο κάτω θέµα. Θέµα Έστω οι µιγαδικοί αριθµοί z (λ + ) + λ i, λ R Θα βρούµε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών z, για τις διάφορες τιµές του λ R Από τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς θα αποδείξουµε ότι ο µιγαδικός αριθµός z, έχει το µικρότερο δυνατό µέτρο. Απάντηση Έστω ο µιγαδικός z (λ + ) + λ i z M(z) Θέτουµε λ + λ O A(,0) Οπότε και λ λ και ισοδύναµα : ( ε) (ε) ( δ) : + ηλαδή, οι εικόνες M(z) (λ,λ ) είναι σηµεία της ευθείας ( ε) : Όµως, πολύ απλά εδώ διαπιστώνεται ότι ο τόπος δεν είναι ολόκληρη η ευθεία (ε) αφού λ 0 και ισοδύναµα ηλαδή, ο γεωµετρικός τόπος, είναι η ηµιευθεία ( Αz) :, µε A (,0 ) Όµως δεν έχει νόηµα να προσδιορίσουµε την ευθεία ( δ) : για να εντοπίσουµε το σηµείο τοµής των ( ε), ( δ) το Μο M(z ), αφού αυτό δεν είναι σηµείο του τόπου. Να τονίσουµε ότι εδώ ο ζητούµενος µιγαδικός αριθµός µε το ελάχιστο µέτρο είναι προφανώς ο αριθµός z αφού προφανώς η εικόνα του Α είναι το σηµείο της ηµιευθείας Αz που απέχει από την αρχή Ο τη µικρότερη δυνατή απόσταση.

7 Παρουσίαση 7 Επαναληπτικές ασκήσεις 0 Αν για τους µιγαδικούς z, z ισχύει z z z z να αποδείξετε ότι ένας τουλάχιστον από τους z, z έχει µέτρο ίσο µε Έστω ότι + z και z + z, µε Im( z ) > 0 z Α) Να βρείτε τους z και z Β) Να βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου που έχει κορυφές τις εικόνες των 0, z, z Γ) Να αποδείξετε ότι z z Έστω ο µη πραγµατικός µιγαδικός z, ώστε Α ) Να αποδείξετε ότι Im( z) Re(z) Α ) Να αποδείξετε ότι z + i Α ) Να αποδείξετε ότι z + z 0 0 z (+ i) z i Έστω και οι µιγαδικοί w, ώστε w i + ( w i) w+ i + (w i)(w+ i) Β ) Να αποδείξετε ότι w i Β ) Να αποδείξετε ότι z w 6 Β ) Να αποδείξετε ότι (z w)(z w) + (z w)(z w) 7 Έστω * z C και v A (z) z, v N Α) Για ν, να υπολογίσετε την παράσταση Α( + i ) + Α( i ) Β) Να βρείτε τους φυσικούς αριθµούς v, ώστε Α ( + i ) > 0 Γ) Να βρείτε τους φυσικούς αριθµούς v, ώστε Α ( + i ) + Α( i ) 0 Έστω οι µιγαδικοί z και z µε z, ώστε να ισχύει ( z )z Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των µιγαδικών z διαγράφουν µία ευθεία. Αν Re ( z z ) 0 z να αποδείξετε πρώτα ότι Re 0 z και µετά ότι z + z z z 6 Αν z C, µε z + και z +, να αποδείξετε ότι z 7 Οι αριθµοί z κ, z λ επαληθεύουν τη σχέση Να αποδείξετε ότι Α) zκ z λ Β) z z z z κ λ λ κ z 007 και Re(z z ) κ λ + Γ) Im( z z ) κ λ

8 Παρουσίαση 8 8 Έστω οι µιγαδικοί z, για τους οποίους ισχύει z + z( + i) + z( i) 0 Α) Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των z Β) Να αποδείξετε ότι z Γ) Αν z και z είναι µιγαδικοί που ικανοποιούν την αρχική ισότητα, να βρείτε το µέγιστο του µέτρου z z 9 Έστω ο µιγαδικός z µε z Να αποδείξετε ότι Α) + z + + z + + z 6 Β ) z z z Β ) z z + + z Γ ) z z z + + Γ ) z z + + z + 0 Έστω ο µιγαδικός z και ο µιγαδικός m (z) az + a z, a < 0 Γνωρίζουµε ότι m ( m(z) ) m(z) Α) Να αποδείξετε ότι z I Β) Να αποδείξετε ότι m (z) 0 Αν + i ( + i), µε ν * Ν ν και, R, να αποδείξετε ότι + 0 ν Έστω ο µιγαδικός z v α + βi και οι θετικοί α και β µε α β και ο ακέραιος ν >, ώστε ( + iz) β + αi Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των z ανήκουν στον κύκλο (κ) : + ( ) χωρίς το O ( 0,0) z) Έστω ο µιγαδικός z, ώστε + ai + a 0, α z Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων του z Im( 0 Αν z C µε z 8 z + 0, να αποδείξετε ότι Α) z z Β) z z + 0 Αν z, αποδείξτε ότι για τον z i w είναι w και z w i z

9 Παρουσίαση 9 Απαντήσεις των ασκήσεων 0 Από z z z z έχουµε ( z ) z z z z z z z z z z z z z z z 0 ( z )( z ) 0 και τελικά καταλήγουµε ότι z z Α) Από + z z είναι ( z z ) Οπότε + z z z + i, z i Β) E βυ Γ) z z ( z z ) z ( z) τ.µ Α ) Από z (+ i) z i z z + 0 είναι και z (+ i) ( z ) Οπότε Im( z) Re(z) z Α ) Θέτοντας η σχέση z k + ki, όπου k z z (+ i) z i δίνει τελικά k, οπότε z + i Α ) z + z i + + i 0 0 Β ) Η σχέση w i + ( w i) w+ i + (w i)(w+ i) δίνει τελικά w i w i + 0 ( w i ) 0 Β ) Από z w + i w + i + i w Προφανής w i εφαρµόζοντας την τριγωνική ανισότητα, παίρνουµε z w 6 Β ) (z w)(z w) + (z w)(z w) z w + w z z w z i + i w 7

