Δυναμική αστεροειδών σε συντονισμούς με το Δία

Αριστοτελειο Πανεπιστημιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστημων Τμημα Φυσικης Πτυχιακη εργασια Δυναμική αστεροειδών σε συντονισμούς με το Δία Μαρία Μηλιαρέση Α.Ε.Μ.: 11908 Επιβλέπων καθηγητής Κλεομένης Τσιγάνης Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 2010

Περίληψη Στην παρούσα εργασία θα μελετήσουμε την κίνηση αστεροειδών της κύριας ζώνης, που βρίσκονται σε συντονισμό μέσης κίνησης με το Δία. Θα επικεντρωθούμε στον συντονισμό 3 : 1. Θα βρούμε μια έκφραση της συνάρτησης Hamilton που περιγράφει το πρόβλημα, σε κατάληλες μεταβλητές, υπό τις προυποθέσεις του επίπεδου περιορισμένου ελλειπτικού προβλήματος των τριών σωμάτων. Θα μελετήσουμε αναλυτικά τη συνάρτηση Hamilton, με σκοπό να αποφανθούμε αν θα πρέπει να αναμένεται χαοτική κίνηση, και θα χρησιμοποιήσουμε την προσέγγιση του εξαναγκασμένου εκκρεμούς για να κάνουμε μια πρώτη πρόβλεψη της χαοτικής περιοχής. Τέλος, θα ολοκληρώσουμε αριθμητικά τις εξισώσεις κίνησης και θα επιβεβαιώσουμε το αναλυτικό μοντέλο. Επίσης, θα εισάγουμε και μια μη διατηρητική δύναμη, για να δούμε πώς συμπεριφέρεται το μη χαμιλτονιανό πλέον σύστημα. i

Abstract In the present thesis we will study the motion of asteroids of the main belt, which are trapped in a mean motion resonance with Jupiter. We wil focus on the 3 : 1 resonance. We will find an expression of the Hamiltonian, in a set of appropriate variables, under the assumptions of the planar restricted elliptic three body problem. We will study the Hamiltonian in depth, in order to decided whether chaotic motion is expected, and we will use the modulatd pendulum approximation to make a first estimation of the chaotic region. Finally, we will perform nymerical integration in the equations of motion and we will show that the analytical model we used is quite valid. Furthermore, we will take into consideration a non - conservative perturbation to estimate tha behaviour of the non - hamiltonian system. iii

Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 1 2 Αναλυτική μελέτη 3 2.1 Συνάρτηση Hamilton....................................... 3 2.2 Υποσυντονισμοί.......................................... 10 2.2.1 cos(ψ)........................................... 10 2.2.2 cos(ψ φ)......................................... 12 2.2.3 cos(ψ 2φ)........................................ 17 2.3 Η προσέγγιση του εξαναγκασμένου εκκρεμούς......................... 23 3 Αριθμητικές εφαρμογές 27 3.1 Διατηρητικό σύστημα....................................... 27 3.2 Μη διατηρητικό σύστημα..................................... 29 4 Παρατηρήσεις - Συμπεράσματα 37 Αʹ Υπολογισμός της συνάρτησης Hamilton 39 Βʹ Πρόγραμμα αριθμητικής ολοκλήρωσης 43 v

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Ενας αστεροειδής της κύριας ζώνης δέχεται καταρχήν τη βαρυτική δύναμη του Ηλιου και κατά δεύτερον τη βαρυτική δύναμη από το Δία. Ενα μεγάλο ποσοστό αστεροειδών της κύριας ζώνης ακολουθεί χαοτικές τροχιές, οι οποίες σχετίζονται κύριως με συντονισμούς μέσης κίνησης με τα υπόλοιπα σώματα του Ηλιακού συστήματος, και κυρίως με το Δία, ο οποίος είναι ο μεγαλύτερος πλανήτης. Δύο σώματα βρίσκονται σε συντονισμό μέσης κίνησης όταν μεταξύ των περιόδων περιφοράς τους ισχύει μια σχέση της μορφής T 1 T 2 = k 2 k 1 όπου k 1, k 2 ακέραιοι. Δηλαδή, αν κάποια στιγμή τα σώματα βρίσκονται σε σύνοδο (είναι ευθυγραμμισμένα με τον Ηλιο), την επόμενη φορά που θα ξαναβρεθούν σε σύνοδο, το εσωτερικό σώμα θα έχει κάνει k 1 /k 2 περισσότερες περιφορές γύρω από τον Ηλιο. Για τον 3 : 1 συντονισμό θα είναι i : T T = 3 1 όπου T η περίοδος περιφοράς του Δία γύρω από τον Ηλιο, και T η περίοδος περιφοράς του αστεροειδή. Ο συντονισμός 3 : 1 στην κύρια ζώνη των αστεροειδών δεν περιέχει καθόλου σώματα, είναι ένα διάκενο Kirkwood. Η εύρεση ενός μοντέλου που να προβλέπει την ύπαρξη χαοτικής περιοχής και τα ποιοτικά χαρακτηριστικά της κίνησης ενός αστεροειδούς της κύριας ζώνης που βρίσκεται σε κάποιον συντονισμό μέσης κίνησης με το Δία, μπορεί να γίνει με πολλούς τρόπους. Σε αυτή την εργασία το βασικό μοντέλο θα είναι το περιορισμένο ελλειπτικό πρόβλημα των τριών σωμάτων. Στην ανάλυση που θα ακολουθήσει, θα χρειαστεί να ορίσουμε τα στοιχεία της τροχιάς. Για τον προσδιορισμό μιας ελλειπτικής τροχιάς απαιτούνται τα γεωμετρικά της στοιχεία a (μεγάλος ημιάξονας) και e (εκκεντρότητα), καθώς και ο προσανατολισμός της στο χώρο σύμφωνα με κάποιο σύστημα αναφοράς. Οι γωνίες αυτές είναι το ω (γωνία του περικέντρου), και το Ω (μήκος του αναβιβάζοντος συνδέσμου) και i (κλίση), οι οποίες προσδιορίζονται σύμφωνα με το παρακάτω σχήμα: i Ο συντονισμός 3 : 1 έχει μελετηθεί εκτενώς, π.χ βλ. [1], [2], [3]. 1

Σχήμα 1.0.1: Στοιχεία της τροχιάς Επίσης ισχύει π = ω + Ω το μήκος του περιηλίου. 2

Κεφάλαιο 2 Αναλυτική μελέτη Στο κεφάλαιο αυτό θα βρούμε μια έκφραση της συνάρτησης Hamilton, για ένα δοκιμαστικό σώμα που κινείται στο βαρυτικό πεδίο δυνάμεων του Ηλιου και του Δία και επιπλέον βρίσκεται σε συντονισμό μέσης κίνησης με το Δία. Θα εργαστούμε υπό τις προϋποθέσεις του επίπεδου περιορισμένου ελλειπτικού προβλήματος των τριών σωμάτων, όπου η τροχιά του Δία είναι μια σταθερή έλλειψη, με εκκεντρότητα e = 0.05 και μεγάλο ημιάξονα a = 5.2 AU, και η ελλειπτική τροχιά του αστεροειδούς βρίσκεται πάνω στο επίπεδο της τροχιάς του Δία, το οποίο είναι και το επίπεδο αναφοράς. Επίσης θεωρούμε ότι η μάζα του αστεροειδούς είναι πολύ μικρή σε σχέση με τη μάζα του Δία, επομένως ο αστεροειδής δεν επηρρεάζει την κίνηση του Δία. Στη συνέχεια, θα μελετήσουμε τη συνάρτηση Hamilton για να κάνουμε μια πρώτη εκτίμηση, για την ύπαρξη και το μέγεθος, της χαοτικής περιοχής. 2.1 Συνάρτηση Hamilton Η συνάρτηση Hamilton (ανά μονάδα μάζας) του αστεροειδούς, υπό τις προϋποθέσεις του περιορισμένου ελλειπτικού προβλήματος των τριών σωμάτων, είναι (βλ. [7], κεφ. 6): H = v2 2 GM r ( 1 Gm r r r ) r r 3 (2.1.1) όπου r και r είναι τα διανύσματα θέσης του αστεροειδούς και του Δία αντίστοιχα (σε ηλιοκεντρικό σύστημα αναφοράς - σχ. 2.1.1), v είναι το μέτρο του διανύσματος της ταχύτητας του αστεροειδούς (στο ηλιοκεντρικό σύστημα), M είναι η μάζα του Ηλιου, m η μάζα του Δία και G η σταθερά της παγκόσμιας έλξης i. Σχήμα 2.1.1: Τα διανύσματα θέσης του Δία και του αστεροειδή σε σχέση με τον Ηλιο και σε σχέση με ένα αδρανειακό σύστημα με αρχή το Ο i Στο εξής τα μη τονούμενα στοιχεία θα αναφέρονται στον αστεροειδή και τα τονούμενα στο Δία. 3

