Δορυφορικές Τροχιές. 2.1 Εισαγωγή

Δορυφορικές Τροχιές Σύνοψη Σ αυτό το κεφάλαιο γίνεται μία αναλυτική περιγραφή των διαφορετικών ειδών δορυφορικών τροχιών, ξεκινώντας από τα γεωμετρικά στοιχεία της κίνησης των δορυφόρων. Αυτά περιλαμβάνουν τις δυναμικές των τροχιών, τους νόμους που τις διέπουν, τα στοιχεία και τις παραμέτρους που καθορίζουν τον σχεδιασμό των τροχιών και τους αστερισμούς που πρέπει να ληφθούν υπόψη. Στη συνέχεια, καθορίζονται οι βασικοί ορισμοί και τα στοιχεία τροχιών με τις κατάλληλες εξισώσεις, τα ημερολόγια, και αναλύονται τα διαφορετικά είδη τροχιών (GEO, MEO, LEO, ΗΕΟ) μαζί με τα πλεονεκτήματα και μειονεκτήματά τους. Αναλύεται η ηλιοσύγχρονη τροχιά μαζί με την τροχιά της Γης, απεικονίζοντας τη γεωμετρία Γης-δορυφόρου και τις διαταράξεις της τροχιάς που επιδρούν στην απόδοση του δορυφόρου. Προαπαιτούμενη γνώση Το κεφάλαιο του παρόντος βιβλίου απαιτεί από τον αναγνώστη να διαθέτει βασικές γνώσεις φυσικής και γεωμετρίας. 2.1 Εισαγωγή Η μελέτη της κίνησης των πλανητών είχε ξεκινήσει από την αρχαιότητα. Οι αρχαίοι Έλληνες και οι Βαβυλώνιοι την 1 η χιλιετία π.χ. πίστευαν ότι τα άστρα ήταν σταθερά και τα απεικόνιζαν στο εσωτερικό μια σφαίρας που περιστρέφονταν, η οποία είχε το σχήμα ενός αναποδογυρισμένου ουράνιου θόλου. Είχαν βέβαια παρατηρήσει ότι υπήρχαν κάποια σώματα σαν άστρα, τα οποία και ονόμασαν πλανήτες, και τα οποία κινούνταν ως προς τα σταθερά άστρα του ουρανού. Η κίνηση αυτών των πλανητών ήταν αργή, αλλά εμφανής σε διάρκεια ημερών ή και μηνών. Οι πρώτοι που ασχολήθηκαν με την κίνηση των πλανητών ήταν οι αρχαίοι Έλληνες φιλόσοφοι (6 ο και 7 ο αιώνα π.χ.) με πιο γνωστούς τον Θαλή και τον Πυθαγόρα. Μέχρι τον 4ο αιώνα π.χ. είχε αναπτυχθεί μια πλήρης θεωρία για την κίνηση των ουράνιων σωμάτων. Σύμφωνα με αυτή τη θεωρία ο ουρανός αποτελείται από οκτώ ομόκεντρες διαφανείς σφαίρες, στις οποίες βρίσκονται ο Ήλιος, η Σελήνη, οι πέντε πλανήτες και τα σταθερά άστρα. Κάθε σφαίρα περιστρέφεται γύρω από διαφορετικό άξονα, με διαφορετικό ρυθμό, αλλά όλες με κέντρο τη Γη, το λεγόμενο γεωκεντρικό σύστημα. Η θεωρία αυτή διατηρήθηκε για περίπου 2000 χρόνια με υποστηρικτές τον Πλάτωνα, τον Αριστοτέλη και τον Πτολεμαίο. Η θεώρηση για το ηλιοκεντρικό σύστημα πρωτοεμφανίζεται με τον φιλόσοφο Αρίσταρχο τον Σάμιο (310-230 π.χ.), που δίδαξε ότι η κυκλική κίνηση είναι η μόνη τέλεια και φυσική κίνηση, και συνεπώς τα ουράνια σώματα κινούνται αναγκαστικά σε κύκλους, ενώ πρότεινε, επίσης, ότι και η Γη περιστρέφεται γύρω από τον Ήλιο μεταξύ της Αφροδίτης και του Άρη. Οι πλανήτες περιστρέφονται σε κυκλικές τροχιές ή σε συνδυασμούς μικρότερων κύκλων, που κινούνται γύρω από μεγαλύτερους. Η θεώρηση ήταν αντίθετη στην κοινή φιλοσοφική πεποίθηση ότι η Γη ήταν το κέντρο του σύμπαντος και κατά συνέπεια δεν βρήκε ανταπόκριση. Έπρεπε να περάσουμε στην εποχή της Αναγέννησης, όπου ένας Πολωνός, ο Nicolaus Copernicus (1473-1543) ξεκίνησε τη μεγάλη επανάσταση που δημοσίευσε λίγο πριν το θάνατό του, καθώς τεκμηρίωσε και θεμελίωσε επιστημονικά το ηλιοκεντρικό σύστημα, προκαλώντας αντίστοιχα μεγάλες αντιδράσεις. Τη συνέχεια των πειραμάτων παρατήρησης της κίνησης των πλανητών ανέλαβε ο Tycho Brahe (1546-1601), ο οποίος ήταν ένας Δανός ευγενής και αριστοκράτης επιστήμονας εξαιρετικής ευφυΐας και ιδιαίτερα σχολαστικός στη συλλογή και καταγραφή δεδομένων ακριβείας για τη θέση των πλανητών. Χαρακτηρίζονταν, όμως, από παντελή έλλειψη θεωρητικής κατάρτισης και μαθηματικής δύναμης, γεγονός που του στερούσε τη δυνατότητα εκμετάλλευσης των πειραματικών του δεδομένων. Ο βοηθός του Tycho, Johann Kepler (1571-1630) ήταν ένας φτωχός και φιλάσθενος μαθηματικός, ακατάλληλος για ακριβείς παρατηρήσεις, προικισμένος όμως με υπομονή και έμφυτη μαθηματική αντίληψη, που απαιτούνταν για την ανακάλυψη των μυστικών που κρύβονταν στα δεδομένα του Tycho. Ο Kepler υποστήριζε τη θεωρία του Κοπέρνικου και ανακάλυψε ότι η κίνηση των πλανητών δεν ήταν κύκλος, αλλά έλλειψη. 2-1

Η μελέτη των τροχιών και οι τροχιές των δορυφόρων και των οχημάτων εκτόξευσης ενός δορυφόρου είναι το πιο θεμελιώδες θέμα του αντικειμένου της δορυφορικής τεχνολογίας και, ίσως, το πιο σημαντικό. Είναι σημαντικό, διότι δίνει μια εικόνα για τις επιχειρησιακές πτυχές αυτής της υπέροχης τεχνολογίας. Η κατανόηση της δυναμικής των τροχιών θα δώσει μια σαφή βάση για την αντιμετώπιση θεμάτων, όπως οι τύποι των τροχιών και η καταλληλότητά τους για μια συγκεκριμένη εφαρμογή, η σταθεροποίηση της τροχιάς, η τροχιά διόρθωσης και διατήρηση του σταθμού, απαιτήσεις εκτόξευσης και τυπικές τροχιές εκκίνησης για διάφορες τροχιές, η κάλυψη της Γης και ούτω καθεξής. Η εξήγηση της κίνησης των πλανητών, των άστρων και του σύμπαντος τα τελευταία χρόνια έφεραν νέες ανακαλύψεις. Τις ανακαλύψεις αυτές εκμεταλλεύθηκαν οι επιστήμονες για τον ακριβή προσδιορισμό των δορυφορικών τροχιών και των γωνιών σκόπευσης, τους ακριβείς υπολογισμούς των δορυφόρων, των διαταράξεων που μπορούν να προκληθούν στην τροχιά, καθώς και τα εμπόδια σε θέματα ενέργειας. Οι τροχιακές θέσεις του διαστημικού οχήματος σε ένα δορυφορικό σύστημα επικοινωνιών διαδραματίζουν σημαντικό ρόλο στον καθορισμό της κάλυψης και τα λειτουργικά χαρακτηριστικά των υπηρεσιών που παρέχονται από το σύστημα αυτό. Αυτό το κεφάλαιο περιγράφει τα γενικά χαρακτηριστικά των δορυφορικών τροχιών και συνοψίζει τα χαρακτηριστικά των πιο δημοφιλών τροχιών για εφαρμογές επικοινωνιών. 2.2 Οι νόμοι κίνησης των πλανητών και των δορυφόρων Οι ακριβείς παρατηρήσεις του Tycho, που είχε στα χέρια του ο Kepler, δεν εναρμονίζονταν με τις υπάρχουσες θεωρήσεις. Από το 1601 ως το 1606 προσπαθούσε να προσαρμόσει διάφορες γεωμετρικές καμπύλες στα δεδομένα του Tycho για τις θέσεις του Άρη. Μετά από προσπάθειες ενός χρόνου, ώστε να αφαιρέσει μια απόκλιση της τάξης των 8 λεπτών του τόξου, ο Kepler ανακάλυψε την προσαρμογή στην έλλειψη. Το 1609 δημοσιεύει τους δύο πρώτους νόμους του για την κίνηση των πλανητών και το 1619 ακολουθεί ο τρίτος νόμος. Οι τρεις αυτοί νόμοι αποτελούν σημαντικό ορόσημο στη μαθηματική θεωρία και θέτουν τις βάσεις για τις σημαντικές ανακαλύψεις του Newton, 50 χρόνια αργότερα (Newton, 1665). Οι νόμοι περιγράφονται στον Πίνακα 2.1 και ειδικότερα ο 1 ος Νόμος του Kepler απεικονίζεται στο Σχήμα 2.1 με τους ορισμούς των παραμέτρων της έλλειψης, ενώ ο 2 ος Νόμος του Kepler απεικονίζεται στο Σχήμα 2.2, όπου η σκιασμένη επιφάνεια Α 1=Α 2. Πρώτος Νόμος (1602) Δεύτερος Νόμος (1605) Τρίτος Νόμος (1618) Πίνακας 2.1 Οι Νόμοι του Kepler Οι πλανήτες κινούνται σε ένα επίπεδο και οι τροχιές που διαγράφουν είναι ελλείψεις, με τον Ήλιο σε μια εστία. Το ακτινικό διάνυσμα από τον Ήλιο στον πλανήτη καλύπτει (σαρώνει) ίσες επιφάνειες σε ίσους χρόνους. Ο λόγος του τετραγώνου της περιόδου (Τ) της περιστροφής ενός πλανήτη γύρω από τον Ήλιο, προς τον κύβο του μεγάλου ημιάξονα (a) της έλλειψης, είναι ο ίδιος για όλους τους πλανήτες. (Ο λόγος (T 2 /a 3 ) είναι σταθερός). 2-2

Σχήμα 2.1 Ο 1 ος Νόμος του Kepler Σχήμα 2.2 Ο 2 ος Νόμος του Kepler Οι Νόμοι του Kepler για τις κινήσεις των πλανητών ακολουθήθηκαν για την κίνηση των δορυφόρων της Γης. Η κίνηση των δορυφόρων γύρω από τη Γη ακολουθεί κατά προσέγγιση τους νόμους τους Kepler, με τις ακόλουθες υποθέσεις: Η μάζα m του δορυφόρου είναι μικρή σε σχέση με τη μάζα M της Γης ( m M ), που υποτίθεται είναι σφαιρική και ομογενής. Η κίνηση συμβαίνει στον ελεύθερο χώρο. Τα μόνα σώματα που υπάρχουν είναι ο δορυφόρος και η Γη. 2-3

Η πραγματική κίνηση πρέπει να λάβει υπόψη το γεγονός ότι η Γη δεν είναι ούτε σφαιρική ούτε ομογενής, όπως επίσης την έλξη του Ήλιου, της Σελήνης και άλλων ουράνιων σωμάτων, καθώς και άλλες δυνάμεις που τη διαταράσσουν. Έτσι, το πρόβλημα των δύο σωμάτων για τον υπολογισμό της κίνησης των πλανητών γενικότερα, και των δορυφόρων ειδικότερα, είχε κάποιες απλοποιητικές παραδοχές. Τα σώματα είναι σφαιρικώς συμμετρικά, ώστε να μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η μάζα τους είναι συγκεντρωμένη στα κέντρα τους. Επίσης, δεν υπάρχουν εξωτερικές ή εσωτερικές δυνάμεις που να επιδρούν στο σύστημα, εκτός των δυνάμεων βαρύτητας που δρουν στον άξονα που ενώνει τα κέντρα των δύο σωμάτων (κεντρικές δυνάμεις). Video 2.1 Νόμοι Kepler, Περιγραφή των νόμων του Kepler με εφαρμογή στις δορυφορικές τροχιές. http://www.youtube.com/watch?v=lm9ej-ymxto&nr=1 Τη θεωρία της πλανητικής κίνησης ήρθε να εξιχνιάσει ο Isaac Newton (1642 1727) ο οποίος συνέλαβε, μεταξύ άλλων, τον Νόμο της Βαρύτητας και τους Νόμους της Κίνησης. Οι νόμοι, όμως, του Kepler στηρίζονταν σε πειραματικά και θεωρητικά δεδομένα, ενώ δεν εξηγούσαν τον τρόπο της κίνησης των πλανητών. Οι νόμοι του Newton από την άλλη πλευρά χαρακτηρίζουν τις δυνάμεις, που αναγκάζουν τους δορυφόρους να ακολουθούν τροχιές που υπακούουν στους νόμους του Kepler. Στο πρώτο βιβλίο της Principia, o Newton εισάγει τους 3 Νόμους της Κίνησης. Πρώτος Νόμος (Αδράνειας) Δεύτερος Νόμος Τρίτος Νόμος Πίνακας 2.2 Οι Νόμοι του Newton Κάθε σώμα παραμένει σε αδράνεια ή συνεχίζει την ομοιόμορφη κίνησή του σε ευθεία γραμμή, εκτός αν εξαναγκασθεί σε αλλαγή της κατάστασης από εξωτερικές δυνάμεις. Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής είναι ανάλογος της δύναμης που ασκείται και είναι στην ίδια κατεύθυνση με τη δύναμη (F=ma). Σε κάθε Δράση αντιστοιχεί και μια ίση και αντίθετη Αντίδραση. Ο Νεύτωνας έδειξε ότι ο 2 ος Νόμος του Kepler ισχύει, αν στους πλανήτες ασκείται ελκτική δύναμη με κατεύθυνση ένα κεντρικό σημείο, τον Ήλιο. Για να ικανοποιείται ο 1 ος Νόμος του Kepler, η δύναμη έπρεπε να είναι αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης πλανήτη-ήλιου. Για να ισχύει ο 3 ος Νόμος του Kepler, έπρεπε η δύναμη να είναι ανάλογη της μάζας του πλανήτη. Οι νόμοι του Νεύτωνα για την κίνηση μπορούν να συμπτυχθούν σε τέσσερις εξισώσεις (Pratt, Bostian & Allnutt, 2009): όπου: s είναι η απόσταση που έχει διανυθεί από τη στιγμή t=0, u είναι η αρχική ταχύτητα τη t=0, v η τελική ταχύτητα τη χρονική στιγμή t, a είναι η επιτάχυνση, F η δύναμη, m η μάζα του σώματος. s = ut + 1 2 at 2 (2.1) v 2 = u 2 + 2as (2.2) v = u + at (2.3) F = ma (2.4) Από τις τελευταίες εξισώσεις, η τελευταία είναι αυτή που μας βοηθά να κατανοήσουμε την κίνηση ενός δορυφόρου σε σταθερή τροχιά. Οι νόμοι του Newton χαρακτηρίζουν τις δυνάμεις που αναγκάζουν τους δορυφόρους να ακολουθούν τροχιές και υπακούουν στους νόμους του Kepler. Ο νόμος της βαρύτητας του Newton περιγράφει τη δύναμη έλξης μεταξύ δύο σωμάτων ως μέγεθος ανάλογο των μαζών τους και αντιστρόφως ανάλογο του τετραγώνου της μεταξύ τους απόστασης, σύμφωνα με τη σχέση: 2-4

(2.5) όπου: η ελκτική δύναμη που ασκείται στη μάζα m από τη μάζα Μ (είναι και ο λόγος ύπαρξης του αρνητικού προσήμου), r η απόσταση μεταξύ των μαζών, το διάνυσμα με κατεύθυνση από τη μάζα Μ στη μάζα m, G είναι η Παγκόσμια Σταθερά της Βαρύτητας, G=6,672x10-11 kg -1 m 3 sec -2, M είναι η μάζα της Γης, Μ=5,974x10 24 kg, m η μάζα του δορυφόρου, μ=gm=3,986x10 14 m 3 sec -2. Σε σταθερή τροχιά, υπάρχουν δύο κύριες δυνάμεις που ενεργούν σε έναν δορυφόρο: μια κεντρομόλος δύναμη (F in), λόγω της βαρυτικής έλξης του πλανήτη γύρω από τον οποίο περιστρέφεται ο δορυφόρος, η οποία προσπαθεί να τραβήξει τον δορυφόρο κάτω, προς τον πλανήτη και μια φυγόκεντρος δύναμη (F out) λόγω της κινητικής ενέργειας του δορυφόρου, η οποία προσπαθεί να ωθήσει τον δορυφόρο σε μια υψηλότερη τροχιά. Αν αυτές οι δύο δυνάμεις είναι ίσες, τότε ο δορυφόρος θα παραμείνει σε σταθερή τροχιά. Στο Σχήμα 2.3 απεικονίζεται ο δορυφόρος με μάζα m που κινείται με ταχύτητα v στο επίπεδο της τροχιάς. Για να υπάρχει σταθερή τροχιά, θα πρέπει: (2.6) Σχήμα 2.3 Νόμος κίνησης του Newton για σταθερή τροχιά Αυτό το αποτέλεσμα δίνει την ταχύτητα που απαιτείται για να διατηρηθεί ένας δορυφόρος σε τροχιά ακτίνας r. Να σημειωθεί ότι για την παραπάνω συζήτηση, έχουν αμεληθεί όλες οι άλλες δυνάμεις που δρουν 2-5