10 Παρουσίαση 0 Α) Α ( + i ) + Α( i ) ( + i) + ( i) 8 8 Β) Α ( i ) > 0 ν + ( + i) > 0 ( i) 0 Γ) Α ( i ) + Α( i ) 0 ν > i ν > 0 ν ρ + ( + i) + ( i) 0 Θέτοντας z + i καταλήγουµε ότι z ( + i ) 0 ( ) Οπότε ν ρ +, ρ Ν ν ν ν ν ν Από z )z είναι ( z z z + z + Οπότε z και άρα z z + z Υψώνοντας στο τετράγωνο έχουµε z z + Re( z ) Οπότε z + ki, δηλαδή M( z ) (ε) : Από ( z z ) 0 Re καταλήγουµε z z z z z z I Οπότε z bi, b R δηλαδή z bz i z Η σχέση z + z z z ισοδύναµα καταλήγει σε προφανές αν θέσουµε z bz i 6 Από z + είναι z + και τελικά z + z z z Από z + είναι z + και τελικά z + z z z Οπότε, η σχέση z + z z z υψούµενη στο τετράγωνο δίνει z z z z + και τελικά z

11 Παρουσίαση 7 Α) Είναι z 007 κ, z 007 λ και µετρώντας έχουµε zκ, z λ Οπότε και z z κ λ Β) Η σχέση zκ z λ υψούµενη στο τετράγωνο δίνει z z + z z κ λ λ κ Γ) Αφού Re(zκ z λ ) είναι zκ z λ + βi Αντικαθιστώντας στη σχέση z z κ παίρνουµε Im( z z ) λ κ λ 8 Α) Θέτοντας z + i η σχέση z + z( + i) + z( i) 0 γίνεται ( ) + Β) Από τη γεωµετρική ερµηνεία. Γ) Από τη γεωµετρική ερµηνεία είναι z z ma 9 Α) + z + + z + + z + z + + z + + z 6 Β ) z z z z z Β ) z z z z + + z z + + z Γ ) z z z z z + z z + + Γ ) Αν πολλαπλασιάσουµε µε z τη σχέση z z z z z + + z z + + παίρνουµε την z z + + z + 0 Α) ( m(z) ) m(z) m α m(z) + α m(z) αz + a z Τελικά καταλήγουµε z z z I Β) Είναι z βi, β R και συνεπώς m (z) αβi αβi 0

12 Παρουσίαση Από + i ( + i) είναι ν + i ( + i) ν + 0 ν Από ( iz) v α + βi + θέτοντας z + i β + αi είναι και ( iz) v α + βi + + iz β + αi ( 0) + ( ) Να τονίσουµε ότι z 0, γιατί αν z 0 προκύπτει άτοπο. z) Από + ai + a 0 z Im( 0 παίρνουµε z Im(z) και θέτοντας z + i τελικά παίρνουµε Οπότε, ο τόπος είναι η ηµιευθεία ( ε) :, µε τεταγµένες αρνητικές. Α) Από z 8 z + 0 είναι z και παίρνοντας µέτρα καταλήγουµε z z 0 z 8 Β) Από z 8 z + 0 είναι z 8 + z και παίρνοντας µέτρα καταλήγουµε z z Από w z i i z είναι z i w( i z) z ( w + ) (w + ) i Παίρνοντας µέτρα, έχουµε z( w + ) (w + )i ή z w + i w + ή w + w + και καταλήγουµε ότι w z w z + w

13 Παρουσίαση ΚΛΑΣΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ζ Επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε τη µονοτονία Να τονίσουµε ότι, στην περίπτωση που µία συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα ή γνήσια φθίνουσα, δεν µπορεί να δεχτεί δύο διαφορετικές ρίζες. ηλαδή, ή δε θα δέχεται καµία ρίζα ή θα δέχεται ως ρίζα µοναδικό αριθµό. Να τονίσουµε, ότι είναι λάθος να λέµε ότι θα δέχεται ή µία ρίζα ή καµία ρίζα. Γιατί υπάρχει περίπτωση µία ρίζα να µην είναι πολλαπλότητας ένα. Για παράδειγµα, η f(), ενώ είναι γνήσια αύξουσα, έχει ρίζες ίσες µε 0 Στην πράξη όµως, συνηθίζεται να χρησιµοποιούµε την πιο πάνω λαθεµένη έκφραση. Είναι λοιπόν βέβαιο ότι, αν εντοπίσουµε µία ρίζα της, δεν µπορεί να δεχτεί ως ρίζα κάποιον άλλο αριθµό. Πραγµατικά Έστω η γνήσια αύξουσα συνάρτηση f Αν ο αριθµός ρ είναι µία ρίζα της f, θα είναι f (ρ) 0 Αν τώρα θεωρήσουµε τον αριθµό ρ ο > ρ επειδή η f είναι γνήσια αύξουσα, θα είναι και f(ρ ο ) > f(ρ) ή f(ρ ο ) > 0 Όµοια, αν θεωρήσουµε και τον αριθµό ρ ο < ρ, θα είναι f(ρ ο ) < 0 ηλαδή, διαπιστώσαµε ότι f(ρ ο ) 0 και συνεπώς το ρ ο δεν είναι ρίζα της f Όµοια, αν η f είναι γνήσια φθίνουσα συνάρτηση. Παράδειγµα Έστω η γνήσια αύξουσα στο R συνάρτηση f, µε f (0) Θα λύσουµε την εξίσωση f( ) Πραγµατικά f( ) f( ) f(0) 0 ηλαδή, η εξίσωση f( ) έχει µοναδική ρίζα τον αριθµό Για το πλήθος λύσεων των εξισώσεων που δεν επιλύονται αλγεβρικά µε τις γνωστές µεθόδους παραγοντοποίησης, τα φέρνουµε όλα σε ένα µέλος θεωρούµε συνάρτηση και κινούµαστε µε τη βοήθεια της µονοτονίας. Παράδειγµα Θα αποδείξουµε ότι η εξίσωση + έχει µοναδική λύση την Πραγµατικά Να τονίσουµε ότι αυτή έχει µόνο µία ακέραια ρίζα, τον αριθµό Θεωρούµε την f() + και θα αποδείξουµε ότι αυτή έχει µοναδική ρίζα. Έστω, R µε <, τότε είναι και < Οπότε + < + ή + < +, δηλαδή f( ) < f( ) ηλαδή, η f είναι γνήσια αύξουσα και συνεπώς το είναι µοναδική ρίζα της f

