Ειδικά Θέματα Πιθανοτήτων και Στατιστικής Θεωρία Αποφάσεων. Μέρος Β

Transcript

1 Ειδικά Θέματα Πιθανοτήτων και Στατιστικής Θεωρία Αποφάσεων. Μέρος Β Νίκος Τσάντας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών, Ακαδημαϊκό έτος Ένα άλλο πρόβλημα Ο Θωμάς κληρονόμησε $1000 από κάποιο μακρινό συγγενή του στην Ελλάδα. Μια και χρειάζεται τουλάχιστον ακόμη ένα χρόνο πριν πάρει το πτυχίο του από το αμερικάνικο Πανεπιστήμιο που σπουδάζει, ο Θωμάς αποφάσισε να επενδύσει τα $1000 για ένα χρόνο και ζήτησε από κάποιο φίλο του χρηματιστή να τον βοηθήσει. Ο φίλος του επέλεξε πέντε διαφορετικές επενδύσεις για τον Θωμά: χρυσός, αμοιβαίο, μετοχή, καταθετικός λογαριασμός και επενδυτικό χαρτοφυλάκιο: Χρυσός η τιμή του μεταβάλλεται αντιστρόφως από τη συμπεριφορά της αγοράς Ομόλογο -- η τιμή του μεταβάλλεται όπως η αγορά Μετοχή -- η τιμή της μεταβάλλεται όπως η αγορά Καταθετικός Λογαριασμός ανεξάρτητο από την αγορά Επενδυτικό Χαρτοφυλάκιο -- η τιμή του μεταβάλλεται όπως η αγορά Πως θα μετρήσουμε την «αγορά»? Πως θα προσδιορίσουμε τις αποδόσεις (payoffs)? ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Β' 1

2 Ένα άλλο πρόβλημα Μετρώντας την «αγορά» Μπορεί να είναι κάποιος χρηματιστηριακός δείκτηςπ.χ. DOW, NASDAQ, κλπ. Θα χρησιμοποιήσουμε τον Dow Ο δείκτης μπορεί να βρεθεί σε οποιαδήποτε τιμή μεταξύ π.χ. του 500 και 50,000. Οπότε εδώ ορίζουμε: S 1 Μεγάλη Αύξηση (> 1500 μονάδες πάνω από την τρέχουσα τιμή) S 2 Μικρή Αύξηση ( μονάδες πάνω από την τρέχουσα τιμή) S 3 Καμία Μεταβολή (πτώση ή αύξηση < 500 μονάδων) S 4 Μικρή Πτώση ( μονάδες κάτω από την τρέχουσα τιμή) S 5 Μεγάλη Πτώση (> 1200 μονάδες κάτω από την τρέχουσα τιμή) Ένα άλλο πρόβλημα Ο Πίνακας Απόδοσης Ακολουθούν οι εκτιμήσεις για το κέρδος από την επένδυση των $1000: D4: Τράπεζα D5: Χαρτοφλ S2 S3 S4 S5 Μκ Αυξ Ίδια Μκ Πτσ Μγ Πτσ $100 $300 $0 - $ Τι πρέπει να αποφασίσει? ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Β' 2

3 Ένα άλλο πρόβλημα Πριν προτείνουμε κάποια εκ των επιλογών θα πρέπει να διαγράψουμε εκείνες στις οποίες αποκλείετε να καταλήξουμε. Παρατηρούμε ότι μερικές φορές ο Χρυσός είναι προτιμότερος από το Αμοιβαίο κι αντιστρόφως, η Μετοχή είναι καλύτερη από τον Καταθετικό Λογαριασμό,κλπ. Παρατηρήστε πιο προσεκτικά το Αμοιβαίο σε σχέση με το Επενδυτικό Χαρτοφυλάκιο: S2 Μκ Αυξ S3 Ίδια S4 Μκ Πτσ S5 Μγ Πτσ - D5: Χαρτοφλ - - Η επένδυση στο Αμοιβαίο είναι πάντοτε τόσο καλή όσο η επένδυση στο Επενδυτικό Χαρτοφυλάκιο! Συνεπώς, ποτέ δεν πρόκειται να καταλήξουμε σε αυτή την απόφαση είναι υποδεέστερη της επένδυσης σε αμοιβαίο! Τη διαγράφουμε! Θυμηθείτε το πρόβλημα Ο πραγματικός Πίνακας Απόδοσης D4: Τράπεζα S2 S3 S4 S5 Μκ Αυξ Ίδια Μκ Πτσ Μγ Πτσ $100 $300 $0 - $ ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Β' 3

