ΠΜΣ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ METAΠTYXIAKH ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ -ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΠΜΣ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ METAΠTYXIAKH ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΟΜΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΟΥ ΗΜΙΤΟΝΟΥ ΓΙΑ ΑΣΥΡΜΑΤΟΥΣ ΠΟΜΠΟΔΕΚΤΕΣ BLUETOOTH/ZIGBEE. ΣΚΟΤΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ-ΔΡΟΣΟΣ Α.Μ.366 Επιβλέπων: Αναπλ. Καθ. Κων/νος Ψυχαλίνος ΠΑΤΡΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2012

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα Ειδική Επιστημονική Εργασία πραγματοποιήθηκε κατά το ακαδημαϊκό έτος 2011-2012, στα πλαίσια του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης «Ηλεκτρονική και Επικοινωνίες (Ραδιοηλεκτρολογία)», του τμήματος Φυσικής. Αρχικά, θα ήθελα να ευχαριστήσω με όλη μου την καρδιά τον Αναπληρωτή Καθηγητή κ. Κωνσταντίνο Ψυχαλίνο, ο οποίος ήταν ο επιβλέπων αυτής της εργασίας, τόσο για την εμπιστοσύνη που έδειξε προς το πρόσωπό μου και την ευκαιρία που μου έδωσε να δουλέψω υπό την καθοδήγηση του, όσο και για την αμέριστη και ουσιαστική βοήθεια που μου προσέφερε καθ όλη τη διάρκεια της εκπόνησης αυτής της εργασίας. Επίσης θα ήθελα να ευχαριστήσω τον κ. Γιώργο Σουλιώτη και τον κ.σπύρο Βλάσση για την πολύ καλή συνεργασία και την διαρκή υποστήριξή τους, καθώς και τις πολύτιμες συμβουλές τους κατά τη διάρκεια της Διπλωματικής μου εργασίας. Σ αυτό το σημείο θα ήθελα να ευχαριστήσω τους γονείς μου, που μου έδωσαν τα εφόδια και την δυνατότητα να βρίσκομαι εδώ και να ολοκληρώσω τις σπουδές μου. Και τέλος, το πιο σημαντικό κομμάτι στη λύση αυτού του παζλ το τοποθέτησε η κοπέλα μου Ελίζα καθώς ήταν και είναι στο πλευρό μου και στη ζωή μου. Σε ευχαριστώ. ~ i ~

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Βασικός στόχος της παρούσας Διπλωματικής Εργασίας είναι η μελέτη, η σχεδίαση, η εξομοίωση και η φυσική σχεδίαση ενός μιγαδικού ζωνοδιαβατού φίλτρου 12 ης τάξης στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου, τα blocks αυτά που προκύπτουν αποτελούν και τις βασικές δομικές μονάδες που απαρτίζουν το φίλτρο. Τα συγκεκριμένα φίλτρα είναι ρυθμισμένα ώστε να χρησιμοποιούνται σε εφαρμογές για ασύρματους πομποδέκτες Bluetooth και Zigbee. Στο Κεφάλαιο 1, αναφέρονται οι λόγοι για τους οποίους απαιτείται η σχεδίαση χαμηλής τάσης τροφοδοσίας, χαμηλής κατανάλωσης ισχύος, όπως επίσης και τα κυκλώματα τα οποία ευνοούν αυτή τη σχεδίαση. Στο Κεφάλαιο 2, γίνεται εισαγωγή της γενικής δομής των φίλτρων στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου. Παρουσιάζονται οι τελεστές που είναι απαραίτητοι για την υλοποίηση αυτών των φίλτρων, καθώς επίσης και οι μη γραμμικοί διαγωγοί που στη συνέχεια απαρτίζουν τα cells τα οποία θα αποτελέσουν το έναυσμα της σχεδίασης των φίλτρων. Στο Κεφάλαιο 3, παρουσιάζονται οι βασικές δομικές βαθμίδες φίλτρων στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου, όπως είναι οι ολοκληρωτές με ή χωρίς απώλειες, οι οποίοι δομούνται με τους τελεστές που αναφέραμε στο προηγούμενο κεφάλαιο και θα αποτελέσουν τα κύρια μέρη που θα απαρτίσουν το φίλτρο. Στο Κεφάλαιο 4, αναφέρεται η θεωρία των μιγαδικών φίλτρων, παρουσιάζεται το πρόβλημα της εικόνας του σήματος και πως αυτό ξεπερνιέται με τη χρήση των μιγαδικών φίλτρων. Ενώ στην συνέχεια ασχολούμαστε με τον τρόπο σύνθεσης των μιγαδικών φίλτρων. Στο Κεφάλαιο 5, γίνεται η σχεδίαση του μιγαδικού φίλτρου 12 ης τάξης στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου στο περιβάλλον του Cadence, με τη μέθοδο Leapfrog και χρησιμοποιώντας τα όσα αναφέραμε στο Κεφάλαιο 3. Στο Κεφάλαιο 6, παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της εξομοίωσης του μιγαδικού φίλτρου στο περιβάλλον του Cadence, όπου αρχικά αναφέρουμε τη σχεδίαση του μιγαδικού φίλτρου για τα πρότυπα Bluetooth και Zigbee και στη συνέχεια υλοποιούνται και εξομοιώνονται τα φίλτρα για αυτά τα δύο πρότυπα. Στο Κεφάλαιο 7, παρουσιάζεται η φυσική σχεδίαση του μιγαδικού μας φίλτρου (physical layout design) και εξομοιώνεται το φίλτρου για τη διαπίστωση της ορθής λειτουργίας. ~ ii ~

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΠΕΡΙΛΗΨΗ i ii ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΕ ΧΑΜΗΛΗ ΤΑΣΗ ΤΡΟΦΟΔΟΣΙΑΣ... 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΦΙΛΤΡΑ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΟΥ ΗΜΙΤΟΝΟΥ... 4 2.1 ΓΕΝΙΚΗ ΔΟΜΗ... 4 2.2 ΤΕΛΕΣΤΕΣ... 5 2.3 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΔΙΑΓΩΓΟΙ... 5 2.4 ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΕΛΕΣΤΩΝ... 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΔΟΜΙΚΕΣ ΒΑΘΜΙΔΕΣ ΦΙΛΤΡΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΟΥ ΗΜΙΤΟΝΟΥ... 13 3.1 ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ ΔΥΟ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΩΝ (2QUADRANT DIVIDER)... 13 3.2 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΗΣ ΧΩΡΙΣ ΑΠΩΛΕΙΕΣ... 14 3.3 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΗΣ ΜΕ ΑΠΩΛΕΙΕΣ... 18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΜΙΓΑΔΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ... 24 4.1 ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ... 24 4.2 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΕΙΚΌΝΑΣ ΤΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ... 26 4.3 ΣΥΝΘΕΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ... 31 ~ iii ~

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ 12 ΗΣ ΤΑΞΗΣ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΟΥ ΗΜΙΤΟΝΟΥ ΓΙΑ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΟ ΠΡΟΤΥΠΟ BLUETOOTH/ZIGBEE... 35 5.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 35 5.2 ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ LEAPFROG... 37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΞΟΜΟΙΩΣΗΣ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ ΣΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΟΥ CADENCE... 45 6.1 ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ BLUETOTH & ZIGBEE... 45 6.2 ΕΞOΜΕΙΩΣΗ ΤΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ... 58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΦΥΣΙΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ (PHYSICAL LAYOUT DESIGN)... 67 7.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 67 7.2 ΦΥΣΙΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΖΩΝΟΔΙΑΒΑΤΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ 12 ΗΣ ΤΑΞΗΣ... 68 7.3 ΕΞOΜΕΙΩΣΗ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΖΩΝΟΔΙΑΒΑΤΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ 12 ΗΣ ΤΑΞΗΣ... 73 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ-ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ... 76 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 77 ~ iv ~

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΕ ΧΑΜΗΛΗ ΤΑΣΗ ΤΡΟΦΟΔΟΣΙΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ανάπτυξη της VLSI τεχνολογίας σε συνδυασμό με την απαίτηση για ολοένα και πιο αυξανόμενη πυκνότητα ολοκλήρωσης, έχει μεγαλώσει το ενδιαφέρον για την σχεδίαση αναλογικών κυκλωμάτων με δυνατότητα λειτουργίας σε χαμηλή τάση τροφοδοσίας ή ακόμα και με μικρή κατανάλωση ισχύος (low voltage and/or low power). Κύριος στόχος των αναλογικών ολοκληρωμένων κυκλωμάτων είναι να ικανοποιούνται οι απαιτούμενες προδιαγραφές των κυκλωμάτων, κάνοντας χρήση κάθε φορά διαφορετικών αρχιτεκτονικών. Έτσι μπορούν να χρησιμοποιηθούν είτε ως ξεχωριστές βαθμίδες είτε διασυνδέοντάς τα με ψηφιακά κυκλώματα για την υλοποίηση μικτών αναλογικό-ψηφιακών συναρτήσεων, κάτι το οποίο τα σημερινά συστήματα χρησιμοποιούν ευρέως. Τα αναλογικά ολοκληρωμένα κυκλώματα χρησιμοποιούνται ήδη σε πολλά VLSI συστήματα, όπως είναι οι A/D και D/A μετατροπείς, οι συγκριτές τάσης, οι ενισχυτές τάσης και ρεύματος κ.α. Η συνεχής μείωση των διαστάσεων των CMOS κυκλωμάτων με την ταυτόχρονη εξέλιξη της τεχνολογίας έχει ωθήσει την λειτουργία των κυκλωμάτων με πολύ χαμηλή τάση τροφοδοσίας. Άλλωστε, η χαμηλή τάση τροφοδοσίας και η χαμηλή κατανάλωση ισχύος των κυκλωμάτων αποτελούν βασικές απαιτήσεις των φορητών ηλεκτρονικών συσκευών. Για τον σκοπό αυτό έχουν προταθεί πολλές τεχνικές σχεδίασης των επιμέρους αναλογικών και mixed-signal κυκλωμάτων χαμηλής τάσης τροφοδοσίας, όπως οι folding, triode-mode, subthreshold τεχνική, floating gate, και η current-mode επεξεργασία σημάτων. ~ 1 ~

