Physics by Chris Simopoulos

Ενότητα : Θέση Μετατόπιση Οµαλή κίνηση ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ο Η απόσταση δύο πόλεων Α και Β είναι Κm. Από την πόλη Α ξεκινά ένα κινητό κινούµενο µε σταθερή ταχύτητα υ 7 Κm/h κατευθυνόµενο προς την πόλη Β. Ταυτόχρονα από την πόλη Β ξεκινά ένα δεύτερο κινητό κινούµενο µε σταθερή ταχύτητα υ Κm/h κατευθυνόµενο προς την πόλη Α. Να υπολογίσετε α) που και πότε θα συναντηθούν τα δύο κινητά αν κινούνται κατά αντίθετο φορά. β) που και πότε θα συναντηθούν τα δύο κινητά αν το κινητό Α κινείται κατευθυνόµενο προς την πόλη Β ενώ το κινητό Β κινείται έτσι ώστε να αποµακρύνεται από την πόλη Α (δηλαδή κινούνται µε την ίδια φορά). α) Αρχικά µετατρέπω τις ταχύτητες των κινητών σε m/sec υ υ Km m 7 7 υ h 6 sec Km m υ h 6 sec,8 m / sec,89 m / sec Ακόµη ΑΒ Km. m Αν ξεκινάνε από το Α και Β αντίστοιχα την ίδια χρονική στιγµή έχουν αντίθετες φορές και συναντώνται στο Γ τότε ισχύει ΑΒ ΑΓ + ΒΓ. (A) υ ( Γ) υ (B) Φαινόµενο: Ευθύγραµµη οµαλή κίνηση Εφαρµόζουµε: Χρονική εξίσωση κίνησης χωριστά για κάθε κινητό υ υ () () Ισχύουν επίσης οι σχέσεις διαστηµάτων και οι σχέσεις χρόνων

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟΜΟΣ I AB + () (4) Αντικαθιστώ στην σχέση () τις () και () και υπολογίζουµε µετά από πόσο χρόνο θα συναντηθούν τα κινητά () AB + AB υ +υ ABυ. 7,46,8+,89 +υ (4) ABυ sec +υ Αντικαθιστώντας στις () ή () υπολογίζουµε το σηµείο συνάντησης υ,8 7,46 4998,8 β) Αν ξεκινάνε από το Α και Β αντίστοιχα την ίδια χρονική στιγµή έχουν αντίθετες φορές και συναντώνται στο Γ τότε ισχύει ΑΒ ΑΓ - ΒΓ. (A) υ υ (B) m ( Γ) Φαινόµενο: Ευθύγραµµη οµαλή κίνηση Εφαρµόζουµε: Χρονική εξίσωση κίνησης χωριστά για κάθε κινητό υ υ () () Ισχύουν επίσης οι σχέσεις διαστηµάτων και οι σχέσεις χρόνων AB (4) () Αντικαθιστώ στην σχέση () τις () και () και υπολογίζουµε µετά από πόσο χρόνο θα συναντηθούν τα κινητά

Ενότητα : Θέση Μετατόπιση Οµαλή κίνηση () AB AB υ υ ABυ. 6,8,89 υ (4) ABυ sec υ Αντικαθιστώντας στις () ή () υπολογίζουµε το σηµείο συνάντησης υ,8 6 76, ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ο Με βάση τη γραφική παράσταση του διαστήµατος σε συνάρτηση µε το χρόνο ενός κινητού που εκτελεί ευθύγραµµη κίνηση να υπολογίσετε α) την ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγµή sec β) την ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγµή sec γ) την ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγµή 6 sec δ) να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας σε συνάρτηση µε το χρόνο κίνησης του κινητού στη διάρκεια των πρώτων sec. Από το διάγραµµα φαίνεται ότι το αυτοκίνητο εκτελεί τρεις ευθύγραµµες και οµαλές κινήσεις. Ι) Στην πρώτη µισή ώρα (- sec) κινείται µε σταθερή ταχύτητα που υπολογίζεται από την κλίση της ευθείας και είναι ίση µε υ υ υ m /sec ΙΙ) Τα επόµενα δευτερόλεπτα (-4 sec) το κινητό βρίσκεται στην ίδια θέση άρα ηρεµεί υ m /sec m S (m) 4 (sec)

