5. Γραμμές μεταφοράς, κυματοδηγοί και κεραίες (Tanmiin lin, wavguid and antnna) Γραμμές μεταφοράς(tanmiin lin) Στο προηγούμενο μέρος μελετήσαμε τη διάδοση των κυμάτων σε απεριόριστο χώρο. Αυτή η διάδοση κυμάτων ονομάζεται διάδοση χωρίς καθοδήγηση (unguidd) με την έννοια ότι το ομοιόμορφο, επίπεδο κύμα υπάρχει σε όλο το χώρο και η ηλεκτρομαγνητική ενέργεια που έχει το κύμα διασκορπίζεται σε μια μεγάλη επιφάνεια. Αυτό το είδος μετάδοσης κυμάτων χρησιμοποιείται στη ραδιοφωνική και τηλεοπτική αναμετάδοση (badcating) όπου οι πληροφορίες που μεταφέρονται προορίζονται για οποιονδήποτε ενδιαφέρεται. Αυτό το είδος διάδοσης κυμάτων δεν είναι όμως επιβοηθητικό σε περιπτώσεις όπως η τηλεφωνική συνομιλία, όπου οι πληροφορίες λαμβάνονται προσωπικά από ένα άτομο. Ακόμα ένα μέσο μεταφοράς ενέργειας ή πληροφοριών είναι οι καθοδηγούμενες κατασκευές (guidd tuctu). Οι καθοδηγούμενες κατασκευές βοηθούν στο να καθοδηγούν τη μεταφορά ενέργειας από την πηγή στον προορισμό. Τυπικά παραδείγματα είναι οι γραμμές μεταφοράς (tanmiin lin) και κυματοδηγοί (wavguid). Oι γραμμές μεταφοράς συνήθως χρησιμοποιούνται στη διανομή ενέργειας (pw ditibutin) σε χαμηλές συχνότητες και στις τηλεπικοινωνίες (cmmunicatin) σε ψηλές συχνότητες. Μια γραμμή μεταφοράς βασικά αποτελείται από δύο ή περισσότερους αγωγούς που χρησιμοποιούνται για να ενώσουν την πηγή με το φορτίο. Τυπικές γραμμές μεταφοράς περιλαμβάνουν ομοαξονικά καλώδια (caxial cabl) και γραμμές με παράλληλες πλάκες (paalll-plat lin). Tα προβλήματα γραμμών μεταφοράς συνήθως λύονται χρησιμοποιώντας θεωρία ηλεκτρομαγνητικών πεδίων και θεωρία ηλεκτρικών κυκλωμάτων, δηλαδή τις δύο πιο μεγάλες θεωρίες στις οποίες βασίζεται η ηλεκτρική εφαρμοσμένη μηχανική. 1
Παράμετροι γραμμών μεταφοράς (Tanmiin lin paamt) Είναι συνηθισμένο και βολικό να περιγράφουμε μια γραμμή μεταφοράς με βάση τις παραμέτρους της γραμμής της, που είναι η αντίσταση ανά μονάδα μήκους R, η επαγωγή (inductanc) ανά μονάδα μήκους L, η χωρητικότητα (capacitanc) ανά μονάδα μήκους C και η αγωγιμότητα ανά μονάδα μήκους G. Παραδείγματα γραμμών μεταφοράς φαίνονται πιο κάτω. Οι παράμετροι R, L, C μπορούν να υπολογισθούν με συγκεκριμένους τύπους για κάθε είδος. T πιο πάνω σχήμα δείχνει (α) ομοαξονική γραμμή (caxial lin), (β) γραμμή με δύο σύρματα (tw-wi lin) και (γ) επίπεδη γραμμή (plana lin). Σημείωση: 1. Οι παράμετροι της γραμμής R, L, C και G διανέμονται ομοιόμορφα σε όλο το μήκος της γραμμής. Για κάθε γραμμή, οι αγωγοί χαρακτηρίζονται από σ c, μ c, ε c ε ο και το ομογενές διηλεκτρικό υλικό που χωρίζει τους δύο αγωγούς χαρακτηρίζεται από σ, μ και ε. 1 3. G αφού η R είναι η εναλλασσόμενη αντίσταση ανά μονάδα R μήκους του αγωγού και η G είναι η αγωγιμότητα ανά μονάδα μήκους λόγω του διηλεκτρικού υλικού που χωρίζει τους δύο αγωγούς.
4. Η εσωτερική επαγωγή (inductanc) L in R/ω είναι αμελητέα σε ψηλές συχνότητες, στις οποίες λειτουργούν τα πιο κοινά συστήματα επικοινωνιών. 5. Για κάθε γραμμή, LC με, και Πιο κάτω θα δούμε πως ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα διαδίδεται μέσα από μια γραμμή μεταφοράς με δύο αγωγούς (a tw-cnduct tanmiin lin). Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε ότι έχουμε την ομοαξονική γραμμή, που φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα, να ενώνει τη πηγή με το φορτίο. G C σ ε. Όταν ο διακόπτης S είναι κλειστός, ο εσωτερικός αγωγός γίνεται θετικός σε σύγκριση με τον εξωτερικό, έτσι ώστε το Ε και το Η είναι όπως φαίνονται στο πιο πάνω σχήμα. Το διάνυσμα Pynting δείχνει την κατεύθυνση της γραμμής μεταφοράς. Έτσι κλείνοντας το διακόπτη S απλά δημιουργείται μια διαταραχή, η οποία εμφανίζεται ως εγκάρσιο ηλεκτρομαγνητικό κύμα (tanv lctmagntic wav - TEM) που ταξιδεύει στη κατεύθυνση της γραμμής. Αυτό το κύμα είναι ένα ανομοιόμορφο επίπεδο κύμα και με αυτό μεταφέρεται η ενέργεια μέσα στη γραμμή. 3
Εξισώσεις των γραμμών μεταφοράς (Tanmiin lin quatin) Έχουμε τις πιο κάτω διαφορικές εξισώσεις (για την τάση ): d dz γ 0 όπου γ α jβ ( R jω L )( G jω C ) και d dz I γ I 0 Το γ στις πιο πάνω εξισώσεις είναι η σταθερά διάδοσης (ppagatin cntant) και μετριέται ανά μέτρο, το α είναι η σταθερά εξασθένησης (attnuatin cntant) και μετριέται σε db/m και το β είναι η σταθερά φάσης (pha cntant) που μετριέται σε adian/m. και I ορίζονται ως οι φάσορες της τάσης και ρεύματος αντίστοιχα. Το μήκος κύματος λ και η ταχύτητα του κύματος u δίνονται από 4
5 β π λ και λ β ω f u Η λύση των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων 0 dz d γ και 0 I dz I d γ δίνεται από z z z γ γ ) ( z z και z z I I z I γ γ ) ( z z όπου, -, I και Ι ο - είναι τα πλάτη της τάσης και ρεύματος και τα σύμβολα και αντιπροσωπεύουν την κατεύθυνση που ταξιδεύει το κύμα στις κατευθύνσεις z και z. Έτσι βρίσκουμε τη στιγμιαία έκφραση της τάσης (intantanu xpin f vltag) που είναι ) ) ( R( ), ( t j z t z ω ) c( ) c( ), ( z t z t t z az az β ω β ω