Πριν όμως, παρουσιάσουμε κάποιες από τις τεχνικές που ακολουθούμε για τη σχεδίαση των σημερινών low voltage low power αναλογικών δομικών στοιχείων πρέπει να λάβουμε υπόψη μας κάποιους σημαντικούς περιορισμούς, οι οποίοι υπεισέρχονται κάτω από αυτές τις συνθήκες λειτουργίας: α) Την τάση κατωφλίου (threshold voltage) των τρανζίστορ. Τα MOSFET πρέπει να είναι σε αγωγή έτσι ώστε να πετύχουμε οποιαδήποτε επεξεργασία σήματος, κάτι το οποίο συνεπάγεται ότι οι τάσεις τροφοδοσίας που θα χρησιμοποιήσουμε θα πρέπει τουλάχιστον να ικανοποιούν το κριτήριο V DD + V SS V Tn + V Tp, όπου V DD και V SS είναι αντίστοιχα η θετική και η αρνητική τάση τροφοδοσίας, ενώ οι V Tn και V Tp είναι οι τάσεις κατωφλίου των NMOS και PMOS transistors, αντίστοιχα. β) Το μήκος του καναλιού (channel length) των τρανζίστορ. Όσο μικραίνουν οι διαστάσεις τους τόσο μεγαλύτερη είναι η επίδραση της διαμόρφωσης του μήκους καναλιού (channel-length modulation, λ) με αποτέλεσμα να έχουμε χαμηλή ενίσχυση σημάτων λόγω της μικρής αντίστασης εξόδου του τρανζίστορ(r o =1/λI D ). Έτσι, η χαμηλή τάση τροφοδοσίας (1.5 V και η χαμηλότερη) σε συνδυασμό με τις σχετικά υψηλές τάσεις κατωφλίου των τρανζίστορ(περίπου 0.5 V) είναι το βασικό εμπόδιο στην υλοποίηση τέτοιων κυκλωμάτων, με μοναδικό πάντοτε στόχο την καλή απόδοσή τους. Επίσης, όσο πιο χαμηλή είναι η τάση τροφοδοσίας τόσο πιο χαμηλές είναι οι επιτρεπόμενες τιμές των σημάτων που θα χρησιμοποιήσουμε. Αυτό έχει ως επακόλουθο την αύξηση σφαλμάτων λόγω θορύβου αλλά και offsets των τάσεων, προβλήματα τα οποία για την επίλυσή τους οδηγούν σε μεγαλύτερη κατανάλωση ισχύος. Επομένως διαπιστώνουμε, για ακόμη μια φορά, ότι στα ηλεκτρονικά για να κερδίσεις κάτι σε κάποιο τομέα πρέπει να χάσεις σε κάποιον άλλο, όλα τα προαναφερθέντα θέματα αποτελούν τις σημερινές προκλήσεις στη σχεδίαση αναλογικών ολοκληρωμένων κυκλωμάτων. Η σχεδίαση αναλογικών κυκλωμάτων τα οποία θα λειτουργούν σε περιβάλλον χαμηλής τάσης τροφοδοσίας διαφέρει αρκετά από τη σχεδίαση με τον παραδοσιακό τρόπο. ~ 2 ~

Πρώτα από όλα με τη μείωση της τάσης τροφοδοσίας περιορίζεται ο αριθμός των τρανζίστορ που μπορούν να παρεμβληθούν μεταξύ των πηγών τροφοδοσίας. Έτσι επιδιώκεται να υπάρχει αρκετό περιθώριο τάσης για την μεταβολή του σήματος στην έξοδο. Συνεπώς στη σχεδίαση κυκλωμάτων χαμηλής τάσης τροφοδοσίας, βασικός παράγοντας είναι η πλήρης εκμετάλλευση της διαθέσιμης τάσης τροφοδοσίας. Τέλος στη βιβλιογραφία, κριτήριο για τον χαρακτηρισμό ενός κυκλώματος ως low-voltage είναι το άθροισμα των τάσεων πύλης-πηγής (V GS ) και απαγωγού-πηγής (V DS ) που βρίσκονται μεταξύ των τάσεων τροφοδοσίας. ~ 3 ~

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΦΙΛΤΡΑ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΟΥ ΗΜΙΤΟΝΟΥ 2.1 ΓΕΝΙΚΗ ΔΟΜΗ Η γενική δομή ενός φίλτρου στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα ακολουθεί τα εξής στάδια: Αρχικά το σήμα εισόδου i in συμπιέζεται υπό την επίδραση της αντίστροφης συνάρτησης του υπερβολικού ημιτόνου (SINH -1 ), με αποτέλεσμα να έχουμε ένα συμπιεσμένο σήμα τάσης υ in. Το σήμα αυτό υπόκειται σε επεξεργασία από τον πυρήνα του πεδίου του υπερβολικού ημιτόνου. Έτσι προκύπτει το σήμα εξόδου «συμπιεσμένη τάση». Και τέλος χρειάζεται μία τοπολογία ώστε να αποσυμπιεστεί το συμπιεσμένο σήμα και αυτή η τοπολογία υλοποιείται με τη συνάρτηση του υπερβολικού ημιτόνου, οπότε προκύπτει το τελικό γραμμικό ρεύμα εξόδου. Σχήμα 2.1: Γενική δομή φίλτρων στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου. ~ 4 ~

ˆ ŝinh()2dc Io T 2.2 ΤΕΛΕΣΤΕΣ Όπως περιγράψαμε στην παραπάνω ενότητα χρειάζονται δύο συμπληρωματικοί τελεστές κατά τη συμπίεση της εισόδου και την αποσυμπίεση της εξόδου ώστε να διατηρηθεί η συνολική γραμμικότητα του συστήματος. Οι ορισμοί για τους τελεστές αυτούς δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις ˆ V DC sinh( ˆ ) 2Io VT (2.1) sinh 1 i i VDC VT ln 2 Io (2.2) Στις σχέσεις (2.1) και (2.2) το Ι ο είναι ένα συνεχές ρεύμα ενώ η σταθερά V T είναι η γνωστή θερμική τάση και η τάση V DC είναι μία συνεχής τάση. 2.3 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΔΙΑΓΩΓΟΙ. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΓΟΣ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΟΥ ΗΜΙΤΟΝΟΥ Οι μη γραμμικοί διαγωγοί που χρησιμοποιούμε για να επιτύχουμε τους παραπάνω τελεστές είναι οι S cell C cell και S/C cell. Για την υλοποίηση τους σε επίπεδο τρανζίστορ αρχικά για τον S cell έχουμε ~ 5 ~

Σχήμα 2.2 : Κύκλωμα S cell Από το Σχήμα 2.2 συμπεραίνουμε τα ακόλουθα: Το τρανζίστορ Q 3 διαρρέεται από ρεύμα Ι 0 : I I0 ISe ln ln e I ( ˆ IN 2 ˆ ')/ VT 0 ( ˆ IN 2ˆ ')/ VT S I I ˆ ˆ ' V ln ˆ ' ˆ V ln (1) 0 0 IN 2 T IN 2 T IS IS Το τρανζίστορ Q 4 διαρρέεται από ρεύμα i 1 : 0 (1) ˆIN 1 ˆIN 2 VT ln / VT ( ˆ IN 1 ˆ ')/ VT IS i I e i I e 1 S 1 S I ˆ IN 1 ˆ IN 2 I0 ln ˆ IN 1 ˆ IN 2 VT IS VT 1 S 1 0 (2) i I e i I e Το τρανζίστορ Q 2 διαρρέεται από ρεύμα Ι 0 : I I0 ISe ln ln e I ( ˆ IN 1 ˆ '')/ VT 0 ( ˆ IN 1ˆ '')/ VT S ~ 6 ~

I I ˆ ˆ '' V ln ˆ '' ˆ V ln (3) 0 0 IN1 T IN1 T IS IS Το τρανζίστορ Q 1 διαρρέεται από ρεύμα i 2 : 0 (3) ˆIN 2 ˆIN 1 VT ln / VT ( ˆ IN 2 ˆ '')/ VT IS i I e i I e 2 S 2 S I ˆ IN 2 ˆ IN 1 I0 ln ˆ IN 1 ˆ IN 2 VT IS VT 2 S 2 0 (4) i I e i I e όπου ˆ ' η τάση στον κόμβο που ενώνονται τα Q 3 και Q 4, ενώ όπου ˆ '' η τάση στον κόμβο που ενώνονται τα Q 1 και Q 2. Τελικά από τις (2) και (4) προκύπτει : IN 1 IN 2 IN 1 IN 2 T T i i i I e e OUT ˆ ˆ ˆ ˆ V V 1 2 0 i OUT 2I ˆ IN sinh ˆ IN 1 2 0 VT (2.3) Σχήμα 2.3: Σύμβολο μη γραμμικού διαγωγού υπερβολικού ημιτόνου S cell ~ 7 ~

ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΓΟΣ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΟΥ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟΥ Ένας εξίσου σημαντικός μη γραμμικός διαγωγός είναι αυτός του υπερβολικού συνημιτόνου, ο οποίος δεικνύεται στο παρακάτω σχήμα (2.4) σε επίπεδο τρανζίστορ και στο σχήμα (2.5) σε επίπεδο μπλοκ. Σχήμα 2.4: Κύκλωμα C cell Από το Σχήμα 2.4 συμπεραίνουμε τα ακόλουθα: Το τρανζίστορ Q 3 διαρρέεται από ρεύμα Ι 0 : I I0 ISe ln ln e I ( ˆ IN 2 ˆ ')/ VT 0 ( ˆ IN 2ˆ ')/ VT S I I ˆ ˆ ' V ln ˆ ' ˆ V ln (5) 0 0 IN 2 T IN 2 T IS IS Το τρανζίστορ Q 4 διαρρέεται από ρεύμα i 1 : 0 (5) ˆIN 1 ˆIN 2 VT ln / VT ( ˆ IN 1 ˆ ')/ VT IS i I e i I e 1 S 1 S I ˆ IN 1 ˆ IN 2 I0 ln ˆ IN 1 ˆ IN 2 VT IS VT 1 S 1 0 (6) i I e i I e ~ 8 ~

Το τρανζίστορ Q 2 διαρρέεται από ρεύμα Ι 0 : I I0 ISe ln ln e I ( ˆ IN 1 ˆ '')/ VT 0 ( ˆ IN 1ˆ '')/ VT S I I ˆ ˆ '' V ln ˆ '' ˆ V ln (7) 0 0 IN1 T IN1 T IS IS Το τρανζίστορ Q 1 διαρρέεται από ρεύμα i 2 : 0 (7) ˆIN 2 ˆIN 1 VT ln / VT ( ˆ IN 2 ˆ '')/ VT IS i I e i I e 2 S 2 S I ˆ IN 2 ˆ IN 1 I0 ln ˆ IN 1 ˆ IN 2 VT IS VT 2 S 2 0 (8) i I e i I e Τελικά από τις (6) και (8) προκύπτει : IN 1 IN 2 IN 1 IN 2 T T i i i I e e OUT ˆ ˆ ˆ ˆ V V 1 2 0 i OUT 2 ˆ IN cosh ˆ IN 1 2 I0 VT (2.4) Σχήμα 2.5 : Σύμβολο μη γραμμικού διαγωγού υπερβολικού συνημιτόνου C cell ~ 9 ~

Τέλος παρουσιάζουμε τον μη γραμμικό διαγωγό του υπερβολικού ημιτόνου/συνημιτόνου (S/C cell) με δύο εξόδους: Στο ακόλουθο σχήμα (2.6) φαίνεται σε επίπεδο τρανζίστορ το κύκλωμα ενός S/C cell. Σχήμα 2.6 : Κύκλωμα S/C cell Από το παραπάνω κύκλωμα και τις σχέσεις (2.3) και (2.4) είναι προφανές ότι: i 2I ˆ IN sinh ˆ IN 1 2 sinh 0 VT (2.5) i 2I ˆ IN cosh ˆ IN 1 2 cosh 0 VT (2.6) Ακολούθως παρατίθεται το σύμβολο του S/C cell : ~ 10 ~