4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟΜΟΣ I ΙΙΙ) Τα τελευταία δευτερόλεπτα (4- sec) επιστρέφει προς την αφετηρία κινούµενο µε σταθερή ταχύτητα που υπολογίζεται από την κλίση της ευθείας και είναι ίση µε υ υ 4 υ m /sec Εποµένως α) Η ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγµή sec είναι ίση µε υ m/sec β) Η ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγµή sec υ(m/sec) είναι ίση µε υ m/sec γ) Η ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγµή 6 sec είναι ίση µε υ -/ m/sec 4 δ) Η γραφική παράσταση ταχύτητας - χρόνου στη -/ διάρκεια των sec φαίνεται στο διπλανό διάγραµµα. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ο Ένα κινητό έχει αρχική ταχύτητα υ 6 Κm/h και εκτελεί κίνηση ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση µε επιβράδυνση α 7 m/sec. Να υπολογίσετε το διάστηµα που θα διανύσει το κινητό α) µέχρι η ταχύτητα να ελαττωθεί στο µισό της αρχικής και β) µέχρι να σταµατήσει. 6 Km/h m/sec Φαινόµενο: Ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση του δεύτερου κινητού Εφαρµόζουµε: Χρονικές εξισώσεις κίνησης υ υ υ α α () () ( sec)

Ενότητα : Θέση Μετατόπιση Οµαλή κίνηση α) Όταν η ταχύτητα ελαττωθεί στο µισό θα είναι ίση µε 7, m/sec οπότε η () γράφεται 7, ( ) 7, 7, sec 7 Οπότε η () µας δίνει (), 7, 8,7 4,7 4,7 m β) Όταν σταµατήσει η ταχύτητα θα µηδενιστεί οπότε η () γράφεται ( ) 7, sec 7 Οπότε η () µας δίνει (), 7, 7, 8,7 8,7 m. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4 ο Ένα κινητό ξεκινά από την ηρεµία και κινείται ευθύγραµµα οµαλά επιταχυνόµενα. Μετά από χρόνο sec ο οδηγός διαπιστώνει ότι η ταχύτητά του είναι υ 6 m/sec και διατηρεί την ταχύτητα του κινητού σταθερή για τα επόµενα sec. Κατόπιν αντιλαµβάνεται κάποιο εµπόδιο και επιβραδύνει οµαλά το κινητό οπότε και σταµατά µετά από χρόνο sec από τη στιγµή που άρχισε να επιβραδύνει το κινητό. Να υπολογίσετε α) την ταχύτητα του κινητού τη στιγµή που αρχίζει να επιβραδύνεται β) το ολικό διάστηµα που θα διανύσει το κινητό και γ) να σχεδιάσετε τα διαγράµµατα ταχύτητας χρόνου υ f(), επιτάχυνσης χρόνου α f(). Σχεδιάζουµε σχήµα στο οποίο δείχνουµε τις διαδοχικές κινήσεις του κινητού.

6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟΜΟΣ I Επιταχυνόµενη Οµαλή Επιβραδυνόµενη (A) (B) ( Γ ) ( ) υ υ Στη συνέχεια εφαρµόζουµε τις χρονικές εξισώσεις για κάθε κίνηση χωριστά προσέχοντας να τοποθετούµε διαφορετικούς δείκτες η τελική ταχύτητα του προηγούµενου διαστήµατος να είναι αρχική για το επόµενο διάστηµα. (ΑΒ): Ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα υ α α () () (ΒΓ): Ευθύγραµµη οµαλή κίνηση υ () (Γ ): Ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση υ υ α α (4) υ () Ισχύουν επιπλέον οι σχέσεις διαστηµάτων δηλαδή + + (6) Κάνοντας αντικαταστάσεις στις παραπάνω σχέσεις έχουµε ( ) 6α α m / sec ( ) ( ) 6 6 4 ( 4) 6 α m m 6α α 4 m / sec

Ενότητα : Θέση Μετατόπιση Οµαλή κίνηση 7 ( ) 6 4 9 4 α) η ταχύτητα του κινητού τη στιγµή που αρχίζει να επιβραδύνεται είναι ίση µε υ6 m/sec β) το ολικό διάστηµα που θα διανύσει το κινητό υπολογίζεται από την σχέση (6) ( 6) + + 4+ 6+ 4 4 4 γ) Τα διαγράµµατα ταχύτητας χρόνου υ f() και επιτάχυνσης χρόνου α f() φαίνονται στο διπλανό σχήµα υ(m/sec) 6 4 (sec) α(m/sec ) m m 4 (sec) -4 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ο Ένα κινητό ξεκινά την κίνησή του από τυχαίο σηµείο Α µε σταθερή ταχύτητα υ 7 Κm/h. Μετά από χρόνο sec ξεκινά από το ίδιο σηµείο Α ένα δεύτερο κινητό µε αρχική ταχύτητα υ m/sec και σταθερή επιτάχυνση α m/sec. Να υπολογίσετε α) το χρόνο που θα συναντηθούν τα δύο κινητά και β) το σηµείο συνάντησης των κινητών. Αρχικά µετατρέπω την ταχύτητα υ στο σύστηµα S.I. υ Km m 7 7 υ h 6sec m / sec

