ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 7: Ηλεκτρική Ροή-Νόμος Gauss-Κλωβός Faraday

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 7: Ηλεκτρική Ροή-Νόμος Gauss-Κλωβός Faraday"

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ Ενότητα 7: Ηλεκτρική Ροή-Νόμος Gauss-Κλωβός Faraday Τσόκας Γρηγόρης Καθηγητής Εφαρμοσμένης Γεωφυσικής, Τομέας Γεωφυσικής Παπαζάχος Κωνσταντίνος Καθηγητής Γεωφυσικής, Τομέας Γεωφυσικής

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση των σχετικών σχημάτων και ασκήσεων. 4

5 ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΓΡΑΜΜΕΣ Η ΓΡΑΜΜΕΣ ΠΕΔΙΟΥ-1 Το διάνυσμα του ηλεκτρικού πεδίου εφάπτεται σε κάθε σημείο μιας δυναμικής γραμμής. Δείχνουν την κατεύθυνση του Ε σε κάθε σημείο. Η πυκνότητά τους δηλώνει το μέτρο του Ε. ΟΙ ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΑΣ ΒΟΗΘΟΥΝ ΝΑ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΟΥΜΕ ΤΟ ΠΕΔΙΟ.

6 ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΓΡΑΜΜΕΣ Η ΓΡΑΜΜΕΣ ΠΕΔΙΟΥ-2 Σε κάθε σημείο το Ε έχει μοναδική τιμή (μέτρο, διεύθυνση, φορά) Από το σημείο περνάει μια και μοναδική γραμμή πεδίου

7 ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΔΙΠΟΛΑ-1 Ζεύγος ίσων ηλεκτρικών φορτίων με αντίθετα πρόσημα, έστω q και q σε απόσταση l Έστω ότι το δίπολο είναι μέσα σε ομογενές πεδίο Ε Στα δύο φορτία εξασκούνται δυνάμεις με ίσο μέτρο F=qE αλλά σε αντίθετες κατευθύνσεις. Συνισταμένη δύναμη 0 αλλά συνισταμένη ροπή μη μηδενική. Έχουμε δηλαδή ζεύγος δυνάμεων.

8 ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΔΙΠΟΛΑ-2 Αν φ είναι η γωνία μεταξύ του άξονα του δίπολου και του πεδίου, τότε η μηχανική ροπή που ασκείται στο δίπολο είναι τ (qe)(lsin ) Όπου lsinφ είναι η απόσταση των φορέων των δυνάμεων. Το μέγεθος ql ονομάζεται ηλεκτρική διπολική ροπή και συμβολίζεται με p ΜΟΝΑΔΕΣ Cm

9 ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΔΙΠΟΛΑ-3 ΟΡΙΖΟΥΜΕ ΤΗ ΔΙΠΟΛΙΚΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΡΟΠΗ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΜΕ ΜΕΤΡΟ ql ΚΑΙ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΠΟ ΤΟΝ ΑΡΝΗΤΙΚΟ ΠΡΟΣ ΤΟΝ ΘΕΤΙΚΟ ΠΟΛΟ ΠΑΝΩ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΟΥ ΔΙΠΟΛΟΥ Επομένως το μέτρο της μηχανικής ροπής είναι: τ p Esin Ως συνάρτηση του μέτρου της διπολικής ηλεκτρικής ροπής p Εφόσον φ είναι η γωνία μεταξύ του ηλεκτρικού πεδίου και της διπολικής ροπής. τ pe

10 Για να αλλάξει η κατεύθυνση του διπόλου μέσα στο ηλεκτρικό πεδίο η ροπή εκτελεί έργο και βέβαια μεταβάλλεται η δυναμική ενέργεια. Η ροπή τείνει μειώσει τη γωνία φ, επομένως τ=-pesinφ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΔΙΠΟΛΑ-4 p Η ροπή είναι μέγιστη όταν τα και E είναι κάθετα και μηδενίζεται όταν είναι παράλληλα ή αντιπαράλληλα. dw d pe Για πεπερασμένη στροφή από φ 1 σε φ 2 sin d 2 W pe sin d pe cos 2 pe cos 1 1

11 ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΔΙΠΟΛΑ-5 p Το έργο είναι μεταβολή της δυναμικής ενέργειας W=U1-U2 p Δαπανάται εξωτερικά όταν αυξάνει αυτή η ενέργεια Εκτελείται από το πεδίο όταν μειώνεται η ενέργεια. p Επομένως είναι το αντίθετο της μεταβολής της δυναμικής ενέργειας.

12 ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΔΙΠΟΛΑ-6 Επομένως ο κατάλληλος ορισμός της δυναμικής ενέργειας είναι U( ) pecos U p E Η δυναμική ενέργεια : είναι ελαχίστη στη θέση ευσταθούς ισορροπίας όταν φ=0 είναι μέγιστη στη θέση ασταθούς ισορροπίας όταν φ=π και είναι 0 όταν φ=π/2 ΕΛΑΧΙΣΤΗ σημαίνει όσο πιο αρνητική γίνεται

13 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ-1 Έχουμε ηλεκτρικό δίπολο μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο με μέτρο 5 x 10 5 N/C όπως φαίνεται στο σχήμα. Τα φορτία είναι 1,6 x C και βρίσκονται σε απόσταση 0,125 x 10-9 m. Να βρεθούν: Α) Η συνολική δύναμη που εξασκείται από το πεδίο στο δίπολο. Β) Το μέτρο και η κατεύθυνση της ηλεκτρικής διπολικής ροπής. Γ) Το μέτρο και η κατεύθυνση της μηχανικής ροπής. Δ) Η δυναμική ενέργεια του συστήματος στη θέση αυτή.

14 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ-2 Α) Η συνολική δύναμη είναι μηδέν εφόσον ασκούνται δυο ίσες και αντίθετες δυνάμεις. Β) Το διάνυσμα p κατευθύνεται από το αρνητικό προς το θετικό φορτίο. Επομένως σχηματίζει γωνία με το ηλεκτρικό πεδίο. p p ql (1, , ) Cm Cm

15 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Γ) pe sin ( )(sin 145 )( Cm N / C ) 5,7 10 Nm Με τον κανόνα του δεξιού χεριού βρίσκουμε ότι η μηχανική ροπή κατευθύνεται έξω από το επίπεδο της διαφάνειας. Δ) U pe cos , J 5 )(cos ( Cm N / C ) cos , 8192

16 ΠΕΔΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΔΙΠΟΛΟΥ-1 Έχουμε ένα ηλεκτρικό δίπολο και υιοθετούμε σύστημα συντεταγμένων όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν το μήκος του διπόλου είναι l να βρεθεί το ηλεκτρικό πεδίο σε σημείο του άξονα y το οποίο απέχει πολύ μεγάλη απόσταση από το δίπολο (δηλαδή y είναι πολύ μεγαλύτερο από το l). Να χρησιμοποιηθεί το ανάπτυγμα του διωνύμου (1 x ) n 1 nx n ( n 1) x 2 / 2..., όταν x 1

17 ΠΕΔΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΔΙΠΟΛΟΥ-2 Τα φορτία προκαλούν πεδία στο τυχαίο σημείο y κατά μήκος αυτού του άξονα εφόσον ο άξονας είναι και ακτινική διεύθυνση για τα δεδομένα του παραδείγματος. E y q y l / 2 y l / q 0 y l / 2 y 1 l / 2 y 2

18 ΠΕΔΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΔΙΠΟΛΟΥ-3 Επειδή η ποσότητα l/2y είναι πολύ μικρότερη της μονάδος εφόσον υπολογίζουμε το πεδίο πολύ μακριά από το δίπολο, εφαρμόζουμε το διωνυμικό τύπο για n=-2 και κρατάμε μόνο τους πρώτους όρους. Οι υπόλοιποι όροι είναι πολύ μικροί 1 l / 2 y l / 2 y 1 l / y 1 l / y E y 4 q 0 y 2 1 l / y 1 l / y 4 ql 0 y 3 4 p 0 y 3

19 ΠΕΔΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΔΙΠΟΛΟΥ-4 Για σημεία που δεν είναι στους άξονες, οι μαθηματικές εκφράσεις του πεδίου γίνονται περίπλοκες. Σε κάθε περίπτωση όμως το πεδίο μειώνεται αντίστροφα με την Τρίτη δύναμη της απόστασης. E 1 r 3 Όταν έχουμε δύο δίπολα σε μικρή απόσταση μεταξύ τους (τετράπολο). E r 1 4

20 ΔΗΛΑΔΗ ΓΙΑ ΔΙΑΦΟΡΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΕΧΟΥΜΕ Πολύ μακριά από την πηγή το πεδίο μειώνεται ως εξής ΕΙΔΟΣ ΠΗΓΗΣ ΜΕΙΩΣΗ ΑΝΑΛΟΓΗ ΤΟΥ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑ ΔΙΠΟΛΟ 1/r 3 ΣΗΜΕΙΑΚΗ ΠΗΓΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΦΟΡΤΙΩΝ ΕΠΙΠΕΔΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΦΟΡΤΙΩΝ 1/r 2 1/r Ανεξάρτητη από το r

21 ΑΣΚΗΣΗ Θετικό φορτίο είναι κατανεμημένο ομοιόμορφα πάνω σε ημικύκλιο με ακτίνα α. Ποίο είναι το ηλεκτρικό πεδίο στο κέντρο; y a P x

22 ΑΣΚΗΣΗ Ηλεκτρόνιο βάλλεται μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο με μέτρο 500 N/C και κατεύθυνση κατακόρυφα προς τα επάνω. Η αρχική ταχύτητα του ηλεκτρονίου είναι 4 x 10 6 m/s και το διάνυσμα της ταχύτητας σχηματίζει γωνία 30 0 με την οριζόντιο. Να βρεθούν: Α) Το μέγιστο ύψος που θα φτάσει το ηλεκτρόνιο πάνω από το αρχικό του ύψος. Β) Μετά από πόση οριζόντια μετατόπιση επιστρέφει στο αρχικό του ύψος. Επίσης να σχεδιαστεί η τροχιά του ηλεκτρονίου. Η επιτάχυνση της βαρύτητας να θεωρηθεί αμελητέα.