Σχήμα 2.7 : Σύμβολο μη γραμμικού διαγωγού υπερβολικού ημιτόνου/συνημιτόνου S/C cell 2.4 ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΕΛΕΣΤΩΝ Τέλος, με τη βοήθεια των παραπάνω μη γραμμικών διαγωγών υπερβολικού ημιτόνου υλοποιήθηκαν οι συμπληρωματικοί τελεστές συμπίεσης και αποσυμπίεσης. Το οποίο όντως υλοποιεί την σχέση Σχήμα 2.8 : Υλοποίηση του τελεστή SINH i out 2 ˆ OUT sinh VDC I0 VT (2.7) Ενώ για τον αντίστροφο τελεστή έχουμε. Σχήμα 2.8 : Υλοποίηση του τελεστή SINH -1 ~ 11 ~

Από τη σχέση (2.3) έχουμε ότι: 1 V ˆ DC IN i1 2I0sinh VT i1iin 0 i1 i in i in ˆ IN VDC VT ln 2 I0 (2.8) ~ 12 ~

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΔΟΜΙΚΕΣ ΒΑΘΜΙΔΕΣ ΦΙΛΤΡΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΟΥ ΗΜΙΤΟΝΟΥ 3.1 ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ ΔΥΟ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΩΝ (2QUADRANT DIVIDER) Ο διαιρέτης ρεύματος δύο τεταρτημορίων είναι ένα κύκλωμα που δίνει έξοδο ανάλογη με το πηλίκο των δύο ρευμάτων εισόδου, με τον περιορισμό να είναι ένα από τα δύο ρεύματα πάντα θετικό, ενώ το άλλο μπορεί να έχει οποιαδήποτε πολικότητα. Σχήμα 3.1 : Σύμβολο διαιρέτη ρεύματος δύο τεταρτημορίων Ακολουθεί η υλοποίηση του διαιρέτη ρεύματος δύο τεταρτημορίων με βάση τα όσα είπαμε για τους τελεστές στο προηγούμενο Κεφάλαιο. Όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα (3.2) το πρώτο μπλοκ δεν είναι τίποτα άλλο παρά το SINH -1 το οποίο περιγράψαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο. Βάσει αυτού λοιπόν ισχύει η ακόλουθη σχέση: ~ 13 ~

Σχήμα 3.2 : Κύκλωμα διαιρέτη ρεύματος δύο τεταρτημορίων στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου ˆ V V sinh i (1) 1 1 DC T 2i2 i out ˆ IN VDC 2I0 sinh VT (1) i out i V V sinh V 2I0 sinh VT 1 1 DC T DC 2i2 i i i 2I I out 1 1 0 0 2i2 i2 i out i 1 I0 (3.1) i2 3.2 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΗΣ ΧΩΡΙΣ ΑΠΩΛΕΙΕΣ Ο ολοκληρωτής χωρίς απώλειες που φαίνεται στο σχήμα (3.3), υλοποιημένος με μπλοκ στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου που παρουσιάζεται στο σχήμα (3.4), εισάγεται σε αυτήν την παράγραφο. Η συνάρτηση μεταφοράς εκφράζεται από τη ~ 14 ~

K σχέση H() s. Σύμφωνα με την έννοια του φιλτραρίσματος στο πεδίο του s υπερβολικού ημιτόνου, η έκφραση του συστήματος συναρτήσει των μη γραμμικών τάσεων δίνεται από την παρακάτω σχέση: d ˆ SINH ˆ ˆ OUT SINH IN (3.2) dt όπου τ η σταθερά χρόνου στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου CV ˆ T. 2I 0 Σχήμα 3.3 : Σύμβολο ολοκληρωτή χωρίς απώλειες Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του τελεστή SINH όπως τον περιγράψαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο και λαμβάνοντας υπόψη την άνωθεν σχέση για την σταθερά χρόνου τ, έχουμε για το ρεύμα i c που διαρρέει τον πυκνωτή ολοκλήρωσης: i c 2 I 0 ˆ sinh ˆ cosh IN OUT V V T T DC V V DC (3.3) ~ 15 ~

Σχήμα 3.4 : Κύκλωμα ολοκληρωτή χωρίς απώλειες στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου Το πλήρες κύκλωμα του ολοκληρωτή χωρίς απώλειες φαίνεται παρακάτω στο σχήμα (3.5), όπου έχουν συμπεριληφθεί τα κυκλώματα συμπίεσης και αποσυμπίεσης. Σχήμα 3.5: Πλήρες κύκλωμα ολοκληρωτή χωρίς απώλειες Από το παραπάνω σχήμα προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις. i 1 in ˆIN VDC VT sinh (*) 2I 0 ˆ (*) IN V DC i1 2I0sinh i1 i VT in ~ 16 ~

Έτσι βάσει των ανωτέρω και λαμβάνοντας υπόψη ότι το S cell με το C cell σχηματίζουν ένα S/C cell, έχουμε την τελική απλοποιημένη μορφή του ολοκληρωτή χωρίς απώλειες. Σχήμα 3.6: Τελικό απλοποιημένο κύκλωμα ολοκληρωτή χωρίς απώλειες Και τέλος μπορούμε να έχουμε τον ολοκληρωτή χωρίς απώλειες στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου, με δύο εισόδους σύμφωνα με το ακόλουθο σχήμα. I o ˆ V DC + - S I o ˆ + - S 2I o i C + - C I o 2Q Cˆ ˆOUT Σχήμα 3.7: Κύκλωμα ολοκληρωτή χωρίς απώλειες δύο εισόδων Από το παραπάνω κύκλωμα προκύπτει ότι το ρεύμα που διαρρέει τον πυκνωτή είναι ίσο με: ~ 17 ~

i c 2I 0 ˆ ˆ IN1V DC IN 2 V DC sinh sinh VT VT ˆ OUT V DC cosh VT (3.4) Χρησιμοποιώντας τον τελεστή SINH και εκτελώντας αλγεβρικές πράξεις καταλήγουμε στο συμπέρασμα για τη σχέση που συνδέει τις εισόδους με την έξοδο: ˆ d SINH ˆ ˆ 1 ˆ OUT SINH SINH IN IN 2 (3.5) dt 3.3 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΗΣ ΜΕ ΑΠΩΛΕΙΕΣ Σε αυτήν την παράγραφο εισάγεται ο ολοκληρωτής με απώλειες σχήμα (3.8), υλοποιημένος με μπλοκ στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου που παρουσιάζεται στο K σχήμα (3.9). Η συνάρτηση μεταφοράς εκφράζεται από τη σχέση H() s s 1. Σύμφωνα με την έννοια του φιλτραρίσματος στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου, η έκφραση του συστήματος συναρτήσει των μη γραμμικών τάσεων δίνεται από την παρακάτω σχέση: ˆ d SINH ˆ ˆ ˆ OUT SINH SINH IN OUT (3.6) dt όπου τ η σταθερά χρόνου στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου ~ 18 ~

Σχήμα 3.8 : Σύμβολο ολοκληρωτή με απώλειες Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του τελεστή SINH όπως τον περιγράψαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο και λαμβάνοντας υπόψη την άνωθεν σχέση για την σταθερά χρόνου τ, έχουμε για το ρεύμα i c που διαρρέει τον πυκνωτή ολοκλήρωσης: i c 2 I 0 ˆ ˆ IN V DC OUT V DC sinh sinh VT VT ˆ OUT V DC cosh VT (3.7) Σχήμα 3.9: Κύκλωμα ολοκληρωτή με απώλειες στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου Το παραπάνω κύκλωμα υλοποιεί επιτυχώς την ακόλουθη σχέση: d ˆ i OUT i IN i OUT (3.8) dt ~ 19 ~

Σχήμα 3.10: Κύκλωμα ολοκληρωτή με απώλειες στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου από το περιβάλλον του Cadence Virtuoso Schematic Ένα επίσης σημαντικό κύκλωμα είναι αυτό του ολοκληρωτή με απώλειες δύο εισόδων που φαίνεται στο σχήμα (3.10), υλοποιημένος με μπλοκ στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου που παρουσιάζεται στο σχήμα (3.11) Σύμφωνα με την έννοια του φιλτραρίσματος στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου, η έκφραση του συστήματος συναρτήσει των μη γραμμικών τάσεων δίνεται από την παρακάτω σχέση: ˆ d SINH ˆ ˆ 1 ˆ 2 ˆ OUT SINH SINH SINH IN IN OUT (3.9) dt όπου τ η σταθερά χρόνου στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου ~ 20 ~

Σχήμα 3.11: Σύμβολο ολοκληρωτή με απώλειες διπλής εισόδου Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του τελεστή SINH όπως τον περιγράψαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο και λαμβάνοντας υπόψη την άνωθεν σχέση για την σταθερά χρόνου τ, έχουμε για το ρεύμα i c που διαρρέει τον πυκνωτή ολοκλήρωσης: i c 2I 0 ˆ V ˆ V ˆ V VT VT VT ˆ OUT V DC cosh VT IN1 DC IN 2 DC OUT DC sinh sinh sinh (3.10) Σχήμα 3.12: Κύκλωμα ολοκληρωτή με απώλειες δύο εισόδων στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου Το παραπάνω κύκλωμα υλοποιεί επιτυχώς την ακόλουθη σχέση: d ˆ i OUT i IN1 i IN 2 i OUT (3.11) dt ~ 21 ~

Σχήμα 3.12: Κύκλωμα ολοκληρωτή με απώλειες δύο εισόδων στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου από το περιβάλλον του Cadence Virtuoso Schematic Το παραπάνω κύκλωμα όπως είναι εμφανές επιτυγχάνει την αφαίρεση δύο σημάτων, το ενδιαφέρον είναι πως με μια κατάλληλη τροποποίηση μπορεί να επιτευχθεί και η άθροιση δύο σημάτων σχήμα (3.12), η υλοποίηση αυτού το ολοκληρωτή σε επίπεδο μπλοκ υπερβολικού ημιτόνου φαίνεται στο σχήμα(3.13). Σύμφωνα με την έννοια του φιλτραρίσματος στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου, η έκφραση του συστήματος συναρτήσει των μη γραμμικών τάσεων δίνεται από την παρακάτω σχέση: ˆ d SINH ˆ ˆ 1 ˆ 2 ˆ OUT SINH SINH SINH IN IN OUT (3.12) dt όπου τ η σταθερά χρόνου στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου ~ 22 ~

Σχήμα 3.12: Σύμβολο ολοκληρωτή με απώλειες πρόσθεσης των δύο εισόδων Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του τελεστή SINH όπως τον περιγράψαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο και λαμβάνοντας υπόψη την άνωθεν σχέση για την σταθερά χρόνου τ, έχουμε για το ρεύμα i c που διαρρέει τον πυκνωτή ολοκλήρωσης: i c 2I 0 ˆ V ˆ V ˆ V VT VT VT ˆ OUT V DC cosh VT IN1 DC IN 2 DC OUT DC sinh sinh sinh (3.13) Σχήμα 3.13: Κύκλωμα ολοκληρωτή με απώλειες πρόσθεσης των δύο εισόδων στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου Το παραπάνω κύκλωμα υλοποιεί επιτυχώς την ακόλουθη σχέση: d ˆ i OUT i IN1 i IN 2 i OUT. (3.14) dt ~ 23 ~