8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟΜΟΣ I Τα δύο κινητά ξεκινούν από το ίδιο σηµείο Α διαφορετική χρονική στιγµή έχουν την ίδια φορά κίνησης και συναντώνται στο σηµείο Β. Άρα διανύουν το ίδιο διάστηµα σε διαφορετικό χρόνο. (A) υ υ (B) Φαινόµενο: Ευθύγραµµη οµαλή κίνηση του πρώτου κινητού Εφαρµόζουµε: Χρονική εξίσωση κίνησης υ () Φαινόµενο: Ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση του δεύτερου κινητού Εφαρµόζουµε: Χρονικές εξισώσεις κίνησης υ υ +α + α () υ () Ισχύουν επίσης οι σχέσεις διαστηµάτων και οι σχέσεις χρόνων AB () 6+ (4) Αντικαθιστώ στην σχέση (4) τις () και () και υπολογίζουµε µετά από πόσο χρόνο θα συναντηθούν τα κινητά () () AB υ υ + α υ υ ( ) + α ( ) ( ) + ( ) 6 + 9 6 7+ Λύνουµε το πιο πάνω τριώνυµο και προκύπτουν δύο λύσεις 4 7

Ενότητα : Θέση Μετατόπιση Οµαλή κίνηση 9 4± 4 4 ( 7) 4± 96+ 8 4 7, 4+ 7,44,44 4± 4 4± 7,44,, 4 7,44,44,7 sec,7sec Από τις δύο λύσεις δεκτή είναι η πρώτη. Άρα,7 sec Αντικαθιστώντας στις () ή () υπολογίζουµε το σηµείο συνάντησης,7 4,4 m ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 6 ο Να υπολογίσετε µε πόση αρχική ταχύτητα πρέπει να ρίξουµε από ύψος h m κατακόρυφα προς τα κάτω ένα σώµα ώστε να φτάσει στο έδαφος µέσα σε χρόνο sec. Με πόση ταχύτητα φτάνει το σώµα στο έδαφος; ίνεται η επιτάχυνση βαρύτητας g m/sec. Το βάρος του σώµατος έχει φορά ίδια µε τη φορά κινήσεως του σώµατος και εποµένως η κίνηση είναι ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη µε αρχική ταχύτητα υ r και επιτάχυνση g r. Ισχύουν οι εξισώσεις: Άξονας B m g α g κίνηση οµαλά επιταχυνόµενη S υ + g () B υ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟΜΟΣ I υ Η σχέση () µας δίνει υ + g () () υ + υ υ υ m / sec + 4 υ + Οπότε από τη σχέση () υπολογίζουµε την ταχύτητα µε την οποία το σώµα φτάνει στο έδαφος. ( ) υ + υ Στα παρακάτω σχήµα τα φαίνεται η δράση τριών δυνάµεων σε ένα m / sec ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 7 ο υλικό σηµείο. Να υπολογίσετε τη συνισταµένη των οµοεπίπεδων δυνάµεων, που έχουν µέτρα Ν, 6 Ν, Ν. ίνονται συνφ,6 ηµφ,8. Επειδή οι δυνάµεις βρίσκονται τοποθετηµένες στο ορθογώνιο σύστηµα αξόνων εφαρµόζουµε απευθείας µέθοδο αξόνων. 8 6 N (α) Με βάση το πυθαγόρειο θεώρηµα υπολογίζω την συνισταµένη δύναµη ολ. N φ (β) φ (γ) ολ O θ

Ενότητα : Θέση Μετατόπιση Οµαλή κίνηση ολ ολ + ολ. ολ 8 + 6 N και η διεύθυνση καθορίζεται από την εφαπτοµένη εφθ εφθ εφ 8 6 θ 4 Β) Επειδή οι δυνάµεις βρίσκονται τοποθετηµένες στο ορθογώνιο σύστηµα αξόνων εφαρµόζουµε απευθείας µέθοδο αξόνων. Αναλύουµε τη δύναµη σε συνιστώσες και τις υπολογίζουµε από τις σχέσεις ηµιτόνου και συνηµιτόνου. ηµϕ,8 συνϕ,6 8 N 6 N ολ 64+ 6 Οπότε η συνισταµένη δύναµη σε κάθε άξονα είναι ίση µε 8 6 6 N N Με βάση το πυθαγόρειο θεώρηµα υπολογίζω την συνισταµένη δύναµη ολ. ολ ολ + 8 N ολ 8 + και η διεύθυνση καθορίζεται από την εφαπτοµένη εφθ εφ 8 θ εφθ,8 ολ 64+ ολ φ O 6.4

