Estimation Theory Exercises* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@math.uoa.gr December 22, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô. ÐáðáúùÜííïõ, ôéò óçìåéþóåéò ôïõ. Ðáðáãåùñãßïõ ãéá ôï ìüèçìá "ÓôáôéóôéêÞ É" ôïõ Ìáèçìáôéêïý ÔìÞìáôïò êáé ôá âéâëßá "Mathematical Statistics" ôïõ John E. Freund êáé "Statistical Inference" ôùí George Casella êáé Roger L. Berger.
1. óôù 1 ; 2 ; : : : ; í ôõ áßï äåßãìá áðü ðëçèõóìü ìå åêèåôéêþ êáôáíïìþ: f(x è) = èe èx ; 0 < x < ; 0 < è < : Íá äåé èåß üôé ç ñïðïåêôéìþôñéá ôçò ðáñáìýôñïõ è óõìðßðôåé ìå ôçí åêôéìþôñéá ìåãßóôçò ðéèáíïöüíåéáò áõôþò. 2. óôù X 1 ; X 2 ; :::; X 5 ôõ áßï äåßãìá áðü êáíïíéêü ðëçèõóìü ìå ìýóï ì êáé äéáóðïñü 1. Åðßóçò, Ýóôù Õ 1 ; Õ 2 ; Õ 3 ôõ áßï äåßãìá åðßóçò áðü êáíïíéêü ðëçèõóìü ìå ìýóï ì êáé äéáóðïñü 2. Íá âñåèåß ç åêéìþôñéá ìåãßóôçò ðéèáíïöüíåéáò ôïõ ì êáé íá åîåôáóôåß êáôü ðüóï åßíáé áìåñüëçðôç. 3. óôù X 1 ; X 2 ; :::; X n ôõ áßï äåßãìá áðü êáôáíïìþ f(x è) = èx 2 ; 0 < è x < : (a) ÐïéÜ ç åðáñêþò ó.ó. ãéá ôï è; (b) Âñåßôå ôïí ÅÌÐ ôçò è. (c) Âñåßôå ôïí åêôéìçôþ ôçò è ìå ôçí ìýèïäï ôùí ñïðþí. ÅêôéìçôéêÞ-ÁóêÞóåéò 1
4. óôù X = (X 1 ; X 2 ; :::; X n ) êáé Y = (Y 1 ; Y 2 ; :::; Y n ) áíåîüñôçôá ôõ áßá äåßãìáôá ìå ßäéá ìýóç ôéìþ è êáé ãíùóôýò äéáêõìüíóåéò ó 2 1 êáé ó 2 2 áíôßóôïé á. Äåßîôå üôé ãéá êüèå c [0; 1] ç ó.ó. T = c + (1 c)ȳ åßíáé Ýíáò áìåñüëçðôïò åêôéìçôþò ôïõ è. Åðßóçò íá âñåèåß ç ôéìþ ôïõ c ãéá ôçí ïðïßá ç äéáêýìáíóç ôïõ Ô åßíáé åëü éóôç. 5. óôù X 1 ; X 2 ; X 3 ôõ áßï äåßãìá áðü êáíïíéêü ðëçèõóìü Í(ì; ó 2 ), üðïõ ó 2 ãíùóôü. Äåßîôå üôé U = X åßíáé á.å.å.ä. åêôéìçôþò ôçò ì êáé íá âñåèåß ç ó åôéêþ áðïôåëåóìáôéêüôçôá ôïõ T = (X 1 + 2X 2 + X 3 )=4 þò ðñüò ôï U. 6. óôù X 1 ; X 2 ; :::; X n ôõ áßï äåßãìá áðü äéùíõìéêþ Bin(2; è), üðïõ 0 < è < 1. Íá âñåèïýí: (a) íáò óõíåðþò åêôéìçôþò ôçò è. (b) íáò áìåñüëçðôïò åêôéìçôþò ôçò P (X = 2). 