23 ΣΥΝΟΨΗ-1 Το ολικό φορτίο κλειστού συστήματος είναι σταθερό (αρχή διατήρησης του φορτίου). Οι αγωγοί επιτρέπουν την κίνηση φορτίου δια μέσου τους ενώ οι μονωτές όχι. Οι ημιαγωγοί έχουν ενδιάμεσες ιδιότητες. Οι ηλεκτρικές αλληλεπιδράσεις είναι κατά πολύ ισχυρότερες της βαρυτικής και σ αυτές οφείλεται η δομή των ατόμων, των μορίων και των στερεών. Σημειακά φορτία αλληλεπιδρούν με το νόμο του Coulomb. Οι δυνάμεις που αναπτύσσονται υπακούουν στον τρίτο νόμο του Newton (δράση-αντίδραση).

24 ΣΥΝΟΨΗ-2 Στις ηλεκτρικές αλληλεπιδράσεις ισχύει ο νόμος της επαλληλίας. Το ηλεκτρικό πεδίο είναι δύναμη ανά μονάδα φορτίου. Ισχύει η αρχή της επαλληλίας για πεδία συνδυασμού πηγών. Σε κάθε σημείο του χώρου μια δυναμική γραμμή εφάπτεται του διανύσματος του πεδίου στο σημείο. Αν ηλεκτρικό δίπολο βρεθεί μέσα σε ηλεκτρικό πεδίο υφίσταται ροπή.

25 ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΡΟΗ-1 Ηλεκτρική ροή δια μέσου της επιφάνειας εμβαδού Α, κάθετης σε ομογενές πεδίο Ε Φ Ε =ΕΑ Χονδρικά, μεγαλύτερη επιφάνεια σημαίνει ότι περισσότερες δυναμικές γραμμές διαπερνούν την επιφάνεια. Ισχυρότερο πεδίο σημαίνει πυκνότερες γραμμές και επομένως περισσότερες ανά μονάδα επιφανείας. Θεωρούμε τη μικρή επιφάνεια Α επίπεδη αλλά μπορεί να μην είναι κάθετη στο πεδίο Ε. Τότε τη διαπερνούν λιγότερες γραμμές απ ότι αν ήταν κάθετη. Στη περίπτωση αυτή έχει σημασία η προβολή της επιφάνειας Α σε επίπεδο κάθετο στο πεδίο. Φ Ε =ΕΑcosφ

26 ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΡΟΗ-2 Εφόσον Φ E E E A Χρησιμοποιώντας την έννοια του διανυσματικού εμβαδού είναι η συνιστώσα του Ε η κάθετη στην επιφάνεια Α : Φ E Φ Ε =ΕΑcosφ E A Μονάδα 1 Νm 2 /C Αν το ηλεκτρικό πεδίο δεν είναι ομογενές (δηλαδή μεταβάλλεται από θέση σε θέση πάνω στην επιφάνεια Α) ή συμβαίνει η Α να μην είναι επίπεδη αλλά τμήμα καμπύλης επιφάνειας. ΤΟΤΕ ΧΩΡΙΖΟΥΜΕ ΤΗΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΣΕ ΠΟΛΛΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΕΜΒΑΔΑ da ΚΑΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΝΟΥΜΕ Φ E Ecos da E da E d A E

27 ΡΟΗ ΡΕΥΣΤΟΥ (π.χ. Το νερό που ρέει μέσα σε ένα λάστιχο ποτίσματος) Η παροχή νερού μέσα από ένα σωλήνα είναι πόσα κυβικά μέτρα περνούν ανά sec. Είναι δηλαδή dv/dt. Αυτή είναι ίση με τη διατομή του σωλήνα επί την ταχύτητα ροής. dv dt A

28 ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΜΕ ΡΟΗ ΡΕΥΣΤΟΥ ΔΙΑ ΜΕΣΟΥ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ Όταν η επιφάνεια (εμβαδόν συρμάτινου πλαισίου) είναι κάθετη στην ταχύτητα ροής υ, η παροχή ρευστού είναι dv dt da Όταν σχηματίζεται γωνία φ μεταξύ διανύσματος ταχύτητας και καθέτου στο πλαίσιο dv dt dacos Δηλαδή, σε διανυσματική μορφή, η παροχή δια μέσου επιφανείας Α είναι υ da

29 Διάνυσμα μοναδιαίο κάθετο στην επιφάνεια n Με χρήση του μοναδιαίου κάθετου στην επιφάνεια διανύσματος, το στοιχειώδες τμήμα επιφανείας μπορεί να γραφεί da n da Επειδή όμως κάθε επιφάνεια έχει δύο όψεις, ορίζουμε ως κατεύθυνση της επιφάνειας αυτή προς το ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ της

30 ΡΟΗ ΔΙΑ ΜΕΣΟΥ ΔΙΣΚΟΥ-1 Έστω δίσκος ακτίνας 0,10 m προσανατολίζεται έτσι ώστε το μοναδιαίο του διάνυσμα n να σχηματίζει γωνία 30 0 με ομογενές ηλεκτρικό Ε πεδίο μέτρου 2,0x10 3 N/C Α) Πόση είναι η ολική ηλεκτρική ροή δια μέσου του δίσκου; Β) Πόση είναι η ολική ροή αν στραφεί έτσι ώστε το επίπεδό του να είναι παράλληλο προς το Ε; Γ) Πόση είναι η ολική ροή αν η κάθετη σε αυτόν είναι παράλληλη προς το Ε;

31 ΡΟΗ ΔΙΑ ΜΕΣΟΥ ΔΙΣΚΟΥ-2 Α) Φ Ε =ΕΑcosφ=(2,0x10 3 N/C)( m 2 )(cosφ)=54 Nm 2 /C Β) 0 90 cos 0 0 E Γ) Φ Ε =ΕΑcosφ=(2,0x10 3 N/C)( m 2 )(cos0)=63 Nm 2 /C

32 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ-1 Έστω θετικό φορτίο 3,0 μc περιβάλλεται από σφαίρα ακτίνας 0,2 m της οποίας το κέντρο συμπίπτει με τη θέση του φορτίου. Να βρεθεί η ηλεκτρική ροή δια μέσου της σφαίρας που οφείλεται στο φορτίο.

33 ΛΥΣΗ-1 Το πεδίο σε απόσταση r είναι: E 1 4 π 0 r q 2 (9, Nm 2 /C 2 ) 3,0 10 (0,2m) 6 2 C 6, N/C Το πεδίο είναι κάθετο στη σφαίρα σε κάθε σημείο της απόρροια της συμμετρίας της σφαίρας. Επομένως E E

34 ΛΥΣΗ-2 Φ E E da E da EA E 4 r 2 (6, N/C) 4 π (0,2m) 2 3, Nm 2 /C Η ακτίνα της σφαίρας δεν παίζει κανένα ρόλο στον υπολογισμό μας γιατί Φ E EA 1 4 π 0 r q 2 4 π r 2 ε q 0

35 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS Η ολική ροή που διαπερνά μια κλειστή επιφάνεια είναι ανάλογη του ηλεκτρικού φορτίου που περιέχεται Στο παράδειγμα της ροής δια μέσου σφαίρας αποδείξαμε ότι : Φ E E A 1 q 4 π 0 r 2 4 π r ΔΗΛΑΔΗ Η ΡΟΗ ΔΕΝ ΕΞΑΡΤΑΤΑΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΚΤΙΝΑ ΤΗΣ ΣΦΑΙΡΑΣ 2 ε q 0 Επομένως αν ως κλειστή επιφάνεια πάρουμε μια φανταστική σφαίρα, ο παραπάνω τύπος αποδεικνύει το θεώρημα του Gauss.

36 Johann Carl Friedrich Gauss Γεννήθηκε : 30 Απριλίου, 1777 στο Brunswick (Γερμανία) Απεβίωσε: 23 Φεβρουαρίου 1855 στο Göttingen, Hanover (Γερμανία)

37 ΧΡΗΣΗ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΤΟΥ GAUSS-1 Αν θεωρήσουμε δύο ομόκεντρες σφαίρες με ακτίνες R και 2R, σύμφωνα με το νόμο του Coulomb το πεδίο στην επιφάνεια της εξωτερικής σφαίρας είναι ¼ αυτού στην επιφάνεια της εσωτερικής. Όμως το εμβαδόν της εξωτερικής (μεγάλης) σφαίρας θα είναι τετραπλάσιο του εμβαδού της εσωτερικής (μικρής). Έτσι ο συνολικός αριθμός των δυναμικών γραμμών που διαπερνούν τις δύο σφαίρες είναι ίσος.