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟΜΟΣ I Γ) Επειδή οι δυνάµεις βρίσκονται τοποθετηµένες στο ορθογώνιο σύστηµα αξόνων εφαρµόζουµε απευθείας µέθοδο αξόνων. Αναλύουµε τη δύναµη σε συνιστώσες και τις υπολογίζουµε από τις σχέσεις ηµιτόνου και συνηµιτόνου. ηµϕ,8 συνϕ,6 8 N 6 N Οπότε η συνισταµένη δύναµη σε κάθε άξονα είναι ίση µε 6 6 N 8 6 N Οπότε ολ -6 N και η διεύθυνση της είναι κατακόρυφη. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 8 ο Σώµα µε βάρος Β Ν κρέµεται από νήµα και ισορροπεί σε κατακόρυφη θέση. Ασκούµε στο σώµα µία σταθερή οριζόντια δύναµη r η οποία το µετατοπίζει σε τέτοια θέση ώστε το νήµα να σχηµατίζει µε την κατακόρυφη γωνία φ και το σώµα να ισορροπεί στη νέα θέση. Να υπολογίσετε το µέτρο της δύναµης r που ασκούµε και την τάση του νήµατος Τ. Στο σώµα ενεργούν οι δυνάµεις το βάρος του B r, η τάση του νήµατος T r και η δύναµη r που ασκούµε. Αναλύουµε τις πλάγιες δυνάµεις στο σύστηµα των ορθογωνίων o T B φ O

Ενότητα : Θέση Μετατόπιση Οµαλή κίνηση αξόνων και υπολογίζουµε τις συνιστώσες τους σε κάθε άξονα µε βάση το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηµατίζεται. T T συν T T T T ηµ T T Αφού το σώµα ισορροπεί θα ισχύει Φαινόµενο: Ισορροπία του αθλητή Εφαρµόζουµε: Συνθήκες ισορροπίας. r Σ T T T r T Σ T B T B T Οπότε η σχέση () γράφεται ( ) N Όλα τα οµογενή σώµατα εδώ θα τα θεωρούµε σαν υλικά σηµεία και όλες οι δυνάµεις θα περνάνε από το κέντρο του. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 9 ο Σε σώµα µάζας m 4 Kgr που αρχικά ηρεµεί ενεργεί οριζόντια δύναµη σταθερού µέτρου 8 N για χρονικό διάστηµα 4 sec. Μετά η δύναµη σταµατά να ενεργεί και το σώµα συνεχίζει τη κίνηση του. Να µελετήσετε τη κίνηση του σώµατος για χρονικό διάστηµα sec από τη στιγµή που άρχισε να ενεργεί η δύναµη και να υπολογίσετε α) το συνολικό διάστηµα που διανύει στο χρόνο των sec και β) την τελική ταχύτητα του σώµατος. () N T o T B T

4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟΜΟΣ I α) Σχεδιάζουµε σχήµα στο οποίο δείχνουµε τις διαδοχικές κινήσεις του κινητού. Σε κάθε διάστηµα και σε τυχαία θέση τοποθετούµε τις δυνάµεις που ενεργούν στο σώµα. Έτσι (O) Επιταχυνόµενη N Οµαλή (A) N ( Γ) B υ B Στο διάστηµα (ΟΑ) ενεργούν οι δυνάµεις: Το βάρος B r του σώµατος, η δύναµη r που κινεί το σώµα και η κάθετη αντίδραση του δαπέδου N r. Η κίνηση του σώµατος είναι ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα διότι η ταχύτητα του κινητού αυξάνεται. Ισχύουν οι χρονικές εξισώσεις και ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα. Φαινόµενο: Ευθύγραµµη κίνηση οµαλά µεταβαλλόµενη Εφαρµόζουµε: Χρονικές εξισώσεις και θεµελιώδη νόµο του Νεύτωνα σε κάθε φάση της κίνησης. υ α (), α () και r Σ m α r () Στο διάστηµα (ΑΓ) ενεργούν οι δυνάµεις: Το βάρος B r του σώµατος και η κάθετη αντίδραση του δαπέδου N r. Η κίνηση του σώµατος είναι ευθύγραµµη οµαλή διότι η ταχύτητά του παραµένει σταθερή. Ισχύει η χρονική εξίσωση υ (4) Από τη σχέση () έχουµε 8 ( ) m α 8 4 α α α 4, 4 ( ) υ 4, 4 υ 6 m / sec m / sec