Χαρακτηριστική Αντίσταση της Γραμμής Ορίζουμε ως χαρακτηριστική αντίσταση της γραμμής την αναλογία του θετικού κύματος τάσης (pitiv tavling vltag wav) που ταξιδεύει με το κύμα ρεύματος σε κάθε σημείο στη γραμμή. Το είναι ανάλογο του η, της εγγενής αντίστασης (intinic impdanc) του μέσου που διαδίδεται το κύμα. Το δίνεται από I I R jωl γ γ G jωc ή R jωl R G jωc jx όπου R (σε Ohm) και Χ ο (σε Ohm) είναι το πραγματικό και φανταστικό μέρος του αντίστοιχα. T γ και η είναι πολύ σημαντικές ιδιότητες της γραμμής γιατί εξαρτώνται από τις παραμέτρους της γραμμής R, L, G, C και τη συχνότητα. Επίσης Υ ο 1/ H πιο πάνω ανάλυση είναι η γενική περίπτωση δηλαδή για τη περίπτωση με απώλειες (οι αγωγοί δεν είναι τέλειοι σc και το διηλεκτρικό υλικό μεταξύ των αγωγών έχει απώλειεςσ 0 ). Πιο κάτω θα μελετήσουμε τη γραμμή μεταφοράς χωρίς απώλειες (ll lin) η οποία είναι μια ειδική περίπτωση. 6
Γραμμή μεταφοράς χωρίς απώλειες(ll lin) Για να είναι μια γραμμή μεταφοράς χωρίς απώλειες πρέπει οι αγωγοί της γραμμής να είναι τέλειοι ( σ c ) και το διηλεκτρικό υλικό που χωρίζει τους δύο αγωγούς να μην έχει απώλειες ( σ 0 ). Για μια τέτοια γραμμή R 0 G Mε τα πιο πάνω καταλήγουμε στο ότι α 0 γ jβ jω LC ω 1 u β LC Χ ο 0, R fλ L C Περίπτωση (Ca) Σταθερά διάδοσης (Ppagatin cntant) γ αjβ Γενική ( R jω L)( G jωc ) Χαρακτηριστική αντίσταση (Chaactitic impdanc) R Χ ο R jωl G jωc Χωρίς απώλειες 0 jω LC L j0 C Πίνακας με τα χαρακτηριστικά γραμμής μεταφοράς. 7
Παράδειγμα 5.1 Μία γραμμή αέρος έχει χαρακτηριστική αντίσταση 70 Ω και σταθερά φάσης 3 ad/m σε συχνότητα 100 MHz. Να υπολογίσετε την επαγωγή (inductanc) ανά μονάδα μέτρου και την χωρητικότητα (capacitanc) ανά μονάδα μέτρου της γραμμής. (d 11.1 p57) Μια γραμμή αέρος μπορεί να θεωρηθεί γραμμή χωρίς απώλειες αφού σ 0 R 0 G και α 0 L C 0 R0 1 β ω LC R0 1 Διαιρώντας την 1 με την έχουμε β ωc β 3 ή C 68. pf/m και 6 ωr π 100 10 ( 70) 0 ( ) ( ) L R C 1 0 70 68. 10 334. nh/m 8
Σύνθετη αντίσταση εισόδου-αναλογία στάσιμου κύματος-ισχύς (Input impdanc, tanding wav ati SWR, pw) Aς θεωρήσουμε ότι έχουμε μια γραμμή μεταφοράς μήκους l, που χαρακτηρίζεται από το γ και το όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Κοιτάζοντας μέσα από τη γραμμή, η γεννήτρια βλέπει τη γραμμή με το φορτίο ως τη σύνθετη αντίσταση εισόδου in. Σκοπός μας είναι να μπορούμε να υπολογίζουμε αυτή την αντίσταση όπως και την αναλογία στάσιμου κύματος και την ισχύ στη γραμμή. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε τη γραμμή μεταφοράς που επεκτείνεται από το z 0 στη γεννήτρια μέχρι το z l στο φορτίο. Πρώτα χρειαζόμαστε το και το Ι ο. Από τις εξισώσεις ( z ) γ z γ z και I ( z ) γ z γ z 9
και με συνθήκες στην είσοδο (input cnditin) το καταλήγουμε στο (z 0), I I(z 0) 1 ( I ) και 1 ( I ) Αν η σύνθετη αντίσταση εισόδου στα τερματικά (tminal) εισόδου είναι in, τότε η τάση εισόδου και το ρεύμα εισόδου Ι ο εύκολα μπορούν να υπολογιστούν απó το πιο πάνω σχήμα in in g g και I in g Τώρα, αν μας δοθούν οι συνθήκες (cnditin) στο φορτίο L (z l), I L I(z l) και τις αντικαταστήσουμε στις εξισώσεις g ( z ) γ z γ z και 10
11 z z z I γ γ ) ( τότε παίρνουμε l L L I γ ) ( 1 και l L L I γ ) ( 1 Μετά υπολογίζουμε τη σύνθετη αντίσταση εισόδου in (z)/i (z) σε οποιονδήποτε σημείο της γραμμής. Για παράδειγμα στη γεννήτρια in z I z ) ( ) ( ) ( και αντικαθιστώντας τις εξισώσεις l L L I γ ) ( 1 και l L L I γ ) ( 1 Επίσης ξέροντας ότι l l l l l l l γ γ γ γ γ γ γ ch inh tanh
καταλήγουμε στο in L L tanh tanh γ l γ l (με απώλειες) Αν και η πιο πάνω εξίσωση έχει παραχθεί για τη σύνθετη αντίσταση εισόδου στη γεννήτρια, είναι μια γενική εξίσωση για να βρίσκουμε το in σε οποιοδήποτε σημείο της γραμμής. Για μια γραμμή χωρίς απώλειες, η πιο πάνω εξίσωση γίνεται γ jβ, tanh jβl j tan βl και R in L j j L tan tan β l β l (χωρίς απώλειες) δείχνοντας ότι η σύνθετη αντίσταση εισόδου αλλάζει περιοδικά με την απόσταση l από το φορτίο. Η ποσότητα βl, στη πιο πάνω εξίσωση, ονομάζεται ηλεκτρικό μήκος (lctical lngth) της γραμμής και μετριέται σε dg ή adian. Συντελεστής Αντανάκλασης Τάσης Επίσης ορίζουμε το Γ L ως το συντελεστή αντανάκλασης τάσης (vltag flctin cfficint) στο φορτίο. Το Γ L είναι η αναλογία του κύματος τάσης που αντανακλάται προς το εισερχόμενο κύμα στο φορτίο και δίνεται ως Γ L L L 1
Συντελεστής Αντανάκλασης Ρεύματος Ο συντελεστής αντανάκλασης ρεύματος (cunt flctin cfficint), σε οποιοδήποτε σημείο στη γραμμή, είναι το αρνητικό του συντελεστή αντανάκλασης τάσης σε αυτό το σημείο. Αναλογία Στάσιμου Κύματος Ακόμα ορίζουμε την αναλογία στάσιμου κύματος (SWR) ως max min I I max min 1 1 Γ Γ L L 13
Ένας τρόπος για να δείξουμε την εφαρμογή των πιο πάνω ιδεών, είναι να θεωρήσουμε ότι έχουμε μια γραμμή μεταφοράς χωρίς απώλειες και με χαρακτηριστική αντίσταση 50 Ω. Ακόμα υποθέτουμε ότι η γραμμή τερματίζεται με φορτίο που είναι μια αντίσταση L 100 Ω (πραγματική χωρίς μιγαδικό μέρος) και η τάση στο φορτίο είναι 100 (m) όπως φαίνονται στο πιο κάτω σχήμα. Σημειώστε από το σχήμα ότι οι συνθήκες στη γραμμή επαναλαμβάνονται κάθε μισό μήκος κύματος. Μέση Ισχύ Εισόδου (Avag Input Pw) Η μέση ισχύς εισόδου (avag input pw) σε μια απόσταση z από το φορτίο δίνεται από την εξίσωση P av 1 R[ ( z ) I * ( z )] Τώρα θα μελετήσουμε ειδικές περιπτώσεις όπου η γραμμή είναι ενωμένη με φορτίο L 0, L και L. Αυτές οι ειδικές περιπτώσεις μπορούν να λυθούν από τη γενική περίπτωση πιο πάνω. 14
Βραχυκυκλωμένη γραμμή Ζ L 0 (Shtd lin) Σε αυτή τη περίπτωση c in j tan β l L 0 Ακόμα Γ L -1 και (σχήμα πιο κάτω). Γραμμή με ανοιχτό κύκλωμα L (Opn cicuitd lin) Σε αυτή τη περίπτωση c lim in L j tan β l και Γ L 1, Επίσης έχουμε το c c (σχήμα πιο κάτω). 15