38 ΧΡΗΣΗ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΤΟΥ GAUSS-2 Ότι ισχύει για όλη τη σφαίρα ισχύει και για τμήμα της επιφάνειάς της έστω da. Η προβαλλόμενη επιφάνεια στη μεγάλη σφαίρα έχει εμβαδόν 4dA. Η ηλεκτρική ροή είναι ίδια και για τα δύο εμβαδά.

39 ΧΡΗΣΗ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΤΟΥ GAUSS-3 Αντί της εξωτερικής σφαίρας που είχαμε προηγούμενα μπορούμε να θεωρήσουμε μια ακανόνιστη κλειστή επιφάνεια. Επίσης θεωρούμε στοιχειώδες τμήμα επιφανείας da της ακανόνιστης επιφάνειας, το οποίο είναι προφανώς μεγαλύτερο από το εμβαδόν τμήματος σφαίρας στην ίδια απόσταση.

40 ΧΡΗΣΗ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΤΟΥ GAUSS-4 Ε Η ροή μέσα από το στοιχείο της ακανόνιστης επιφάνειας είναι E d A E da E cos da Ας δούμε τώρα τι είναι το cos da

41 ΧΡΗΣΗ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΤΟΥ GAUSS-5 d l lcosφ l x d=da lcosφ x d=l x dcosφ=dacosφ Άρα η προβολή της ακανόνιστης επιφάνειας da (κίτρινη) στη σφαίρα (άσπρη επιφάνεια) είναι dacosφ Η ροή μέσα από το στοιχείο της ακανόνιστης επιφάνειας da είναι EdAcosφ και αντιστοιχεί στη ροή μέσα από το σφαιρικό στοιχείο στο οποίο προβάλλεται το ακανόνιστο.

42 ΧΡΗΣΗ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΤΟΥ GAUSS-6 Αυτό γίνεται επειδή κάθε ένα από τα στοιχειώδη εμβαδά της ακανόνιστης επιφάνειας προβάλλεται πάνω σε αντίστοιχο στοιχειώδες εμβαδόν, τμήμα σφαιρικής επιφάνειας. Μπορούμε να διαιρέσουμε όλη την ακανόνιστη επιφάνεια σε στοιχειώδη εμβαδά, κάθε ένα από τα οποία έχει στοιχειώδη ροή EdAcosφ και να ολοκληρώσουμε.

43 ΧΡΗΣΗ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΤΟΥ GAUSS-7 Η ολική ροή μέσα από την ακανόνιστη επιφάνεια είναι ίση με τη ροή δια μέσου της Φ E E d A σφαίρας, δηλαδή q/ε 0 ε q 0 Η ολική ροή είναι θετική όταν το πεδίο κατευθύνεται προς το εξωτερικό της επιφάνειας και αρνητική όταν κατευθύνεται προς το εσωτερικό της. Αν το Ε κατευθύνεται προς το εσωτερικό, τότε το cosφ είναι αρνητικό γιατί είναι μεγαλύτερο των 90 0, και το Φ Ε γίνεται αρνητικό.

44 ΧΡΗΣΗ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΤΟΥ GAUSS-8 Για μια κλειστή επιφάνεια που δεν περιέχει φορτία Φ E E d A 0 Δηλαδή όσες δυναμικές γραμμές εισέρχονται τόσες εξέρχονται.

45 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΤΟΥ GAUSS Αν η επιφάνεια περικλείει όχι ένα αλλά πολλά φορτία Φ E E d A Q ε encl 0 ΠΡΟΣΟΧΗ: ΤΑ ΦΟΡΤΙΑ ΕΞΩ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΔΕ ΣΥΝΕΙΣΦΕΡΟΥΝ ΣΤΗΝ ΟΛΙΚΗ ΡΟΗ. Αν Q encl =0 τότε και Φ Ε =0 q 1 q 2 ε q ΑΠΟΔΕΙΞΑΜΕ ΤΟ ΝΟΜΟ ΤΟΥ GAUSS ΞΕΚΙΝΩΝΤΑΣ ΑΠΟ ΤΟ ΝΟΜΟ ΤΟΥ COULOMB. ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΘΑ ΑΠΟΔΕΙΞΟΥΜΕ ΚΑΙ ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ.

46 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ-2 Έστω ηλεκτρικό δίπολο όπως στο σχήμα. Να βρεθεί η ηλεκτρική ροή δια μέσου των επιφανειών A,B,C και D.

47 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ-3 Για τη C: Φ E 0 Για τη Α: Φ E 0 Για τη Β: Φ E 0 Για τη D: Φ E 0

48 ΠΕΡΙΣΣΕΙΑ ΦΟΡΤΙΟΥ ΣΕ ΣΤΕΡΕΟ ΣΥΜΠΑΓΗ ΑΓΩΓΟ-1 Έστω ότι βάζουμε επιπλέον φορτίο σε συμπαγή αγωγό Ξέρουμε όμως ότι στην ηλεκτροστατική (=φορτία σε ηρεμία) το ηλεκτρικό πεδίο στο εσωτερικό αγώγιμου σώματος είναι ΜΗΔΕΝ. Επομένως είναι μηδέν και πάνω σε οποιαδήποτε Γκαουσσιανή επιφάνεια μέσα στον αγωγό όπως η Α Βάσει του νόμου του Gauss δε μπορεί να υπάρχει φορτίο στο εσωτερικό της επιφάνειας αυτής Όμως η επιφάνεια αυτή μπορεί να συρρικνωθεί στη Β και ακόμη περισσότερο στο σημείο Ρ

49 ΠΕΡΙΣΣΕΙΑ ΦΟΡΤΙΟΥ ΣΕ ΣΤΕΡΕΟ ΣΥΜΠΑΓΗ ΑΓΩΓΟ-2 Επομένως δεν υπάρχει φορτίο στο σημείο και επιπλέον αυτό το σημείο μπορεί να είναι οποιοδήποτε μέσα στον αγωγό. ΔΗΛΑΔΗ ΔΕ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΥΠΑΡΞΕΙ ΦΟΡΤΙΟ ΣΕ ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ ΣΗΜΕΙΟ ΤΟΥ ΑΓΩΓΟΥ.

50 ΠΕΔΙΟ ΣΥΜΠΑΓΟΥΣ ΑΓΩΓΙΜΗΣ ΣΦΑΙΡΑΣ-1 Τοποθετούμε φορτίο σε συμπαγή αγώγιμη σφαίρα, αυτό θα κατανεμηθεί στην επιφάνειά της. E Το πεδίο είναι ακτινικό λόγω της συμμετρίας. Θεωρούμε ως Γκαουσσιανή επιφάνεια μια σφαίρα ακτίνας r εξωτερικά του αγωγού ο οποίος έχει ακτίνα R Το μέτρο του πεδίου (Ε) είναι ομογενές πάνω στη σφαίρα ακτίνας r και η διεύθυνσή του είναι κάθετη στην επιφάνειά της. Επομένως η ολοκλήρωση του νόμου του Gauss γίνεται 2 q E E d A 4 r E 2 4 π 0 r ε 0 1 q

51 ΠΕΔΙΟ ΣΥΜΠΑΓΟΥΣ ΑΓΩΓΙΜΗΣ ΣΦΑΙΡΑΣ-2 Ακριβώς έξω από την αγώγιμη σφαίρα, όταν δηλαδή r=r, έχουμε E 4 π 0 R Στο εσωτερικό έχουμε Ε=0 1 q 2 Στο όριο R Η σφαίρα φαίνεται σημειακό φορτίο Καταλήξαμε στο νόμο του Coulomb από το νόμο του Gauss. Προηγούμενα είχαμε κάνει το ανάποδο. ΕΠΟΜΕΝΩΣ ΟΙ ΔΥΟ ΝΟΜΟΙ ΕΙΝΑΙ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΙ

52 ΠΕΔΙΟ ΣΥΜΠΑΓΟΥΣ ΑΓΩΓΙΜΗΣ ΣΦΑΙΡΑΣ-3 Υπό ηλεκτροστατικές συνθήκες το ηλεκτρικό πεδίο στο εσωτερικό μιας συμπαγούς αγώγιμης σφαίρας είναι μηδέν. Έξω από τη σφαίρα, το ηλεκτρικό πεδίο εξασθενεί όπως το 1/r 2, ως αν η περίσσεια φορτίου ήταν συγκεντρωμένη στο κέντρο.

53 ΠΕΔΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ ΑΠΕΙΡΟΥ ΜΗΚΟΥΣ-1 ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΟ ΣΕ ΣΥΡΜΑ Το φορτίο ανά μονάδα μήκους είναι λ Πάλι το πεδίο είναι ακτινικό λόγω συμμετρίας. Τίποτε δεν αλλάζει με στροφή γύρω από τον άξονα (σύρμα) και επίσης τίποτε δεν αλλάζει για μετατόπιση κατά μήκος του άξονα. Το πεδίο δεν μπορεί να έχει συνιστώσα παράλληλη στο σύρμα γιατί τότε κάτι θα διαφοροποιούσε το ένα άκρο από το άλλο. Επίσης δεν μπορεί να έχει συνιστώσα εφαπτόμενη σε κύκλο με κέντρο το σύρμα γιατί τότε θα έπρεπε να εξηγηθεί γιατί έχει φορά κατά τη μία διεύθυνση και όχι κατά την άλλη.