4 Αποφάσεις σε ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ Ποτέ δεν είμαστε βέβαιοι για το μέλλον, αλλά αν ήμασταν?? Στρατηγική: Για αποφάσεις σε συνθήκες βεβαιότητας», επιλέγουμε την απόφαση με την μεγαλύτερη απόδοση. D4: Τράπεζα D3 S2 S3 S4 S5 Μκ Αυξ Ίδια Μκ Πτσ Μγ Πτσ $100 $300 $0 D3 $100 D D1 D3 $300 Αποφάσεις σε ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ Αισιόδοξη: Δεν έχει σημασία ποια απόφαση θα λάβω, μελλοντικά θα συμβεί ότι καλύτερο ήταν δυνατόν να συμβεί (για αυτή μου) την απόφαση (maximax). Καταγραφή Maximum αποδόσεων για κάθε απόφαση Μκ Αυξ Ίδια Μκ Πτσ Μγ Πτσ $100 $300 $0 - $ D4: Τράπεζα Max Απόδοση $300 Υψηλότερο Επέλεξε την D3 (Μετοχή) ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Β' 4

5 Αποφάσεις σε ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ Απαισιόδοξη: Δεν έχει σημασία ποια απόφαση θα λάβω, μελλοντικά θα συμβεί ότι χειρότερο ήταν δυνατόν να συμβεί (για αυτή μου) την απόφαση (maximin). Καταγραφή Minimum αποδόσεων για κάθε απόφαση Μικ Αυξ Ίδια Μκ Πτσ Μγ Πτσ $100 $300 $0 - $ D4: Τράπεζα Min Απόδοση - -0 Υψηλότερο Επέλεξε την D4 (Τράπεζα) Αποφάσεις σε ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ Πίνακας Απόδοσης D4: Τράπεζα S2 Μκ Αυξ $100 $300 $0 S3 Ίδια $100 S4 Μκ Πτσ S5 Μγ Πτσ Πίνακας Θλίψης D4: Τράπεζα 0 $ $440 S2 Μκ Αυξ $50 $0 S3 Ίδια $0 $50 $ $ $140 S4 Μκ Πτσ $0 $ $240 S5 Μγ Πτσ 60-0 $210 $660 $0 ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Β' 5

6 Αποφάσεις σε ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ Απαισιόδοξη: Δεν έχει σημασία ποια απόφαση θα λάβω, μελλοντικά θα συμβεί αυτό που θα μου προξενήσει τη μεγαλύτερη θλίψη (για αυτή μου) την απόφαση (minimax regret). Καταγραφή Maximum θλίψης για κάθε απόφαση Μκ Αυξ Ίδια Μκ Πτσ Μγ Πτσ 0 $0 $0 $50 $50 $400 $210 $0 $0 $100 $660 Πίνακας Θλίψης D4: Τράπεζα $440 $190 $140 $240 $0 Max Θλίψη 0 $400 $660 $440 Μικρότερο Επέλεξε την D2 (Ομόλογο) Αποφάσεις σε ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ Αισιόδοξη --- Μετοχή Απαισιόδοξη --- Τραπεζικός Λογαριασμός Διαφυγόντων κερδών --- Ομόλογο Επιλογή? Εξαρτάται από τη φιλοσοφία του λήπτη της απόφασης! ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Β' 6