Προσαρμοσμένες γραμμές Ζ L (Matchd lin) Αυτή είναι η πιο επιθυμητή περίπτωση για πρακτικούς λόγους. Σε αυτή την περίπτωση Ζ in και Γ L 0, 1 Όλο το κύμα μεταφέρεται και δεν υπάρχει αντανάκλαση. Η εισερχόμενη ισχύς απορροφάται τελείως από το φορτίο. Έτσι επιτυγχάνεται μέγιστη μεταφορά ισχύς σε μια γραμμή μεταφοράς με φορτίο. 16
Παράδειγμα 5. Μία γραμμή μεταφοράς που λειτουργεί στα ω 10 6 ad/ έχει α 8 db/m, β 1 ad/m, 60 j40 Ω και είναι m. Aν η γραμμή είναι ενωμένη σε μια πηγή των 10 0 ο, g 40 Ω (γεννήτριας) και τερματίζεται με ένα φορτίο των 0 j50 Ω, να υπολογίσετε (α) τη σύνθετη αντίσταση εισόδου (β) το ρεύμα στην αρχή της γραμμής z0 (γ) το ρεύμα στο κέντρο της γραμμής. (d 11.3 p536) (α) Να θυμηθούμε ότι 1Np8.686dB 8 α 0.91 Np/m 8.686 γ α jβ 0.91 j /m γ l ( 0.91 j) 1.84 j inh x in y tanh ( x jy) j ch x c y ch x c y tanhγ l 1.033 j0.0399 L 0 tanh γ l in 0 0 L tanh γ l ( 0 50 j) ( 60 40 j)( 1.0330.0399 j) ( 60 40 j) 60.5 38.79 j Ω ( 60 40 j) ( 0 50 j)( 1.0330.0399 j) g 10 (β) I( z 0) I0 I0 93.03 1.15 ma in g 60.5 38.79 j 40 (γ) Για να βρούμε το ρεύμα σε οποιοδήποτε σημείο θέλουμε το 0 και 0. Όμως I( z 0) I0 93.03 1.5 ma 0 ini0 71.66 3.77 ( 0.09303 1.15 ) 6.667 11.6 1 ( ) 1 0 0 6.667 11.6 0I0 ( 60 40 j)( 0.09303 1.15 ) 6.687 1.08 1 ( ) 1 0 0 6.667 11.6 0I0 ( 60 40 j)( 0.09303 1.15 ) 0.0518 60 l Στο μέσο της γραμμής, γ z 0.91 j Το ρεύμα στο κέντρο είναι j1.08 0.91 j j60 0.91 j l 0 γz 0 γz 6.687 0.0518 I ( z ) j33.69 j33.69 0 0 7.1 7.1 j 1 σε μοίρες j57.3 17
l I z j j78.91 j83.61 ( ) 0.0369 0.001805 6.673 34.456 ma35.10 81 ma 18
Μετατροπέας ενός τετάρτου του κύματος (Quat-Wav tanfm) Για μέγιστη μεταφορά ισχύς, όπως είπαμε και προηγουμένως, πρέπει η γραμμή να είναι προσαρμοσμένη στο φορτίο ( L ) έτσι ώστε να μην υπάρχει αντανάκλαση. Η προσαρμογή επιτυγχάνεται με το να χρησιμοποιούμε μικρότερα κομμάτια των γραμμών μεταφοράς. Όταν έχουμε τότε l λ/4 ή βl (π/λ)(λ/4) π/ in L j j L tan tan π / π / L το οποίο σημαίνει in L έτσι με το να προσθέτουμε μια γραμμή μήκους λ/4, μπορούμε να έχουμε την αγωγιμότητα εισόδου (input admittanc) που αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη αντίσταση. Ακόμα όταν δεν υπάρχει προσαρμογή της γραμμής με το φορτίο, το φορτίο L μπορεί να προσαρμοστεί στη γραμμή με το να βάλουμε, πριν το φορτίο, μιαν άλλη γραμμή μεταφοράς μήκους λ/4 με χαρακτηριστική αντίσταση όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. 19
T λ/4 κομμάτι της γραμμής ονομάζεται μετατροπέας ενός τετάρτου του κύματος (quat-wav tanfm) και χρησιμοποιείται για προσαρμογές γραμμής φορτίου. Το το διαλέγουμε έτσι ώστε ' L Για παράδειγμα αν θέλουμε να προσαρμόσουμε ένα φορτίο 10 Ω σε μια γραμμή μεταφοράς των 75 Ω ο μετατροπέας ενός τετάρτου του κύματος θα έχει χαρακτηριστική αντίσταση ' (75 )(10 ) 95 Ω Το κύριο μειονέκτημα του μετατροπέα είναι η ευαισθησία που έχει στη συχνότητα. 0
Κυματοδηγοί (Wavguid) Η γραμμή μεταφοράς χρησιμοποιείται για τη καθοδήγηση ηλεκτρομαγνητικής ενέργειας από ένα σημείο (γεννήτρια) σε ένα άλλο (φορτίο). Ο κυματοδηγός είναι ακόμα ένα μέσο για να επιτευχθεί ο ίδιος σκοπός. Αν και ο κυματοδηγός διαφέρει από μια γραμμή μεταφοράς μπορούμε να τον πάρουμε ως μια ειδική περίπτωση γραμμής μεταφοράς. Η γραμμή μεταφοράς μπορεί να έχει μόνο εγκάρσια ηλεκτρομαγνητικά κύματα (TEM - Tanv Elctmagntic Wav) όμως ο κυματοδηγός μπορεί να έχει και άλλες πιθανές διαμορφώσεις πεδίων. Επίσης σε συχνότητες μικροκυμάτων (3-300GHz), η γραμμή μεταφοράς γίνεται ανεπαρκής λόγω του επιδερμικού φαινομένου (kin ffct) και απώλειες του διηλεκτρικού μέσου πράγμα που δεν παθαίνει ο κυματοδηγός. Ακόμα μια γραμμή μεταφοράς μπορεί να λειτουργεί από dc (f 0) μέχρι και σε πολύ μεγάλη συχνότητα, ο κυματοδηγός όμως λειτουργεί πάνω από μια συγκεκριμένη συχνότητα που ονομάζεται συχνότητα αποκοπής (cutff fquncy). Ένας κυματοδηγός μπορεί να πάρει οποιαδήποτε μορφή, με ομογενή όμως διατομή. Στο σχήμα πιο κάτω μπορείτε να δείτε κάποιους κοινούς κυματοδηγούς. 1
Εγκάρσιο ηλεκτρικό κύμα-εγκάρσιο μαγνητικό κύμα σε Κυματοδηγό (TE-TM Md-Wavguid) Ένα εγκάρσιο ηλεκτρομαγνητικό κύμα (tanv lctmagntic wav, ΤΕΜ) χρειάζεται δύο αγωγούς οι οποίοι είναι απομονωμένοι ο ένας από τον άλλο. Τυπικές διαμρφώσεις φαίνονται πιο κάτω. Αριστερά δύο παράλληλοι αγωγοί οι οποίοι είναι απομονωμένοι ο ένας από τον άλλο. Δεξιά ομοαξονικό καλώδιο το οποίο μπορεί να συγκρατήσει ένα κύμα TEM. Είναι πολύ πιο χρήσιμο αν η ηλεκτρομαγνητική ενέργεια μεταφέρεται μέσα σε σωληνοειδείς αγωγούς. Αυτό μπορούμε να το πετύχουμε σε ψηλές συχνότητες. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα κυματοδηγό με ορθογώνια διατομή, όπως φαίνεται πιο κάτω και θέλουμε ένα ηλεκτρικό πεδίο που μεταβάλλεται στη κατεύθυνση y. Μπορεί να αποδειχτεί ότι ένα τέτοιο κύμα μπορεί να διαδοθεί στη κατεύθυνση z δεδομένου ότι η πιο κάτω σχέση ικανοποιείται f c 4 a Όπου c είναι η ταχύτητα του φωτός στο μέσο διάδοσης και η παράμετρος (a) φαίνεται στο σχήμα πιο κάτω. Η συχνότητα (f) ονομάζεται συχνότητα αποκοπής (cutff fquncy) του συγκεκριμένου κύματος σε ένα κυματοδηγό ορθογώνιας διατομής.