14 Παρουσίαση Να παρατηρήσουµε επίσης κάτι πολύ σηµαντικό: Όταν λύνουµε την εξίσωση f (), ως προς πρέπει να «κινηθούµε» ισοδύναµα, γιατί αλλιώς δεν βρίσκουµε πεδίο τιµών αφού δεν ξέρουµε αν όλα τα της σχέσης f () είναι δεκτά. Παράδειγµα Έστω η συνάρτηση f, ώστε f () + f(), R Από f () είναι και f () Προσθέτοντας κατά µέλη, έχουµε f + () + f() + ή Επειδή δεν κινηθήκαµε ισοδύναµα αφού προσθέσαµε κατά µέλη τις ισότητες, δεν µπορούµε να εντοπίσουµε το πεδίο τιµών. Ας προσέξουµε όµως την πιο κάτω τεχνική. Έστω τώρα το τυχόν + R, ώστε Η αρχική σχέση γίνεται f () + f() + + Επειδή η συνάρτηση r() είναι γνήσια αύξουσα. η σχέση f () + f() + δίνει r ( f() ) r() ή f () Οπότε, για τον τυχόντα R υπάρχει ένας τουλάχιστον R, ώστε f () Άρα f (R) R Ας προσέξουµε και το πιο κάτω: Η πιο πάνω σχέση + µας δηλώνει προφανώς ότι το τυχόν f(r) R αντιστοιχίζεται µε ένα µόνο, το + και συνεπώς η f : Οπότε δε χρειάζεται να αποδείξουµε ότι αυτή είναι µε τη διαδικασία του ορισµού.

15 Παρουσίαση Τώρα, αν η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο R ( όχι γνήσια φθίνουσα) και η γραφική παράσταση C f τέµνεται µε την γραφική παράσταση C f τότε θα τέµνεται πάνω στη διχοτόµο ( δ) : του Ι και ΙΙΙ τεταρτηµορίου. Πραγµατικά Έστω ότι τα διαγράµµατα C f, C f τέµνονται στο σηµείο Μ (, ) Θα αποδείξουµε ότι Πραγµατικά ο ο Είναι f ( ) f( ) Έστω ότι < ή f ( ) < Επειδή η f είναι γνήσια αύξουσα στο R θα είναι f( f ( )) < f( ) < f( ) < f ( ) Άτοπο Όµοια, αν υποθέσουµε ότι >, καταλήγουµε σε άτοπο. Οπότε, είναι f ( ) f( ) f( ) f Με βάση τα προηγούµενα, διαπιστώνουµε ότι αν η συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα, οι εξισώσεις f () f(), f () και f () είναι ισοδύναµες έχουν δηλαδή, τις ίδιες λύσεις. Αυτές θα δίνουν ως λύση, τις τετµηµένες των σηµείων τοµής αν υπάρχουν. ( ) O C f Μ ο ( δ) : C f Παράδειγµα Έστω η γνήσια αύξουσα στο R συνάρτηση f Ξέρουµε ότι f() f () {,, } Είναι προφανές ότι οι γραφικές παραστάσεις των f, g O ( δ) : C f Γ Β Α C f τέµνονται στην ( δ) :, µε f() f (), f() f (), f() f () ηλαδή, οι C, C τέµνονται στα σηµεία f g Α,Β, Γ και µόνο σ αυτά. Είναι προφανές ότι αν η γραφική παράσταση µίας γνήσιας αύξουσας συνάρτησης f C f ( δ): C f δεν τέµνει το διάγραµµα της f τότε το διάγραµµα της f δεν τέµνει και τη διχοτόµο (δ) : O

16 Παρουσίαση 6 Παράδειγµα Έστω η ορισµένη στο R συνάρτηση f, µε f (R) R C f ( δ) : ώστε f () + f(), R Θα αποδείξουµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. O C f Μετά θα αποδείξουµε ότι f () + Τέλος, θα λύσουµε την εξίσωση f() f () Πραγµατικά Θεωρούµε τα τυχόντα, R µε < f Τότε είναι ( ) + f( ) < f ( ) + f( ) f ( ) + f( ) f ( ) f( ) < 0 < ( ) f( )) ( f ( ) + f( )f( ) + f ( ) + ) 0 f( ( ) f( ) 0, αφού ( ) + f( )f( ) + f( ) + > 0 f < f ( ) f( ) f < f( < ) f ( ) 0 Καταλήξαµε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα και συνεπώς η f είναι αντιστρέψιµη. Από f () και f () Προσθέτοντας κατά µέλη, είναι f () + f() + και φυσικά + Οπότε f () +, f(r) R Όπως ξέρουµε, ο τρόπος αυτός µας δίνει πληροφορίες και για το Τέλος, η εξίσωση f() f () είναι ισοδύναµη µε την f () ή + ή 0 ή 0