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΜΙΓΑΔΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 4.1 ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Τα μιγαδικά φίλτρα χρησιμοποιούνται για την επίλυση ενός από τα σημαντικότερα προβλήματα που εισάγονται από τους ασύρματους τηλεπικοινωνιακούς δέκτες, το πρόβλημα της «εικόνας» (image) του σήματος. Για αυτόν το λόγο είναι απαραίτητη η μελέτη των διαφορετικών αρχιτεκτονικών δεκτών, με αναφορά στα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα της κάθε μίας, ώστε να κατανοηθεί το πρόβλημα και η λύση που δίνουν τα μιγαδικά φίλτρα. Αρχιτεκτονική των δεκτών Στις ασύρματες τηλεπικοινωνίες τα σήματα μεταδίδονται σε ένα μεγάλο εύρος συχνοτήτων το οποίο καλείται ραδιoσυχνότητα (Radio Frequency RF). Παρ όλα αυτά το επιθυμητό σήμα εμπεριέχεται σε μια πολύ στενή περιοχή συχνοτήτων (Bandwidth) και έτσι ο δέκτης θα πρέπει να είναι σε θέση να απομονώσει το σήμα αυτό, ενώ ταυτόχρονα θα πρέπει να απορρίπτει τις κοντινές συχνότητες που παρεισφρύουν(interferers). Η χρήση ενός ζωνοδιαβατού φίλτρου σε αυτή την περίπτωση δεν είναι εφικτή διότι απαιτείται πολύ μεγάλης τάξης φίλτρο, το οποίο είναι αδύνατο να κατασκευαστεί ακόμα και off-chip. Ετερόδυνοι Δέκτες (heterodyne receivers), στους δέκτες αυτούς το σήμα πολλαπλασιάζεται με έναν τοπικό ταλαντωτή(local Oscillator LO), του οποίου η συχνότητα ω LO είναι διαφορετική από την κεντρική συχνότητα ω RF του σήματος και ανάλογα από το αν βρίσκεται πάνω ή κάτω από την ενδιάμεση ή μέση συχνότητα (Intermediate Frequency, IF) ονομάζονται (low-if, half-if, high-if). Ανάλογα λοιπόν με την επιλογή της IF προκύπτει διαφορετική αρχιτεκτονική του δέκτη και η κάθε μία παρουσιάζει τα δικά της χαρακτηριστικά και θέτει διαφορετικές προκλήσεις στους σχεδιαστές. ~ 24 ~

Στους ετερόδυνους δέκτες, όπως αναφέραμε, χρησιμοποιείται μία ενδιάμεση συχνότητα (IF) για την μεταφορά του σήματος RF σε άλλη συχνότητα. Η συχνότητα αυτή επιλέγεται συνήθως πολύ χαμηλή (low-if δέκτες) έτσι ώστε να μπορεί να γίνει η περαιτέρω επεξεργασία του αρχικού σήματος πολύ πιο εύκολα. Μερικά από τα πλεονεκτήματα των ετερόδυνων δεκτών είναι ότι έχουν χαμηλό κόστος υλοποίησης, καλή δυναμική περιοχή και είναι διαθέσιμα υψηλού παράγοντα ποιότητας φίλτρα. Όμως υπάρχουν και οι δυσκολίες, όπως σε ορισμένους high-if δέκτες απαιτούνται φίλτρα τέτοιας πολυπλοκότητας που είναι υποχρεωτικά off-chip. Τέλος ένα πολύ μεγάλο πρόβλημα που παρουσιάζεται σε αυτή την κατηγορία δεκτών είναι το πρόβλημα της εικόνας του σήματος και το πώς θα επιτευχθεί η απόρριψή του. Σε αντίθεση με τους ετερόδυνους δέκτες, στους ομόδυνους δέκτες επιλέγεται η μέση συχνότητα IF να είναι μηδέν και καλούνται zero-if ή direct-conversion δέκτες. Έτσι ένα πλεονέκτημα τους είναι ότι δεν παρουσιάζουν τόσο σημαντικό πρόβλημα με την εικόνα του σήματος. Επίσης είναι πολύ εύκολο να υλοποιηθούν τα κυκλώματα αυτά καθώς παρουσιάζουν λιγότερη πολυπλοκότητα. Όμως, τα προβλήματα σε αυτούς τους δέκτες είναι άλλης φύσης, όπως το 1/f noise ή flicker noise καθώς και το dc offset, δύο παράγοντες που επηρεάζουν SNR (signal to noise ratio) των συγκεκριμένων δεκτών. Έτσι οι low-if δέκτες δείχνουν να είναι οι πιο κατάλληλοι για ασύρματες τηλεπικοινωνιακές εφαρμογές. Ένα τέτοιο σύστημα φαίνεται στην παρακάτω εικόνα σχήμα (4.1). ~ 25 ~

Σχήμα 4.1: Block διάγραμμα ενός low-if δέκτη 4.2 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΕΙΚΌΝΑΣ ΤΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ Για να καταλάβουμε ποιο πρόβλημα δημιουργεί η παρουσία της εικόνας του σήματος αρκεί να δούμε τι συμβαίνει κατά την μεταφορά του σήματος RF σε άλλη ενδιάμεση συχνότητα. Συγκεκριμένα αυτή η μεταφορά στη συχνότητα (frequency translation) γίνεται από τον mixer. Υποθέτουμε ότι εισέρχονται στον mixer τα σήματα χ RF και χ IM με συχνότητες ω RF και ω IM για το επιθυμητό σήμα και την εικόνα αντίστοιχα. Επιλέγοντας την γωνιακή συχνότητα του τοπικού ταλαντωτή να είναι ω LO, τότε έχουμε το παρακάτω σχήμα (4.2) όπου, jrft jrft x () t 2cos t e e (4.1) RF RF jimt jimt x () t 2cos t e e (4.2) IM IM jlot jlot x () t 2cos t e e (4.3) LO LO ~ 26 ~

Σχήμα 4.2: Block διάγραμμα front-end βαθμίδας Χωρίς να χάνεται η γενικότητα, θεωρούμε ότι ισχύουν επίσης για τις συχνότητες των σημάτων οι επόμενες σχέσεις: RF LO IF LO IM IF (4.4) Αξίζει να σημειωθεί, πως αυτό που μας ενδιαφέρει για τη μελέτη του προβλήματος είναι το περιεχόμενο των σημάτων από πλευράς συχνότητας και όχι τόσο τα πλάτη των σημάτων. Έτσι στην έξοδο y(t)του mixer έχουμε: y() t x () t x () t x () t + e + e + e j RF IM LO t j RF LO RF LO t e e t j j j e RF LO RF LO t j e IM LO IM LO t j j e IM LO IM LO t t t (4.5) Παρατηρούμε λοιπόν πως η συχνότητα ω IM της εικόνας μεταφέρεται και αυτή στην ενδιάμεση συχνότητα. Στο ακόλουθο σχήμα (4.3) φαίνονται τα φάσματα των σημάτων έτσι ώστε να γίνουν πιο κατανοητά τα παραπάνω. Θα πρέπει λοιπόν να χρησιμοποιήσουμε ζωνοδιαβατά φίλτρα για την απόρριψη της εικόνας πριν αυτή μεταφερθεί στην IF. Όμως επειδή οι συχνότητες του σήματος RF και της εικόνας είναι πολύ υψηλές και κοντινές μεταξύ τους, η κατασκευή τέτοιων φίλτρων με υψηλή επιλεκτικότητα είναι πολύ δύσκολη. ~ 27 ~

Σχήμα 4.3: Φάσμα συχνοτήτων των RF, IF, IM σημάτων Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι η χρήση του πραγματικού σήματος στον τοπικό ταλαντωτή με συχνοτικό περιεχόμενο στις θετικές και αρνητικές συχνότητες (±ω LO ) προκαλεί κατά κάποιο τρόπο αυτή την παρεμβολή της εικόνας. Έτσι χρησιμοποιώντας μιγαδικό σήμα στον τοπικό ταλαντωτή, το οποίο έχει μια συχνοτική συνιστώσα είτε στις θετικές είτε στις αρνητικές συχνότητες, θα δώσει λύση στην απόρριψη εικόνας. Με αυτόν τον τρόπο θα γίνει κατανοητός ο λόγος χρησιμοποίησης των μιγαδικών φίλτρων και ακόμα πιο εμφανές το τι είναι τα μιγαδικά φίλτρα. Υποθέτουμε, όπως και πριν, ότι στην είσοδο του mixer εισέρχονται τα σήματα χ RF, χ IM και το μιγαδικό σήμα από τον τοπικό ταλαντωτή το οποίο είναι : jlot v () t e cos t jsin t (4.6) LO LO LO Τα παραπάνω φαίνονται στο παρακάτω σχήμα (4.4) όπου χρησιμοποιείται μιγαδικό φίλτρο. Επομένως η έξοδος y(t) του mixer προκύπτει: ~ 28 ~

yt () y() t jy() t = x ( t) x ( t) v ( t) + e r i RF IM LO t j j RF LO RF LO t e e j t j e IM LO IM LO t (4.7) Σχήμα 4.4: Block διάγραμμα front-end βαθμίδας με μιγαδικό φίλτρο Όπως φαίνεται παραπάνω το σήμα y(t) είναι μιγαδικό (αποτελείται από πραγματικό και φανταστικό μέρος). Το σήμα και η εικόνα έχουν πλέον διαχωριστεί αφού βρίσκονται σε διαφορετικές συχνότητες, δηλαδή το επιθυμητό σήμα βρίσκεται γύρω από την συχνότητα +ω IF ενώ η εικόνα γύρω από τη συχνότητα -ω IF, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα (4.5), όπου δεικνύονται και τα φάσματα των σημάτων. ~ 29 ~

Σχήμα 4.5: Φάσμα συχνοτήτων των RF, IF, IM σημάτων Στο παραπάνω σχήμα φαίνεται η επίδραση του μιγαδικού φίλτρου με τη διακεκομμένη γραμμή. Ουσιαστικά πρόκειται για μια απόκριση ενός βαθυπερατού φίλτρου μετατοπισμένη στη συχνότητα (frequency-shifted). Έτσι από το μιγαδικό ζωνοδιαβατό, πλέον, φίλτρο περνάει μόνο το επιθυμητό σήμα που βρίσκεται στην συχνότητα +ω IF. Συνεπώς το φίλτρο αυτό έχει ασυμμετρία ως προς τον φανταστικό άξονα jω, παρουσιάζει όμως συμμετρία γύρω από τη συχνότητα ω IF. Αυτό είναι ένα πλεονέκτημα σε σύγκριση με τα πραγματικά ζωνοδιαβατά φίλτρα καθώς θέλουμε στους δέκτες να υπάρχει συμμετρία γύρω από την περιοχή συχνοτήτων που θα επιτρέπεται η διέλευσή τους. Τα παραπάνω συνοψίζονται στα σχήματα που ακολουθούν(4.6) και (4.7) Σχήμα 4.6: Μετατόπιση στη συχνότητα ενός πραγματικού βαθυπερατού φίλτρου με επίδραση στη συνάρτηση μεταφοράς. ~ 30 ~