Για συχνότητα ενός ραντάρ που είναι 10 GHz για παράδειγμα, η πιο πάνω εξίσωση μας λέει ότι θέλουμε πλάτος μεγαλύτερο από 15mm. Για ένα φούρνο μικροκυμάτων συχνότητας.45ghz χρειαζόμαστε πλάτος μεγαλύτερο από 43mm. T αντίστοιχο μαγνητικό πεδίο για τη διατομή πιο πάνω θα έχει συνιστώσες στις κατευθύνσεις x και z. Αφού υπάρχει συνιστώσα του Η στη κατεύθυνση της διάδοσης τότε δεν είναι εγκάρσιο ηλεκτρομαγνητικό κύμα (TEM), αλλά είναι εγκάρσιο ηλεκτρικό κύμα (Tanv lctic wav, TE). Υπάρχουν και άλλοι ρυθμοί (md) λειτουργίας. Μπορεί να δημιουργηθεί εγκάρσιος ηλεκτρικός (TE) ρυθμός λειτουργίας που έχει συνιστώσες Ε x και E y. Ακόμα μπορεί να δημιουργηθεί εγκάρσιος μαγνητικός (TΜ) ρυθμός λειτουργίας που έχει συντελεστές Η x και Η y. Γενικά οι ρυθμοί λειτουργίας ταξινομούνται ως TE mn και ΤΜ mn. Ο ρυθμός λειτουργίας που είδαμε πιο πάνω ήταν ΤΕ 10. Oι γενικές συνθήκες για αποκοπή (cut-ff) γίνονται m a n b 4 4 λ Για τη περίπτωση ΤΕ 10 πιο πάνω είναι εύκολο να δείξουμε, από την πιο πάνω εξίσωση, ότι 4 3
f c 4 a Ένα παράδειγμα για το ΤΕ ρυθμό λειτουργίας στον ορθογώνιο κυματοδηγό πιο πάνω φαίνεται στο σχήμα πιο κάτω. T ηλεκτρικό πεδίο είναι στη κατεύθυνση y. Η κατεύθυνση διάδοσης είναι η κατεύθυνση του z. Elctic Fild in y a a TE 10 m1 n0 TE 0 m n0 Ηλεκτρικό πεδίο στην κατεύθυνση y. Κατεύθυνση διάδοσης η z. 4
Παράδειγμα 5.3 Ένας ορθογώνιος κυματοδηγός με διαστάσεις α.5cm, b 1cm θα λειτουργεί σε συχνότητες κάτω από 15.1GHz. Πόσους ρυθμούς λειτουργίας (md) του ΤΕ και του ΤΜ μπορεί να μεταδώσει αν ο κυματοδηγός έχει μέσα υλικό με σ 0, ε 4ε ο και μ 1? Να υπολογίσετε την συχνότητα αποκοπής για αυτούς τους ρυθμούς λειτουργίας (md). (d 1.1 p610) Η συχνότητα αποκοπής είναι f cmn α.5b ή α.5 1 c c u b με μ ε c a f cmn m n 4 a b 8 3 10 m 6.5n 4.5 10 ( ) 3 m 6.5 n GHz f cmn < 15.1 G H z u m n a b Θέλουμε Κρατάμε πρώτα σταθερό το m και αυξάνουμε το n μέχρι να φτάσουμε τα 15.1 GHz. TE01 ( m0, n1 ) ( ) TE0 ( m0, n ) f ( ) TE03 ( m0, n3 ) ( ) f c01 3.5 7.5 GHz c0 35 15 GHz f c03 3 7.5.5 GHz Το μέγιστο είναι για αυτή την περίπτωση Για TE10 ( m1, n0 ) f c10 3 GHz TE0 ( m, n0 ) f c0 6 GHz TE30 ( m3, n0 ) f c30 9 GHz TE40 ( m4, n0 ) f c40 1 GHz TE50 ( m5, n0 ) f c50 15 GHz TE ( m6, n0 ) f 60 18 GHz 60 c 5
Το μέγιστο είναι m5 για αυτή την περίπτωση Άλλες περιπτώσεις είναι TE TM f 11 3 7.58.078 GHz 11 11 TE TM f 1 3 10.59.6 GHz 1 1 TE TM f 31 3 15.511.7 GHz 31 31 TE TM f 41 3.514.14 GHz 41 41 TE TM f 1 3 615.3 GHz 1 1 c c c c c Αυτοί οι ρυθμοί λειτουργίας θα διαδοθούν στον κυματοδηγό, 11 ΤΕ και 4 ΤΜ ρυθμοί. 6
Κεραίες (Antnna) Μέχρι τώρα δεν αναρωτηθήκαμε πώς παράγονται τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Ας θυμηθούμε ότι το ηλεκτρικό φορτίο είναι η πηγή των ηλεκτρομαγνητικών πεδίων. Αν η πηγή αλλάζει με το χρόνο (tim-vaying) τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα διαδίδονται μακριά από τη πηγή και έτσι έχουμε ακτινοβολία. Την ακτινοβολία μπορούμε να τη σκεφτούμε ως τη διαδικασία μεταφοράς ενέργειας και επιτυγχάνεται με τη βοήθεια αγώγιμων ή διηλεκτρικών κατασκευασμάτων που ονομάζονται κεραίες. Θεωρητικά, οποιονδήποτε κατασκεύασμα μπορεί να ακτινοβολεί ηλεκτρομαγνητικά κύματα αλλά δεν είναι όλα τα κατασκευάσματα αποτελεσματικοί ακτινοβόλοι ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων. Μπορούμε ακόμα να δούμε τη κεραία σαν μετατροπέα, που χρησιμοποιείτε για ταίριασμα της γραμμής μεταφοράς ή του κυματοδηγού με το περιβάλλον ή το αντίθετο. Το πιο κάτω σχήμα δείχνει πως χρησιμοποιείτε μια κεραία για να κάνει το ταίριασμα μιας κεραίας ή κυματοδηγού και του μέσου. H κεραία χρησιμοποιείτε για δύο κύριους λόγους: αποδοτική ακτινοβολία και ταίριασμα αντιστάσεων κυμάτων έτσι ώστε να μειωθεί η αντανάκλαση. Η κεραία χρησιμοποιεί τάση και ρεύμα από τη γραμμή μεταφοράς για να φέρει ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα στο μέσο. Η κεραία μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για διαβίβαση αλλά και για λήψη ηλεκτρομαγνητικής ενέργειας. Τυπικές κεραίες φαίνονται στο πιο κάτω σχήμα. 7
T φαινόμενο της ακτινοβολίας είναι κάπως περίπλοκο, για αυτό σκόπιμα δεν το μελετήσαμε πιο νωρίς. Δεν θα μπούμε σε βάθος στη θεωρία των κεραιών. Θα περιοριστούμε στους βασικούς τύπους κεραιών όπως είναι το δίπολο Htzian, το δίπολο μισού κύματος (half-wav dipl), το μονόπολο ενός τετάρτου κύματος (th quat wav mnpl) και το μικρό βρόχος (mall lp). Για κάθε ένα από αυτούς τους τύπους θα καθορίσουμε τα πεδία ακτινοβολίας κάνοντας τα ακόλουθα βήματα: 8
1. Διαλέγουμε το κατάλληλο σύστημα συντεταγμένων και καθορίζουμε το μαγνητικό διανυσματικό δυναμικό Α.. Βρίσκουμε το Η από την Β μη A. E 3. Καθορίζουμε το Ε από την H ε ή E η H ak t θεωρώντας ότι έχουμε μέσο χωρίς απώλειες. 4. Βρίσκουμε το μακρινό πεδίο (fa fild) και καθορίζουμε τη μέση ισχύ (tim-avag pw) που ακτινοβολεί χρησιμοποιώντας.ds 1 * P ad av όπου av R( E H ) 9
Δίπολο Htzian (Htzian dipl) Mε δίπολο Htzian εννοούμε ένα απειροελάχιστο στοιχείο ρεύματος Ι dl. Αν και τέτοιο στοιχείο ρεύματος δεν υπάρχει στη πραγματική ζωή, μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε ως βάση από την οποία το πεδίο μιας πρακτικής κεραίας μπορεί να υπολογιστεί με ολοκλήρωμα. Ας θεωρήσουμε ότι έχουμε το δίπολο Htzian όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Q jωt I jωt Iδl jωt θ A z θ - j t Sht Dipl Magntic Fild y φ x Sphical Cdinat 30
