Συστήματα Υποστήριξης Αποφάσεων Διάλεξη Νο2 και 3 Ενισχυτικές διαφάνειες
Πρόβλημα απόφασης υπό το καθεστώς αβεβαιότητας (decision making under uncertainty) Ένα πρόβλημα τοποθετείται γενικά ως πρόβλημα απόφασης υπό το καθεστώς αβεβαιότητας (decision making under uncertainty) όταν οι αξιολογήσεις των δράσεων, μονοκριτήριες ή πολυκριτήριες, δεν είναι γνωστές με βεβαιότητα, αλλά εξαρτώνται από τυχαία γεγονότα, που ονομάζονται καταστάσεις της φύσης (states of the nature). Κάθε τέτοιο πρόβλημα χαρακτηρίζεται από την ύπαρξη των εξής τριών συνόλων: Α={a 1, a 2,..., a m }, σύνολο δράσεων Ε= {e 1, e 2,..., e t }, σύνολο των ενδεχομένων ή καταστάσεων της φύσης g j (A, E), j = 1, 2,..., n, συναρτήσεις-κριτήρια αξιολόγησης των δράσεων στη βάση εμφάνισης των ενδεχομένων (τυχαίων γεγονότων) Ε, όπου g j (α i, e k ) είναι το κέρδος ή όφελος που προκύπτει από την επιλογή της δράσης α i όταν εμφανιστεί το ενδεχόμενο e k.
Πρόβλημα απόφασης υπό το καθεστώς αβεβαιότητας (decision making under uncertainty) Θα πρέπει να γίνει εξ αρχής αντιληπτό ότι, για n=1 οι αποφάσεις θεωρούνται μονοκριτήριες (monocriteria decisions), ενώ όταν n>1 οι αποφάσεις είναι πολυκριτήριες (multicriteria decisions). Στην περίπτωση αυτής της ενότητας λαμβάνεται υπόψη μόνο μια συνάρτηση κριτήριο g(α i, e k ) που ορίζεται για κάθε ζεύγος (α i, e k ) και δηλώνει το κέρδος/όφελος που αποδίδεται στη δράση α i όταν συμβεί το τυχαίο γεγονός e κ.
Πρόβλημα απόφασης υπό το καθεστώς αβεβαιότητας Παράδειγμα Το πρόβλημα ενός πλανόδιου πωλητή χαρταετών της Καθαρής Δευτέρας, ο οποίος δεν είναι σε θέση να γνωρίζει τι καιρό θα κάνει την επόμενη Καθαρή Δευτέρα και τι πωλήσεις θα έχει στα σημεία της Κρήτης που σκέφτεται να στήσει το κιόσκι του (αν το στήσει τελικά). Στην περίπτωση αυτή, τα σημεία πώλησης αποτελούν τις δράσεις-επιλογές του μικροπωλητή, οι καταστάσεις της φύσης είναι οι πιθανές καταστάσεις του καιρού και το κριτήριο g είναι τα κέρδη (έσοδα μείον έξοδα) από τις πωλήσεις χαρταετών. Τα δεδομένα λοιπόν είναι (οι τιμές του κριτηρίου δίνονται στον πίνακα που ακολουθεί:
Πρόβλημα απόφασης υπό το καθεστώς αβεβαιότητας Παράδειγμα Δράσεις α1 : Κιόσκι στον Άγιο Νικόλαο α2 : Κιόσκι στα Λακώνια α3 : Αποχή από πωλήσεις Καταστάσεις της φύσης (ενδεχόμενα) e1 : Λιακάδα e2 : Συννεφιά e3 : Βροχερός καιρός
Κέρδη από τις πωλήσεις χαρταετών ( ). Αρνητικό κέρδος σημαίνει ζημία. Πρόβλημα απόφασης υπό το καθεστώς αβεβαιότητας Παράδειγμα Ενδεχόμενο Άγιος Νικόλαος Λακώνια Αποχή Λιακάδα 2.000 1.500 0 Συννεφιά 500 400 0 Βροχή -600-300 0 Από τον πίνακα αυτόν, συνάγουμε τις αντιστοιχίες: g(α1, e1)=2.000, g(α1, e2)=500, g(α1, e3)=-600 (Άγιος Νικόλαος) g(α2, e1)=1.500, g(α2, e2)=400, g(α2, e3)=-300 (Λακώνια) g(α3, e1)=g(α3, e2)=g(α3, e3)=0 (Αποχή) Στο πρόβλημα αυτό, ο μικροπωλητής θέλει να κάνει την καλύτερη επιλογή (προβληματική α-άγιος Νικόλαος) «ποντάροντας» στην αβεβαιότητα της μετεωρολογίας.