7 Αποφάσεις σε ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Υποθέστε ότι ο φίλος του Θωμά έδωσε τις κατωτέρω εκτιμήσεις (prior πιθανότητες) για τις 5 μελλοντικές καταστάσεις του χρηματιστηριακού δείκτη: P(S 1 ) =.2, P(S 2 ) =.3, P(S 3 ) =.3, P(S 4 ) =.1, P(S 5 ) =.1 Πρέπει να υπολογίσουμε την αναμενόμενη αξία για κάθε μία από τις εναλλακτικές αποφάσεις: Πιθανότητα Μκ Αυξ Ίδια Μκ Πτσ Μγ Πτσ $100 $300 $0 D4: Τράπεζα $ EV d Υψηλότερο Επέλεξε την D2 (Ομόλογο) N ( ) Prob( ) s V i j ij j 1 Αναμενόμενη Αξία.2(-100)+.3(100)+ $100.3(200)+.1(300)+.1(0).2(250)+.3(200)+.3(150) +.1(-100)+.1(-150) $130.2(500)+.3(250)+.3(100) +.1(-200)+.1(-600) $125.2(60)+.3(60)+.3(60) +.1(60)+.1(60) Αναμενόμενη αξία της πλήρους πληροφόρησης Πιθανότητα Μκ Αυξ Ίδια Μκ Πτσ Μγ Πτσ $100 $300 $0 D4: Τράπεζα $ Αν και υποθέτουμε ότι οι καταστάσεις του περιβάλλοντος θα συμβούν με τις ανωτέρω πιθανότητες, δεχτείτε ότι ο Θωμάς γνώριζε, κάθε φορά που πραγματοποιούσε μια επένδυση ποια από αυτές θα πραγματοποιούνταν δηλ. είχε τέλεια πληροφόρηση. Τότε, όταν θα γνώριζε ότι θα πραγματοποιούνταν η S 1, θα έπαιρνε την καλύτερη απόφαση για την S 1 (Μετοχή = ). Αυτό θα συνέβαινε το 20% των περιπτώσεων. Τότε, όταν θα γνώριζε ότι θα πραγματοποιούνταν η S 2, θα έπαιρνε την καλύτερη απόφαση για την S 2 (Μετοχή = ). Αυτό θα συνέβαινε το 30% των περιπτώσεων. Τότε,... ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Β' 7

8 Αναμενόμενη αξία της πλήρους πληροφόρησης Πιθανότητα Μκ Αυξ Ίδια Μκ Πτσ Μγ Πτσ $100 $300 $0 D4: Τράπεζα $ Προσδοκώμενη Αξία με Τέλεια Πληροφόρηση (ERPI) =.2(500) +.3(250) +.3(200) +.1(300) +.1(60) = $271 Προσδοκώμενη Αξία χωρίς Επιπλέον Πληροφόρηση = EV(Ομόλογο) = $130 Αξία της Τέλειας Πληροφόρησης (EVPI) = ERPI - EV(Ομόλογο) = $271 - $130 = $141 Αναμενόμενη αξία της πλήρους πληροφόρησης Η αναμενόμενη απόδοση όταν γνωρίζουμε με σιγουριά ποια από τις καταστάσεις του περιβάλλοντος θα πραγματοποιούνταν πριν γίνει η επένδυση καλείται προσδοκώμενη αξία με τέλεια πληροφόρηση (ERPI). Για τον Θωμά ERPI =.2(500) +.3(250) +.3(200) +.1(300) +.1(60) = 271 Η αξία της τέλειας πληροφόρησης (EVPI) αντιπροσωπεύει την πρόσθετη προσδοκώμενη αξία, την οποία θα μπορούσε να αποκτήσει ο Θωμάς, αν είχε στη διάθεσή του την τέλεια πληροφόρηση για τις μελλοντικές καταστάσεις του περιβάλλοντος, σε σχέση με τις a priori εκτιμήσεις των πιθανοτήτων: EVPI = ERPI 130 = 141 Προσδιορίζει ένα άνω όριο για το ποσό που θα ήταν διατεθειμένος να καταβάλει ο Θωμάς προκειμένου να αποκτήσει τέλεια πληροφόρηση. ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Β' 8

9 Ο Θωμάς πληροφορήθηκε ότι με $50, μπορεί να πληροφορηθεί την άποψη ενός γνωστού γκουρού των αγορών του Milton, ο οποίος δίνει οικονομικές προβλέψεις της μορφής positive ή negative οικονομικής ανάπτυξης για τη νέα χρονιά. Από τη συμπεριφορά των προβλέψεων στο παρελθόν παρατηρούμε: P(Positive μεγάλη αύξηση) =.8 P(Negative μεγάλη αύξηση) =.2 P(Positive μικρή αύξηση) =.7 P(Negative μικρή αύξηση) =.3 P(Positive καμία μεταβολή)=.5 P(Negative καμία μεταβολή)=.5 P(Positive μικρή πτώση) =.4 P(Negative μικρή πτώση) =.6 P(Positive μεγάλη πτώση) = 0 P(Negative μεγάλη πτώση) = 1 Πρέπει να πληρώσει $50 προκειμένου να πληροφορηθεί την πρόβλεψη του Milton? Τον Θωμά στην πραγματικότητα τον ενδιαφέρει το κατά πόσο η οικονομική πρόβλεψη του Milton επηρεάζει τις πιθανότητες που έχει κατά νου για τη συμπεριφορά του δείκτη. Δηλαδή: Ο Θωμάς ενδιαφέρεται π.χ. για την P(μεγάλη αύξηση/η πρόβλεψη ήταν positive ). Ο κανόνας του Bayes, μας επιτρέπει να αναθεωρούμε αρχικές εκτιμήσεις πιθανοτήτων, υπό το φως νεώτερης πληροφόρησης. Πριν πληροφορηθούμε τα νέα στοιχεία, οι εκτιμήσεις πιθανοτήτων που έχουμε για τις καταστάσεις της φύσης ονομάζονται εκ των προτέρων (prior) πιθανότητες. Με τη γνώση που μας δίνουν οι δεσμευμένες πιθανότητες μιας δειγματοληπτικής έρευνας συμπεριφοράς, αυτές οι εκ των προτέρων πιθανότητες μπορούν να αναθεωρηθούν σύμφωνα με το Θεώρημα του Bayes. Ως αποτέλεσμα αυτής της ανάλυσης παίρνουμε τις εκ των υστέρων (posterior) πιθανότητες. ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Β' 9