Σχήμα 4.7: Μετατόπιση στη συχνότητα ενός πραγματικού βαθυπερατού 5 ης τάξης φίλτρου με επίδραση στη θέση των πόλων. 4.3 ΣΥΝΘΕΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Η απόκριση συχνότητας ενός μιγαδικού ζωνοδιαβατού φίλτρου είναι μια μετατοπισμένη στη συχνότητα απόκριση ενός πραγματικού βαθυπερατού φίλτρου (LPF). Στην παρακάτω εικόνα του σχήματος (4.6) δεικνύονται η απόκριση συχνότητας ενός πρωτότυπου βαθυπερατού φίλτρου 3 ης τάξης με συχνότητα αποκοπής 500kHz και η απόκριση του μιγαδικού ζωνοδιαβατού φίλτρου (complex BPF) που προέκυψε από την μετατόπιση του LPF στην συχνότητα 1ΜΗz, όλα αυτά μας βοηθάνε να έχουμε οπτική επαφή με αυτό που περιγράψαμε παραπάνω. ~ 31 ~

Σχήμα 4.8:Αποκρίσεις συχνότητας πρωτότυπου βαθυπερατού φίλτρου 3 ης τάξης και μιγαδικού ζωνοδιαβατού φίλτρου Για να μετατρέψουμε ένα αυθαίρετο LPF με συχνότητα αποκοπής ω 0 και συνάρτηση μεταφοράς H(s) σε μιγαδικό BPF με κεντρική συχνότητα ω IF θα πρέπει η συνάρτηση μεταφοράς να γίνει H(s-jω IF ). Επομένως έχουμε: H ( s) H ( s j ) (4.8) BP LP IF Ας πάρουμε για παράδειγμα την απλή περίπτωση ενός βαθυπερατού φίλτρου πρώτης τάξης με συχνότητα αποκοπής ω 0, όπου η συνάρτηση μεταφοράς δίνεται από την εξίσωση (4.9). H ( ) LP s 0 (4.9) s 0 Λόγω της εξίσωσης (4.8) η (4.9) γίνεται, H ( ) BP s 0 (4.10) s ~ 32 ~ j IF 0

Συνεπώς σύμφωνα με την προηγούμενη παράγραφο, αν τα σήματα εισόδου εξόδου του μιγαδικού φίλτρου είναι τα μιγαδικά σήματα x i =x ii +jx iq και x o = x oi +jx oq τότε η εξίσωση (4.10) γίνεται : x o 0 xi s jif (4.11) 0 Έτσι η απόκριση συχνότητας του βαθυπερατού φίλτρου μετατοπίζεται στη συχνότητα αν την εφαρμόσουμε σε έναν μιγαδικό βρόχο ανατροφοδότησης όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα (4.7). Σχήμα 4.9: Block διάγραμμα για τη μετατόπιση στη συχνότητα ενός βαθυπερατού φίλτρου Κάνοντας χρήση των μιγαδικών σημάτων εισόδου-εξόδου, η εξίσωση (4.11) γίνεται πιο αναλυτικά: 0 IF xoi xii xoq s 0 0 (4.12) 0 IF xoq xiq xoi s 0 0 (4.13) Οι παραπάνω εξισώσεις (4.12) και (4.13) υλοποιούνται όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα (4.8) ~ 33 ~

Σχήμα 4.10: Block διάγραμμα μιγαδικού φίλτρου 1 ης τάξης Από το παραπάνω σχήμα παρατηρούμε ότι η ανατροφοδότηση του κλάδου Q στον κλάδο Ι γίνεται διαμέσου ενός αναστροφέα με ενίσχυση ω IF /ω 0. Αυτό καθιστά προφανές, πως η διαδικασία αυτή που ακολουθήσαμε μπορεί να εφαρμοστεί πολύ εύκολα στα πιο βασικά στοιχεία των φίλτρων, τους ολοκληρωτές με και χωρίς απώλειες, το μόνο που χρειάζεται είναι να μετατρέψουμε τη συνάρτηση μεταφοράς τους στην αντίστοιχη μιγαδική συνάρτηση μεταφοράς μέσω της σχέσης (4.8). ~ 34 ~

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ 12 ΗΣ ΤΑΞΗΣ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΟΥ ΗΜΙΤΟΝΟΥ ΓΙΑ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΟ ΠΡΟΤΥΠΟ BLUETOOTH/ZIGBEE 5.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο κεφάλαιο αυτό, αξιοποιώντας τις παρατηρήσεις και τα αποτελέσματα των προηγούμενων, θα σχεδιάσουμε ένα μιγαδικό φίλτρο 12 ης τάξης στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου, το οποίο ως φίλτρο επιλογής καναλιού σε έναν τηλεπικοινωνιακό δέκτη low-if αρχιτεκτονικής θα λειτουργεί τόσο για ένα κανάλι μετάδοσης μέσω του πρωτοκόλλου Bluetooth, όσο και για ένα κανάλι μετάδοσης μέσω του πρωτοκόλλου Zigbee. Το Bluetooth πρωτόκολλο είναι ένα πρωτόκολλο ασύρματης επικοινωνίας χαμηλής εμβέλειας, ευρέως χρησιμοποιούμενο σε ένα πλήθος προσωπικών συσκευών, όπως ηλεκτρονικούς υπολογιστές, PDA s και tablets, remote controls και κινητά τηλέφωνα. Το πρωτόκολλο αυτό λειτουργεί στην περιοχή ραδιοσυχνοτήτων στα 2.4-2.4835 GHz, ενώ διαθέτει 79 κανάλια για επικοινωνία με εύρος συχνοτήτων μόλις 1 MHz. Έτσι λοιπόν, απαιτείται η μετατόπιση του σήματος σε μία πολύ χαμηλότερη κεντρική συχνότητα με έναν low-if δέκτη, κάνοντας έτσι απαραίτητη τη χρήση ενός μιγαδικού φίλτρου για την απόρριψη της εικόνας του σήματος. Η κεντρική συχνότητα ω IF στην οποία επιλέγεται να μετατοπιστεί το σήμα, είναι ίση με το εύρος συχνοτήτων, δηλαδή ω IF = 1ΜHz, η οποία προφανώς θα αποτελέσει και την κεντρική συχνότητα του μιγαδικού φίλτρου για λειτουργία Bluetooth. ~ 35 ~

Ένα ακόμα πρωτόκολλο ασύρματης επικοινωνίας χαμηλής εμβέλειας, παρόμοιας λειτουργίας με το Bluetooth, είναι το Zigbee. Το πρωτόκολλο αυτό λειτουργεί τόσο στην περιοχή ραδιοσυχνοτήτων 2.4-2.4835 GHz, διαθέτοντας 16 κανάλια επικοινωνίας (11-26) με εύρος συχνοτήτων 5MHz, όσο και στην χαμηλότερη περιοχή ραδιοσυχνοτήτων 902-928 ΜΗz, διαθέτοντας 10 κανάλια επικοινωνίας (1-10) με εύρος συχνοτήτων 2 MHz. Με την ίδια αρχιτεκτονική λήψης του σήματος που αναφέρθηκε για το Bluetooth, για την επιλογή των καναλιών (1-10) με εύρος συχνοτήτων 2 MHz, η κεντρική συχνότητα ω IF στην οποία θα μετατοπιστεί το σήμα. Επιλέγεται ίση με το εύρος συχνοτήτων, δηλαδή ω IF =2 MHz, συχνότητα που θα αποτελέσει την κεντρική συχνότητα του μιγαδικού φίλτρου για λειτουργία Zigbee. Στον παρακάτω πίνακα συνοψίζονται τα όσα αναφέραμε παραπάνω με τις βασικές προδιαγραφές του απαιτούμενου μιγαδικού φίλτρου για τα δύο πρωτόκολλα. Πρωτόκολλα Bluetooth Zigbee Κεντρική συχνότητα 1 MHz 2 MHz Bandwidth 1 MHz 2 MHz (κανάλια 1-10) Σχήμα 5.1: Βασικές προδιαγραφές του προς σχεδίαση μιγαδικού φίλτρου ~ 36 ~

5.2 ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ LEAPFROG Εκτός από τις προδιαγραφές σχεδίασης του παραπάνω πίνακα, ένα ακόμα βασικό χαρακτηριστικό είναι η τάξη του φίλτρου. Σύμφωνα με τις προδιαγραφές του πρωτοκόλλου Bluetooth, συχνότητες μόλις 1 MHz μακριά από την κεντρική συχνότητα θα πρέπει να εξασθενούν κατά τουλάχιστον 11dB, ενώ συχνότητες που απέχουν 2 MHz θα πρέπει να εξασθενούν κατά τουλάχιστον 30dB. Αποδεικνύεται πως ένα μιγαδικό φίλτρο 8 ης τάξης τύπου Chebyshev, ή ένα μιγαδικό φίλτρο 12 ης τάξης τύπου Butterworth, πληρούν τις παραπάνω προδιαγραφές. Αν και μεγαλύτερης τάξης, προτιμάται το Butterworth φίλτρο, λόγω της μικρής απόκλισης που παρουσιάζει το group delay στη ζώνη διέλευσης. Το μιγαδικό φίλτρο 1 ης τάξης που σχεδιάστηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο αποτελεί στην ουσία το βασικό δομικό στοιχείο για τη σχεδίαση φίλτρων ανώτερης τάξης, τον ολοκληρωτή. Χρησιμοποιώντας τον μπορούμε να σχεδιάσουμε ένα μιγαδικό φίλτρο με τη μέθοδο Leapfrog, σε αντιστοιχία με τη διαδικασία που ακολουθήθηκε στα προηγούμενα κεφάλαια όπου σχεδιάστηκαν πραγματικά φίλτρα. Επομένως θα πρέπει να δημιουργηθεί κατάλληλο μιγαδικό διάγραμμα ροής σήματος (SFG). Όπως είδαμε προηγουμένως για τη μετατροπή ενός απλού ολοκληρωτή σε μιγαδικό, απαιτείται η τροποποίηση της συνάρτησης μεταφοράς του, σύμφωνα με τη σχέση (4.8). Κατά αυτόν τον τρόπο κρατώντας τη βασική δομή του SFG του πραγματικού βαθυπερατού φίλτρου 6 ης τάξης, το οποίο παρουσιάζεται στο σχήμα (5.2), αλλάζοντας τα σήματα από πραγματικά σε μιγαδικά και τροποποιώντας τη συνάρτηση μεταφοράς κάθε ολοκληρωτή, προκύπτει το μιγαδικό SFG του σχήματος (5.3). ~ 37 ~