Ενότητα : Θέση Μετατόπιση Οµαλή κίνηση ( ) 4, 4 4, 96 Μετά την κατάργηση της δύναµης το σώµα κινείται οµαλά µε την ταχύτητα που είχε στο τέλος του διαστήµατος ( 4) 6 ( 4) 6 44 69 Εποµένως το συνολικό διάστηµα που διανύει σε χρόνο sec είναι ίσο µε + 44+ 69 4 Και η τελική του ταχύτητα είναι ίση µε υ 6 m/sec. m ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ο Σώµα κινείται ευθύγραµµα και οµαλά σε λείο οριζόντιο δάπεδο µε ταχύτητα σταθερού µέτρου υ m/sec. Κάποια στιγµή το σώµα συναντά λείο κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ στο οποίο αρχίζει να ανέρχεται. Να υπολογίσετε α) το χρόνο στον οποίο ανεβαίνει το σώµα στο κεκλιµένο επίπεδο β) τη θέση στην οποία θα σταµατήσει το σώµα αν θεωρήσουµε την αρχή του κεκλιµένου επιπέδου και γ) την ταχύτητα µε την οποία φτάνει πάλι το σώµα στη βάση του κεκλιµένου επιπέδου. ίνεται η επιτάχυνση βαρύτητας g m/sec. Το σώµα ρίχνεται από τη βάση κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ µε αρχική ταχύτητα υ r. Στο σώµα ενεργούν οι δυνάµεις του βάρους B r και της κάθετης αντίδρασης του δαπέδου N r. Αναλύουµε το βάρος B r στις συνιστώσες B r και B r. Στον ισχύουν οι συνθήκες ισορροπίας m m Φορά κίνησης φ B N B B

6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟΜΟΣ I Φαινόµενο: Ισορροπία Εφαρµόζουµε: Συνθήκες ισορροπίας. r Σ N B N B N m g Στον Φαινόµενο: Ευθύγραµµη κίνηση οµαλά µεταβαλλόµενη Εφαρµόζουµε: Χρονικές εξισώσεις και θεµελιώδη νόµο του Νεύτωνα σε κάθε φάση της κίνησης. υ υ α υ r Σ α m α r () () () Από τη σχέση () έχουµε r () Σ α ηµ r m α Β m α mg ηµφ m α α g ηµφ α α m / sec Από τις χρονικές εξισώσεις έχουµε α) ( ) υ υ α,6 sec β) (),6,6,8,6,8,9,9 m γ) Όταν το σώµα κατεβαίνει στο κεκλιµένο επίπεδο εκτελεί ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνοµένη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα. Φαινόµενο: Ευθύγραµµη κίνηση οµαλά µεταβαλλόµενη Εφαρµόζουµε: Χρονικές εξισώσεις και θεµελιώδη νόµο του Νεύτωνα σε κάθε φάση της B N B Φορά κίνησης φ B

Ενότητα : Θέση Μετατόπιση Οµαλή κίνηση 7 κίνησης. υ α (4) α () r Σ m α r (6) Από τη σχέση (6) έχουµε r (6) Σ α ηµ r m α Β m α mg ηµφ m α α g ηµφ α α m / sec Από τις χρονικές εξισώσεις έχουµε (),9,6 sec ( 4) υ,6 υ,8 m / sec,8,6,6 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ο Η διάµετρος των τροχών ενός οχήµατος είναι δ,8 m. Το όχηµα διανύει διάστηµα S 94 m σε χρόνο min. Να υπολογίσετε α) την συχνότητα της κίνησης των τροχών β) την γραµµική ταχύτητα των σηµείων τα οποία απέχουν από τον άξονα R, m και γ) την κεντροµόλο επιτάχυνση των σηµείων της περιφέρειας των τροχών. α) Αρχικά θα υπολογίσουµε τον αριθµό των περιστροφών των τροχών από τη σχέση S 94 N N N 7 στροϕές π R,4,4

8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟΜΟΣ I Εποµένως η συχνότητα περιστροφής τους είναι N 7 f f f 6, 6 Hz β) Η γραµµική ταχύτητα των σηµείων τα οποία απέχουν από τον άξονα R, m υπολογίζεται από τη σχέση υ ω R οπότε πρέπει να γνωρίζω τη γωνιακή ταχύτητα ω ω π f ω,4 6, ω 9, υ ω R υ 9,, υ rad / sec 7,8 m / sec γ) Η κεντροµόλος επιτάχυνση των σηµείων της περιφέρειας των τροχών δίνεται από τη σχέση υ α K όπου υ η ταχύτητα των σηµείων της περιφέρειας των τροχών R υ ω R υ 9,,4 υ,7 α K γης-σελήνης,7,4 α K 46,49 α,4 K m / sec 66, m / sec ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ο Να υπολογίσετε το βάρος µιας κυρίας που έχει µάζα m Kgr α) στην επιφάνεια της Γης β) στην επιφάνεια της Σελήνης ίνονται η σχέση των µαζών γης-σελήνης Γ Σ M Γ 8 M Σ, η σχέση των ακτίνων R 4 R και η επιτάχυνση βαρύτητας στην επιφάνεια της γης g m/sec. α) Το βάρος της κυρίας στην επιφάνεια της γης θα είναι B m.g B B β) Το βάρος της κυρίας στην επιφάνεια της σελήνης θα είναι N