17 Παρουσίαση 7 Επαναληπτικές ασκήσεις 6 Έστω η συνάρτηση f : R R, ώστε f() + f( ) + Α) Να αποδείξετε ότι f (0) + f() και ότι f () + f() Β) Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι 6 Λύστε την εξίσωση Έστω η ορισµένη στο R συνάρτηση f, ώστε f( ) f( ) 0 για κάθε R Α) Να αποδείξετε ότι f( ) f( ) + 8 Β) Να αποδείξετε ότι f () 6 Έστω η ορισµένη στο R συνάρτηση f, ώστε f ( f() ) +, για κάθε R Α) Να αποδείξετε ότι f () f( ) + και µετά ότι f() f( + ), R Β) Αν το 000 είναι ρίζα της f, να αποδείξετε ότι το 998 δεν είναι ρίζα της f 66 Αν f( ) + f(), για κάθε R, αποδείξτε ότι η f δεν είναι 67 Αν f( ) f (), για κάθε R, αποδείξτε ότι η f δεν είναι 68 Αν f( ) f( ) +, για κάθε R, αποδείξτε ότι η f δεν είναι 69 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) έχει µοναδική ρίζα τον αριθµό 7 70 Έστω ότι f () + f () f ( ) + f ( ), για κάθε R Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια. 7 7 Έστω ότι + f( + ) f()f() e, για κάθε, R Α) Να αποδείξετε ότι f (0) Β) Να αποδείξετε ότι f ( )f() Γ) Να αποδείξετε ότι f () e

18 Παρουσίαση 8 Απαντήσεις των ασκήσεων 6 Α) Η σχέση f() + f( ) + για δίνει f () + f(0) και για δίνει f () + f() Οπότε f () f(0) και συνεπώς η f δεν είναι Β) 6 Για η εξίσωση επαληθεύεται + 0 αφού Επίσης η συνάρτηση f() είναι γνήσια αύξουσα ως άθροισµα των γνήσιων αυξουσών f (),, f 9 () 0 6 Α) Η σχέση f( ) f( ) 0 για το 6 δίνει f( ) f() 8 Β) Η αρχική γίνεται f( ) ( f( ) + 8 ) 0 ή f () 6 Α) Η σχέση f ( f() ) + για το () f δίνει f ( f( f() )) f() + f ( + ) f() + Αυτή για το δίνει f () f( ) + Β) Αυτή για το 000 δίνει f (000) f(998) + f(998) 66 Η σχέση f( ) + f() για δίνει f () 0 και για 0 δίνει f (0) 0

19 Παρουσίαση 9 67 Η σχέση f( ) f () για δίνει f () και για 0 δίνει f (0) 68 Η σχέση f( ) f( ) + για δίνει f (0) 0 και για δίνει f ( ) 0 69 Θεωρούµε τη συνάρτηση f() + Τότε η εξίσωση ( + ) γίνεται f( + ) 0 f() Θεωρούµε τη συνάρτηση 7 g() + 7 Τότε η εξίσωση f () + f () f ( ) + f ( ) γίνεται g( f() ) g( f( ) ) f() f( ) 7 7 Α) Η σχέση f( + ) f()f() + e για 0 δίνει f(0) f (0) > 0, δηλαδή f(0) και f(0) Οπότε f (0) Β) Η + f( + ) f()f() e για το δίνει f()f( ) Οπότε f ( )f() Γ) Από + f( + ) e για 0 και το είναι f( ) e ή f() e ή f() e και τελικά είναι f () e

20 Παρουσίαση 0 ΟΡΙΑ θ Κριτήριο παρεµβολής Είδαµε το κριτήριο παρεµβολής, το οποίο αποτελεί ένα κριτήριο ύπαρξης ορίων. Πιο συγκεκριµένα, το θεώρηµα έχει αποδειχτεί για πεπερασµένα αποτελέσµατα. Αν h() f() g() «κοντά» στο ο και lim h() lim g() R τότε θα υπάρχει το όριο lim f() και θα ισούται µε l Απόδειξη* ο l ο ο Είναι lim g() l ο, lim h() l ο, οπότε και lim ( g() h() ) 0 ο f() h() f() h() g() h() Έτσι ( g() h() ) f() h() g() h(), και προφανώς lim ( f() h() ) 0 Οπότε lim f() ο ο lim ( f() + h() h() ) lim ( f() h() ) + lim h() 0 + l l ο ο ο ώσαµε την απόδειξη χάριν εξάσκησης. Το κριτήριο παρεµβολής ισχύει και όταν τα όρια απειρίζονται. Πιο συγκεκριµένα: Αν h() f() g() «κοντά» στο ο και lim h() lim g( + ο ) ο ο τότε θα υπάρχει το όριο lim f() και θα ισούται µε + Απόδειξη* Επειδή lim h() +, lim g() + ο ο και συνεπώς 0 < h() f() g() «κοντά» στο είναι h () > 0 και g () > 0 Οπότε g() και προφανώς είναι lim lim 0 f() h() g() h() Άρα, από το κριτήριο παρεµβολής, είναι lim 0 f() θα είναι lim f() + ο ώσαµε την απόδειξη χάριν εξάσκησης. Όµοια για το και επειδή f () > 0

21 Παρουσίαση Το προηγούµενο θεώρηµα, ειδικότερα, γίνεται και όπως πιο κάτω: Αν f() g() για κάθε τιµή του «κοντά» στο και lim f() + τότε θα υπάρχει το όριο lim g() και µάλιστα lim g() + Απόδειξη* Αφού lim f() + > 0 κοντά στο σηµείο και συνεπώς, αντιστρέφοντας είναι θα είναι f () > 0 και συνεπώς θα είναι 0 < f() g() 0 < g() f() Από το κριτήριο παρεµβολής είναι lim 0 0 και lim 0 f() + Άρα lim 0 g() και επειδή () 0 ώσαµε την απόδειξη χάριν εξάσκησης. g > θα είναι lim g() + Επίσης Αν f() g() για κάθε τιµή του «κοντά» στο και lim g() τότε θα υπάρχει το όριο lim f() και µάλιστα lim Η απόδειξη γίνεται εντελώς αντίστοιχα µε προηγούµενα. f() Παράδειγµα Αν υποθέσουµε ότι, για τη συνάρτηση f είναι f () + ηµ τότε θα είναι και f (), αφού ηµ 0 Επειδή lim + θα είναι και lim f () + ή + + Οπότε, το όριο της f στο + ισούται µε + lim + f () ή lim f() + + +