Σχήμα 5.2: Διάγραμμα ροής πραγματικού βαθυπερατού φίλτρου 6 ης τάξης Σχήμα 5.3: Διάγραμμα ροής μιγαδικού ζωνοδιαβατού φίλτρου 12 ης τάξης Για την πραγματοποίηση του παραπάνω SFG του σχήματος (5.3), απαιτείται η σχεδίαση μιγαδικών ολοκληρωτών οι οποίοι θα δέχονται δύο μιγαδικά σήματα-τάσεις υ in1 και υ in2 στην είσοδο, και όπως προκύπτει από το παραπάνω SFG απαιτείται η ολοκλήρωση της διαφοράς τους, οπότε θα δίνουν ένα μιγαδικό σήμα-τάση υ out στην έξοδο. Ένα μιγαδικό σήμα-τάση όμως δεν είναι κάτι φανταστικό, αλλά πρακτικά σημαίνει σύνθεση δύο πραγματικών τάσεων υ I και υ Q, όπως άλλωστε προκύπτει και από τη μελέτη του μιγαδικού ολοκληρωτή σχήμα (4.8), με διαφορά φάσης 90 ο (quadrature signals). Συνεπώς προκύπτει πως ο απαιτούμενος μιγαδικός ολοκληρωτής θα πρέπει να περιλαμβάνει τέσσερις (πραγματικές) εισόδους (υ in1ι, υ in2i και υ in1q, υ in2q ) και δύο ~ 38 ~

εξόδους (υ outι και υ outq ). Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το block διάγραμμα ενός μιγαδικού ολοκληρωτή. Σχήμα 5.4: Σύμβολο μιγαδικού ολοκληρωτή. Για την υλοποίηση λοιπόν του παραπάνω SFG στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου απαιτούνται τέσσερις βασικές παραλλαγές του μιγαδικού ολοκληρωτή οι οποίες είναι οι ακόλουθες: Μιγαδικός ολοκληρωτής με απώλειες απλής εισόδου Μιγαδικός ολοκληρωτής με απώλειες διπλής εισόδου Μιγαδικός ολοκληρωτής χωρίς απώλειες απλής εισόδου Μιγαδικός ολοκληρωτής χωρίς απώλειες διπλής εισόδου Ακολουθώντας τη λογική υλοποίησης του μιγαδικού ολοκληρωτή στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου, τα κυκλώματα των παραπάνω ολοκληρωτών δίνονται στα σχήματα 5.5-5.12, μαζί με τα αντίστοιχα σύμβολά τους που θα χρησιμοποιηθούν για τη σχεδίαση πολυπλοκότερων κυκλωμάτων. ~ 39 ~

Σχήμα 5.5: Μιγαδικός ολοκληρωτής με απώλειες απλής εισόδου Σχήμα 5.6: Το σύμβολό του ολοκληρωτής με απώλειες απλής εισόδου ~ 40 ~

V DD ˆ V DC + - S I o I o ˆ + - S I o + - S 2I o i CI - + S/C I o i sinh i cosh 2Q ˆ CI ˆOUTI ˆ + - S I o ˆ + - S I o I o + - - + S S/C I o i sinh i cosh 2Q 2I o i C Q ˆ CQ ˆOUT Σχήμα 5.7: Μιγαδικός ολοκληρωτής με απώλειες διπλής εισόδου υ in1i υ in2i υ in1q υ in2q in1i in2i in1q in2q COMPLEX LOSSY DUAL INTEGRATOR OUT I OUT Q υ outi υ outq Σχήμα 5.8: Το σύμβολό του ολοκληρωτής με απώλειες διπλής εισόδου ~ 41 ~

Σχήμα 5.9: Μιγαδικός ολοκληρωτής χωρίς απώλειες απλής εισόδου υ ini υ inq ini inq COMPLEX LOSSLESS SINGLE INTEGRATOR OUT I OUT Q υ outi υ outq Σχήμα 5.10: Το σύμβολό του ολοκληρωτής χωρίς απώλειες απλής εισόδου ~ 42 ~

Σχήμα 5.11: Μιγαδικός ολοκληρωτής χωρίς απώλειες διπλής εισόδου υ in1i υ in2i υ in1q υ in2q in1i in2i in1q in2q COMPLEX OUT I LOSSLESS DUAL INTEGRATOR OUT Q υ outi υ outq Σχήμα 5.12: Το σύμβολό του ολοκληρωτής χωρίς απώλειες διπλής εισόδου ~ 43 ~

Έτσι χρησιμοποιώντας τα σύμβολα των παραπάνω ολοκληρωτών και συνδέοντάς τα σύμφωνα με το SFG του σχήματος (5.3), προκύπτει το τελικό Block διάγραμμα του μιγαδικού φίλτρου 12 ης τάξης και είναι αυτό που φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα (5.13). υ in,i υ in,q in1i in2i in1q in2q COMPLEX LOSSY DUAL INTEGRATOR #1 OUT I OUT Q OUT I OUT Q COMPLEX LOSSLESS DUAL INTEGRATOR #2 in1i in2i in1q in2q in1i in2i COMPLEX OUT I LOSSLESS DUAL OUT in1q INTEGRATOR Q in2q #3 in1i OUT I COMPLEX in2i LOSSLESS DUAL OUT Q INTEGRATOR in1q #4 in2q in1i in2i COMPLEX OUT I LOSSLESS DUAL OUT in1q INTEGRATOR Q in2q #5 υ o,i υ o,q OUT I OUT Q COMPLEX LOSSY SINGLE INTEGRATOR #6 ini inq Σχήμα 5.13: Block διάγραμμα μιγαδικού φίλτρου 12 ης τάξης ~ 44 ~

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ο ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΞΟΜΟΙΩΣΗΣ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ ΣΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΟΥ CADENCE 6.1 ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ BLUETOTH & ZIGBEE Για την υλοποίηση των μιγαδικών ολοκληρωτών που απαρτίζουν το μιγαδικό φίλτρο που σχεδιάστηκε, απαιτείται να υπολογιστούν οι τιμές των παθητικών στοιχείων τα οποία αντιστοιχούν στο μιγαδικό φίλτρο, ύστερα από την μετατροπή τους από το πραγματικό φίλτρο σύμφωνα με τη μέθοδο Leapfrog που δεικνύεται στο παρακάτω σχήμα. Σχήμα 6.1: Σύνθεση παθητικού βαθυπερατού φίλτρου n τάξης με τη μέθοδο Leapfrog Στην περίπτωσή μας έχουμε ένα πραγματικό βαθυπερατό φίλτρο 6 ης τάξης, το οποίο θέλουμε να λειτουργεί στο πρωτόκολλο Bluetooth για το μιγαδικό φίλτρο, όπου το εύρος ζώνης είναι BW= 1MHz, το οποίο σημαίνει πως συχνότητα αποκοπής του πραγματικού φίλτρου είναι f 0 =500kHz, χρειαζόμαστε όμως κι άλλο ένα δεδομένο για να υπολογίσουμε τα παθητικά στοιχεία του κυκλώματος και αυτό είναι η αντίσταση εισόδου του κυκλώματος, γνωρίζοντας φυσικά πως R 0 =R L. ~ 45 ~

Για τον υπολογισμό της αντίστασης εισόδου ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία. Γνωρίζουμε πως g m 2I V 0 (6.1) T Επίσης ισχύει ότι R in 1 (6.2) g m Από τις παραπάνω σχέσεις (6.1) και (6.2) προκύπτει ότι VT 25.7mV Rin Rin 5.134K 6 2I 22.510 A 0 Στο ακόλουθο σχήμα (6.2) φαίνεται αυτό το πραγματικό παθητικό φίλτρο. Σχήμα 6.2: Παθητικό βαθυπερατό φίλτρο 6 ης τάξης. Με τα δεδομένα που έχουμε εύκολα υπολογίζουμε τις τιμές των παθητικών στοιχείων του φίλτρου αυτού. Οι τιμές αυτές είναι οι ακόλουθες: C 1 =32.09pF L 2 =2.311mH C 3 =119.8pF L 4 =3.157mH ~ 46 ~

C 5 =87.68pF L 6 =845.9μH Για να μετατρέψουμε τις τιμές των στοιχείων αυτών σε αξιοποιήσιμη μορφή για το μιγαδικό φίλτρο που κατασκευάζουμε χρησιμοποιούμε τις εκφράσεις που υπολογίζουν τις τιμές των ισοδύναμων πυκνωτών Ciα(i=1,2,,6)που φαίνονται στο σχήμα (5.2). πως Έτσι λοιπόν βρισκόμενοι πάντα σε λειτουργία Bluetooth εύκολα βρίσκουμε C 1α =C 1 =32.09pF C 3α =C 3 =119.8pF C 5α =C 5 =87.68pF Ενώ για τις τιμές των παθητικών στοιχείων που είχαν πηνίο στο πραγματικό φίλτρο μετατρέπονται εύκολα μέσω της σχέσης: C ia L (6.3) R i 2 in Οπότε τελικά έχουμε: C 2 2a 2 Rin L 2.311mH 87.68 pf 26.357M 4 C4a 2 Rin L 3.157mH 119.8 pf 26.357M C 6 6a 2 Rin L 845.9H 32.09 pf 26.357M ~ 47 ~

Βλέποντας τα παραπάνω αποτελέσματα, μπορούμε να κάνουμε την εξής διαπίστωση C 1α = C 6α, C 2α = C 5α και C 3α = C 4α. Το οποίο είναι και λογικό αφού το φίλτρο μας έχει συμμετρία. Οι τιμές αυτές των πυκνωτών για το μιγαδικό φίλτρο είναι οι ίδιες τόσο για τον κλάδο I όσο και για τον κλάδο Q. Για το μιγαδικό φίλτρο που λειτουργεί στο πρωτόκολλο ZigBee, το εύρος ζώνης είναι διπλάσιο BW= 2MHz το οποίο σημαίνει πως συχνότητα αποκοπής του πραγματικού φίλτρου είναι f 0 =1ΜHz. Επομένως από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτουν οι ακόλουθες τιμές των παθητικών στοιχείων για την λειτουργία του φίλτρου στο πρότυπο αυτό. Τιμές παθητικών στοιχείων για το πραγματικό φίλτρο C 1 =16.05pF L 2 =1.156mH C 3 =59.89pF L 4 =1.579mH C 5 =43.84pF L 6 =423μH Έτσι λοιπόν κατά αντιστοιχία με τη λειτουργία σε Bluetooth εύκολα βρίσκουμε πως για τη λειτουργία σε ZigBee ισχύει C 1α =C 1 =16.05pF C 3α =C 3 =59.89pF C 5α =C 5 =43.84pF Ενώ για τις τιμές των παθητικών στοιχείων που είχαν πηνίο στο πραγματικό φίλτρο μετατρέπονται εύκολα μέσω της σχέσης: ~ 48 ~