Η διαθέσιμη πληροφορία σε ένα τέτοιο πρόβλημα παριστάνεται στη σχετική βιβλιογραφία με δυο αποδεκτούς τρόπους: Παράδειγμα Αυστηρή αναπαράσταση - Πίνακας απόφασης ή κερδών (decision matrix): Πρόκειται για τον πίνακα g(a,e), ο οποίος απεικονίζει το κέρδος/όφελος για κάθε ζεύγος (αi, ek). Για το παράδειγμα του μικροπωλητή παραπάνω, ο πίνακας αυτός είναι της προηγούμενης διαφάνειας - Δένδρο απόφασης (decision tree): Πρόκειται για γραφική παράσταση (δένδρο) που αναπαριστά την αλληλοδιαδοχή εναλλακτικών αποφάσεων και τυχαίων γεγονότων. Οι αποφάσεις παρίστανται με το σύμβολο και τα τυχαία γεγονότα με το σύμβολο. Το δένδρο χαράσσεται από αριστερά προς τα δεξιά και όταν ολοκληρωθεί, στα άκρα του τοποθετούνται τα αντιστοιχούντα κέρδη. Το δένδρο του παραδείγματος του μικροπωλητή δίνεται στο ακόλουθο σχήμα.
Δένδρο απόφασης πωλητή χαρταετών Άγιος Νικόλαος 2.000 500 Παράδειγμα -600 Αυστηρή αναπαράσταση Αρχή Λακώνια 1.500 400-300 Αποχή 0 0 0
Θεωρία Αποφάσεων Σε γενικές γραμμές, τρία είναι τα γνωστότερα θεωρητικά ρεύματα της θεωρίας των αποφάσεων: 1. Πρώτη Θεωρία: Υποθέτουμε εδώ ότι ο αποφασίζων, όπως και ο αναλυτής, δεν διαθέτει καμία πληροφόρηση για τις πιθανότητες που έχουν να συμβούν τα τυχαία γεγονότα e κ ούτε επιθυμεί να έχει κάποια συμπληρωματική πληροφόρηση (π.χ. μετρήσεις, δημοσκοπήσεις, έρευνες αγοράς, ). Στη θεωρία αυτή, οι αποφάσεις εξορθολογίζονται με διάφορους κανόνες ή κριτήρια απόφασης (decision criteria) ανάλογα με τη στάση του αποφασίζοντος (ρίσκο) σε σχέση με την υπάρχουσα αβεβαιότητα. 2. Δεύτερη Θεωρία: Υποθέτουμε ότι ο αποφασίζων γνωρίζει τις πιθανότητες υλοποίησης των τυχαίων γεγονότων e κ, κ=1,2,,t και επιθυμεί ενδεχομένως την απόκτηση συμπληρωματικής πληροφορίας μέσω μετρήσεων, ερευνών αγοράς, κλπ. Πρωτεύοντα ρόλο στη θεωρία αυτή παίζει η μεθοδολογία αξιοποίησης των δένδρων απόφασης, όπου το κριτήριο απόφασης που μεγιστοποιείται είναι η μαθηματική ελπίδα του κέρδους (μέσο κέρδος). 3. Τρίτη Θεωρία (θεωρία χρησιμότητας, (utility theory): Η θεωρία αυτή διαφέρει από την προηγούμενη ως προς το κριτήριο απόφασης, το οποίο αυτή τη φορά είναι η μαθηματική ελπίδα της χρησιμότητας.