στον δορυφόρο, όπως οι δυνάμεις βαρύτητας από το φεγγάρι, τον Ήλιο, και από άλλους πλανήτες και σώματα (Sellers, 1996). Αν η τροχιά ήταν κυκλική, η απόσταση που διανύεται από έναν δορυφόρο σε μία τροχιά γύρω από έναν πλανήτη είναι 2πr, όπου r είναι η ακτίνα της τροχιάς από τον δορυφόρο μέχρι το κέντρο του πλανήτη. Αν η απόσταση διαιρεθεί με την ταχύτητα, τότε θα προκύψει ο χρόνος που απαιτείται για να διανυθεί η απόσταση, ο οποίος κατά συνέπεια θα είναι η περίοδος της τροχιάς του. Άρα: T = 2pr v = 2pr Þ T = 2pr3/2 m m r (2.7) Στον Πίνακα 2.3 απεικονίζεται το ύψος, η τροχιακή ταχύτητα και η περίοδος για διάφορα δορυφορικά συστήματα. Υπογραμμίζεται ότι η μέση ακτίνα της Γης είναι 6.378,137km και η ακτίνα ενός γεωστατικού δορυφόρου (GEO) από το κέντρο της Γης είναι 42.164,17km. Δορυφορικό Ύψος Ταχύτητα Τροχιακή Περίοδος Σύστημα (km) (km/s) h min sec Intelsat (GEO) 35.786,03 3,0747 23 56 4,1 New-ICO (MEO) 10.255 4,8954 5 55 48,4 Skybridge (LEO) 1.469 7,1272 1 55 17,8 Iridium (LEO) 780 7,4624 1 40 27,0 Πίνακας 2.3 Τροχιακή ταχύτητα, ύψος και περίοδος δορυφορικών συστημάτων Video 2.2 Λειτουργία Δορυφόρων, Περιγραφή των διαδικασιών λειτουργίας και ελέγχου των δορυφόρων. http://www.youtube.com/watch?v=j4ggalzv8tm&feature=related 2.3 Συστήματα συντεταγμένων Στην παράγραφο αυτή παρατίθενται τα συστήματα συντεταγμένων που είναι χρήσιμα στις δορυφορικές ζεύξεις, και προέρχονται από τον τομέα της Αστροφυσικής. 2.3.1 Ηλιοκεντρικό σύστημα συντεταγμένων Το ηλιοκεντρικό σύστημα συντεταγμένων (Σχήμα 2.4) χρησιμοποιείται στην περιγραφή της κίνησης των πλανητών στο ηλιακό σύστημα. Το κέντρο του συστήματος είναι ο Ήλιος, και το βασικό επίπεδο xy, συμπίπτει με το επίπεδο της τροχιάς της Γης γύρω από τον Ήλιο. Ο άξονας x ορίζεται από τη θέση της Γης κατά την εαρινή ισημερία, ενώ ο άξονας y λαμβάνεται ανατολικά του x και ο z άξονας έχει τη θετική του κατεύθυνση προς βορρά. 2-6

Σχήμα 2.4 Ηλιοκεντρικό σύστημα συντεταγμένων 2.3.2 Γεωκεντρικό σύστημα συντεταγμένων Ήταν το αρχικό σύστημα συντεταγμένων που θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για την περιγραφή της σχέσης μεταξύ της Γης και ενός δορυφόρου. Το βασικό επίπεδο xy ταυτίζεται στην περίπτωση αυτή με το επίπεδο του ισημερινού, ενώ το κέντρο του συστήματος ταυτίζεται με το κέντρο της Γης. Ο άξονας x ορίζεται από τη θέση της Γης κατά την κατεύθυνση της εαρινής ισημερίας. Η κατεύθυνση είναι πάντα η ίδια, όποια και να είναι η θέση της Γης γύρω από τον Ήλιο και βρίσκεται στην κατεύθυνση του πρώτου σημείου του Κριού (first point of Aries). Το πρώτο σημείο του Κριού είναι η κατεύθυνση μιας γραμμής από το κέντρο τη Γης μέχρι το κέντρο του Ήλιου στην εαρινή ισημερία (περίπου 21 Μαρτίου στο βόρειο ημισφαίριο). Ο άξονας y λαμβάνεται ανατολικά του x και ο z είναι ο περιστροφικός άξονας που έχει τη θετική του κατεύθυνση προς τον γεωγραφικό βόρειο πόλο. Το γεωκεντρικό σύστημα συντεταγμένων φαίνεται στο Σχήμα 2.5. Αυτό το σύστημα συντεταγμένων κινείται στον χώρο, δηλαδή μετατοπίζεται, καθώς η Γη κινείται στην τροχιά της γύρω από τον Ήλιο, αλλά δεν περιστρέφεται, καθώς η Γη περιστρέφεται. 2-7

Σχήμα 2.5 Γεωκεντρικό σύστημα συντεταγμένων 2.3.3 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Στο σύστημα αυτό το βασικό επίπεδο x oy o καθορίζεται ως το τροχιακό επίπεδο της κίνησης του δορυφόρου γύρω από τη Γη, ενώ το κέντρο του συστήματος ταυτίζεται με αυτό της Γης (Σχήμα 2.6). Ο άξονας x o είναι στην κατεύθυνση του περίγειου (θέση ελάχιστης απόστασης από τη Γη του δορυφόρου επί του μεγάλου άξονα της ελλειπτικής τροχιάς), ενώ ο άξονας y o περιστρέφεται κατά 90 o κατά την κατεύθυνση της τροχιάς του δορυφόρου. Τέλος, ο άξονας z o συμπληρώνει ένα δεξιόστροφο τρισορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, ο οποίος είναι κάθετος στο τροχιακό επίπεδο και διαφορετικός από τον γεωγραφικό άξονα z της Γης. Η μόνη περίπτωση να συμπίπτουν αυτοί οι δύο άξονες είναι η περίπτωση της γεωστατικής τροχιάς. 2-8

Σχήμα 2.6 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων 2.3.4 Πολικό σύστημα συντεταγμένων Η θέση ενός δορυφόρου σε σχέση με ένα σημείο πάνω στη Γη, καθορίζεται συνήθως με το λεγόμενο πολικό σύστημα συντεταγμένων του συγκεκριμένου σημείου πάνω στο τροχιακό επίπεδο, όπως απεικονίζεται στο Σχήμα 2.7. Το επίπεδο της τροχιάς συμπίπτει με το επίπεδο του βιβλίου. Ως κέντρο του συστήματος συντεταγμένων λαμβάνεται το κέντρο της Γης και ο άξονας z o διέρχεται από το επίπεδο του βιβλίου από το κέντρο της Γης και είναι κάθετος στο τροχιακό επίπεδο. Η θέση του δορυφόρου περιγράφεται από την ακτίνα από το κέντρο της Γης r o και τη γωνία f o που δημιουργείται με τον άξονα x o (Pratt, Bostian & Allnutt, 2009). Σχήμα 2.7 Πολικό σύστημα συντεταγμένων 2.4 Βασικές αρχές τροχιάς δορυφόρου Με βάση το γεωκεντρικό σύστημα συντεταγμένων η βαρυτική δύναμη, που ασκείται στον δορυφόρο, δίνεται από την εξίσωση (2.5). Όμως, επειδή η δύναμη ισούται με μάζα x επιτάχυνση, ισχύει: (2.8) Από τις εξισώσεις (2.5) και (2.8) έχουμε: (2.9) που είναι μία γραμμική διαφορική εξίσωση 2 ης τάξης και η λύση της περιλαμβάνει 6 σταθερές που καλούνται τροχιακά στοιχεία. Επειδή είναι δύσκολη η επίλυση της εξίσωσης (2.9), μπορεί να χρησιμοποιηθεί το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, οπότε η εξίσωση (2.9) γίνεται: 2-9

æ ˆx o è ç d 2 x o dt 2 ö ø + ŷ æ o è ç d 2 y o dt 2 ( ) ö ø + m x ˆx o o + y o ŷ o x 2 2 o + y o ( ) 3/2 = 0 (2.10) Με αλλαγή σε πολικές συντεταγμένες, και χρησιμοποιώντας τους μετασχηματισμούς: x o = r o cos( f o ) y o = r o sin( f o ) ˆx o = ˆr o cos( f o ) - ˆf o sin( f o ) ŷ o = ˆf o cos( f o ) + ˆr o sin( f o ) (2.11) και αντικαθιστώντας την εξίσωση (2.11) στην (2.10) παίρνουμε το σύστημα: d 2 r o dt 2 r o æ è ç - r æ o è ç d 2 f o dt 2 df o dt ö ø = - m r o 2 ö ø + 2 æ dr o ö æ è ç dt ø è ç df o dt ö ø = 0 (2.12) η λύση του οποίου δίνει την εξίσωση της τροχιάς ενός δορυφόρου, σύμφωνα με τη σχέση (Pratt, Bostian & Allnutt, 2009): p r o = 1+ ecos f o -q o ( ) (2.13) όπου θ ο είναι μία σταθερά που χρησιμεύει για τον προσανατολισμό της έλλειψης σε σχέση με τους άξονες του τροχιακού επιπέδου x oy o, p είναι η παράμετρος semi-latus rectum που δίνεται από p = h2 m, όπου h είναι το μέτρο της ειδικής στροφορμής του δορυφόρου και e είναι η εκκεντρότητα, που καθορίζει τον τύπο της κωνικής τομής (η καμπύλη της τομής ενός επιπέδου και ενός ορθού κυκλικού κώνου): αν e=0 τότε κύκλος, αν 0<e<1 τότε έλλειψη, αν e=1 τότε παραβολή και αν e>1 τότε υπερβολή. Για κάθε ελλειπτική κίνηση, ο νόμος της διατήρησης της ενέργειας ισχύει σε όλα τα σημεία της τροχιάς. Ο νόμος της διατήρησης της ενέργειας δηλώνει ότι η ενέργεια δεν μπορεί ούτε να δημιουργηθεί, ούτε να καταστραφεί και μπορεί να μετατραπεί μόνο από τη μία μορφή στην άλλη. Στο πλαίσιο των δορυφόρων, αυτό σημαίνει ότι το άθροισμα της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας ενός δορυφόρου παραμένει πάντα σταθερό. Η τιμή αυτής της σταθεράς είναι ίση με - GMm, όπου a είναι ο μεγάλος ημιάξονας της τροχιάς. 2a Η κινητική και δυναμική ενέργεια ενός δορυφόρου σε οποιοδήποτε σημείο της τροχιάς και σε απόσταση r από το κέντρο της Γης δίνεται από: Kinhtikh Energeia = 1 2 mv 2 s Dunamikh Energeia = - GMm r (2.14) (2.15) Οπότε η ταχύτητα του δορυφόρου σε κάθε θέση της τροχιάς προκύπτει: 2-10

1 2 mv 2 s - GMm = - GMm r 2a Þ v = 2m s r - m a (2.16) όπου σε περίπτωση κυκλικής τροχιάς (e=0), η ταχύτητα γίνεται (r=a): v s = m r (2.17) Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η μηχανική ενέργεια του δορυφόρου (που είναι το άθροισμα κινητικής και δυναμικής ενέργειας) παραμένει σταθερή. Η δυναμική ενέργεια αυξάνεται στις θέσεις μεγάλης απόστασης από το σημείο έλξης (Γη) με ταυτόχρονη μείωση της κινητικής ενέργειας (και κατά συνέπεια της ταχύτητας του δορυφόρου). Αντίθετα, σε μικρότερες αποστάσεις η κινητική ενέργεια αυξάνεται σε βάρος της δυναμικής. 2.4.1 Παράμετροι της τροχιάς Όταν δημιουργούμε την ελλειπτική τροχιά, μπορούμε να επιλέγουμε τους άξονες του τροχιακού επιπέδου x o και y o τέτοιους, ώστε η σταθερά θ ο να είναι μηδέν. Δηλαδή, έχουμε επιλέξει τον άξονα x ο, έτσι ώστε τόσο το απόγειο όσο και το περίγειο να βρίσκονται κατά μήκος του και ο άξονας x o είναι, επομένως, ο μεγάλος άξονας της έλλειψης. Έτσι, η εξίσωση της τροχιάς δίνεται ως: p r o = 1+ ecos f o ( ) (2.18) Η εικόνα της πορείας ενός δορυφόρου που βρίσκεται σε τροχιά γύρω από τη Γη απεικονίζεται στο Σχήμα 2.8. Οι παράμετροι της τροχιάς, που χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν τη θέση της τροχιάς σε σχέση με τη Γη, συνοψίζονται παρακάτω. Η έλλειψη έχει μεγάλο ημι-άξονα α και μικρό ημι-άξονα b. Η εκκεντρότητα της ελλειπτικής τροχιάς e χαρακτηρίζει τη μορφή της και δίνεται από τη σχέση: e = c, 0 e 1 (2.19) a όπου c η απόσταση της Γης από το κέντρο της έλλειψης και η παράμετρος p ισούται με p = a( 1- e 2 ) (2.20) Οπότε, αντικαθιστώντας την εξίσωση (2.20) στην εξίσωση της τροχιάς, έχουμε: ( ) a 1- e2 r o = 1+ ecos f o ( ) (2.21) Από το Σχήμα 2.8 προκύπτουν οι σχέσεις: a 2 = b 2 + c 2 Þ c = a 2 - b 2 (2.22) b = a 1- e 2 (2.23) Δύο χαρακτηριστικά σημεία της τροχιάς ενός δορυφόρου, είναι το περίγειο, που είναι το σημείο της ελάχιστης απόστασης από τη Γη ( ) 2-11

(2.24) και το απόγειο, που είναι το σημείο μέγιστης απόστασης από τη Γη ( ) (2.25) Μπορούν να προκύψουν και άλλες σχέσεις που συνδυάζουν το απόγειο, το περίγειο και τις παραμέτρους της έλλειψης, οι οποίες συνοψίζονται παρακάτω: e = r a - r p r a + r p (2.26) æ e = 1- b ö è ç aø (2.27) r p + r a = 2a (2.28) r p - r a = 2c (2.29) Όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως, η περίοδος της ελλειπτικής τροχιάς προκύπτει εξισώνοντας την επιφάνεια της έλλειψης (πab) με την επιφάνεια, που καλύπτεται σε μία τροχιακή περιστροφή, και είναι: T = 2p a3 m (2.30) και σε περίπτωση κυκλικής τροχιάς, εξειδικεύεται σε: T = 2p ( R E + h) 3 m (2.31) όπου R E είναι η ακτίνα της Γης και h το ύψος του δορυφόρου πάνω από την επιφάνεια της Γης. Με βάση τον 2 ο Νόμο του Kepler και το θεώρημα διατήρησης της ορμής, η συνιστώσα της ταχύτητας του δορυφόρου στην κάθετη κατεύθυνση προς το ακτινικό διάνυσμα, που εκφράζεται ως v s cos( g ), όπου γ είναι η γωνία μεταξύ της κατεύθυνσης της κίνησης του δορυφόρου και του τοπικού οριζόντια, πολλαπλασιασμένη με το ακτινικό διάνυσμα r (Σχήμα 2.8), είναι σταθερή. Ο πολλαπλασιασμός εκφυλίζεται σε rv s στην περίπτωση της κυκλικής τροχιάς, καθώς και στα σημεία του απόγειου και περίγειου στην περίπτωση των ελλειπτικών τροχιών, λόγω του ότι η γωνία γ γίνεται μηδέν. Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί εδώ ότι η συνιστώσα της ταχύτητας v s είναι αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης r. Ποιοτικά αυτό σημαίνει ότι ο δορυφόρος είναι σε χαμηλότερη ταχύτητα στο σημείο του απογείου και σε υψηλότερη ταχύτητα στο σημείο του περιγείου. Με άλλα λόγια, για κάθε δορυφόρο σε μια ελλειπτική τροχιά, το προϊόν του εσωτερικού γινομένου του διανύσματος της ταχύτητας του με το διάνυσμα της ακτίνας σε όλα τα σημεία είναι σταθερό. Ως εκ τούτου: όπου v p είναι η ταχύτητα του δορυφόρου στο σημείο του περιγείου, v p r p = v a r a = v s r cos( g ) (2.32) 2-12

r p είναι η απόσταση του περιγείου, v a είναι η ταχύτητα του δορυφόρου στο σημείο του απογείου, r a είναι η απόσταση του απογείου, v s είναι η ταχύτητα του δορυφόρου σε οποιοδήποτε σημείο της τροχιάς, r είναι η απόσταση του δορυφόρου από το κέντρο της Γης σε οποιοδήποτε σημείο της τροχιάς, g είναι η γωνία μεταξύ της κατεύθυνσης της κίνησης του δορυφόρου και του τοπικού ορίζοντα. Σχήμα 2.8 Οι παράμετροι της τροχιάς ενός δορυφόρου Οι κυριότερες παράμετροι της τροχιάς, που λαμβάνουμε υπόψη για τους υπολογισμούς της κίνησης των δορυφόρων, παρουσιάζονται στη συνέχεια. Απόγειο (r a). Το πιο απομακρυσμένο σημείο από τη Γη. Μετριέται από το κέντρο της Γης. Περίγειο (r p). Το πιο κοντινό σημείο στη Γη. Μετριέται από το κέντρο της Γης. Γραμμή των αψίδων. Η γραμμή που ενώνει το περίγειο και απόγειο μέσα από το κέντρο της Γης. Γραμμή των κόμβων. Είναι η τομή του τροχιακού επιπέδου με το ισημερινό επίπεδο. Η γραμμή που ενώνει δύο σημεία της τροχιάς που ονομάζονται κόμβοι μέσα από το κέντρο της Γης. Ανοδικός κόμβος. Το σημείο της τροχιάς που ανήκει στη γραμμή των κόμβων στην κατεύθυνση που ο δορυφόρος περνά από το επίπεδο του ισημερινού με κατεύθυνση από Νότο προς Βορρά. Καθοδικός κόμβος. Το σημείο της τροχιάς που ανήκει στη γραμμή των κόμβων στην κατεύθυνση που ο δορυφόρος περνά από το επίπεδο του ισημερινού με κατεύθυνση από Βορρά προς Νότο. Έγκλιση (i). Η γωνία μεταξύ του τροχιακού επιπέδου και του επιπέδου του ισημερινού της Γης. Έχει μετρηθεί στον ανοδικό κόμβο από τον ισημερινό προς την τροχιά, με κατεύθυνση από την Ανατολή προς το 2-13

Βορρά. Ένας δορυφόρος, που βρίσκεται σε τροχιά στο ισημερινό επίπεδο (i=0 o ), είναι σε ισημερινή τροχιά. Ένας δορυφόρος, που έχει γωνία κλίσης 90 o σε σχέση με το ισημερινό επίπεδο, βρίσκεται σε πολική τροχιά. Η τροχιά μπορεί να είναι ελλειπτική ή κυκλική, ανάλογα με την τροχιακή ταχύτητα και την κατεύθυνση της κίνησης που προσδίδεται στον δορυφόρο κατά την εισαγωγή του σε τροχιά. Ορθή τροχιά (prograde orbit). Είναι μια τροχιά στην οποία ο δορυφόρος κινείται προς την ίδια κατεύθυνση, όπως η περιστροφή της Γης, δηλαδή ανατολικά, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.9. Η τροχιά είναι, επίσης, γνωστή ως άμεση τροχιά (direct orbit) ή μη-ανάδρομη. Η κλίση της ορθής τροχιάς βρίσκεται πάντα μεταξύ 0 και 90. Οι περισσότεροι δορυφόροι μπαίνουν σε κίνηση σε ορθή τροχιά, επειδή η ταχύτητα περιστροφής της Γης παρέχει μέρος της τροχιακής ταχύτητας, με αποτέλεσμα την εξοικονόμηση ενέργειας εκτόξευσης. Ανάδρομη τροχιά (retrograde orbit). Είναι μια τροχιά στην οποία ο δορυφόρος κινείται σε αντίθετη κατεύθυνση με την περιστροφή της Γης, δηλαδή δυτικά, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.9. Η κλίση της ανάδρομης τροχιάς βρίσκεται πάντοτε μεταξύ 90 και 180. Σχήμα 2.9 Ορθή και ανάδρομη τροχιά ενός δορυφόρου Αληθής Ανωμαλία (f o ). Η γωνία μεταξύ της διεύθυνσης του περιγείου και της διεύθυνσης του δορυφόρου. Μετράται από τον άξονα x o, που θεωρείται ότι διέρχεται από το περίγειο (Σχήμα 2.8). Είναι θετική στην κατεύθυνση κίνησης του δορυφόρου (0 ο -360 ο ). Εκκεντρική Ανωμαλία (Ε). Η γωνία που σχηματίζεται από τη διεύθυνση του περιγείου και την ακτίνα του κύριου κύκλου που διέρχεται από το σημείο του κύριου κύκλου που τέμνει η ευθεία που διέρχεται από τον δορυφόρο και είναι κάθετη στον μεγάλο ημι-άξονα (Σχήμα 2.8). Μπορεί να υπολογιστεί από τις εξισώσεις: ( ) ( ) cose = e + cos f o 1+ ecos f o (2.33) æ tan E ö è ç 2 ø = 1- e 1+ e tan æ f o ö è ç 2 ø (2.34) Εισάγοντας την εκκεντρική ανωμαλία στην εξίσωση της τροχιάς, προκύπτει: r o = aéë 1- ecos( E) ù û (2.35) 2-14