C ia L R (6.3) i 2 in Οπότε τελικά έχουμε: C L 1.156mH 43.84 pf 26.357M 2 2a 2 Rin 4 C4a 2 Rin L 1.579mH 59.89 pf 26.357M C 6 6a 2 Rin L 423H 16.05pF 26.357M Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται όλες οι τιμές των παθητικών στοιχείων για την κατασκευή του μιγαδικού φίλτρου σε λειτουργία Bluetooth και ZigBee. Πρωτόκολλο Bluetooth Zigbee R in 5.134ΚΩ 5.134ΚΩ R L 5.134ΚΩ 5.134ΚΩ C 1α,6α 32.09pF 16.05pF C 2α,5α 87.68pF 43.84pF C 3α,4α 119.8pF 59.89pF Σχήμα 6.3: Πίνακας τιμών παθητικών στοιχείων του μιγαδικού φίλτρου Παρατηρώντας τις τελικές τιμές των παθητικών στοιχείων βλέπουμε πως η μόνη διαφορά των δύο διαφορετικών λειτουργιών του φίλτρου βρίσκεται στις τιμές των πυκνωτών και μάλιστα οι τιμές των πυκνωτών του μιγαδικού φίλτρου σε λειτουργία ZigBee είναι ακριβώς οι μισές από αυτές του μιγαδικού φίλτρου σε λειτουργία ~ 49 ~

Bluetooth. Έτσι αρκεί να χρησιμοποιήσουμε το ίδιο κύκλωμα και απλά να διπλασιάσουμε ή να υποδιπλασιάσουμε τη χωρητικότητα των πυκνωτών. Από τον παραπάνω πίνακα εξάγουμε και τους παράγοντες κλιμάκωσης κέρδους k της αντίστοιχης εξόδου των ολοκληρωτών, οι οποίοι υπολογίζονται από τις ακόλουθες σχέσεις. k R C,( i 1,3,5) (6.4) i IF in i Li kj IF,( j 2, 4,6),( i 2, 4,6) (6.5) R in Σύμφωνα με τα παραπάνω οι τιμές των παραγόντων κέρδους είναι : k 1 =1.03 k 2 =2.82 k 3 =3.86 k 4 =3.86 k 5 =2.82 k 6 =1.03 Το ρεύμα πόλωσης είναι Ι 0 =2.5μA, η τάση τροφοδοσίας είναι V DD =1.2V και V DC =1V, υπολογίζουμε τις διαστάσεις των transistors ώστε να λειτουργούν στην περιοχή του κόρου και προκύπτουν οι ακόλουθοι λόγοι (W/L) για τα NMOS και τα PMOS transistors που υλοποιούν τα κυκλώματα του σχήματος (2.2) και (2.4). ~ 50 ~

Λόγος διαστάσεων των transistors Τιμές των αντίστοιχων διαστάσεων (W/L) Mn1-Mn2 (4.5μm/1μm) (W/L) Mn3-Mn4 (1.3μm/1.3μm) (W/L) Mpi (80μm/1.3μm) Σχήμα 6.4: Πίνακας των διαστάσεων των transistors που χρησιμοποιήθηκαν Για τα transistors τα οποία χρησιμεύουν στις πολώσεις οι αντίστοιχοι λόγοι είναι (W/L) Mn_Bias =(1.3μm/1μm), ενώ για τα PMOS έχουμε: (W/L) Mp_Bias =(80μm/1.3μm). Παρακάτω ακολουθούν τα blocks και τα κυκλώματα όπως πραγματοποιήθηκαν στο περιβάλλον σχεδίασης Virtuoso Schematic του Cadence Software. Αυτό το οποίο εκμεταλλευτήκαμε είναι η δυνατότητα ιεραρχικής σχεδίασης, κάτι το οποίο βοηθάει, αρχικά στη σχεδίαση μεγάλων κυκλωμάτων, στην εξομοίωση αλλά και στη φυσική σχεδίασή τους. ~ 51 ~

Σχήμα 6.5: Το σύμβολο του μιγαδικού φίλτρου στο περιβάλλον του Cadence Virtuoso Schematic ( 1 ο επίπεδο ιεραρχικής σχεδίασης) ~ 52 ~

Σχήμα 6.6: Block διάγραμμα του μιγαδικού φίλτρου στο περιβάλλον του Cadence Virtuoso Schematic ( 2 ο επίπεδο ιεραρχικής σχεδίασης) ~ 53 ~

Σχήμα 6.7: Το πρώτο block (complex_lossy_dual) του μιγαδικού φίλτρου στο περιβάλλον του Cadence Virtuoso Schematic ( 3 ο επίπεδο ιεραρχικής σχεδίασης) ~ 54 ~

Σχήμα 6.8: Το 2 ο, το 3 ο, το 4 ο και το 5 ο block (complex_lossless_dual) του μιγαδικού φίλτρου στο περιβάλλον του Cadence Virtuoso Schematic ( 3 ο επίπεδο ιεραρχικής σχεδίασης) ~ 55 ~

Σχήμα 6.9: Το τελευταίο block (complex_lossy) του μιγαδικού φίλτρου στο περιβάλλον του Cadence Virtuoso Schematic ( 3 ο επίπεδο ιεραρχικής σχεδίασης) ~ 56 ~

Σχήμα 6.10: Το S cell που χρησιμοποιείται σε όλα τα blocks του μιγαδικού φίλτρου σε επίπεδο transistor στο περιβάλλον του Cadence Virtuoso Schematic ( 4 ο επίπεδο ιεραρχικής σχεδίασης) Σχήμα 6.11: Το S_C cell που χρησιμοποιείται στο 1 ο και 2 ο block του μιγαδικού φίλτρου σε επίπεδο transistor στο περιβάλλον του Cadence Virtuoso Schematic ( 4 ο επίπεδο ιεραρχικής σχεδίασης) ~ 57 ~

6.2 ΕΞΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ Στην ακόλουθη εικόνα σχήμα(6.12) φαίνονται οι κυματομορφές εισόδου εξόδου του μιγαδικού φίλτρου 12 ης τάξης σε ημιτονική (στον κλάδο Q) και συνημιτονική (στον κλάδο I) διέγερση συχνότητας 1ΜHz και πλάτους 2μΑ. Παρατηρούμε ότι για τη δεδομένη συχνότητα, η οποία αποτελεί την κεντρική συχνότητα του ζωνοδιαβατού μιγαδικού φίλτρου που υλοποιήσαμε, το σήμα περνάει αναλλοίωτο με μειωμένο πλάτος κατά 60%. Σχήμα 6.12: Κυματομορφές εισόδου εξόδου του μιγαδικού φίλτρου Στην επόμενη εικόνα του σχήματος (6.13) φαίνεται η απόκριση συχνότητας αυτού του μιγαδικού φίλτρου, όπου διαπιστώνουμε την καλή συχνοτική συμπεριφορά του φίλτρου μας. Συγκεκριμένα το εύρος ζώνης για τη λειτουργία σε Bluetooth είναι BW=900KHz αφού οι συχνότητες αποκοπής είναι f 1 =412KHz και f 2 =1.312MHz. Παρατηρούμε πως η καμπύλη της γραφικής του φίλτρου μας είναι πολύ κοντά σε αυτή της θεωρητικά αναμενόμενης καμπύλης για ένα ζωνοδιαβατό φίλτρο. ~ 58 ~

Σχήμα 6.13: Απόκριση συχνότητας μιγαδικού φίλτρου 12 ης τάξης(bluetooth) Κατά αντιστοιχία με την εικόνα του σχήματος (6.13), στο επόμενο σχήμα (6.14) φαίνεται η απόκριση συχνότητας του μιγαδικού φίλτρο για λειτουργία Zigbee. Συγκεκριμένα το εύρος ζώνης για τη λειτουργία σε Zigbee είναι BW=1.8MHz αφού οι συχνότητες αποκοπής είναι f 1 =0.87MHz και f 2 =2.67MHz. Παρατηρούμε κι εδώ επίσης πως η καμπύλη του φίλτρου μας είναι πολύ κοντά σε αυτή της θεωρητικά αναμενόμενης καμπύλης για ένα ζωνοδιαβατό φίλτρο. ~ 59 ~

Σχήμα 6.14: Απόκριση συχνότητας μιγαδικού φίλτρου 12 ης τάξης (Zigbee) Στις δύο επόμενες εικόνες σχήμα(6.15) και σχήμα (6.16), φαίνονται αντίστοιχα η απόρριψη της εικόνας (image rejection) του σήματος μαζί με το σήμα για λειτουργία σε Bluetooth, και η απόρριψη της εικόνας του σήματος για λειτουργία σε Zigbee, που επιτυγχάνονται με το μιγαδικό φίλτρο. Ο λόγος απόρριψης της εικόνας του σήματος (Image Rejection Ratio, IRR) είναι 48dBc για το Bluetooth και 47.9dBc για το Zigbee. ~ 60 ~

Σχήμα 6.15: Απόρριψη εικόνας του σήματος μιγαδικού φίλτρου 12 ης - τάξης(bluetooth) Σχήμα 6.16: Απόρριψη εικόνας του σήματος μιγαδικού φίλτρου 12 ης τάξης(zigbee) ~ 61 ~

Επίσης, μια ακόμη σημαντική παράμετρος σε τέτοιου είδους κυκλώματα όπου βρίσκουν εφαρμογή σε τηλεπικοινωνιακά συστήματα είναι το λεγόμενο 1-dB compression point το οποίο ορίζεται ως η στάθμη του σήματος στην είσοδο το οποίο αναγκάζει το κέρδος μικρών-σημάτων του κυκλώματος να μειωθεί 1dB. Αυτό γίνεται πιο κατανοητό από το επόμενο σχήμα όπου σημειώνεται το σημείο αυτό. Ουσιαστικά, υπολογίζεται η έξοδος συναρτήσει της εισόδου (και τα δύο εκφράζονται σε dbm) από όπου γίνεται εμφανές ότι από κάποια τιμή της εισόδου και έπειτα έχουμε κορεσμό του συστήματος λόγω της μη γραμμικότητας που παρουσιάζει. Σχήμα 6.17: 1-dB compression point για το μιγαδικό φίλτρο 12 ης τάξης για το πρότυπο Bluetooth. Από τη μέτρηση αυτή μπορεί να προκύψει η δυναμική περιοχή (Dynamic Range) του φίλτρου σε σχέση με το 1-dB compression point, αν λάβουμε υπόψη και τον θόρυβο ο οποίος είναι 19.8nA, το οποίο μεταφράζεται σε dbm ίσο με -142.7dBm. Έτσι, ορίζοντας τη δυναμική περιοχή ως DRP -1dB -P noise, η τιμή της υπολογίζεται ως DR=39.2dB. ~ 62 ~

Μία εναλλακτική οπτική για την εκτίμηση της ποιότητας τέτοιων φίλτρων είναι το λεγόμενο Figure of Merit (FOM) το οποίο δίνεται από την επόμενη σχέση P FOM (6.6) n f 0 ( DR ) όπου P είναι η συνολική κατανάλωση ισχύoς του φίλτρου, n είναι ο αριθμός των πόλων του φίλτρου, f 0 είναι η κεντρική συχνότητα και DR η δυναμική περιοχή όχι όμως σε dbm αλλά ως καθαρός αριθμός. Στην περίπτωσή μας το FOM βρέθηκε ίσο με 2.6pJ για το πρότυπο Bluetooth και 2.4pJ για το πρότυπο ZigBee. Όσο μικρότερος είναι αυτός ο παράγοντας, τόσο καλύτερη είναι η ποιότητα του φίλτρου. Επίσης μια σημαντική προδιαγραφή που πρέπει να έχει ένα τέτοιο φίλτρο είναι η διακύμανση της καθυστέρησης ομάδας εντός της ζώνης διέλευσης του φίλτρου(in Band Group Delay variation), βρέθηκαν 0.8μs για το πρότυπο Bluetooth και 0.35μs για το πρότυπο ZigBee. Ακολουθούν οι εικόνες εξομοίωσης από το Cadence Virtuoso, όπου φαίνονται οι διακυμάνσεις της καθυστέρησης ομάδας εντός τη ζώνης διέλευσης για τα δύο πρότυπα. Σχήμα 6.18: Απόκριση του Group Delay για το πρότυπο Bluetooth ~ 63 ~