Ενότητα : Θέση Μετατόπιση Οµαλή κίνηση 9 B m g Σ () Θα υπολογίσουµε την επιτάχυνση βαρύτητας στην επιφάνεια της σελήνης g g Σ M G Γ Σ R g (4R ) g 8 Γ Σ gσ M G R Σ Σ g Σ 8 M M R Σ Οπότε η σχέση () γράφεται ( ) B,6 B 6, Σ g Σ 6 N,6 m / sec ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ο Ένας µετεωρολογικός δορυφόρος περιφέρεται γύρω από την Γη σε κυκλική τροχιά ύψους h Km. Να υπολογίσετε την ταχύτητα, την περίοδο και την επιτάχυνση του. ίνεται η ακτίνα και η µάζα της Γης αντίστοιχα R Γ 64 m, Μ Γ 6. 4 Kgr και G6,67. - Νm /Kgr. Η ταχύτητα του δορυφόρου δίνεται από την σχέση υ υ υ MΓ G υ R + h Γ 6,67 6, 6 6,67 4 6 64, υ 7,9 υ 4 6 64 +, m / sec 4, 64, υ 6, Η περίοδος Τ της κυκλικής τροχιάς του δορυφόρου που περιστρέφεται σε ύψος h από την επιφάνεια της Γης υπολογίζεται από τον τύπο: π(rγ+ h) π(rγ+ h),4 (64 +, ) υ T T T υ 7,9,4 64, T 7,9 4,84 T 7,9 T 9 sec 7

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟΜΟΣ I Η κεντροµόλος επιτάχυνση του δορυφόρου δίνεται από την σχέση α K υ α R + h Γ K (7,9 ) 64 +, α K 6,4 64, 6 α K 9,7 m / sec Προσέξτε πως εργαζόµαστε µε τις δυνάµεις διότι τα αριθµητικά αποτελέσµατα προκύπτουν µέσα από δύσκολους υπολογισµούς. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4 ο Σφαίρα µάζας m Kgr αφήνεται να πέσει ελεύθερα από µεγάλο ύψος χωρίς αρχική ταχύτητα. Να υπολογίσετε τη µεταβολή της ορµής της σφαίρας µεταξύ των χρονικών στιγµών sec και sec από τη στιγµή που αφήνεται ελεύθερη. ίνεται η επιτάχυνση βαρύτητας g m/sec. Η σφαίρα έχει την ίδια φορά κίνησης. Εποµένως υπολογίζουµε τις ταχύτητες της σφαίρας τις αντίστοιχες χρονικές στιγµές Φαινόµενο: Ελεύθερη πτώση Εφαρµόζουµε: Χρονικές εξισώσεις h g υ g () () Από την σχέση () αντικαθιστώντας τους αντίστοιχους χρόνους έχουµε ( ) υ υ ( ) υ υ m / sec m / sec Άρα η ορµή κάθε σώµατος θα είναι ίση µε p m υ p p p m υ p p Kgr.m / sec Kgr.m / sec Εποµένως η µεταβολή της ορµής δίνεται από την σχέση

Ενότητα : Θέση Μετατόπιση Οµαλή κίνηση r r r p p p p p p p p kgr.m / sec ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ο Πάνω στα παγωµένα νερά µιας λίµνης ένας πατέρας µάζας Μ 8 Kgr παίζει µε το γιο του µάζας m 4 Kgr. Κρατούν και οι δύο τα άκρα ενός τεντωµένου ανθεκτικού λεπτού νήµατος µήκους l 4 m. Κάποια στιγµή ο πατέρας αρχίζει να µαζεύει το νήµα µε σταθερή ταχύτητα. Να υπολογίσετε α) πόσο θα έχει µετατοπιστεί το παιδί όταν συναντηθούν β) αν το παιδί τη στιγµή της αντάµωσης έχει ταχύτητα υ m/sec πόση είναι η ταχύτητα του πατέρα; (Πατέρας και γιος φορούν παγοπέδιλα και οι τριβές είναι ασήµαντες.) Το σύστηµα των δύο σωµάτων είναι µονωµένο διότι οι µόνες δυνάµεις που ενεργούν είναι οι δυνάµεις που ασκεί κάθε ένας στο σχοινί (εσωτερικές δυνάµεις) ενώ το βάρος κάθε σώµατος εξουδετερώνεται µε την αντίδραση του επιπέδου. Έτσι ισχύει η αρχή διατήρησης της ορµής. r p αρχ r p τελ υ υ r r p + p p p p p Mυ mυ 8 υ 4 υ () Εφόσον ο πατέρας και το παιδί κινούνται µε σταθερές ταχύτητες θα έχουµε οµαλή κίνηση. Εποµένως ισχύουν οι χρονικές εξισώσεις Για τον πατέρα υ () Για το παιδί l υ () ιαιρώντας τις σχέσεις κατά µέλη έχουµε