Θεωρούμε ότι βρίσκεται στο σημείο αναφοράς του συστήματος συντεταγμένων και ότι έχει ομοιόμορφο ρεύμα, I I cωt Ακόμα έχουμε την εξίσωση για το μαγνητικό διανυσματικό δυναμικό Α στο σημείο Ρ που είναι A μ[ι] dl 4π a z όπου [Ι] είναι το ρεύμα που δίνεται από [ I] u j ωtβ [ I ] ( I cω t I c( ωt β) R όπου β ω/u π/λ και u 1 με Αυτό το ρεύμα λέγεται καθυστερημένο(tadd) στο σημείο Ρ γιατί υπάρχει μια καθυστέρηση διάδοσης /u από το Ο στο Ρ. Αντικαθιστώντας την εξίσωση [ I] στην εξίσωση u j ωtβ [ I ] ( I cω t I c( ωt β) R A μ[ι] dl 4π a z μπορούμε να γράψουμε το Α σε μορφή φάσορα (pha fm) που είναι 31
A z μι dl 4 π jβ Μετατρέποντας το πιο πάνω διάνυσμα από καρτεσιανές σε σφαιρικές συντεταγμένες καταλήγουμε A ( A, Aθ, Aφ ) όπου A cθ, A inθ, 0 A z θ A z A φ Όμως Β μη A έτσι βρίσκουμε το Η από H φ I dl jβ inθ 4π 1 jβ H 0 H, θ Βρίσκουμε το πεδίο Ε χρησιμοποιώντας το και έτσι E H ε t E ni dl 1 cθ π j β 3 jβ, E E φ 0 όπου ni dl jβ inθ 4π 1 j β θ 3 β η ωε μ ε jβ, Κοντινό και Μακρινό Πεδίο (Na and Fa Fild) Πιο συγκεκριμένα ορίζουμε το όριο μεταξύ το κοντινού πεδίου (na fild) με του μακρινού (fa-fild) με τη τιμή του που δίνεται από 3
d λ όπου d είναι η πιο μεγάλη διάσταση της κεραίας. Αν παρατηρήσουμε τις εξισώσεις των πεδίων πιο πάνω βλέπουμε ότι έχουμε 3 όρους που μεταβάλλονται με 1/, 1/, 1/. 3 O όρος 1/ ονομάζεται το ηλεκτροστατικό πεδίο αφού αντιστοιχεί στο πεδίο ενός ηλεκτρικού δίπολου. Αυτός ο όρος επηρεάζει περισσότερο από τους άλλους σε περιοχές πολύ κοντά στο δίπολο Htzian. Ο όρος 1/ ονομάζεται επαγωγικό πεδίο (inductiv fild) και βγαίνει από το νόμο του Bit-Savat. Αυτός ο όρος επηρεάζει περισσότερο από τους άλλους σε κοντινά πεδία (na fild). Όπως βλέπουμε πιο πάνω στο μακρινό πεδίο έχουμε μόνο τη λύση που αντιστοιχεί στο ρεύμα μετατόπισης και έτσι έχουμε τη χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση του υλικού Eθ μ 1 / η ( ) Hφ ε η οποία είναι 377 Ω για τον ελεύθερο χώρο. Έτσι φαίνεται καθαρά ότι η διάδοση στο μακρινό πεδίο είναι πολύ παρόμοια με τη διάδοση κυμάτων στον ελεύθερο χώρο. O όρος 1/ ονομάζεται το μακρινό πεδίο (fa fild) επειδή είναι ο μόνος όρος που μένει σε μακρινή απόσταση από το στοιχείο του ρεύματος. Εδώ εμείς ενδιαφερόμαστε για τις μακρινές αποστάσεις (fa fild) και έτσι τους άλλους δύο όρους μπορούμε να τους αγνοήσουμε. Έτσι σε μακρινό πεδίο (fa fild) και H φ jβi dl 4π in θ jβ E η θ Hφ 33
H Hθ E Eφ 0 Μέση Πυκνότητα Ισχύς και Αντίσταση Ακτινοβολίας Η μέση πυκνότητα της ισχύς (tim-avag pw dnity) δίνεται από av 1 R( E H * ) 1 R( E θ H * φ α ) 1 η H φ a Χρησιμοποιώντας τις πιο πάνω εξισώσεις μπορούμε να βρούμε τη μέση ακτινοβολούμενη ισχύ (tim-avag adiatd pw) P ad av π π π Ιο nβ dl Ιο nβ dl 3. ds in θ inθdθdφ π in θdθ 3π 3π φ 0θ 0 0 Όμως και π π 3 c θ 3 3 π in θd θ (1 c θ ) d( cθ ) cθ 0 0 0 4 3 β 4π / λ Έτσι το P ad γίνεται P ad I πη dl 3 λ Αν το μέσο της διάδοσης είναι ο ελεύθερος χώρος τότε και η 10π 34
P ad dl 40π λ I Αυτή η ισχύς είναι ισοδύναμη με την ισχύ που καταναλώθηκε από την αντίσταση R ad με ρεύμα I δηλαδή P ad 1 I Rad και R ad dl 80π λ Αυτή η αντίσταση, R ad, είναι χαρακτηριστικό του δίπολου Htzian και ονομάζεται αντίσταση ακτινοβολίας (adiatin itanc). Nα σημειώσουμε ότι για το δίπολο Htzian θεωρήσαμε ότι είναι απειροελάχιστο. Έτσι η αντίσταση ακτινοβολίας του είναι πολύ μικρή και για αυτό είναι δύσκολο να το ταιριάσουμε με πραγματική γραμμή μεταφοράς. Εντούτοις η ανάλυση που κάναμε θα χρησιμοποιηθεί σαν σωστή προσέγγιση για μια κεραία με dl λ / 10. Μια πιο πρακτική και πιθανόν πιο σημαντική κεραία είναι το δίπολο μισού κύματος (half-wav dipl) που θα δούμε παρακάτω. Δίπολο μισού κύματος (Half-wav dipl) Το δίπολο μισού κύματος παίρνει το όνομά του από το γεγονός ότι έχει μήκος το μισό του μήκους κύματος (l λ/). Όπως φαίνεται και στο πιο κάτω σχήμα, αποτελείται από λεπτό καλώδιο του οποίου βάζουμε τάση στη μέση του και αυτή η τάση είναι ενωμένη με γραμμή μεταφοράς. 35
T πεδίο λόγω του δίπολου μπορεί να βρεθεί εύκολα αν θεωρήσουμε ότι αποτελείται από μια σειρά με δίπολα Htzian. Το μαγνητικό διανυσματικό δυναμικό στο σημείο Ρ, λόγω ενός διαφορικού μήκους dl του δίπολου που έχει ρεύμα I I c βz είναι da z μi c βzdz ' 4π ' jβ Να προσέξουμε ότι έχουμε θεωρήσει ότι το ρεύμα που έχουμε είναι ημιτονοειδές και αυτό είναι υπόθεση που γίνεται συχνά στη θεωρία κεραιών. Αν το >> l, τότε ' ' z cθ ή z cθ έτσι μπορούμε να υποθέσουμε ότι το και '. Με τα πιο πάνω συνεχίζουμε 36
A z μi 4π λ / 4 λ / 4 jβ ( z cθ ) c βzdz μi 4π λ / 4 jβ λ / 4 jβz cθ c βzdz ' Στη προηγούμενη εξίσωση χρησιμοποιήσαμε το για τον ' παρονομαστή και για τη φάση χρησιμοποιήσαμε το z cθ αφού η ' διαφορά του β και του β είναι σημαντική. Λύνοντας το πιο πάνω ολοκλήρωμα καταλήγουμε στο A z μi jβ 4π jβz cθ ( jβ cθ c βz β in βz) β c θ β λ / 4 λ / 4 Αφού β π/λ, jx jx c θ 1 in θ και c x η πιο πάνω εξίσωση γίνεται A z jβ π μi c cθ πβ in θ Χρησιμοποιώντας τα πιο πάνω και τις εξισώσεις μ H A και H jω ε E B μπορούμε να βρούμε το μαγνητικό και ηλεκτρικό πεδίο σε μακρινό πεδίο 3 (αγνοώντας τους παράγοντες 1/,1/ ) που είναι H φ ji jβ π c cθ π inθ 37
Ε η θ H φ Μπορούμε ακόμα να βρούμε τη πυκνότητα μέσης ισχύς (tim-avag pw dnity) που είναι av 1 π ηi c cθ a 8π in θ η H φ a Η μέση ισχύς που ακτινοβολείται (tim-avag pw) είναι P ad av.ds π π φ 0θ 0 π ni c cθ 8π in θ inθdθdφ 30Ι π ο 0 όπου η 10π θεωρώντας το μέσο είναι ελεύθερος χώρος. Για να λύσουμε το ολοκλήρωμα πιο πάνω, ξέρουμε ότι έτσι π / 0 c π cθ d θ inθ π π / c c π cθ dθ inθ π cθ dθ inθ 38
P ad 60Ι π / ο 0 c π cθ dθ inθ αλλάζοντας τους μεταβλητούς με u cθ P ad π π 1 c u 1 c u Ι 30 ο du du 1 u 1 u 0 0 Αντικαθιστώντας 1uv στο πρώτο ολοκλήρωμα και 1-uv στο δεύτερο P ad π in v Ι 30 ο dv v 0 Αλλάζοντας μεταβλητούς με w πv καταλήγουμε P ad π π 3 5 1 c w w w w 15Ιο dw 15Ιο... dw w 0 0! 4! 6! 39
αφού c w 1 w! 4 w 4! 6 w 6!... Ολοκληρώνοντας κάθε όρο ξεχωριστά και βάζοντας τα όρια καταλήγουμε Pad 36.56I Η αντίσταση ακτινοβολίας για το δίπολο μισού κύματος είναι R ad Pad 73Ω I Βλέπουμε τη διαφορά αντίστασης της ακτινοβολίας για το δίπολο Htzian και για το δίπολο μισού κύματος. Για αυτό το λόγο το δίπολο μισού κύματος είναι ικανό στο να παραδίδει μεγαλύτερες ποσότητες ενέργειας από το δίπολο Htzian. Η συνολική αντίσταση εισόδου (input impdanc) in μιας κεραίας είναι η αντίσταση στα τερματικά της εισόδου που δίνεται από R in in jx in όπου R in R ad για κεραία χωρίς απώλειες. Η τιμή του ύλη ο τρόπος που το βρίσκουμε). X in είναι 4.5Ω και (δεν είναι στην Έτσι in 73 j4. 5Ω για ένα δίπολο μήκους l λ/. Το X in μειώνεται απότομα όταν το δίπολο μειωθεί πολύ λίγο. Έτσι, πρακτικά, ένα δίπολο λ/ είναι σχεδιασμένο έτσι ώστε το X in 0 και το in 73Ω. Ακόμα αυτή η τιμή είναι εύκολο να ταιριαστεί με γραμμή μεταφοράς. 40
Κεραία μονόπολο ενός τετάρτου κύματος (Quat-wav mnpl antnna) Βασικά, η κεραία μονόπολο ενός τετάρτου κύματος αποτελείται από μισή κεραία δίπολου μισού κύματος σε ένα αγώγιμο εδάφους όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Ανταλλάζουμε το άπειρο, αγώγιμο έδαφος με το είδωλο του μονοπόλου. Το πεδίο που παράγεται στη περιοχή πάνω από το έδαφος λόγω του λ/4 μονοπόλου με το είδωλο (imag) του, είναι το ίδιο με το πεδίο που παράγεται λόγω του λ/ δίπολου. Η διαφορά είναι ότι το μονόπολο ακτινοβολεί μόνο τη μισή ισχύ που ακτινοβολεί το δίπολο με το ίδιο ρεύμα. Έτσι για ένα λ/4 μονόπολο Pad 18.8I Pad R ad 36. 5Ω I Με την ίδια διαδικασία με πριν καταλήγουμε ότι η αντίσταση εισόδου του λ/4 μονοπόλου είναι in 36.5 j1. 5Ω 41
Κεραία μικρού βρόχου (Small lp antnna) H κεραία μικρού βρόγχου είναι πολύ σημαντική για πρακτικούς λόγους. Χρησιμοποιείται ως ραδιογωνιόμετρο (dictinal find) στην ανίχνευση ακτινοβολίας και ως κεραία τηλεόρασης για πολύ μεγάλες συχνότητες. Το ότι ονομάζεται μικρή είναι γιατί οι διαστάσεις του βρόγχου είναι πολύ πιο μικρές από το λ. Ας θεωρήσουμε ότι έχουμε ένα νηματώδη (filamntay) μικρό κυκλικό βρόγχο με ακτίνα ρ και με ομοιόμορφο ρεύμα ο Ι ο cωt να το διαρρέει όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Ο βρόγχος μπορεί να θεωρηθεί ως στοιχειώδες μαγνητικό δίπολο. Το μαγνητικό διανυσματικό δυναμικό στο σημείο Ρ λόγω του βρόγχου είναι όπου μ[ I] dl A ' 4π L 4
43 ] R[ ) c( ] [ ) ( ' ' t j I t I I β ω β ω Με τα πιο πάνω καταλήγουμε στη μορφή φάσορα του Α που είναι Ι L j dl A ' ' 4 β ο π μ Η λύση αυτού του ολοκληρώματος χρειάζεται μεγάλη διαδικασία. Μπορεί να αποδειχτεί ότι για ένα μικρό βρόγχο ( ο ρ << λ), το ' μπορεί να αντικατασταθεί από το, στο παρονομαστή και ότι το A έχει μόνο συνιστώσα φ που δίνεται από θ β π μ β ο φ in ) (1 4 j j S A Ι όπου Nπρ ο S για ένα βρόγχο με Ν περιστροφές. Χρησιμοποιώντας τα πιο πάνω και τις εξισώσεις A H B μ και E H ε jω μπορούμε να βρούμε το μαγνητικό και ηλεκτρικό πεδίο που είναι j j S j E β ο φ β θ π ωμ Ι 1 in 4 j j n S j H β ο β θ π ωμ Ι 3 1 c
H θ jωμιο S inθ 4πn jβ 1 j β 3 jβ E θ Ηφ E 0 Σε μακρινό πεδίο(fa fild), μόνο ο όρος 1/ μένει όπου καταλήγουμε στην εξίσωση E φ 10π Ιο S inθ λ jβ H θ Eφ η και E θ Ηφ Η E 0 όπου η 10π για ελεύθερο χώρο έχει θεωρηθεί. Ακόμα η αντίσταση ακτινοβολίας για μια μικρή κεραία βρόγχου είναι 30 R ad 4 π S 4 λ 44
Παράδειγμα 5.4 Χρειαζόμαστε ένα μαγνητικό πεδίο έντασης 5 μα/m σε ένα σημείο στο θ π/, km από μίαν κεραία στον αέρα. Χωρίς να λάβετε υπόψη τις ωμικές απώλειες, πόση πρέπει να είναι η ισχύς που θα μεταδίδει η κεραία αν (α) είναι ένα Htzian δίπολο μήκους λ/5? (β) είναι μισού κύματος (half-wav) δίπολο? (γ) είναι ένα τέταρτο κύματος (quat-wav) μονόπολο? (δ) είναι μια κεραία με βρόγχου 10 περιστροφών με ακτίνα ρ ο λ/0? (d 13.1 p656) 0 in (α) H I β dl θ Φ 4π όπου λ π λ π dl 5 ή β dl λ 5 5 π I0 () 1 6 5 I0 5 10 ή I 3 5 0 0.5 A 4π 10 10 ( ) dl 40π ( 0.5) Pad 40π I 158 mw λ ( 5) π I0 c cθ 6 I0 () 1 (β) H Φ 5 10 ή I 3 π inθ π ( 0 0 π ma 10 )() 1 1 1 6 0 ( 0 ) 10 Pad I Rad π ( 73 ) 144 mw (γ) 7 mw το μισό του πιο πάνω I 0 0 π ma π I0 S (δ) in H ϑ θ για μια στροφή S πρ 0, για Ν στροφές S Nπρ0 λ 6 πi0 ( 10π) ρ0 5 10 I 3 0 40.53 ma 10 λ R P ad ad ( ) 4 4 4 30π S 6 ρ0 6 1 π π 4 30 N 30 100 19.3 λ Ω λ 0 1 1 6 0 ( 40.53 ) 10 I Rad ( 19.3 ) 158 mw 45
Χαρακτηριστικά κεραιών (Antnna chaactitic) Έχοντας μελετήσει τους βασικούς τύπους κεραιών, τώρα θα δούμε μερικά σημαντικά χαρακτηριστικά μιας κεραίας που θα τη θεωρήσουμε ως ακτινοβόλο της ηλεκτρομαγνητικής ενέργειας. Αυτά τα χαρακτηριστικά περιλαμβάνουν: (α) περίγραμμα κεραίας (antnna pattn), (β) ένταση ακτινοβολίας, (γ) κατευθυντικό κέρδος (dictiv gain), (δ) κέρδος ισχύς (pw gain). Περίγραμμα κεραίας (Antnna pattn Radiatin Pattn) Ένα περίγραμμα κεραίας ή περίγραμμα ακτινοβολίας είναι μια τρισδιάστατη γραφική παράσταση της ακτινοβολίας σε μακρινό πεδίο. Όταν το πλάτος συγκεκριμένης συνιστώσας του πεδίου Ε σχεδιαστεί (plttd), ονομάζεται περίγραμμα πεδίου (fild pattn) ή περίγραμμα τάσης (vltag pattn). Όταν σχεδιασθεί το τετράγωνο του Ε τότε ονομάζεται περίγραμμα ισχύς (pw pattn). Η τρισδιάστατη γραφική παράσταση ενός περιγράμματος κεραίας αποφεύγεται με το να σχεδιασθεί ξεχωριστά το κανονικοποιημένο (nmalizd) E σε σχέση με το θ για σταθερό φ (αυτό ονομάζεται περίγραμμα πεδίου Ε) και το κανονικοποιημένο π/ (αυτό ονομάζεται περίγραμμα πεδίου Η). E σε σχέση με το φ για θ Για το δίπολο Htzian, για παράδειγμα, το κανονικοποιημένο βρίσκουμε από τις εξισώσεις E το H φ ji β dl 4 π in θ jβ και E θ η H φ που είναι f ( θ ) in θ 46
το οποίο είναι ανεξάρτητο από το φ. Από την εξίσωση f ( θ ) in θ μπορούμε να βρούμε το περίγραμμα πεδίου Ε (Ε-plan pattn) ως τη γραφική παράσταση του f(θ) και με το θ να κυμαίνεται από το 0 ο στους 180 0. Το αποτέλεσμα φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Για το περίγραμμα πεδίου Η (H-plan pattn), βάζουμε το θ π/ έτσι ώστε f(θ) 1 το οποίο είναι ένας κύκλος με ακτίνα 1 όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. 47
Όταν ενώσουμε αυτές τις δύο γραφικές παραστάσεις, έχουμε ένα τρισδιάστατο σχεδιάγραμμα πεδίου (fild pattn) όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Η γραφική παράσταση της μέσης ισχύς-χρόνου, av av, για μια σταθερή απόσταση είναι το περίγραμμα ισχύς (pw pattn) για τη κεραία. Το βρίσκουμε με το να σχεδιάσουμε ξεχωριστά το av σε σχέση με το θ για σταθερό φ και το σε σχέση με το φ για σταθερό θ. av Για το δίπολο Htzian, το κανονικοποιημένο περίγραμμα ισχύς μπορεί να αποδειχτεί ότι είναι f ( θ ) in θ το οποίο φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. 48
Ένταση ακτινοβολίας (Radiatin intnity) Η ένταση ακτινοβολίας μιας κεραίας ορίζεται ως U ( θ, φ ) av Από αυτή την εξίσωση η συνολική μέση ισχύς (ttal avag pw) που ακτινοβολείται μπορεί να εκφραστεί ως P ad av ds av in θ d θ d φ U ( θ, φ )in θdθdφ π φ 0θ 0 π U ( θ, φ ) dω όπου dω inθ dθ dφ είναι η διαφορική στερεά γωνία (diffntial lid angl) και μετριέται σε tadian(). Έτσι η ένταση της ακτινοβολίας μετριέται σε watt/tadian(w/). H μέση τιμή του U(θ,φ) είναι η συνολική ισχύς που ακτινοβολίθηκε δια 4π, που είναι 49
U av Pad 4π Κατευθυντικό Κέρδος (Dictiv Gain) Συχνά ενδιαφερόμαστε για παραμέτρους που μετρούνται όπως είναι το κέρδος και η κατευθυντικότητα. Το κατευθυντικό κέρδος (dictiv gain) G d (θ,φ) μιας κεραίας, είναι μέτρο της περιεχτικότητας της ακτινοβολούμενης ισχύς σε μια συγκεκριμένη κατεύθυνση (θ,φ). Μπορούμε να το πάρουμε ως την ικανότητα τις κεραίας να ακτινοβολεί ενέργεια ευθέως σε μια συγκεκριμένη κατεύθυνση. Συνήθως λέμε ότι είναι η αναλογία της έντασης της ακτινοβολίας, σε μια συγκεκριμένη κατεύθυνση (θ,φ), προς τη μέση ένταση ακτινοβολίας και γράφεται ως G d U ( θ, φ ) ( θ, φ ) U av 4πU ( θ, φ ) P ad Ακόμα μπορούμε να πούμε ότι av G 4π d P ad Το κατευθυντικό κέρδος G d (θ,φ) εξαρτάται από το περίγραμμα της κεραίας. Για το δίπολο Htzian (όπως και το λ/ δίπολο και το λ/4 μονόπολο), παρατηρούμε από το προηγούμενο σχήμα ότι το av είναι μέγιστο στο θ π/ και ελάχιστο (μηδέν) στο θ 0 ή π. Έτσι το δίπολο Htzian ακτινοβολεί ενέργεια σε μια κατεύθυνση ολόπλευρα στο μήκος του. Για μία ισοτροπική κεραία (κεραία που ακτινοβολεί ισοδύναμα σε όλες τις κατευθύνσεις), το G d 1. Όμως μια τέτοια κεραία δεν υπάρχει στη πραγματικότητα. Η κατευθυντικότητα D μιας κεραίας ορίζεται ως η αναλογία της μέγιστης έντασης ακτινοβολίας προς τη μέση ένταση ακτινοβολίας. Προφανώς, το D, είναι το μέγιστο G d έτσι 50
U max D Gd, max U ή av D 4πU P ad max Για μια ισοτροπική κεραία το D 1. Για ένα δίπολο Htzian, Για το δίπολο λ/, G ( θ, φ ) 1.5 in θ, D 1.5 d όπου G ( θ, φ ) n πr ad f ( θ ) d, D 1.64 η 10π, R ad 73Ω, και f ( π c c θ θ ) in θ Περίγραμμα πεδίου αντένας λ/ 51
Κέρδος ισχύς (Pw gain) O ορισμός που δώσαμε για την κατευθυντικότητα δεν περιλαμβάνει τις ωμικές απώλειες ισχύς Ρ l της κεραίας. Η Ρ l είναι λόγω του ότι η κεραία αποτελείται από αγωγούς και έχει συγκεκριμένη αγωγιμότητα. Όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα, αν το Ρ in είναι η συνολική εισερχόμενη ισχύς στη κεραία, 1 P in Pl Pad I in ( Rl R όπου Ι in είναι το ρεύμα στα τερματικά στην είσοδο και το R l είναι η απώλειες ή η ωμική αντίσταση της κεραίας. Με άλλα λόγια η Ρ in είναι η ισχύς που λαμβάνει η κεραία και το Ρ ad έιναι η ισχύς που ακτινοβολεί. Η διαφορά τους είναι η Ρ l όπου είναι η ισχύς που χάνεται στη κεραία. ad ) Ορίζουμε το κέρδος ισχύς G p (θ,φ) της κεραίας ως G p ( θ, φ ) 4πU ( θ, φ ) P in Η αναλογία του κέρδους ισχύς σε οποιαδήποτε καθορισμένη κατεύθυνση προς το κατευθυντικό κέρδος σε αυτή την κατεύθυνση ονομάζεται 5
αποτελεσματικότητα ακτινοβολίας (adiatin fficincy) n της κεραίας, η οποία γράφεται ως G n P p ad Gd P ή in n P P ad in R Rad ad R l Για πολλές κεραίες το n είναι κοντά στο 100% έτσι ώστε G p G d. Συνηθίζεται να εκφράζουμε την κατευθυντικότητα και το κέρδος σε dcibl(db). Έτσι D(dB) 10 lg 10 D, G(dB) 10 lg 10 G Πρέπει να αναφερθεί ότι τα περιγράμματα ακτινοβολίας των κεραιών συνήθως μετρούνται σε μακρινή απόσταση από τη κεραία, για παράδειγμα d min, min όπου d είναι η μεγαλύτερη διάσταση της κεραίας. Παράδειγμα 5.5 Να δείξετε ότι το κατευθυντικό κέρδος του δίπολου Htzian είναι λ G d (θ,φ) 1.5 in θ και του δίπολου μισού κύματος (half-wav dipl) είναι π c c θ ( θ, φ ) 1.64 in θ G d. (d 13.3 p665) G d ( θφ, ) 4π f f ( ϑ ) ( ϑ ) d Ω (α) Για το Htzian δίπολο 53
G d 4π in ϑ 4π in ϑ ( θ, φ) 1.5in π π 4 3 in ϑdϑdϕ π 3 ϕ 0ϑ 0 ϑ (β) Για το δίπολο λ G d ( θφ, ) π π ϕ 0ϑ 0 4 c c π c π ϑ in ϑ π cϑ dϑdϕ inϑ Το ολοκλήρωμα στον παρονομαστή δίνει π ( 1.188) G d π π 4π c cϑ c c 1 ϑ ( θφ, ) 1.64 in ϑ π 1.188 in ϑ ( ) 54
Παράδειγμα 5.6 Να βρείτε την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου σε μια απόσταση 10km από μια κεραία που έχει κατευθυντικό κέρδος 5 db και ακτινοβολεί συνολική ισχύ 0 kw. (d 13.4 p666) 5 Gd ( db) 10lg10 Gd Gd av Pad όμως 4π 0.5 ή 0.5 lg G G 10 3.16 av 10 E d S η d E S 3 ( )( ) 3 π ( ) ηgp 10π 3.16 0 10 d ad π 10 10 E S 3 6 10 /m 55
Παράδειγμα 5.7 Η ένταση ακτινοβολίας μιας συγκεκριμένης κεραίας είναι 3 in θ in φ,0 θ π,0 φ π U ( θ, φ ). 0, lwh Να βρείτε την κατευθυντικότητα της κεραίας. (d 13.5 p667) U D U max av U max U av 1 Pad Ud 4π Ω 4π π π π π 3 3 1 1 inθ in φinθdθdφ in θdθ in φdφ 4π π ϕ 0ϑ 0 ϑ 0 ϕ 0 π π 3 1 1 1 1 inθ c φ ( 1 cθ) dθ ( 1 c φ) inφdφ θ cφ π π 3 ϑ 0 ϕ 0 ϑ 0 ϕ 0 π π 3 1 1 1 1 inθ c φ ( 1 c θ) dθ ( 1 c φ) d( cφ) θ cφ π π 3 ϑ 0 ϕ 0 ϑ 0 ϕ 0 π π π π 1 π 4 1 π 3 3 D 6 1 3 56
Σειρές από κεραίες (Antnna Aay) Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές χρειάζεται να σχεδιαστεί η κεραία έτσι ώστε σε κάποιες συγκεκριμένες κατευθύνσεις να ακτινοβολείται περισσότερη ενέργεια και σε κάποιες λιγότερη. Αυτό είναι σχεδόν αδύνατο να επιτευχθεί με μόνο μία κεραία. Χρησιμοποιείται μια σειρά κεραιών (antnna lmnt) για να πετύχουμε μεγαλύτερη κατευθυντικότητα. Mια σειρά κεραιών (antnna lmnt) είναι μια ομάδα στοιχείων που ακτινοβολούν και είναι τοποθετημένα έτσι ώστε να έχουν κάποια χαρακτηριστικά ακτινοβολίας. Είναι πρακτικό και πιο βολικό να χρησιμοποιούμε τα ίδια στοιχεία στη σειρά αλλά δεν είναι αναγκαίο. Θα μελετήσουμε την απλή περίπτωση της σειράς με μόνο δύο στοιχεία και θα το επεκτείνουμε στη πιο περίπλοκη περίπτωση της σειράς με N στοιχεία. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια κεραία που περιέχει δύο δίπολα Htzian τοποθετημένα στον ελεύθερο χώρο στη κατεύθυνση του άξονα z αλλά προσανατολισμένα παράλληλα με τον άξονα x όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Θεωρούμε ότι το δίπολο στο σημείο (0, 0, d/) έχει ρεύμα Ι 1 Ι ο α ο και το δίπολο στο σημείο (0,0,- d/) έχει ρεύμα Ι I 0 ο, όπου α είναι η διαφορά φάσης μεταξύ των δύο ρευμάτων. Αλλάζοντας την απόσταση d και τη διαφορά φάσης α, τα πεδία από τη σειρά μπορούν να παρεμβαίνουν το ένα στο άλλο έτσι ώστε να προστείθονται σε συγκεκριμένες κατευθύνσεις και να αφαιρούνται (να μηδενίζονται) σε άλλες. Το ολικό ηλεκτρικό πεδίο σε ένα 57
σημείο Ρ είναι η διανυσματική πρόσθεση των πεδίων λόγω των ατομικών στοιχείων. Αν το Ρ είναι σε μακρινή περιοχή (fa fild zn) βρίσκουμε το ολικό ηλεκτρικό πεδίο στο Ρ ως Ε Ε 1 Ε jβ 1 jβ jnβi dl ja c θ1 aθ 1 c θ aθ 4π 1 Αφού το Ρ είναι μακριά από τη σειρά το θ1 θ θ και α θ 1 α θ α θ. Για το μήκος κύματος μπορούμε να πούμε ότι d 1 και για τη φάση χρησιμοποιούμε τις 1 c θ και d c θ. Με τα πιο πάνω μπορούμε να δείξουμε ότι το συνολικό πεδίο μιας σειράς είναι ίσο με το πεδίο ενός στοιχείου που βρίσκεται στο σημείο αναφοράς πολλαπλασιασμένο με ένα παράγοντα σειράς (aay fact) που δίνεται από AF 1 c ( β d c θ a) ja / Ας επεκτείνουμε τώρα το αποτέλεσμα της σειράς με δύο στοιχεία στη γενική περίπτωση με Ν στοιχεία όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. 58
Θεωρούμε ότι η σειρά είναι γραμμική και τα στοιχεία βρίσκονται στη κατεύθυνση του άξονα z. Επίσης θεωρούμε ότι η σειρά είναι ομοιόμορφη έτσι ώστε κάθε στοιχείο έχει το ίδιο ρεύμα με αυξανόμενη φάση α, δηλαδή Ι 1 I 0, Ι I α, Ι 3 I α,.... Κυρίως ενδιαφερόμαστε στο να βρούμε το παράγοντα της σειράς αφού το πεδίο σε μακρινή (fa fild) απόσταση μπορούμε να το βρούμε εύκολα με το παράγοντα σειράς. Ο παράγοντας σειράς είναι η πρόσθεση της συνεισφοράς όλων των στοιχείων έτσι AF 1... jψ j ψ j( Ν1) ψ όπου ψ βdc θ α και β π/λ Η δεξιά πλευρά της πιο πάνω εξίσωσης είναι γεωμετρική σειρά έτσι μπορούμε να γράψουμε AF jnψ jψ 1 1 jnψ / jψ / jnψ / jψ / jnψ / jψ / 59
( 1) j N ψ / in( Nψ / ) in( ψ / ) j( 1) ψ / Ο παράγοντας N μπορεί να αποφευχθεί αν η σειρά έχει κέντρο το σημείο αναφοράς έτσι Α F in( Nψ / ) in( ψ / ) ψ βd c θ α Βλέπουμε τέλος ότι ο παράγοντας σειράς μειώνει το πεδίο σε ορισμένες κατευθύνσεις. Πιο κάτω φαίνεται η επίδραση μιας σειράς αντένων με στοιχεία με μια απόσταση λ/ μεταξύ τους. 60