10 Έστω τα ενδεχόμενα B και A 1, A 2, A 3,, A n, όπου A 1, A 2, A 3,, A n μια διαμέριση του δειγματικού χώρου. Οι εκ των υστέρων πιθανότητες P(A i /B) υπολογίζονται ως: P( A / B) i P( B / Ai) P( Ai) P( B / A ) P( A ) P( B / A ) P( A )... P( B / A ) P( A ) n n Για την περίπτωσή μας δημιουργούμε έναν πίνακα (5 στηλών): Στήλη 1. Οι καταστάσεις της φύσεις (τα A i s στο Θεώρημα του Bayes). Στήλη 2. Εκ των προτέρων πιθανότητες P(A i ). Στήλη 3. Δεσμευμένες πιθανότητες P(B/A i ) Στήλη 4. Από κοινού πιθανότητες P(A i ) P(B/A i ). Στήλη 5. Εκ των υστέρων πιθανότητες P(A i /B). P( A / B) i States of Nature P( B / Ai) P( Ai) P( B / A ) P( A ) P( B / A ) P( A )... P( B / A ) P( A ) Δεδομένου ότι η πρόβλεψη ήταν Positive Prior Conditional Joint Posterior Μεγάλη Αύξηση /.56 =.286 Μικρή Αύξηση /.56 =.375 Όχι Μεταβολή /.56 =.268 Μικρή Πτώση /.56 =.071 Μεγάλη Πτώση /.56 = 0 Marginal Prob.56 n n ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Β' 10

11 Δεδομένου ότι η πρόβλεψη ήταν Positive Αναθεωρ Πιθανότητα S2 S3 S4 Μκ Αυξ Ίδια Μκ Πτσ D4: Τράπεζα $100 $300 $0 $100 S5 Μγ Πτσ Αναμενόμενη Αξία $84 $180 $249 Υψηλότερο εάν η πρόβλεψη είναι Positive Επέλεξε D3 Εάν ο Milton προβλέψει positive Επέλεξε τη Μετοχή! Δεδομένου ότι η πρόβλεψη ήταν Negative States of Nature Prior Conditional Joint Posterior Μεγάλη Αύξηση /.44 =.091 Μικρή Αύξηση /.44 =.205 Όχι Μεταβολή /.44 =.341 Μικρή Πτώση /.44 =.136 Μεγάλη Πτώση /.44 =.227 Marginal Prob.44 ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Β' 11

12 Δεδομένου ότι η πρόβλεψη ήταν Negative Αναθεωρ Πιθανότητα Lg Rise Sm Rise No Chg. Sm Fall Lg Fall $100 $300 $0 D4: Τράπεζα $ Αναμενόμενη Αξία $120 $ 67 -$33 Υψηλότερο εάν η πρόβλεψη είναι Negative Επέλεξε D1 Εάν ο Milton προβλέψει negative Επέλεξε τον Χρυσό! Θυμηθείτε, P(Positive) =.56 P(Negative) =.44 Όταν positive -- διάλεξε Μετοχή με EV = $249 Όταν negative -- διάλεξε Χρυσό με EV = $120 Μακροπρόθεσμη Προσδοκώμενη Αξία (ERSI) =.56(249) +.44(120) = $ Προσδοκώμενη Αξία χωρίς Επιπλέον Πληροφόρηση = EV(Ομόλογο) = $130 Μακροπρόθεσμο Προσδοκώμενο Όφελος (EVSI) = ERSI - EV(Bond) = $ $130 = $62.50 Pay the $50 ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Β' 12