54 ΠΕΔΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ ΑΠΕΙΡΟΥ ΜΗΚΟΥΣ-2 Θεωρούμε ως Γκαουσσιανή επιφάνεια ένα κύλινδρο με ακτίνα r, μήκος l και να έχει άξονα το σύρμα (βάσεις κάθετες στο σύρμα). Το ολικό φορτίο μέσα στον κύλινδρο είναι Q encl =λl

55 ΠΕΔΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ ΑΠΕΙΡΟΥ ΜΗΚΟΥΣ-3 Το ολοκλήρωμα επί της επιφάνειας του κυλίνδρου αναλύεται σε δύο ολοκληρώματα επί των δύο δίσκων που είναι οι βάσεις συν ένα ακόμη για την παράπλευρη επιφάνεια. Στις βάσεις του κυλίνδρου τα Ε και da είναι κάθετα μεταξύ τους, επομένως η ροή μέσα από τις βάσεις είναι ΜΗΔΕΝ. Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας είναι 2πrl (E)(2 rl) l 0 E r

56 ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ-1 Όλο το φορτίο συμμετέχει στη διαμόρφωση του πεδίου αλλά εμείς κάνουμε υπολογισμούς μόνο για το τμήμα που είναι μέσα στη Γκαουσσιανή επιφάνεια. Λαμβάνουμε όμως υπόψη όλο το φορτίο όταν κάνουμε χρήση της συμμετρίας. Αν το σύρμα είχε μικρό μήκος, τότε το πεδίο Ε δεν θα ήταν σταθερό για μετατόπιση κατά μήκος του άξονα (ολίσθηση).

57 ΠΕΔΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΕΛΑΣΜΑΤΟΣ ΑΠΕΙΡΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ-1 Το φορτίο ανά μονάδα επιφανείας είναι σ Θεωρούμε ως Γκαουσσιανή επιφάνεια ένα κύλινδρο με εμβαδόν βάσης Α με τον άξονά του κάθετα στο έλασμα. Από τη συμμετρία συνάγεται ότι το πεδίο έχει το ίδιο μέτρο σε ίση απόσταση από τις πλευρές της επιφάνειας, διεύθυνση κάθετη στο έλασμα και φορά προς τα έξω (εφόσον το φορτίο είναι θετικό).

58 ΠΕΔΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΕΛΑΣΜΑΤΟΣ ΑΠΕΙΡΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ-2 Το πεδίο είναι παράλληλο στην παράπλευρη επιφάνεια ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΡΟΗ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΑΥΤΗ Στις βάσεις το πεδίο είναι κάθετο με ίσο μέτρο και η και υπάρχει μόνο η κάθετη συνιστώσα του, δηλαδή E E Η ολική ροή μέσα από τις βάσεις είναι Φ=2ΕΑ, εφόσον τα ολοκληρώματα απλοποιούνται 2EA A E 0 2 0

59 ΠΕΔΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΕΛΑΣΜΑΤΟΣ ΑΠΕΙΡΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ-3 ΤΟ ΠΕΔΙΟ ΕΙΝΑΙ ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΑ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟ!!! ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ E 2 0 Το πεδίο είναι ανεξάρτητο από την απόσταση από το έλασμα, έχει δηλαδή το ίδιο μέτρο παντού και επομένως είναι ομογενές. Οι δυναμικές γραμμές είναι παράλληλες και ομοιόμορφα κατανεμημένες.

60 ΠΕΔΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΑΓΩΓΙΜΩΝ ΠΛΑΚΩΝ ΜΕ ΑΝΤΙΘΕΤΑ ΦΟΡΤΙΑ-1 Το φορτίο ανά μονάδα επιφανείας είναι σ και σ Τα φορτία κατανέμονται στις επιφάνειες των πλακών, έτσι ώστε να είναι περισσότερα στις εσωτερικές γιατί έλκονται μεταξύ τους. Το πεδίο επίσης θα έχει τη θυσανωτή μορφή που φαίνεται στο σχήμα και εάν οι πλάκες έχουν πολύ μεγαλύτερες διαστάσεις από τη μεταξύ τους απόσταση, η διάχυση του πεδίου θα είναι αμελητέα στο χώρο εκτός των πλακών.

61 ΠΕΔΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΑΓΩΓΙΜΩΝ ΠΛΑΚΩΝ ΜΕ ΑΝΤΙΘΕΤΑ ΦΟΡΤΙΑ-2 Το πεδίο οπουδήποτε εκτός των πλακών (π.χ. Στα σημεία a και c), το οφειλόμενο σε μια μόνο πλάκα θα είναι : και θα έχει πρόσημο ίδιο με το φορτίο της συγκεκριμένης πλάκας απ όπου προέρχεται. E 2 0 Επομένως το συνολικό πεδίο θα είναι μηδέν οπουδήποτε εξωτερικά των πλακών (σημεία a και c) εφόσον πρόκειται για πρόσθεση δύο συγγραμμικών, ίσου μέτρου αλλά αντιθέτου φοράς διανυσμάτων.

62 ΠΕΔΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΑΓΩΓΙΜΩΝ ΠΛΑΚΩΝ ΜΕ ΑΝΤΙΘΕΤΑ ΦΟΡΤΙΑ-3 Στο εσωτερικό κάθε πλάκας (δηλαδή στο υλικό) το πεδίο θα είναι πάλι μηδέν σύμφωνα με τις αρχές της ηλεκτροστατικής. Στο μεταξύ τους χώρο, βάσει της αρχής της επαλληλίας, σε κάθε σημείο έχουμε την πρόσθεση δύο πεδίων, τα οποία όμως έχουν την ίδια διεύθυνση, φορά και μέτρο. Επομένως, σε οποιοδήποτε εσωτερικό σημείο στο μεταξύ των πλακών χώρο το πεδίο θα είναι: E 0

63 ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΑ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΗ ΜΟΝΩΤΙΚΗ ΣΦΑΙΡΑ-1 Υποθέτουμε ότι ηλεκτρικό φορτίο είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο σ όλο τον όγκο μονωτικής σφαίρας ακτίνας R. Αν το ολικό φορτίο είναι Q να βρεθεί το ηλεκτρικό πεδίο σε σημείο Ρ εντός της σφαίρας, το οποίο είναι σε απόσταση r από το κέντρο της.

64 ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΑ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΗ ΜΟΝΩΤΙΚΗ ΣΦΑΙΡΑ-2 Επιλέγουμε τη Γκαουσσιανή επιφάνεια να είναι σφαίρα ομόκεντρη του μονωτή με ακτίνα r μικρότερη της ακτίνας του μονωτή R και διερχόμενη από το σημείο Ρ. ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΦΟΡΤΙΟΥ 4 3 Q R 3

65 ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΑ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΗ ΜΟΝΩΤΙΚΗ ΣΦΑΙΡΑ-3 Ο όγκος που περικλείεται από τη Γκαουσσιανή επιφάνεια είναι V =4/3πr 3. Q encl V 4 3 Q R Το πεδίο είναι το ίδιο σε κάθε σημείο της Γκαουσσιανής επιφάνειας εφόσον έχουμε ομοιόμορφη κατανομή φορτίου, πράγμα που επιβάλλει συμμετρία. r 3 Q r R 3 3 Φ E E A EA Q encl 0 E 4 r 2 Qr 0 R 3 3 E Qr 4 0 R 3

66 ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΑ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΗ ΜΟΝΩΤΙΚΗ ΣΦΑΙΡΑ-4 Στην επιφάνεια του μονωτή έχουμε: E 4 QR Q 3 R 4 R 0 0 ΔΗΛΑΔΗ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ (ΠΡΟΦΑΝΩΣ ΚΑΙ ΟΠΟΥΔΗΠΟΤΕ ΕΞΩ ΑΠΟ ΑΥΤΗ) ΤΟ ΠΕΔΙΟ ΕΧΕΙ ΙΔΙΟ ΜΕΤΡΟ ΣΑΝ ΝΑ ΗΤΑΝ ΟΛΟ ΤΟ ΦΟΡΤΙΟ ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΜΕΝΟ ΣΤΟ ΚΕΝΤΡΟ. 2

67 ΦΟΡΤΙΑ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ Στο εσωτερικό συμπαγούς αγωγού δε μπορεί να υπάρξει φορτίο ούτε πεδίο Σε επιφάνεια κοιλότητας κενής φορτίων επίσης δε μπορεί να υπάρξει πεδίο (αποδεικνύεται με χρήση του νόμου του Gauss). Εάν υπάρχει φορτίο μέσα στην κοιλότητα αλλά όχι σε επαφή με τον αγωγό, τότε στην επιφάνεια της κοιλότητας εμφανίζεται ίσο φορτίο με αυτό που είναι μέσα. Έτσι, το συνολικό φορτίο που περικλείει η επιφάνεια Α του σχήματος είναι 0.

68 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ-4 Το σχήμα δείχνει τη διατομή αγωγού, ο οποίος έχει συνολικό φορτίο 7nC. Στην κοιλότητα υπάρχει φορτίο -5nC, μονωμένο από τον αγωγό. Πόσο είναι το φορτίο σε κάθε επιφάνεια, εσωτερική και εξωτερική του αγωγού.