7. óôù X 1 ; X 2 ; :::; X n ôõ áßï äåßãìá áðü êáíïíéêü ðëçèõóìü Í(ì; ó 2 ). Íá âñåèïýí: (a) íá åðáñêýò óôáôéóôéêü ãéá ó 2 üôáí ì ãíùóôü. (b) íá åðáñêýò óôáôéóôéêü ãéá ôçí ðáñüìåôñï è = (ì; ó 2 ) (ì; ó 2 Üãíùóôá). ÅêôéìçôéêÞ-ÁóêÞóåéò 2
8. Äßíåôå ô.ä. 1 ; 2 ìåãýèïõò 2 áðü ôçí åêèåôéêþ Åêè(1=è). (a) Íá äåé èåß üôé 2 áìåñüëçðôïò åêôéìçôþò ôçò è êáé íá âñåèåß ç äéáóðïñü ôïõ. (b) Ná äåé èåß üôé ï åêôéìçôþò Ô = 1 + 2 åßíáé åðáñêþò. (c) Ná âñåèåß üôé ï åêôéìçôþò Å( 2 1 + 2 ) êáèþò êáé ç äéáóðïñü ôïõ. Åßíáé êáëýôåñïò áðü ôï 2 ; (d) Ná äåé èåß üôé ç ó.ó. Ô = 1 Ô Ô ðëþñçò ó.ó.). åßíáé á.å.å.ä. ôçò 1=è (äßíåôå üôé 9. óôù X 1 ; X 2 ; :::; X n áíåîüñôçôåò ô.ì. ìå êïéíþ êáôáíïìþ Ñ( i x á; â) = 0; Üí x < 0; (x=â) á ; Üí 0 x â; 1; Üí x > â, üðïõ ïé ðáñüìåôñïé á; â èåôéêïß. (á) Âñåßôå åðáñêþ ó.ó. ãéá (á; â), (â) âñåßôå ÅÌÐ ôùí á êáé â êáé (ã) ôï ìþêïò (mm) ôùí áõãþí åíüò êïýêïõ ìðïñåß íá ðåñéãñáöåß ìå ôï óõãêåêñéìýíï ìïíôýëï. Ãéá ôá äåäïìýíá 22:0; 23:9; 20:9; 23:8; 25:0; 24:0; 21:7; ÅêôéìçôéêÞ-ÁóêÞóåéò 3
23:8; 22:8; 23:1; 23:1; 23:5; 23:0; 23:0; âñåßôå ôéò ÅÌÐ ôùí á êáé â. 10. óôù üôé ï ñüíïò æùþò (óå þñåò) ìéáò çëåêôñïíéêþò óõóêåõþò áêïëïõèåß ôçí êáôáíïìþ f(x; è 1 ; è 2 ) = { 1 è2 exp{ x è 1 è2 }; è 1 < x < ; 0; áëëïý. óôù åðßóçò üôé 9 çëåêôñïíéêýò óõóêåõýò Ý ïõí õðïóôåß ìéá äïêéìáóßá åëýã ïõ êáé ðáñáôçñþèçêáí ïé ðáñáêüôù ñüíïé äéüñêåéáò æùþò x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 108 212 174 130 108 169 252 168 143 Íá âñåèïýí: (á) ÅÌÐ ôïõ è 1 üôáí ôï è 2 ãíùóôü, (â) ÅÌÐ ôïõ è 2 üôáí è 1 = 108 êáé (ã) ÅÌÐ ôùí è 1 êáé è 2. 11. óôù x 1 ; x 2 ; :::; x í ô.ä. áðü ôçí ïìïéüìïñöç (a) U(0,è), (b) U(-è,è). ÅêôéìçôéêÞ-ÁóêÞóåéò 4