Ορθή Άνοδος του Ανοδικού Κόμβου (Ω) (Right Ascension of Ascending Node, RAAN). Είναι η γωνία που σχηματίζεται από τον άξονα Οx o, δηλαδή την κατεύθυνση της εαρινής ισημερίας και του διανύσματος που ενώνει το κέντρο της Γης με τον Ανοδικό Κόμβο (Σχήμα 2.10). Είναι γωνία που εκτιμάται θετική με εύρος από 0 ο ως 360 ο και ουσιαστικά δίνει την περιστροφή του τροχιακού επιπέδου ως προς τον άξονα Οz o, μετρούμενη από τον Ox o. Όρισμα του Περιγείου (ω) (Argument of Perigee). Προσδιορίζει τον προσανατολισμός της τροχιάς στο τροχιακό επίπεδο, ορίζεται από το πού είναι η γωνία μεταξύ της διεύθυνσης του Ανοδικού Κόμβου και της διεύθυνσης του Περιγείου (Σχήμα 2.10). Είναι μια γωνία που εκτιμάται θετική από 0 ο ως 360 ο, στην διεύθυνση κίνησης του δορυφόρου. Κομβική γωνιακή επιμήκυνση (u) (nodal angular elongation). Είναι η γωνία μεταξύ της διεύθυνσης του ανοδικού κόμβου και της διεύθυνσης του δορυφόρου (Σχήμα 2.10). Είναι μια γωνία που εκτιμάται θετική από 0 ο ως 360 ο, στη διεύθυνση κίνησης του δορυφόρου και ισούται με u = w +f o. Σχήμα 2.10 Οι παράμετροι της τροχιάς ενός δορυφόρου στον χώρο Μέση Κίνηση (n). Είναι η μέση γωνιακή ταχύτητα του δορυφόρου με περίοδο Τ στην τροχιά του, που ορίζεται ως: n = 2p T = m (rad/sec) (2.36) 3 a Μέση Ανωμαλία (M). Είναι η αληθής ανωμαλία του δορυφόρου σε μια κυκλική τροχιά της ίδιας περιόδου Τ, που ορίζεται ως: 2-15

æ M = 2p ö è ç T ø t - t p ( ) = n( t - t p ) (rad) (2.37) όπου t p είναι η χρονική στιγμή διέλευσης από το περίγειο. Η μέση ανωμαλία αποτελεί τη γωνία σε ένα μήκος τόξου που θα διασχίσει ο δορυφόρος από τη διέλευσή του από το περίγειο, αν κινούνταν στον περιγεγραμμένο κύκλο με μέση γωνιακή ταχύτητα n. Η μέση ανωμαλία είναι συσχετισμένη με την εκκεντρική ανωμαλία μέσω της εξίσωσης του Kepler: 2.4.2. Θέση του Δορυφόρου στην τροχιά M = E - esin( E) (rad) (2.38) Για τον εντοπισμό της θέσης του δορυφόρου στην τροχιά του, χρειάζεται να γνωρίζουμε την αληθή f o και εκκεντρική ανωμαλία E και τη μέση κίνηση n ή τη μέση ανωμαλία M. Αν γνωρίζουμε τον χρόνο του περιγείου t p, την εκκεντρότητα e και το μήκος του μεγάλου ημι-άξονα a, μπορούμε να υπολογίσουμε τις πολικές συντεταγμένες ( r o,f o ) και τις καρτεσιανές συντεταγμένες ( x o,y o ) του δορυφόρου στο τροχιακό επίπεδο, με την εξής διαδικασία: 1. Υπολογίστε τη μέση κίνηση n, κάνοντας χρήση της εξίσωσης (2.36). 2. Υπολογίστε τη μέση ανωμαλία M, κάνοντας χρήση της εξίσωσης (2.37). 3. Υπολογίστε την εκκεντρική ανωμαλία E από την εξίσωση του Kepler, εξίσωσης (2.38). 4. Υπολογίστε τη θέση της τροχιάς r o από το E, χρησιμοποιώντας την εξίσωσης (2.35). 5. Υπολογίστε την αληθή ανωμαλία f o από την εξίσωση της τροχιάς, εξίσωση (2.21). 6. Υπολογίστε τις συντεταγμένες x o,y o 2.4.3 Θέση του τροχιακού επιπέδου στον χώρο ( ) από τις εξισώσεις (2.11). Η θέση του τροχιακού επιπέδου στον χώρο καθορίζεται μέσω δύο βασικών παραμέτρων: της έγκλισης i και της ορθής ανόδου του ανοδικού κόμβου Ω. 2.4.4 Θέση της τροχιάς στο τροχιακό επίπεδο Η θέση της τροχιάς στο τροχιακό επίπεδο καθορίζεται μέσω μίας βασικής παραμέτρου: του ορίσματος του περιγείου ω. 2.4.5. Συμπέρασμα Συγκεντρωτικά, οι παράμετροι που χρειάζονται για τον προσδιορισμό του τύπου της τροχιάς, την εύρεση της θέσης του δορυφόρου στην τροχιά, της θέσης της τροχιάς στο τροχιακό επίπεδο και της θέσης του τροχιακού επιπέδου στον χώρο, απεικονίζεται στο Σχήμα 2.11. Για τον πλήρη προσδιορισμό της θέσης ενός δορυφόρου απαιτείται η πληροφορία των έξι (6) κατ ελάχιστο τροχιακών στοιχείων, που είναι τα εξής: Γνώση του τύπου της τροχιάς (2 από τις παραμέτρους a, b, c, e, r p, r a). Θέση του δορυφόρου στην τροχιά (Μία από τις Ανωμαλίες-Γωνίες). Θέση της τροχιάς στο τροχιακό επίπεδο (Όρισμα του Περιγείου). Θέση τροχιακού επιπέδου στον χώρο (Έγκλιση και Ορθή Άνοδος του Ανοδικού Κόμβου). 2-16

Σχήμα 2.11 Οι παράμετροι υπολογισμού της τροχιάς του δορυφόρου 2.5 Τροχιά της Γης Η κίνηση της Γης γύρω από τον Ήλιο απεικονίζεται λεπτομερώς στο Σχήμα 2.12 (Maral & Bousquet, 2012). Η Γη κινείται γύρω από τον Ήλιο σε ελλειπτική τροχιά, με τον Ήλιο να βρίσκεται στη μία εστία της έλλειψης, και η τροχιά της Γης γύρω από τον Ήλιο τοποθετείται σε ένα νοητό επίπεδο, το επίπεδο της ελλειπτικής. Έχει περίοδο περίπου 365,25 ημέρες, διαγράφοντας μία έλλειψη με εκκεντρότητα ίση με 0,01673 (σχεδόν κύκλος) και έγκλιση 23,44 ο σε σχέση με το ισημερινό επίπεδο. Η λοξότητα αυτή του επιπέδου της ελλειπτικής τροχιάς της Γης μειώνεται κατά 47 της μοίρας ανά αιώνα. Τα συνολικά στοιχεία της κίνησης της Γης γύρω από τον Ήλιο απεικονίζονται στον Πίνακα 2.4. Ο άξονας περιστροφής της Γης δεν κινείται κατά την περιστροφή της Γης γύρω από τον Ήλιο. Κατά συνέπεια, το βόρειο ημισφαίριο κοιτάζει προς τον Ήλιο στη διάρκεια των θερινών μηνών και αντίθετα στη διάρκεια των χειμερινών μηνών. Οι εποχές του έτους οφείλονται στο ότι ο άξονας περιστροφής της Γης γύρω από τον εαυτό της δεν είναι κάθετος στο εκλειπτικό επίπεδο (επίπεδο περιφοράς γύρω από τον Ήλιο), αλλά σχηματίζει γωνία περίπου 23 26 (ήτοι 23,44 ο ), ενώ ο άξονας κρατά την ίδια διεύθυνση στον χώρο. Αυτές οι συνθήκες προκύπτουν από τις διαφορετικές γωνίες, στις οποίες η ηλιακή ακτινοβολία φτάνει στην επιφάνεια της Γης στη διάρκεια του έτους. Το καλοκαίρι η γωνία πρόσπτωσης στο βόρειο ημισφαίριο είναι μεγάλη. Στη διάρκεια των χειμερινών μηνών η γωνία περιορίζεται και ο Ήλιος τοποθετείται σε χαμηλότερο επίπεδο πάνω από τη γραμμή του ορίζοντα. Κατά συνέπεια, η ανατολή του ηλίου σημειώνεται αργότερα και η δύση νωρίτερα στη διάρκεια του χειμώνα στο βόρειο ημισφαίριο. Οι ημέρες είναι μικρές και, εξαιτίας του χαμηλού φωτός του Ήλιου, ψυχρές. Οι εποχές είναι αντίθετες στο βόρειο και στο νότιο ημισφαίριο. 2-17

Σχήμα 2.12 Η κίνηση της Γης γύρω από τον Ήλιο Περίοδος (T) 365,25 ημέρες Εκκεντρότητα (e) 0,01673 Έγκλιση (i) 23,44 ο Μεγάλος ημι-άξονας (a) 149.597.870 Km = 1 Αστρονομική Μονάδα Απόστασης = 1 AU Μικρός ημι-άξονας (b) 0,99986 AU Αφήλιο 1,017 AU Περιήλιο 0,983 AU Πίνακας 2.4 Στοιχεία της τροχιάς της Γης Οι εποχιακές κλιματικές διαφορές οφείλονται στην κλίση της Γης κατά 23,44 σε σχέση με το επίπεδο της τροχιάς. Το βόρειο και το νότιο σημείο τροπής του ηλίου ονομάζονται βόρειος και νότιος τροπικός, ή ο τροπικός του καρκίνου και ο τροπικός του αιγόκερω, αντίστοιχα (Σχήμα 2.13). Η κλίση του ισημερινού επιπέδου της Γης σε σχέση με την κατεύθυνση του Ήλιου, που ορίζεται από τη γωνία που σχηματίζεται από τη γραμμή που ενώνει το κέντρο της Γης και του Ήλιου με επίπεδο του ισημερινού της Γης, ακολουθεί μια ημιτονοειδή διακύμανση και ολοκληρώνει έναν κύκλο της ημιτονοειδούς μεταβολής σε μία περίοδο των 365 ημερών (Σχήμα 2.14). Η ημιτονοειδής μεταβολή της γωνίας κλίσης ορίζεται από: æ i = 23,44sin 2pt ö è ç T ø (2.39) όπου T=365 ημέρες. Αυτή η έκφραση σημαίνει ότι η γωνία έγκλισης είναι μηδέν για t=τ/2 και T. Αυτό έχει παρατηρηθεί ότι συμβαίνει στις 20-21 Μαρτίου, όπου καλείται εαρινή ισημερία, και 22-23 Σεπτεμβρίου, όπου καλείται φθινοπωρινή ισημερία. Οι δύο ισημερίες είναι δικαιολογημένα σε απόσταση 6 2-18

μηνών. Κατά τη διάρκεια των ισημεριών, μπορεί να αποδειχθεί ότι το επίπεδο του ισημερινού της Γης θα πρέπει να ευθυγραμμιστεί με την κατεύθυνση του Ήλιου. Επίσης, η γραμμή της τομής του ισημερινού επιπέδου της Γης με το τροχιακό επίπεδο της Γης που διέρχεται από το κέντρο της Γης είναι γνωστή ως η γραμμή των ισημεριών. Η κατεύθυνση αυτής της γραμμής σε σχέση με την κατεύθυνση του Ήλιου στις 20-21 Μαρτίου προσδιορίζει ένα σημείο στο άπειρο, που ονομάζεται η εαρινή ισημερία (γ) ή το πρώτο σημείο του Κριού (Σχήμα 2.15). Αυτή η φαινόμενη κίνηση του Ήλιου γύρω από τη Γη σε σχέση με το ισημερινό επίπεδο (http://astro.unl.edu/naap/motion3/animations/sunmotions.html), που αναπαριστάνεται από μία διακύμανση στην απόκλιση του Ήλιου, ορίζεται από τη γωνία μεταξύ της διεύθυνσης του Ήλιου και του ισημερινού επιπέδου (23,44 ο ). Σχήμα 2.13 Ετήσια μεταβολή της γωνίας έγκλισης της Γης με τον Ήλιο Σχήμα 2.14 Ετήσια μεταβολή της γωνίας έγκλισης της Γης με τον Ήλιο 2-19

Σχήμα 2.15 Εαρινή ισημερία Τα ηλιοστάσια είναι οι φορές που η γωνία έγκλισης είναι στο μέγιστό της, δηλαδή 23.44 ο (Σχήμα 2.12). Τα ηλιοστάσια συμβαίνουν, επίσης, δύο φορές κατά τη διάρκεια ενός έτους, στις 20-21 Ιουνίου, όπου υπάρχει το θερινό ηλιοστάσιο, και 21-22 Δεκεμβρίου, όπου ονομάζεται χειμερινό ηλιοστάσιο. Η σχέση μεταξύ της απόκλισης του Ήλιου δ και της ημερομηνίας βρίσκεται, θεωρώντας τη φαινόμενη κίνηση του Ήλιου γύρω από τη Γη (Σχήμα 2.16), από τη σχέση: sin( d ) = sin( e )sin( u) (2.40) όπου ε είναι η λοξότητα της Γης (έγκλιση = 23,44 ο ) και u είναι η κομβική γωνιακή επιμήκυνση του Ήλιου, που ισούται με το άθροισμα του ορίσματος του περιγείου του Ήλιου και της αληθούς ανωμαλίας. Το όρισμα του περιγείου του Ήλιου, ω SUN, έχει σταθερή τιμή περίπου ίση με 280 ο, και η αληθής ανωμαλία του Ήλιου εκφράζεται ως συνάρτηση της εκκεντρικής και μέσης ανωμαλίας από την εξίσωση του Kepler (εξίσωση 2.38). Η μέση ανωμαλία προκύπτει από την εξίσωση (2.37), όπου n SUN είναι η μέση κίνηση του Ήλιου, ίση με: (2.41) και t p είναι η χρονική στιγμή διέλευσης από το περιήλιο (περίπου 2 Ιανουαρίου). 2-20

Σχήμα 2.16 Φαινόμενη κίνηση του Ήλιου γύρω από τη Γη 2.5.1 Συντεταγμένες 2.5.1.1 Γήινες συντεταγμένες Κάθε σημείο της επιφάνειας της Γης καθορίζεται από τις γωνιακές του συντεταγμένες, το γεωγραφικό του πλάτος (latitude, l) και μήκος (longitude, L). Το γεωγραφικό πλάτος ενός σημείου είναι η γωνία που σχηματίζεται μεταξύ του ισημερινού επιπέδου και της ευθείας που ενώνει το σημείο με το κέντρο της Γης (γωνία θ Ν του Σχήματος 2.17). Ο δείκτης Ν (North) και S (South) προστίθεται για τον διαχωρισμό των δύο ημισφαιρίων. Από την άλλη πλευρά, το γεωγραφικό μήκος καθορίζεται από τον μεσημβρινό (meridian) που ανήκει το σημείο, σε σχέση με τον μεσημβρινό, που περνάει από τον πρώτο μεσημβρινό γεωγραφικού πλάτους του Greenwich, και λαμβάνεται ως αναφορά 0 (γωνία φ Ε του Σχήματος 2.17). Ο δείκτης Ε (East) ή W (West) προστίθεται και δείχνει, αν το υπό εξέταση σημείο βρίσκεται ανατολικά ή δυτικά του μεσημβρινού που περνάει από το Greenwich (Κωττής & Καψάλης, 2012). 2-21

Σχήμα 2.17 Συντεταγμένες επίγειου σημείου 2.5.1.2 Ισημερινές συντεταγμένες Οι ισημερινές συντεταγμένες ορίζονται με βάση το γεωκεντρικό σύστημα αναφοράς με κέντρο το κέντρο της Γης. Χρησιμεύει για τον εντοπισμό του δορυφόρου σε σχέση με τη Γη και ορίζεται από την ορθή άνοδο α (right ascension) που είναι η γωνία στο ισημερινό επίπεδο που σχηματίζεται από τη διεύθυνση του εαρινού σημείο γ προς την προβολή του μεσημβρινού επιπέδου της διεύθυνσης στο ισημερινό επίπεδο (αυτό το μεσημβρινό επίπεδο περιέχει την υπό εξέταση διεύθυνση και τη γραμμή των πόλων, και είναι κάθετο προς το ισημερινό επίπεδο). Αυτή η γωνία έχει ληφθεί θετική στην κατεύθυνση του ισημερινού επιπέδου λόγω της περιστροφής της Γης (Σχήμα 2.18). Εδώ πρέπει να επισημανθεί ότι στο διάστημα δεν υπάρχει διεύθυνση πάνω ή κάτω, οπότε πρέπει να είμαστε πολύ συγκεκριμένοι στην επεξήγηση της διεύθυνσης και της κίνησης του δορυφόρου. Για τον εντοπισμό χρειάζεται, επίσης, η απόκλιση ζ, η οποία είναι η γωνία στο μεσημβρινό επίπεδο της εξεταζόμενης διεύθυνσης μεταξύ του ισημερινού επιπέδου και της εξεταζόμενης διεύθυνσης (Σχήμα 2.18). Αυτή η γωνία έχει ληφθεί θετικά προς τον βόρειο πόλο. 2-22