69 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ-5 Στην επιφάνεια της κοιλότητας το φορτίο πρέπει να είναι +5 nc για να ισχύει ο νόμος του Gauss μέσα στον αγωγό. Εφόσον ο αγωγός έχει συνολικό φορτίο 7 nc, τότε η εξωτερική επιφάνεια πρέπει να έχει φορτίο +2 nc (5 Nc + 2 nc = 7 nc)

70 ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΟΥ FARADAY ΜΕ ΤΟΝ ΚΑΔΟ ΤΟΥ ΠΑΓΟΥ (a) Μία φορτισμένη αγώγιμη σφαίρα αναρτάται με ένα μονωτικό νήμα έξω από ένα αγώγιμο δοχείο πάνω σε μονωτικό στήριγμα. (b) Η σφαίρα οδηγείται μέσα στο δοχείο και τοποθετείται το σκέπασμα του δοχείου. Φορτία επάγονται στα τοιχώματα του δοχείου. (c) Όταν η σφαίρα αγγίξει την εσωτερική επιφάνεια του δοχείου, ολόκληρο το φορτίο της μεταφέρεται στο δοχείο και εμφανίζεται στην εξωτερική επιφάνεια του δοχείού.

71 MICHAEL FARADAY Γεννήθηκε : 22 Σεπτεμβρίου, 1777 στο Newington, Surrey (Αγγλία) Απεβίωσε: 25 Αυγούστου 1867 στο Λονδίνο

72 ΓΕΝΝΗΤΡΙΑ VAN DE GRAAF-1 Το φορτίο στο σφαιρικό φλοιό παίρνει πολύ γρήγορα πολύ μεγάλη τιμή. Το φορτίο συσσωρεύεται στο φλοιό (μεταλλική σφαίρα) και εσωτερικά του είναι πάντα μηδέν από το νόμο του Gauss. Χρησιμοποιείται σε επιταχυντές σωματίων και πειραματικές επιδείξεις ς.

73 ΓΕΝΝΗΤΡΙΑ VAN DE GRAAF-2 Αν αγγίξουμε τη σφαίρα το φορτίο θα μεταφερθεί στα άκρα μας σύμφωνα με το νόμο του Gauss.

74 ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΗ ΘΩΡΑΚΙΣΗ-ΚΛΩΒΟΣ ΤΟΥ FARADAY-1 Αν έχουμε ένα αγώγιμο κιβώτιο και εφαρμόσουμε ένα εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο, τότε τα φορτία του αγωγού ανακατανέμονται και δημιουργούν ένα πρόσθετο ηλεκτρικό πεδίο το οποίο μηδενίζει το πεδίο μέσα στον αγωγό. Έτσι είμαστε σε συμφωνία με το νόμο του Gauss

75 ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΗ ΘΩΡΑΚΙΣΗ-ΚΛΩΒΟΣ ΤΟΥ FARADAY-2 Οι κλωβοί του Faraday βρίσκουν εφαρμογή στην θωράκιση καλωδίων, ηλεκτρικών και ηλεκτρονικών συσκευών, κ.λ.π. Xαρακτηριστική εκδήλωση του φαινομένου στη φύση είναι ότι όταν χτυπάει κεραυνός τα αεροπλάνα (και αυτό συμβαίνει συχνά) οι επιβάτες δεν παθαίνουν ηλεκτροπληξία, κανείς δεν παθαίνει τίποτε.

76 ΑΣΚΗΣΗ-1 Έχουμε έναν πολύ λεπτό αγωγό σχήματος παραλληλογράμμου και σε κοιλότητα στο εσωτερικό του βρίσκεται φορτίο Q. Αν το συνολικό φορτίο του αγωγού είναι επίσης Q. Ποιό είναι το φορτίο στην εξωτερική επιφάνεια του αγωγού; -Q

77 ΑΣΚΗΣΗ-2 Qεσωτερικό = φορτίο εσωτερικής επιφάνειας Qεξωτερικό = φορτίο εξωτερικής επιφάνειας -Q Q ό Q Q ό Q ό Q Q ό Από το νόμο του Gauss στο μικρό παραλληλόγραμμο (μπλε διακεκομμένη γραμμή): Η ροή του ηλεκτρικού πεδίου μέσα από αυτή πρέπει να είναι μηδέν εφόσον το πεδίο είναι μηδέν εκεί που βρίσκεται το παραλληλόγραμμο (μέσα σε αγωγό). Q 2 Q ό

78 ΑΣΚΗΣΗ-3 Σε συνέχεια της προηγούμενης άσκησης φέρνουμε ένα φορτίο +Q κοντά στον αγωγό. Να υπολογιστεί η ηλεκτρική ροή δια μέσου της επιφάνειας που σημειώνεται με κόκκινο χρώμα. -Q. +Q E Q encl 0 Q Q 0 Q Q 0

79 ΑΣΚΗΣΗ-4 Έστω αγωγός σε σχήμα λεπτού σφαιρικού κελύφους με ακτίνα 2 m. Στο κέντρο του υπάρχει φορτίο 2μC το οποίο προφανώς δεν είναι σε επαφή με τον αγωγό. Το κέλυφος έχει συνολικό φορτίο -1μC. Πόσο είναι το ηλεκτρικό πεδίο σε απόσταση 5 m από το κέντρο του κελύφους και πόσο σε απόσταση 1 m. Αν γειώσουμε το κέλυφος, πόσο θα είναι το συνολικό φορτίο του κελύφους. -1 μc 2 m 2 μc

80 2 m 2 μc -1 μc ΑΣΚΗΣΗ-5 C / N X E m C 10 /C Nm 1 2 ) 10 (9,0 E r 4 Q E Q r E encl 0 encl 2 C / N X 10 0,36 E m C 10 /C Nm ) 10 (9,0 E r 4 Q E Q r E encl 0 encl 2 Α) Β)

81 ΑΣΚΗΣΗ-6 Γ) ΠΡΙΝ ΤΗ ΓΕΙΩΣΗ Στην εσωτερική επιφάνεια του κελύφους επάγεται φορτίο -2 μc. Εφόσον το συνολικό φορτίο του κελύφους είναι -1 μc τότε η εξωτερική επιφάνειά του έχει φορτίο +1 μc (αρχή διατήρησης φορτίου). ΜΕΤΑ ΤΗ ΓΕΙΩΣΗ Το φορτίο 1 μc μεταφέρεται στη Γη. Τώρα το συνολικό φορτίο της σφαίρας είναι -2 μc εφόσον υπάρχει μόνο αυτό της εσωτερικής επιφάνειας του κελύφους.

82 ΑΣΚΗΣΗ 23-7 Πόσα επιπλέον ηλεκτρόνια πρέπει να προστεθούν σε ένα μονωμένο σφαιρικό αγωγό διαμέτρου 0,180 m για την παραγωγή πεδίου 1300 N/C ακριβώς έξω από την επιφάνεια ;

83 ΑΣΚΗΣΗ 23-2 Θεωρείστε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο στην κατεύθυνση + x με μέτρο Ε=6 x 10 3 N/C. Α) Ποια είναι η ηλεκτρική ροή που διαπερνά την έδρα ενός κύβου, η οποία έχει πλευρά 0,8 m και το επίπεδο της έδρας σχηματίζει γωνία 37 0 με τη διεύθυνση του πεδίου; B) Ποια είναι η ηλεκτρική ροή που διαπερνά όλες τις έδρες του κύβου; 83

84 ΑΣΚΗΣΗ Μια αγώγιμη συμπαγής σφαίρα με φορτίο q έχει ακτίνα α. Αυτή βρίσκεται στο εσωτερικό μιας άλλης κοίλης ομόκεντρης σφαίρας και αγώγιμης με εσωτερική ακτίνα b και εξωτερική c. Η κοίλη σφαίρα δεν φέρει φορτίο Α) Βρείτε εκφράσεις του μέτρου του πεδίου συναρτήσει της απόστασης r από το κέντρο για τις περιοχές r<a a<r<b b<r<c r>c Β) Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση το μέτρου του πεδίου ως συνάρτηση του r από r=ο έως r=2c

85 ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ένα ομογενές ηλεκτρικό πεδίο Ε 1 κατευθύνεται προς τα έξω από μια έδρα ενός παραλληλεπιπέδου και ένα άλλο ομογενές πεδίο Ε 2 κατευθύνεται προς τα μέσα από την απέναντι έδρα. Τα μέτρα είναι Ε 1 =3,5 x 10 4 N/C και Ε 2 =5 x 10 4 N/C. Υποθέτουμε ότι δεν υπάρχουν άλλες ηλεκτρικές γραμμές που διαπερνούν τις επιφάνειες. Ποιό είναι το ολικό φορτίο που περικλείεται από το παραλληλεπίπεδο; (ΥΠΕΝΘΥΝΙΣΗ: Το ηλεκτρικό πεδίο δημιουργείται από φορτία μέσα και έξω από το παραλληλεπίπεδο).

86 ΣΥΝΟΨΗ Η ηλεκτρική ροή είναι ίση προς το ολοκλήρωμα του γινομένου ενός στοιχείου επιφανείας επί την κάθετη σε αυτό συνιστώσα του Ε Φ E d A Ecos da E da E Ο νόμος του Gauss είναι ισοδύναμος με το νόμο του Coulomb. Ο νόμος του Gauss δηλώνει ότι η ηλεκτρική ροή διαμέσου κλειστής επιφάνειας είναι ανάλογη με το φορτίο που περικλείεται. Το φορτίο εγκαθίσταται στην επιφάνεια αγωγού και το πεδίο είναι παντού μηδέν μέσα στον αγωγό.