Κριτήριο MAXIMAX (Wald, αισιόδοξη στάση αποφασίζοντος) Ο αποφασίζων επιλέγει εκείνη τη δράση, η οποία στην καλύτερη περίπτωση τον οδηγεί στο μεγαλύτερο δυνατό κέρδος. Τούτο συμβολίζεται ως εξής : Κριτήρια απόφασης υπό αβεβαιότητα a * max (i) max(k) g(a i,e k ) Στο πρόβλημα της γεώτρησης υπάρχουν δυο δράσεις : α1 : ανάληψη γεώτρησης α2 : απόρριψη γεώτρησης Από τον πίνακα που ακολουθεί (οι πιθανότητες της τέταρτης στήλης δεν υφίστανται), μετά από μεγιστοποίηση πρώτα κατά στήλη, συνάγεται ότι: max (i) max(k) g(a i,e k ) = max (i) {400,0} =400 Million Euro το οποίο αντιστοιχεί στην επιλογή της α1.
Κριτήρια απόφασης υπό αβεβαιότητα Κόστη ευκαιρίας στο πρόβλημα της γεώτρησης
Ο αποφασίζων επιλέγει εκείνη τη δράση, η οποία στη χειρότερη περίπτωση τον οδηγεί στο μεγαλύτερο δυνατό κέρδος. Τούτο συμβολίζεται: Κριτήριο MAXIMIN (Wald, απαισιόδοξη στάση αποφασίζοντος) Από τον πίνακα της προηγούμενης διαφάνειας, ελαχιστοποιώντας κατά στήλη, έχουμε που αντιστοιχεί στην επιλογή της α2 (απόρριψη της γεώτρησης).
Κριτήριο του Hurwicz Εδώ υπολογίζεται, για κάθε δράση, ο σταθμισμένος μέσος των ακραίων τιμών του κέρδους: am + (1 - a)m όπου, m είναι η ελάχιστη τιμή του κέρδους, Μ η μεγαλύτερη τιμή και α είναι ένας συντελεστής μεταξύ 0 και 1 ο οποίος μετρά τον βαθμό απαισιοδοξίας του αποφασίζοντος (όσο πιο μεγάλο επιλέγεται το α, τόσο πιο απαισιόδοξος εμφανίζεται ο αποφασίζων). Ο αποφασίζων επιλέγει τη δράση εκείνη η οποία μεγιστοποιεί το μέσο κέρδος, ως εξής: Στο πρόβλημα της γεώτρησης, αν πάρουμε α=0,4 (αποφασίζων κάπως αισιόδοξος), έχουμε: α1: 0,4x(-500)+0,6x400 = 40 Μ α2: 0,4x0+0,6x0 = 0 Μ Ο αποφασίζων πρέπει να επιλέξει τη δράση α1 της γεώτρησης.
Κατά το κριτήριο αυτό, οι δράσεις κατατάσσονται ως προς το μέσο κέρδος και ο αποφασίζων επιλέγει τη δράση α *, κατά τον τύπο Κριτήριο του Laplace Στο πρόβλημα της γεώτρησης έχουμε: g(a 1 ) = (1/3) (-500+250+400)=50 Million Euro g(a 2 ) = (1/3) (0+0+0)=0 Million Euro Η προτεινόμενη δράση είναι η ανάληψη της γεώτρησης α1.
Για κάθε κελί του πίνακα κερδών, υπολογίζεται το κόστος ευκαιρίας το οποίο είναι η διαφορά μεταξύ του μέγιστου κέρδους της γραμμής (του ενδεχομένου ek) και του κέρδους του κελιού. Εν συνεχεία, επιλέγεται η δράση που ικανοποιεί το κριτήριο minmax, δηλαδή Κριτήριο MINIMAX κόστους ευκαιρίας (Savage) r (a i,e k ) = max (e j ) g (a i,e k ) -g (a i,e k ) (1) Ο πίνακας της διαφάνειας No11 δίνει τα κόστη ευκαιρίας στο πρόβλημα της γεώτρησης. Για παράδειγμα, ο τύπος (1) δίνει: r (a i,e k ) = max (-500,0) -(-500)= 0 + 500 = 500 Million Euro r (a 2,e 2 ) = max (-500,0) -0= 0-0= 0 Million Euro Τέλος, εφαρμόζοντας το κριτήριο (1) παραπάνω, έχουμε r (a 2 ) = min (500,400)= 400 Million Euro οπότε η βέλτιστη επιλογή είναι η α2 του status quo. Κατά γενική ομολογία, το κριτήριο του Savage εκφράζει μια συντηρητική πολιτική εκ μέρους των αποφασιζόντων.
Ο κανόναςθεώρημα του Bayes Θεωρούμε ότι τα μηνύματα-αποτελέσματα μιας αγοράς πληροφορίας είναι πεπερασμένα s1, s2,..., sj,..., sj. Στην περίπτωση αυτή, αναζητούνται οι a posteriori πιθανότητες P(ek / sj) που εκφράζουν τις πιθανότητες υλοποίησης των γεγονότων ek δοθείσης της εμφάνισης των μηνυμάτων sj. Τα δεδομένα είναι τα εξής: P(sj / ek): πιθανότητα εμφάνισης του μηνύματος sj δοθείσης της κατάστασης της φύσης ek (Ɐ j=1,2,,j και κ=1,2,,t) Τότε, οι a posteriori πιθανότητες υπολογίζονται από τον κανόνα του Bayes σύμφωνα με τους τύπους (2), (3), (4) αντίστοιχα:
Εφαρμογή στο πρόβλημα της γεώτρησης Αποκωδικοποιώντας την προσφορά της εταιρείας μετρήσεων, από την οποία προτίθεται ενδεχομένως ο διευθύνων σύμβουλος να αγοράσει πληροφορία (σημεία 1 και 2), έχουμε δυο δυνατά μηνύματα-αποτελέσματα των μετρήσεων: s1 : πλούσια αποθέματα πετρελαίου s2 : φτωχά αποθέματα πετρελαίου καθώς και τις απορρέουσες πιθανότητες P(sj / ek), οι οποίες παρουσιάζονται στο αριστερό μέρος του πίνακα που ακολουθεί (στήλες 2-3). Υπολογισμός a posteriori πιθανοτήτων στο πρόβλημα της γεώτρησης Εφαρμόζοντας διαδοχικά τους τύπους (2), (3), (4), παίρνουμε τα στοιχεία των τεσσάρων τελευταίων στηλών του παραπάνω πίνακα. Για παράδειγμα, έχουμε τους υπολογισμούς:
Εφαρμογή στο πρόβλημα της γεώτρησης Ο αναλυτής μπορεί τώρα να συμπληρώσει το δένδρο απόφασης του σχήματος Που ακολουθεί στον κλάδο «μετρήσεις», τοποθετώντας τις πιθανότητες P(s1), στον υποκλάδο «πλούσια αποθέματα», P(s2), στον υποκλάδο «φτωχά αποθέματα» καθώς και τις αντίστοιχες a posteriori πιθανότητες.
Εφαρμογή στο πρόβλημα της γεώτρησης Ολοκληρωμένο δένδρο απόφασης του προβλήματος γεώτρησης.
Εφαρμογή στο πρόβλημα της γεώτρησης Τα κέρδη των άκρων των νέων κλάδων του δένδρου στο σχήμα παραπάνω έχουν επιβαρυνθεί με το κόστος των μετρήσεων (έχουν αφαιρεθεί 20 Μ ), π.χ. -520=-500-20, 230=250-20, 380=400-20, κλπ. Ακόμη, θα πρέπει να παρατηρήσει κανείς ότι, εάν οι μετρήσεις δώσουν το αποτέλεσμα s1 «πλούσια αποθέματα», η πιθανότητα να βρεθούν στο Αιγαίο πλούσια κοιτάσματα πετρελαίου αυξάνεται από την a priori τιμή 0,43 στην a posteriori τιμή 0,54.