22 Παρουσίαση Ασκήσεις η. Έστω ότι ( f() g() ) και ( f() g() ) lim 0 lim 0 lim 0 lim g() 0 + Να αποδείξετε ότι ( f() ) και ( ) και ότι ( f() g() ) 8 η.6 Αν ( f()g() ) 8 και ( f() : g() ) lim 0 α) Να αποδείξετε ότι lim f() 0 lim 0, f () > 0 lim + 0 β) Να διαπιστώσετε ότι «κοντά» στο 0 είναι g () > 0 γ) Να βρείτε το lim g() 0 f () + f() η.7 Αν lim f() 0, να βρείτε το όριο lim 0 0 f() f() η.8 Αν lim f() +, να αποδείξετε ότι lim e 0 0 η.9 Αν lim + + f() 6, να αποδείξετε ότι lim f() + + f() f() η.0 Αν lim, να αποδείξετε ότι lim f() f() η. Έστω ότι lim lim L R και 0 < f() < 0 f() 0 f() L L α) Να αποδείξετε ότι L + L + β) Να αποδείξετε ότι L 0 f( + ) f( ) η. Αν lim 0 και 0 η. Αν lim f() lim f() 0 f( + ) f() lim L 0, να αποδείξετε ότι ( f f) () lim 0, δείξτε ότι L 0 f() + g() η. Αν lim f() +, lim g() +, δείξτε ότι lim f() g() f()g() + + η. Έστω η συνάρτηση f : R R, για την οποία ισχύει lim ( f() ) α) Να αποδείξετε ότι lim f() + f () 8f() 00 β) Να αποδείξετε ότι lim + f () f() + +

23 Παρουσίαση Απαντήσεις των ασκήσεων η. Επειδή ( f() g() ) και ( f() + g() ) lim 0 lim 0 προσθέτοντας παίρνουµε ( f() ) lim 0 lim f() 0 και αφαιρώντας παίρνουµε ( g() ) lim 0 lim g() 0 η.6 α) Από ( f()g() ) 8 lim 0 και ( f() : g() ) lim 0 πολλαπλασιάζοντας παίρνουµε ( f ()) 6 lim 0 και επειδή f () > 0 είναι lim f() 0 β) Αφού ( f()g() ) 8 0 lim > 0 «κοντά» στο 0 είναι f()g() > 0 και επειδή f () > 0, είναι και g () > 0 γ) ιαιρώντας τις ( f()g() ) 8 lim 0 και lim f() 0 είναι lim g() 0 η.7 lim 0 f ) () + f() f () + f() f () f() + f( lim 0 f() f () f() + f() lim lim 0 0 f() f () f() + f () f() + ( f() ) ( f() ) η.8 Επειδή lim 0 0 f() f(), είναι lim e lim e 0 0

24 Παρουσίαση η.9 Θέτουµε + + f() g() f() g() + + Συνεπώς lim f() + g() + lim + + g() lim + lim lim f() η.0 Θέτουµε g() f () g()( ) + lim f() lim ( g()( ) + ) f() ( )g() Οπότε lim lim +... f() η. Θέτουµε g() f() g() f() + g () Οπότε g() L lim 0 g() + L lim f() 0 + f() Θέτουµε g () f() f() g () + g () Οπότε g () L lim 0 g () + L lim f() 0 + Πρέπει + L L + L L 0 ή L Απορρίπτεται αφού 0 < f() < και συνεπώς lim f() 0 0

25 Παρουσίαση η. f( + ) f( ) f( + ) f() + f() f( ) 0 lim lim 0 0 f( + ) f() f( ) lim lim 0 0 Θέτουµε z f() f( + ) f() f( + z) f() f( + h) f() lim lim lim z 0 z h 0 h η. lim( f f) () lim( f(f() ) lim ( f(f() ) lim f() 0 0 f() + f() + g() g() f() η. lim lim 0 0 f() g() f()g() g() g() η. α) Θέτουµε f() g() g() f(), οπότε lim f() f () 8f() 00 f() f() f() β) lim + lim f () f() f() f ()

26 Παρουσίαση 6 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ε Πεδίο τιµών Είναι γνωστό ότι µε τη βοήθεια της µονοτονίας και της συνέχειας µπορούµε να προσδιορίσουµε το πεδίο τιµών µίας συνάρτησης. Παράδειγµα Έστω η συνάρτηση f() + +, µε D [0, + ) Επειδή είναι προφανές ότι η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα και συνεχής είναι f(d) f(0), lim f() [, + ) + Αργότερα, στην παραγώγιση, θα δούµε αρκετά εύχρηστα κριτήρια µονοτονίας. Να τονίσουµε τώρα, κάτι πολύ σηµαντικό! Το πεδίο τιµών µας πληροφορεί για ύπαρξη ορίων! Όταν π.χ. η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα και συνεχής στο διάστηµα [0, + ) γράφουµε ότι f(d) f(0), lim f() + και σηµαίνει ότι υπάρχει το όριο lim f() Παράδειγµα + και µάλιστα είναι µεγαλύτερο του f (0) Έστω η γνήσια αύξουσα και συνεχής στο R συνάρτηση f ώστε f () + f() +, για κάθε R Θα αποδείξουµε ότι το πεδίο τιµών της, είναι το R, δηλαδή, ότι Πραγµατικά Επειδή η f είναι γνήσια αύξουσα και συνεχής στο R το πεδίο τιµών της είναι το f(r) lim f(), lim f() + Αν το όριο lim f() l ήταν πεπερασµένο +, θα είχαµε lim ( f () + f() ) lim ( + ) από f () f() + Άτοπο Οπότε, το όριο l ως αριστερό άκρο διαστήµατος ισούται µε Όµοια, καταλήγουµε ότι l lim f() + + l f (R) ή l R + l lim f() και συνεπώς f (R) (, + ) Είχαµε δει το ίδιο θέµα στην κλασική ανάλυση χωρίς χρήση της συνέχειας. Αργότερα θα δούµε ότι µία συνάρτηση σαν την πιο πάνω είναι και συνεχής και συνεπώς θα µπορούσε να µη δοθεί στην υπόθεση.