Íá âñåßôáé ÅÌÐ ãéá ôï è ãéá êüèå ìéá áðü ôéò ðáñáðüíù êáôáíïìýò ùñéóôü. 12. óôù x 1 ; x 2 ; :::; x í ô.ä. áðü êáôáíïìþ ìå áèñïéóôéêþ óõíüñôçóç êáôáíïìþò F (x; è) = 1 è3 x è > 0: x3; (a) N.Ä.Ï. ç ä = x (1) = min i (x i ); i = 1; 2; :::; í åßíáé ÅÌÐ ôïõ è êáé íá âñåèåß ç êáôáíïìþ ôçò. (b) Íá âñåèåß a R þóôå ç ä 1 = ax (1) íá åßíáé á.å. ôïõ è. Åßíáé ç ä 1 óõíåðþò; (óåë. 91) 13. óôù x 1 ; x 2 ; :::; x í ô.ä. áðü êáôáíïìþ ìå f(x; è) = 3x2 è 3 exp{ x }; x 0; è > 0: è Äåßîôå üôé ç ÅÌÐ ˆè ôçò è åßíáé áìåñüëçðôç êáé óõíåðþò. 95) (óåë. ÅêôéìçôéêÞ-ÁóêÞóåéò 5
14. óôù x 1 ; x 2 ; :::; x í ô.ä. áðü ôçí Í(ì; ó 2 = 25). Íá âñåèïýí (a) ç ðëçñïöïñßá ôïõ äåßãìáôïò ãéá ôï ì. (b) áðïôåëåóìáôéêþ åêôéìþôñéá ôïõ ì (äýï ôñüðïõò). (óåë. 80) 15. óôù x 1 ; x 2 ; :::; x í ô.ä. áðü ôç Bernoulli(è). Í.Ä.Ï. ç ó.ó. Ô = Ô(x) = x i åßíáé åðáñêþò ãéá ôï è (êáé ìå ôïí ïñéóìü). (óåë. 39) 16. óôù x 1 ; x 2 ; :::; x í ô.ä. áðü ôç P oisson(ë). Í.Ä.Ï. ç ó.ó. Ô = Ô(x) = x i åßíáé åðáñêþò ãéá ôï ë (êáé ìå ôïí ïñéóìü). (óåë. 38) 17. óôù x 1 ; x 2 ; x 3 ô.ä. áðü ôç Bernoulli(è). Íá åîåôüóåôå Üí ç ó.ó. Ô = Ô( ) = 1 + 2 2 + 3 åßíáé åðáñêþò ãéá ôï è. (óåë. 40) 18. óôù x 1 ; x 2 ; :::x í ô.ä. áðü ôç f(x; è) = èx è 1 ; 0 < x < 1; è > 0: Íá âñåèåß åðáñêþò óôáôéóôéêþ óõíüñôçóç ãéá ôï è. (óåë. 42) ÅêôéìçôéêÞ-ÁóêÞóåéò 6
19. óôù 1 ; 2 ; :::; í ô.ä. áðü Í(ì; ó 2 ). (a) í ì-ãíùóôü, íá âñåèåß åðáñêþò ó.ó. ãéá ôï ó 2. (b) í êáé ôá äýï Üãíùóôá, íá âñåèåß åðáñêþò ó.ó. ðáñüìåôñï è = (ì; ó 2 ). ãéá ôçí (óåë. 44) 20. óôù x 1 ; x 2 ; :::; x í ô.ä. áðü ôç U(è 1 ; è 2 ). Íá âñåèåß åðáñêþò ãéá ôï è = (è 1 ; è 2 ). (óåë. 49) 21. óôù x 1 ; x 2 ; :::; x í ô.ä. áðü ôç Bernoulli(p). Íá âñåèåß åðáñêþò êáé ðëþñçò ó.ó. ãéá ôï p. (óåë. 51) 22. Íá åîåôáóôïýí ùò ðñïò ôç ðëçñüôçôá ïé áêüëïõèåò ðåñéðôþóåéò (a) f(x; è) = 1 I(a < x < è); a < x < è; a R; è (a; + ): è a (b) f(x; è) = 1 b è (c) f(x; è) = 1 2è (óåë. 53) I(è < x < b); è < x < b; b R; I( è < x < è); è < x < è; è R: è ( ; b): 23. óôù x 1 ; x 2 ; :::; x í ô.ä. áðü ôç U(0; è). Íá âñåèåß åðáñêþò êáé ðëþñçò ó.ó. ãéá ôï è. (óåë. 54) ÅêôéìçôéêÞ-ÁóêÞóåéò 7