Σχήμα 2.18 Ισημερινές συντεταγμένες 2.5.2 Αναφορές χρόνου Ο αστρικός χρόνος είναι ο χρόνος που μετριέται σε σχέση με τα σταθερά αστέρια (Σχήμα 2.19). Θα φανεί ότι μια πλήρης περιστροφή της Γης σε σχέση με τα σταθερά αστέρια δεν είναι μια πλήρης περιστροφή σε σχέση με τον Ήλιο. Αυτό συμβαίνει επειδή η Γη κινείται στην τροχιά της γύρω από τον Ήλιο. Η μέση αστρική ημέρα ορίζεται ως μία πλήρης περιστροφή της Γης σε σχέση με τους απλανείς αστέρες. Ορίζεται ως το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών διελεύσεων ενός σταθερού άστρου ή του εαρινού σημείου γ, από το μεσημβρινό μιας τοποθεσίας και ισούται με την περίοδο περιστροφής της Γης, 23h 56min 4,09sec ή 86.164,09sec. Μια αστρική ημέρα έχει 24 αστρικές ώρες, μία αστρική ώρα έχει 60 αστρικά λεπτά, και ένα αστρικό λεπτό έχει 60 αστρικά δευτερόλεπτα. Πρέπει να λαμβάνεται μέριμνα, ώστε να γίνεται διάκριση μεταξύ του αστρικού χρόνου και του μέσου ηλιακού χρόνου που χρησιμοποιούν τις ίδιες βασικές υποδιαιρέσεις. Η μέση ηλιακή μέρα ορίζεται ως το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών διελεύσεων του Ήλιου από το μεσημβρινό μιας τοποθεσίας, διάρκειας 24h=86400sec. Η μέση ηλιακή μέρα είναι μεγαλύτερη από τη μέση αστρική μέρα κατά έναν παράγοντα 86.400/86.164,09=1,0027379. Η αστρική και η ηλιακή μέρα διαφέρουν λόγω της περιστροφής της Γης γύρω από τον Ήλιο, η οποία έχει μέση τιμή 0,9856 ο ανά ημέρα (Σχήμα 2.19). Οι σχέσεις μεταξύ των δύο συστημάτων, δίνονται από: 1 mesh hliakh mera = 1,0027379093 mesev astrikev merev = 24h 3m 56,55536s mesov astrikov cronov = 86.636, 55536 mesa astrika deuterolepta (2.42) 2-23

1 mesh astrikh mera = 0,9972695664 mesev hliakev merev = 23h 56m 04,09054s mesov hliakov cronov = 86.164,09054 mesa hliaka deuterolepta (2.43) Σχήμα 2.19 Αστρική και ηλιακή μέρα 2.6 Γεωμετρία Γης-δορυφόρου 2.6.1 Απόσταση Γης-δορυφόρου Για τον υπολογισμό της απόστασης Γης δορυφόρου, χρησιμοποιείται η γεωμετρία του Σχήματος 2.20. Το σημείο Τ είναι το σημείο της τομής του διανύσματος από το κέντρο της Γης στον δορυφόρο, με την επιφάνεια της Γης. Στη συνέχεια, το σημείο αυτό θα το αναφέρουμε ως υπο-δορυφορικό σημείο (sub-satellite point, SSP). Ο δορυφόρος έχει γεωγραφικό πλάτος l s (ή l SSP ), όπου l SSP είναι το γεωγραφικό πλάτος του υποδορυφορικού σημείου και γεωγραφικό μήκος L s (ή L SSP ) σε σχέση με τον μεσημβρινό αναφοράς, όπου L SSP είναι το γεωγραφικό μήκος του υπο-δορυφορικού σημείου. Στο σημείο Ρ βρίσκεται ο επίγειος σταθμός, ο οποίος έχει γεωγραφικό πλάτος l e και γεωγραφικό μήκος L e σε σχέση με τον ίδιο μεσημβρινό αναφοράς. Στο σχήμα, για λόγους σαφήνειας, απεικονίζεται μόνο η διαφορά στο γεωγραφικό μήκος, L = L e - L s, μεταξύ του σημείου Ρ και του δορυφόρου, που αντιστοιχεί στο σχετικό γεωγραφικό μήκος του δορυφόρου ως προς τον επίγειο σταθμό L = L e - L SSP,. Η κεντρική γωνία γ αφορά τη γωνία ΡΟΤ στο επίπεδο που σχηματίζεται από το κέντρο της Γης, τον δορυφόρο και το σημείο Ρ. Η απόσταση του επίγειου σημείου Ρ από τον δορυφόρο είναι R, R s η απόσταση του δορυφόρου από το κέντρο της Γης και h η απόσταση του δορυφόρου από την επιφάνεια της Γης στο υπο-δορυφορικό σημείο. Λαμβάνοντας υπόψη το τρίγωνο ΟΡS (όπου S αντιστοιχεί το σημείο του δορυφόρου, SL), έχουμε: 2-24

R = R 2 E + R 2 s - 2R E R s cos( g ) (2.44) Λαμβάνοντας υπόψη το τρίγωνο ΤΑΒ και τον νόμο συνημιτόνων, έχουμε: cos( g ) = cos( l e )cos( l s )cos( L) + sin( l e )sin( l s ) (2.45) Με τον συνδυασμό των εξισώσεων (2.44) και (2.45) προκύπτει η απόσταση Γης-δορυφόρου σε οποιοδήποτε σημείο στη Γη. Το ύψος h του δορυφόρου από την επιφάνεια της Γης, βρίσκεται από την απόσταση TS και είναι: h = R s - R E (2.46) Σχήμα 2.20 Γεωμετρία Γης-δορυφόρου 2.6.2 Γωνίες ανύψωσης, αζιμουθίου και ναδίρ Ένα πολύ σημαντικό στοιχείο στον εντοπισμό της θέσης, και άρα της σκόπευσης, ενός δορυφόρου είναι οι γωνίες σκόπευσης. Αυτές είναι οι συντεταγμένες, στις οποίες πρέπει να στοχεύει μία κεραία ενός επίγειου σταθμού, για να μπορεί να επικοινωνήσει με έναν δορυφόρο. Εκφράζονται συνήθως ως γωνία αζιμουθίου Αz (azimuth) και γωνία ανύψωσης Εl (elevation). Μία άλλη έκφραση των συντεταγμένων είναι μέσω των γωνιών της ορθής ανόδου και της απόκλισης, όπως απεικονίζονται στο Σχήμα 2.18. Το αζιμούθιο μετριέται προς τα ανατολικά σύμφωνα με τους ωρολογιακούς δείκτες από το γεωγραφικό βορρά μέχρι την προβολή της 2-25

διαδρομής του δορυφόρου σε ένα τοπικό οριζόντιο επίπεδο στον επίγειο σταθμό. Η γωνίας ανύψωσης είναι η γωνία που μετριέται προς τα επάνω από το τοπικό οριζόντιο επίπεδο του επίγειου σταθμού μέχρι τη διαδρομή του δορυφόρου, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.21. Σχήμα 2.21 Γωνίες αζιμουθίου και ανύψωσης για τον εντοπισμό ενός δορυφόρου από τη Γη 2.6.2.1 Υπολογισμός της γωνίας ανύψωσης Για τον υπολογισμό της γωνίας ανύψωσης χρησιμοποιείται η γεωμετρία του Σχήματος 2.22. R E είναι η ακτίνα της Γης, R s είναι η απόσταση του δορυφόρου από το κέντρο της Γης, R είναι η απόσταση επίγειου σταθμού δορυφόρου, γ είναι η κεντρική γωνία μεταξύ των διανυσμάτων R E και R s και ψ είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων R E και R. Η κεντρική γωνία ψ σχετίζεται με τη γωνία ανύψωσης και μπορεί να υπολογιστεί από: Εφαρμόζοντας τον νόμο των ημιτόνων, προκύπτει: (2.47) R s sin y ( ) = R sin( g ) (2.48) Από τις εξισώσεις (2.44), (2.45), (2.47) και (2.48) προκύπτει ότι: ( ) = R s sin( g ) cos El R = æ 1+ R ö E è ç ø R s sin( g ) 2 æ - 2 R ö E è ç ø cos g R s ( ) (2.49) 2-26

όπου R æ = 1+ R ö E R s è ç ø Άλλες εκφράσεις για τη γωνία ανύψωσης είναι: R s 2 æ - 2 R ö E è ç ø cos g R s ( ) (2.50) cos( g ) - R E R sin( El) = s R R s (2.51) cos( g ) - R E R tan( El) = s sin( g ) Σχήμα 2.22 Γεωμετρία για τον υπολογισμό της γωνίας ανύψωσης και ναδίρ 2.6.2.2 Υπολογισμός του αζιμούθιου Η γωνία αζιμουθίου Αz είναι η γωνία που μετράμε επί του οριζόντιου επιπέδου της τοποθεσίας, μεταξύ της διεύθυνσης του γεωγραφικού Βορρά και της τομής του επιπέδου OPS, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.20. Είναι η γωνία NPT στο ομώνυμο σφαιρικό τρίγωνο. Επειδή ο επίγειος σταθμός, το κέντρο της Γης, ο δορυφόρος και το υπο-δορυφορικό σημείο βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, η γωνία αζιμουθίου Az από τον επίγειο σταθμό μέχρι τον δορυφόρο είναι η ίδια με το αζιμούθιο από τον επίγειο σταθμό μέχρι το υπο-δορυφορικό σημείο. Μία άλλη απεικόνιση της γωνίας ανύψωσης παρουσιάζεται στο Σχήμα 2.23. Για τον υπολογισμό της γωνίας αζιμουθίου, χρειάζεται η γνώση του υπο-δορυφορικού σημείου, αν βρίσκεται ανατολικά ή δυτικά του επίγειου σταθμού, και σε ποιο ημισφαίριο βρίσκονται ο επίγειος σταθμός και το υπο-δορυφορικό σημείο. Έτσι, για τον υπολογισμό της γωνίας αζιμουθίου, και με βάση το Σχήμα 2.20, η γωνία NPT είναι: 2-27

( ) = sin L sin NPT ( ) ( ) ( )cos l s sin g Όμως, ο υπολογισμός δίνει μία γωνία μικρότερη από π/2, κάτι που σε πρώτη οπτική εκτίμηση στο Σχήμα 2.20 δεν ισχύει. Πρέπει να λάβουμε υπόψη τις ιδιότητες συμμετρίας του ημιτόνου και το αποτέλεσμα του υπολογισμού λαμβάνεται ως μία ενδιάμεση παράμετρος a (a<π/2), για τον καθορισμό του αζιμουθίου: é a = arcsin sin( L)cos l s ù ê ú ë sin( g ) (2.52) û Άλλη έκφραση για τον υπολογισμό της ενδιάμεσης παραμέτρου a, που περιλαμβάνει μόνο τα γεωγραφικά πλάτη και μήκη του επίγειου σταθμού και το γεωγραφικό μήκος του δορυφόρου, είναι: ( ) ( ) ( ) é a = arctan ê tan L ëê sin l e ù ú ûú (2.53) Το πραγματικό αζιμούθιο λαμβάνεται από το a και τη θέση του ίχνους Τ του δορυφόρου σχετικά με το σημείο Ρ που βρίσκεται ο επίγειος σταθμός. Οι διάφορες περιπτώσεις αποτυπώνονται στον Πίνακα 2.5. Θέση ίχνους Τ ως προς το σημείο Ρ Σχέση μεταξύ Az και a Νότιο-Ανατολικά (SE) Az=180 o -a Βόρεια-Ανατολικά (NE) Az=a Νότια-Δυτικά (SW) Az=180 o +a Βόρειο-Δυτικά (NW) Az=360 o -a Πίνακας 2.5 Υπολογισμός του αζιμουθίου Az 2-28

Σχήμα 2.23 Γεωμετρία για τον υπολογισμό της γωνίας αζιμουθίου Δύο ειδικές περιπτώσεις μπορεί να συμβούν, όταν η γωνία αζιμουθίου μπορεί άμεσα να παρατηρηθεί: Εάν ο επίγειος σταθμός βρίσκεται στο ίδιο γεωγραφικό μήκος με το σημείο, η γωνία αζιμουθίου θα είναι 180 ο εάν η επίγειος σταθμός βρίσκεται στο βόρειο ημισφαίριο και 0 ο εάν ο επίγειος σταθμός βρίσκεται στο νότιο ημισφαίριο. Αυτό μπορεί να ελεγχθεί από τις προϋποθέσεις του Πίνακα 2.5, με L = L e - L s = 0. Εάν ο επίγειος σταθμός βρίσκεται στον Ισημερινό, η γωνία αζιμουθίου θα είναι 90 ο εάν η επίγειος σταθμός βρίσκεται δυτικά του υπο-δορυφορικού σημείου και 270 ο εάν ο επίγειος σταθμός βρίσκεται ανατολικά του υπο-δορυφορικού σημείου. Αυτό μπορεί, επίσης, να επαληθευτεί από τις συνθήκες του Πίνακα 2.5. 2.6.2.3 Υπολογισμός γωνίας ναδίρ Η γωνία ναδίρ ξ είναι η γωνία στον δορυφόρο μεταξύ της διεύθυνσης του κέντρου της Γης και της διεύθυνσης του σημείου P (Σχήμα 2.22). Με βάση τη γεωμετρία του σχήματος, μπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση: é x = arcsin sin g ë ê ( ) R E ù é R û ú = arcsin cos El ë ê ( ) R E R ù û ú (2.54) sin p - x -g όπου sin( x ) = ( ). R s Σε έναν παρατηρητή ενός δορυφόρου, που βρίσκεται στο ίχνος του δορυφόρου, ο δορυφόρος θα φαίνεται ότι βρίσκεται ακριβώς από πάνω του, δηλαδή σε μία γωνία ανύψωσης 90 ο, στην κατεύθυνση ζενίθ 2-29

(zenith) από τη θέση παρατήρησης. Η κατεύθυνση ναδίρ (nadir) έχει ακριβώς την αντίθετη φορά, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.24. Ισοδυναμεί με την κατεύθυνση σκόπευσης από τον δορυφόρο μέχρι το ίχνος του δορυφόρου. Οι σχεδιαστές των δορυφορικών κεραιών κάνουν χρήση της κατεύθυνσης ναδίρ για τη σκόπευση των κεραιών του δορυφόρου προς την επιφάνεια της Γης. Αντίθετα, οι σχεδιαστές κεραιών επίγειων σταθμών δεν χρησιμοποιούν το ζενίθ ως αναφορά για τη σκόπευση της κεραίας προς τον δορυφόρο, αλλά τον τοπικό ορίζοντα για τον ορισμό των γωνιών ανύψωσης και αζιμουθίου. Σχήμα 2.24 Κατευθύνσεις ναδίρ και ζενίθ 2.6.3 Ίχνος δορυφόρου Ένα πολύ σημαντικό στοιχείο στους υπολογισμούς της σκόπευσης ενός επίγειου σταθμού προς τον δορυφόρο και της κάλυψης ενός δορυφόρου στην επιφάνεια της Γης είναι το ίχνος του δορυφόρου. Το ίχνος ενός δορυφόρου ή το υπο-δορυφορικό σημείο (sub-satellite point, SSP) στην επιφάνεια της Γης ορίζεται ως ο γεωμετρικός τόπος των σημείων της τομής του διανύσματος από το κέντρο της Γης στον δορυφόρο, με την επιφάνεια της Γης. Εκτός από την κίνηση του δορυφόρου υπάρχει και η περιστροφή της Γης, που επηρεάζει το ίχνος ενός δορυφόρου, ενώ για τον προσδιορισμό του ίχνους του δορυφόρου απαιτούνται το γεωγραφικό πλάτος και το γεωγραφικό μήκος του. Για να μπορέσουμε να υπολογίσουμε το πραγματικό γεωγραφικό μήκος του δορυφόρου, υποθέτοντας ότι η Γη περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα Ω Ε, ουσιαστικά πρέπει να υπολογισθεί η μεταβολή του μεσημβρινού αναφοράς. Κατά συνέπεια, το γεωγραφικό μήκος του δορυφόρου στη Γη θα έχει μετατοπισθεί προς τα ανατολικά του μεσημβρινού αναφοράς κατά: DL s = W E Dt = W E n s ( M s - M o ) (2.55) όπου Δt είναι ο χρόνος που πέρασε από τη διέλευση του δορυφόρου από το μεσημβρινό αναφοράς έως την παρούσα στιγμή, n s είναι η μέση κίνηση του δορυφόρου, M s είναι η μέση ανωμαλία του δορυφόρου και M o είναι η μέση ανωμαλία της θέσης αφετηρίας του μεσημβρινού. Το σχετικό γεωγραφικό μήκος L s ' του δορυφόρου σε σχέση με το περιστρεφόμενο μεσημβρινό αναφοράς μπορεί να υπολογισθεί ως: L s ' = L s - DL s (2.56) 2-30

όπου L s είναι το γεωγραφικό μήκος του δορυφόρου σε σχέση με τον μεσημβρινό αναφοράς με τη Γη ακίνητη. Αν υποθέσουμε ως μεσημβρινό αναφοράς τον μεσημβρινό του ανοδικού κόμβου, τότε το σχετικό γεωγραφικό μήκος L s ' του δορυφόρου μπορεί να υπολογιστεί από: éæ L s ' = arctan éë tan( w +f o )cos( i) ù û - ê è ç ë W E n s ö ø é ë E - esin( E) æ ù û - W ö E è ç n s ø E - esin E ù éë N ( N ) ù û ú (2.57) û όπου Ε Ν είναι η εκκεντρική ανωμαλία του ανοδικού κόμβου. Το γεωγραφικό πλάτος l s του δορυφόρου δεν μεταβάλλεται με την περιστροφή της Γης. Κατά συνέπεια, δεν εξαρτάται από την επιλογή της αρχικής θέσης του μεσημβρινού αναφοράς, και υπολογίζεται από: ( ) l s = arcsin éë sin( i)sin w +f o ù û (2.58) Ο σχετικός ρυθμός περιστροφής της Γης μειώνεται με την αύξηση του γεωγραφικού πλάτους, και γίνεται μηδέν στους πόλους. Κατά συνέπεια, η μετατόπιση στο ίχνος του εδάφους μειώνεται, καθώς αυξάνονται τα γεωγραφικά πλάτη πάνω από τα οποία κινείται ο δορυφόρος. Στην πραγματικότητα, η μετατόπιση του ίχνους είναι μηδέν στους πόλους. Ένα άλλο σημείο που αξίζει να αναφερθεί εδώ είναι ότι στην περίπτωση ενός δορυφόρου σε ορθή τροχιά, το ίχνος τέμνει αυξητικά δυτικούς μεσημβρινούς. Στην περίπτωση των δορυφόρων σε ανάδρομη τροχιά, το ίχνος τέμνει αυξητικά δυτικούς μεσημβρινούς, όταν η γωνιακή ταχύτητα του δορυφόρου είναι μικρότερη από την ταχύτητα περιστροφής της Γης, και αυξητικά ανατολικούς μεσημβρινούς, όταν η γωνιακή ταχύτητα του δορυφόρου είναι μεγαλύτερη από ό,τι ο ρυθμός περιστροφής της Γης. Τα βόρεια και νότια γεωγραφικά πλάτη του επίγειου τμήματος που καλύπτεται από το ίχνος του δορυφόρου στο έδαφος, εξαρτάται από την κλίση (έγκλιση) της τροχιάς του δορυφόρου. Η ζώνη από το ακραίο βόρειο γεωγραφικό πλάτος στο ακραίο νότιο γεωγραφικό πλάτος, το οποίο είναι συμμετρικό γύρω από τον ισημερινό, ονομάζεται γεωγραφικό πλάτος κάλυψης. Το Σχήμα 2.25 απεικονίζει την έκταση της περιοχής κάλυψης ανάλογα με το γεωγραφικό πλάτος για διαφορετικές κλίσεις της τροχιάς. Μπορεί να φανεί ότι η κάλυψη του γεωγραφικό πλάτος είναι 100% μόνο στην περίπτωση των πολικών τροχιών (European Space Agency, 2015). Όσο μεγαλύτερη είναι η κλίση της τροχιάς, τόσο μεγαλύτερη είναι και η κάλυψη του γεωγραφικού πλάτους. Αυτό εξηγεί, επίσης, γιατί η ισημερινή τροχιά δεν είναι χρήσιμη για περιοχές με μεγάλο γεωγραφικό πλάτος. Σχήμα 2.25 Επίδραση της δορυφορικής τροχιακής κλίσης για την κάλυψη του γεωγραφικού πλάτος 2-31