Η συνάρτηση Hamilton (2.1.1) αποτελείται από δύο μέρη, τη συνάρτηση: H K = v2 2 GM r (2.1.2) που είναι η συνάρτηση Hamilton του ολοκληρώσιμου προβλήματος των δύο σωμάτων (πρόβλημα Kepler) και εκφράζει την κίνηση του αστεροειδή γύρω από τον Ηλιο, και τη συνάρτηση: ( 1 H per = Gm r r r ) r r 3 = Gm R (2.1.3) που εκφράζει τη διαταραχή (perturbation), λόγω της βαρυτικής έλξης του Δία. Στη (2.1.3), ο πρώτος όρος έχει τη γνωστή μορφή του βαρυτικού δυναμικού ( 1/r), ενώ ο δεύτερος εμφανίζεται λόγω της εκλογής ηλιοκεντρικού, και άρα μη αδρανειακού, συστήματος αναφοράς. Επίσης, η (2.1.1) δεν είναι αυτόνομη, λόγω της παρουσίας του r, που το θεωρούμε γνωστή συνάρτηση του χρόνου, r = r (t). Στη συνέχεια θα εκφράσουμε την (2.1.1) συναρτήσει των στοχείων της τροχιάς. Ορίζουμε σύστημα μονάδων τέτοιο ώστε G = a = M + m = 1, από τα οποία, χρησιμοποιώντας τον τρίτο νόμο του Kepler, έχουμε για την περίοδο περιφοράς T (και κατ επέκταση για τη μέση κίνηση του Δία, n ): T 2 = 4π 2 G(M + m ) a 3 T = 2π n = 2π T = 1 Ορίζουμε επίσης το λόγο μ = m /(M + m ) = 0.0009539 και θέτουμε μ 1 = 1 μ. Η (2.1.2) μπορεί να γραφεί με την ακόλουθη μορφή συναρτήσει του μεγάλου ημιάξονα (βλ. [9]): H K = GM 2a και, χρησιμοποιώντας το σύστημα μονάδων που ορίσαμε παραπάνω, ως: H K = μ 1 (2.1.4) 2a Σε αυτή τη μορφή γίνεται φανερή και μια άλλη ιδιότητα του ολοκληρώσιμου προβλήματος, ο εκφυλισμός του, καθώς τροχιές με διαφορετικές τιμές της εκκεντρότητας αλλά με ίδια τιμή του μεγάλου ημιάξονα έχουν ίδια τιμή της ενέργειας (ίδια τιμή της Hamilton). Οσον αφορά τη συνάρτηση διαταραχής R, χρησιμοποιούμε ένα τυπικό ανάπτυγμα σε στοιχεία της τροχιάς (βλ. [7], Κεφ.6). Δεν θα περιγράψουμε εδώ αναλυτικά όλη τη διαδικασία, θα αναφέρουμε μόνο τα βασικά ποιοτικά σημεία της, και θα παραθέσουμε το τελικό αποτέλεσμα όπως έχει υπολογιστεί στο [7]. Η ανάλυση αυτή βασίζεται καταρχήν στο ανάπτυγμα της υπό μελέτη συνάρτησης σε μια σειρά απείρων όρων, και ύστερα στην αντικατάσταση των καρτεσιανών συντεταγμένων από κατάλληλες συναρτήσεις των στοιχείων της τροχιάς. Στη γενική περίπτωση το ανάπτυγμα θα έχει τη μορφή: R = S(a, a, e, e ) cos(θ) όπου τα ορίσματα θ είναι γραμμικοί συνδυασμοί της μορφής: με θ = j 1 λ + j 2 λ + j 3 π + j 4 π j i = 0 i όπου j 1, j 2, j 3, j 4 ακέραιοι, λ είναι το μέσο μήκος (για το Δία ισχύει λ = n t όπου t ο χρόνος), και οι συντελεστές S είναι πολύπλοκες συναρτήσεις του μεγάλου ημιάξονα, ενώ η εξάρτηση από τις εκκεντρότητες e, e είναι σε μορφή δυναμοσειράς με πρώτο όρο τον e j4, e j3. Στη συνέχεια, πρέπει να αποφασίσουμε ποιοι από τους άπειρους όρους του αναπτύγματος είναι σημαντικοί για το υπό μελέτη σύστημα. Καταρχήν, είναι βασικό να αποφασίσουμε τη μέγιστη τάξη των όρων που επιθυμούμε να έχουμε. Η τάξη του συντονισμού 3 : 1 είναι 3 1 = 2, και είναι αυτή που καθορίζει 4

την τάξη του αναπτύγματος. Επομένως ένα ανάπτυγμα δεύτερης τάξης ως προς την εκκεντρότητα δίνει μια ικανοποιητική προσέγγιση. Για περαιτέρω απλοποίηση χρειάζεται να χρησιμοποιήσουμε συγκεκριμένες ιδιότητες του συστήματος που θέλουμε να μελετήσουμε. Για το σκοπό αυτό κάνουμε τις ακόλουθες σκέψεις. Γνωρίζουμε ότι στο αδιατάρακτο πρόβλημα (πρόβλημα Kepler για τα συστήματα Ηλιος - Δίας ή Ηλιος - αστεροειδής) όλα τα στοιχεία της τροχιάς είναι σταθερές της κίνησης, εκτός από τα λ και λ τα οποία αυξάνουν με το χρόνο με ρυθμό n και n αντίστοιχα. Επομένως, όταν περνάμε στο διαταραγμένο πρόβλημα, τα λ και λ είναι ταχέως μεταβαλλόμενες ποσότητες ενώ οι υπόλοιπες γωνίες υπόκεινται σε αργές μεταβολές. Επομένως, όλα τα ορίσματα στη συνάρτηση διαταραχής που δεν περιέχουν τα μέσα μήκη λ και λ θα μεταβάλλονται αργά. Αυτοί είναι οι λεγόμενοι όροι μακράς περιόδου ή secular όροι. Εκτός από τους secular όρους, υπάρχει και μια ακόμα κατηγορία όρων οι οποίοι μεταβάλλονται αργά με το χρόνο, σε περίπτωση που μελετούμενο σύστημα βρίσκεται σε κάποιον συντονισμό μέσης κίνησης. Εστω ένα όρισμα στη συνάρτηση διαταραχής της μορφής kλ (k + q)λ όπου k και q ακέραιοι. Θα είναι k λ (k + q) λ = kn (k + q)n και αν συμβαίνει να ισχύει kn (k + q)n 0, τότε το παραπάνω όρισμα έχει επίσης περίοδο πολύ μεγαλύτερη από την περίοδο της τροχιάς. Η συνθήκη kn (k + q)n 0 (2.1.5) είναι ακριβώς η συνθήκη που πρέπει να ικανοποιείται για να υπάρχει συντονισμός μέσης κίνησης k : (k + q) όπου q είναι η τάξη του συντονισμού. Η σχέση (2.1.5) για το συντονισμό 3 : 1 (k = 1, q = 2) γίνεται n 3n 0 (2.1.6) και σε συνδυασμό με τον τρίτο νόμο του Kepler δίνει για τη θέση του συντονισμού αυτού: ( ) 2/3 k a res a μ 1/3 1 0.480597 (2.1.7) k + q σε μονάδες του χρησιμοποιούμενου συστήματος. Σε αστρονομικές μονάδες η τιμή του a res βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας το παραπάνω αποτέλεσμα με 5.2 (a = 5.2 A.U ο μεγάλος ημιάξονας του Δία): a res 0.480597 5.2 = 2.5 A.U (2.1.8) Επομένως, κοντά σε αυτή την τιμή του μεγάλου ημιάξονα, όλα τα ορίσματα στη συνάρτηση διαταραχής που περιέχουν το συνδυασμό λ 3λ θα δημιουργήσουν συντονισμένες διαταραχές με περίοδο πολύ μεγαλύτερη από την περίοδο της τροχιάς. Αυτοί είναι οι λεγόμενοι resonant όροι. Επομένως, αν θέλουμε να μελετήσουμε την κίνηση κοντά σε έναν συντονισμό μέσης κίνησης, μπορούμε στο ανάπτυγμα της συνάρτησης διαταραχής να κρατήσουμε μόνο τους secular και resonant όρους (μέχρι κάποιας τάξης), και να παραλείψουμε όλους τους άλλους όρους οι οποίοι έχουν μικρή περίοδο και μπορούμε να θεωρήσουμε ότι τα αποτελέσματά τους είναι κατά μέσο όρο μηδέν αν μελετήσουμε το σύστημα σε μεγαλύτερα χρονικά διαστήματα. Αυτή είναι η αρχή του averaging. Συνδυάζοντας όλα τα παραπάνω, η συνάρτηση διαταραχής για τον 3 : 1 συντονισμό προκύπτει τελικά με την εξής μορφή: R =A 1 e 2 + A 3 ee cos(π π ) + A 5 e 2 cos(λ 3λ + 2π) + A 6 ee cos(λ 3λ + π + π ) + A 7 e 2 cos(λ 3λ + 2π ) (2.1.9) όπου οι συντελεστές A είναι συναρτήσεις των συντελεστών Laplace και των παραγώγων τους, που με τη σειρά τους είναι πολύπλοκες συναρτήσεις του μεγάλου ημιάξονα ii. Μπορούμε να απλουστεύσουμε ακόμα περισσότερο την παραπάνω σχέση θέτοντας π = 0, το οποίο είναι ισοδύναμο με το να μετράμε το μήκος του περικέντρου π του αστεροειδή με αρχή μέτρησης τη γραμμή των αψίδων του Δία. Επομένως: R =A 1 e 2 + A 3 e e cos(π) + A 5 e 2 cos(λ 3λ + 2π) + A 6 e e cos(λ 3λ + π) + A 7 e 2 cos(λ 3λ ) Τελικά, η (2.1.1), λόγω των (2.1.4) και (2.1.10) γίνεται: (2.1.10) ii Για τον υπολογισμό των συντελεστών Laplace βλ. [7]. 5

όπου H = μ 1 2a μ[a 1e 2 + A 3 e e cos(π)] μ [ A 5 e 2 cos(λ 3λ + 2π) +A 6 e e cos(λ 3λ + π) + A 7 e 2 cos(λ 3λ ) ] (2.1.11) είναι το κομμάτι που αναφέρεται στους secular όρους και H sec = μ[a 1 e 2 + A 3 e e cos(π)] (2.1.12) H res = μ[a 5 e 2 cos(λ 3λ + 2π) + A 6 e e cos(λ 3λ + π) + A 7 e 2 cos(λ 3λ )] (2.1.13) είναι το κομμάτι που αναφέρεται στους resonant όρους. Τα στοιχεία της τροχιάς δεν αποτελούν κατάλληλες κανονικές μεταβλητές, ως εκ τούτου θα χρησιμοποιήσουμε το παρακάτω σύνολο κανονικών μεταβλητών (modified Delaunay variables βλ. π.χ [4], [8]): λ, Λ = μ 1 a γ = π, Γ = μ 1 a(1 1 e 2 ) όπου το Γ μπορεί να γραφεί στη μορφή Γ Λe 2 /2 για μικρές τιμές της εκκεντρότητας. Χρησιμοποιώντας τις (2.1.14), η (2.1.11) γράφεται iii : [ ] [ H = μ2 1 2Λ 2 μ Γ 2Γ 2A 1 Λ + A 3e Λ cos(γ) Γ μ 2A 5 Λ cos(λ 3λ 2γ) +A 6 e 2Γ Λ cos(λ 3λ γ) + A 7 e 2 cos(λ 3λ ) (2.1.14) ] (2.1.15) Στη (2.1.15) μπορούμε να εφαρμόσουμε την τεχνική της αύξησης των βαθμών ελευθερίας, θεωρώντας το χρόνο ως μία ακόμα γενικευμένη συντεταγμένη, ώστε να μετατρέψουμε το σύστημα σε αυτόνομο (βλ. [10]). Εισάγοντας τη μεταβλητή Λ, που είναι η συζυγής ορμή του λ, η αυτόνομη πλέον συνάρτηση Hamilton γίνεται iv : H = μ2 1 2Λ 2 + n Λ μ μ [ 2A 1 Γ Λ + A 3e [ 2A 5 Γ Λ cos(λ 3λ 2γ) ] 2Γ Λ cos(γ) +A 6 e 2Γ Λ cos(λ 3λ γ) + A 7 e 2 cos(λ 3λ ) Το resonant κομμάτι της (2.1.16) [ Γ H res = μ 2A 5 Λ cos(λ 3λ 2γ) +A 6 e 2Γ Λ cos(λ 3λ γ) + A 7 e 2 cos(λ 3λ ) ] (2.1.16) ] (2.1.17) είναι ένα άθροισμα διαφορετικών αρμονικών που είναι ακριβώς συντονισμένες στην ίδια περίπου τιμή του μεγάλου ημιάξονα (την a res ), ως αποτέλεσμα του εκφυλισμού του ολοκληρώσιμου προβλήματος. Ετσι, στο ελλειπτικό πρόβλημα, ο συντονισμός μέσης κίνησης 3 : 1 είναι μια συντονισμένη τριπλέτα (resonant triplet ή resonant multiplet στη γενική περίπτωση). Ορίζουμε τώρα τη συντονισμένη γωνία ψ = λ 3λ και εφαρμόζουμε κανονικό μετασχηματισμό με γενέτειρα συνάρτηση 2ου τύπου: iii Η διαδικασία των μετασχηματισμών που περιγράφεται στα επόμενα έχει γίνει με Mathematica. Το πρόγραμμα βρίσκεται στο παράρτημα Αʹ. iv Η διαδικασία αυτή επιβάλλει την εισαγωγή του όρου λ Λ = n Λ. 6

