x(t) = m(t) cos(2πf c t)

Διαμόρφωση πλάτους (διπλής πλευρικής) Στοχαστικά συστήματα & επικοινωνίες 8 Νοεμβρίου 2012 1/27 2/27

Γιατί και πού χρειάζεται η διαμόρφωση Για τη χρήση πολυπλεξίας (διέλευση πολλών σημάτων μέσα από το ίδιο μέσο) Για να τοποθετηθεί το σήμα στην καταλληλότερη περιοχή συχνοτήτων από άποψη ποιότητας μετάδοσης Επειδή έχει διατεθεί η συγκεκριμένη περιοχή (λόγω ενοικίασης ή/και εξ αιτίας ρυθμιστικών κανόνων). 3/27 Πίνακας κατανομής ραδιοφάσματος στην Ελλάδα 4/27

Διαμόρφωση πλάτους: Η βασική ιδέα Αν από το βαθυπερατό σήμα m(t) δημιουργηθεί το x(t) = m(t) cos(2πf c t) στο πεδίο της συχνότητας μεταφέρεται γύρω από το f c : Αν το σήμα x(t) ξαναπολλαπλασιασθεί με cos 2πf c t x(t) cos(2πf c t) = m(t) cos 2 (2πf c t) = 1 2 m(t)+1 2 m(t) cos(4πf ct) Με βαθυπερατό φίλτρο μπορεί να ανακτηθεί το m(t)/2. 5/27 Διαμόρφωση πλάτους και περιβάλλουσα Ομως συχνά η ανάκτηση του αρχικού σήματος (αποδιαμόρφωση) βασίζεται στη χρήση της περιβάλλουσας. Αν το αρχικό σήμα είναι όπως στο σχήμα το x(t) είναι και η ανάκτηση μέσω περιβάλλουσας θα δώσει το m(t) (κόκκινη γραμμή) αντί του m(t). 6/27

Διαμόρφωση πλάτους Στη διαμόρφωση πλάτους από το αρχικό σήμα m(t) σχηματίζεται το σήμα s(t) = A c [1 + k α m(t)] cos(2πf c t) Προκειμένου να παραμένει 1 + k α m(t) 0, ρυθμίζεται το k α ώστε k α m(t) 1 Το κύμα cos(2πf c t) λέγεται φέρον. Το k α είναι ο συντελεστής ευαισθησίας πλάτους. Αν k α m(t) > 1 συμβαίνει το φαινόμενο της υπερδιαμόρφωσης. 7/27 Παράδειγμα Δίνεται το σήμα m(t) = sin 5t 1+(t 2) 2 Εξ αυτού σχηματίζεται το σήμα [ 1 + 1 2 m(t)] sin 50t 8/27

Διαμόρφωση πλάτους: Το πεδίο της συχνότητας s(t) = A c [1 + k α m(t)] cos(2πf c t) δ(f f c ) + δ(f + f c ) M(f f c ) + M(f + f c ) S(f ) = A c + A c k α 2 2 9/27 Παράδειγμα: Διαμόρφωση απλού τόνου Αν m(t) = A m cos(2πf m t), όπου f m << f c s(t) = A c [1 + k α A m cos(2πf m t)] cos(2πf c t) ή αντικαθιστώντας με τον συντελεστή διαμόρφωσης µ = k α A m s(t) = A c [1 + µ cos(2πf m t)] cos(2πf c t) Στο πεδίο της συχνότητας: 10/27

Συντελεστής διαμόρφωσης Αν A min και A max είναι η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της περιβάλλουσας του διαμορφωμένου κύματος, δηλαδή A min = A c (1 µ) A max = A c (1 + µ) τότε A max = 1 + µ A min 1 µ µ = A max A min A max + A min 11/27 Ο διαμορφωτής τετραγωνικού νόμου Αποτελείται από το κύκλωμα του σχήματος. Η τελική βαθμίδα είναι ζωνοπερατό φίλτρο συντονισμένο στη συχνότητα f c. Η εισερχόμενη τάση στο μη γραμμικό στοιχείο είναι v 1 = A c cos(2πf c t) + m(t) και η εξερχόμενη είναι v 2 (t) = a 1 v 1 (t) + a 2 v1 2 (t) = a 1 [A c cos(2πf c t) + m(t)] + a 2 [A c cos(2πf c t) + m(t)] 2 12/27