24. óôù x 1 ; x 2 ; :::; x í ô.ä. áðü êáôáíïìþ ìå f(x; è) = è è > 0; x > è: x2; ÍÄÏ ç Ô = (1) = min i (X i ) åßíáé åðáñêþò êáé ðëþñçò ó.ó. ãéá ôï è. (óåë. 56) 25. óôù x 1 ; x 2 ; :::; x í ô.ä. áðü ôçí Exp(è). Íá âñåèåß åðáñêþò êáé ðëþñçò ó.ó. ãéá ôï è. (óåë. 59) 26. óôù x 1 ; x 2 ; :::; x í ô.ä. áðü ôç Í(ì; 1). Íá âñåèåß åðáñêþò êáé ðëþñçò ó.ó. ãéá ôï ì. (óåë. 60) 27. óôù x 1 ; x 2 ; :::; x í ô.ä. áðü ôç Í(0; ó 2 ). Íá âñåèåß åðáñêþò êáé ðëþñçò ó.ó. ãéá ôï ó 2. (óåë. 61) 28. óôù x 1 ; x 2 ; :::; x í ô.ä. áðü ôç Í(è; 1). (a) Íá âñåèåß áååä ãéá ôï è. (óåë. 70) (b) Í.Ä.Ï. ç ó.ó. x 2 1 í åßíáé áååä ôçò g(è) = è2. (óåë. 71) 29. óôù x 1 ; x 2 ; :::; x í ô.ä. áðü ôçí U(0; è). ÅêôéìçôéêÞ-ÁóêÞóåéò 8
(a) Íá âñåèåß áååä ôçò g(è). (óåë. 71) (b) Íá âñåèåß áååä ôïõ E(x) êáé V (x). (óåë. 73) 30. óôù x 1 ; x 2 ; :::; x í ô.ä. áðü ôçí êáôáíïìþ ìå ó.ð.ð. f(x; ë) = 2ë 2 x 3 ; x > ë; ë > 0: (a) N.Ä.Ï. ç ó.ó. Ô = x (1) = min i (x i ) åßíáé åðáñêþò êáé ðëþñçò ãéá ôï ë. (b) Íá âñåèåß áååä Ýóôù ä k ôïõ ë k. (óåë. 73) 31. óôù x 1 ; x 2 ; :::; x í ô.ä. áðü ôç P oisson(ë). Íá âñåèåß áååä ôçò g(ë) = ë ê. (óåë.76) 32. óôù x 1 ; x 2 ; :::; x í ô.ä. áðü ôçí U( è; è). (óåë. 77) (a) ÍÄÏ ç ó.ó. Ô = max{ x 1 ; x 2 ; :::; x í } åßíáé åðáñêþò êáé ðëþñçò ãéá ôï è. (b) Âñåßôå áååä ôïõ ðëüôïõò (åýñïõò) 2è ôïõ äéáóôþìáôïò êáèþò êáé ôçò äéáóðïñüò è2 3 ôùí ðáñáôçñþóåùí. 33. óôù x 1 ; x 2 ; :::; x í ô.ä. áðü ôç Bin(N; è). Ná âñåèåß áååä ôïõ p êáé áöïý õðïëïãéóôåß ôï êüôù öñüãìá êáôü C-R íá åîåôáóôåß ÅêôéìçôéêÞ-ÁóêÞóåéò 9
ç áðïôåëåóìáôéêüôçôá ôçò. Åßíáé áõôþ óõíåðþò åêôéìþôñéü; (óåë. 84) ÅêôéìçôéêÞ-ÁóêÞóåéò 10