ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS 1
1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΡΟΗ O νόμος του Gauss και o νόμος του Coulomb είναι δύο εναλλακτικές διατυπώσεις της ίδιας βασικής σχέσης μεταξύ μιας κατανομής φορτίου και του ηλεκτρικού πεδίου που δημιουργεί. O νόμος του Coulomb περιγράφει το πεδίο που δημιουργείται σε ένα σημείο P από ένα σημειακό φορτίο q. O νόμος του Gauss αντιμετωπίζει την περιγραφή του πεδίου από για γενική κατανομή φορτίου. Όταν δοθεί μία κατανομή φορτίου, την περιβάλλουμε με μία υποθετική επιφάνεια, η οποία περικλείει το φορτίο. Μετά εξετάζουμε το ηλεκτρικό πεδίο σε διάφορα σημεία πάνω στην επιφάνεια. O νόμος του Gauss είναι μία σχέση μεταξύ του πεδίου σε όλα τα σημεία της επιφάνειας και του ολικού φορτίου που περικλείεται από την επιφάνεια. Για τη διατύπωση του νόμου του Gauss θα χρησιμοποιήσουμε την έννοια της ηλεκτρικής ροής, ή ροής του ηλεκτρικού πεδίου δια μέσου μιας επιφάνειας. Ορίζουμε, ότι η ηλεκτρική ροή Φ Ε δια μέσου της επιφάνειας A είναι ίση με το γινόμενο της έντασης του πεδίου E επί το εμβαδόν A της επιφάνειας: 2
1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΡΟΗ Μπορούμε να απεικονίσουμε τη Φ Ε με τις δυναμικές γραμμές του πεδίου, που διαπερνούν την επιφάνεια A. Μεγαλύτερη επιφάνεια σημαίνει, ότι περισσότερες γραμμές διαπερνούν την επιφάνεια και ισχυρότερο πεδίο σημαίνει πυκνότερες γραμμές και επομένως περισσότερες γραμμές ανά μονάδα επιφάνειας. Αν η μικρή επιφάνεια Α είναι επίπεδη αλλά δεν είναι κάθετη προς το ηλεκτρικό πεδίο E, τότε τη διαπερνούν λιγότερες δυναμικές γραμμές. Στην περίπτωση αυτή, σημασία έχει η επιφάνεια Α στο Σχ. 23-1b, δηλαδή η προβολή της επιφάνειας Α σε επίπεδο κάθετο στο E και είναι ίση προς A cos φ. Μπορούμε να εκφράσουμε την ηλεκτρική ροή χρησιμοποιώντας την έννοια του διανυσματικού εμβαδού A, μία διανυσματική ποσότητα με μέτρο A και κατεύθυνση κάθετη στην επιφάνεια την οποία περιγράφουμε. Συναρτήσει του A η ηλεκτρική ροή ισούται: E E A 3
1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΡΟΗ H μονάδα ηλεκτρικής ροής στo SI είναι 1 Ν m 2 /C. Αν το ηλεκτρικό πεδίο E δεν είναι ομογενές αλλά μεταβάλλεται από σημείο σε σημείο πάνω στην επιφάνεια A, ή αν η A είναι τμήμα καμπύλης επιφάνειας, τότε χωρίζουμε την επιφάνεια σε πολλά στοιχειώδη εμβαδά da και υπολογίζουμε την ηλεκτρική ροή ολοκληρώνοντας : E EdA Ονομάζουμε το ολοκλήρωμα αυτό επιφανειακό ολοκλήρωμα της συνιστώσας Ε εφ' όλης της επιφάνειας, ή το επιφανειακό ολοκλήρωμα του E da. Πρέπει πάντοτε να καθορίζουμε ποια κατεύθυνση έχουμε επιλέξει. Με το νόμο του Gauss θα εργαζόμαστε πάντα με την ολική ροή δια μέσου κλειστής επιφάνειας, η οποία έχει δύο όψεις, εσωτερική και εξωτερική. Θα επιλέγουμε πάντοτε την κατεύθυνση προς τον εξωτερικό της επιφάνειας χώρο, και θα μιλάμε για τη ροή που διαπερνά την επιφάνεια προς τα έξω 4
2. Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS O νόμος του Gauss δηλώνει, ότι η ολική ηλεκτρική ροή πού διαπερνά μια οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια είναι ανάλογη προς το ολικό φορτίο που περικλείει η επιφάνεια. Θεωρούμε, το πεδίο ενός θετικού σημειακού φορτίου q. Οι δυναμικές γραμμές του εκτείνονται προς τα έξω ακτινικά προς όλες τις κατευθύνσεις. Τοποθετούμε το φορτίο αυτό στο κέντρο μιας φανταστικής σφαιρικής επιφάνειας ακτίνας R. Το μέτρο E της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου σε κάθε σημείο πάνω στην επιφάνεια δίνεται από τη σχέση H ολική ηλεκτρική ροή είναι το γινόμενο του μέτρου του πεδίου επί το ολικό εμβαδόν Α = 4πR 2 της σφαίρας H ροή είναι ανεξάρτητη από την ακτίνα R της σφαίρας. Εξαρτάται μόνο από το φορτίο, που περικλείεται από τη σφαίρα. 5
2. Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS Στην περίπτωση όπου η κλειστή επιφάνεια έχει ακανόνιστο σχήμα τότε νόμος του Gauss γίνεται: E E da H σχέση αυτή ισχύει για οποιοδήποτε σχήμα επιφάνειας, με την προϋπόθεση ότι η επιφάνεια, που περικλείει το φορτίο q, είναι κλειστή. O κύκλος στο σύμβολο ολοκληρώσεως μας υπενθυμίζει, ότι το ολοκλήρωμα υπολογίζεται σε ολόκληρη την κλειστή επιφάνεια. q 0 6
2. Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS Τα στοιχειώδη εμβαδά da κατευθύνονται πάντοτε προς το εξωτερικό του όγκου, που οριοθετείται από την επιφάνεια. Η ηλεκτρική ροή είναι θετική σε περιοχές όπου το ηλεκτρικό πεδίο κατευθύνεται προς το εξωτερικό της επιφάνειας και αρνητική όπου κατευθύνεται προς το εσωτερικό. Προφανώς το Ε είναι θετικό σε σημεία όπου το E κατευθύνεται προς το εξωτερικό της επιφάνειας και αρνητικό όπου κατευθύνεται προς το εσωτερικό. Για μία κλειστή επιφάνεια η οποία δεν περιέχει φορτία ισχύει E da 0 E Η σχέση αυτή δηλώνει ότι όταν ένας χώρος δεν περιέχει φορτία, όσες δυναμικές γραμμές (προκαλούμενες από φορτία έξω από τον χώρο) εισέρχονται από τη μία πλευρά πρέπει να εξέρχονται από την άλλη. Το Σχ. 23-7 δείχνει αυτή την περίπτωση. Δυναμικές γραμμές μπορούν να αρχίζουν ή να τελειώνουν σε μία περιοχή χώρου, μόνο όταν εκεί υπάρχει φορτίο. 7
2. Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS Υποθέτουμε, οτι η επιφάνεια περικλείει όχι ένα μόνο σημειακό φορτίο αλλά περισσότερα φορτία q 1, q 2, q 3...Το ολικό (συνιστάμενο) ηλεκτρικό πεδίο E σε κάθε σημείο είναι ίσο προς το διανυσματικό άθροισμα των πεδίων E των μεμονωμένων φορτίων. Ονομάζουμε Q encl το ολικό φορτίο που περικλείεται από την επιφάνεια: Q encl = q 1 + q 2 +q 3 +. Επίσης ονομάζουμε E το ολικό πεδίο στη στοιχειώδη επιφάνεια da και de την κάθετη συνιστώσα του στο da. Στην περίπτωση αυτή, παίρνουμε την γενική διατύπωση του νόμου του Gauss: E E da Το Q encl, είναι ίσο πάντα με το αλγεβρικό άθροισμα όλων των φορτίων που περικλείονται από την επιφάνεια και E είναι το ολικό πεδίο σε κάθε σημείο της επιφάνειας. Όταν Q encl = 0, δηλαδή το αλγεβρικό άθροισμα όλων των φορτίων είναι μηδέν, τότε, η ολική ροή δια μέσου της επιφάνειας πρέπει να είναι μηδέν, αν και μερικές περιοχές μπορεί να έχουν θετική ροή και άλλες αρνητική. Q encl 0 8
Ο νόμος του Gauss ισχύει για οποιαδήποτε κατανομή φορτίων και για οποιαδήποτε επιφάνεια, μπορεί να χρησιμοποιηθεί όταν το σύστημα έχει ιδιότητες συμμετρίας οι οποίες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων ροής. O νόμος του Gauss είναι δρόμος διπλής κατεύθυνσης. Αν γνωρίζουμε την κατανομή του φορτίου και αν αυτή έχει αρκετή συμμετρία, που μας επιτρέπει να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα στον νόμο του Gauss, μπορούμε να υπολογίσουμε το πεδίο. Ή αν γνωρίζουμε το πεδίο, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον νόμο του Gauss για να βρούμε την κατανομή του φορτίου, όπως φορτία πάνω σε αγώγιμες επιφάνειες. 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19