v 2 (t) = a 1 [A c cos(2πf c t) + m(t)] + a 2 [A c cos(2πf c t) + m(t)] 2 Ο όρος a 1 m(t) είναι μεταξύ W και W και απορρίπτεται απο το ζωνοπερατό φίλτρο με περατή ζώνη (±f c W, ±f c + W ) (εφόσον f c > 2W ). Ο όρος a 2 A 2 c cos 2 (2πf c t) δημιουργεί μια κρουστική στο f = 0 και μια στις ±2f c. Ολες απορρίπτονται. Ο όρος a 2 m 2 (t) είναι εύρους ( 2W, 2W ) και απορρίπτεται (εφόσον f c > 3W ). Άρα η έξοδος αποτελείται από τους ζωνοπερατούς όρους a 1 A c cos(2πf c t) + 2a 2 A c m(t) cos(2πf c t) δηλαδή είναι διαμορφωμένο σήμα με ευαισθησία πλάτους k α = 2a 2 a 1 13/27 Ο διαμορφωτής διακόπτη Σε κύκλωμα παρόμοιο με το διαμορφωτή τετραγωνικού νόμου το μη γραμμικό στοιχείο είναι απλώς μια δίοδος με χαρακτηριστική εισόδου εξόδου v 2 = v 1 για v 1 > 0 και μηδέν αλλού: Εστω ότι το εισερχόμενο σήμα είναι v 1 (t) = m(t) + A c cos(2πf c t) Αν m(t) << A c, το εξερχόμενο σήμα είναι v 2 (t) v 1 (t) όταν cos(2πf c t) > 0 και μηδέν αλλού. 14/27

Ισοδύναμα, αν g p (t) είναι ορθογωνικός παλμός ίσος με 1 ακριβώς εκεί όπου cos(2πf c t) > 0 και μηδέν αλλού v 2 (t) v 1 (t)g p (t) = [m(t) + A c cos(2πf c t)]g p (t) Ο παλμός μπορεί να αναλυθεί σε σειρά Fourier g p (t) = a 0 + 2 a n cos 2πnf c t, a n = 1 nπ sin nπ 2 n=1 δηλ. a 0 = 1/2, a 1 = 1/π, a 2 = 0, a 3 = 1/3π κ.λπ. Άρα ισχύει [ 1 v 2 (t) [m(t)+a c cos 2πf c t] 2 + 2 π cos 2πf ct 1 ] 6π cos 6πf ct +... Η έξοδος του ζωνοπερατού φίλτρου είναι [ A c 1 + 4 ] m(t) cos(2πf c t) 2 πa c 15/27 Αποδιαμορφωτής τετραγωνικού νόμου Ο αποδιαμορφωτής τετραγωνικού νόμου είναι παρόμοιος με το διαμορφωτή, αλλά το φίλτρο πριν την τελική έξοδο είναι βαθυπερατό. Η σχέση εισόδου εξόδου για το μη γραμμικό στοιχείο είναι πάλι v 2 (t) = a 1 v 1 (t) + a 2 v 2 1 (t). Αν το εισερχόμενο σήμα είναι v 1 (t) = A c [1 + k α m(t)] cos(2πf c t) στην έξοδο του μη γραμμικού στοιχείου εμφανίζεται το v 2 (t) = a 1 A c [1 + k α m(t)] cos(2πf c t) + 1 2 a 2A 2 c[1 + 2k α m(t) + k 2 αm 2 (t)][1 + cos(4πf c t)] 16/27

Η έξοδος του βαθυπερατού φίλτρου είναι 1 2 a 2A 2 c[1 + 2k α m(t) + k 2 αm 2 (t)] δηλαδή περιέχεται η ανεπιθύμητη συνιστώσα m 2 (t) Ο λόγος επιθυμητού προς ανεπιθύμητο σήμα είναι 2/k α m(t) Άρα η αποδιαμόρφωση είναι ικανοποιητική μόνον αν το είναι πολύ μικρό. k α m(t) 17/27 Φωρατής περιβάλλουσας Το διαμορφωμένο σήμα s(t) διοχετεύεται στην είσοδο του εξής κυκλώματος Η έξοδος παρακολουθεί κατά προσέγγιση την περιβάλλουσα του σήματος, για κατάλληλες τιμές των αντιστάσεων και του πυκνωτή. 18/27

Φωρατής περιβάλλουσας: Η αντίσταση R s Οσο η τάση που εφαρμόζεται στη δίοδο είναι θετική αυτή άγει και το κύκλωμα είναι όπως στο σχήμα: Η συνάρτηση μεταφοράς αυτού του βαθυπερατού φίλτρου είναι H(f ) = R L 1 R L + R s 1 + j f όπου f 0 = 1 ( 1 2π R f s C + 1 ) R L C 0 Για να παρακολουθεί η έξοδος επιτυχώς το σήμα (κατά την άνοδο) πρέπει να ισχύει f 0 >> f c. Αρκεί να ισχύει f c << 1/(2πR s C). 19/27 Φωρατής περιβάλλουσας: Η αντίσταση R L Μόλις αρχίσει να πέφτει η τάση η δίοδος αναστρέφεται και αφήνει μόνο το κύκλωμα R L C. Η εκφόρτιση γίνεται με σταθερά χρόνου R L C και πρέπει να είναι αρκετά γρήγορη συγκρινόμενη με το m(t), δηλαδή να συμβαίνει 1 W >> R LC Ταυτόχρονα πρέπει να είναι αργή σε σύγκριση με το φέρον, δηλαδή 1 f c << R L C 20/27