Σχήμα 6.19: Απόκριση του Group Delay για το πρότυπο Zigbee Τέλος, παρατίθεται ένας συγκεντρωτικός πίνακας με τα χαρακτηριστικά του μιγαδικού φίλτρου για τις δύο λειτουργίες σε Bluetooth και Zigbee, που διευκολύνει την εξαγωγή χρήσιμων συμπερασμάτων. Στον πίνακα αυτό αναγράφονται επίσης και οι προδιαγραφές για τα μιγαδικά φίλτρα που λειτουργούν σε αυτά τα δύο πρότυπα. Από τον πίνακα είναι εμφανές πως η συγκεκριμένη υλοποίηση του μιγαδικού φίλτρου παρουσιάζει πολύ μικρή κατανάλωση ισχύος, αφού η συνολική κατανάλωση είναι 2.63mW, επίσης ένα πολύ σημαντικό στοιχείο είναι ότι η διακύμανση καθυστέρησης ομάδας εντός της ζώνης διέλευσης είναι εντός των επιτρεπτών ορίων για την ορθή λειτουργία του φίλτρου. Ένα ακόμα στοιχείο που περιέχει ο πίνακας αυτός είναι τα 1 st, 2 nd, και 3 rd blocker attenuations, τα οποία αντιστοιχούν σε f IF +Δf, f IF +2 Δf, f IF +3 Δf, όπου για το πρότυπο Bluetooth τα γειτονικά κανάλια ισαπέχουν κατά Δf=1MHz, ενώ για το πρότυπο ΖigBee κατά Δf=2MHz. ~ 64 ~

Αποτελέσματα της υλοποίησης του μιγαδικού φίλτρου για τα δύο πρότυπα Πρωτόκολλα Χαρακτηριστικά απόδοσης μιγαδικού ζωνοδιαβατού φίλτρου Bluetooth Zigbee Μετρήσεις Προδιαγραφές Μετρήσεις Προδιαγραφές Συνολική κατανάλωση ισχύος 2.63mW 2.63mW Συχνότητα αποκοπής f 1 412KHz 870KHz Συχνότητα αποκοπής f 2 1.312MHz 2.670MHz Κεντρική συχνότητα f 0 862KHz 1ΜΗz 1.77MHz 2MHz Εύρος συχνοτήτων 900ΚΗz 1MHz 1.8MHz 2MHz In band Group Delay variation 0.8μs <1μs 0.35μs <1μs 1-dB compression point (input referred) Ενεργός τιμή θορύβου (input referred) -103.5dBm 19.8nA -103.5dBm 31.4nA Dynamic Range 39.2dB 34dB Figure of Merit (FOM) 2.6 pj 2.4pJ Λόγος απόρριψης εικόνας του σήματος 48dBc >20dBc 47.9dBc >20dBc 1 st Blocker attenuation f 0 +Δf 42.7dBc >11dBc 37.5dBc >11dBc 2 nd Blocker attenuation f 0 +2Δf 75.7dBc >41dBc 71.3dBc >41dBc 3 rd Blocker attenuation f 0 +3Δf 95.7dBc >51dBc 91.8dBc >51dBc Σχήμα 6.20: Πίνακας αποτελεσμάτων ~ 65 ~

Παρακάτω ακολουθεί ένας συγκριτικός πίνακας με αντίστοιχο Log-Domain κύκλωμα που έχει προταθεί στη βιβλιογραφία. Χαρακτηριστικά φίλτρου Log-domain[13] Sinh-Domain V DD 1.2V 1.2V I 0 20μΑ 2.5μΑ Συνολική κατανάλωση ισχύος 10.9mW 2.63mW Συχνότητα αποκοπής f 1 1.54MHz 412KHz Συχνότητα αποκοπής f 2 2.50MHz 1.31MHz Κεντρική συχνότητα f 0 2ΜΗz 862KHz Εύρος συχνοτήτων 960kHz 900ΚΗz In band Group Delay variation 0.79μs 0.8μs 1-dB compression point (input referred) ------ -103.5dBm Ενεργός τιμή θορύβου (input referred) -133.7dBm -142.7dBm Dynamic Range 36.9dB 39.2dB Figure of Merit (FOM) 6.5pJ 2.6pJ Λόγος απόρριψης εικόνας του σήματος 45.7dBc 48dBc 1 st Blocker attenuation 25.3dBc 42.7dBc 2 nd Blocker attenuation 60.7dBc 75.7dBc 3 rd Blocker attenuation ------ 95.7dBc ~ 66 ~

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΦΥΣΙΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ (PHYSICAL LAYOUT DESIGN) 7.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η φυσική σχεδίαση (physical layout) ενός κυκλώματος είναι το τελικό στάδιο της διαδικασίας σχεδίασης ενός κυκλώματος, πριν γίνει η κατασκευή του ολοκληρωμένου. Είναι ένα απαραίτητο βήμα στη σχεδίαση ολοκληρωμένων κυκλωμάτων και σκοπός είναι να πληροφορηθεί ο κατασκευαστής για τις φυσικές διαστάσεις των στοιχείων που χρησιμοποιούνται στο κύκλωμα. Επίσης, ο κατασκευαστής γνωρίζει τη θέση αλλά και τον τρόπο διασύνδεσης των δομικών στοιχείων του κυκλώματος. Τέλος, η φυσική σχεδίαση ενός κυκλώματος έχει πολύ μεγάλη σημασία και για τον σχεδιαστή, καθώς θα καταλάβει τη φυσική συμπεριφορά (παρασιτικές χωρητικότητες) του εκάστοτε κυκλώματος. Η φυσική σχεδίαση του μιγαδικού φίλτρου 12 ης τάξης πραγματοποιήθηκε στο περιβάλλον Virtuoso Layout Editor του Cadence Software. Όπως έχουμε ήδη αναφέρει σε προηγούμενα κεφάλαια, έτσι και για τη διαδικασία της φυσικής σχεδίασης, τα μοντέλα των τρανζίστορ που χρησιμοποιούνται σχεδιάστηκαν με την τεχνολογία 0.35μm AMS S35D4. Με την συγκεκριμένη τεχνολογία έχουμε διαθέσιμα τέσσερα επίπεδα μετάλλου για όλες τις απαραίτητες διασυνδέσεις και τέλος χρησιμοποιήθηκαν πυκνωτές πολυπυριτίου, οι οποίοι υποστηρίζονται από την συγκεκριμένη τεχνολογία. ~ 67 ~

7.2 ΦΥΣΙΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΖΩΝΟΔΙΑΒΑΤΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ 12 ΗΣ ΤΑΞΗΣ Στην παρακάτω εικόνα του σχήματος (7.1) παρατίθεται το συνολικό layout του μιγαδικού ζωνοδιαβατού φίλτρου, το οποίο περιλαμβάνει τα ενεργά στοιχεία (NMOS και PMOS καθώς και τα BJT transistors) και τα παθητικά στοιχεία (πυκνωτές και αντιστάσεις). Σχήμα 7.1: Physical layout του μιγαδικού ζωνοδιαβατού φίλτρου 12 ης τάξης Να σημειωθεί πως ο συνολικός χώρος που καταλαμβάνει το φυσικό design του φίλτρου είναι ίσος με 1,329.6μm x 831μm, δηλαδή εμβαδόν περίπου ίσο με 1.1 mm 2. ~ 68 ~

Στη συνέχεια φαίνεται στο σχήμα (7.2) το layout του πρώτου block (ολοκληρωτής με απώλειες δύο εισόδων) του μιγαδικού φίλτρου για μεγαλύτερη ευκρίνεια. Σχήμα 7.2: Physical layout του 1 ου Block του μιγαδικου ζωνοδιαβατού φίλτρου 12 ης τάξης Ενώ παρακάτω φαίνεται το layout του S cell από τα οποία αποτελούνται τα Blocks που απαρτίζουν το μιγαδικό φίλτρο, μαζί με τα C και S/C cells με κατάλληλη συνδεσμολογία. ~ 69 ~

Σχήμα 7.3: Physical layout του S cell ~ 70 ~

Κατά την διαδικασία της υλοποίησης του layout του κυκλώματος ένας σημαντικός παράγοντας που προκύπτει είναι οι παρασιτικές χωρητικότητες που δημιουργούνται, έτσι στο παρακάτω σχήμα(7.4) εμφανίζεται ενδεικτικά το av_extracted του ολοκληρωτή με απώλειες που παρουσιάστηκε στο σχήμα (7.2), το οποίο δείχνει τις παρασιτικές χωρητικότητες που έχουν δημιουργηθεί. Σχήμα 7.4: Physical layout του ολοκληρωτή με απώλειες (av_extracted) ~ 71 ~

Επίσης ένα σημαντικό κομμάτι για την υλοποίηση του layout του κυκλώματος ήταν να υλοποιηθούν οι πυκνωτές εκτός του κύριου block, έτσι σε αντιπαράθεση με το τελικό block που είχαμε στο σχηματικό παρουσιάζουμε το τελικό block που έχουμε στο layout στην επόμενη εικόνα σχήμα (7.5) Σχήμα 7.5: Τελικό Block layout ~ 72 ~

7.3 ΕΞΟΜΟΙΩΣΗ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΖΩΝΟΔΙΑΒΑΤΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ 12 ΗΣ ΤΑΞΗΣ Έχοντας ολοκληρώσει το Physical Layout, το οποίο πληροί όλες τις προδιαγραφές σχεδίασης, αυτό που απομένει πριν την εξομοίωση της φυσικής συμπεριφοράς του μιγαδικού φίλτρου είναι να ελέγξουμε την ορθότητα του layout. Η διαδικασία αυτή παρέχεται από το εργαλείο του cadence μέσα από την λειτουργία Layout Versus Schematic, LVS, η οποία συγκρίνει το κύκλωμα που παράγεται από το layout του φίλτρου σχήμα (7.1) με το αντίστοιχο κύκλωμα από το σχηματικό του σχήμα (6.6). Η επιτυχής ολοκλήρωση αυτού του βήματος φαίνεται στην επόμενη εικόνα, σχήμα (7.6). Σχήμα 7.6: Επιτυχής ολοκλήρωση του LVS Πλέον είμαστε σε θέση να εξομοιώσουμε τη φυσική συμπεριφορά του μιγαδικού φίλτρου συνυπολογίζοντας τις παρασιτικές χωρητικότητες. Το αποτέλεσμα της εξομοίωσης φαίνεται στο επόμενο σχήμα(7.7), όπου παρατίθεται και το σχήμα της απόρριψης της εικόνας του σήματος. ~ 73 ~