27 Παρουσίαση 7 γ Θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών Στην ουσία, το θεώρηµα των ενδιάµεσων τιµών, µας πληροφορεί ότι, στην περίπτωση που ξέρουµε δύο τιµές του πεδίου τιµών µιας συνεχούς και µη σταθερής συνάρτησης, τότε αυτή θα παίρνει και όλες τις ενδιάµεσες τιµές. Παράδειγµα Αν για την πολυωνυµική συνάρτηση f ξέρουµε ότι f( ) και f () τότε, αν πάρουµε µία τυχούσα τιµή µεταξύ των και ο π.χ. την τιµή αυτή θα ανήκει στο πεδίο τιµών, δηλαδή, θα υπάρχει (,), ώστε f( ) Αν και εφαρµόζοντας το Θ.Blzan δεν χρειάζεται να σκεφτόµαστε το Θεώρηµα των ενδιάµεσων τιµών εντούτοις, µ αυτό, διευκολυνόµαστε στις πιο κάτω περιπτώσεις. Να παρατηρήσουµε, όπως έχουµε αναφέρει και ξανά αν η f δεν είναι συνεχής τότε δεν θα παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάµεσες τιµές. η O Ας δούµε τα πιο κάτω θέµατα: Θέµα Έστω η συνεχής στο R συνάρτηση f, µε () 8 Θα αποδείξουµε ότι f (8) και µετά ότι f (0) 0 Απάντηση f και f ( f() ) f() 0 +, R Για, η f (f()) + f() 0 δίνει f (f()) + f() 0 ή f(8) ή f (8) Επειδή η f είναι συνεχής στο διάστηµα [,8] και f(8) < 0 < 8 f() σύµφωνα µε το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,8), ώστε f (ξ) 0 Για ξ, η f (f()) + f() 0 δίνει f (f(ξ)) + f(ξ) 0 ή f(0) ή f(0) 0 Να τονίσουµε ένα σύνηθες λάθος. Από Οπότε f () είναι ( f() ) f() f() f και τελικά f () f( f() ) + f() 0 και για 0 προκύπτει f (0) 0 + ή 0 + f() Αυτό όµως είναι λάθος, αφού δεν γνωρίζουµε αν το 0 τελικά ανήκει στο f (R) Πάντως ο τύπος της f είναι f() 0 Είναι προφανές ότι η αρχική συνθήκη f()8, δεν είναι τυχούσα.

28 Παρουσίαση 8 Επαναληπτικές ασκήσεις 6 Έστω f() ln + e, > 0 Α) Να βρείτε το σύνολο των τιµών της f Β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα ακριβώς ο > 0, ώστε e 7 Έστω οι ορισµένες και συνεχείς στο D [,] συναρτήσεις f, g f( ) + f() ώστε g( ) + g() f(ρ) + Να αποδείξετε ότι υπάρχει ρ [, ], ώστε g(ρ) 8 Να βρείτε την ορισµένη και συνεχή στο R συνάρτηση f αν γνωρίζουµε ότι f() + + f(), για κάθε πραγµατική τιµή του 9 Έστω η περιττή στο R συνάρτηση f Αν η f είναι συνεχής στο, αποδείξτε ότι η f είναι συνεχής και στο σηµείο 0 Έστω η ορισµένη στο R συνάρτηση f, ώστε f() ( f() ) 0 Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0, R Έστω η ορισµένη στο R συνάρτηση f, ώστε Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0 f () + f() 00, R Έστω η ορισµένη στο R και συνάρτηση f Αν η f είναι συνεχής στο, να αποδείξετε ότι η f θα είναι συνεχής στο ( ) f Έστω η συνάρτηση f() λ + κ, ώστε κ λκ + κ + 0 Αφού αποδείξετε ότι η f δέχεται µία ρίζα, µετά να αποδείξετε ότι λ κ Έστω η ορισµένη στο R συνάρτηση f, ώστε f () + f() +, R Α) Να αποδείξετε ότι η πιο πάνω συνάρτηση f είναι µοναδική. Να αποδείξετε ότι Β ) f() f( ) f () + f( )f() + f ( ) + Β ) f () + f( )f() + f ( ) + Β ) f() f( ) Γ) Μετά να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R ) Μετά να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται, µε f () +, R

29 Παρουσίαση 9 Απαντήσεις των ασκήσεων * + 6 Α) f( R ) R Η f είναι γνήσια αύξουσα και συνεχής Β) Επειδή 0 R υπάρχει R, ώστε f( ) 0 Οπότε ln + 0 ln e f( ) + f() 7 Από g( ) + g() είναι f ( ) + g( ) ( f() + g() ) Εφαρµόζουµε γενίκευση Θ.Blzan για την h () f() + g() στο [, ] 8 Από f() + + f() είναι f(), + + Λόγω της συνέχειας στο είναι f() + + αν αν Τελικά f() lim f() lim f( ) lim f() f() f( ) 0 f() ( f() ) 0 f () f() + f() Από το κριτήριο παρεµβολής διαπιστώνουµε ότι lim f() f(0) 0

30 Παρουσίαση 0 Από f () f() 00 + f() ( f () + ) Οπότε f() f () + Από το κριτήριο παρεµβολής διαπιστώνουµε ότι lim f() f(0) 0 lim f () lim f () lim f (f()) lim f ( ) f( ) f() f( ) Εφαρµόζουµε το Θ.Blzan για την f() λ + κ στο [ 0,] Α) f () + f() + και f ( ) + f( ) + Β ) Αφαιρώντας είναι f () f ( ) + f() f( ) + 0 και τελικά f() f( ) f () + f( )f() + f ( ) + Β ) Το f () + f( )f() + f ( ) + είναι τριώνυµο και έχει µέγιστο το f ( ) + α Συνεπώς f () + f( )f() + f ( ) + άρα και f () + f( )f() + f ( ) + Β ) Από f() f( ) f () + f( )f() + f ( ) + είναι τελικά f() f( ) Γ) Εφαρµόζουµε κριτήριο παρεµβολής ) Από f() έχουµε f () +, R

31 Παρουσίαση

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 -6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α i = βi () β αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου 4 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες Α. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. f x > κοντά στο x0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. f x > κοντά στο x0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 3 Θέµα ο ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ B. α) Λάθος διότι η f είναι «-» που σηµαίνει δεν είναι πάντα γνησίως µονότονη. β) Σωστό διότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 27 Απριλίου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 27 Απριλίου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ < Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-009 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ πιο πάνω έννοιες εκφράζουν όπως λέμε τη μονοτονία της συνάρτησης.

ΟΙ πιο πάνω έννοιες εκφράζουν όπως λέμε τη μονοτονία της συνάρτησης. 3 Μονοτονία συναρτήσεων 3 Μονοτονία συναρτήσεων 3Α Μονοτονία συνάρτησης Έστω f μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Γνησίως αύξουσα συνάρτηση Η συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα στο Δ αν για κάθε, Δ, με

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α. = g(t)dt, x [0, 1] i) είξτε ότι F(x) > 0 για κάθε x (0, 1] ii) είξτε ότι f(x)g(x) > F(x) για κάθε x (0, 1] και G(x) για κάθε x (0, 1]

4 η ΕΚΑ Α. = g(t)dt, x [0, 1] i) είξτε ότι F(x) > 0 για κάθε x (0, 1] ii) είξτε ότι f(x)g(x) > F(x) για κάθε x (0, 1] και G(x) για κάθε x (0, 1] ΜΑΘΗΜΑ 48 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 η ΕΚΑ Α 3. Έστω f συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο [, ], µε f() >. ίνεται επίσης συνάρτηση g συνεχής στο [, ], για την οποία ισχύει g() > για κάθε [, ] Ορίζουµε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. β α

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. β α ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω µια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > 0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεµάτων στα Μαθηµατικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεµάτων στα Μαθηµατικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεµάτων στα Μαθηµατικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 3 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηµατικός teomail@sch.gr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα

Διαβάστε περισσότερα

Thanasis Xenos ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑΣ

Thanasis Xenos ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑΣ thanasisenos@yahoo.gr Thanasis Xenos )Αν µια συνάρτηση f είναι, τότε είναι γνησίως µονότονη; Η πρόταση δεν αληθεύει, διότι για παράδειγµα η συνάρτηση, f ( ) = είναι - και δεν είναι γνησίως µονότονη., >

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 9 ΜΑΪΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση z, z μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν z z = z z Έχουμε: z z = z z ( z z ) ( z z ) = z z z z = z z z z z z = z z z z. Το τελευταίο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4)

ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4) Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 3 Α. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη στο ο ; Β. Τι σηµαίνει γεωµετρικά το θεώρηµα Rolle ; Γ. Να αποδείξετε ότι ( ) a = a ln a (Μονάδες 5) (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x

x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x Σελίδα από 4 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Του Αντώνη Κυριακόπουλου Εισαγωγή Στην εργασία αυτή παραθέτω χρήσιµες επισηµάνσεις στις βασικές έννοιες των πραγµατικών συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστηµα [α, β] Αν G είναι µια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι: β f () t dt = G ( β) G ( α) a Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης

35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης 4 5 35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης Περίληψη: Στο ένθετο αυτό περιλαμβάνονται 35 βασικές προτάσεις, μικρά λήμματα χρήσιμα για τις εξετάσεις. Μας βοηθούν να «ξεκλειδώνουμε»

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o A. Θεωρία σελ. 7 Β. Θεωρία σελ. 47 Γ. α. Σωστό β. Σωστό γ. Σωστό δ. Λάθος (βρίσκεται "κάτω" από τη γραφική παράσταση) ε. Λάθος (π.χ. ()

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Άσκηση 1. Έστω ότι η συνάρτηση f: R R είναι γνησίως αύξουσα στο R και η γραφική της παράσταση τέµνει τον άξονα y y στο. Να λύσετε την ανίσωση: f(x 9)

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα 1 ο

1 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα 1 ο ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα ο Σε κάθε μια από τις ακόλουθες προτάσεις αφού πρώτα σημειώσετε το Σ (σωστή) ή το Λ (λανθασμένη), στη συνέχεια να δώσετε μια σύντομη τεκμηρίωση της όποιας απάντησή σας Αν για

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Παραδείγµατα στην συνέχεια συναρτήσεων

4.3 Παραδείγµατα στην συνέχεια συναρτήσεων 5. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο R. 6. Η συνάρτηση sin είναι συνεχής στο R. 7. Η συνάρτηση cos είναι συνεχής στο R. 8. Η συνάρτηση tan είναι συνεχής σε κάθε R µε k π + π/2, k Z. 9. Η συνάρτηση cotan είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑ 5. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση - Αντίστροφη συνάρτηση Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση :Α R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Α µε ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν η F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής zi,

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α . ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,

Διαβάστε περισσότερα

Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1 ο

Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1 ο Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Οι απαντήσεις βρίσκονται μετά τις εκφωνήσεις Εξετάστε αν είναι αληθείς ή ψευδείς οι παρακάτω προτάσεις και αιτιολογήστε.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ). Κεφάλαιο 4 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα 411 Ερώτηση θεωρίας 1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Πότε μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ) αβ; Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέμε

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 )

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 ) Συνέχεια Συνάρτησης Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 1 εκεµβρίου 013 1 Ορισµός Ορισµός 1.1 Μια πραγµατική συνάρτηση f : A R λέµε ότι είναι συνεχής στο x 0 A αν και µόνο αν : x x 0 fx

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο τουr Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα)

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 5 MAΪΟΥ 5 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω μια συνάρτηση f, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 47 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΜΑΘΗΜΑ 47 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 47 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 η ΕΚΑ Α Όχι βιαστικά, όχι αργά. Στο ρυθµό σου.. Έστω συνάρτηση f ορισµένη στο R µε συνεχή δεύτερη παράγωγο που ικανοποιεί τις σχέσεις f() f () και f ()f() + (f ()) f()f ()

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

7 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 61. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε. (e + 1)dt = x 1

7 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 61. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε. (e + 1)dt = x 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 η ΕΚΑ Α 6. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε t (e + )dt για κάθε R Για δυνατούς παίκτες i) είξτε ότι e f() + f() ii) είξτε ότι η f αντιστρέφεται και βρείτε την f iii)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 05 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 05 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ (IMF: 4o µεσοπρόθεσµο.) ( WWF:.εξοικονόµηση πόρων.) MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

( x) β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει. ξ µε g( ξ ) = 0. Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης.

( x) β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει. ξ µε g( ξ ) = 0. Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης. . Έστω συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιµη στο R, µε συνεχή δεύτερη παράγωγο και σύνολο τιµών το διάστηµα [, ] a β, όπου a< < β. Να αποδείξετε ότι: i) υπάρχουν δύο τουλάχιστον σηµεία,, µε, ώστε f ( ) =

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό, να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

α) () z i z iz i Αν z i τότε i( yi) i + + y y y ( y) i i y + 4y + 4, y y 4. Άρα z i. 4 β) ( z) z i z z i z ( i) z, οπότε ( z ) i z z Άρα z z γ) Αν z τ

α) () z i z iz i Αν z i τότε i( yi) i + + y y y ( y) i i y + 4y + 4, y y 4. Άρα z i. 4 β) ( z) z i z z i z ( i) z, οπότε ( z ) i z z Άρα z z γ) Αν z τ Λυμένα θέματα στους Μιγαδικούς αριθμούς. Δίνονται οι μιγαδικοί z, w και u z w. α) Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός z είναι φανταστικός αν και μόνο αν ισχύει z z. β) Αν για τους z και w ισχύει: z + w z w,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Θεωρία, Μεθοδολογία και Ασκήσεις Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης Αθήνα Περιεχόμενα ΕΝΟΤΗΤΑ η:... ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ... ΕΝΟΤΗΤΑ η: ΟΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) Δίνεται η εξίσωση z-=z-3i,zc α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία ε: -3y+4= β) Να βρείτε την εικόνα του μιγαδικού z, για τον οποίο το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση G () = F (α + β) είναι µια παράγουσα της h () = f (α + β), α α στο R. β + γ α+ γ. ** α) Να δείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÏÅÖÅ. x και f ( x ) >, τότε f ( ) 0

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÏÅÖÅ. x και f ( x ) >, τότε f ( ) 0 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 3 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµα ο Α. α) Έστω η συνάρτηση ( ) στο R και ισχύει: f '( ) ηµ f = συν. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης είναι

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

Φ4: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Φ4: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Φ4: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ -3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ -

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός ποαπασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου

Διαβάστε περισσότερα

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

6 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 51.

6 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 51. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6 η ΕΚΑ Α 5. ίνεται η συνάρτηση ln, αν > 0 f () 0, αν 0 Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0 i Να µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιµών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ 2012

ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ 2012 ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΘΕΜΑ A A. Απόδειξη Σελ. 53 Α. Ορισμός Σελ 9 Α3. Ορισμός Σελ 58 Α. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β.. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρ

ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρ ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρακάτω ερώτηση να γράψετε τη σωστή απάντηση. δ) Το z

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 151 ο. x -f(t) 2f(x)+f (x)= 2 e dt και f(0) = 0.

ΘΕΜΑ 151 ο. x -f(t) 2f(x)+f (x)= 2 e dt και f(0) = 0. ΘΕΜΑ 5 ο Έστω συνάρτηση f :[0, + ) παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, + ) για την οποία ισχύει : 2 -f(t) 2f()+f ()= 2 e dt και f(0) = 0. i) Να δείξετε ότι + f() 0 για κάθε є [0, + ). ii) Να δείξετε ότι η f

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η ισότητα στο σύνολο C των µιγαδικών αριθµών ορίζεται από την ισοδυναµία: α +βi = γ + δi α = γ και β = δ. Σ Λ. * Αν z = α + βi, α, β

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. c είναι παράγουσες της f στο Δ και κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G( x) F( x) c,

προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. c είναι παράγουσες της f στο Δ και κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G( x) F( x) c, Σύγχρονο www.asma.ro.gr ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. Μαθητικό Φροντιστήριο Κατά το πέρας της εξέτασης οι λύσεις θα αναρτηθούν στο και στο sit του φροντιστηρίου. 5ης Μαρτίου ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗ 5

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 5 α) f β) f 1 1 9 γ) f δ) f log 1 4 ημ ημ συν ε) f α) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί + (1) Έχουμε: (1).(

Διαβάστε περισσότερα

Διαγωνίσματα ψηφιακού βοηθήματος σχολικού έτους

Διαγωνίσματα ψηφιακού βοηθήματος σχολικού έτους ΨΗΦΙΑΚΌ ΒΟΗΘΗΜΑ ΥΠΠΕΘ Διαγωνίσματα ψηφιακού βοηθήματος σχολικού έτους 7-8 Με τις λύσεις τους o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 7: ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ

Διαβάστε περισσότερα