87 Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Παπαζάχος Κωνσταντίνος, Τσόκας Γρηγόριος. «. Ηλεκτρική Ροή-Νόμος Gauss- Κλωβός Faraday». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

88 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1]

89 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος Ενότητας Επεξεργασία: Βεντούζη Χρυσάνθη Θεσσαλονίκη, Χειμερινό Εξάμηνο

90 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

Ενημέρωση. Η διδασκαλία του μαθήματος, όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή

Ενημέρωση. Η διδασκαλία του μαθήματος, όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΡΟΗ O νόμος του Gauss και o νόμος του Coulomb είναι δύο εναλλακτικές διατυπώσεις της ίδιας βασικής σχέσης μεταξύ μιας κατανομής φορτίου και του

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός - Οπτική - Σύγχρονη Φυσική Ενότητα: Ηλεκτρομαγνητισμός

Ηλεκτρομαγνητισμός - Οπτική - Σύγχρονη Φυσική Ενότητα: Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρομαγνητισμός - Οπτική - Σύγχρονη Φυσική Ενότητα: Ηλεκτρομαγνητισμός Βαρουτάς Δημήτρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών 7/15/2014 Ο νόμος του Gauss Νόμος Gauss Ο νόμος

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ. Ενότητα 2: Ο νόμος του Gauss. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε.

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ. Ενότητα 2: Ο νόμος του Gauss. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 2: Ο νόμος του Gauss Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss Νίκος Ν. Αρπατζάνης Νόμος Gauss Ο νόµος του Gauss εκφράζει τη σχέση μεταξύ της συνολικής ηλεκτρικής ροής που διέρχεται από μια κλειστή επιφάνεια και του φορτίου

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 2: Ταχύτητα - Επιτάχυνση

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 2: Ταχύτητα - Επιτάχυνση ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ Ενότητα 2: Ταχύτητα - Επιτάχυνση Παπαζάχος Κωνσταντίνος Καθηγητής Γεωφυσικής, Τομέας Γεωφυσικής Τσόκας Γρηγόρης Καθηγητής Εφαρμοσμένης

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 1: Εισαγωγή στη Φυσική-Ακρίβεια & Σημαντικά Ψηφία- Βαθμωτά Μεγέθη-Διανυσματικά Μεγέθη

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 1: Εισαγωγή στη Φυσική-Ακρίβεια & Σημαντικά Ψηφία- Βαθμωτά Μεγέθη-Διανυσματικά Μεγέθη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ Ενότητα 1: Εισαγωγή στη -Ακρίβεια & Σημαντικά Ψηφία- Βαθμωτά Μεγέθη-Διανυσματικά Μεγέθη Παπαζάχος Κωνσταντίνος Καθηγητής Γεωφυσικής,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 3: Οι νόμοι του Νεύτωνα

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 3: Οι νόμοι του Νεύτωνα ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ Ενότητα 3: Οι νόμοι του Νεύτωνα Παπαζάχος Κωνσταντίνος Καθηγητής Γεωφυσικής, Τομέας Γεωφυσικής Τσόκας Γρηγόρης Καθηγητής Εφαρμοσμένης

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 4: Κινητική ενέργεια-έργο-ισχύς- Δυναμική ενέργεια

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 4: Κινητική ενέργεια-έργο-ισχύς- Δυναμική ενέργεια ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ Ενότητα 4: Κινητική ενέργεια-έργο-ισχύς- Δυναμική ενέργεια Παπαζάχος Κωνσταντίνος Καθηγητής Γεωφυσικής, Τομέας Γεωφυσικής Τσόκας

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ Οι αρχαίοι Έλληνες ανακάλυψαν από το 600 π.χ. ότι, το κεχριμπάρι μπορεί να έλκει άλλα αντικείμενα όταν το τρίψουμε με μαλλί.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 6: Ηλεκτρικό Φορτίο-Νόμος Coulomb- Ηλεκτρικό πεδίο-ηλεκτρικά Δίπολα

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 6: Ηλεκτρικό Φορτίο-Νόμος Coulomb- Ηλεκτρικό πεδίο-ηλεκτρικά Δίπολα ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ Ενότητα 6: Ηλεκτρικό Φορτίο-Νόμος Coulomb- Ηλεκτρικό πεδίο-ηλεκτρικά Δίπολα Τσόκας Γρηγόρης Καθηγητής Εφαρμοσμένης Γεωφυσικής,

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 4 Ενότητα 17

Λογισμός 4 Ενότητα 17 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 17: Το επί-επιφάνειο ολοκλήρωμα διανυσματικών πεδίων. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23 Ροή (γενικά): Ηλεκτρική Ροή Η ποσότητα ενός μεγέθους που διέρχεται από μία επιφάνεια. Ε Ε dα dα θ Ε Ε θ Ηλεκτρική ροή dφ Ε μέσω στοιχειώδους επιφάνειας da (αφού da στοιχειώδης

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

Ενημέρωση. Η διδασκαλία του μαθήματος, όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή

Ενημέρωση. Η διδασκαλία του μαθήματος, όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΙΙΙ. Ενότητα: Ηλεκτροστατική ΜΑΪΝΤΑΣ ΞΑΝΘΟΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΙΙΙ. Ενότητα: Ηλεκτροστατική ΜΑΪΝΤΑΣ ΞΑΝΘΟΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙΙ Ενότητα: Ηλεκτροστατική ΜΑΪΝΤΑΣ ΞΑΝΘΟΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Σελίδα 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ... 4 Σελίδα 3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ηλεκτροστατική 1. Στις κορυφές κανονικού n-πλεύρου τοποθετούνται ίδια φορτία q. Να δειχθεί ότι η

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Νόμος Gauss, κίνηση σε ηλεκτρικό πεδίο. Ι. Γκιάλας Χίος, 28 Φεβρουαρίου 2014

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Νόμος Gauss, κίνηση σε ηλεκτρικό πεδίο. Ι. Γκιάλας Χίος, 28 Φεβρουαρίου 2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Νόμος Gauss, κίνηση σε ηλεκτρικό πεδίο Ι. Γκιάλας Χίος, 28 Φεβρουαρίου 214 Ασκηση συνολικό φορτίο λεκτρικό φορτίο Q είναι κατανεμημένο σε σφαιρικό όγκο ακτίνας R με πυκνότητα ορτίου ανάλογη του

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss Νίκος Ν. Αρπατζάνης Εισαγωγή Ο νόµος του Gauss: Μπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου. Βασίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΛΑΣΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΛΑΣΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΛΑΣΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Ενότητα 1: Στοιχεία Διανυσματικού Λογισμού Σκορδύλης Εμμανουήλ Καθηγητής Σεισμολογίας,

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική IΙ. Ενότητα 3: Ο Νόμος του Gauss. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Φυσική IΙ. Ενότητα 3: Ο Νόμος του Gauss. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Φυσική IΙ Ενότητα 3: Ο Νόμος του Gauss Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Ορισμός και ερμηνεία των δυναμικών γραμμών Παραδείγματα δυναμικών γραμμών σημειακού φορτίου,

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΣΤΗΝ ΥΛΗ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 6: Ακρότατα Συνάρτησης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 6: Ακρότατα Συνάρτησης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Ακρότατα Συνάρτησης Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις 2 ου Κεφαλαίου, Νόμος του Gauss

Ασκήσεις 2 ου Κεφαλαίου, Νόμος του Gauss Ασκήσεις 2 ου Κεφαλαίου, Νόμος του Guss 22.36.Μία αγώγιμη σφαίρα με φορτίο q έχει ακτίνα α. Η σφαίρα βρίσκεται στο εσωτερικό μίας κοίλης ομόκεντρης αγώγιμης σφαίρας με εσωτερική ακτίνα και εξωτερική ακτίνα.

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 19: Υπολογισμός Εμβαδού και Όγκου Από Περιστροφή (2 ο Μέρος) Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 19: Υπολογισμός Εμβαδού και Όγκου Από Περιστροφή (2 ο Μέρος) Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 19: Υπολογισμός Εμβαδού και Όγκου Από Περιστροφή ( ο Μέρος) Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 22 Νόµος του Gauss. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 22 Νόµος του Gauss. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 22 Νόµος του Gauss Περιεχόµενα Κεφαλαίου 22 Ηλεκτρική Ροή Ο Νόµος του Gauss Εφαρµογές του Νόµου του Gauss Πειραµατικές επιβεβαιώσεις για τους Νόµους των Gauss και Coulomb 22-1 Ηλεκτρική Ροή Ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 6η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι ϐαθµολογικά ισοδύναµες)

ΦΥΕ 14 6η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι ϐαθµολογικά ισοδύναµες) ΑΣΚΗΣΗ 1 ΦΥΕ 14 6η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 30-06-08 ( Οι ασκήσεις είναι ϐαθµολογικά ισοδύναµες) Α) Τρία σηµειακά ϕορτία τοποθετούνται στις κορυφές ενός τετραγώνου πλευράς α, όπως ϕαίνεται στο σχήµα 1. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 8: ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΑΞΟΝΑ. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε.