Οταν στη συνήθη διαμόρφωση κατά πλάτος s(t) = A c [1 + k α m(t)] cos(2πf c t) στο πεδίο της συχνότητας υπάρχει μια κρουστική συνάρτηση στη συχνότητα f c. Επομένως μόνο μέρος της εκπεμπόμενης ισχύος χρησιμοποιείται για τη μετάδοση του m(t). Προκειμένου να αποφευχθεί αυτό μπορεί η συνιστώσα αυτή να αφαιρεθεί, δηλαδή να μεταδοθεί μόνο το s(t) = m(t)a c cos(2πf c t) 21/27 Ισορροπημένος διαμορφωτής Διαμορφωτής DSBSC μπορεί να γίνει ενώνοντας δύο διαμορφωτές ΑΜ όπως στο σχήμα: Οι δύο διαμορφωτές παράγουν τα εξής σήματα: s 1 (t) = A c [1 + k α m(t)] cos(2πf c t) s 2 (t) = A c [1 k α m(t)] cos(2πf c t) s(t) = s 1 (t) s 2 (t) = 2k α A c m(t) cos(2πf c t) 22/27

Δακτυλιοειδής διαμορφωτής Στο κύκλωμα του σχήματος το c(t) είναι ορθογωνικός παλμός περιόδου 1/f c, που πολώνει τις διόδους έτσι ώστε κάθε φορά μόνο το ένα ζεύγος να άγει: 23/27 Ο τετραγωνικός παλμός μπορεί να αναλυθεί σε σειρά Fourier (μόνο με περιττούς όρους): Η έξοδος είναι c(t) = 4 π n=1 ( 1) n 1 2n 1 cos[2π(2n 1)f ct] s(t) = m(t)c(t) = 4 π n=1 ( 1) n 1 2n 1 m(t) cos[2π(2n 1)f ct] Για να μην υπάρχει αλληλεπικάλυψη των διαφορετικών όρων αρκεί 3f c W > f c + W, δηλαδή f c > W. Με κατάλληλο ζωνοπερατό φίλτρο αφήνεται να περάσει μόνο ο όρος γύρω από τη συχνότητα f c και η τελική έξοδος είναι s 0 (t) = 4 π m(t) cos[2πf ct] 24/27

Σύγχρονη αποδιαμόρφωση Το εισερχόμενο σήμα s(t) = A c m(t) cos(2πf c t) πολλαπλασιάζεται στο δέκτη με σήμα της ίδιας συχνότητας A c cos(2πf c t + φ). Το αποτέλεσμα είναι: v(t) = A c A c cos(2πf c t) cos(2πf c t + φ)m(t) = 1 2 A ca c cos(4πf c t + φ)m(t) + 1 2 A ca c cos(φ)m(t) Περνώντας το v(t) από βαθυπερατό φίλτρο στην περιοχή ( W, W ) η έξοδος είναι v 0 (t) = 1 2 A ca c cos(φ)m(t) Πρέπει να διατηρούνται σταθερές τόσο η φάση όσο και η συχνότητα. 25/27 Ο δέκτης του Costas I-channel 1 A c m( t)cosφ 2 ~ cos( 2π f c t+ φ) Σήμα ελέγχου του ταλαντωτή A cos( 2πf t) m( t) c c -90 0 Q-channel 1 A c m( t)sinφ 2 1 26/27

Τετραγωνική διαμόρφωση Η τετραγωνική διαμόρφωση επιτρέπει την πολύπλεξη δύο σημάτων στην ίδια συχνότητα. Αν τα σήματα είναι m 1 (t) και m 2 (t) σχηματίζεται το σήμα s(t) = A c m 1 (t) cos(2πf c t) + A c m 2 (t) sin(2πf c t) Το ημίτονο και το συνημίτονο παράγονται από την ίδιο ταλαντωτή. Η αποδιαμόρφωση γίνεται ταυτοχρόνως από σύγχρονο αποδιαμορφωτή με δύο κλάδους, όπου στον ένα το s(t) πολλαπλασιάζεται με cos(2πf c t + φ) και στον άλλο με sin(2πf c t + φ). 27/27