που ορίζει ένα νέο σύνολο κανονικών μεταβλητών: F 2 = (λ 3λ )Ψ + λ Ψ + γφ λόγω των οποίων η (2.1.16) γίνεται: ψ = F 2 Ψ = λ 3λ, Λ = F 2 λ = Ψ ψ = F 2 Ψ = λ, Λ = F 2 λ = Ψ 3Ψ φ = F 2 Φ = γ, Γ = F 2 γ = Φ H = μ2 1 2Ψ 2 + n Ψ 3n Ψ μ [ Φ μ 2A 5 cos(ψ 2φ) Ψ +A 6 e 2Φ Ψ cos(ψ φ) + A 7e 2 cos(ψ) [ ] Φ 2Φ 2A 1 Ψ + A 3e Ψ cos(φ) ] (2.1.18) (2.1.19) Επειδή η ψ είναι αγνοήσιμη, η Ψ είναι σταθερή και μπορεί να παραληφθεί από την (2.1.19). Επίσης, έχει αποδειχθεί παραπάνω ότι n = 1, επομένως παρακάτω το n έχει αντικατασταθεί με τη μονάδα. Ακολουθώντας τη διαδικασία που περιγράφεται από τους Murray και Holman (βλ. [6]), βρίσκουμε το σημείο ισορροπίας του secular κομματιού της (2.1.19), (που αντιστοιχεί στη λεγόμενη forced εκκεντρότητα), και εφαρμοζουμε κανονικό μετασχηματισμό γύρω από το σημείο αυτό. Η φυσική σημασία της διαδικασίας αυτής είναι ότι επιθυμούμε να απαλλαγούμε από την ταλάντωση που προκαλεί το cos(φ) στο secular κομμάτι της συνάρτησης Hamilton. Αναλυτικά η διαδικασία έχει ως εξής: Το secular κομμάτι της (2.1.19) είναι: H sec = μ [ ] Φ 2Φ 2A 1 Ψ + A 3e Ψ cos(φ) (2.1.20) Εφαρμόζουμε κανονικό μετασχηματισμό με γενέτειρα συνάρτηση 1ου τύπου (θεωρούμε το Ψ παράμετρο): από την οποία προκύπτει: F 1 = 1 2 y2 cot(φ) και: Φ = F 1 φ = y 2 2 sin 2 (φ) (2.1.21) έτσι ώστε: x = F 1 y = y cos(φ) sin(φ) (2.1.22) x = 2Φ cos(φ) y = 2Φ sin(φ) Φ = x2 + y 2 2 x cos(φ) = x2 + y2 (2.1.23) Στις νέες μεταβλητές x, y η (2.1.20) γίνεται: 7

x H sec = μ ( A 2 + y 2 ) 1 + A 3 e x Ψ Ψ από την οποία οι εξισώσεις Hamilton προκύπτουν ως εξής: (2.1.24) x = H sec y y = H sec x y = 2μA 1 Ψ ( ) (2.1.25) = μ x 2A 1 Ψ + A 3e 1 Ψ Για να βρούμε το σημείο ισορροπίας μηδενίζουμε το δεξί μέλος του συστήματος των εξισώσεων (2.1.25), και παίρνουμε: x eq = A 3e 2A 1 Ψ, yeq = 0 (2.1.26) Εφαρμόζουμε κανονικό μετασχηματισμό γύρω από το σημείο ισορροπίας, με γενέτειρα συνάρτηση 2ου τύπου: από την οποία προκύπτει: και: F 2 = (z + x eq )(y y eq ) x = F 2 y = z + x eq (2.1.27) Στις νέες μεταβλητές w, z η (2.1.24) γίνεται: w = F 2 z = y y eq (2.1.28) H sec = μa 1 w 2 + z 2 Τέλος, εφαρμόζουμε κανονικό μετασχηματισμό με γενέτειρα συνάρτηση 1ου τύπου: από όπου: Ψ F 1 = 1 2 w2 cot(δ) + μa2 3e 2 4A 1 (2.1.29) και: z = F 1 w = w cot(δ) (2.1.30) έτσι ώστε: I = F 1 δ = w 2 2 sin 2 (δ) (2.1.31) Στις νέες μεταβλητές δ, I η (2.1.29) γράφεται: w = 2I sin(δ), z = 2I cos(δ) (2.1.32) H sec = 2μA 1 I Ψ + μa2 3e 2 4A 1 (2.1.33) Για τις νέες αυτές μεταβλητές δ, I μπορούμε να ορίσουμε ανάλογες σχέσεις με τις (2.1.14), με τη διαφορά ότι πλέον σε αυτές θα εμφανίζονται τα λεγόμενα proper ή linear free στοιχεία, π p, e p. Στο εξής θα αναφερόμαστε σε proper στοιχεία, και θα διατηρήσουμε τον απλό συμβολισμό π, e Οι μετασχηματισμοί πρέπει να εφαρμοστούν και στους υπόλοιπους όρους της (2.1.19) για να βρούμε μια ενιαία έκφραση της συνάρτησης Hamilton. Μετά από τις πράξεις, η τελική Hamilton έχει την εξής μορφή (απορρίπτοντας και το σταθερό όρο (μa 2 3e 2 )/(4A 1 )): 8

[ ( H = μ2 1 2Ψ 2 3Ψ 2μA I A 2 1 Ψ μ 3 A 5 4A 2 A ) 3A 6 + A 7 e 2 cos(ψ) 1 2A 1 ( ) 2A6 2A3 A 5 I + e cos(ψ δ) A 1 Ψ ] I + 2A 5 cos(ψ 2δ) Ψ (2.1.34) Τέλος, αναπτύσσουμε κατά Taylor την (2.1.34) γύρω από την ακριβή θέση του συντονισμού Ψ res = Λ res = μ 1 a res, κρατώντας όρους 2ης τάξης στην H K και μόνο τους σταθερούς όρους (που είναι τάξης O(μ)) στη διαταραχή. Αναλυτικά: H K = μ2 1 2Ψ 2 3Ψ 3μ2 1 Ψ 2 + 4μ2 1 res Ψ 3 Ψ 3Ψ 3μ2 1 res 2Ψ 4 Ψ 2 (2.1.35) res Εισάγουμε τη μεταβλητή J = Ψ Ψ res (η νέα ορμή συζυγής της ψ), και η (2.1.35) γίνεται: H K = μ2 1 2Ψ 2 3Ψ res + μ2 1 res Ψ 3 J 3J 3μ2 1 res 2Ψ 4 J 2 (2.1.36) res Στην παραπάνω σχέση απορρίπτουμε τους σταθερούς όρους, ενώ αποδεικνύεται ότι (μ 2 1J)/Ψ 3 res 3J = 0 (από τη (2.1.7) και τον ορισμό της Ψ res ). Επομένως: Το ανάπτυγμα μηδενικής τάξης της διαταραχής είναι: H K = 3μ2 1 2Ψ 4 J 2 (2.1.37) res H sec + H res = 2μA [ ( 1 A 2 I μ 3 A 5 Ψ res 4A 2 A ) 3A 6 + A 7 e 2 cos(ψ) 1 2A 1 ( ) 2A6 2A3 A + 5 e I cos(ψ δ) Ψres A 1 Ψres + 2A ] 5 I cos(ψ 2δ) Ψ res (2.1.38) Επομένως, η τελική μορφή της συνάρτησης Hamilton, λόγω των (2.1.37) και (2.1.38), είναι: H = 3μ2 1 + 2Ψ 4 res ( 2A6 Ψres J 2 2μA 1 [ ( A 2 I μ 3 A 5 Ψ res 4A 2 1 ) 2A3 A 5 A 1 Ψres ] + 2A 5 Ψ res I cos(ψ 2δ) e I cos(ψ δ) A ) 3A 6 + A 7 e 2 cos(ψ) 2A 1 (2.1.39) όπου και τα A i έχουν αναπτυχθεί γύρω από την τιμή a res. Στη συνέχεια θα υιοθετήσουμε διαφορετικό συμβολισμό, αντικαθιστώντας το δ με φ και το I με Φ, για να συμβαδίζουμε με το συνήθη συμβολισμό που συναντάνται στη βιβλιογραφία. Ξαναγράφουμε την (2.1.39) σε πιο απλή μορφή και με το νέο συμβολισμό: [ H = 0 J 2 + A sec Φ μ 1 e 2 cos(ψ) + 2 e ] Φ cos(ψ φ) + 3 Φ cos(ψ 2φ) (2.1.40) Οι τιμές των σταθερών είναι: 9