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟΜΟΣ I υ l υ 4 8 () υ 4 l υ l 4 Άρα το παιδί θα έχει µετατοπιστεί κατά S 4 8 6 m m β) Αν το παιδί τη στιγµή της αντάµωσης έχει ταχύτητα υ m/sec τότε η ταχύτητα του πατέρα είναι ίση µε ( ) υ m /sec ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 6 ο Σε σώµα µάζας m Kgr που ηρεµεί ενεργεί σταθερή δύναµη N που σχηµατίζει µε τον ορίζοντα γωνία φ,και µετατοπίζει αυτό κατά διάστηµα s m πάνω σε µη λείο οριζόντιο επίπεδο. Να υπολογίσετε τα έργα όλων των δυνάµεων που ενεργούν στο σώµα στο διάστηµα s. ίνεται ο συντελεστής τριβής µεταξύ σώµατος και επιπέδου µ,. Στο σώµα ενεργούν οι δυνάµεις: το βάρος Β του σώµατος, η αντίδραση Α του δαπέδου που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση Ν και τη τριβή Τ και η εξωτερική δύναµη που αναλύεται στη κάθετη συνιστώσα και στην οριζόντια συνιστώσα. Υπολογίζουµε τις συνιστώσες της δύναµης συν ηµ N N A T B N

Ενότητα : Θέση Μετατόπιση Οµαλή κίνηση ισορροπίας. Στον κατακόρυφο άξονα έχουµε ισορροπία και εποµένως ισχύουν οι συνθήκες Σ r + N B + N N Εποµένως η τριβή είναι ίση µε T µ Ν Τ, Τ N Τα ζητούµενα έργα δίνονται από τις σχέσεις W S W W W W T Joule T S W T W T Joule Joule W N Joule και W B Joule. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 7 ο Σε σώµα µάζας m Kgr που ηρεµεί πάνω σε οριζόντιο επίπεδο αρχίζει να ενεργεί τη χρονική στιγµή σταθερή οριζόντια δύναµη N. Να υπολογίσετε το έργο της δύναµης από τη χρονική στιγµή sec µέχρι τη χρονική στιγµή sec. ίνεται ο συντελεστής τριβής µεταξύ σώµατος και επιπέδου µ, και η επιτάχυνση βαρύτητας g m / sec. Για να υπολογίσω το έργο πρέπει να γνωρίζω το διάστηµα που µετακινήθηκε το σώµα. Αυτό βρίσκεται από τους γνωστούς τύπους της κινηµατικής. Το σώµα εκτελεί ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνοµένη κίνηση. Έχω : s α () υα () Σ m α () N A T N

4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟΜΟΣ I Από την () έχω αφού γνωρίζω ότι Σ N m g ( ) T m α m α µ m g m α α 4 k m / sec Στο σηµείο αυτό πρέπει να θυµηθούµε την παρατήρηση για τον υπολογισµό του διαστήµατος στο νιοστό δευτερόλεπτο Από την () υπολογίζω τα διαστήµατα για τις χρονικές στιγµές ' sec και '' sec δηλ. ) s α s ( ( ) s α s 8 m m Εποµένως από sec έως sec τo σώµα µετακινήθηκε κατά S S 6 m οπότε S W s 6 Joule ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 8 ο Σώµα µάζας m Κgr βάλλεται από τη βάση κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ µε αρχική ταχύτητα υ m/sec. Αν το σώµα παρουσιάζει µε το επίπεδο συντελεστή τριβής µ να υπολογίσετε 6 α) την ταχύτητα µε την οποία φτάνει ξανά το σώµα στη βάση του κεκλιµένου επιπέδου β) να αναφέρεται ποσοτικά τις διάφορες µετατροπές ενέργειας που πραγµατοποιούνται κατά την άνοδο και κάθοδο του σώµατος και µέσω του έργου ποιών δυνάµεων πραγµατοποιούνται A T B K B B