Επίλυση του δένδρου απόφασηςμεγιστοποίησ η της ΜΕΚ Στη φάση αυτή, πρέπει να προαχθεί η καλύτερη δράση, η οποία είναι εκείνη που μεγιστοποιεί τη μαθηματική ελπίδα του κέρδους (ΜΕΚ). Τούτο επιτυγχάνεται μέσω της επίλυσης του δένδρου απόφασης αλγοριθμικά, με τον ακόλουθο τρόπο: Βήμα 1 : Σε κάθε κορυφή-κατάσταση υπολογίζουμε τη ΜΕΚ που αντιστοιχεί στις επόμενες κορυφές, αρχίζοντας από τα δεξιά άκρα του δένδρου. Βήμα 2 : Σε κάθε κορυφή-απόφαση επιλέγουμε εκείνη την απόφαση (τόξο του γραφήματος) που αντιστοιχεί στη μέγιστη τιμή της ΜΕΚ. Βήμα 3 : Εάν η αρχική κορυφή (ρίζα του δένδρου) έχει αξιολογηθεί, Τέλος. Η βέλτιστη δράση χαρακτηρίζεται από τη διαδοχή των τόξωναποφάσεων που οδήγησαν στην αξιολόγηση της ρίζας. Αλλιώς, πηγαίνουμε στο βήμα 1. Ας εφαρμόσουμε τον αλγόριθμο στο δένδρο του σχήματος της διαφάνειας Ν019, το οποίο έχουμε ξανασχεδιάσει στο σχήμα που ακολουθεί.
Επίλυση του δένδρου απόφασηςμεγιστοποίησ η της ΜΕΚ Υπολογισμός βέλτιστης δράσης στο πρόβλημα γεώτρησης
Επίλυση του δένδρου απόφασηςμεγιστοποίησ η της ΜΕΚ Βήμα 1: Υπολογισμός ΜΕΚ σε κάθε κορυφήκατάσταση (σχ. 9.3): K1 : ΜΕΚ = 0,27x(-500)+0,30x250+0,43x400=112 K2 : ΜΕΚ = 1x0=0 K3 : ΜΕΚ = 0,18x(-520)+0,28x230+0,54x380=176 K4 : ΜΕΚ = 1x(-20)=-20 K5 : ΜΕΚ = 0,43x(-520)+0,34x230+0,23x380=-58 K6 : ΜΕΚ = 1x(-20)=-20
Επίλυση του δένδρου απόφασηςμεγιστοποίησ η της ΜΕΚ Βήμα 2: Επιλογή απόφασης σε κάθε κορυφήαπόφαση: A1: max (112, 0) = 112, Επιλογή απόφασης «Γεώτρηση» A2 : max (176, -20) = 176, Επιλογή απόφασης «Γεώτρηση» A3 : max (-58, -20) = -20, Επιλογή απόφασης «Μη Γεώτρηση» Βήμα 3: Η ρίζα P του δένδρου δεν έχει αξιολογηθεί. Μετάβαση στο βήμα 1.
Επίλυση του δένδρου απόφασηςμεγιστοποίησ η της ΜΕΚ Βήμα 1: Υπολογισμός ΜΕΚ K3 : ΜΕΚ = 0,65x176+0,35x(-20)=107 Βήμα 2: Επιλογή απόφασης P : max (112, 107) = 112, Επιλογή απόφασης «Μη μετρήσεις» Βήμα 3: Η ρίζα P του δένδρου αξιολογήθηκε. Τέλος. Βέλτιστη δράση είναι η δράση α1: Απόρριψη μετρήσεων-ανάληψη Γεώτρησης.
Συστήματα Υποστήριξης Αποφάσεων Εισηγήσεις Νο2-3 Τέλος Εισήγησης