Επομένως η συνάρτηση Hamilton είναι: a res = 0.480597 μ = 0.000953875 μ 1 = 0.999046 e = 0.05 A 1 = 0.142239 A 3 = 0.16562 A 5 = 0.598757 A 6 = 2.21298 A 7 = 0.363375 (2.1.41) H = 6.49425J 2 0.000391612Φ + 1.72188 10 6 cos(ψ) + 0.000122822 Φ cos(ψ φ) 0.0016485Φ cos(ψ 2φ) Οι εξισώσεις Hamilton, όπως προκύπτουν από τη (2.1.40), είναι: ψ = H J = 2 0J J = H ( ψ = μ φ = H Φ = A sec μ 1 e 2 sin(ψ) + 2 e ) Φ sin(ψ φ) + 3 Φ sin(ψ 2φ) ) ( 2 e 1 2 Φ cos(ψ φ) + 3 cos(ψ 2φ) Φ = H φ = μ ( 2 e Φ sin(ψ φ) + 2 3 Φ sin(ψ 2φ) ) (2.1.42) (2.1.43) Σύμφωνα με την (2.1.40), κάθε αρμονική είναι ακριβώς συντονισμένη όταν ψ p φ = 0 όπου (p = 0, 1, 2) v. Επομένως, για την (κατά προσέγγιση) απόσταση μεταξύ γειτονικών αρμονικών έχουμε: ν = ψ (p + 1) φ ( ψ p φ) = φ = H Φ A sec 10 4 (2.1.44) στο χώρο των συχνοτήτων, ή αντίστοιχα, επειδή ψ = H J 2 0J: p = 0 : ψ = 0 2 0 J 1 = 0 p = 1 : ψ φ = 0 2 0 J 2 A sec = 0 2 0 δj A sec = 0 δj = A sec 2 0 } (2.1.45) στο χώρο των δράσεων. (Το ίδιο αποτέλεσμα βεβαίως προκύπτει αν πάρουμε τη διαφορά μεταξύ p = 2 και p = 1). Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι το δj είναι της τάξης του 10 5. Οπως έχει δειχθεί από τον hirikov, (βλ. [5]), χαοτική κίνηση πρέπει να αναμένεται όταν τα μεγέθη των γειτονικών αρμονικών J είναι μεγαλύτερα από την απόστασή τους, J/δJ > 1 (δηλ. όταν υπάρχει υπερκάλυψη των αρμονικών). Παρακάτω θα μελετήσουμε ξεχωριστά κάθε υποσυντονισμό, για να βρούμε προσεγγιστικά το εύρος κάθε αρμονικής, έτσι ώστε να μπορούμε να κάνουμε μια πρώτη πρόβλεψη για την ύπαρξη ή όχι χαοτικής περιοχής (από το κριτήριο του hirikov), στον 3 : 1 συντονισμό μέσης κίνησης. 2.2 Υποσυντονισμοί 2.2.1 cos(ψ) Σύμφωνα με την (2.1.40), η συνάρτηση Hamilton του υποσυντονισμού αυτού είναι: v Η σχέση αυτή, αν εφαρμοστούν αντίστροφα οι μετασχηματισμοί, οδηγεί στη συνθήκη συντονισμού (2.1.6). Η συνθήκη ισχύει ακριβώς μόνο για p = 0, και γι αυτό το κέντρο μόνο αυτού του υποσυντονισμού βρίσκεται ακριβώς στην a res. 10

H 0 = 0 J 2 + A sec Φ μ 1 e 2 cos(ψ) (2.2.1) Η φ είναι αγνοήσιμη, επομένως η Φ είναι ολοκλήρωμα της κίνησης και η (2.2.1) είναι η συνάρτηση Hamilton απλού εκκρεμούς, με δύο σημεία ισορροπίας. Για την εύρεση των σημείων ισορροπίας και την ευστάθειά τους, καθώς και για την εύρεση του εύρους του υποσυντονισμού, που προκύπτει από αυτά, ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία vi : Οι εξισώσεις Hamilton είναι: ψ = H 0 J = 2 0J J = H 0 ψ = μ 1e 2 sin(ψ) Μηδενίζουμε το παραπάνω σύστημα και βρίσκουμε τα σημεία ισορροπίας (2.2.2) (ψ, J) = (0, 0) και (ψ, J) = (π, 0) (2.2.3) Παραγωγίζουμε την πρώτη από τις (2.2.2) ως προς το χρόνο και έχουμε: ψ = 2 0 J = 2μ 0 1 e 2 sin(ψ) (2.2.4) Αναπτύσσουμε το δεύτερο μέλος της (2.2.4) γύρω από τα σημεία ισορροπίας ψ = 0 και ψ = π, κρατώντας όρους 1ης τάξης και παραλείποντας τους σταθερούς όρους: ψ = 2μ 0 1 e 2 ψ (ψ = 0) ψ = 2μ 0 1 e 2 ψ (ψ = π) (2.2.5) Επειδή μ > 0, e > 0, 0 < 0, 1 < 0, το σημείο (ψ, J) = (0, 0) είναι ευσταθές σημείο ισορροπίας, ενώ το σημείο (ψ, J) = (π, 0) είναι ασταθές σημείο ισορροπίας. Το διάγραμμα φάσης της (2.2.1) φαίνεται στο σχήμα 2.2.1. Σχήμα 2.2.1: Διάγραμμα φάσης της H 0 Η συχνότητα μικρών ταλαντώσεων γύρω από το ευσταθές σημείο ισορροπίας, όπως προκύπτει από την πρώτη από τις (2.2.5) είναι: vi Η διαδικασία που ακολουθεί εφαρμόζεται πολλές φορές στα επόμενα. Στο εξής δε θα περιγράφεται, αλλά θα παρατίθενται απευθείας τα αποτελέσματα. 11

ν 0 = 2μ 0 1 e 2 = 0.00472912 10 3 (2.2.6) Για να βρούμε το εύρος της διαχωριστικής καμπύλης (separatrix) του σχήματος 2.2.1, που αντιπροσωπεύει το εύρος αυτού του υποσυντονισμού, αρχικά βρίσκουμε την τιμή της (2.2.1) στο ασταθές σημείο ισορροπίας (η τιμή αυτή είναι η ενέργεια της ομοκλινικής τροχιάς): H 0,sx = H 0 (ψ = π, J = 0) = A sec Φ + μ 1 e 2 (2.2.7) Για να βρούμε την τιμή του J που αντιστοιχεί στην τιμή ψ = 0 για αυτή την ενέργεια, λύνουμε την εξίσωση H 0,sx = H 0 (ψ = 0, J) ως προς J. Προκύπτουν δύο τιμές του J, οι οποίες ισαπέχουν από την τιμή J = 0 του ευσταθούς σημείου: 2μ1 J = e 0 (2.2.8) 2μ1 J + = e 0 Η διαφορά κάθε μίας από τις παραπάνω τιμές από την τιμή J = 0 (ευσταθές σημείο), αντιπροσωπεύει το ημιεύρος της διαχωριστικής καμπύλης: 2μ1 J = e (2.2.9) 0 που σε αυτή την περίπτωση δεν εξαρτάται από την εκκεντρότητα. Είναι χρήσιμο να βρούμε το εύρος στις μεταβλητές a, e. Για το σκοπό αυτό, λύνουμε τις εξισώσεις μ1 a μ 1 a res = J και μ 1 a μ 1 a res = J + (που προκύπτουν από τον ορισμό του J), ως προς a, και παίρνουμε τις τιμές: a min = 0.479587 a max = 0.481608 Επειδή το εύρος στη μεταβλητή J είναι σταθερό, δεν θα εξαρτάται από την εκκεντρότητα. Σχηματικά, το εύρος φαίνεται στο σχήμα 2.2.2. Στο σχήμα αυτό, η αρχή των αξόνων βρίσκεται στο σημείο (a res, 0). Σχήμα 2.2.2: Εύρος στις μεταβλητές a, e 2.2.2 cos(ψ φ) Η συνάρτηση Hamilton του υποσυντονισμού αυτού είναι: H 1 = 0 J 2 + A sec Φ μ 2 e Φ cos(ψ φ) (2.2.10) 12

Μπορούμε να βρούμε ένα ολοκλήρωμα της κίνησης εφαρμόζοντας κανονικό μετασχηματισμό με γενέτειρα συνάρτηση 2ου τύπου: ώστε και F 2 = (ψ φ)j 1 + ψj 2 ω 1 = F 2 J 1 = ψ φ ω 2 = F 2 J 2 = ψ (2.2.11) J = F 2 ψ = J 1 + J 2 Φ = F 2 φ = J 1 (2.2.12) Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι J 1 0 (αφού Φ = μ 1 ae 2 /2 0). Η (2.2.10) στις νέες μεταβλητές γράφεται: H 1 = 0 (J 1 + J 2 ) 2 μ 2 e J 1 cos(ω 1 ) (2.2.13) Στη σχέση (2.2.13) η ω 2 είναι αγνοήσιμη, επομένως η J 2 είναι ολοκλήρωμα της κίνησης και έχει τη μορφή (μέσω των (2.2.12)): J 2 = J J 1 = J + Φ = μ 1 α μ 1 α res + e2 2 Εφαρμόζουμε κανονικό μετασχηματισμό με γενέτειρα συνάρτηση 2ου τύπου: ώστε F 2 = 1 2 y2 cot(ω 1 ) μ1 α (2.2.14) έτσι ώστε: x = F 2 y = y cot(ω 1) y 2 J 1 = F 2 = ω 1 2 sin 2 (ω 1 ) (2.2.15) Η (2.2.13) στις νέες μεταβλητές γράφεται: J 1 = x2 + y 2 2 x (2.2.16) cos(ω 1 ) = x2 + y 2 ( H 1 = 0 J 2 1 ( x 2 + y 2) ) 2 + 1 2 2 A sec(x 2 + y 2 ) μ 2e x (2.2.17) 2 Οι εξισώσεις Hamilton, όπως προκύπτουν από τη (2.2.17), είναι: x = H 1 y = 0y 3 + (A sec 2 0 J 2 + 0 x 2 )y y = H 1 x = 0x 3 (A sec 2 0 J 2 + 0 y 2 )x + μ 2e 2 (2.2.18) 13

Για να βρούμε τα σημεία ισορροπίας, μηδενίζουμε το σύστημα (2.2.18). Από την πρώτη σχέση παρατηρούμε ότι μια πιθανή τιμή του y είναι y = 0 vii. Αντικαθιστούμε το y = 0 στη δεύτερη σχέση: 0 x 3 (A sec 2 0 J 2 )x + μ 2e 2 = 0 (2.2.19) Επειδή πρόκειται για τριτοβάθμια εξίσωση, προκύπτουν τρείς λύσεις για το x, οι οποίες εν γένει αποτελούνται είτε από μία πραγματική και δύο συζυγείς μιγαδικές, είτε από τρεις πραγματικές, ανάλογα με την τιμή του J 2. Η γενική μορφή των λύσεων είναι: x 1 = 2 2 1/3 (A sec 2 0 J 2 ) ( 108 2 2 0 μ 2e + 6912 3 0 (A sec 2 0 J 2 ) 3 + 23328 4 0 μ2 2 2 e 2 ) 1 3 ( 108 2 0μ 2 2 e + ) 1/3 6912 0 3(A sec 2 0 J 2 ) 3 + 23328 0 4μ2 2 2e 2 (2.2.20) 6 2 1/3 0 2 1/3 (1 + ı 3)(A sec 2 0 J 2 ) x 2 = ( 108 2 0 2μ 2e + ) 1/3 6912 0 3(A sec 2 0 J 2 ) 3 + 23328 0 4μ2 2 2e 2 + 1 ı 3 12 2 1/3 0 ( 108 2 ) 1/3 0μ 2 2 e + 6912 0 3(A sec 2 0 J 2 ) 3 + 23328 0 4μ2 2 2e 2 (2.2.21) 2 1/3 (1 ı 3)(A sec 2 0 J 2 ) x 3 = ( 108 2 0 2μ 2e + ) 1/3 6912 0 3(A sec 2 0 J 2 ) 3 + 23328 0 4μ2 2 2e 2 + 1 + ı 3 12 2 1/3 0 ( 108 2 ) 1/3 0μ 2 2 e + 6912 0 3(A sec 2 0 J 2 ) 3 + 23328 0 4μ2 2 2e 2 (2.2.22) Μπορούμε να βρούμε γενικά τι είδους λύσεις έχουμε, ακολουθώντας την παρακάτω διαδικασία: Ξαναγράφουμε τη (2.2.19), θέτοντας a = 0, b = 0, c = (A sec 2 0 J 2 ), d = μ 2 e / 2: Ορίζουμε τις ποσότητες: ax 3 + bx + cx + d = 0 q = 3ac b2 9a 2 r = 9abc 27a2 d 2b 3 54a 3 = q 3 + r 2 Η ποσότητα είναι η διακρίνουσα της εξίσωσης. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: 0, τότε υπάρχει μόνο μία πραγματική ρίζα, η x 1, και το σημείο (x 1, 0) είναι ευσταθές σημείο ισορροπίας και υπάρχει για όλες τις τιμές του J 2. < 0, τότε και οι τρεις τιμές του x είναι πραγματικές. Τα σημεία (x 1, 0), (x 3, 0) είναι ευσταθή, και το σημείο (x 2, 0) είναι ασταθές. Λύνοντας την ισότητα = 0, προκύπτει ότι η τιμή του J 2 για την οποία αλλάζουν τα σημεία ισορροπίας είναι η: vii Αποδεικνύεται ότι το σύστημα δεν έχει λύση για y 0. 14

ενώ για να υπάρχουν και τα τρία σημεία πρέπει J 2,crit = 0.000562535 (2.2.23) J 2 > J 2,crit Η συμπεριφορά των σημείων ισορροπίας φαίνεται στο σχήμα (2.2.3). Σχήμα 2.2.3: Σημεία ισορροπίας: μπλε: ευσταθείς κλάδοι, κόκκινο: ασταθείς κλάδοι Στο σχήμα 2.2.4 έχουν σχεδιαστεί κάποιες ισοσταθμικές της J 2, για τις τιμές 0.01 (μπλε), J 2,crit (κόκκινο), 0.02 (μπλε), 0.05 (μπλε). Σχήμα 2.2.4: Ισοσταθμικές της J 2 Τυπικά διαγράμματα φάσης για διάφορες τιμές της J 2 φαίνονται στο σχήμα 2.2.5. Οι τιμές της συχνότητας μικρών ταλαντώσεων γύρω από το ευσταθές σημείο (x1, 0) ως συνάρτησης του J 2 φαίνεται στο σχήμα 2.2.6 viii. Στις μεταβλητές ω 1, J 1, για την περιοχή J 2 J 2,crit, υπάρχει ένα ευσταθές σημείο ισορροπίας για ω 1 = 0 (αντιστοιχεί στο x 1 ), ενώ για την περιοχή J 2 > J 2,crit, υπάρχει το παραπάνω σημείο και, εκτός αυτού, υπάρχει ένα ακόμα ευσταθές σημείο (αντιστοιχεί στο x 3 ), και ένα ασταθές σημείο (αντιστοιχεί στο x 2 ). Αυτά τα δύο σημεία βρίσκονται στη θέση ω 1 = π. Στο σχήμα 2.2.7 δίνεται το διάγραμμα φάσης για J 2 = 0.001 σε αυτές τις μεταβλητές. Λόγω της πολυπλοκότητας των εξισώσεων, η εύρεση μιας αναλυτικής σχέσης για το ημιεύρος της separatrix, συναρτήσει του J 2, είναι εξαιρετικά δύσκολη. Για αυτόν το λόγο, προτιμήθηκε μια προσεγγιστική μέθοδος, όπου υπολογίστηκαν οι συντεταγμένες J 1+, J 1, που δίνουν το εύρος, για διάφορες τιμές της J 2, και μετά έγινε προσαρμογή των δεδομένων με πολυώνυμο κατάλληλου βαθμού. Ετσι έχουμε: viii Η αναλυτική της έκφραση έχει παραληφθεί λόγω του μεγέθους της. 15

Σχήμα 2.2.5: Διαγράμματα φάσης για τις τιμές της J2: 0.000552535, 0.000572535, 0.001 Σχήμα 2.2.6: Συχνότητα μικρών ταλαντώσεων Σχήμα 2.2.7: Διαγράμματα φάσης για J2 = 0.001 J 1 = 0.00138608 1.05361 J 2 + 0.460971 J 2 2 J 1+ = 0.00123832 0.937721 J 2 0.566644 J 2 2 (2.2.24) 16

Επομένως: J 1 = J 1+ J 1 = 0.0013122 + 0.0579431 J 2 0.513807 J2 2 2 Λόγω της μορφής της σχέσης των J 1 και J (σχέση (2.2.12)), είναι: J = J 1 = J 1+ J 1 = 0.0013122 + 0.0579431 J 2 0.513807 J2 2 (2.2.25) 2 Η εξάρτηση του J από την J 2 φαίνεται στο σχήμα 2.2.8. Σχήμα 2.2.8: Ημιεύρος Το J είναι της τάξης του 10 3, επομένως J/δJ 10 3 /10 5 100, και το κριτήριο του hirikov ικανοποιείται. Το εύρος της separatrix στις μεταβλητές a, e δίνεται στο σχήμα 2.2.9. Σχήμα 2.2.9: Εύρος του υποσυντονισμού cos(ψ φ) στις μεταβλητές a, e 2.2.3 cos(ψ 2φ) Η συνάρτηση Hamilton του υποσυντονισμού αυτού είναι: H 2 = 0 J 2 + A sec Φ μ 3 Φ cos(ψ 2φ) (2.2.26) Μπορούμε να βρούμε ένα ολοκλήρωμα της κίνησης εφαρμόζοντας κανονικό μετασχηματισμό με γενέτειρα συνάρτηση 2ου τύπου: 17

F 2 = (ψ 2φ)J 1 + ψj 2 ώστε και ω 1 = F 2 J 1 = ψ 2φ ω 2 = F 2 J 2 = ψ (2.2.27) J = F 2 ψ = J 1 + J 2 Φ = F 2 φ = 2J 1 (2.2.28) Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι J 1 0 (αφού Φ = μ 1 ae 2 /2 0). Η (2.2.26) στις νέες μεταβλητές γράφεται: H 2 = 0 (J 1 + J 2 ) 2 2A sec J 1 + 2μ 3 J 1 cos(ω 1 ) (2.2.29) Στη σχέση (2.2.29) η ω 2 είναι αγνοήσιμη, επομένως η J 2 είναι ολοκλήρωμα της κίνησης και έχει τη μορφή (μέσω των (2.2.28)): J 2 = J J 1 = J + Φ/2 Οι εξισώσεις Hamilton, όπως προκύπτουν από τη (2.2.29), είναι: = μ 1 α μ 1 α res + e2 μ1 α (2.2.30) 4 ω 1 = H 2 J 1 = 2 0 (J 1 + J 2 ) 2A sec + 2μ 3 cos(ω 1 ) J 1 = H 3 ω 1 = 2μ 3 J 1 sin(ω 1 ) ενώ η 2ης τάξης διαφορική εξίσωση του ω 1 ως προς το χρόνο είναι: (2.2.31) ω 1 = 4(μ 3 A sec μ 0 3 J 2 μ 2 3 2 cos(ω 1 )) sin(ω 1 ) (2.2.32) Για τα σημεία ισορροπίας διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: 1. J 1 0, επομένως από τις (2.2.31) έχουμε sin(ω 1 ) = 0, άρα: ω 1 = 0, άρα: ω 1 = π, άρα: 2 0 (J 1 + J 2 ) 2A sec + 2μ 3 = 0 J 1 = A sec μ 3 0 J 2 0 (2.2.33) 2 0 (J 1 + J 2 ) 2A sec 2μ 3 = 0 J 1 = A sec + μ 3 0 J 2 0 (2.2.34) 18

2. J 1 = 0, επομένως από τις (2.2.31) έχουμε: 2 0 J 2 2A sec + 2μ 3 cos(ω 1 ) = 0 cos(ω 1 ) = A sec 0 J 2 μ ( 3 ) Asec 0 J 2 ω 1 = ± arccos μ 3 (2.2.35) Ανάλογα με την τιμή του ολοκληρώματος J 2, λαμβάνουμε διαφορετική τομή του διαγράμματος φάσης, επομένως λαμβάνουμε και διαφορετικά σημεία ισορροπίας, και ως προς το είδος και ως προς την ευστάθεια. Καταρχήν, παρατηρούμε ότι τα σημεία ισορροπίας για J 1 = 0 υπάρχουν για συγκεκριμένες τιμές του J 2, περιορισμός που εισάγεται από την απαίτηση: Άρα: 1 cos(ω 1 ) 1 1 A sec 0 J 2 μ 3 1 ή A sec + μ 3 0 J 2 A sec μ 3 0 (2.2.36) 0.0001935 J 2 0.0003141 (2.2.37) Στο σχήμα 2.2.10 έχουν σχεδιαστεί κάποιες ενδεικτικές ισοσταθμικές του ολοκληρώματος J 2, για τις τιμές 0.01 (μωβ), 0.001 (μπλε), 0.0001935 (κόκκινο), 0.0003141 (κόκκινο), 0.001 (πράσινο), 0.01 (γκρι). Σχήμα 2.2.10: Ισοσταθμικές της J 2 Οπως φαίνεται από το σχήμα 2.2.10, αν e < 0.25, τότε η τιμή του J 2 μπορεί να βρίσκεται σε οποιαδήποτε από τις τρεις περιοχές που ορίζονται από την ανισότητα (2.2.37),ανάλογα με την τιμή του a, ενώ αν e > 0.25, τότε J 2 > 0.0003141, ανεξάρτητα από την τιμή του a. Επίσης, βλέπουμε ότι η περιοχή τιμών 0.0001935 J 2 0.0003141 αντιστοιχεί σε μια στενή περιοχή τιμών των a και e (η περιοχή που ορίζεται από τις κόκκινες καμπύλες). Σε αυτή την περιοχή εμφανίζονται τα σημεία ισορροπίας με J 1 = 0. Κατά δεύτερον, πρέπει να λάβουμε υπόψιν την απαίτηση J 1 0. Αν ω 1 = 0, έχουμε από τη (2.2.33): J 1 = A sec μ 3 0 J 2 0 J 2 A sec μ 3 0 (2.2.38) 19

ενώ αν ω 1 = π, έχουμε από τη (2.2.34): J 1 = A sec + μ 3 0 J 2 0 J 2 A sec + μ 3 0 (2.2.39) Παρακάτω θα μελετήσουμε ξεχωριστά τις διαφορετικές περιοχές τιμών της J 2, αναφορικά με τις ανισότητες (2.2.36), (2.2.38) και (2.2.39). J 2 < Asec+μ3 0 Δεν υπάρχουν καθόλου σημεία ισορροπίας. Ολες οι τροχιές στις τομές του χώρου των φάσεων που αντιστοιχούν σε αυτή την περιοχή τιμών του J 2 είναι ανοικτές καμπύλες (περιστροφές), με J 1 < 0. Asec+μ3 0 J 2 Asec μ3 0 Υπάρχουν τρία σημεία ισορροπίας, που ορίζονται από τις (2.2.34), και (2.2.35). 1ης τάξης της (2.2.32) γύρω από αυτά τα σημεία είναι: Τα αναπτύγματα ω 1 = π : ω 1 = 4( μ 3 A sec + μ 0 3 J 2 μ 2 3)ω 2 1 (2.2.40) ( ) Asec 0 J 2 ω 1 = arccos : ω 1 = 4( A 2 sec + 2A sec 0 J 2 μ 0J 2 2 2 + μ 2 3)ω 2 1 (2.2.41) 3 ( ) Asec 0 J 2 ω 1 = arccos : ω 1 = 4( A 2 sec + 2A sec 0 J 2 μ 0J 2 2 2 + μ 2 3)ω 2 1 (2.2.42) 3 Από τις παραπάνω σχέσεις και για την περιοχή τιμών του J 2 που εξετάζουμε, προκύπτει ότι το σημείο (π, (A sec + μ 3 )/ 0 J 2 ) είναι ευσταθές, ενώ τα σημεία (± arccos[(a sec 0 J 2 )/(μ 3 )], 0) είναι ασταθή. Ενα τυπικό διάγραμμα φάσης της περιοχής αυτής φαίνεται στο σχήμα 2.2.11. Σχήμα 2.2.11: Διάγραμμα φάσης της H 2 για J 2 = 0 Η συχνότητα μικρών ταλαντώσεων γύρω από το ευσταθές σημείο ισορροπίας, όπως προκύπτει από τη (2.2.40), είναι: ν 2 = 4( μ 3 A sec + μ 0 3 J 2 μ 2 3 2 ) (2.2.43) 20

Το ημιεύρος της separatrix στη μεταβλητή J 1, σύμφωνα με τη διαδικασία που περιγράφηκε στην προηγούμενη παράγραφο, είναι: J 1 = A sec + μ 3 0 + J 2 Λόγω της μορφής της σχέσης των J 1 και J (σχέση (2.2.28)), είναι: J 2 > Asec μ3 0 J = J 1 = A sec + μ 3 0 + J 2 (2.2.44) Υπάρχουν δύο σημεία ισορροπίας, που ορίζονται από τις εξισώσεις (2.2.33), (2.2.34). Τα αναπτύγματα 1ης τάξης της (2.2.32) γύρω από αυτά τα σημεία είναι: ω 1 = 0 : ω 1 = 4(μ 3 A sec μ 0 3 J 2 μ 2 2 3)ω 1 (2.2.45) ω 1 = π : ω 1 = 4( μ 3 A sec + μ 0 3 J 2 μ 2 2 3)ω 1 (2.2.46) Το σημείο (0, (A sec μ 3 )/ 0 J 2 ) είναι ασταθές, ενω το σημείο (π, (A sec + μ 3 )/ 0 J 2 ) είναι ευσταθές. Ενα τυπικό διάγραμμα φάσης της περιοχής αυτής φαίνεται στο σχήμα 2.2.12. Σχήμα 2.2.12: Διάγραμμα φάσης της H 2 για J 2 = 0.01 Η συχνότητα μικρών ταλαντώσεων γύρω από το ευσταθές σημείο ισορροπίας, όπως προκύπτει από τη (2.2.46), είναι: ν 2 = Το ημιεύρος της separatrix είναι: 4( μ 3 A sec + μ 0 3 J 2 μ 2 3 2 ) (2.2.47) J = J 1 = 2 μ 2 0 3(A sec 0 J 2 ) 2 0 (2.2.48) 21

Στα σχήματα 2.2.13, 2.2.14 και 2.2.15, έχουν σχεδιαστεί οι συχνότητες μικρών ταλαντώσεων, το εύρος και η μεταβολή των σημείων ισορροπίας. Οι διακεκομμένες γραμμές αντιστοιχούν στις τιμές J 2 = 0.0001935 και J 2 = 0.0003141. Στα σχήματα αυτά δεν έχει σχεδιαστεί το πλήρες εύρος της J 2, η οποία παίρνει τιμές προσεγγιστικα από 0.01, για μικρές τιμές του a και του e, έως 0.04, για μεγάλες τιμές του a και του e. Σχήμα 2.2.13: Συχνότητα μικρών ταλαντώσεων Σχήμα 2.2.14: Ημιεύρος Σχήμα 2.2.15: Σημεία ισορροπίας: μπλε: ευσταθείς κλάδοι, κόκκινο: ασταθείς κλάδοι Το εύρος J μεταβάλλεται από 0 εώς 10 3 (π.χ αν J 2 = 0.038 τότε J 0.006), επομένως ο λόγος 22

J/δJ μεταβάλλεται από 0 έως 100. Για μια μεγάλη περιοχή τιμών των a και e (όταν J 2 > (A sec μ 3 )/ 0 ), είναι J 10 4 ή J 10 3, και το κριτήριο του hirikov ικανοποιείται. Το εύρος στις μεταβλητές a και e φαίνεται στο σχήμα 2.2.16. Σε αυτό το σχήμα έχει σχεδιαστεί και η οικογένεια των ευσταθών σημείων ισορροπίας (a = 0.480329 - η τιμή αυτή διαφέρει από την a res στο τέταρτο δεκαδικό ψηφίο, γεγονός που οφείλεται στον εκφυλισμό του ολοκληρώσιμου προβλήματος, όπως ήδη έχουμε αναφέρει). Η τιμή αυτή προκύπτει αν εξισώσουμε τη γενική σχέση που δίνει το J 1, J 1 = Φ/2 = μ 1 ae 2 /4, με τη σχέση που δίνει στο J 1 στο ευσταθές σημείο ω 1 = π, (σχέση (2.2.34)), όπου αντικαθιστούμε το J 2 από τη σχέση (2.2.30). Σχήμα 2.2.16: Εύρος στις μεταβλητές a, e Στο σχήμα 2.2.17 δίνεται το εύρος για όλους τους υποσυντονισμούς. Σχήμα 2.2.17: Εύρος στις μεταβλητές a, e Από την παραπάνω ανάλυση, προκύπτει ότι υπάρχει υπερκάλυψη των αρμονικών, επομένως περιμένουμε την ύπαρξη εκτεταμένης χαοτικής κίνησης, ειδικά στις χαμηλές εκκεντρότητες, όπου η υπερκάλυψη γίνεται εντονότερη, όπως φαίνεται από το σχήμα 2.2.17. 2.3 Η προσέγγιση του εξαναγκασμένου εκκρεμούς Η υπερκάλυψη των αρμονικών, εκτός του ότι προβλέπει την ύπαρξη χαοτικής κίνησης, μας επιτρέπει επίσης να χρησιμοποιήσουμε την προσέγγιση του εξαναγκασμένου εκκρεμούς (βλ. [4], [8]). Στην προσέγγιση 23

αυτή, θεωρούμε ότι οι αρμονικές υπερκαλύπτονται σε τέτοιο βαθμό που τελικά το διάγραμμα φάσης να μοιάζει με αυτό του απλού εκκρεμούς, με τη διαφορά ότι η διαχωριστική καμπύλη μεταβάλλεται με το χρόνο. Μπορούμε να βρούμε τη συνάρτηση Hamilton του εξαναγκασμένου εκκρεμούς από την (2.1.40). Από αυτή τη σχέση έχουμε: [ H res = μ 1 e 2 cos(ψ) + 2 e ] Φ cos(ψ φ) + 3 Φ cos(ψ 2φ) [ = μ 1 e 2 cos(ψ) + 2 e Φ cos(ψ) cos(φ) + 2 e Φ sin(ψ) sin(φ) + 3 Φ cos(ψ) cos(2φ) + 3 Φ sin(ψ) sin(2φ)] [ ( = μ 1 e 2 + 2 e ) Φ cos(φ) + 3 Φ cos(2φ) cos(ψ) ( + 2 e ) ] Φ sin(φ) + 3 Φ sin(2φ) sin(ψ) Θέτουμε A = 1 e 2 + 2 e Φ cos(φ) + 3 Φ cos(2φ) και B = 2 e Φ sin(φ) + 3 Φ sin(2φ), άρα: Ορίζουμε: Επομένως: Επειδή: θα είναι: H res = μ (A cos(ψ) + B sin(ψ)) [ A2 ( = μ + B 2 A A2 + B cos(ψ) + 2 = μ A 2 + B 2 1 cos(ψ) + 1 + B2 A 2 D = A 2 + B 2 ( ) B Q = arctan A ) ] B A2 + B sin(ψ) 2 1 1 + A2 B 2 sin(ψ) H res = μ D 1 1 + tan 2 (Q) cos(ψ) + 1 sin(ψ) 1 + 1 tan 2 (Q) [ ( ) ] 1 = μ D 1 + tan 2 (Q) cos(ψ) + tan(q) 1 + tan 2 (Q) sin(ψ) cos(ψ) + tan(q) sin(ψ) = μd 1 + tan 2 (Q) 1 1 + tan 2 (Q) = 1 1 + sin2 (Q) cos 2 (Q) = 1 1 cos 2 (Q) = cos(q) (2.3.1) επομένως η (2.1.40) γίνεται: H res = μd [cos(ψ) cos(q) + sin(ψ) cos(q) tan(q)] = μd [cos(ψ) cos(q) + sin(ψ) sin(q)] = μd cos(ψ Q) H = 0 J 2 + A sec Φ μd cos(ψ Q) (2.3.2) όπου τα D και Q, όπως ορίστικαν από τις (2.3.1), είναι συναρτήσεις των Φ και φ. Η (2.3.2) είναι η συνάρτηση Hamilton ενός εκκρεμούς, στις μεταβλητές (ψ, J), που το πλάτος και η συχνότητά του καθορίζονται από τα (φ, Φ). Αν J/δJ > 1, μπορούμε να υποθέσουμε ότι τα (φ, Φ) παραμένουν σταθερά κατά μία περίοδο 24

του ψ. Με σταθερά (φ, Φ), η (2.3.2) περιγράφει την κίνηση ενός απλού εκκρεμούς, και έχει δύο σημεία ισορροπίας, ένα ευσταθές στο (ψ Q, J) = (π, 0), και ένα ασταθές στο (ψ Q, J) = (0, 0). Η περιοχή μέσα στην οποία το εύρος της separatrix μεταβάλλεται καθώς μεταβάλονται τα (Φ, φ) φαίνεται στο σχήμα 2.3.1. Σχήμα 2.3.1: Εύρος της separatrix για το εξαναγκασμένο εκκρεμές Η περιοχή που φαίνεται στο σχήμα 2.3.1 να περικλείεται ανάμεσα στις δύο διαχωριστικές καμπύλες (separatrices), δίνει πιθανότατα μια καλή πρόβλεψη για τη χαοτική περιοχή, καθώς ένας αστεροειδής με αρχικές συνθήκες μέσα σε αυτή θα συναντά την κινούμενη separtrix καθώς μεταβάλονται τα (Φ, φ), επομένως μπορεί να περνά σε διαφορετικές περιοχές του διαγράμματος φάσης (από λικνίσεις σε περιστροφές και αντίστροφα). 25

26

Κεφάλαιο 3 Αριθμητικές εφαρμογές Σε αυτό το κεφάλαιο θα παρουσιαστούν τα αποτελέσματα των αριθμητικών εφαρμογών που έγιναν με βάση το παραπάνω αναλυτικό μοντέλο. Στο πρώτο κομμάτι, θα μελετηθεί το διατηρητικό σύστημα, όπως ορίζεται από την (2.1.40), ενώ στο δεύτερο θα ληφθεί υπόψιν και μία μη διατηριτική δύναμη, λόγω φαινομένου Yarkofsky, μετατρέποντας το σύστημα σε μη διατηρητικό. Η μέθοδος ολοκλήρωσης των εξισώσεων κίνησης που χρησιμοποιήθηκε είναι μεταβλητού βήματος, ώστε να διατηρεί το σφάλμα κάτω από μια ορισμένη τιμή. Το πρόγραμμα αριθμητικής ολοκληρωσης βρίσκεται στο παράρτημα Βʹ. 3.1 Διατηρητικό σύστημα Το προς ολοκλήρωση σύστημα διαφορικών εξίσωσεων είναι οι εξισώσεις κίνησης (2.1.43). Ολοκληρώσαμε αριθμητικά περίπου 5000 τροχιές, των οποίων οι αρχικές συνθήκες σχηματίζουν ένα πλέγμα, όπου ο μεγάλος ημιάξονας μεταβάλλεται στο διάστημα [0.465, 0.495] (σε μονάδες a ), με βήμα 0.0005, και η εκκεντρότητα μεταβάλλεται στο διάστημα [0.01, 0.4] με βήμα 0.01. Επίσης, ως αρχική τιμή για το ψ Q θέσαμε ψ Q = π, ώστε να είμαστε πάνω στο ευσταθές σημείο του διαταραγμένου εκκρεμούς. Τέλος, για κάθε σύνολο αρχικών συνθηκών a, e, ψ Q, θέτουμε ως αρχική τιμή του φ, φ = 0 και φ = π. Το σύστημα ολοκληρώνεται για χρόνο ίσο με 50000 περιστροφές του Δία, το οποίο αντιστοιχεί σε περίπου 600000 χρόνια. Για την εκτίμηση της χαοτικότητας κάθε τροχιάς, ακολουθήσαμε την παρακάτω μέθοδο: Οι τιμές της εκκεντρότητας που προκύπτουν από την αριθμητική ολοκλήρωση χωρίζονται σε χρονικά διαστήματα, και υπολογίζεται η διασπορά περί τη μέση τιμή της εκκεντρότητας κάθε διαστήματος. Μετά γίνεται προσαρμογή των διασπορών με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, και από το συντελεστή δεύθυνσης της ευθείας αυτής εκτιμάται η χαοτικότητα της τροχιάς. Για κανονικές τροχιές, ο συντελεστής θα είναι περίπου 0 (η εκκεντρότητα κάνει ταλάντωση με σταθερό πλάτος γύρω από μια μέση τιμή), ενώ για χαοτικές θα πρέπει να είναι θετικός ή αρνητικός (η εκκεντρότητα μεταβάλλεται με ακανόνιστο τρόπο). Τα αποτελέσματα δείχνονται στο σχήμα 3.1.1, όπου οι θετικές τιμές της εκκεντρότητας αντιστοιχούν σε αρχική τιμή φ = 0 και οι αρνητικές σε φ = π. Ο χρωματικός κώδικας εξηγείται στο παράρτημα, όπου αντί για το συντελεστή κλίσης της ευθείας ελαχίστων τετραγώνων, έχει ληφθεί ο δεκαδικός λογάριθμος αυτού. Σε αυτό το σχήμα έχει επίσης σχεδιαστεί η περιοχή μέσα στην οποία μεταβάλλεται η separatrix του εξαναγκασμένου εκκρεμούς. 27

Σχήμα 3.1.1 Στο σχήμα 3.1.1, οι περιοχές με κόκκινο ή πορτοκαλί χρώμα αντιστοιχούν σε χαοτική κίνηση (ο συντελεστής της ευθείας ελαχίστων τετραγώνων είναι της τάξης του 10 4 10 3 ), ενώ οι υπόλοποιπες σε κανονική κίνηση. Οπως γίνεται φανερό από το σχήμα, η χαοτική περιοχή ακολουθεί την separatrix του εξαναγκασμένου εκκρεμούς, όπως είχαμε αρχικά υποθέσει ότι πρέπει να συμβαίνει. Στα επόμενα σχήματα παρουσιάζεται η εξέλιξη της εκκεντρότης για μια κανονική καιμια χαοτική τροχιά. Εχει σημειωθεί και ο συντελεστής κλίσης της ευθείας ελαχίστων τετραγώνων (b). 28

Σχήμα 3.1.2: Κανονική τροχιά: e 0 = 0.21, a 0 = 2.465 AU, φ = π, b 10 8 Σχήμα 3.1.3: Χαοτική τροχία: e 0 = 0.04, a 0 = 2.5 AU, φ = π, b = 10 3 3.2 Μη διατηρητικό σύστημα Ενα πιο ρεαλιστικό μοντέλο από το απλό διατηρητικό σύστημα, είναι αυτό όπου έχει εισαχθεί μια μη συντηρητική δύναμη. Μια τέτοια δύναμη προκαλείται από το φαινόμενο Yarkovsky. Το φαινόμενο αυτό είναι σημαντικό για σώματα διαμέτρου μικρότερης των 20 km που περιστρέφονται γύρω από τον άξονά τους, και είναι η μη συντονισμένη απορρόφηση και επανεκπομπή της ηλιακής ακτινοβολίας. Πιο συγκεκριμένα, ο αστεροειδής δέχεται ακτινοβολία από τον Ηλιο κατά την ακτινική διεύθυνση μόνο. Επειδή έχει πεπερασμένη αγωγιμότητα, η ακτινοβολία δεν επανεκπέμπεται αμέσως, αλλά μεσολαβεί ένα χρονικό διάστημα κατά το οποίο ο αστεροειδής έχει περιστραφεί, με αποτέλεσμα να επανεκπέμψει την ακτινοβολία προς μια διεύθυνση που έχει πλέον και εφαπτομενική συνιστώσα. Η ανάδραση που προκαλεί η εκπομπή προκαλεί μια ολίσθηση του μεγάλου ημιάξονα της τροχιάς. Το αν το φαινόμενο θα προκαλέσει αύξηση ή μείωση του μεγάλου ημιάξονα, εξαρτάται από την κατεύθυνση του διανύσματος της γωνιακής περιστροφής του αστεροειδή. Η ερώτηση που θέλουμε να απαντήσουμε είναι αν ένας αστεροειδής που ξεκινάει έξω απο τη χαοτική περιοχή, θα μπορέσει να διαπεράσει τη χαοτική ζώνη ή θα παγιδευτεί. Η μεταβολή που προκαλείται στο μεγάλο ημιάξονα έχει υπολογιστεί και δίνεται από τον τύπο: 29

2.7 10 4 AU a Y = D(km) My και είναι της τάξης του 10 10 στο χρησιμοποιούμενο σύστημα μονάδων για διάμετρο D = 0.1km, και επειδή είναι μικρή σε σχέση με τις υπόλοιπες συχνότητες του συστήματος, θεωρούμε ότι οι (2.1.43), που έχουν υπολογιστεί στο διατηρητικό σύστημα, εξακολουθούν προσεγγιστικά να ισχύουν. Πρέπει ωστόσο να γίνει μια διόρθωση στη J, που σχετίζεται με τη μεταβολή του μεγάλου ημιάξονα. Η διόρθωση προκύπτει ως εξής: J = μ 1 a μ 1 a res J = μ 1 2 μ 1 a a J = μ 1 2(J + μ 1 a res ) a (3.2.1) όπου a θέτουμε το a Y. Ο όρος αυτός προστίθεται στην J. Θα μελετήσουμε δύο περιπτώσεις: Στην πρώτη θα μηδενίσουμε την επίδραση των υποσυντονισμών cos(ψ) και cos(ψ φ). Σε αυτή την περίπτωση η συνάρτηση Hamilton από την οποία προκύπτουν οι εξισώσεις κίνησης είναι ολοκληρώσιμη (το σύστημα δεν είναι πλεόν χαμιλτονιανό, αλλά ως βάση για να βρούμε τις τροποποιημένες εξισώσεις κίνησης χρησιμοποιούμε το χαμιλτονιανό μέρος του). Ο λόγος που διαλέγουμε να κρατήσουμε τον υποσυντονισμό cos(ψ 2φ) είναι γιατί έχει το μεγαλύτερο έυρος και γιατί είναι ο μόνος που υπάρχει και στο κυκλικό πρόβλημα (ο συντελεστής του δεν εξαρτάται από την e ). Στη δεύτερη περίπτωση θα μελετήσουμε το πλήρες σύστημα. Επομένως τα συστήματα εξισώσεων που θα ολοκληρώσουμε είναι: ψ = 2 0 J J μ 1 = μ 3 Φ sin(ψ 2φ) + 2(J + μ 1 a res ) a φ = A sec μ 3 cos(ψ 2φ) (3.2.2) και Φ = μ2 3 Φ sin(ψ 2φ) ψ = 2 0 J ( J = μ 1 e 2 sin(ψ) + 2 e ) Φ sin(ψ φ) + 3 Φ sin(ψ 2φ) ( φ = A sec μ ) 2 Φ cos(ψ φ) + 3 cos(ψ 2φ) ) 2 e 1 ( Φ = μ 2 e Φ sin(ψ φ) + 2 3 Φ sin(ψ 2φ) + μ 1 2(J + μ 1 a res ) a (3.2.3) Διαλέγουμε αρχικές συνθήκες κοντά στη διαχωριστική καμπύλη του εξαναγκασμένου εκκρεμούς, και ελέγχουμε την περίπτωση όπου ο αστεροειδής ξεκινά από μικρότερους μεγάλους ημιάξονες και πηγαίνει σε μεγαλύτερους ( a > 0), και την αντίστροφη ( a < 0). 1. a > 0 1 = 0, 2 = 0, 3 0 Διακρίνουμε δύο πιθανά ενδεχόμενα: 1) Ο αστεροειδής παγιδεύεται στη χαοτική περιοχή και η εκκεντρότητά του κάνει ταλαντώσεις με σταθερό πλάτος αλλά αυξανόμενη μέση τιμή, ώσπου φτάνει την τιμή e = 0.4 και η τροχιά του τέμνει την τροχιά του Άρη, οπότε θεωρούμε ότι έχει εγκαταλείψει τη ζώνη των αστεροειδών. Μια τέτοια τροχιά φαίνεται στο σχήμα 3.2.1. 30

Σχήμα 3.2.1: e 0 = 0.1, a 0 = 2.48 AU Σε αυτή την περίπτωση ο αστεροειδής παγιδεύεται στο ευσταθές σημείο του συντονισμού, όπως φαίνεται από τη μεταβολή του ψ Q (σχήμα 3.2.2) Σχήμα 3.2.2: e 0 = 0.1, a 0 = 2.48 AU 31

2) Ο αστεροειδής διαπερνά τη χαοτική ζώνη (σχήμα 3.2.3) και το ψ Q μεταβάλλεται από 0 έως 2π (σχήμα 3.2.4). Σχήμα 3.2.3: e 0 = 0.18, a 0 = 2.47 AU Σχήμα 3.2.4: e 0 = 0.18, a 0 = 2.47 AU Σε αυτή την περίπτωση το ποσοστό διέλευσης των αστεροειδών είναι 50%. 32

1 0, 2 0, 3 0 Τα δύο προηγούμενα ενδεχόμενα εξακολουθούν να υπάρχουν, με λίγο διαφορετική συμπεριφορά των e, a, αλλά με ίδια συμπεριφορά για το ψ Q (σχήματα 3.2.5, 3.2.6, 3.2.7). Εμφανίζεται και ένα τρίτο ενδεχόμενο όπου η εκκεντρότητα αυξάνει απότομα πριν ο αστεροειδής προλάβει να παγιδευτεί στο ευσταθές σημείο (σχήμα 3.2.8). Σχήμα 3.2.5: e 0 = 0.01, a 0 = 2.49 AU Σχήμα 3.2.6: e 0 = 0.01, a 0 = 2.49 AU Το ποσοστό διέλευσης είναι 50%. 33

Σχήμα 3.2.7: e 0 = 0.04, a 0 = 2.49 AU Σχήμα 3.2.8: e 0 = 0.3, a 0 = 2.46 AU 2. a < 0 1 = 0, 2 = 0, 3 0 Σε αυτή την περίπτωση οι αστεροειδείς διαπερνούν τη χαοτική ζώνη σε ποσοστό 100%. 1 0, 2 0, 3 0 Εχουμε και πάλι 2 ενδεχόμενα (σχήματα 3.2.10, 3.2.11). Ανάλογα με τις αρχικές τους συνθήκες, οι αστεροειδείς είτε διαπερνούν τη χαοτική είτε όχι, με ποσοστό διέλευσης 70%. 34

Σχήμα 3.2.9: e 0 = 0.16, a 0 = 2.52 AU Σχήμα 3.2.10: e 0 = 0.01, a 0 = 2.51 AU Σχήμα 3.2.11: e 0 = 0.04, a 0 = 2.51 AU 35

36

Κεφάλαιο 4 Παρατηρήσεις - Συμπεράσματα Από την παραπάνω αναλυτική και αριθμητική μελέτη προκύπτουν δύο βασικά συμπεράσματα, όσον αφορά τη συμπεριφορά ενός αστεροειδούς που βρίσκεται στο συντονισμό μέσης κίνησης 3 : 1 με το Δία. Καταρχήν, αποδείχθηκε η ύπαρξη εκτεταμένης χαοτικής κίνησης, τόσο αναλυτικά, χρησιμοποιώντας το κριτήριο του hirikov, όσο και αριθμητικά. Επίσης, η περιοχή αρχικών συνθηκών που οδηγούν σε χαοτική κίνηση βρέθηκε ότι συμπίπτει με τη διαχωριστική καμπύλη του εξαναγκασμένου εκκρεμούς. Ετσι, η προσέγγιση του εξαναγκασμένου εκκρεμούς φαίνεται να αποτελεί μια σχετικά ακριβή μέθοδο πρόβλεψης της χαοτικής περιοχής. Κατά δεύτερον, εισάγοντας μια μη διατηρητική δύναμη, δείχθηκε ότι ένα μεγάλο ποσοστό αστεροειδών, μπαίνοντας στη χαοτική περιοχή, αναπτύσσουν εκκεντρότητες που τους εξωθούν έξω από τα όρια της κύριας ζώνης των αστεροειδών, και μάλιστα σε χρόνο που είναι κατά δύο τάξεις μεγέθους μικρότερος από την ηλικία του Ηλιακού συστήματος. Αυτό αποτελεί μια πιθανή αιτία για το γεγονός ότι ο συντονισμός 3 : 1 είναι άδειος. Εντούτοις, η παραπανω ανάλυση σε καμιά περίπτωση δεν απαντά πλήρως στο ερώτημα αυτό, καθώς το φαινόμενο Yarkovsky δεν είναι σημαντικό για σώματα με διάμετρο μεγαλύτερη των 20 km. 37

38

Παράρτημα Αʹ Υπολογισμός της συνάρτησης Hamilton R = k^2 A1 + k e A3 os[-\[gamma]] + k^2 A5 os[\[lambda] - 3 \[Lambda] - 2 \[Gamma]] + k e A6 os[\[lambda] - 3 \[Lambda] - \[Gamma]] + (e)^2 A7 os[\[lambda] - 3 \[Lambda] ] H = -\[Mu]1^2/(2 \[apitallambda]^2) + n \[apitallambda] - \[Mu] R H1 = % /. k -> Sqrt[2 \[apitalgamma]]/sqrt[\[apitallambda]] H2 = % /. {-\[Lambda] + 3 \[Lambda] + 2 \[Gamma] -> -\[Psi] + 2 \[urlyphi], -\[Lambda] + 3 \[Lambda] + \[Gamma] -> -\[Psi] + \[urlyphi], \[Lambda] - 3 \[Lambda] -> \[Psi], \[Gamma] -> \[urlyphi], \ \[apitallambda] -> \[apitalpsi], \[apitallambda] -> \ \[apitalpsi] - 3 \[apitalpsi], \[apitalgamma] -> \[apitalphi]} H3 = % // TrigExpand n = 1; H4 = H3 - \[apitalpsi] Print["H=", H4] Hsec = -((2 A1 \[Mu] \[apitalphi])/\[apitalpsi]) - Sqrt[2] A3 \[Mu] 1/Sqrt[\[apitalPsi]] Sqrt[\[apitalPhi]] os[\[urlyphi]] e Hsec1 = % /. {\[apitalphi] -> ((x^2 + y^2)/2), os[\[urlyphi]] -> x/sqrt[(x^2 + y^2)]} // Expand xt = -D[Hsec1, y] yt = D[Hsec1, x] Solve[{xt == 0, yt == 0}, {x, y}] Hsec2 = Hsec1 /. {x -> (z - (A3 Sqrt[\[apitalPsi]] e)/(2 A1)), y -> w} // FullSimplify // Expand Hsec3 = Hsec2 /. {w -> Sqrt[2 \[apitaliota]] Sin[\[Delta]], z -> Sqrt[2 \[apitaliota]] os[\[delta]]} // FullSimplify // Expand; Print["Hsec=", Hsec3] H5 = H4 - Hsec H6 = H5 /. {\[apitalphi] -> ((x^2 + y^2)/2), os[\[urlyphi]] -> x/sqrt[(x^2 + y^2)], Sin[\[urlyPhi]] -> y/sqrt[(x^2 + y^2)]} // FullSimplify // Expand H7 = H6 /. {x -> (z - (A3 Sqrt[\[apitalPsi]] e)/(2 A1)), y -> w} // FullSimplify // Expand H8 = H7 /. {w -> Sqrt[2 \[apitaliota]] Sin[\[Delta]], 39

z -> Sqrt[2 \[apitaliota]] os[\[delta]]} // FullSimplify // Expand H9 = H8 + Hsec3 H10 = ollect[ H9, {os[\[psi]], os[\[delta] - \[Psi]], os[2 \[Delta] - \[Psi]]}]; Print["H=", H10] H11 = -(\[Mu]1^2/(2 \[apitalpsi]^2)) - 3 \[apitalpsi] -(\[Mu]1^2/(2 \[apitalpsi]^2)) - 3 \[apitalpsi] H12 = Series[H11, {\[apitalpsi], \[apitalpsi]res, 2}] // Normal H13 = Series[H11, {\[apitalpsi], \[apitalpsi]res, 2}] // Normal // ExpandAll H14 = H12 /. (\[apitalpsi] - \[apitalpsi]res) -> J // ExpandAll % /. \[apitalpsi]res -> Sqrt[\[Mu]1 ares] H15[\[apitalPsi]_] = -(( 2 A1 \[apitaliota] \[Mu])/\[apitalPsi]) - ( 2 A5 \[apitaliota] \[Mu] os[ 2 \[Delta] - \[Psi]])/\[apitalPsi] + (A3^2 \[Mu] (e)^2)/(4 A1) + os[\[delta] - \[Psi]] (( Sqrt[2] A3 A5 Sqrt[\[apitalIota]] \[Mu] e)/( A1 Sqrt[\[apitalPsi]]) - ( Sqrt[2] A6 Sqrt[\[apitalIota]] \[Mu] e)/sqrt[\[apitalpsi]]) + os[\[psi]] (-((A3^2 A5 \[Mu] (e)^2)/(4 A1^2)) + ( A3 A6 \[Mu] (e)^2)/(2 A1) - A7 \[Mu] (e)^2) H16 = Series[ H15[\[apitalPsi]], {\[apitalpsi], \[apitalpsi]res, 0}] // Normal H16a = ollect[ H16, {os[\[psi]], os[\[delta] - \[Psi]], os[2 \[Delta] - \[Psi]]}] H17 = H14 + H16a H18 = H17 + 3 J - (A3^2 e^2 \[Mu])/(4 A1) - ( J \[Mu]1^2)/\[apitalPsi]res^3 + \[Mu]1^2/(2 \[apitalpsi]res^2) + 3 \[apitalpsi]res H19 = H18 /. \[apitalpsi]res -> Sqrt[\[Mu]1 ares] ares = (1/3)^(2/3) (1-0.00095387535)^(1/3) \[Mu]1 = 1-0.00095387535 A1 = 0.142238708364828 A3 = -0.165620402548472 A5 = 0.598757313739816 A6 = -2.21297805695323 A7 = 0.363374716789185 H19 \[Mu] = 0.00095387535 40