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 8: ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΑΞΟΝΑ. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΦΥΣΙΚΗ Ενότητα 8: ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΑΞΟΝΑ Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 11 Εισαγωγή στην Ηλεκτροδυναμική Ηλεκτρικό φορτίο Ηλεκτρικό πεδίο ΦΥΣ102 1 Στατικός

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 17: Αριθμητική Ολοκλήρωση, Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 17: Αριθμητική Ολοκλήρωση, Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7: Αριθμητική Ολοκλήρωση, Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.08.4: Υπολογισμός Όγκων Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 4 Ενότητα 19

Λογισμός 4 Ενότητα 19 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 19: Το Θεώρημα του Gauss. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 2: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε.

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 2: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΦΥΣΙΚΗ Ενότητα 2: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ 1 .1 ΤΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ Ας θεωρούμε το μαγνητικό πεδίο ενός κινούμενου σημειακού φορτίου q. Ονομάζουμε τη θέση του φορτίου σημείο πηγής

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014 Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 14 Άσκηση: Ηλεκτρικό πεδίο διακριτών φορτίων Δύο ίσα θετικά φορτία q βρίσκονται σε απόσταση α μεταξύ τους. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου,

Διαβάστε περισσότερα

Hλεκτρικό. Πεδίο. Ζαχαριάδου Αικατερίνη Γενικό Τμήμα Φυσικής, Χημείας & Τεχνολογίας Υλικών Τομέας Φυσικής ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ

Hλεκτρικό. Πεδίο. Ζαχαριάδου Αικατερίνη Γενικό Τμήμα Φυσικής, Χημείας & Τεχνολογίας Υλικών Τομέας Φυσικής ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Hλεκτρικό Πεδίο Ζαχαριάδου Αικατερίνη Γενικό Τμήμα Φυσικής, Χημείας & Τεχνολογίας Υλικών Τομέας Φυσικής ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Προτεινόμενη βιβλιογραφία: SRWAY, Physics fo scientists nd enginees YOUNG H.D., Univesity

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι) η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ, Αγωγοί Διηλεκτρικά. Ν. Τράκας, Ι. Ράπτης Ζωγράφου 27.3.

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι) η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ, Αγωγοί Διηλεκτρικά. Ν. Τράκας, Ι. Ράπτης Ζωγράφου 27.3. ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι) 8-9 η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Αγωγοί Διηλεκτρικά Ν. Τράκας Ι. Ράπτης Ζωγράφου 7.3.9 Να επιστραφούν λυμένες μέχρι.4.9 οι ασκήσεις 3 4 5 [ΠΡΟΣΟΧΗ: Οι λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 9: Κίνηση Σε Πολικές Συντεταγμένες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 9: Κίνηση Σε Πολικές Συντεταγμένες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9: Κίνηση Σε Πολικές Συντεταγμένες Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Hλεκτροδυναμική

Κλασική Hλεκτροδυναμική Κλασική Hλεκτροδυναμική Ενότητα 1: Εισαγωγή Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι μια σύντομη επανάληψη στις βασικές έννοιες της ηλεκτροστατικής.

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΗ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 4 Ενότητα 13

Λογισμός 4 Ενότητα 13 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Η αρνητική φορά του άξονα z είναι προς τη σελίδα. Για να βρούμε το μέτρο του Β χρησιμοποιούμε την Εξ. (2.3). Στο σημείο Ρ 1 ισχύει

Η αρνητική φορά του άξονα z είναι προς τη σελίδα. Για να βρούμε το μέτρο του Β χρησιμοποιούμε την Εξ. (2.3). Στο σημείο Ρ 1 ισχύει ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.. Σταθερό ρεύμα 5 Α μέσω χάλκινου σύρματος ρέει προς δεξαμενή ανοδείωσης. Υπολογίστε το μαγνητικό πεδίο που δημιουργείται από το τμήμα του σύρματος μήκους, cm, σε ένα σημείο που

Διαβάστε περισσότερα

Ορίζοντας την δυναμική ενέργεια σαν: Για μετακίνηση του φορτίου ανάμεσα στις πλάκες: Ηλεκτρικό Δυναμικό 1

Ορίζοντας την δυναμική ενέργεια σαν: Για μετακίνηση του φορτίου ανάμεσα στις πλάκες: Ηλεκτρικό Δυναμικό 1 Ηλεκτρική Δυναμική Ενέργεια Ένα ζεύγος παράλληλων φορτισμένων μεταλλικών πλακών παράγει ομογενές ηλεκτρικό πεδίο Ε. Το έργο που παράγεται πάνω σε θετικό δοκιμαστικό φορτίο είναι: W W Fl q y q l q y Ορίζοντας

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική ΙΙΙ. Ενότητα 4: Ηλεκτρικά Κυκλώματα. Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Φυσική ΙΙΙ. Ενότητα 4: Ηλεκτρικά Κυκλώματα. Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Φυσική ΙΙΙ Ενότητα 4: Ηλεκτρικά Κυκλώματα Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Ασκήσεις ΦΙΙΙ Γ. Βούλγαρης 2 Ταχύτητα ολίσθησης σε σύρμα από χαλκό. Διάμετρος δ=1,6 mm Ρεύμα 10 Α Πυκνότητα

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Φυσική Ενότητα: Δυναμική Άκαμπτου Σώματος

Γενική Φυσική Ενότητα: Δυναμική Άκαμπτου Σώματος Γενική Φυσική Ενότητα: Δυναμική Άκαμπτου Σώματος Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Βούλγαρης Τμήμα: Μαθηματικό Σελίδα 2 1. Ερωτήσεις Δυναμικής Άκαμπτου Σώματος... 4 1.1 Ερώτηση 1... 4 1.2 Ερώτηση 2... 4 1.3 Ερώτηση

Διαβάστε περισσότερα

Υπόγεια Υδραυλική και Υδρολογία

Υπόγεια Υδραυλική και Υδρολογία ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ DARCY Καθηγητής Κωνσταντίνος Λ. Κατσιφαράκης Αναπληρωτής Καθηγητής Νικόλαος Θεοδοσίου ΑΠΘ Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ 1. Οι δυναμικές γραμμές ηλεκτροστατικού πεδίου α Είναι κλειστές β Είναι δυνατόν να τέμνονται γ Είναι πυκνότερες σε περιοχές όπου η ένταση του πεδίου είναι μεγαλύτερη δ Ξεκινούν

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρική ροή. Εμβαδόν=Α

Ηλεκτρική ροή. Εμβαδόν=Α Ηλεκτρική ροή Hλεκτρική ροή: φυσικό μέγεθος (μονόμετρο) που δηλώνει τον αριθμό των δυναμικών γραμών ενός ηλεκτρικού πεδίου που διαπερνούν μία επιφάνεια. Εμβαδόν=Α Για παράδειγμα, η ηλεκτρική ροή για την

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΗ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 1: Συναρτήσεις και Γραφικές Παραστάσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 1: Συναρτήσεις και Γραφικές Παραστάσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Συναρτήσεις και Γραφικές Παραστάσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ Μάθημα ασκήσεων 8: Καλώδια Λαμπρίδης Δημήτρης Ανδρέου Γεώργιος Δούκας Δημήτριος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΙΙΙ. Ενότητα: Μαγνητοστατική ΜΑΪΝΤΑΣ ΞΑΝΘΟΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΙΙΙ. Ενότητα: Μαγνητοστατική ΜΑΪΝΤΑΣ ΞΑΝΘΟΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙΙ Ενότητα: Μαγνητοστατική ΜΑΪΝΤΑΣ ΞΑΝΘΟΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Σελίδα 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ... 4 Σελίδα 3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μαγνητοστατική. Σωματίδιο μάζας m φορτίου Q βρίσκεται αρχικά ακίνητο μέσα σε ομογενές μαγνητικό

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 5: Παράγωγος Πεπλεγμένης Συνάρτησης, Κατασκευή Διαφορικής Εξίσωσης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 5: Παράγωγος Πεπλεγμένης Συνάρτησης, Κατασκευή Διαφορικής Εξίσωσης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Παράγωγος Πεπλεγμένης Συνάρτησης, Κατασκευή Διαφορικής Εξίσωσης Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Α) Η επιφάνεια Gauss έχει ακτίνα r μεγαλύτερη ή ίση της ακτίνας του κελύφους, r α.

Α) Η επιφάνεια Gauss έχει ακτίνα r μεγαλύτερη ή ίση της ακτίνας του κελύφους, r α. 1. Ένα σφαιρικό κέλυφος που θεωρούμε ότι έχει αμελητέο πάχος έχει ακτίνα α και φέρει φορτίο Q, ομοιόμορφα κατανεμημένο στην επιφάνειά του. Βρείτε την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στο εξωτερικό και στο

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.08.3: Εμβαδά εκ Περιστροφής Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός - Οπτική - Σύγχρονη Φυσική Ενότητα: Στοιχεία Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ηλεκτρομαγνητισμός - Οπτική - Σύγχρονη Φυσική Ενότητα: Στοιχεία Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ηλεκτρομαγνητισμός - Οπτική - Σύγχρονη Φυσική Ενότητα: Στοιχεία Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Βαρουτάς Δημήτρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Νόμος Ampere Το ολοκλήρωμα του μαγνητικού

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Φυσική Ενότητα: Ταλαντώσεις

Γενική Φυσική Ενότητα: Ταλαντώσεις Γενική Φυσική Ενότητα: Ταλαντώσεις Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Βούλγαρης Τμήμα: Μαθηματικό Σελίδα 2 1. Ερωτήσεις Ταλαντώσεων... 4 1.1 Ερώτηση 1... 4 2. Ασκήσεις Ταλαντώσεων... 4 2.1 Άσκηση 1... 4 2.2 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Υποθέστε ότι έχουμε μερικά ακίνητα φορτισμένα σώματα (σχ.). Τα σώματα αυτά δημιουργούν γύρω τους ηλεκτρικό πεδίο. Αν σε κάποιο σημείο Α του ηλεκτρικού πεδίου τοποθετήσουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

(α) 1. (β) Το σύστημα βρίσκεται υπό διαφορά δυναμικού 12 V: U ολ = 1 2 C ολ(δv) 2 = J.