Ενότητα : Θέση Μετατόπιση Οµαλή κίνηση Κατά την άνοδο του σώµατος ενεργούν οι δυνάµεις βάρους σώµατος και αντίδραση Α του επιπέδου. Εφαρµόζοντας το ΘΜΚΕ θα έχω E κιν W m υ εξ E κ( Γ) E κ(a) W W T s+ Bηµϕ s m υ Τ B m υ T s B s µ mg συνϕ s+ mg ηµϕ s s m Κατά την κάθοδο ενεργούν οι ίδιες δυνάµεις αλλά η Βχ παράγει έργο. Έτσι έχω A E κιν W εξ E κ(a) E κ( Γ) W + W m υ T s+ B s m υ T s+ Bηµϕ s m υ µ mg συνϕ s+ mg ηµϕ s υ m / sec Τ B β) Οι µετατροπές ενέργειας που πραγµατοποιούνται κατά την κίνηση του σώµατος είναι Άνοδος E m υ k Q (W ) T Ε και συγκεκριµένα K E (W ) Joule Q T sµ mg συνϕ s E mg ηµϕ s B Joule Κατά την κάθοδο θα έχουµε Q T sµ mg συνϕ s E mg ηµϕ s Joule E m υ 7 k Ε Joule Joule Joule Q (W ) T E (W ). λαδή K Σ K φ B B φ T B

6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟΜΟΣ I γ) Για τον υπολογισµό των σχέσεων που δίνουν την Κινητική ενέργεια σε συνάρτηση µε την απόσταση θεωρώ το σώµα ότι έχει διανύσει τυχαία απόσταση χ και εφαρµόζω το ΘΜΚΕ. Έτσι έχω E κιν E E E W k ( ) k ( ) k ( ) εξ E κ( ) E κ(a ) W W T B m υ T B m υ T B ηµϕ (m) Παρατηρώ ότι είναι πρώτου βαθµού δηλ. ευθεία γραµµή Οµοίως για τη κάθοδο µόνο που πρέπει να προσέξουµε το διάστηµα που µετακινήθηκε το σώµα. Αφού η απόσταση (τυχαία) από την βάση του κεκλιµένου επιπέδου κατά την κάθοδο σε τυχαία θέση διανύει διάστηµα (s-) E κιν E E E W k ( ) k ( ) k ( ) εξ E κ( ) T + B T B ηµϕ E κ( Γ) W + W T B Παρατηρώ ότι είναι οµοίως πρώτου βαθµού. (m) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 9 ο Από ύψος h m πάνω από την επιφάνεια του εδάφους βάλλεται σώµα µάζας m Kgr µε αρχική ταχύτητα υ m/sec και φορά προς τα κάτω. Το σώµα φτάνει στο έδαφος και εισχωρεί µέσα σ' αυτό κατά διάστηµα S, m. Να υπολογίσετε α) το έργο της αντίστασης του εδάφους β) την αντίσταση του εδάφους αν αυτή θεωρηθεί σταθερή και γ) το ρυθµό µεταβολής της κινητικής ενέργειας όταν το σώµα κινείται µέσα στο έδαφος και βρίσκεται σε βάθος s, m. ίνεται η επιτάχυνση βαρύτητας g m/sec. E (Joule) K E (Joule)

Ενότητα : Θέση Μετατόπιση Οµαλή κίνηση 7 ος τρόπος: Θεώρηµα µεταβολής κινητικής ενέργειας. Στο σώµα ενεργούν το βάρος του για την διαδροµή Α και η αντίσταση του εδάφους για την διαδροµή Γ. Έτσι: E κιν W εξ Ακόµη θα έχω W W s s E E E E W W m υ B (h+ s) W W Joule κ( ) κ(a) B N E + E m υ + mg (h s) (8) k(a ) (A ) + M (A) E + M( Γ ) k ( Γ) E (9) ( Γ) ος τρόπος: Αρχή διατηρήσεως µηχανικής ενέργειας. Στην θέση Α το σώµα έχει µηχανική ενέργεια δηλαδή κινητική και δυναµική που δίνεται από την σχέση. Στη θέση Γ το σώµα έχει δυναµική και κινητική ενέργεια δηλαδή µηχανική ενέργεια. Αυτή δεν υπολογίζεται γιατί δεν µας ενδιαφέρει κανένα µέγεθος. Από τις (8)Λ (9) έχω: E E E m υ + mg (h s) () Γ ) M ( ) + M (A) M( Γ Η µηχανική όµως ενέργεια στο Γ µετατρέπεται σε έργο της ανθιστάµενης δύναµης α. ηλ. E W m υ + mg (h+ s) W W M ( Γ ) α α α Joule Κατόπιν όπως δουλέψουµε και στον πρώτο τρόπο υπολογίζουµε την ανθιστάµενη δύναµη α. γ) EΚ Σ υ (mg ) υ () α

8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟΜΟΣ I E + W E + W m υ + mg (h+ S ) m υ + S K B K a α υ 84 υ 9,6 m / sec () > E 66, Κ Joule/sec