Interactive 2.1 Κίνηση των διαφορετικών δορυφορικών τροχιών σε 2D-3D χάρτη και το αντίστοιχο ίχνος τους 2.6.4 Υπολογισμός της περιοχής κάλυψης Η κάλυψη της Γης, γνωστή και ως «αποτύπωμα» (footprint), είναι η περιοχή της επιφάνειας της Γης που μπορεί ενδεχομένως να καλύπτεται από έναν δεδομένο δορυφόρο. Στο Σχήμα 2.26 απεικονίζεται η μορφή που συνδέει το υψόμετρο του δορυφόρου με την περιοχή κάλυψης. Είναι εμφανές ότι η περιοχή κάλυψης αυξάνεται με το υψόμετρο του δορυφόρου πάνω από την επιφάνεια της Γης. Ποικίλλει από 1,5% της επιφάνειας της Γης για χαμηλή τροχιά της τάξεως των 200km σε περίπου 43% της επιφάνειας της Γης για έναν δορυφόρο σε γεωστατική τροχιά με υψόμετρο περίπου 36.000km. Ο Πίνακας 2.6 δείχνει τη μεταβολή της περιοχής κάλυψης σε συνάρτηση με το υψόμετρο του δορυφόρου. Όπως φαίνεται, η αύξηση της περιοχής κάλυψης με αύξηση του υψομέτρου είναι πιο απότομη στην αρχή, από ό,τι με το υψόμετρο να αυξάνεται πέραν των 10.000km. Υψόμετρο δορυφόρου (km) Περιοχή κάλυψης (% της επιφάνειας της Γης) 200 1,5 300 2,0 400 2,5 500 3,0 600 3,5 700 4,5 800 5,5 900 6,0 1.000 7,0 2.000 12,0 4.000 18,5 5.000 21,5 6.000 24,0 7.000 26,0 8.000 27,5 9.000 29,0 10.000 30,0 15.000 35,0 20.000 37,5 25.000 40,0 30.000 41,5 36.000 43,0 Πίνακας 2.6 Μεταβολή της περιοχής κάλυψης της Γης ως συνάρτηση του υψόμετρου του δορυφόρου 2-32

Σχήμα 2.26 Υψόμετρο δορυφόρου και περιοχή κάλυψες της Γης 2.6.4.1 Υπολογισμός της εμβέλειας κλίσης Ως εμβέλεια κλίσης (slant range) ενός δορυφόρου ορίζεται η εμβέλεια ή η απόσταση του δορυφόρου από τον επίγειο σταθμό. Η γωνία ανύψωσης Εl έχει άμεση σχέση με την εμβέλεια κλίσης. Όσο μικρότερη είναι η γωνία ανύψωσης του επίγειου σταθμού, τόσο μεγαλύτερη είναι η εμβέλεια κλίσης και η γωνία κάλυψης (Σχήμα 2.27) (Maini & Agrawal, 2011). Σχήμα 2.27 Γεωμετρία υπολογισμού της εμβέλειας κλίσης H εμβέλεια κλίσης R μπορεί να υπολογισθεί από την εξίσωση (2.44): R = R 2 E + ( R E + h) 2-2R E R E + h ìï éæ R ( )sin El + arcsin E ö ê è ç R E + hø cos ( El ) ùüï í úý îï ë ûþï (2.59) όπου R E + h = R s είναι η απόσταση του δορυφόρου από το κέντρο της Γης. Η κεντρική γωνία κάλυψης γ υπολογίζεται από: éæ R g = arcsin E ö è ç R E + hø cos ( El ) ù ê ú (2.60) ë û Είναι προφανές από την εξίσωση (2.60) ότι μια μηδενική γωνία ανύψωσης οδηγεί στη μέγιστη γωνία κάλυψης. Ένα μεγαλύτερο εύρος κλίσης σημαίνει, όμως, και μεγαλύτερο χρόνο καθυστέρησης διάδοσης και μεγαλύτερη υποβάθμιση της ποιότητας του σήματος, καθότι το σήμα πρέπει να ταξιδέψει μεγαλύτερη απόσταση μέσα από την ατμόσφαιρα της Γης. 2-33

Η πλήρης γωνία κάλυψης γ μπορεί να υπολογιστεί ότι είναι περίπου 150 ο για έναν δορυφόρο σε υψόμετρο 200km και 17 o για έναν δορυφόρο σε γεωστατικό υψόμετρο περίπου 36.000km. Ο Πίνακας 2.7 δείχνει τη μεταβολή της γωνίας πλήρους κάλυψης ως συνάρτηση του υψόμετρου του δορυφόρου. Υψόμετρο δορυφόρου (km) Πλήρης γωνία κάλυψης (μοίρες) 200 150 300 144 400 138 500 134 600 130 700 126 800 124 900 120 1.000 118 2.000 100 4.000 76 5.000 68 6.000 60 7.000 56 8.000 52 9.000 48 10.000 44 15.000 32 20.000 26 25.000 22 30.000 18 36.000 17 Πίνακας 2.7 Μεταβολή της περιοχής κάλυψης της Γης ως συνάρτηση του υψόμετρου του δορυφόρου 2.6.4.2 Έλεγχος ορατότητας Με βάση την ενότητα 2.6.4.1, για να είναι ορατός ένας δορυφόρος από έναν επίγειο σταθμό, πρέπει ο επίγειος σταθμός να βρίσκεται στην περιοχή κάλυψης και να έχει κάποια ελάχιστη γωνία ανύψωσης El. Με βάση τη γεωμετρία του Σχήματος 2.28, απαιτείται: æ g arccos R ö E è ç ø R s (2.61) 2-34

Σχήμα 2.28 Γεωμετρία υπολογισμού ορατότητας εξής: Από όλα τα παραπάνω, προκύπτει ότι η περιοχή κάλυψης μπορεί να υπολογιστεί από το τόξο S o ως æ Perioch kaluyhv = 2S o = 2R E g = 2R E arccos R ö E è ç ø R s (2.62) 2.7 Είδη τροχιών Με όλους τους δυνατούς συνδυασμούς των παραμέτρων της τροχιάς στη διάθεση του σχεδιαστή ενός δορυφόρου, μπορεί να χρησιμοποιηθεί μια σχεδόν ατελείωτη λίστα πιθανών τροχιών. Η εμπειρία έχει περιοριστεί στην κατηγοριοποίηση των τροχιών στις συνήθεις χρησιμοποιούμενες τροχιές για δορυφόρους επικοινωνιών και επιστημονικών εφαρμογών, και περιγράφονται στις ακόλουθες ενότητες. Ακολούθως, εξειδικεύουμε τις τροχιές σε ηλιο-σύγχρονες, ελλειπτικές με μη-μηδενική κλίση, κυκλικές γεωσύγχρονες με μη-μηδενική κλίση και υπο-σύγχρονες κυκλικές με μη-μηδενική κλίση (Ippolito, 2008). Η επιλογή της τροχιάς για ένα δορυφορικό σύστημα εξαρτάται από τη φύση της υπηρεσίας που θα προσφέρει, από τη μέγιστη παρεμβολή που θα μπορεί να γίνεται ανεκτή, και από την απόδοση των εκτοξευτών. Οι παράμετροι που καθορίζουν την τροχιά ενός συστήματος είναι: Η έκταση και το γεωγραφικό πλάτος της περιοχής που θα καλυφθεί. Ένας δορυφόρος που κινείται σε χαμηλή τροχιά, παρέχει μόνο περιορισμένη κάλυψη της γήινης επιφάνειας σε δεδομένη χρονική στιγμή, και μόνο για περιορισμένη χρονική διάρκεια σε δεδομένη περιοχή. Επίσης, σε συστήματα δορυφόρων χαμηλής τροχιάς, οι επίγειοι σταθμοί συνήθως πρέπει να είναι εφοδιασμένοι με συσκευές αυτόματης σκόπευσης του δορυφόρου, κάτι που αυξάνει το 2-35

κόστος. Για τους λόγους αυτούς, οι γεωστατικοί δορυφόροι φαίνεται να είναι πολύ χρήσιμοι για τη συνεχή κάλυψη εκτεταμένων περιοχών. Ωστόσο, δεν επιτρέπουν την κάλυψη σε πολικές περιοχές, οι οποίες είναι προσβάσιμες από δορυφόρους σε κεκλιμένες ελλειπτικές τροχιές, ή πολικές τροχιές. Η γωνία ανύψωσης. Ένας δορυφόρος σε μία κεκλιμένη ελλειπτική ή πολική τροχιά μπορεί, σε συγκεκριμένη χρονική στιγμή, να εμφανίζεται κατακόρυφα πάνω από μία θέση, κάτι που επιτρέπει την επικοινωνία σε κατοικημένες περιοχές, αφού δεν εμφανίζονται τα εμπόδια που προκαλούν τα μεγάλα κτίρια για γωνίες ανύψωσης από 0 έως περίπου 70. Η χρήση ενός γεωστατικού δορυφόρου έχει ως συνέπεια την ελάττωση της γωνίας ανύψωσης, καθώς αυξάνεται η διαφορά στο γεωγραφικό πλάτος ή μήκος μεταξύ επίγειου σταθμού και δορυφόρου. Η διάρκεια και η καθυστέρηση της εκπομπής. Ένας γεωστατικός δορυφόρος μπορεί να εξασφαλίσει μία συνεχή σύνδεση για σταθμούς εντός ορατότητας, αλλά ο χρόνος μετάδοσης των κυμάτων από τον ένα σταθμό στον άλλο είναι της τάξης των 0,2sec. Αντίθετα, ένας δορυφόρος χαμηλής τροχιάς προσφέρει μειωμένο χρόνο μετάδοσης. Οι παρεμβολές. Οι γεωστατικοί δορυφόροι καταλαμβάνουν σταθερές θέσεις στον ουρανό, σε σχέση με τους σταθμούς με τους οποίους επικοινωνούν. Η προστασία έναντι παρεμβολών εξασφαλίζεται μέσω σχεδίασης ζωνών συχνοτήτων και των θέσεων στην τροχιά. Μικρή τροχιακή απόσταση μεταξύ γεωστατικών δορυφόρων που λειτουργούν στην ίδια συχνότητα οδηγεί σε αύξηση των παρεμβολών, κάτι που συνιστά εμπόδιο για την εγκατάσταση νέων δορυφόρων. Η απόδοση των εκτοξευτών. Η μάζα, που μπορεί να εκτοξευτεί, ελαττώνεται με την αύξηση του υψόμετρου. Κόστος. Το κόστος είναι ανάλογο της μάζας του δορυφόρου και των εκτοξευτών που θα χρησιμοποιηθούν, για να τον φέρουν σε τροχιά. 2.7.1 Συνήθεις χρησιμοποιούμενες τροχιές Οι δορυφορικές τροχιές που χρησιμοποιούνται συνήθως στα δορυφορικά συστήματα είναι οι πολύ ελλειπτικές τροχιές (Highly Elliptical Orbits, HEO), οι κυκλικές τροχιές μικρού ύψους (Low Earth Orbit, LEO), οι κυκλικές τροχιές μέσου ύψους (Medium Earth Orbit, ΜΕΟ) και οι κυκλικές τροχιές με μηδενική κλίση (Geostationary Earth Orbit, GEO). Η σημερινή κατανομή αυτών των τροχιών φαίνεται στο Σχήμα 2.29 και παρουσιάζονται αναλυτικά στη συνέχεια (NASA, 2015). (α) 2-36

(β) Σχήμα 2.29 (α) Τροχιές LEO, MEO, GEO και HEO (β) Κατανομή των δορυφορικών τροχιών 2.7.1.1 Έντονα ελλειπτικές τροχιές (Highly Elliptical Orbits, HEO) Αφορούν ειδικότερα τις ελλειπτικές τροχιές με γωνία κλίσης 63,44 ως προς το επίπεδο του ισημερινού. Ο συγκεκριμένος τύπος τροχιάς είναι πολύ σταθερός ως προς τις διακυμάνσεις του γήινου βαρυτικού δυναμικού και, λόγω της κλίσης, επιτρέπει στον δορυφόρο να καλύψει περιοχές με μεγάλο γεωγραφικό πλάτος για μεγάλο κλάσμα της περιόδου της τροχιάς, καθώς αυτός κινείται στο απόγειο. Λειτουργούν με μία ελλειπτική τροχιά, με μέγιστο υψόμετρο (απόγειο) παρόμοιο με τη γεωστατική τροχιά (GEO), και ένα ελάχιστο υψόμετρο (περίγειο) παρόμοιο με την τροχιά χαμηλού μήκους (LEO). Ο δορυφόρος παραμένει πάνω από τις περιοχές που βρίσκονται κάτω από το απόγειο για ένα χρονικό διάστημα της τάξης των 8 ωρών από τις συνολικά 12 ώρες της περιόδου (δορυφόροι Molniya) ή της τάξης των 16 ωρών από τις συνολικά 24 ώρες της περιόδου (Tundra). Επίσης, οι κεκλιμένες ελλειπτικές τροχιές μπορούν να εξασφαλίσουν ζεύξεις σε μεσαία γεωγραφικά πλάτη, όταν ο δορυφόρος βρίσκεται κοντά στο απόγειο, με γωνίες ανύψωσης κοντά στις 90. Η πιο δημοφιλής τροχιά HEO, που χρησιμοποιείται για τους τηλεπικοινωνιακούς δορυφόρους, είναι η τροχιά Molniya, για το δορυφορικό σύστημα που εξυπηρετούσε την (πρώην) Σοβιετική Ένωση (Σχήμα 2.30). Η τροχιά είναι σχεδιασμένη για να παρέχει εκτεταμένη κάλυψη στα υψηλά βόρεια γεωγραφικά πλάτη, που περιλαμβάνει το μεγαλύτερο μέρος της έκτασης της πρώην Σοβιετικής Ένωσης, όπου οι δορυφόροι γεωστατικής τροχιάς δεν μπορούν να παρέχουν κάλυψη. Μία τυπική τροχιά Molnyia έχει υψόμετρο περιγείου περίπου 400km και υψόμετρο απογείου σχεδόν 40.000km. Αυτό αντιστοιχεί σε εκκεντρικότητα περίπου 0,7 και η κλίση επιλέγεται να είναι 63,44 ο για την αποφυγή περιστροφής του μεγάλου άξονα. Η τροχιά έχει ονομαστική περίοδο 12 ωρών, το οποίο σημαίνει ότι περνάει από το ίδιο ίχνος δύο φορές κάθε μέρα. Η έντονα ελλειπτική τροχιά προκαλεί τον δορυφόρο να περάσει σχεδόν δέκα ώρες σε κάθε περιστροφή του πάνω από το βόρειο ημισφαίριο και μόνο δύο ώρες πάνω από το νότιο ημισφαίριο. Δύο δορυφόροι σε HEO Molniya τροχιές, με σωστή διαφορά φάσης, μπορούν να παρέχουν σχεδόν συνεχή κάλυψη σε τοποθεσίες μεγάλου γεωγραφικού πλάτους στο βόρειο ημισφαίριο, επειδή τουλάχιστον ένας από τους δορυφόρους θα είναι ορατός ανά πάσα στιγμή κατά τη διάρκεια της ημέρας. 2-37

Σχήμα 2.30 Τροχιά Molniya Το πλεονεκτήματα των έντονα ελλειπτικών τροχιών έγκειται στα εξής: Μεγάλη Γωνία Ανύψωσης. o Αποφυγή παρεμποδίσεων. o Ελαχιστοποίηση θορύβου από έδαφος και παρεμβολές o Αποφυγή ανίχνευσης δορυφόρου. Δυνατότητα περικοπής του συστήματος για την κάλυψη κάποιων περιοχών με το μικρότερο αριθμό δορυφόρων. Το μειονεκτήματα αντίστοιχα των έντονα ελλειπτικών τροχιών είναι τα εξής: Μεταγωγή μεταξύ των δορυφόρων. Μεταβολή της απόστασης. o Μεταβολή χρόνου μετάδοσης (μέχρι 52msec για Molnyia). o Εμφάνιση Doppler (14kHz για Molnyia και 6kΗz για Tundra στα 1,6GHz). o Μεταβολή επιπέδου ισχύος του λαμβανόμενου σήματος. o Τροποποίηση κάλυψης των δορυφορικών κεραιών (επιφάνεια γης και κέρδος κεραίας). Περιορισμένη διάρκεια ζωής των δορυφόρων, εξαιτίας της κίνησής τους μέσα από ζώνες υψηλής ακτινοβολίας (Ζώνες Van-Allen). Διαταράξεις της τροχιάς σε περιπτώσεις που το περίγειο έχει μικρό ύψος, αφού ο δορυφόρος υπόκειται έντονα στην ασυμμετρία του γήινου βαρυτικού δυναμικού. Σημαντικό πρόβλημα με την εστίαση των κεραιών, εξαιτίας της μεγάλης και γρήγορης μεταβολής του υψόμετρου κατά τη διάρκεια μιας περιόδου. 2.7.1.2 Κυκλικές τροχιές χαμηλού ύψους (Low Earth Orbit, LEO) Σ αυτές τις τροχιές το ύψος του δορυφόρου είναι σταθερό και ίσο με μερικές εκατοντάδες χιλιόμετρα (700-1000km). Η περίοδος είναι της τάξης της 1,5 ώρας, με τροχιακό επίπεδο σε κλίση ως προς τον ισημερινό. Ο συγκεκριμένος τύπος τροχιάς εγγυάται ότι ο δορυφόρος θα περάσει πάνω από κάθε περιοχή της Γης. Γι αυτό 2-38

τον λόγο, αυτός ο τύπος τροχιάς επιλέγεται για δορυφόρους παρατήρησης (π.χ. ο δορυφόρος SPOT, με ύψος τροχιάς 830km, κλίση τροχιάς 98,7, περίοδο 101min). Ένας "αστερισμός" μερικών δεκάδων δορυφόρων κυκλικής τροχιάς σε μικρό ύψος (της τάξης των 1000km) μπορεί να παρέχει παγκόσμιες επικοινωνίες σε πραγματικό χρόνο. Μερικά τέτοια συστήματα που λειτουργούν είναι τα Iridium (11 τροχιακά επίπεδα με 6 δορυφόρους ανά επίπεδο), Globalstar (8 επίπεδα με 8 δορυφόρους ανά επίπεδο), Ellipsat, ενώ έχει προταθεί το σύστημα Teledesic (Jamalipour, 1998). Λόγω της κίνησης του δορυφόρου κοντά στην επιφάνεια της Γης, υπόκεινται σε βαρυτικές έλξεις. Το πεπλατυσμένο σχήμα (μη-σφαιρικό σχήμα) της Γης θα προκαλέσει δύο σημαντικές διαταραχές στην τροχιά LEO. Το σημείο στον ισημερινό, όπου ο δορυφόρος LEO διασχίζει από Νότο προς Βορρά (ανοδικός κόμβος) θα ολισθήσει προς τα δυτικά αρκετές μοίρες ανά ημέρα. Μία άλλη επίδραση του πεπλατυσμένου σχήματος της Γης είναι να περιστρέφεται η κατεύθυνση του κύριου άξονα στο επίπεδο της τροχιάς, είτε δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα. Ωστόσο, εάν η κλίση είναι ρυθμισμένη σε περίπου 63 ο, οι δυνάμεις που προκαλούν την περιστροφή θα είναι ισορροπημένες και ο διεύθυνση του μεγάλου άξονα θα παραμένει σταθερή. Μερικά από τα πλεονεκτήματα των τροχιών χαμηλού ύψους είναι τα εξής: Το υψόμετρο των δορυφόρων είναι μικρό, άρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε πιο μικρούς και πιο φθηνούς δορυφόρους, αφού η απαιτούμενη ισχύς για επιτυχή ζεύξη είναι μικρότερη. Το μικρό μέγεθος των δορυφόρων και η μικρή απόσταση διευκολύνουν την εκτόξευση και περιορίζουν τα αντίστοιχα έξοδα. Οι καθυστερήσεις διάδοσης είναι μικρές της τάξης των 10-20msec και έτσι δίνεται η δυνατότητα για πολλαπλές μεταπομπές του σήματος από δορυφόρο σε δορυφόρο. Τα μειονεκτήματα των τροχιών χαμηλού ύψους, είναι τα εξής: Εξαιτίας του μεγάλου αριθμού των δορυφόρων (66 στο Iridium) που απαιτείται, η διαδικασία σύνταξης του όλου συστήματος είναι χρονοβόρα και πολυέξοδη. Απαιτείται πλήρης ανάπτυξη του συστήματος, για να εξασφαλιστεί συνεχής κάλυψη οπουδήποτε. Το σύστημα ελέγχου του διαστημικού μέρους είναι πολύπλοκο. Απαιτούνται συχνές μεταπομπές (κάθε 10 λεπτά περίπου μεταξύ δορυφόρων και κάθε 1 ή 2 λεπτά μεταξύ κυψελών), εξαιτίας της γρήγορης κίνησης των δορυφόρων στον ουρανό. Τα φαινόμενα Doppler είναι πολύ ισχυρά, εξαιτίας της γρήγορης κίνησης των δορυφόρων (δεκάδες khz). Οι συνθήκες διάδοσης είναι μεταβλητές, εξαιτίας της μεταβολής της γωνίας ανύψωσης. Εξαιτίας της γρήγορης κίνησης των δορυφόρων, έχουμε αυξημένο πρόβλημα εστίασης στις κεραίες. Η διάρκεια ζωής των δορυφόρων είναι μικρή (υπολογίζεται περίπου 5 χρόνια με την υπάρχουσα τεχνολογία). Interactive 2.2 Κίνηση των LEO δορυφορικών τροχιών σε 2D-3D χάρτη και το αντίστοιχο ίχνος τους 2.7.1.3 Κυκλικές τροχιές μέσου ύψους (Medium Earth Orbit, ΜΕΟ) Ονομάζονται αλλιώς και ενδιάμεσες κυκλικές τροχιές (Intermediate Circular Orbits, ICO). Οι τροχιές αυτές έχουν ύψος περίπου 10.000-20.000km, κλίση περίπου 50 και περίοδο 6 ώρες. Με συστήματα 10 έως 15 δορυφόρων (2 τροχιακά επίπεδα και 6 δορυφόρους ανά επίπεδο) είναι δυνατό να επιτευχθεί εγγυημένα παγκόσμια κάλυψη, για παροχή επικοινωνιών σε πραγματικό χρόνο. Ένα υπό σχεδιασμό σύστημα αυτού του τύπου είναι το σύστημα new-ico (προέρχεται από το σύστημα Project 21 του Inmarsat) ή Pendrell Corporation, όπως μετονομάστηκε τον Ιούνιο του 2011, με σύστημα 10 δορυφόρων σε 2 τροχιακά επίπεδα και κλίση 45. 2-39

Τα επιθυμητά χαρακτηριστικά της τροχιάς ΜΕΟ περιλαμβάνουν επαναλαμβανόμενα ίχνη στο έδαφος για συχνότατη κάλυψη του εδάφους, επιλέξιμο αριθμό περιστροφών ανά ημέρα και επαρκή σχετική κίνηση δορυφόρου-γης, για να επιτρέπουν ακριβή λήψη μετρήσεων θέσης στο έδαφος. Ένα τυπικό σύστημα ΜΕΟ παρέχει μία με δύο ώρες παρατήρησης για ένα επίγειο τερματικό σε σταθερή θέση. Οι ΜΕΟ δορυφόροι έχουν χαρακτηριστικά χρήσιμα για μετεωρολογικές εφαρμογές, τηλεπισκόπηση, πλοήγηση, και οι εφαρμογές εντοπισμού θέσης. Για παράδειγμα, το σύστημα Global Positioning System (GPS) χρησιμοποιεί έναν αστερισμό από 24 δορυφόρους, που λειτουργούν σε 12-ωρες κυκλικές τροχιές, σε υψόμετρο 20.184km. Interactive 2.3 Κίνηση των MEO δορυφορικών τροχιών σε 2D-3D χάρτη και το αντίστοιχο ίχνος τους 2.7.1.4 Κυκλικές τροχιές με μηδενική κλίση (Geostationary Earth Orbit, GEO) Αφορούν τις ισημερινές τροχιές, με πιο γνωστή την τροχιά των γεωστατικών δορυφόρων. Στις γεωστατικές τροχιές οι δορυφόροι περιστρέφονται γύρω από τη Γη σε ύψος 35.786km και με την ίδια φορά, όπως η Γη. Η περίοδος είναι ίση με αυτή της Γης, γι αυτό και καλείται και γεωσύγχρονη τροχιά (Geo-Synchronous Orbit, GSO), με αποτέλεσμα ο δορυφόρος να φαίνεται ως ένα σταθερό σημείο στον ουρανό. Η διαφορά μεταξύ γεωστατικής (ιδεατής) και γεωσύγχρονης (πραγματικής) τροχιάς είναι ότι η γεωστατική έχει μηδενική κλίση, ενώ η γεωσύγχρονη έχει μη μηδενική κλίση (βλ. Ενότητα 2.7.4). Επίσης, η γεωστατική τροχιά είναι μια ιδανική τροχιά, που δεν μπορεί να επιτευχθεί για πραγματικούς τεχνητούς δορυφόρων, επειδή υπάρχουν πολλές άλλες δυνάμεις εκτός της γήινης βαρύτητας, που ενεργούν στον δορυφόρο. Μια «τέλεια τροχιά», δηλαδή με εκκεντρότητα ακριβώς ίση με μηδέν και με κλίση ακριβώς ίση με 0 ο, δεν μπορεί να επιτευχθεί στην πράξη, χωρίς εκτεταμένη τήρηση του σταθμού σε ένα πλαίσιο και την κατανάλωση ενός τεράστιου ποσού καυσίμων για τη διατήρηση στην ακριβή θέση που απαιτείται. Μια τυπική τροχιά GEO που είναι σε χρήση σήμερα, θα έχει μία γωνία κλίσης ελαφρώς μεγαλύτερη από μηδέν και, ενδεχομένως, μια εκκεντρικότητα που, επίσης, υπερβαίνει το μηδέν. Η διαφοροποίηση μεταξύ της ιδεατής και της πραγματικής τροχιάς με τη χρήση των όρων «γεωστατική» και «γεωσύγχρονη» δεν είναι κοινά αποδεκτή στα παγκόσμια πρότυπα. Συχνά, οι όροι χρησιμοποιούνται εναλλακτικά ή όλες οι τροχιές μπορεί να ορίζονται από έναν μόνο όρο. Θα διατηρήσουμε τους ορισμούς που εισάγονται παραπάνω για να αποφευχθεί πιθανή σύγχυση. Η γεωστατική τροχιά είναι η πιο δημοφιλής τροχιά που χρησιμοποιείται για τους τηλεπικοινωνιακούς δορυφόρους. Ένας γεωστατικός δορυφόρος εξασφαλίζει συνεχή κάλυψη ως αναμεταδότης σε πραγματικό χρόνο για την περιοχή στην οποία είναι ορατός (περίπου 42,4% της επιφάνειας της Γης). Κατά συνέπεια, 3 δορυφόροι είναι αρκετοί για την πλήρη κάλυψη της επιφάνειας της Γης (εκτός από τις περιοχές των πόλων). Λόγω του ότι οι γεωστατικοί δορυφόροι παρουσιάζουν μία μικρή ολίσθηση, έτσι ώστε η τροχιά τους να παρουσιάζει μια μικρή κλίση, λαμβάνεται πρόνοια, ώστε η τροχιά του γεωστατικού δορυφόρου να διορθώνεται περιοδικά και να παραμένει στο ισημερινό επίπεδο. Υπάρχουν αρκετά πλεονεκτήματα της γεωστατικής τροχιάς και, για τους λόγους αυτούς, χρησιμοποιείται συνήθως στα συστήματα δορυφορικών επικοινωνιών. Ο δορυφορικός αναμεταδότης "φαίνεται" σταθερός από τους επίγειους σταθμούς μέσα στην περιοχή κάλυψης. Με τον τρόπο αυτό ελαχιστοποιούνται οι λειτουργικές απαιτήσεις στους σταθμούς εδάφους, διότι από τη μία πλευρά η "παρακολούθηση" της θέσης του δορυφόρου είναι εύκολη, ενώ από την άλλη πλευρά τα χαρακτηριστικά μετάδοσης (σε ό,τι αφορά την εξάρτηση τους από την απόσταση πομπού-δέκτη), όπως οι απώλειες διάδοσης, δεν μεταβάλλονται. Επιπλέον, η "κάλυψη" που παρέχουν οι γεωστατικοί δορυφόροι είναι επαρκής για τις πιο πυκνοκατοικημένες περιοχές της Γης (γεωγραφικό πλάτος +75, ή -75 ), ενώ χρειάζονται μόνο 3 δορυφόροι για παγκόσμια κάλυψη. Δεν χρειάζεται καμιά διαδικασία μεταπομπής από δορυφόρο σε δορυφόρο, αφού κάθε χρήστης επικοινωνεί συνεχώς με τον ίδιο δορυφόρο. Το σύστημα ελέγχου των δορυφόρων είναι απλό και δοκιμασμένο. Δεν απαιτείται σύστημα ανίχνευσης και εντοπισμού του δορυφόρου στα επίγεια τερματικά. Δεν υπάρχει μεταβολή στην καθυστέρηση διάδοσης και στη γωνία ανύψωσης. 2-40

Τα φαινόμενα Doppler είναι αμελητέα, ενώ οι παρεμβολές με άλλα επίγεια τηλεπικοινωνιακά συστήματα είναι προβλέψιμες, λόγω σταθερής γεωμετρίας. Υπάρχει μεγάλη περιοχή πρόσβασης, από τη στιγμή που οι δορυφόροι βρίσκονται σε μεγάλο υψόμετρο και καθένας παρέχει ορατότητα σε μεγάλο μέρος της Γης. Όμως, υπάρχουν και μερικά ενδογενή μειονεκτήματα της γεωστατικής τροχιάς. Η χρονική καθυστέρηση της μετάδοσης είναι σημαντική (της τάξης των 250msec ανά κατεύθυνση), εξαιτίας της μεγάλης απόστασης δορυφόρου - επίγειου σταθμού, δυσκολεύοντας επικοινωνίες διπλού δρόμου σε πραγματικό χρόνο. Για μικρά χρονικά διαστήματα παρατηρείται μία μείωση της ποιότητας της επικοινωνίας, όταν ο Ήλιος βρίσκεται μέσα στο εύρος του κύριου λοβού ακτινοβολίας του επίγειου σταθμού (ο Ήλιος στην περίπτωση αυτή είναι μια ισχυρή πηγή θορύβου). Όμως, τα χρονικά αυτά διαστήματα μείωσης της ποιότητας των ζεύξεων είναι προβλέψιμα. Οι γεωστατικοί δορυφόροι δεν είναι δυνατό να καλύπτουν περιοχές της Γης με γεωγραφικό πλάτος μεγαλύτερο από τις 75. Αντίθετα, οι περιοχές αυτές καλύπτονται από δορυφόρους που κινούνται σε τροχιές που παρουσιάζουν σημαντικές κλίσεις. Στην περίπτωση αυτή, απαιτείται μια σειρά δορυφόρων για την εξυπηρέτηση μιας περιοχής, ενώ ο επίγειος σταθμός θα πρέπει να διαθέτει ειδικό σύστημα παρακολούθησης του δορυφόρου. Με τον τρόπο αυτό, όταν ένας δορυφόρος "εξέρχεται" από την περιοχή κάλυψης μέσα στην οποία βρίσκεται ο επίγειος σταθμός, ο επόμενος δορυφόρος θα πρέπει να "εισέρχεται" στην ίδια περιοχή και η δορυφορική ζεύξη του επίγειου σταθμού να γίνεται μέσω του νέου δορυφόρου. Οι γεωστατικοί δορυφόροι παρουσιάζουν μία αβεβαιότητα ως προς την ακριβή τους θέση της τάξης των +0,1, που οφείλεται στην ελαφρά εκκεντρότητα της τροχιάς τους. Το γεγονός αυτό σημαίνει ότι η θέση του δορυφόρου προσδιορίζεται με μια αβεβαιότητα ±40km πάνω στην τροχιά του. Οι γωνίες ανύψωσης είναι χαμηλές (της τάξεως των 10 ο ) σε περιοχές με μεγάλο γεωγραφικό πλάτος ή σε περιοχές με πολλά βουνά, αποτελώντας σοβαρό πρόβλημα για τις κινητές επικοινωνίες. Ο αριθμός των δορυφόρων που μπορούν να λειτουργήσουν στη γεωστατική τροχιά είναι προφανώς περιορισμένος, διότι υπάρχει μόνο ένα ισημερινό επίπεδο, και οι δορυφόροι πρέπει να απέχουν μεταξύ τους, για να αποφευχθούν πιθανές παρεμβολές. Η κατανομή της γεωστατικής τροχιάς σε θέσεις ή σχισμές διέπονται από διεθνείς συμβάσεις, μέσω της Διεθνούς Ένωσης Τηλεπικοινωνιών (ITU), σε στενή συνεργασία με τη ζώνη συχνοτήτων και την κατανομή των υπηρεσιών. Λόγω της μεγάλης απόστασης, των φαινομένων σκίασης και πολλαπλών ανακλάσεων, οι γεωστατικοί δορυφόροι δεν συνίστανται για χρήση σε εφαρμογές δορυφορικών κινητών τηλεπικοινωνιών. Περισσότερες λεπτομέρειες για τη γεωστατική τροχιά μπορεί κάποιος να βρει στο Κεφάλαιο 3. 2.7.2 Ηλιο-σύγχρονη τροχιά Ένας ιδιαίτερα σημαντικός τύπος τροχιάς είναι η ηλιο-σύγχρονη τροχιά (Sun-Synchronous Orbit), η οποία θα μπορούσε να χαρακτηριστεί ως LEO, βάσει της απόστασης από την επιφάνεια της Γης. Χρειάζεται ειδική μνεία και μεταχείριση, λόγω της ιδιαίτερης σημασίας της για τους δορυφόρους που προορίζονται για ατμοσφαιρικές μελέτες, για μετεωρολογικές εφαρμογές και εφαρμογές τηλεπισκόπησης, καθώς και για στρατιωτικές εφαρμογές αναγνώρισης. Οι παράμετροι αυτής της τροχιάς είναι επιλεγμένες με τέτοιο τρόπο, ώστε το επίπεδο της τροχιάς να περιστρέφεται με την ίδια περίοδο περίπου που περιστρέφεται η Γη γύρω από τον Ήλιο. Πρακτικά, αυτό σημαίνει ότι το επίπεδο της τροχιάς του δορυφόρου περιστρέφεται κατά 0,9856 ο ανατολικά κάθε ημέρα, όπως και ο ρυθμός της ορθής ανόδου του ανοδικού κόμβου dω/dt. Κάτι τέτοιο μπορεί να συμβεί, επειδή η Γη δεν είναι τελείως σφαιρική, με αποτέλεσμα πρόσθετες βαρυτικές δυνάμεις που δρουν στον δορυφόρο, όταν βρίσκεται κοντά στον ισημερινό, να επιδρούν στην τροχιά του. Λύνοντας την εξίσωση 2-41

(2.64) για κυκλική τροχιά (e=0) και εφαρμόζοντάς τη στην εξίσωση (2.65), προκύπτει ότι dw = - nk 1 dt a cos( i) 2 æ και λύνοντας ως προς i για ρυθμό μεταβολής 0,9856 ο ανά ημέρα, προκύπτει i = arccos -0,9856 a2 ö è ç nk 1 ø, όπου προκύπτουν κυκλικές τροχιές σύγχρονες στον Ήλιο με έγκλιση που εξαρτάται μόνο από την ακτίνα του κύκλου. Αν μια κυκλική τροχιά σύγχρονη στον Ήλιο έχει περίοδο που είναι υποπολλαπλάσιο ή ακέραιο 360 o πολλαπλάσιο μιας αστρικής μέρας, Tac.Per.GhV = 360 o 360 o = = 86164 sec, τότε και ο W E 15.04169 o / h δορυφόρος περνά από τα ίδια σημεία και πάλι, με περίοδο ίση με το σχετικό αριθμό των ημερών. Σε μία ηλιο-σύγχρονη τροχιά ο δορυφόρος περνά από το ίδιο σημείο την ίδια τοπική ώρα, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.31, με την κλίση i να παραμένει σταθερή. Αυτού του είδους η τροχιά χρησιμοποιείται ευρέως σε συστήματα, στα οποία οι δορυφόροι πρέπει να δέχονται ηλιακή ακτινοβολία σταθερά υπό συγκεκριμένη γωνία. Ως αποτέλεσμα αυτής της ιδιότητας, η ηλιο-σύγχρονη τροχιά διασφαλίζει ότι: Ο δορυφόρος περνά πάνω από μια δεδομένη θέση στη Γη κάθε χρόνο στην ίδια τοπική ηλιακή ώρα, εξασφαλίζοντας έτσι σχεδόν τις ίδιες συνθήκες φωτισμού, μεταβάλλοντας της θέση του μόνο με τις εποχές. Ο δορυφόρος εξασφαλίζει την κάλυψη ολόκληρης της επιφάνειας της Γης, λόγω της σχεδόνπολικής τροχιάς του. Σχήμα 2.31 Ηλιο-σύγχρονη τροχιά Κάθε φορά που ένας ηλιο-σύγχρονος δορυφόρος ολοκληρώνει μια πλήρη περιστροφή γύρω από τη Γη, διασχίζει μια λεπτή λωρίδα πάνω στην επιφάνεια της Γης. Κατά τη διάρκεια της επόμενης περιστροφής, διασχίζει μια άλλη λωρίδα, που είναι ολισθημένη προς τα δυτικά, και η διαδικασία της ολίσθησης συνεχίζεται 2-42

με τις διαδοχικές περιστροφές, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.32. Ανάλογα με τις τροχιακές παραμέτρους και την ταχύτητα περιστροφής της Γης, μετά από ένα ορισμένο αριθμό των περιστροφών γύρω από τη Γη, έρχεται πάλι κοντά στην πρώτη λωρίδα που είχε διασχίσει. Δεν μπορεί να επικαλύπτει ακριβώς την πρώτη λωρίδα, καθώς η μέση απόσταση μεταξύ των δύο λωρίδων, που ονομάζεται διάστημα ίχνους (tracking interval), μπορεί να μην είναι ακέραιο πολλαπλάσιο της ισημερινής περιμέτρου. Ωστόσο, ο αριθμός των περιστροφών που απαιτούνται πριν ο δορυφόρος επαναλάβει την ίδια ακολουθία λωρίδων, μπορεί να υπολογιστεί με ακρίβεια. Αυτό ονομάζεται ένας πλήρης τροχιακός κύκλος, που είναι βασικά ο χρόνος που απαιτήθηκε για τον δορυφόρο να ξαναεπισκεφθεί μία συγκεκριμένη τοποθεσία στην ίδια κατεύθυνση. Για να είμαστε περισσότερο ακριβείς, ο τροχιακός κύκλος υποδηλώνει τον συνολικό αριθμό των τροχιακών περιστροφών που πρέπει να κάνει ένας δορυφόρος, ώστε να είναι και πάλι προς την ίδια κατεύθυνση πάνω από το ίδιο σημείο στην επιφάνεια της Γης. Μερικοί δορυφόροι σαρώνουν λωρίδες με σχετικά μεγάλο πλάτος και, επομένως, μπορούν να καλύψουν ολόκληρη τη Γη με λίγες περιστροφές. Αντίθετα, οι δορυφόροι υψηλής ανάλυσης σαρώνουν λωρίδες πολύ μικρού πλάτους και κατά συνέπεια χρειάζονται αρκετές ημέρες, για να καλύψουν ολόκληρη τη Γη. Σχήμα 2.32 Κάλυψη της Γης με δορυφόρους ηλιο-σύγχρονης τροχιάς 2.7.3 Ελλειπτικές τροχιές με μη-μηδενική κλίση Στις τροχιές αυτές, ο δορυφόρος είναι ορατός σε σταθμούς που βρίσκονται κάτω από το απόγειο, για μεγάλο μέρος της περιόδου. Η αύξηση του χρόνου παραμονής στην περιοχή του απογείου επιτυγχάνεται με αύξηση της εκκεντρότητας, ενώ η κύρια έγνοια είναι ο δορυφόρος να επανέρχεται σε ένα απόγειο πάνω από την ίδια περιοχή της Γης. Αυτό επιτυγχάνεται με επιλογή της περιόδου της τροχιάς ως υποπολλαπλάσιο του χρόνου που χρειάζεται η Γη για να εκτελέσει μια πλήρη περιστροφή σε σχέση με την ευθεία των κόμβων. Για να γίνει αυτό, θα πρέπει το όρισμα του περιγείου να γίνει ίσο με 90 ο ή 270 ο, με αποτέλεσμα ο δορυφόρος στο απόγειο επιστρέφει συστηματικά πάνω από τις ίδιες περιοχές ενός δεδομένου ημισφαιρίου. Ειδικότερα, για να έχουμε μηδενική ολίσθηση του περιγείου, θα πρέπει να μηδενιστεί η εξίσωση (2.66). Η τιμή της έγκλισης τότε γίνεται ίση με 63,44 ο και, ως εκ τούτου, δεν λαμβάνει χώρα περιστροφή της γραμμής των αψίδων. Το ίδιο αποτέλεσμα προκύπτει για τη συμπληρωματική γωνία έγκλισης 116,56 ο. Για συνεχή κάλυψη ενός επίγειου σταθμού απαιτούνται πολλαπλοί δορυφόροι-αντικαταστάτες σε παρόμοιες τροχιές με κατάλληλη φάση μεταξύ τους. Το πρόβλημα που μπορεί να δημιουργηθεί είναι η μεταγωγή των ραδιοζεύξεων από τον έναν δορυφόρο στον επόμενο. 2.7.3.1 Τροχιές Molniya 2-43

Οι τροχιές αυτές χρησιμοποιούνται ευρέως από τη Ρωσία και άλλες χώρες της πρώην Σοβιετικής Ένωσης για την παροχή υπηρεσιών επικοινωνίας. Τυπικές τιμές εκκεντρικότητας και έγκλισης για την τροχιά Molniya είναι 0,6-0,75 και 63,44 ο αντίστοιχα. Τα σημεία του απογείου και του περιγείου βρίσκονται περίπου 40.000km και περίπου 400km αντίστοιχα από την επιφάνεια της Γης. Τυπικές τιμές των παραμέτρων της τροχιάς απεικονίζονται στον Πίνακα 2.8 και το ίχνος στην επιφάνεια της Γης δίνεται στο Σχήμα 2.33, όπως έχει αποτυπωθεί από το λογισμικό πρόγραμμα Systems Toolkit της εταιρίας AGI. Περίοδος (Τ) 12h Μισή αστρική μέρα 11h 58min 2sec Μεγάλος ημιάξονας (a) 26.556km Έγκλιση (i) 63,44 o Εκκεντρότητα (e) 0,6 έως 0,75 Ύψος περιγείου (h p) (π.χ. e=0.71) a(1-e)-r E (1.250km) Ύψος απογείου (h a) (π.χ. e=0.71) a(1+e)-r E (39.105km) Πίνακας 2.8 Οι παράμετροι της τροχιάς Molniya Σχήμα 2.33 Παράδειγμα ίχνους της τροχιάς Molniya για ω=270 ο και εκκεντρότητα 0,75 (Πηγή: Wikipedia) Αν θεωρήσουμε ότι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της Γης είναι περίπου ίση με n s/2, όπου n s είναι η μέση κίνηση του δορυφόρου, τότε κάνοντας χρήση των εξισώσεων (2.57) και (2.58), προκύπτει το γεωγραφικό μήκος και πλάτος του δορυφόρου αντίστοιχα (Maral & Bousquet, 2012): { } (2.63) L s ' = arctan éë tan( w +f o )cos( i) ù û - 0,5 éë E - esin( E) ù û - éë E N - esin( E N ) ù û l s = arcsin éë sin( i)sin( w +f o ) ù û (2.64) Με βάση και το Σχήμα 2.33, ο δορυφόρος στο απόγειο περνά διαδοχικά σε κάθε τροχιά πάνω από δύο σημεία, τα οποία απέχουν κατά 180 ο στο γεωγραφικό μήκος. Το απόγειο βρίσκεται πάνω από περιοχές του γεωγραφικού πλάτους 63 ο, όπου το γεωγραφικό πλάτος του ζενίθ είναι ίσο με την τιμή της έγκλισης και το απόγειο συμπίπτει με την κορυφή της γραμμής, όταν το όρισμα του περιγείου είναι ίσο με το 270 ο. Η μεγάλη ελλειπτικότητα της τροχιάς καταλήγει σε ένα χρόνο διέλευσης για το τμήμα της τροχιάς που βρίσκεται στο βόρειο ημισφαίριο μεγαλύτερο απ ό,τι στο νότιο ημισφαίριο. Καθώς το όρισμα του περίγειο είναι 270 ο, η αληθής ανωμαλία κατά τη διέλευση από το ισημερινό επίπεδο έχει τιμή ίση με. Με βάση την εξίσωση (2.33), η έκκεντρη ανωμαλία E N του αντίστοιχου ανοδικού κόμβου έχει τιμή περίπου ίση με E N=42 ο, που υπολογίζεται από την εξίσωση (2.33) με e=0,745. Γνωρίζοντας τη μέση κίνηση του δορυφόρου n s, η εξίσωση (2.37) και (2.38) δίνουν ένα χρόνο διέλευσης t N από το περίγειο στον ανοδικό κόμβο ίσο με t N» 27min και μέση ανωμαλία ανοδικού κόμβου. Ως εκ τούτου, ο δορυφόρος παραμένει για 2-44

χρόνο 2t N»1h στο νότιο ημισφαίριο και για T - 2t N»11h στο βόρειο ημισφαίριο. Ο δορυφόρος παραμένει έτσι για αρκετές ώρες στην περιοχή του απογείου και επομένως είναι ορατός από τις περιοχές που βρίσκονται κάτω από αυτή. Video 2.3 Τροχιές Molniya, Περιγραφή των χαρακτηριστικών των τροχιών Molniya, κάνοντας χρήση του λογισμικού STK της AGI http://www.youtube.com/watch?v=o_iykeouj3g 2.7.3.2 Τροχιές Tundra Οι τροχιές αυτές χρησιμοποιούνται ευρέως από τη Ρωσία και άλλες χώρες της πρώην Σοβιετικής Ένωσης για την παροχή υπηρεσιών επικοινωνίας. Τυπικές τιμές εκκεντρικότητας και έγκλισης για την τροχιά Molniya είναι 0,25-0,4 και 63,44 ο αντίστοιχα και έχει περίοδο μίας αστρικής μέρας. Τυπικές τιμές των παραμέτρων της τροχιάς απεικονίζονται στον Πίνακα 2.9 και το ίχνος στην επιφάνεια της Γης δίνεται στο Σχήμα 2.34, όπου συνήθως είναι της μορφής «οχτώ». Περίοδος (Τ) 24h Αστρική μέρα 23h 56min 4sec Μεγάλος ημιάξονας (a) 42.164Km Έγκλιση (i) 63,44 o Εκκεντρότητα (e) 0,25 έως 0,40 Ύψος περιγείου (h p) (π.χ. e=0.25) a(1-e)-r E (25.231km) Ύψος απογείου (h a) (π.χ. e=0.25) a(1+e)-r E (46.340km) Πίνακας 2.9 Οι παράμετροι της τροχιάς Tundra Σχήμα 2.34 Παράδειγμα ίχνους της τροχιάς Tundra για ω=270 ο και εκκεντρότητα 0,25 Η τροχιά Tundra είναι εννοιολογικά παρόμοια με την τροχιά Molniya. Ο μόνος τρέχων χρήστης των τροχιών Tundra είναι η Sirius Satellite Radio, η οποία διαχειρίζεται έναν αστερισμό των τριών δορυφόρων. Η ορθή άνοδος του ανοδικού κόμβου Ω και η μέση ανωμαλία f o του κάθε δορυφόρου αντισταθμίζεται από 2-45

120 ο, έτσι ώστε, όταν ένας δορυφόρος μετακινείται από τη θέση του, ένας άλλος έχει περάσει από το περίγειο και είναι έτοιμος να αναλάβει την υπηρεσία. Το απόγειο βρίσκεται πάνω από περιοχές του γεωγραφικού πλάτους 63 ο, όπου το γεωγραφικό πλάτος του ζενίθ είναι ίσο με την τιμή της έγκλισης και το απόγειο συμπίπτει με την κορυφή της γραμμής, όταν το όρισμα του περιγείου είναι ίσο με το 270 ο. Αν θεωρήσουμε ότι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της Γης είναι σχεδόν ίση με τη μέση κίνηση του δορυφόρου ( W E» n s ) και το ζενίθ επιλέγεται ως η αρχή του μεσημβρινού αναφοράς, δεδομένου ότι μας ενδιαφέρουν μεγάλα γεωγραφικά πλάτη, τότε στην εξίσωση (2.35) η μέση ανωμαλία M ο ταυτίζεται με τη μέση ανωμαλία του ζενίθ M V. Όσον αφορά το ζενίθ, το γεωγραφικό μήκος l N του κόμβου έχει τιμή l N = -p / 2. Οπότε, προκύπτει το γεωγραφικό μήκος και πλάτος του δορυφόρου αντίστοιχα (Maral & Bousquet, 2012): { } (2.65) L s ' = -arccotan éë tan( w +f o )cos( i) ù û - éë E - esin( E) ù û - éë E V - esin( E V ) ù û l s = arcsin éë sin( i)sin( w +f o ) ù û (2.66) όπου E V είναι η εκκεντρική ανωμαλία του ζενίθ. Ανάλογα με την τιμή της εκκεντρότητας το πάνω μέρος του «οχτώ» στο βόρειο ημισφαίριο αυξομειώνεται. Για τιμή εκκεντρότητας μηδέν, το ίχνος έχει τη μορφή του συμμετρικού «οχτώ» σε σχέση με τον ισημερινό, ενώ για αυξανόμενες τιμές εκκεντρότητας, το πάνω μέρος μικραίνει και εξαφανίζεται για τιμή εκκεντρότητας ίση με 0,42. Η θέση του «οχτώ» μπορεί να μετατοπίζεται προς τη δύση ή την ανατολή σε σχέση με το σημείο του μέγιστου γεωγραφικού πλάτους, αλλάζοντας την τιμή του ορίσματος του περίγειου ω και την εκκεντρικότητα e. 2.7.4 Κυκλικές γεωσύγχρονες τροχιές με μη-μηδενική κλίση Λόγω της κυκλικής τροχιάς, η εκκεντρότητα e ισούται με μηδέν. Η περίοδος της τροχιάς είναι πολύ λίγο διαφορετική από μία αστρική ημέρα και η διαφορά προέρχεται από την επίδραση της ολίσθησης του ανοδικού κόμβου. Η μέση κίνηση n s του δορυφόρου διαφέρει πολύ λίγο από τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της Γης Ω Ε. Άρα, η κίνηση του δορυφόρου στην τροχιά γίνεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα. Αντίθετα, η προβολή αυτής της κίνησης στο ισημερινό επίπεδο δεν έχει σταθερή ταχύτητα. Όπως και στις υπόλοιπες τροχιές, το μέγιστο γεωγραφικό πλάτος που μπορεί να επιτευχθεί είναι ίσο με την τιμή της έγκλισης i. Το μέγιστο γεωγραφικό μήκος και πλάτος του ίχνους της τροχιάς, εξαρτάται από την έγκλιση και υπολογίζεται αντίστοιχα από (Maral & Bousquet, 2012): ( ) é1- cos i ù L' max,s = arcsin ê ú ë1+ cos( i) (2.67) û æ l max,s = 2 sin i ö è ç 2ø (2.68) Στο Σχήμα 2.35 απεικονίζονται διάφορες κυκλικές γεωσύγχρονες τροχιές με έγκλιση i=20 ο, 40 ο και 60 ο. Παρατηρούμε ότι όσο μεγαλώνει η τιμή της έγκλισης τόσο μεγαλώνουν και οι τιμές του γεωγραφικού μήκους και πλάτους του ίχνους. 2-46

Σχήμα 2.35 Ίχνη για διάφορες κυκλικές γεωσύγχρονες τροχιές με έγκλιση (α) i=20 ο, (β) i=40 ο και (γ) i=60 ο 2.7.5 Υπο-σύγχρονες κυκλικές τροχιές με μηδενική κλίση Υπάρχουν περιπτώσεις που ένας δορυφόρος επικοινωνιών χρειάζεται να είναι ορατός από τις περιοχές εξυπηρέτησης κατά τη διάρκεια κάποιων συγκεκριμένων περιόδων και αυτό μπορεί να ποικίλει από μερικές ώρες έως 24 ώρες ανά ημέρα. Όταν η υπηρεσία, η οποία παρέχεται, δεν είναι συνεχής, είναι επιθυμητό η υπηρεσία, που πρέπει να είναι διαθέσιμη, να επαναλαμβάνεται κάθε μέρα την ίδια ώρα. Οι υπο-σύγχρονες ισημερινές τροχιές μπορούν να καλύψουν μία δεδομένη γεωγραφική περιοχή την ίδια τοπική ώρα κάθε ημέρα. Η διάρκεια της υπηρεσίας που μπορεί να παρέχει ένας τέτοιος δορυφόρος σε μια συγκεκριμένη περιοχή είναι συνάρτηση του υψομέτρου και του γεωγραφικού πλάτους του επίγειου δέκτη. Ο Πίνακας 2.10 δείχνει κάποιες χαρακτηριστικές διάρκειες ορατότητας. Τέτοιες τροχιές θα μπορούσαν να υιοθετηθούν π.χ. για δορυφορικά συστήματα ευρυεκπομπής (broadcasting). Περίοδος (Ώρες) Ύψος (km) Αριθμός διαβάσεων ανά μέρα πάνω από ένα επίγειο σημείο Διάρκεια ορατότητας πάνω από τον ορίζοντα σε κάθε διάβαση (h) Στον Ισημερινό Σε γεωγρ. Πλάτος ±15 ο Σε γεωγρ. Πλάτος ±30 ο Σε γεωγρ. Πλάτος ±45 ο 24 35.786 Σταθερός Συνεχής Συνεχής Συνεχής Συνεχής 12 20.240 1 10,1 10,0 9,9 9,3 8 13.940 2 4,8 4,7 4,6 4,2 6 10.390 3 3,0 2,9 2,8 2,5 3 4.190 7 1,0 1,0 0,9 0,6 Πίνακας 2.10 Διάρκεια ορατότητας για γεωστατικούς και υπο-σύγχρονους δορυφόρους με μηδενική κλίση 2.8 Διαταράξεις της τροχιάς Ο τύπος της τροχιάς που έχει περιγραφεί μέχρι τώρα αναφέρεται ως Κεπλεριανή τροχιά, και είναι ελλειπτική για την ειδική περίπτωση ενός τεχνητού δορυφόρου σε τροχιά γύρω από τη Γη. Ωστόσο, η Κεπλεριανή τροχιά είναι ιδανική, υπό την έννοια ότι προϋποθέτει πως η Γη είναι μια ομοιόμορφη σφαιρική μάζα και ότι η μόνη 2-47

δύναμη που ασκείται είναι η φυγόκεντρος δύναμη, η οποία προκύπτει από την κίνηση του δορυφόρου να εξισορροπήσει τη βαρυτική έλξη της Γης. Στην πράξη, υπάρχουν και άλλες δυνάμεις οι οποίες είναι σημαντικές, όπως είναι οι βαρυτικές δυνάμεις του Ήλιου και της Σελήνης και η ατμοσφαιρική έλξη (οπισθέλκουσα). Οι βαρυτικές έλξεις του Ήλιου και της Σελήνης έχουν αμελητέα επίδραση σε δορυφόρους χαμηλής τροχιάς, αλλά επηρεάζουν δορυφόρους σε γεωστατική τροχιά. Η ατμοσφαιρική έλξη από την άλλη πλευρά, έχει αμελητέα δράση σε γεωστατικούς δορυφόρους, αλλά επηρεάζει δορυφόρους χαμηλής τροχιάς κάτω από περίπου 1.000 χιλιόμετρα (Evans, 2008). Συνοψίζοντας, τα κυριότερα αίτια ή δυνάμεις των παρεκκλίσεων ή διαταράξεων των δορυφόρων από την τροχιά τους είναι: Η συνεισφορά των μη σφαιρικών συνιστωσών της γήινης έλξη, λόγω της ασυμμετρίας του γήινου βαρυτικού δυναμικού. Η έλξη του Ήλιου και της Σελήνης. Η πίεση της ηλιακής ακτινοβολίας, η οποία προκαλεί επιτάχυνση ανάλογη της φαινόμενης επιφάνειας του δορυφόρου, που με τη σειρά της, προκαλεί τροποποίηση της εκκεντρότητας της τροχιάς. Η αεροδυναμική οπισθέλκουσα, η οποία είναι η δύναμη αντίθετα στο διάνυσμα της ταχύτητας λόγω ατμοσφαιρικής τριβής. Η ώθηση των κινητήρων του δορυφόρου. Αποτέλεσμα όλων των παραπάνω είναι ότι τελικά οι τροχιακές παράμετροι δεν είναι πλέον σταθερές, όπως στις Κεπλεριανές τροχιές. 2.8.1 Επιδράσεις της μη-σφαιρικής Γης Είναι γνωστό ότι η Γη δεν είναι τελείως σφαιρική με την ύπαρξη μιας ισημερινής διόγκωσης και μιας ισοπέδωσης στους πόλους, ένα σχήμα που περιγράφεται ως ένα πεπλατυσμένο σφαιροειδές. Όταν το πεπλατυσμένο σχήμα της Γης ληφθεί υπόψη, η μέση κίνηση n τροποποιείται σε (Roddy, 2006): ( ) ì ï1+ K 1 1-1,5sin 2 i n = n éë ù ü û ï o í îï a 2 ( 1- e 2 ) 1,5 ý þï (2.69) όπου n o είναι η μέση κίνηση της Γης θεωρώντας τη σφαιρική και με ομοιόμορφη μάζα (εξίσωση 2.36) και Κ 1 είναι μία σταθερά, η οποία αποτιμάται σε 66.063,1704km. Το πεπλατυσμένο σχήμα της Γης παράγει, επίσης, δύο περιστροφές του τροχιακού επιπέδου. Η πρώτη από αυτές, που είναι γνωστή ως παλινδρόμηση των κόμβων (regression of the nodes), είναι όπου οι κόμβοι φαίνεται να ολισθαίνουν κατά μήκος του ισημερινού. Στην πραγματικότητα, η γραμμή των κόμβων, η οποία βρίσκεται στο ισημερινό επίπεδο, περιστρέφεται γύρω από το κέντρο της Γης. Έτσι, η ορθή άνοδος του ανοδικού κόμβου Ω, μετατοπίζει τη θέση της. Εάν η τροχιά είναι ορθή, οι κόμβοι ολισθαίνουν προς τα δυτικά, και αν είναι ανάδρομη, ολισθαίνουν προς τα ανατολικά. Όπως φαίνεται από τον ανοδικό κόμβο, ένας δορυφόρος σε ορθή τροχιά κινείται προς τα ανατολικά, και σε ανάδρομη τροχιά, προς τα δυτικά. Επομένως, οι κόμβοι κινούνται σε μια κατεύθυνση αντίθετη προς την κατεύθυνση κίνησης του δορυφόρου και ως εκ τούτου, ορίζεται ο όρος παλινδρόμησης των κόμβων. Για μια πολική τροχιά (i=90 ), η παλινδρόμηση είναι μηδέν. Η δεύτερη επίδραση είναι η περιστροφή των αψίδων στο τροχιακό επίπεδο, που περιγράφεται παρακάτω. Αμφότερες οι επιδράσεις εξαρτώνται από τη μέση n κίνηση, τον μεγάλο ημιάξονα άξονα a και την εκκεντρικότητα e. Αυτοί οι παράγοντες μπορούν να ομαδοποιηθούν σε έναν παράγοντα Κ, που δίνεται από: nk K = 1 a 2 1- e 2 ( ) 2 (2.70) 2-48

όπου ο παράγοντας Κ έχει τις ίδιες μονάδες με τη μέση κίνηση n (rad/ημέρα ή μοίρες/ημέρα). Μία προσεγγιστική έκφραση για τον ρυθμό μεταβολής του Ω σε σχέση με τον χρόνο είναι: dw dt = -K cos( i) (2.71) και θα έχει τις ίδιες μονάδες με τη μέση κίνηση n. Όταν ο ρυθμός μεταβολής που δίνεται από την εξίσωση (2.65) είναι αρνητικός, η κατεύθυνση της παλινδρόμησης είναι προς τα δυτικά, και όταν ο ρυθμός είναι θετικός, η κατεύθυνση της παλινδρόμησης είναι προς τα ανατολικά. Για ανατολική κατεύθυνση της παλινδρόμησης, πρέπει η έγκλιση i να είναι μεγαλύτερη από 90 ή η τροχιά θα πρέπει να είναι ανάδρομη. Είναι δυνατόν να επιλεγούν τιμές του a, e, και i, έτσι ώστε ο ρυθμός περιστροφής να είναι 0,9856 /ημέρα προς τα ανατολικά. Μια τέτοια τροχιά ονομάζεται Ήλιοσύγχρονη (sun-synchronous) και περιγράφεται στην Ενότητα 2.7.2. Μία άλλη σημαντική επίδραση που παράγεται από την ισημερινή διόγκωση, είναι η περιστροφή της γραμμής των αψίδων στο τροχιακό επίπεδο, όπου η τιμή του περιγείου αλλάζει με τον χρόνο, και στην πραγματικότητα ο ρυθμός μεταβολής του ορίσματος του περιγείου ω, δίνεται από: dw dt = K éë 2-2,5sin 2 ( i) ù û (2.72) Πάλι, οι μονάδες του ρυθμού μεταβολής της περιστροφής της γραμμής των αψίδων θα ακολουθούν τις μονάδες της μέσης κίνησης n. Όταν η έγκλιση i είναι ίση με 63,435, ο όρος μέσα στην παρένθεση είναι ίσος με μηδέν, και ως εκ τούτου δεν λαμβάνει χώρα περιστροφή της γραμμής των αψίδων. Η χρήση αυτού του γεγονότος υλοποιείται στην τροχιά που επελέγη για τους ρωσικούς δορυφόρους Molniya και Tundra. Πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι η τροχιά δεν είναι μια φυσική οντότητα και είναι οι δυνάμεις που προκύπτουν από την πεπλατυσμένη Γη και που δρουν στον δορυφόρο για να παράγουν τις αλλαγές στις παραμέτρους της τροχιάς. Έτσι, αντί ο δορυφόρος να ακολουθεί μια κλειστή ελλειπτική διαδρομή σε ένα σταθερό επίπεδο, ολισθαίνει ως αποτέλεσμα της παλινδρόμησης των κόμβων και το γεωγραφικό πλάτος του πλησιέστερου σημείου στη Γη (περίγειο) αλλάζει ως αποτέλεσμα της περιστροφής της γραμμής των αψίδων. Με αυτό το σκεπτικό, είναι επιτρεπτό να απεικονιστεί η τροχιά του δορυφόρου ως μια κλειστή ελλειπτική τροχιά, αλλά με την τροχιά να κινείται σε σχέση με τη Γη, ως αποτέλεσμα των αλλαγών στις τιμές του Ω και ω. Εκτός από την ισημερινή διόγκωση, η Γη δεν είναι απόλυτα κυκλική στο ισημερινό επίπεδο και έχει μία μικρή εκκεντρικότητα της τάξης του 10-5. Αυτό αναφέρεται ως ισημερινή ελλειπτικότητα (equatorial ellipticity). Η επίδραση της ισημερινής ελλειπτικότητας είναι να δημιουργήσει μία κλίση (gradient) της βαρύτητας, που έχει έντονη επίδραση επί των δορυφόρων σε γεωστατική τροχιά. Εν συντομία, ένας δορυφόρος σε γεωστατική τροχιά ιδανικά θα πρέπει να παραμείνει σταθερός σε σχέση με τη Γη. Η κλίση της βαρύτητας που προκύπτει από την ισημερινή ελλειπτικότητα, προκαλεί στους δορυφόρους σε γεωστατική τροχιά να ολισθήσουν σε ένα από τα δύο σταθερά σημεία, τα οποία συμπίπτουν με τον μικρό ημιάξονα της ισημερινής έλλειψης. Αυτά τα δύο σημεία έχουν απόσταση 180 σχετικά με τον ισημερινό και βρίσκονται περίπου στα γεωγραφικά μήκη 75 E και 105 W αντίστοιχα (Σχήμα 2.36). Οι δορυφόροι, που είναι εν ενεργεία, εμποδίζονται να ολισθήσουν σ αυτά τα σημεία, μέσω διάφορων ελιγμών. Επειδή οι μη επανδρωμένοι και χαλασμένοι δορυφόροι τελικά ολισθαίνουν σ αυτά τα σημεία, τα σημεία αυτά αναφέρονται και ως «δορυφορικά νεκροταφεία». 2-49

Σχήμα 2.36 Δυνάμεις πάνω σε έναν δορυφόρο σύγχρονης τροχιάς 2.8.2 Ατμοσφαιρική έλξη (οπισθέλκουσα) Για δορυφόρους που βρίσκονται κοντά στη Γη, κάτω από περίπου 1.000 χιλιόμετρα, οι επιπτώσεις της ατμοσφαιρικής οπισθέλκουσας είναι σημαντική. Επειδή η οπισθέλκουσα είναι μέγιστη στο περίγειο, ενεργεί με τέτοιο τρόπο, ώστε να μειώσει την ταχύτητα σ αυτό το σημείο, με αποτέλεσμα ο δορυφόρος να μη φθάνει στο ίδιο ύψος απογείου σε διαδοχικές περιστροφές. Το αποτέλεσμα είναι να μειώνεται ο μεγάλος ημιάξονας και η εκκεντρότητα. Η οπισθέλκουσα δεν αλλάζει αισθητά τις άλλες παραμέτρους της τροχιάς, μεταξύ των οποίων το ύψος του περιγείου. 2.9 Επιδράσεις στην απόδοση των δορυφόρων Εκτός των προαναφερθέντων διαταράξεων της τροχιάς ενός δορυφόρου, υπάρχουν και άλλες σημαντικές παράμετροι που επηρεάζουν την επικοινωνία δορυφόρου-γης και συντελούν στη λήψη μέτρων για την αντιμετώπισή τους. Όπως γνωρίζουμε, ο δορυφόρος περιστρέφεται διαρκώς γύρω από τη Γη και η κίνηση του δορυφόρου έχει σημαντικές επιπτώσεις στην απόδοσή του. Αυτές περιλαμβάνουν τη μετατόπιση Doppler, το φαινόμενο που οφείλεται στη διακύμανση της τροχιακής απόστασης με άμεση επίπτωση στην καθυστέρηση των σημάτων, την επίδραση της ηλιακής έκλειψης και συζυγίας Ήλιου, δορυφόρου και επίγειου σταθμού. 2.9.1 Φαινόμενο Doppler Οι γεωστατικοί δορυφόροι εμφανίζονται ακίνητοι σε σχέση με έναν τερματικό επίγειο σταθμό, ενώ στην περίπτωση των δορυφόρων σε χαμηλή τροχιά, ο δορυφόρος είναι σε σχετική κίνηση σε σχέση με το τερματικό. Αποτέλεσμα αυτής της κίνησης, συνήθως με μεγάλη ταχύτητα, είναι η ύπαρξη ορισμένων μεταβολών μεταξύ του δορυφόρου και του επίγειου τερματικού σταθμού. Καθώς ο δορυφόρος κινείται σε σχέση με τον επίγειο τερματικό σταθμό, η συχνότητα του δορυφόρου πομπού μεταβάλλεται σε σχέση με τον δέκτη του επίγειου τερματικού σταθμού. Περισσότερες λεπτομέρειες για το φαινόμενο Doppler, μπορεί κανείς να βρει στο Κεφάλαιο 7. 2.9.2 Μεταβολές στην τροχιακή απόσταση 2-50

Η διακύμανση των τροχιακών αποστάσεων έχει ως αποτέλεσμα τη μεταβολή της απόστασης μεταξύ του δορυφόρου και του επίγειου τερματικού σταθμού. Εάν ένας σύστημα πολλαπλής πρόσβασης με διαίρεση χρόνου (Time Division Multiple Access, ΤDΜΑ) υιοθετείται από τον δορυφόρο, ο χρονισμός των πλαισίων εντός των ΤDΜΑ ριπών θα πρέπει να ελεγχθεί προσεκτικά, έτσι ώστε τα τερματικά των χρηστών να λαμβάνουν τα σωστά δεδομένα στον σωστό χρόνο. Οι μεταβολές της απόστασης είναι περισσότερο συνήθεις σε δορυφόρους χαμηλής και μεσαίας τροχιάς, σε σύγκριση με τους γεωστατικούς δορυφόρους. 2.9.3 Έκλειψη Ηλίου Υπάρχουν φορές που οι δορυφόροι δεν λαμβάνουν την ηλιακή ακτινοβολία, εξαιτίας της παρεμπόδισης από ένα ουράνιο σώμα. Κατά τη διάρκεια αυτών των περιόδων, οι δορυφόροι λειτουργούν με τη χρήση μπαταριών επί του σκάφους. Ο σχεδιασμός των μπαταριών είναι τέτοιος, έτσι ώστε να παρέχουν συνεχή ισχύ κατά τη διάρκεια της έκλειψης. Οι επίγειοι σταθμοί ελέγχου εκτελούν ρουτίνες προετοιμασίας πριν από την εμφάνιση μιας έκλειψης, με σκοπό να εξασφαλιστεί η καλύτερη δυνατή απόδοση κατά τη διάρκεια της έκλειψης. Αυτές περιλαμβάνουν την αποφόρτιση των μπαταριών κοντά σε μέγιστο σημείο αποφόρτισης και στη συνέχεια την πλήρη επαναφόρτισή τους, λίγο πριν συμβεί η έκλειψη. Επίσης, η ταχύτητα με την οποία ο δορυφόρος εισέρχεται και εξέρχεται από τη σκιά του ουράνιου σώματος δημιουργεί ξαφνικές καταστάσεις με την απότομη αλλαγή της θερμοκρασίας. Ο δορυφόρος έχει σχεδιαστεί με τέτοιο τρόπο, έτσι ώστε να μπορεί να αντιμετωπίσει αυτές τις θερμικές καταπονήσεις (Maini & Agrawal, 2011). Κατά τη διάρκεια μιας ηλιακής έκλειψης, η αποτυχία του ηλιακού φωτός να φτάσει τον δορυφόρο, έχει ως αποτέλεσμα τη διακοπή της διαδικασίας φόρτισης της μπαταρίας και έτσι ο δορυφόρος κινδυνεύει να εξαντληθεί από ηλεκτρική ισχύ. Επίσης, δημιουργείται μία απότομη πτώση της θερμοκρασίας, προκαλώντας προβλήματα στη λειτουργία του ωφέλιμου φορτίου του δορυφόρου. Αυτό δεν επηρεάζει σημαντικά τους δορυφόρους χαμηλής ισχύος, οι οποίοι μπορούν, συνήθως, να συνεχίσουν τη λειτουργία τους με εφεδρική ισχύ. Ωστόσο, οι δορυφόροι υψηλής ισχύος διακόπτουν τη λειτουργία τους, εκτός από τις πλέον βασικές λειτουργίες. Με αναφορά στους δορυφόρους, μια έκλειψη λέγεται ότι συμβαίνει, όταν το φως του Ήλιου δεν φθάνει στο ηλιακό πάνελ του δορυφόρου, που οφείλεται σε παρεμπόδιση από ένα ουράνιο σώμα. Η μεγαλύτερη και πιο συχνή αιτία μιας έκλειψης οφείλεται, όταν ο δορυφόρος εισέρχεται στη σκιά της Γης (Σχήμα 2.37(α)). Αυτό είναι γνωστό ως ηλιακή έκλειψη. Η έκλειψη είναι ολική, δηλαδή ο δορυφόρος αποτυγχάνει να λάβει το ηλιακό φως, αν περνά μέσα από την κεντρική σκιά (umbra), η οποία είναι η σκοτεινή κεντρική περιοχή της σκιάς, και λαμβάνει πολύ λίγο φως, αν αυτό περνά μέσα από το ημίφως (penumbra), η οποία είναι η λιγότερο σκοτεινή περιοχή που περιβάλλει τη σκιά (Σχήμα 2.37(β)). (α) 2-51

(β) Σχήμα 2.37 (α) Ηλιακή Έκλειψη, (β) Σκιά της Γης Για να υπάρχει έκλειψη ηλίου από τη Γη, πρέπει να ισχύει η παρακάτω εξίσωση για το γεωγραφικό πλάτος l s του δορυφόρου, σε σχέση με την απόκλιση δ του Ήλιου (βλ. Σχήμα 2.16): æ -d - arcsin R ö E è ç ø < l < -d + arcsin æ R ö E s è ç ø R s R s (2.73) Το κέντρο της έκλειψης αντιστοιχεί σε μία τιμή της κομβικής γωνιακής επιμήκυνσης του δορυφόρου u και η οποία ικανοποιεί τη σχέση: a SUN +p = W + arctan éë tan( u)cos( i) ù û (2.74) Η διάρκεια της έκλειψης έχει μεγάλη επίδραση στον δορυφόρο και εξαρτάται από την απόσταση R s και την κλίση i της τροχιάς. Μεγάλες χρονικές περίοδοι έκλειψης παρατηρούνται, όταν η απόκλιση του Ήλιου α SUN είναι ίση με την κλίση i της τροχιάς του δορυφόρου. Ένας άλλος τύπος έκλειψης είναι η σεληνιακή έκλειψη, η οποία συμβαίνει όταν η σκιά του φεγγαριού διέρχεται μέσω του δορυφόρου (Σχήμα 2.38). Η τροχιά της Σελήνης έχει μεγάλο ημιάξονα 384.400km, περίοδο 27 ημερών και έγκλιση 5,14 ο σε σχέση με την ελλειπτική, με ανάδρομη τροχιά σε σχέση με τη Γη. Οι εκλείψεις, που οφείλονται στη Σελήνη, συμβαίνουν σε άτακτα χρονικά διαστήματα, δεν έχουν σταθερή διάρκεια, ενώ δεν καλύπτουν εντελώς τον ηλιακό δίσκο. Γενικά, δεν περιορίζουν σημαντικά τη λειτουργία του δορυφόρου, εκτός και αν συμβαίνουν πριν ή μετά την έκλειψη του ηλίου από τη Γη, εκτείνοντας έτσι τον συνολικό χρόνο παραμονής του δορυφόρου στη σκιά ή στο ημίφως. Video 2.4 Video από http://www.mogi-vice.com/pagine/downloads.html 2-52

Σχήμα 2.38 Έκλειψη της Σελήνης 2.9.4 Συζυγία Ήλιου-Δορυφόρου-Επίγειου Σταθμού Υπάρχουν φορές που ο δορυφόρος περνά ακριβώς ανάμεσα στον Ήλιο και τη Γη. Η κεραία του επίγειου σταθμού θα λαμβάνει σήματα από τον δορυφόρο, καθώς και τη μικροκυματική ακτινοβολία που εκπέμπεται από τον Ήλιο, αυξάνοντας τη θερμοκρασία της κεραίας και αντίστοιχα τον θερμικό θόρυβο της κεραίας. Για να συμβεί αυτό σε έναν επίγειο σταθμό, που βρίσκεται στο ίχνος του δορυφόρου, θα πρέπει: Το γεωγραφικό πλάτος του δορυφόρου να ισούται με την απόκλιση του Ήλιου, l s = a SUN. Το γεωγραφικό μήκος του δορυφόρου να ισούται με το γεωγραφικό μήκος του Ήλιου. 2-53