(α) 1. (β) Το σύστημα βρίσκεται υπό διαφορά δυναμικού 12 V: U ολ = 1 2 C ολ(δv) 2 = J. 4 η Ομάδα Ασκήσεων Δύο πυκνωτές C=5 μf και C=40 μf συνδέονται παράλληλα στους ακροδέκτες πηγών τάσης VS=50 V και VS=75 V αντίστοιχα και φορτίζονται Στην συνέχεια αποσυνδέονται και συνδέονται μεταξύ τους,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 4: ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ 2 ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΕΙ Δ. ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε.

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 4: ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ 2 ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΕΙ Δ. ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΦΥΣΙΚΗ Ενότητα 4: ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ 2 ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΕΙ Δ. ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 4 Ενότητα 18

Λογισμός 4 Ενότητα 18 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 18: Το Θεώρημα του Stokes. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ηλεκτρικό Δυναμικό Εικόνα: Οι διαδικασίες που συμβαίνουν κατά τη διάρκεια μιας καταιγίδας προκαλούν μεγάλες διαφορές ηλεκτρικού δυναμικού ανάμεσα στα σύννεφα και στο έδαφος. Το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ηλεκτρικό Δυναμικό Εικόνα: Οι διαδικασίες που συμβαίνουν κατά τη διάρκεια μιας καταιγίδας προκαλούν μεγάλες διαφορές ηλεκτρικού δυναμικού ανάμεσα στα σύννεφα και στο έδαφος. Το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

1η Εργασία στο Μάθημα Γενική Φυσική ΙΙΙ - Τμήμα Τ1. Λύσεις Ασκήσεων 1 ου Κεφαλαίου

1η Εργασία στο Μάθημα Γενική Φυσική ΙΙΙ - Τμήμα Τ1. Λύσεις Ασκήσεων 1 ου Κεφαλαίου 1η Εργασία στο Μάθημα Γενική Φυσική ΙΙΙ - Τμήμα Τ1 Λύσεις Ασκήσεων 1 ου Κεφαλαίου 1. Στον άξονα βρίσκονται δύο σημειακά φορτία q A = 1 μ και q Β = 45 μ, καθώς και ένα τρίτο σωματίδιο με άγνωστο φορτίο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι) η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Ν. Τράκας, Ι. Ράπτης 2/4/2018

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι) η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Ν. Τράκας, Ι. Ράπτης 2/4/2018 ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι) 7-8 η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Ν. Τράκας Ι. Ράπτης /4/8 Παράδοση των 3 4 5 μέχρι /4/8 [Σε χειρόγραφη μορφή στο μάθημα ή σε μορφή ενιαίου αρχείου PDF στις

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρικά Κυκλώματα Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

Ηλεκτρικά Κυκλώματα Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Ηλεκτρικά Κυκλώματα Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ Οι αρχαίοι Έλληνες ανακάλυψαν από το 600 π.χ. ότι, το κεχριμπάρι μπορεί να έλκει άλλα αντικείμενα όταν το τρίψουμε με μαλλί.

Διαβάστε περισσότερα

Το βαρυτικό πεδίο της Γης.

Το βαρυτικό πεδίο της Γης. Το βαρυτικό πεδίο της Γης. Θα μελετήσουμε το βαρυτικό πεδίο της Γης, τόσο στο εξωτερικό της όσο και στο εσωτερικό της, χρησιμοποιώντας τη λογική μελέτης του ηλεκτροστατικού πεδίου, με την βοήθεια της ροής.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Ενότητα 2: Συναρτήσεις Χώροι - Μεταβλητές Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική ΙΙΙ. Ενότητα 3: Επαγωγή. Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Φυσική ΙΙΙ. Ενότητα 3: Επαγωγή. Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Φυσική ΙΙΙ Ενότητα 3: Επαγωγή Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Χρονικά μεταβαλλόμενο πεδίο. Κυκλικό πηνίο με 100 σπείρες και αντίσταση =5 Ω, τοποθετείται γύρω από σωληνοειδές όπως

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ H.D. H.D. Young Πανεπιστημιακή Φυσική Εκδόσεις Παπαζήση Alonso Alonso / Finn Θεμελιώδης Πανεπιστημιακή Φυσική Α. Φίλιππας, Λ. Ρεσβάνης (Μετ.) R. A. Seway Φυσική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ Μάθημα ασκήσεων 6: Μακριά γραμμή μεταφοράς -Τετράπολα Λαμπρίδης Δημήτρης Ανδρέου Γεώργιος Δούκας Δημήτριος

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ενότητα 17: Μαγνητοστατική σε υλικά Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να ολοκληρώσει τα στοιχεία θεωρίας που αφορούν

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.05.3: Μέγιστα και Ελάχιστα Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Ενότητα Β.05.3: Μέγιστα

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ 15 Α. ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ COULOMB ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ 1. Στο χλωριούχο νάτριο (NaCl) η ελάχιστη απόσταση μεταξύ του ιόντος Να + και του ιόντος του Cl - είναι 2,3.10-10 m. Πόση είναι η

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων

Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων Ενότητα : Περιγραφή Δυναμικών Συστημάτων Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗ ΓΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Μοντέλο ατόμου m p m n =1,7x10-27 Kg m e =9,1x10-31 Kg Πυρήνας: πρωτόνια (p + ) και νετρόνια (n) Γύρω από τον πυρήνα νέφος ηλεκτρονίων (e -

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΕ Γ.Ο.Ι. ΧΩΡΟΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική (Ε) Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 2: Θεωρία ταλαντώσεων (Συνοπτική περιγραφή) Αικατερίνη Σκουρολιάκου. Τμήμα Ενεργειακής Τεχνολογίας

Φυσική (Ε) Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 2: Θεωρία ταλαντώσεων (Συνοπτική περιγραφή) Αικατερίνη Σκουρολιάκου. Τμήμα Ενεργειακής Τεχνολογίας Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Φυσική (Ε) Ενότητα 2: Θεωρία ταλαντώσεων (Συνοπτική περιγραφή) Αικατερίνη Σκουρολιάκου Τμήμα Ενεργειακής Τεχνολογίας Το περιεχόμενο του

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 4 Ενότητα 16

Λογισμός 4 Ενότητα 16 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 16: Το επι-επιφάνειο ολοκλήρωμα. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος B1) Δεδομένου του τύπου E = 2kλ/ρ που έχει αποδειχθεί στο μάθημα και περιγράφει το ηλεκτρικό πεδίο Ε μιας άπειρης γραμμής φορτίου με γραμμική πυκνότητα φορτίου λ σε σημείο Α που βρίσκεται σε απόσταση ρ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 13: Ακτίνα Σύγκλισης, Αριθμητική Ολοκλήρωση, Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 13: Ακτίνα Σύγκλισης, Αριθμητική Ολοκλήρωση, Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Ακτίνα Σύγκλισης, Αριθμητική Ολοκλήρωση, Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ηλεκτρικό Δυναμικό Εικόνα: Οι διαδικασίες που συμβαίνουν κατά τη διάρκεια μιας καταιγίδας προκαλούν μεγάλες διαφορές ηλεκτρικού δυναμικού ανάμεσα στα σύννεφα και στο έδαφος. Το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 14: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 14: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Οι διαδικασίες που συμβαίνουν κατά τη διάρκεια μιας καταιγίδας προκαλούν μεγάλες διαφορές ηλεκτρικού δυναμικού ανάμεσα στα σύννεφα και στο έδαφος. Το αποτέλεσμα αυτής της

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Φυσική. Ενότητα 7: Δυναμική Άκαμπτου Σώματος. Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών

Γενική Φυσική. Ενότητα 7: Δυναμική Άκαμπτου Σώματος. Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Γενική Φυσική Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Περιστροφή Άκαμπτου Σώματος 1) ) 1. Κάθε σημείο Περιστρέφεται με την ίδια Γωνιακή Ταχύτητα.. Κάθε σημείο Περιστρέφεται με την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΕ ΤΕΛΕΙΟΥΣ ΑΓΩΓΟΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων

Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων Ενότητα 6: Δυναμική μηχανής συνεχούς ρεύματος Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 21 Ηλεκτρικά Φορτία και Ηλεκτρικά Πεδία. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 21 Ηλεκτρικά Φορτία και Ηλεκτρικά Πεδία. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 21 Ηλεκτρικά Φορτία και Ηλεκτρικά Πεδία Στατικός Ηλεκτρισμός, Ηλεκτρικό Φορτίο και η διατήρηση αυτού Ηλεκτρικό φορτίο στο άτομο Αγωγοί και Μονωτές Επαγόμενα Φορτία Ο Νόμος του Coulomb Το Ηλεκτρικό

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ηλεκτρικό Δυναμικό Εικόνα: Οι διαδικασίες που συμβαίνουν κατά τη διάρκεια μιας καταιγίδας προκαλούν μεγάλες διαφορές ηλεκτρικού δυναμικού ανάμεσα στα σύννεφα και στο έδαφος. Το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα